BÀI TẬP THỂ TÍCH TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN NÂNG CAO 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN THỂ TÍCH
1. Tính chất thể tích
Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau ;
Nếu một khối đa diện được chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng
tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ ;
Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1.
2. Một số công thức tính thể tích khối đa diện
Thể tích khối lập phương cạnh a
3
V=a
Thể tích khối hộp chữ nhật
V=abc
Thể tích khối lăng trụ
V=Bh
Thể tích khối chóp
1
V= Bh
3
Thể tích khối chóp cụt
1
V= (B+B'+ BB')h
3
Tỉ số thể tích tứ diện
ABC
A'B'C'
V SASBSC
=
V SA'SB'SC'
Đường chéo của hình vuông cạnh a
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là
a 3

Đường chéo của hình hộp chữ nhật 3 kích thước a, b, c là
2 2 2
a +b +c
Đường cao của tam giác đều cạnh a là
a 3
2
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều có các cạnh bên bằng nhau và có đỉnh
chiếu vuông góc xuống mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của đa giác đáy ;
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều ;
1
Các dạng bài tập
Thể tích hình lăng trụ
1. Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy ;
2. Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ;
3. Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng ;
4. Khối lăng trụ xiên.
Thể tích khối chóp
1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ;
2. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy ;
3. Khối chóp đều ;
4. Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích.
2
THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ CHIỀU CAO HAY CẠNH ĐÁY
1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh
2BC a=
và biết A’B=3a. Tính thể tích khối lăng trụ
3
V=a 2

2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này.
3
V=18a
3. Lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a=4, biết diện
tích tam giác A’BC=8. Tính thể tích khối lăng trụ.
V=8 3
3
4. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm, người ta cắt bỏ mỗi góc một tấm bìa hình
vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể
tích hộp này.
3
V=4800cm
5. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và góc nhọn bằng 60
0
, đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tinh thể tích hình hộp.
3
a 6
V=
2
6. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ
bằng a, tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
HD :
3
2
a 3
V= ;S=3a
4
4

7. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết
BD'=a 6
.
Tính thể tích lăng trụ
HD :
3
V=2a
8. Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm,
biết chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt
của lăng trụ
HD :
3 2
V=240cm ;S=248cm
9. Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm. 13cm, 30cm và tổng
diện tích các mặt bên là 480cm
2
. Tính thể tích lăng trụ.
HD :
3
V=1080cm
10.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA’B’B có đường chéo 5a, tính thể tích
lăng trụ.
HD :
3
V=24a
5
11.Cho lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, biết tổng diện tích các mặt
của lăng trụ bằng 96cm
2

. Tính thể tích lăng trụ.
HD :
3
V=64cm
12.Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
5, 10, 13
, tính thể tích khối hộp này. HD :V=6
6
LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với
AB=BC=a, biết A’B hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ
3
a 3
V=
2
2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A với
AC=a, ACB=60
0
biết BC’ hợp với AA’C’C một góc 30
0
. Tính AC’ và thể tích lăng trụ.
3
V=a 6
3. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a và đường chéo
BD’ của lăng trụ tạo với đáy ABCD một góc 30
0
. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt
bên của lăng trụ.

3
a 6
V=
3
7
4. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và BAD=60
0
,
biết AB’ hợp với đáy một góc bằng 30
0
. Tính thể tích hình hộp.
3
1
V= a
2
8
LĂNG TRỤ ĐỨNG CÓ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với
BA=BC=a, biết A’BC hợp với đáy ABC một góc bằng 60
0
. Tính thể tích lăng trụ.
3
a 3
V=
2
2. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác đều. Mặt phẳng A’BC
tạo với đáy một góc bằng 30
0
, diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng
trụ.

V=8 3

3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có đáy cạnh a và mặt phẳng BDC’
hợp với đáy ABCD.A'B'C'D' một góc bằng 60
0
. Tính thể tích hình hộp chữ nhật.
3
a 6
V=
2
9
4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA’=2a, mặt phẳng A’BC hợp với
đáy ABCD một góc 60
0
, A’C hợp với đáy ABCD một góc 30
0
. Tính thể tích khối hình
hộp chữ nhật.
3
16a 2
V=
3
5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
AB=a 3
, AD = a, AA’ = a, O là
giao điểm của AC và BD.
a. Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
3
a 3
V=

3
a. Tính thể tích khối OBB’C’.
3
a 3
V=
12
b. Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
2a 3
6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ
diện ACB’D’.
3
a
V=
3
10
7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a. Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
3
a 3
V=
12
b. E là trung điểm cạnh AB, mp(A’C’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối
CA’C’FE.
3
a 3
V=
16
thể tích khối được chia thành hai chóp
CA’EF và A’C’FC
8. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc

BAD=60, gọi M là trung điểm AA’, N là trung điểm CC’. Chứng minh rằng bốn điểm
B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác
B’MDN là hình vuông. (KB-2003)

AA'=a 2
9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a. Tính thể tích
khối hộp trong các trường hợp sau đây:
a. AB = a
b. BD' hợp với AA'D'D một góc 30
0
c. (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 30
0
HD:
3 3 3
V=8a 2; V=5a 11; V=16a
11
10. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
nhọn A = 60
0
.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a. Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
b. Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng a
2
c. AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
HD:
3 3 3
3a 3 3a 2 3a

V= ; V= ; V=
4 8 2
11. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
a. Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
b. Tam giác BDC' là tam giác đều.
c. AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
HD:
3
3 3
a 6
V= ; V=a ; V=a 2
2
12. Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là ∆ vuông ABC tại B, giả sử
AB=a; AA’=2a; AC’=3a; Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và
A’C. Tính thể tích tứ diện IABC.(KD-2009).
3
4a
V=
9
12
KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN
1. Cho hình lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên là
a 3
hợp với đáy một góc bằng 60
0

. Tính thể tích lăng trụ.
3
3a 3
V=
4
2. Cho hình lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu của A’ xuống ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AA’
hợp với đáy một góc 60
0
. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật. Tính thể tích lăng trụ.
3
a 3
V=
4
3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với
AB= 3; AD= 7

Hai mặt bên ABB’A’ và ADD’A’ lần lượt tạo với đáy một góc bằng 45 và 60. Tính thể
tích khối hộp nếu biết cạnh bên có độ dài là 1.
A’H chính là đường cao
V=3
13
4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là ∆ vuông tại
A, AB=a ;
AC=a 3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC là trung
điểm của cạnh BC, tính theo a thể tích khối chóp A’ABCD và tính cos của góc
giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’(KA-2008)
3
a

V=
2
và
1
cosα=
4
Quan trọng khi ta vẽ hình một cách tương
đối tốt.
A’H vuông góc với cả hai mặt đáy.
Cần lưu ý rằng góc giữa hai đường thẳng
thì ta cần tìm trên đường thẳng đó một điểm rồi
vẽ song song với đường thẳng kia, góc nhọn
chính là góc giữa hai đường thẳng cần tìm
5. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’có các cạnh đáy là 13 ;14 ;15 và biết cạnh bên
bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc 45. Tính thể tích lăng trụ.
HD :
6. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết
cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABCD một góc 30.Tính thể tích lăng trụ.
HD :
7. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a ; AD =b ; AA’ = c và góc BAD=30
và biết cạnh bên AA’ hợp với đáy ABCD một góc 60.Tính thể tích lăng trụ.
HD :
8. Cho lăng trụ tam giác ABCD A’B’C’ có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a và
điểm A’ cách đều A,B,C biết AA’ =
2a 3
AA'=
3
.Tính thể tích lăng trụ.
HD :
9. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’ có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’

có hình chiếu trên (ABCD) nằm trên đường cao AH của tam giác ABCD biết mặt bên
BB’C’C hợp với đáy ABCD một góc 60
1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A’B’C’.
HD:
10. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b
CC’ = a hợp với đáy ABC 1 góc 60 và C’ có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA’B’B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA’B’B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
HD:
11. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân
đường vuông góc hạ từ A’ trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA’ = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ.
14
HD:
12. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có cạnh bên BB’=a; BB’ tạo với mặt
phẳng đáy ABC một góc bằng 60
0
, giả sử ABC là ∆ vuông tại C và góc BAC=60
0
, hình
chiếu của B’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của ∆ABC, tính thể tích tứ diện
A’ABC.(KB-2009)
3
9a
V=
208
13. Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác đều có tâm O, hình
chiếu của C’ trên (ABC) là O, tính V lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC’ là a và số

đo nhị diện cạnh CC’ là 2α .
3 3
ABC
2
27a tanα
V=S .C'O=
4 3tanα-1
15
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI CẠNH ĐÁY
1. Cho hình chóp SABC có SB=SC=BC=CA, hai mặt ABC và ASC cùng vuông
góc với SBC, tính thể tích hình chóp.

3
a 3
V=
12
2. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là ∆ vuông cân tại B với AC=a, biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60. Chứng minh các mặt bên là ∆
vuông, tính thể tích hình chóp.
3
a 6
V=
24
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là ∆ đều cạnh a, biết SA vuông góc với
đáy ABC và SBC hợp với đáy ABC một góc bằng 60
0
. Tính thể tích hình chóp.
3
a 3

V=
8
16
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy ABCD và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích hình chóp
S.ABCD ; Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD.
3
a 3
V=
3
a 3
AH=
2
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy.
Góc giữa SC và đáy bằng 60
0
và M là trung điểm của SB.
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
3
8a 6
V=
3
Tính thể tích của khối chóp MBCD.
3
2a 6
V=
3
6. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’. bán kính đáy bằng chiều

cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm
B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB. (KA-2006)
3
a 3
V=
12
Bài toán này học sinh cần chú ý cách xác định mặt phẳng đáy, đường cao. Nếu vẽ
hình tốt bài toán được giải quyết đơn giản hơn.
Cách 1. Chọn mặt phẳng đáy là AOO’ và đường cao BH
Cách 2. Hạ B vuông góc xuống đường tròn tâm O tại F rồi chứng minh thể tích
cần tìm cũng bằng thể tích AOBF, hai thể tích bằng nhau và tính ra kết quả.
17
F
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD=ABCD=90
0
,
AB=BC=a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối
chóp S.BCNM theo a. (CĐ-2008)
HD :
3
a
V=
3
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a
2
,
SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC)
vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. (KB-2006)

HD :
3
a 2
V=
36
Chứng minh SAC vuông góc SMB
9. Cho hình chóp ∆ S.ABC có đáy là ∆ đều cạnh a, SA=2a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), gọi M, N tương ứng là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
Tính thể tích khối chóp A.BMNC. (KD-2006)

3
3a 3
V=
50
18
10. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông trong đó
có góc ABC= góc BAD=90
0
; BA=BC=a ; AD=2a ; Giả sử SA vuông góc với đáy
ABCD và
SA=a 2
, Gọi H là hình chiếu của A trên SB ;
a. Chứng minh SCD là ∆ vuông ;
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ;
a
d=
3
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với
đáy (ABC) ; giả sử BC=a ; hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABD) sao cho thể
tích khối chóp là lớn nhất.

a 3 3
Vmax= ; sinα=
27 3
19
KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
Những điều chú ý khi làm bài tập dạng này là ta phải xác định giao tuyến của hai
mặt phẳng vuông góc với nhau, sau đó xác định góc giữa hai mặt phẳng đó, chính
những đường thẳng vuông góc với giao tuyến sẽ giúp ta giải quyết bài toán tốt hơn.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là
∆ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Chứng minh chân đường cao khối chóp
trùng với trung điểm AB. Tính thể tích khối chóp.
3
a 3
V=
6
2. Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là ∆ đều, BCD là ∆ vuông cân tại D, mặt
phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng BCD, AD hợp với BCD một góc bằng 60. Tính
thể tích tứ diện ABCD.
3
a 3
V=
48
3. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là ∆ vuông cân tại B, có BC=a, mặt bên
SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
45
0
. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm AC. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng trước rồi chứng minh
chân đường cao sau

3
a
V=
12
20
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên
SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60
0
.Tính thể tích khối chóp.
Dễ dàng nhận thấy H là tâm đường tròn nội tiếp
Áp dụng công thức tính r
S= p(p-a)(p-b)(p-c)
S=pr
3
V=8 3a
5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp SBMDN và tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM, DN? (KB-2008)
3
a 3
V=
3
Chú ý tam giác SAB vuông tại S
5
cosα=
5
Kẻ ME song song với DN, tính
các cạnh của tam giác SME, tính được

SE bài toán được giải quyết
Tính AE có thể bằng tính cosAEM=cosADN
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ
diện CMNP. (KA-2007)
3
a 3
V=
96
21
7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
HD:
3
a 3
V=
24
8. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC)
hợp với (ABC) một góc 45
0
. Tính thể tích của SABC.
HD:
3
a
V=
12

9. Cho hình chóp SABC có BAC=90
0
;ABC =30
0
; SBC là tam giác đều cạnh a
và (SAB) vuông góc (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC
HD:
2
a 2
V=
24
10. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường
cao SH =h và (SBC) vuông góc (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30
0
.
Tính thể tích hình chóp SABC.
HD:
3
4h 3
V=
9
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông cạnh A và D;
AB=AD=2a; CD=a; góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
, gọi I là trung
điểm của cạnh AD,biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Tính thể tích khối chóp (KA-2009)
3
3a 15
V=

5
22
KHỐI CHÓP ĐỀU
1. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. chứng minh
rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của ∆ đều, tính thể tích hình chóp đều.
3
a 11
V=
12
2. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh có độ dài là a, chứng minh
khối khóp là tứ giác đều và tính thể tích khối chóp.
3
a 2
V=
6
3. Cho khối tứ diện ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm của DC. Tính thể tích
khối tứ diện đều ABCD, tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC suy ra thể tích
hình chóp M.ABC.
3
ABCD
a 12
V =
12

a 6
MH=
6

3
MABC

a 2
V =
24
23
4. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC. (KB-2007)
Ở đây cần chú ý MP//NC
a 2
d=
4
Nếu học sinh vẽ hình khó nhìn yêu cầu học sinh vẽ hình
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng φ (0< φ < 90). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) với (ABCD)
theo φ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và φ . (KB-2004)
tan 2 tan
ϕ
=
3
2
V= a tan
6
ϕ
6. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên
bằng 2α , tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp
2
2
3
2

ABCD
2
4h cotα
Sxq= ;
cotα-1
1 1 4h
V= S .SH= (4HI )h=
3 3 3(cotα-1)
24
7. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau, chứng minh rằng
SABCD là 1 hình chóp đều, tính các cạnh của hình chóp nếu thể tích của nó bằng
3
9a 2
2
x=3a
8. Cho hình chóp tam giác đều SABC, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
bằng d, góc giữa AB và mặt phẳng SBC bằng α, tính thể tích và diện tích xung quanh
của hình chóp.
ABC
1
V= S .SH
3
2
d
SH=
3(3-4sinα)
2
ABC
2
d 3

S =
4sinα
xq ABC
S =3S
2
2 2
9V 3d
Sxq= =
d
4sinα 3-4sin α
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD có SO vuông góc với đáy
và O là giao điểm của AC và BD và giả sử
SO=2 2
; đường chéo AC=4 ; cạnh đáy
AB= 5
; gọi M là trung điểm của SC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và
BM.

2 6
d=
3
25