De chon dt hsg tinh toan 8 nam 2022 2023 phong gddt trieu son thanh hoa

PHONG GIAO DUC VA DAO TAO

DE THI CHON DOI DU TUYEN HSG TINH

TRIEU SON

Nam hoc 2022 - 2023

Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 17 tháng 3 năm 2023

:

SO bao danh

CHH HD n2

0,

(Đề có 01 trang, gốm 05 câu)

Câu I: (4,0 điểm)

| Cho bigu thức; P=|Š xX +x-2
t3x‡2_X x’Ji
2

a) Rut gon P.

|

2

x+l

3

+c

3

1
1
1
1
1
1
af prt }ro[ 242) +c[ 442) =-2
bic

ca

a

va

b

a

C

3

1. Giải phương trình: xi)

x-]

Tìm

các

cặp

sơ

.

(x;

2

+3-—=28,
x-]

y)

thỏa

mãn

các

`
điêu

kién:

1 2
2x+y+—+—=6
y x

va

Xy pty X4t =4.

xy

y

x

Câu 3: (4.0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: (xy +x+ ly +xy=x -3x.
,

.

.

.

2. Cho a, 6 la cac sé tu nhién lon hon 2 và ø là sô tự nhiên thoa man

1

1

1

— =—~+->

pa

b

Chứng minh răng p là hợp sô.

Câu 4: (6,0 điểm)

1. Cho đoạn thăng 48 = 2a. Gọi O là trung điểm của ⁄1Z. Dựng các tia 4x, 8y về cùng
một phía của ⁄1B sao cho 4x, 8y lần lượt vng góc với 1ð. Trên tia ⁄4x lấy điểm C, trên tia 8y

lay diém D sao cho COD = 90°.
a. Chứng minh 4C.BD =a” và CD= AC + BD.

b. Kẻ ĨM vng góc với CÐ tại Ä⁄, gọi N là giao điểm của AD và 8C. Chứng minh

rang MN // AC.

2. Cho hình thang 18CD

đường

`

z
.
*
I
I
I
=1]. Chứng
minh
răng
ath
tol

Câu 2: (4,0 điểm)

2.

}

b. Tim
x dé mg

k
,
ˆ

,
~
2. Cho ba sô thực a, 5, e khác không thỏa mãn

4 3 +b

x-l

thang

cat cac doan AD,

có đáy lớn là CD. Gọi Ĩ là giao điểm của AC va BD. Một
OD,

Chứng minh răng CD=24B.

OC,

BC 1an luot tai M, N, P, QO sao cho MN=NP=P0Q.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho các số thực đương x, y, z thoả mãn:

y

2

biêu thức A = x21)

Z

2

s23)

x

x+ y„z+xz =3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

Qe 41)

Thí sinh khơng sứ dụng tài liệu. (Giảm thi khơng giải thích gì thêm.


PHONG GIAO DUC VA DAO TAO
TRIEU SON

DE KHAO SAT ĐỌI DỰ TUYẾN HSG TỈNH LỚP 8
Năm

học 2022 - 2023
Môn thi: Tốn
Ngày L7 tháng 3 năm 2023
(Hướng dân chấm có 05 trang, gôm 05 câu)

Hướng dẫn chấm

Cầu

Nội dung

Diem
2,5d

1.

* ĐKXĐ:

=

x#-2,xz+l.
xX +3x+2

—

X +Xx-2

Ta có:

xÍ+x

—

TT

(a.

1

:

Xx-]

(x+1)(x+2)

0.25
1

+

x+l

x(x +1)

x-l

|

x-1

_(x-1)(x+1)

xa

+

(x-l)(x+l)

x+1

0.25

(x-IXx+])

2x

(x—I)W\x+l)

0.5

_ l_(Œ@-lW(x+l)
x-1.

_

2x

#+I

2x

0.25

Vậy với x#-—2,x # +l thì
+ Ta co

LƠ,

¬......
_(x+Ù

8(x+1)

(4,0d)

0.25

x

x+1

16x
1

1

=

_ 8+)

8(x+1)

8x41)

16x—(x+1)

-8(x+1

x-+D)
8(x+1)

+Nếu:

x-3=0<©>x=3—=

~3)?
ues,
x+l

(1)

(1) luén dung voi x 4#-2,x 421.

0.5
0.25

+Nếu: x-3#0xz3=.(x-3)
>0Vx.
_3\“

C73)
x+l1

cy sete

xed

0.25

+]

Vay vol x<-lUx= 3thì —* đšt,
P

8

2.

1,5d

Ta co: af prt }ro[ 242) +c[ 442) =-2
bic

ca

a*(b+c)+b?(ce+a)+
2

b

b7

a

2

b

e?(a+ )_ 5

025

b

abc
sa@bt+actbh’ct+b’atcatc
b+ 2abc =0
<> abla +b)+ cat by

+0? (a+b)=0

(a+ b\(b+cXe+a)=0

(a+ b)ab + ac + be +c) =0

0,5
0.25


®e Xét a=-b. Từ a+Ð`+ce =l—c=l. Suyfa: tty tly
abe

®e Xét b=-c. Từ
e

0,25

ga +b`+c =l—a=l.

Suyfa: ttt,
a

be

Xét c=-a.Tu a +h? +c =1>5=1.
Suy ra: Potty
a

Vay

be

aa
=1 khia, 5, c khac khong thoa man:
a
C

(g+z)*ð[s+z]*e|s+z]=~2
b

€C

c

oa

a

0.25

,

và a`+bÌ+c` =].

b

1.

2d

+ Diéu kién: Vx #1

0,25

+ Ta co:
x)

x)

x

x

x°+| —— | =| x+—— ] -3x.——|
x—l

x—l

x+——

x—l

|=

x—l

x

—3

x—l

x?
x—l

Khi đó phương trình đã cho trở thành
x?
x—l

;

oS

x

—3

x-]

°

x—l

+3

x

-l=3<

x
x—l

—l=27<

x?
x—l

-1|

=3
2

KL: x=2

(4.0) |

=0âx=2

0,5

0,25

2.
2

0,5
0,5

=4âx -4x+4=0â(x-2)

x-]



2d

+ Ta cú:
2

2

|2xíy+'x+x+2y=6xy
+

Joal

x

y

tyT Ze

[

(I)
)

4 (2)

1
"ơ_.-....


a{ 42)
<>

x

yt

y

|

2

2x+y+ +6
xy

oy

x

=6
0.5


3
+ Giải hệ trên ta có:

0.5

b=2

a=l

0.5

b=4

x+—=2
+ Với

x

-1
of"

ytt=2

"

CF

0,5

x+—=l
*

+ Với

1

|

(VN)

y+—=4

KL Cap s6 (x; y) =(1;1)
1.

2d

+ Biến đổi
(xvtxtl) +xy=x —3x
© (xytxtl) tayt+xtl=x-2x41

0,25

=(w+x+!)|(y+x+1)+1]=(x-Ú

©(w+x+l)(w+x+2)=(x-UŸ

+ Néu x-1=0= x=1 thay vao (1) tim duge y=-2; y=-3

(1) | 9.5

+ Nếu x+Iz0= x#—1: Khi đó VT(1) là tích hai số ngun liên tiếp, VP(1)

0.25

là bình phương của sơ ngun khác 0. Nên phương trình vơ nghiệm.

0,5

KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là: (x;y) e {(.-2):(1.-3)).

0,5

2.

2ä

3

+ Giả sử p là số nguyên tó.

00)

Từ: g2 p?+b)S |

(1)

0.5

(2)

0.5

+Từa>p,b>p=-T+-L<-©—=-L<-Š>p<2

(3)

0.5

+ Từa>2

(4)

0.25

=> a’b? tp? => p(a’+b*):p?

=> a’+b?ip

+ Từ (1) và (2) > a:p và b:p
a

:

b

p

P

¬.......-

op

44

2°”

>2

+ Từ (3), (4) = mâu thuẫn, chứng tỏ p là hợp số.

0.25


X

©

I

D
M

C,

N

a. AACO và A BOD có:

ZCAO =ZOBD (= 90°)

ZAOC =ZBDO (cing phu
ZBOD)
Do dé: AACO ~ ABOD (g.g)

AC _ AO

=> — =—

A

B

O

BO

D

với

> AC.BD = AO.BO =a

0,25
0,25

0.5
?

SE

* Kéo dài CO cắt tia đôi của By tại E.

(6,04)

A AOC= ABOE (g.c.g)
=> CO = EO; AC = BE (các cạnh tương ứng)
=> tam giác DCE cân tại D (vì có đường cao DO đơng thời là trung tuyến)
= DC= DE
+ Ma DE = BE+ BD = AC + BD hay CD = AC + BD.
b. Ta có: AODM ~ AODB (g.g)
= MO=BO = MO= AO
= AACO = AMCO (cạnh huyền - cạnh góc vng)
=> MC=CA
+ Chứng minh tương tự ta có: MD = BD.
+ Xét hai tam giác CAN và BDN.
Có AC//BD (cùng vng góc với AB )

=> 4ð _ 4C. (Hệ quả Định lí Ta-let)
ND

BD

ND

MD

`

hay “È -C*ˆ MC=CA:MD =BD})
=>MN//AC
2.

(Dinh lí Ta-let đảo).

0,25
025
°
025
°
0.25

0,25
0,5
0,25

0,5

0,5


+ Gọi O là giao điểm của AC va BD.

+ Qua M kẻ đường thăng song song với AC cắt DC tại E.
+ Qua Q kẻ đường thắng song song với BD cắt DC tại F.

+ ME cắt BD tại J, QF cắt CA tại K.
- Ta co:

AU _ DJ _ JE _ MU _ O4

AO
DO
OC
JE
OC
KQ | CK _ AF
KF SOK
OK _ OB
OB

CO OD

KF OD

ÓA _ OB _. MU _ OK

——=——=—

OC

OD

JE

KF

+ Mặt khác; ^2ˆ =2
NP

NO

0.5

~¡.“K_ POPO

PN

=>N, P lan luot la trung điểm của OJ và OK => NP/⁄⁄JK.

0.5

+ Nêu
E không trùng với F. Nôi QE căt JK tai I, ta co:

KO_ JM _ 1O

Tin

=> KI //EF > MQ//DC
Q/ DC

(không

(không

đúng

với gi)gt
đúng với

=> E trùng với F =I=K=NP=S1
+ Ta có: >/=K
~,

=II=^MQ
3

|

]

]

x

y

Z

0.5

JE 4
JM

4

OA

cp-

2 AB.

0.5

Dat —=a,—=b, —=c; taco: a,b,c lacac s6 duong va a+b+c=3.
.

b

C

Khi đó: 4=—“—+
+
I+D ` 1+c” 1+a
Ta có:

—^ > =a-

1+5

2

0,25

2

ab ; >a 42 ig

OS

~ (2);(2); -

>c-—

1+5

bc

2b

>b-—

`

(2,0d)

C

2

ˆ ; >a-22

1+5

< 3) (3).

ac

2

(1)

,

0,5

Cong vé tuong ung cua (1), (2) va (3), ta được:
=

a

1+b°

s+

b

l+c"

5

Cc

l+a

ab+bc+ca
z>a++c—=————

0,25
°

Ta lại có: (47 +? +c?)>3(ab+be+ca)—=3> ab+be+ca.

0,25

Ti dé 423-26
4>2 2
2

0.5

Dâu “=” xảy ra, khi và chỉ khi: a=b=c=1<>x=y=z=l
Vậy, min A=Š

Chủ 1.ý: Thi
2.

|

2

khi x=y=z=l

0,25

-

,

sinh co thé lam bai bang cach khac, néu ding vân được điêm tơi ẩa.
Nêu thí sinh chứng mình bài hình mà khơng vẽ hình thì khơng chám điêm bài hình.