TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1

)>f(x
2
).
3) x
0
∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) khơng nh hay bằng 0.
II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn
tại một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác đònh): y
/
≥ 0 ∀x ∈ R




≤∆
>
0
0a
Giải tìm m
 Chú ý:Nếu hệ số a của y
/
có chứa tham số thì phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm :
y
/
≤ 0 ∀x∈ R



≤∆
<
⇔
0
0a
2.Hàm số nhất biến :
dcx
bax
y
+
+
=

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác đònh : y
/
> 0 ( y
/
< 0 ) . Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
B. CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2
2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=

+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số ln đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
1
Chun đề 1 :
Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x
e
x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 3
2 1 0x x x− + − =

§2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0
ta
có f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0

ta có f(x)>f(x
0
) (x ≠ x
0
).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x
0
∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x)
= 0.

Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm
số f(x).
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0

là một điểm cực tiểu của
hàm số f(x).
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một
điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0

) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.

•


Tìm m để hàm sốá có cự

c đại , cực tiểu

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y
/
= 0 có hai nghiệm phân biệt



>∆

≠
0
0a

 Giải tìm m
•


Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Giải phương trình y
/
= 0 tìm nghiệm x
0
 Đạo hàm y
//
.Tính y
//
(x
0
)
* Nếu y
//
(x
0
) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x
0

* Nếu y
//
(x
0
) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x
0
•


Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x

0
Cách 1:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu khi x qua x
0
 Chú ý :
• Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu từ
“
–
“
sang
“
+
”
• Hàm số đạt cực đại tại x
0
:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu từ
“
+
“

sang
“
–
”
2
Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013
Cách 2:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Đạo hàm y
//
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:




≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy

 Cực đại: { y
/
(x
0
) = 0 và y
//
(x
0
) < 0 }
 Cực tiểu : { y
/
(x
0
) = 0 và y
//
(x
0
) > 0 }
•


Hàm số đạt cực trò bằng y

0
tại x
0
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/

=

f
/
(x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi






≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf

B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
a) Khảo sát hàm số khi m=-1.
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
đó.
Bài 4: Cho hàm số
2 2
2 1x kx k

y
x k
− + +
=
−
với tham số k.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
3)Chứng minh với mọi k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số

3 2
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
3
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)

+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu)
là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2
, , x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).

b)
2
4y x x= + −
.
c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
ℑ4. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x

→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x= x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y= x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =

hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1. Khảo sát hàm số .
2
4 5
2
x x
y
x
− + −
=
−

2. Xác định m để đồ thị hàm số
2 2
( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
− − − + − −
=
+ −
có các tiệm cận trùng với các tiệm cận của
đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −
b)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1

1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
4
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên

3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2

1 1
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, )
5
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O

•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: h/số nghịch biếnDạng 1: h/số đồng biến
xO

I
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.

Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
Ví dụ 1:
1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
= m ( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
= 3m -2 ( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
=
3 2
1
3
m m−
( dùng bảng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.

Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx
π
=

∫
( )
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường
thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm
được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)

Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
6
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫
(0,25 đ)
=
( )
1
ln2
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4
x
e x e e− = − − − = + −
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và trục Ox.

Giải:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
3 3
3 2 3 2
0 0
3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − +
∫ ∫

3
4
3
0
4
x
x
 
= − +
 ÷
 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C

2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx
mxx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).

b) Dùng đồ thị (C
2
) giải và biện luận phương trình : x
2
– 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C
2
), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1.
d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y =
2
4
1
x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0.
Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
7
Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường:
y = x

2
và y =
x
quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
PP: Ta tìm Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnh độ
giao điểm f(x) = g(x) (1)
•


Biện luận số giao điểm của ( C) và d

 (d): y = k(x – x
A
) + y
A
= g(x)
 Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2 :
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b
2
– 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt




>∆
≠
⇔
0
0a
• Nếu (*) là phương trình bậc 3 :
1) Đưa về dạng (x – x
0
)(Ax
2
+ Bx + C) = 0




==++
=
(2) )(0
2
0
xgCBxAx
xx

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x
0
3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n

o
pb x
1
, x
2
khác x
0
)






≠
>∆
≠
⇔
0)(
0
0
0
)2(
xg
A
Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+

=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x
(điều kiện x khác 1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx
0))2(( =+−⇔ mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠

0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
B ÀI TÂP:
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x
− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 khơng cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x

y
x
+
=
−
. KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4: Cực trị của hàm số
 u cầu đối với học sinh :

Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
→
khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.

Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
→
có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.

8
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013

Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y

→
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.

Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+

→
không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0

∈
(a;b)
• Nếu f’(x

0
) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x
0
thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x
0
nhưng hàm số có xác định tại đó).
 Hoặc:
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0

) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2

+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó x
2
– x
1
không phụ
thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
Bài 2: Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M
1
(x
1
;y
1
), M
2
(x
2
;y
2

) là 2 điểm cực trị của
đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−
− −
= 2.Kết quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x

0
) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=


 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0

a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
9
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với
trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y =
2
ax -2

2
x
x
+
−
. Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm
với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết PTTT Của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Viết PTTT của đồ thị hàm số y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Bài 8: Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9: Cho hàm số y = 2x
3
– 3x

2
+ 5. Lập PTTT kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 10: Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y
+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)G
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp
đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số
2
54
2
−

+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.
B ài 3 ) Cho các đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
B ài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
Bài 5 : Cho hàm số
1
3
+
+
=
x

x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m
để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp
tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là
trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =
10
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Bài 7: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23

−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.


§1. NGUYÊN HÀM:
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b R a 0∈ & ≠
:
dx x C
= +

∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +

∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
π
π
= + ≠ +
∫
tan ,
cos
dx
x C x k
x
1
cos sinaxdx ax C
a
= +

∫
2
π
= − + ≠
∫
cot ,
sin
dx
x C x k
x
2
1
2
π
π
= + ≠ +
∫
tan ,
cos
dx
x C x k
ax a
( )
0ln ,
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2

1
π
= − + ≠
∫
cot ,
sin
dx
ax C x k
ax a
Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những
hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của
những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
11
Chuyên đề 2 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
1.
4
x dx
∫
2.
(3 1)x dx−
∫
3.

2
(3 6 1)x x dx+ −
∫
4.
4 2
( 5)x x dx− −
∫
5.
2
3
2
(3 1)x dx
x
+ −
∫
6.
2
3
( 3 1)x x x dx+ − −
∫
7.
2
(3 6 )
x
x x e dx+ −
∫
8.
( 5.3 )
x x
e dx−

∫
9.
(3sinx-5cos 1)x dx−
∫
10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x
−
∫
11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.
2 5x dx+
∫
13.
3 8x

e dx
−
∫
14.
1
1 5
dx
x−
∫
15.
2
7
x
x
dx
∫
16.
1
7 5
dx
x −
∫
17.
sin 5xdx
∫
18.
cos(4 2 )x dx−
∫
19.
2

sin 3xdx
∫
20.
2
cos (1 7 )x dx−
∫
21.
sinx sin5xdx
∫
22.
sinxcos3xdx
∫
23.
cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫
27.
1
( 1)
dx

x x +
∫
28.
2
1
4
dx
x −
∫
29.
2
1
5 4
dx
x x− +
∫
30.
2
1
3 7 10
dx
x x+ −
∫
31.
2
1
9 7 2
dx
x x+ −
∫

32.
sin
1 5cos
x
dx
x+
∫
33.
sin
cos
x
e xdx
∫
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
3 4t x= −
) 3.
2
1 1
sin dx
x x
∫
(đặt

1
t
x
=
)
4.
2
ln x
dx
x
∫
(đặt
lnt x=
) 5.
2 3 3
3x x dx+
∫
( đặt t= 3+x
3
) 6.
1
x x
dx
e e
−
−
∫
(đặt
x
t e=

)
7.
2 2
(1 )
x
dx
x+
∫
(đặt t=1+x
2
) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=2+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫
(đặt t=lnx)
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
i)
(3 1)sinx xdx+
∫
2i)
(2 3)cosx xdx+
∫
3i)

(3 5 ) cos
2
x
x dx−
∫
4i)
2
(1 )sinx xdx−
∫

5i)
(2 3)
x
x e dx−
∫
6i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
7i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
8i)
sin

x
e xdx
∫
(2 3)
x
x e dx−
∫
9i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
11i)
sin
x
e xdx
∫
12i)
3
ln x
dx
x

∫
13i)
ln(1 )x x dx−
∫
14i)
2
lnx xdx
∫
15i)
2
1
sin
x
dx
x
+
∫
Bài 4: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x
= +
;
( )
2
cosf x x=
.
a. Chứng minh rằng

( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−

.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 6: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x
=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x

biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Bài 7: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho
( ) ( )

0f x f x
′
− =
.
Bài 8: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
12
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e
= +
.
Bài 9: Cho hàm số
( )
sin
x

f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 f x
.
Bài 10: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3

F
=
. (Đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Bài tập :
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu
của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải
thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm
trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu
thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
4
0
2cos cosx xdx
π
∫

b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫
c.
21
1
2 3
2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫
d.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+
∫
Bài 2: Cho hàm số

( )
2
1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2
1lnF x x
= +
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x
+
∫
.

Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x
= −
. a. Tính
( )
f x
′
. b. Áp dụng câu a. tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin
x x
F x
x x
−
=
+
là một nguyên hàm của
( )
f x

. Hãy tính :
( )
4
0
f x dx
π
′
∫
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1.
∫
3
2
1
1
dx
x
. 2.
∫
+
2
1
2
3
2
dx
x
x
3.

∫
−
−
π
π
dxxx ).cos3sin2(
4.
∫
2
4
2
.
sin
1
π
π
dx
x
. 5.
4
4 4
0
(cos sin )x x dx
π
−
∫
6.
∫
6
0

.4sin.sin
π
dxxx
7.
∫
π
0
.3cos.2sin dxxx
. 8.
0
6
cos3 .cos5x xdx
π
−
∫
9.
∫
π
0
2
.sin dxx
.
10.
4
6
cot xdx
π
π
∫
11.

3
2
0
tan xdx
π
∫
12.
2
0
1
3 7
dx
x +
∫
13.
2
1
1
( 4)
dx
x x −
∫
14.
0
2
1
1
2 5 3
dx
x x

−
− −
∫
15.
0
2
1
4 3
6 5
x
dx
x x
−
+
− +
∫
16.
2
1
3 1
1
x
dx
x
−
+
∫
17.
2
2

0
2 5 1
3
x x
dx
x
+ −
−
∫
18.
0
sin
6
x
dx
π
∫
19.
3
0
2x dx−
∫
20.
4
2
0
4 3x x dx− +
∫
21.
2

0
1 sin 2xdx
π
−
∫
22.
2
sin
3
x
dx
π
π
−
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
= 
 
∫ ∫
13

Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường
hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc

cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +

nếu như biểu thức
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
β
α
∫
tan .
cos
f x dx
x
.
→ Đặt
=
tant x

→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n

t p x q
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β
α
∫
.
sin
f cotx dx
x
.
→ Đặt
=t cotx

→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n

t pcotx q
nếu như biểu thức
pcotgx q+
nằm trong
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π
+
∫
c.

( )
1
3 2ln
e
dx
x x
+
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫

b.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx
x
π
∫
c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
d.
4
2 1
1
x
dx
e x

+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
14
Ti liu tham kho ụn tp TNPTTH Toỏn 12
Nm hc: 2012-2013
a.
3
3
0
cos
tgxdx
x


b.
2
2 3
6
sin cosx xdx



c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx

x x



d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x

+

Bi 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x


b.
3

2 3
0
1x x dx
+

c.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x

+

d.
4
3
6
dx
tgx tg x


+

Bi 5: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy: ( Tng hp)
1
dx

x

+
3
3
0
2
1
1
(HD: x=tant) 2.
dx
x

+
3
3
2
9
1
(HD: x=3tant) 3
dxx




2
1
1
2
1

(HD:
x=sint)
4.
4
2
2
16 x dx

( HD: x=4sint) 5.
dxxx


2
1
22
4
(HD: x=2sint) 6.
dx
xx


++
0
1
2
22
1
(HD:t x+1=tant)
7.
3

2 2
0
1
( 0)
a
dx a
a x
>


(HD: x=asint) 8.
0
sin 4
1 sin
x
dx
x

+

(
x t

=
)
Bi 6: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy: ( Tng hp)
1.


1

0
2009
)1( dxxx
(t=1-x) 2.

+
1
0
32 dxxx

( 2 3)t x= +
3.

+
1
0
2
1dxxx
2
( 1)t x= +
4.
dxxx
2
1
0
3
1


2

( 1 )t x=
5.

+
6
0
sin31cos

dxxx

( 1 3sin )t x= +
6.
dx
x
x
e

+
1
ln1
(t=lnx) 7.
dx
x
x
e

+
1
ln32
( 2 3ln )t x= +

8.
dxx
x
x
e

+
1
ln
ln31

( 1 3ln )t x= +
9.
dx
x
x

+
1
0
15

( 5 1)t x= +
10.
dx
x
x

+
+

2
0
3
13
1

3
( 3 1)t x= +
11


2
1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e=
12.
ln8
ln3
1
x
e dx+

( 1)
x
t e= +
` 13.
dx
x
e
x

+
4
1
2
2tan
cos

(t=tanx+2)
Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt :
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay

( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùohaứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh
( )
b
a
uv

v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta
phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
15
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
a). Dạng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx
∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm
sin ( )x
α
hoặc

cos ( )x
α
.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u p x
dv q x dx
 =

=

 Ghi nhớ :
Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được
b
a
vdu
∫
phức tạp hơn
b
a
udv
∫
ban đầu.
b). Dạng 2:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm logarit.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u q x
dv p x dx
 =

=

Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra
v
từ
dv
.
4). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+

∫
b.
( )
2
0
2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.
( )
1
2
2

0
1
x
x e dx
+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx
−
∫
h.
( )
1
2
0
x

x e dx+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
3
2
1
3 1 lnx xdx
+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx
+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.
( )
1
2
0

1lnx x dx
+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1.
xdxx sin)2(
2
0
∫
+
π
2.
xdxx cos)1(
2
0
∫
−
π
3.
xdxx 3sin
2
0
∫
π
4.
dx
x
x
2
cos)1(

∫
−
+
π
π
5.
dxex
x2
1
0
∫
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
∫
+−
7.
xdxe
x
cos
2
0
∫
π
8.
dxex

x2
0
sin
∫
π
9.
∫
e
xdx
1
ln
10.
∫
+
1
0
)3ln( dxx

11.
∫
e
xdx
1
ln
12.
∫
−
−
0
1

)31ln( dxx
13.
∫
e
dxx
1
2
)(ln
14.
∫
−
e
dxxx
1
)ln2(
15.
∫
+
2
0
2
cos
1
π
dx
x
x

16.
xdxe

x
2sin
2
sin
2
4
∫
π
π
17.
∫
e
dxxx
1
23
)(ln
18.
dxxcos
4
0
∫
19.
∫
+
e
e
dx
x
x
1

2
)1(
ln
20.
dxe
x
∫
4
0
.
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
2
2
6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−
∫
b.
( )
2
2
1

ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+
∫
d.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx
x
π

 
+
 ÷
+
 
∫

16
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
f.
1
2
0
1 1
2
x
xdx
x e

 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx+
∫
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :

( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2
C
để tìm.

• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ
sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.

2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công
thức (2).
• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b
= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( )
0f x

=
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
ÁP Dụng 01:
Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
1, 0, 0, 3y x y x x= − = = =
2.
2
3 4, 0, 1, 3y x x y x x= + − = = − =
3.
3 2
5 4 , 0, 1, 3y x x x y x x= − + = = − =
4.
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
5.
x
os , 0, ,
2 2
y c y x x
π

π
= = = − =
6.
2 1
, 0, 0, 1
x
y e y x x
+
= = = =
7.
2
2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
+
= = = =
8.
2
1
ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = =
9.
2 3
sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= = = =

10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
17
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =
2.
2
, 2 0y x x y= − + + =
3.
2 2
5, 3 7y x x y x x= + − = − + +
4.
( 1)( 2)( 3), 0y x x x y= − + − =
5.
, 1, 2
x
y e y x= = =
6. (C):
2
2 2y x x= − +
và các tiếp tuyến của (C) đi qua
3
( , 1)
2
A −

7. (C):
3 2
3 6 2y x x x= + − +
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1; 8.
sin , cos , 0,y x y x x x
π
= = = =
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=
−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2
:C y x x
= −

và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x
= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 6: Cho đường cong
( )
3 2

3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ O. Từ
đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x
= − +
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
( )
P
tại các giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
P

và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x
=
;
2:d y x
= −
và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x
=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
.
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.

Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể
tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và trục Ox. Tính thể tích
của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 13. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh trục Ox.
1.
2
3 , 0y x x y= − =
2.

2
, 3y x y x= =
3.
3
1, 0, 0, 1y x y x x= + = = =
4.
4
5 ,y x y
x
= − =
5.
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
6.
, 0, 0, 1
x
y xe y x x= = = =
7.
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= + = = =

A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT :
LŨY THỪA
18
Chuyên đề 3 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
aaaa
n
=•
( n thừa số)
n
m
nm
nmnm
n
n
a
a
a
aaa
a
a
a
=•
=•
=•
=•
−
+

−

.
1

1
0

n
n
n
m
n
m
nmmnnm
n
n
n
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba
=•
=•
==•
=







•
=•
1
.


)()(
b
a

.).(

PHƯƠNG TRÌNH MŨ




∩
=
∨



=
≠<

⇔=
)()(
)()(
1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa

[ ]



>−−
>
⇔>
0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
)()( thì1a0
)()( ì th1a

)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa
xgxf
xgxf
<⇔><<•
>⇔>>•
LOGARIT
) 1 a , 0 N a, (
log
a
≠>
=⇔=•
NaMN
M
Na
N
a
=•
log
01log =•
a
1log
=•
a
a
N
N
=•

a
log
a
NkNN
k
N
a
N
NNa
a
N
N
NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.log log
1
log

log
1
log
loglog.log
log
log
log
logloglog
loglog.log
k
a
b
21
2
1
a
2121a
=•=•
=•
=•=•
−=•
+=•
)()(0)(log)(log thì1a0
0)()()(log)(log thì1a
a
a
xgxfxgxf
xgxfxgxf
a
a

<<⇔><<•
>>⇔>>•





=
>>
≠<
⇔=
g(x)f(x)
) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf
aa







>
>
>
≠<
⇔>

0g(x)]-1)[f(x)-(a
0g(x)
0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf
aa
BAØI TAÄP CÔ BAÛN:
19
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Bài 1 Lũy thừa với số hữu tỉ
1.Tính
a)
1 2
3 5
-0,25
1 1
A = 625
27 32
− −
   
+ −
 ÷  ÷
   
b)
2
1

1
3
6
4
1
0,0001 64
125
B
−
−
−
 
= + +
 ÷
 
2.Rút gọn biểu thức
( )
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
( ) 2x y x y x y y
A
x y
x y x y
+ − +
= +
 
+
− +

 ÷
 

1 1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
: ( )
a b a b
B a b
a a b a b
 
− −
 
= − −
 
+ +
 
 

3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
C ab
a b
  

− +
 ÷ ÷
  
= −
−

2
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
.
a b a b
D ab
a b
a b
   
− −
 ÷
 
= +
 ÷
 
−
 ÷
−
 
   
3.Rút gọn biểu thức
4

4
3 1
4 2
1
. 1
1
a a a
A a
a
a a
− −
= +
+
−

1
1
3 3
2
3
2 2
3 3
3 3
:
a b a b
B ab
a b
a b
−
−

 
− −
 
 ÷
= +
 ÷
 ÷
−
 
−
 
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a a
C
a a a a
−
−
− −
= −
− −

1
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
6 6
3 2 3 2
. . . .a b a b a b b a

D
a b
a a
−
− −
 
− +
 ÷
= −
 ÷
+
−
 ÷
 

2
3
112
1
.
22
)1(
2
−
−
−−
−







−
+
=
a
a
aa
a
E
4.Tính giá trị biểu thức
7 4 3 7 4 3A = − + +

3 3
10 6 3 10 6 3B = + + −
3 3
9 80 9 80C = + + −

3
3 2 2 7 5 2D = + + −
Bài 2 Lũy thừa với số mũ thực
1.Tính giá trị các biểu thức
a)
3 2 1 2 2
2 .8A
− − +
=
b)
2

4
3 2 1 2 2
1
2 .0,25 .
16
B
− +
 
=
 ÷
 
c)
( )
18
3 2 3 1 2 4
0,2 .125 . 5 .(0,04)C
+ − +
=
2.Rút gọn các biểu thức
5
9
3
3
2 2 2 2
:
5 5 5 5
A
 
=
 ÷

 

3 1 2 3
3 1
2 3
3 1
.
1
.
a a
B
a
a
+ −
+
−
− −
=
 
 ÷
 

( )
2 1
2 3 4
3 1
3 1
2 1
3 2 3
6

.
1
a
a
a
C
b
b
−
+
+
+
+
−
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
 
 ÷
 
3.Giải các phương trình
a)
8 4
8 9 0x x− − =
b)
10 5

3 4 0x x− − =
c)
4
2x x− =
d)
4
14 1 0x x− + =
e)
6
3 2 0x x− + =
4.Giải các bất phương trình
a)
4
5x <
b)
5
6x <
c)
10
3x >
d)
9
3x ≤
Bài 3 lôgarit
1.Tính các lôgarít
a)
3
log 27
b)
1

9
log 3
c)
3
2
1
3
1
log
81
d)
2
log 5
16
e)
5
log 3
1
25
 
 ÷
 
2.Tính các lôgarít
20
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
a)
2
4
log

a
a
b)
3
2
1
log
a
a
c)
3
2
1
1
log
a
a
d)
log 5
a
a
e)
1
log 2
3
1
a
a
−
 

 ÷
 
3.Rút gọn
a)
3 27
3
1
log 2 log 3log 4
16
81A
+ −
=
b)
5 2008
5
1
log 4 2log 3log 1
2
5B
+ −
=
c)
1
1
log 2 log 3log 4 2
16
2
1
a a
a

C
a
+ − −
 
=
 ÷
 
4.Cho
2
log 5a =
,
2
log 3b =
.Tính
2
log 45

5.Cho
3
log 5a =
,
2
log 3b =
.Tính
3
log 100

6.Cho
1
2

log 3a =
,
2
log 5b =
.Tính
2
log 0,3
7.Chứng minh các đẳng thức
a)
a x
log log
log ( )
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
b)
log
1 log
log
a
a
ab
c
b

c
= +

c)
log .log .log
log .log log .log log .log
log
a b c
a b b c c a
abc
d d d
d d d d d d
d
+ + =
d)
2
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =

Bài 4 lôgarit thập phân và logarit tự nhiên
1.Tính
a)

2ln3
e
b)
1
ln
e
c)
log1000
d)
log0,01
e)
3ln 2
loge
f)
2
log
ln10
e
−
Bài 5 hàm số mũ và logarit
1.Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định của nó
a)
2
3
x
y
 
=
 ÷
 

b)
1
4
x
y
π
+
 
=
 ÷
 
c)
x
y e=
d)
2
logy x=
e)
1
log
e
y x=
f)
logy x=

2.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 3
3 2.3
x x

y
π
+
= + +
b)
2 1
x
y = −
c)
3 1
2
5
x
x
y
−
= +
d)
( ) ( )
5
2 3 2
x x
y
π π
= + −
3.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2
3 1
x x x

y e e e
−
= + − −
b)
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
4.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 3 5
log 2log (2 ) logy x x x= + −
b)
log 2
x
y =
c)
logx-3log(2x-3)y =
5.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 2
ln ln 2ln 2y x x x= + − −
b)
1

ln
2
x
y
x
−
=
+
c)
(2 )
x
y x=
d)
2x
y x
−
=
6.Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số
a)
( )
2
4
x
y x x e= −
b)
( )
2
ln 1y x= +

7.Chứng minh rằng

1
x
e x− ≥
Bài 6 Phương trình mũ và logarit
1.Giải các phương trình
a)
3
1
.4 0,25
64
x
x
−
=
b)
2
3
1
.0,2 25
0,04
x x
x
−
=
c)
2
2
1 1
.
x

x
x
x
e
e
e
 
=
 ÷
 
d)
( ) ( )
1 2
2 1
10 3 10 3
x x
x x
− −
+ +
− = +

e)
( ) ( )
2
1 1
7 4 3 2 3
x x
x x+ +
+ = −
f)

1
5 .8 500
x
x
x
−
=
g)
1
3 .8 36
x
x
x+
=
h)
1
5 .8 100
x
x
x+
=
2.Giải các phương trình
21
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
a)
2
3 2.3 15 0
x x
− − =

b)
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =
d)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =
e)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 2
x x
− + + =
f)
(
)
(
)
cos cos
7 4 3 7 4 3 4
x x

− + + =
3.Giải các phương trình
a)
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
b)
( )
2
7
6. 0,7 7
100
x
x
x
= +
c)
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
d)
2 2 2
2 2 2

2.4 6 9
x x x x x x− − −
+ =

e)
2 2 2
3 3 2 6
2.25 10 2
x x x x x x+ + +
+ =
f)
2 4 4
3 8.3 9.9
x x x x+ + +
− =
g)
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2
x x x x+ + +
− =
4.Giải các phương trình
a)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
b)
2 2

5 6 1 7 5
2 2 2 1
x x x x− + − −
+ = +
c)
2 2
log log2
6 2.9
x x
x + =
d)
5 5
log log
2
2.15 3.9
x x
x + =

5.Giải các phương trình
a)
5 12 13
x x x
+ =
b)
2 2
log log 52
3
x
x x+ =
c)

3 5
log ( 1) lg (2 1)x x+ = +

d)
2 7
log ( 1) lg (2 5)x x+ = +
e)
( )
5
log 3
2
x
x
+
=
6.Giải các phương trình
a)
( )
3
2 1
x
x
−
+ =
b)
( )
1
2
4 1
x

x
+
− =
c)
9 2.( 2).3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
d)
3.4 (3 10).2 3 0
x x
x x+ − + − =
7.Giải các phương trình logarit
a)
[ ]
{ }
4 3 2 2
log 2log 1 log (1 3log ) 1x+ + =
b)
3 4 12
log log logx x x+ =
c)
2 3 6
log log logx x x+ =
d)
log ( 6) 3
x
x + =
e)
1
log (3 5) 3

x
x
+
+ =

8.Giải các phương trình logarit
a)
1
log 10 1 log3 log( 1)
2
x x+ − = − −
b)
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)x x− = −
c)
2
cos
cos
log 4.log 2 1
x
x
=
c)
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)

2
x x x+ − = − + +
d)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x+ + = − + +
e)
3 2
1
log( 8) log( 4 4) log(58 )
2
x x x x+ − + + = +
f)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +

g)
( )
( )
( )
2
log 4 1 3
1 8. 1
x
x x
 − 
 
− = −

9.Giải các phương trình logarit
a)
8
2
4 16
log (4 )
log
log (2 ) log (8 )
x
x
x x
=
b)
2
2 2
log log 1 1x x+ + =
c)
2 2
log (5 1).log (2.5 2) 2
x x
− − =
d)
1 1
2 2
log (4 4) 2 log (2 1)
x x+ +
− = + −
e)
1
4

6 2
2log (4 )
1
1
log (3 ) log (3 )
x
x x
−
+ =
+ +
f)
2
log (9 2 ) 3
x
x + − =
g)
log(1 2 ) log5 6
x
x x+ + = +
h)
3
2
log 2
log
3 6
x
x+ =
i)
4 2 2 4
log log log log 2x x+ =

10.Giải các phương trình logarit
a)
( ) ( ) ( )
2
3 3
3 log 2 4 2 log ( 2) 16 0x x x x+ + + + + − =
b)
2 2
2 2
log 2( 1)log 2 6 5 0x x x x x− − + − + =
c)
( )
2
9 3 3
2 log log .log ( 2 1 1)x x x= + −
d)
2 2
log log 2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x+ + − = +

11.Giải các phương trình logarit
a)
3 5
log ( 1) log (2 1) 2x x+ + + =
b)
( )
2
log 6 4 log( 2)x x x x+ − − = + +

Bài 7 Hệ phương trình mũ và logarit
A/. Giải các hệ phương trình
a)
3 2 65
2 3 36
118
x y x y
xy x y
− −

   
− =

 ÷  ÷

   

− + =

b)
2
7 12
1
6
0
x x
y
x y
y
+ +


=

+ =


>

c)
2 3
5
2(1 )
2 2 .2
3 3.3
x x
y y
x y
y y
−

=



=

d)
1
2 2 1
x y

x y+ =


+ =

22
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
B/. Giải các hệ phương trình
a)
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
+ − +

+ =


+ + = +


b)
5( )
4
3
3 1
x

y
y x
x y
x y
−
+
−


=


=

c)
2 2
2 2 ( )( 2)
2
x y
y x xy
x y

− = − +


+ =


d)
2 sin

sin
9 3
9 81 2
tgx y
y tgx
+

=


− =



e)
( )
3
3
log 2
log ( )
2 2
4 2
3 3 12
xy
xy
x y x y

= +



+ − − =


3.Giải các hệ phương trình a)
8
log log
3
16
y x
x y
xy

− =



=

b)
log
2,5
4
.
log .log ( 3 ) 1
y
x
y
y x x
y y x


=


− =


c)
2
2log 3
3log 1
x y
x y

+ =


− =


d)
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1
x y x x y
x
xy y y x
y


+ − + = +


+ − + − + = −


e)
32
3 3
4
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+ =




− = − +

f)
2 2
2 2
(log log )( 1)
1
x y
e e y x xy
x y


− = − +


+ =


Bài 8 Bất phương trình mũ và logarit
1.Giải các bất phương trình
a)
2 1
25 0,2 .625
x x x−
>
b)
2
4 2 2 2 3
0,1 0,1
x x x− − −
≤
c)
2 2
3.7 37.140 26.20
x x x
+ ≤
d)
7 1 1 7
10 6.10 5 0
x x− −
+ − <

e)
2 2 2
2 6 3 3 1 2 6 3
2 6 3
x x x x x x− + − − − +
+ ≥
f)
6. 9 13 3. 2 6 4 0
x x
x x
− + ≤
2.Giải các bất phương trình
a)
( )
2
6 8
2 1
x x
x
− +
− >
b)
2
5
5
1
1
log
log
5

4
5 5.5
x
x
≥
c)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− −
− < +
d)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
e)
2.2 3.3 6 1
x x x
+ > −
f)
2
3 3 2
0
4 2
x

x
x
−
+ −
≥
−
3.Giải các bất phương trình
a)
7
2
log 0
3
x
x
−
<
−
b)
( )
2
1
2
.log 1 0x x x+ + >
c)
2
3 3
3
log ( 2) log 1
2
x

x
 
− < −
 ÷
 
d)
2
0,5 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
e)
2 3 2 3
log log 1 log .logx x x x+ < +
f)
4.Giải các bất phương trình
a)
2
log 3logx+3
1
log 1
x
x
−
<
−

b)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log
16 4
x
x
−
− ≤
c)
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
d)
( )
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
8 32
log ( ) log 9.log 4log
3
x x
x
   
− + <

 ÷  ÷
   
5.Giải các bất phương trình
a)
2
log ( 2) 1
x
x + <
b)
2
2
5
log 0
5 5
x
x
x
+
>
−
c)
x+1 x+1
log 2 log 2
x−
≤
*Một số đề thi đại học về phương trình, bất phương trình,hệ phương trình mũ và logarit trong thời gian gần
đây
1.(Đề dự bị 1 khối D năm 2007) Giải bất phương trình:
( )
2

2
1 2
2
1 1
log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − ≥

2.(Đề dự bị 1 khối A năm 2007) Giải bất phương trình:

2
x 4 2
(log 8 log x )log 2x 0+ ≥
ĐS :




>
<
2
2
1
x
x
23
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
3.(Đề dự bị 2 khối A năm 2007) Giải phương trình :
4 2

2x 1
1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
4.(Đề dự bị 2 khối D năm 2007) Giải phương trình:
022.72.72
xx21x3
=−+−
+
.
5.(Đề dự bị 1 khối B năm 2007) Giải phương trình :
( ) ( )
21x2log1xlog
3
2
3
=−+−
6. (Đề dự bị 1 khối B năm 2007) Giải phương trình:
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−

7.(Đề chính thức khối A năm 2007) Giải bất phương trình :
( ) ( )
3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤
ĐS :
8
3
3
x− ≤ <
8.(Đề chính thức khối B năm 2007) Giải phương trình :
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
ĐS :
1x
= ±
9.(Đề chính thức khối D năm 2007)
Giải phương trình
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
ĐS :

2
log 3x =
10.(Đề dự bị 1 khối A năm 2006) Giải bất phương trình :
( )
x 1
log 2x 2
+
− >
Đs :
2 3 0x− + < <
11.(Đề dự bị 2 khối A năm 2006) Giải phương trình:
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8+ =
Đs :
2x =
12.(Đề dự bị 1 khối B năm 2006) Giải phương trình:

( ) ( )
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0+ − − − − =
Đs :
1 17
2
x
±
=

13.(Đề dự bị 2 khối B năm 2006) Giải phương trình:
2 2
x x 1 x x 2
9 10.3 1 0
+ − + −
− + =
Đs :
0, 1, 2x x x= = ± =
14.(Đề dự bị 1 khối D năm 2006)
Giải phương trình:
x x 1
3 3
log (3 1)log (3 3) 6
+
− − =
Đs :
3 3
28
log 10, log
27
x x= =
15(Đề dự bị 2 khối D năm 2006) Giải phương trình:
2 4 2
1
2(log x 1)log x log 0
4
+ + =
Đs :
1
2,

4
x x= =
16.( Khối A năm 2008) Giải bất phương trình
( )
( )
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
ĐS :
5
, 2
4
x x= =
17.(Đề khối B năm 2008) Giải bất phương trình :
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 ÷
+

 
ĐS :
4 3
8
x
x
− < < −


>

18.(Đề chính thức khối D năm 2008) Giải phương trình
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
ĐS :
2 2 1
2 2 2 2
x
x

− ≤ <

< ≤ +





24
Chuyên đề 4 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN SỐ PHỨC
*
1
2
−=i

*
2
1
z
z
z
=
*
22
. baibaz +=+=
*
ibazibaz −=⇒+=
*
22
bazz +==




=
=
⇔+=+
db
ca
idciba
*
).)(.(
).)(.(
.
.
ibaiba
ibaidc
iba
idc
−+
−+
=
+
+
*
2121
zzzz +=+
*
2121
zzzz −=−
*
2

1
2
1
2121
;
z
z
z
z
zzzz =








=
1).
iba .
+=
α
.Gọi
β
là căn
bậc 2 của
α
, ta có:
b ≥ 0 :









++−
+
++
±=
2
.
2
2222
baa
i
baa
β
b < 0 :








++−

−
++
±=
2
.
2
2222
baa
i
baa
β
2).









=
=
+=
+=
r
b
r
a
bar

irz
ϕ
ϕϕϕ
sin
cos)sin.(cos
22
3).
)]sin(.)[cos(.
21212121
ϕϕϕϕ
+++= irrzz
4).
)]sin(.)[cos(
2121
2
1
2
1
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r
z
z
5).
)]sin(.)[cos(
11
ϕϕ
−+−= i
rz

6).
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+

[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
nini
n
+=+
CÁC BÀI TẬP PHẦN SỐ PHỨC
Bài 1: Biểu diễn các số phức sau và các số phức của chúng trên mặt phẳng phức
2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i
Bài 2: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức
Bài 3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z
'
= a
'
+b
'
i Với điều kiện nào giữa a,b,a
'
,b' thì
a/ Tổng , hiệu của z và z' là số thực ; là số thuần ảo
b/ Tích , thương của z và z' là số thực ; là số thuần ảo

c/ z
2
, z
3
là số thực ; là số thuần ảo
Bài 4: Cho z và z' là hai số phức bất kì . Chứng minh rằng :
25