Thiết kế bộ quan sát cho hệ xe con lắc ngược và hệ xe đạp hai bánh tự cân bằng dựa vào lý thuyết Lyapunov

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ
MINH
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ
BỘ MƠN TỰ ĐỘNG ĐIỀU KHIỂN
----------------- ∆ -----------------

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ
ĐỘNG NÂNG CAO
BÀI TẬP QUÁ TRÌNH LẦN 1
GVHD:thầy Vũ Văn Phong


I. Question 1:

1. Tuyến tính hố tại điểm cân bằng thẳng đứng để thu được hệ thống tuyến
tính
- Khi con lắc tại điểm cân bằng thẳng đứng thì θ ≈ 0 nên sin θ = 0; cos θ
=1; θ˙ ≈ 0.
- Ta được hệ phương trình tuyến tính hóa hệ thống như sau:

1


Hình 1.1 Mơ hình tốn hệ con lắc ngược tuyến tính hóa

Hình 1.2 Mơ hình tốn hệ con lắc ngược
2. Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái dựa vào lý thuyết Lyapunov .
- Từ phương trình trạng thái phi tuyến lần lượt đặt

2

- Tiến hành đạo hàm riêng y1, y2 , y3 ,y4 theo x1, x2, x3, x4 ta được :

A=
=
- Tiến hành đạo hàm riêng y1, y2 , y3 ,y4 theo u ta được :

B=

=

- Phương trình vi phân có dạng :
- Ta có phương trình bộ điều khiển:
- Thế (1.2) vào (1.1) ta được:
- Chọn hàm Lyapunov:
- Đạo hàm hai vế (1.5) ta được:
- Thay (1.4) vào (1.6) ta có :

(1.1)

(1.2)
(1.4)
(1.5)
(1.6)

(1.7)
- Hệ thống kín ổn định tồn cục
- Điều kiện (1.7) tương đượng với:
- Đặt

, nhân W với (1.8) ta có:

(1.8)
(1.9)
3


- Vì
- Đặt

nên

(1.10)
(1.11)

- Tiến hành giải LMI ta sẽ thu được W>0, H và
- Mô phỏng trên matlab:
clc; clear all;
%% Ma trận đầ
u vào
% Solve LMI A'*P+PA<0
A=[-0 1 0 0;10.791 0 0 0;0 0 0 1;-0.981 0 0 0];
B=[0;-1;0;1];
setlmis([]); % tao LMI
%% Khai bao bien
W=lmivar(1,[4 1]);
H=lmivar(2,[1 4]); %%khai bao H=K*W
%% LMI1 W>0
lmiterm([-1 1 1 W],1,1);
lmiterm([1 1 1 0],0);

%% LMI 2 W*A'+A*W-H'B'-H*B<0
lmiterm([2 1 1 W],1,A');
lmiterm([2 1 1 W],A,1);
lmiterm([2 1 1 -H],-1,B');
lmiterm([2 1 1 H],-B,1);
dfog2lmid=getlmis;
[tmin,Xfeas]=feasp(dfog2lmid);
W=dec2mat(dfog2lmid,Xfeas,W);
H=dec2mat(dfog2lmid,Xfeas,H);
K=H*inv(W)
P=inv(W)
P = eig(P) % kiể
m tra ma trận W đố
i xứng dương
3. Mô phỏng trên simulink:

4


Hình 1.3 Mơ hình điều khiển hệ con lắc ngược
- Kết quả mơ phỏng:

Hình 1.4 Góc lệch theta

5


Hình 1.5 Vận tốc góc theta

Hình 1.6 Vị trí xe con lắc ngược

6


Hình 1.7 Vận tốc xe con lắc ngược
-

Nhận xét: bộ điều khiển phản hồi trạng thái dựa vào lý thuyết Lyapunov
cho kết quả đáp ứng ngõ ra hệ thống khá ổn định . Thời gian xác lập
ngắn dưới 10 giây , độ vọt lố thấp và sai số xác lập không đáng kể. Xe
ổn định, dừng hẳn và đưa vận tốc về 0 .

Question 4: (2.5 points)

Consider the self-balancing bicycle in Fig. 4

The nonlinear state space equation as follows
where

Fig. 5

x˙ =f ( x ) + g(x )u

7


Tuyến hoá hệ thống trên quanh điểm làm việc (0,0,0,0) để thu được hệ thống
tuyến tính dưới dạng phương trình khơng gian trạng thái.

a) Tuyến tính hố tại điểm cân bằng thẳng đứng để thu được hệ thống tuyến

tính

8


(2.1)

Đặt

(2.2)

Với
- Tìm ma trận A, B, C

(2.2)

9


(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

10

(2.7)

det(T) = -0.1467 0
rank(T)=4
=>Hệ thống có thể quan sát

b) Thiết kế bộ quan sát dựa vào lý thuyết Lyapunov.

- Phương trình vi phân có dạng :

(2.8)

- Phương trình trạng thái của hệ:

(2.9)

Với
- Sai số:
- Khi
- Đạo hàm phương trình (2.11)

(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)

- Chọn hàm Lyapunov:
- Đạo hàm hai vế (2.13) ta được:
- Thay (2.13) vào (2.15) ta có :

(2.14)
(2.15)

(2.16)
- Hệ thống kín ổn định toàn cục
- Điều kiện (2.16) tương đượng với:
- Đặt
, nhân W với (2.17) ta có:
- Vì

nên

(2.17)
(2.18)
(2.19)
11


- Đặt
- Giá trị bộ quan sát

(2.20)
(2.21)

c) Mô phỏng và nhận xét kết quả

12


Hình 2.1 Mơ mình mơ phỏng bộ quan sát cho hệ thống

- Kết quả:

Hình 2.1 Đáp ứng ngõ ra θ của hệ thống và bộ quan sát

1


Hình 2.1 Đáp ứng ngõ ra x của hệ thống và bộ quan sát
- Nhận xét:
+ Thiết kế được bộ quan sát cho hệ thống xe hai bánh tự cân bằng, tín
hiệu quan sát bám với đáp ứng ngõ ra hệ thống tuy nhiên chưa điều
khiển được theo tín hiệu đặt.
+ Hệ thống cịn sai số do hệ phương trình khơng gian hệ thống chưa
chính xác.

2