Phuong trinh khong thuan nhat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (417.2 KB, 41 trang )
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ
TS. Lê Xn Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
1 / 29
NỘI DUNG
1
PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KHƠNG THUẦN NHẤT
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
2 / 29
NỘI DUNG
1
PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KHƠNG THUẦN NHẤT
2
TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH CĨ NGUỒN NHIỆT
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
2 / 29
NỘI DUNG
1
PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KHƠNG THUẦN NHẤT
2
TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH CĨ NGUỒN NHIỆT
3
PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG HÌNH TRỊN
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
2 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Phương trình sóng khơng thuần nhất có
dạng
utt = a2 uxx + h(x, t),
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
0 < x < L, t > 0
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
(1)
3 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Phương trình sóng khơng thuần nhất có
dạng
utt = a2 uxx + h(x, t),
0 < x < L, t > 0
(1)
với điều kiện biên
u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 É x É L,
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
3 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Phương trình sóng khơng thuần nhất có
dạng
utt = a2 uxx + h(x, t),
0 < x < L, t > 0
(1)
với điều kiện biên
u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 É x É L,
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0.
Đây là loại phương trình khơng thuần nhất
và có 1 ngoại lực tác dụng vào sợi dây.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
3 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Với điều kiện biên như trên, nghiệm của
phương trình khơng thuần nhất có dạng
u = u(x, t) =
∞
X
An (t) sin
n=1
nπx
,
L
trong đó An(t) thỏa mãn điều kiện đầu
An (0) = 0, A0n (0) = 0. Thay nghiệm này vào
phương trình khơng thuần nhất ta được
∞
X
[A00n (t) + ω2n An (t)]Fn (x) = h(x, t)
n=1
với ωn =
nπa
, Fn (x) = sin nπx
L
L
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
4 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Nhân cả 2 vế của phương trình thu được
cho Fm(x) rồi lấy tích phân 2 vế từ 0 đến L ta
được
∞
X
[A00n (t) + ω2n An (t)] < Fn (x), Fm (x) >
n=1
Z
L
h(x, t)Fm (x)dx
=
0
Khi cho n = m ta được
[A00m (t) + ω2m Am (t)]||Fm (x)||2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
L
Z
h(x, t)Fm (x)dx
=
0
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
5 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Như vậy, ta được
A00m (t) + ω2m Am (t) = Hm (t),
trong đó
1
Hm (t) =
||Fm ||2
2
=
L
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ZL
h(x, t)Fm (x)dx =
0
ZL
h(x, t) sin
0
mπx
dx
L
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
6 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Giải phương trình
A00m (t) + ω2m Am (t) = Hm (t)
bằng phương pháp biến thiên hằng số.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
7 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Giải phương trình
A00m (t) + ω2m Am (t) = Hm (t)
bằng phương pháp biến thiên hằng số. Đầu
tiên giải phương trình thuần nhất
A00m (t) + ω2m Am (t) = 0 ta thu được nghiệm
Am (t) = C1 cos ωm t + C2 sin ωm t.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
7 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Giải phương trình
A00m (t) + ω2m Am (t) = Hm (t)
bằng phương pháp biến thiên hằng số. Đầu
tiên giải phương trình thuần nhất
A00m (t) + ω2m Am (t) = 0 ta thu được nghiệm
Am (t) = C1 cos ωm t + C2 sin ωm t.
Để giải phương trình khơng thuần nhất, giả
sử nghiệm có dạng
Am (t) = α(t) cos ωm t + β(t) sin ωm t,
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
7 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
trong
đó α(t), β(t) thỏa mãn phương trình
½
α0 (t) cos ωm t + β0 (t) sin ωm t = 0
α0 (t)(−ωm sin ωm t) + β0 (t)(ωm cos ωm t) = Hm (t).
Từ đó suy ra
α0 (t) = −
1
1
Hm (t) sin ωm t, β0 (t) =
Hm (t) cos ωm t,
ωm
ωm
Lấy tích phân theo t ta được
Z
α(t) = −
0
β(t) =
Z
0
t
t
1
Hm (ξ) sin ωm ξdξ,
ωm
1
Hm (ξ) cos ωm ξdξ,
ωm
với ξ là biến lấy tích phân.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
8 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Như vậy
1
Am (t) =
ωm
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
t
Z
Hm (ξ) sin ωm (t − ξ)dξ.
0
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
9 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Phương trình
Như vậy
1
Am (t) =
ωm
t
Z
Hm (ξ) sin ωm (t − ξ)dξ.
0
Nghiệm của phương trình đã cho là
u(x, t) =
∞
X
·
n=0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
1
ωn
t
Z
¸
Hn (ξ) sin ωn (t − ξ)dξ sin
0
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
nπx
·
L
TP. HCM — 2016.
9 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Ví dụ
EXAMPLE 1.1
Giải bài tốn
utt = a2 uxx + Axe−t , 0 < x < L
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u (x, 0) = 0.
t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
10 / 29
Phương trình sóng khơng thuần nhất
Ví dụ
GHW #8
BÀI TẬP 1.1
Giải bài toán
utt = a2 uxx + Ae−t sin
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u (x, 0) = 0.
t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
πx
,0 < x < L
L
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
11 / 29
Truyền nhiệt trong thanh có nguồn nhiệt
Phương trình
BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH CÓ NGUỒN
NHIỆT
2
∂u
2∂ u
L(u) =
−a
= q(x, t), 0 < x < L;
∂t
∂x2
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = f (x)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
(2)
12 / 29
Truyền nhiệt trong thanh có nguồn nhiệt
Nghiệm phương trình
Giả sử nghiệm tìm được dưới dạng
∞
nπx X
=
Bn (t)Xn (x).
u = u(x, t) =
Bn (t) sin
L
n=1
n=1
∞
X
(3)
Thay nghiệm (3) vào (2) ta được
∞
∞
∂u X
nπx ∂u X
nπx
dBn
nπ
=
sin
;
=
Bn (t)
cos
∂t n=1 dt
L ∂x n=1
L
L
³ nπ ´2
∞
X
∂2 u
nπx
=
−
B
(t)
sin
n
∂x2
L
L
n=1
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)
PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUẦN NHẤT
TP. HCM — 2016.
13 / 29
