số phức và ứng dụng số phức trong đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.7 MB, 69 trang )
Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 1
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Số phức được biết đến như một số ảo nhưng trường số phức lại đóng vai trò
quan trọng trong đời sống thực tế của chúng ta.Với vai trò như một công cụ đắc
lực giúp giải quyết các bài toán đại số, hình học hay trong các bài toán về điện
xoay chiều, số phức tỏ ra rất hiệu quả khi đưa ra những lời giải ngắn gọn và đầy
đủ mà chỉ qua những phép biến đổi cơ bản. Chính vì vậy số phức đã được đưa vào
giảng dạy trong chương trình giải tích lớp 12. Hầu hết các đề thi tốt nghiệp, tuyển
sinh đại học, cao đẳng những năm gần đây thường chú ý khai thác triệt để các ứng
dụng của số phức bằng các dạng toán phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được
các đặc trưng và tính chất để đưa ra lời giải và ứng dụng phù hợp. Tuy nhiên do
tính mới mẻ và sự hạn chế của tài liệu mà đa số học sinh thường gặp khó khăn
trong việc nhận dạng bài tập và sử dụng linh hoạt các ứng dụng này.
Đề tài “ Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số” là một trong
những đề tài được nghiên cứu nhằm giúp cho các em học sinh có kiến thức một
cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số phương pháp giải điển hình
cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ
thông, sinh viên khoa Toán cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài “ Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số” được nghiên cứu
với mục đích trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ bản về
phương pháp sử dụng số phức để tiếp cận các bài toán giải phương trình, hệ
phương trình, các bài toán về đa thức và các dạng toán khác trong đại số.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Biên soạn hệ thống lý thuyết phù hợp với nội dung sách giáo khoa và theo
chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo.
Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 2
Phân dạng các ứng dụng một cách khoa học, chặt chẽ kết hợp với các bài tập
ví dụ dễ hiểu giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách vững chắc, phát triển năng
lực tư duy.
IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau:
+ Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập.
+ Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng.
+ Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn.
+ Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói về kiến
thức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài.
V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài bao gồm 4 chương:
Chương I: Số phức.
1.1 Sự hình thành khái niệm số phức.
1.2 Định nghĩa số phức.
1.3 Dạng đại số của số phức.
1.4 Dạng lượng giác của số phức.
1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức.
Chương II: Ứng dụng số phức để giải phương trình và hệ phương trình.
2.1 Phương trình bậc hai.
2.2 Phương trình bậc ba.
2.3 Phương trình bậc bốn.
2.4 Phương trình bậc cao.
2.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số.
Chương III: Ứng dụng số phức giải các bài toán đa thức.
3.1 Phương trình hàm trong đa thức.
3.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy.
3.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức.
Chương IV: Một số ứng dụng khác.
Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 3
4.1 Ứng dụng của công thức Moivre.
4.2 Ứng dụng của công thức Ơ-le.
4.3 Ứng dụng số phức giải các bài toán phân thức, tổ hợp, rời rạc.
4.4 Ứng dụng số phức để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 4
CHƢƠNG I: SỐ PHỨC
1.1 Sự hình thành khái niệm số phức
Việc mở rộng các tập hợp số để được một tâp hợp trong đó mọi phương
trình đại số đều có nghiệm đã dẫn đến sự hình thành của các trường số theo thứ tự
với các bao hàm thức
. Ta nhận thấy rằng trong
một lớp khá rộng các phương trình bậc cao đều có nghiệm. Tuy nhiên một
phương trình bậc hai đơn giản như
2
10x
lại không tồn tại nghiệm, hay có thể
chứng minh được phương trình
3
3 1 0xx
có đến 3 nghiệm nhưng không thể
tìm nghiệm bằng phương pháp Cađano do
0
. Chính vì thế số phức ra đời để
giải quyết các mâu thuẫn này.
Lịch sử số phức gắn liền với những cái tên như R.Bomberlli, Rene
Descarter, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy…
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích khi đưa số phức vào toán học là nhà toán
học Italy R.Bombelli. Trong cuốn “đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép
tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lý thuyết các số
“ảo”.
Năm 1746, nhà toán học Pháp D’Alembert đã xác định dạng tổng quát
“a+bi” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại nghiệm của phương
trình bậc n. Năm 1777, L.Euler đã đưa kí hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1 và kí
hiệu này đã được Gauss sử dụng lại vào năm 1801.
1.2 Định nghĩa số phức
Xét tập
2
, | , .a b a b
Hai phần tử
2
1 1 2 2
, , ,a b a b
được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu
12
aa
và
12
bb
.
Xây dựng các phép toán trong
như sau:
2
1 1 1 2 2 2
, ; , .z a b z a b
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 5
- Phép cộng:
1 2 1 2 1 2
,.z z a a b b
- Phép nhân:
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
,.z z aa bb ab a b
Định nghĩa 1.1 Tập
2
cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa
như trên gọi là tập số phức , phần tử
,ab
là một số phức.
Định lý 1.1
, ,.
là một trường.( nghĩa là trên với các phép toán đã định
nghĩa có các tính chất tương tự như trên với các phép toán cộng nhân thông
thường).
Chứng minh:Để chứng minh
, ,.
là một trường ta chứng minh các vấn đề
sau:
(i)- Phép cộng có tính giao hoán:
1 1 1 2 2 2
, ; , .z a b z a b
Ta có:
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
, , .z z a a b b a a b b z z
(ii)- Phép cộng có tính kết hợp:
1 1 1 2 2 2
, ; , .z a b z a b
1 2 3 1 2 1 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 2 3
1 2 3
,,
,
,,
.
z z z a a b b a b
a a a b b b
a b a a b b
z z z
(iii)- Tồn tại phần tử 0:
,z a b
, xét
0 0,0 .
0 0, 0 ( , ) .z a b a b z
(iv)- Tồn tại phần tử đối:
, , ,z a b z a b
là phần tử đối.
Thật vậy:
( ) , , ( ), ( )z z a b a b a a b b
0,0 .
(v)- Phép nhân có tính giao hoán:
1 1 1 2 2 2
, ; , .z a b z a b
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 6
Ta có:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
, , ,z z a b a b a a bb ab a b
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1
,.a a b b a b a b z z
(vi)- Phép nhân có tính kết hợp:
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, ; , , , .z a b z a b z a b
1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3
( ) , ,z z z a a bb ab a b a b
1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3
,
,.
a a bb a a b a b b a a bb b a b a b a
a a a bb a ab b a bb a a b bb b a b a a ba
1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2
,,z z z a b a a b b a b a b
=
1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 2 3 2 3 1
,a a a b b b a b a b a a b a b a a b b b
=
1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
,.a a a ab b a bb bb a a a b ab a a ba bb b
Điều này chứng tỏ:
1 2 3 1 2 3
( ) .z z z z z z
(vii)- Phép nhân phần tử đơn vị: Tồn tại phần tử đơn vị
1 1,0
Thật vậy:
1
,z a b
;
1. 1,0 , 1 0 ,1 0 ,z a b a b b a a b
, 1,0 .1 .a b z z
(viii)- Tồn tại phần tử nghịch đảo:
1
, , 0z a b z
, phần tử nghịch đảo
của z là
1
2 2 2 2
,.
ab
z
a b a b
Thật vậy:
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
. , , ,
a b a b b a
z z a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
22
2 2 2 2
, 1,0 .
a b ab ba
a b a b
(xi)- Phép nhân phân phối với phép cộng:
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, ; , ; ,z a b z a b z a b
. Ta có:
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 7
1 2 3 1 1 2 3 2 3
,,z z z a b a a b b
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3
1 2 1 3
,
,
,
,,
.
a a a b b b a b b b a a
a a a a bb bb a b a b b a b a
a a bb a a bb a b b a a b b a
a a bb a b b a a a bb a b ba
z z z z
Vậy ta đã chứng minh được
, ,.
.Thỏa mãn các tiên đề của trường. Do
đó
, ,.
là một trường số.
1.3 Dạng đại số của số phức
1.3.1 Quan hệ giữa và
Xét ánh xạ
: f
,0 .a f a a
Dễ dàng chứng minh được
f
là một đơn ánh và bảo toàn các phép toán:
. . .
f a b f a f b
f ab f a f b
Suy ra f đơn cấu cho phép ta có thể đồng nhất mỗi số phức
,0a
với số
thực
a
.
,0aa
và
trở thành một bộ phận của
.
1.3.2 Đơn vị ảo
Đ ặt
0,1i
tacó:
2
0,1 0,1 0.0 1.1,0.1 1.0 1,0 .i
Theo trên ta đã đồng nhất số phức (-1,0) với số thực -1. Vậy
2
1.i
Hay số phức i là nghiệm của phương trình
2
10x
. Ta gọi i là đơn vị ảo.
Mệnh đề 1.1
Mỗi số phức tùy ý
,z a b
có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
z a bi
.
Với a,b là những số thực tùy ý và trong đó
2
1i
. Biểu thức
a bi
là dạng đại số
của số phức
,z a b
.
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 8
Do đó:
2
/ , , 1 .a bi a b i
1.3.3 Các khái niệm liên quan
Reaz
gọi là phần thực của số phức z.
Imbz
gọi là phần ảo của số phức z.
i
gọi là đơn vị ảo.
Nếu số phức có phần thực a=0 gọi là thuần ảo.
Số phức có phần ảo b=0 gọi là số thực.
Hai số phức
và
gọi là bằng nhau nếu
12
12
Re Re
Im Im .
zz
zz
Số phức
Im 0.zz
Số phức
\z
nếu
Im 0.z
1.3.4 Các phép toán trên dạng đại số
Tương tự, ta cũng định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau:
2
| , , 1 .a bi a b i
(i) Phép cộng: Tổng của hai số phức
1 1 1
z a ib
và
2 2 2
z a ib
, là một số
phức z được xác định:
1 2 1 2
( ).z a a i b b
Ký hiệu
12
.z z z
(ii) Phép nhân: tích của 2 số
1 1 1
z a ib
và
2 2 2
z a ib
là một số phức z được
xác định bởi:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ).z a a bb i ab ba
Ký hiệu
12
z z z
. Định nghĩa này trùng với định nghĩa các phép toán trên
ở phần trước.
Ví dụ:
Cho
12
5 6 , 1 2z i z i
. Tính
1 2 1 2
,.z z z z
Giải:
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 9
Ta có:
12
5 6 1 2 .z z i i
5 12 10 6 7 16 .ii
12
5 6 1 2 4 4 .z z i i i
1.3.5 Số phức liên hợp và môđun của số phức
Định nghĩa 1.2 Cho số phức
z a ib
, số phức có dạng
a ib
được gọi là số
phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là
z
, nghĩa là
z a ib
và
.z a ib a ib
Mệnh đề 1.2
1.
.z z z
2.
.zz
3.
.zz
là số thực không âm.
4.
1 2 1 2
.z z z z
5.
1 2 1 2
z z z z
6.
1 1 *
( ) , .z z z
7.
*
11
2
2
2
,.
zz
z
z
z
Chứng minh:
1. Ta có:
2 0 0 .z z a bi a bi bi b z a
2 Ta có:
.z a bi z a bi z
3. Ta có:
22
.
.0
. 0.
zz
z z a bi a bi a b
zz
4. Ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )z z a a b b i a a b b i
1 1 2 2 1 2
( ) ( ) .a bi a b i z z
5. Ta có:
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 10
1
1 2 1 2 1 2 2 2 1
1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 2 2 1 2
.
z z a a bb i a b a b
a a bb i a b a b
a bi a b i z z
6. Ta có:
1
1
1 1 1
1 1 1 .z z z z z
z z z
7. Ta có:
11
1 1 1
2 2 2
22
1 1 1
.
zz
z z z
z z z
zz
Định nghĩa 1.3 Cho số phức
z a bi
khi đó
22
ab
gọi là modulus (trị tuyệt
đối) của số phức z ký hiệu
22
| | .z a b
Mệnh đề 1.3
1.
| | Re( ) | |, | | Im( ) | |.z z z z z z
2.
| | 0,| | 0 0.z z z
3.
| | | | | |.z z z
4.
2
z z z
5.
1 2 1 2
| | | || |.z z z z
6.
1 2 1 2 1 2
| | | | | | | | | |.z z z z z z
7.
1 1 *
| | | | , .z z z
8.
*
11
2
22
||
| | , .
||
zz
z
zz
9.
1 2 1 2 1 2
| | | | | | | |.z z z z z z
10.
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
| | | | 2(| | | | ).z z z z z z
Chứng minh: Các mệnh đề (1-4) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
(5) Ta có
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
| | ( )( ) ( )( ) | | | | .z z z z z z z z z z z z
(6) Ta có
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
| | ( )( ) ( )( )z z z z z z z z z z
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 11
22
1 1 2 1 2 2
| | | | .z z z z z z
Ngoài ra,
1 2 1 2 1 2
.z z z z z z
Nên suy ra
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2Re( z ) | | 2| || |.z z z z z z z z z
Do đó
22
1 2 1 2
| | (| | | |) .z z z z
Hay
1 2 1 2
| | | | | |.z z z z
Mặt khác,
1 1 2 2 1 2 2
| | | | | | | |.z z z z z z z
Suy ra
1 2 1 2
| | | | | |.z z z z
(7) ta có:
1 1 1 1
1 | || | 1 | |
||
zz
z z z z
nên
1 1 *
| | | | , .z z z
(8) Ta có:
11
11
1 1 2 1 2
2 2 2
1 | |
| | | | | | | || | .
||
zz
z z z z z
z z z
(9) Tương tự trong phần (6) ta cũng có:
1 1 2 2 1 2 2
| | | | | | | |.z z z z z z z
Nên suy ra
1 2 1 2
| | | | | |.z z z z
Ngoài ra:
1 2 1 2 1 2 1 2
| | | ( )| | | | | | | | |.z z z z z z z z
(10) Ta có:
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
| | | | ( )( ) ( )( )z z z z z z z z z z z z
2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
| | | | | | | |z z z z z z z z z z z z
22
12
2(| | | | ).zz
1.4 Dạng lƣợng giác của số phức
1.4.1 Tọa độ cực của số phức
Trong mặt phẳng Oxy cho
,ab
khác gốc tọa độ. Số thực
22
r a b
gọi
là bán kính cực của điểm M, số đo
0,2
của góc lượng giác
Ox,OM
gọi
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 12
là argument của M, cặp có thứ tự
,r
gọi là tọa độ cực của điểm M, viết M
,r
.
Trong đó: r được gọi là bán kính cực,
được gọi là góc cực của số phức z.
Điểm gốc O là điểm duy nhất có
0r
và
không xác định.
Mỗi điểm M trong mặt phẳng có duy nhất điểm
1,
là giao điểm của tia
OM với đường tròn đơn vị tâm O.
Theo định nghĩa sin và cosin:
cosar
;
sinbr
.
Độ dài
r
của
OM
được gọi là môđun của z, kí hiệu là:
22
| | 0.r z a b
Do đó argument của số phức z được xác định với sai khác một bội của
2
.
Re Im
0, os ;sin .
zz
zc
ZZ
Xét argument cực của M với các trường hợp sau:
a) Nếu
0a
từ
tan
b
a
, được
arctan
b
k
a
, ở đây:
0 0 0.
1 0, .
2 0, 0.
khi a b
k khi a b
khi a b
M(x,y)
P(1,t°)
0
t°
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 13
b) Nếu
0a
và
0b
ta có:
0
2
3
0.
2
khi b
khi b
Ví dụ:
Tìm các tọa độ cực của
1 2 3
2, 2 , 3,1 , 2,2 .M M M
Giải:
i)
2
2
11
7
2 2 2 2; arctan 1 2 2
44
r
.
Vậy tọa độ cực của
1
M
là:
1
7
2 2, .
4
M
ii)
2
2
22
1
3 1 2; arctan .
6
3
r
Tọa độ cực của
2
M
là:
2
2, .
6
M
iii)
2
2
33
3
2 2 2 2; arctan 1 .
44
r
Tọa độ cực của
3
M
là
3
3
2 2, .
4
M
1.4.2 Biểu diễn lƣợng giác của số phức
Cho số phức
z a bi
. Ta có thể viết z dưới dạng cực:
os isin .z r c
Trong đó
22
.r a b
cos .
sin .
ar
br
Đặt
2,kk
khi đó
os 2 isin 2z r c k k
os isin .rc
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 14
Tức là, với số phức z bất kì có thể viết
cos isin , 0,z r r
.
Khi đó ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác.
Tập
arg , 2 ,z k k
gọi là argument mở rộng của z.
Do đó hai số phức
12
,0zz
biểu diễn dạng lượng giác
1 1 1 1
cos isinzr
,
2 2 2 2
cos isinzr
bằng nhau
12
12
;.
2
rr
k
k
Ví dụ:
Biểu diễn các số phức z sau dưới dạng lượng giác và xác định tập Argz
a)
1
1.zi
b)
2
1 3.zi
Giải:
a)
1
1, 1P
nằm ở góc phần tư thứ ba.
22
11
5
1 1 2; arctan1 .
44
r
Vậy
1
55
2 os isin .
44
zc
1
5
Ar 2 , .
4
gz k k
b)
2
1, 3P
nằm ở góc phần tư thứ hai.
2
2
22
3
1 3 2; arctan 3 .
44
r
Vậy
2
22
2 os isin .
33
zc
2
2
Ar 2 , .
3
gz k k
1.4.3 Phép toán trong dạng lƣợng giác của số phức
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 15
1.4.3.1 Phép nhân hai số phức
Cho hai số phức
1 1 1 1
cos isinzr
,
2 2 2 2
cos isin .zr
Khi đó:
1 2 1 2 1 2 1 2
os isin .z z rr c
Chứng minh:
Ta có:
1 2 1 2 1 1 2 2
cos isin cos isinz z rr
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
cos cos sin sin cos sin cos sinrr i
1 2 1 2 1 2
os isin .rr c
Chú ý:
a)
1 2 1 2
| | | || |.z z z z
b)
1 2 1 2
arg arg arg 2z z z z k
Trong đó:
12
12
0,arg arg 2
1,arg arg 2 .
zz
k
zz
c) Có thể viết
1 2 1 2
arg arg arg 2 , .z z z z k k
d) Mở rộng với
2n
số phức. Nếu
cos isin , 1,2, ,
k k k k
z r k n
1 2 1 2 1 2 1 2
os isin .
n n n n
z z z rr r c
Công thức trên có thể viết:
11
11
os isin .
nn
nn
k k k k
kk
kk
z r c
Ví dụ: Cho
12
1 ; 3z i z i
. Tính
12
zz
.
Giải:
12
77
2 os isin ; 2 os isin .
4 4 6 6
z c z c
Ta có:
12
77
2 2 os isin
4 6 4 6
z z c
23 23
2 2 os isin .
12 12
c
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 16
1.4.3.2 Công thức De Moivre
Cho
cos isinzr
và
n
, ta có:
cos isin .
nn
z r n n
Chứng minh:
Dùng công thức nhân với
12
.
n
z z z z
. os isin
n
n n n
z r r r c
cos isin .
n
r n n
Chú ý:
a)
| | | | .
nn
zz
b) Nếu
1r
, thì
cos isin cos isin .
n
nn
c)
arg arg 2 , .
n
z n z k k
Ví dụ: Tính
1000
1.i
Giải:
Ta có:
1 2 os isin .
44
ic
1000
1000
1000
1 2 os isin
44
ic
500
2 os1000 isin1000
44
c
500
2.
1.4.3.3 Phép chia hai số phức
Giả sử
1 1 1 1 2 2 2 2 2
os isin ; os isin , 0.z r c z r c z
Khi đó:
11
1 2 1 2
22
os isin .
zr
c
zr
Chứng minh:
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 17
Ta có:
1 1 1
1
2 2 2 2
os isin
os isin
rc
z
z r c
1 1 1 2 2
22
2 2 2
os isin os - isin
os sin
r c c
rc
1
1 2 1 2 1 2 2 1
2
1
1 2 1 2
2
os os sin sin os sin os sin
os isin .
r
c c i c c
r
r
c
r
Chú ý:
a)
11
22
||
| | .
||
zz
zz
b)
1
12
2
arg arg arg 2 , .
z
z z k k
z
c) Với
12
11
1, , os isin .z z z c
zr
Ví dụ: Tính:
5
10
10
13
.
13
ii
z
i
Giải:
Ta có:
10 5
10
5
10
10
77
2 os isin 2 os isin
4 4 6 6
44
2 os isin
33
cc
z
c
10
10
35 35 5 5
2 os isin os isin
2 2 6 6
40 40
2 os isin
33
cc
c
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 18
55 55
os isin
33
cos5 sin5 1.
40 40
os isin
33
c
i
c
1.4.3.4 Công thức Euler:
os isin ; os sin , .
ii
e c e c i
Hệ quả 1.1:
1
os
2
1
sin
2
ii
ii
c e e
ee
i
.
Mệnh đề 1.4:
12
,,
ta có:
1)
12
12
.
i
ii
e e e
2)
2
.
i
i
ee
3)
.
ii
ee
4)
| | 1.
i
e
Chứng minh:
Đối với mệnh đề (1),(2),(4) suy trực tiếp từ định nghĩa và tính chất của lũy
thừa.
Xét (3) ta có:
os isin
i
ec
os isin
os isin
.
i
c
c
e
1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức
1.5.1 Căn bậc n của số phức
Định nghĩa 1.4
Cho số phức
0
và số nguyên
2n
khi đó nghiệm z của phương trình
0
n
z
là căn bậc n của số phức z.
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 19
Mệnh đề 1.5
Cho số phức
cos isinr
với
0, 0,2r
khi đó căn bậc n
của số phức
gồm n số phân biệt xác định bởi phương trình:
22
os isin .
n
k
kk
Z r c
n n n n
Với k=0, 1, 2, , n-1.
Chứng minh:
Xét dạng lượng giác của số phức
os isinz p c
.
Khi đó
cos isin
nn
z p n n
.
Ta có:
n
z
suy ra
cos isinn os isin
n
p n r c
.
2
2
.
n
n
pr
pr
k
k
n
Vậy nghiệm của phương trình
0
n
z
có dạng:
os isin
n
k k k
z r c
;
.kz
Do cos và sin là hai tuần hoàn với chu kì
2
nên tập hợp trên chỉ có n giá
trị.
Chẳng hạn cho k lần lượt nhận các giá trị k=0, 1, ,n-1 ta sẽ được n giá trị
căn bậc n của Z.
Ta viết
22
os isin / 0, 1
nn
kk
Z r c k n
nn
.
Mệnh đề 1.6 Biểu diễn hình học của các căn bậc n của
0
,
3n
là đỉnh
của một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
, | |.
n
rr
Chứng minh:
Gọi
0 0 1 1 1 1
, , ,
nn
M z M z M z
là các điểm biểu diễn của các số phức
1 2 1
, , ,
n
z z z
trên mặt phẳng phức.
Ta có:
| | , 0,1, , 1 0, .
nn
k k k
OM z r k n M C r
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 20
Mặt khác, số đo cung
1kk
MM
bằng
1
2 1 2
2
argz arg , 0,1, , 2 .
kk
kk
z k n
nn
10n
MM
bằng
22
2 1 .n
nn
Bởi vì các cung
0 1 1 2 1 0
, , ,
n
M M M M M M
có số đo bằng nhau nên đa giác
0 1 1
n
M M M
đều.
Ví dụ: Tìm các căn bậc ba của
1zi
và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức.
Giải:
Dạng lượng giác của z là:
2 os isin .
44
zc
Các căn bậc ba của z:
3
3
0
3
1
3
2
2 os isin , 0,1,2.
12 12 12 12
2 os isin .
12 12
33
2 os isin .
44
17 17
2 os isin
12 12
k
z c k k k
zc
zc
zc
Dùng tọa độ cực, các điểm biểu diễn
0 1 2
,,z z z
lần lượt là:
3 3 3
0 1 2
3 17
2, ; 2, ; 2, .
12 4 12
M M M
Biểu diễn hình học của các điểm này trên mặt phẳng phức là một tam giác
đều:
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 21
1.5.2 Căn bậc n của đơn vị
Một nghiệm phương trình
10
n
z
gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác,
1 os0 isin0c
từ công thức tìm căn bậc
n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là:
22
os isin , 0,1,2, , 1
k
kk
z c k n
nn
0
os0 isin0 1.zc
1
22
os isinzc
nn
đặt
22
os isin .zc
nn
2
2
44
os isin .z c z
nn
…
1
1
2 1 2 1
os isin .
n
n
nn
z c z
nn
Vậy các căn bậc n của đơn vị là:
21
1, , , , .
n
z z z
Kí hiệu:
21
1, , , ,
n
n
U z z z
.Trong đó
22
os isin .zc
nn
Số
kn
zU
gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, nếu mọi số nguyên
dương
mn
ta có
1
m
k
z
.
y
x
O
M
0
M
1
M
2
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 22
Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị
3n
là các điểm tạo thành
một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1.
Ví dụ:
i) Với n=2, hai căn bậc hai của 1(nghiệm phương trình
2
10z
) là -1,
1.
ii) Với n=3, các căn bậc ba của 1 (nghiệm của phương trình
3
10z
) có
dạng:
22
os isin , 0,1,2
k
kk
z c k
nn
Vậy các căn bậc ba của 1 là:
0
os0 isin0 1.zc
1
2
2 2 1 3
os isin .
3 3 2 2
4 4 1 3
os isin .
3 3 2 2
z c i
z c i
Biểu diễn lên mặt phẳng phức được tam giác đều nội tiếp đường tròn
0,1C
iii) Với n=4, các căn bậc bốn của 1 có dạng:
22
os isin , 0,1,2,3 .
k
kk
z c k
nn
Vậy các căn bậc 4 của 1 là:
0
os0 isin0 1.zc
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 23
1
os isin .
22
z c i
2
os isin 1.zc
3
33
os isin .
22
z c i
Hay
4
1, , 1, .U i i
Biểu diễn hình học của chúng là hình vuông nội tiếp đường tròn
0,1 .C
Định lý 1.1:
a) Nếu
|nq
thì nghiệm bất kỳ của
10
n
z
cũng là nghiệm
10
q
z
.
b) Các nghiệm chung của phương trình
1 0, 1 0
nm
zz
là các nghiệm của
10
d
z
, trong đó
,.d UCLN m n
c) Các nghiệm nguyên thủy của
10
m
z
là
22
os isin ,0 , , 1.
k
kk
z c k m UCLN k m
mm
Chứng minh:
a) Nếu
q pn
thì
1
1 1 1 1
p
q n n q n
z z z z z
. Do đó điều
phải chứng minh là hệ quả trực tiếp suy từ hệ thức trên.
y
x
1
-1
i
-i
O
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 24
b) Xét
22
os isin
p
pp
c
mm
là một nghiệm của
10
m
z
và
'
22
os isin
q
c
nn
là một nghiệm của
1 0.
n
z
Vì
'
| | | | 1
pq
, ta có
'
22
2 , .
pq
pq
rr
mn
Cho ta
.
pq
r pn qm rmn
mn
Mặt khác,
' , ' , ( ', ') 1.m m d n n d UCLN m n
' ' ' ' .pn qm rmn n p m q rm n d
'| ' '| ' ', 'm n p m p p p m p Z
và
2 2 ' ' 2 '
arg
'
p
p p m p
m m d d
và
1.
d
p
Ngược lại,
| , |d m d n
, bất kỳ nghiệm của
10
d
z
là nghiệm của
10
m
z
và
10
n
z
(tính chất a).
a) Trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho
1
p
k
. Từ hệ thức
1
p
k
suy ra
2
2 ' , '
kp
kk
m
. Tức là
'
kp
k
m
. Xét d=UCLN(k,m) và
k=k’d, m=m’d, ở đây UCLN(k’,m’)=1. Ta có
''
''
k pd k p
m d m
. Bởi vì k’ và m’
nguyên tố cùng nhau, ta có m’|p. Do đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn
1
p
k
là p=m’. Kết hợp với hệ thức m=m’d suy ra
, ( , )
m
p d UCLN k m
d
.
Nếu
k
là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức
1
p
k
,
( , )
m
p
UCLN k m
suy ra p=m, tức là UCLN(k,m) = 1.
Lƣu ý
Từ b) ta thu được phương trình
10
m
z
và phương trình
10
n
z
có
nghiệm chung duy nhất là 1 nếu và chỉ nếu UCLN(m,n) = 1.
Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh
SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 25
Định lý 1.2: Nếu
n
U
là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các
nghiệm của phương trình
10
n
z
là:
11
, , ,
r r r n
, r là một số nguyên dương cho trước.
Chứng minh: Cho r là một số nguyên dương và
0,1, , 1hn
. Khi đó
( ) ( ) 1
r h n n r h
, tức là
rh
là một nghiệm của
10
n
z
.
Chỉ cần chứng minh
11
, , ,
r r r n
phân biệt. Giả sử không phân
biệt, tức tồn tại
1 2 1 2
,r h r h h h
mà . Khi đó
2 1 2
( 1) 0
r h h h
. Nhưng
2 1 2
01
r h h h
. Đối chiếu với
12
0 h h n
và
là một căn nguyên
thủy bậc n của đơn vị, ta có mâu thuẫn.
