Ss lecture 04 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Ch-2: Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian

Lecture-4
2.4. Hệ thống LTI nhân quả mơ tả bởi phương trình vi phân
3. Có khả năng xác định đáp ứng xung, đáp ứng của hệ thống LTIC
dùng tích chập và xét tính ổn định của nó.

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4. Hệ thống LTI nhân quả mơ tả bởi phương trình vi phân
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

1


2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
 Trên thực tế tồn tại rất nhiều hệ thống mơ tả bởi PTVP hệ số hằng
 Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ của vận tốc và lực kéo

tác dụng lên xe

dv(t)
+Kv(t)=f(t)
f(t)
dt
dv(t)
+300v(t)=f(t)

Giả sử: m=1000kg; K=300N/(m/s)  1000
dt
 Tổng qt phương trình VP mơ tả cho hệ thống có dạng:
m

m

Kv(t)

dn y(t)
dn-1y(t)
dy(t)
dmf(t)
dm-1f(t)
df(t)
+a
+...+a
+a
y(t)=b
+b
+...+b1
+b0f(t)
n-1
1
0
m
m-1
n
n-1
m

m-1
dt
dt
dt
dt
dt
dt
n

a k
k=0

dk y(t) m dkf(t)
  bk k
dt k
dt
k=0

Q(D)y(t)  P(D)f(t)

n

m

[ a k Dk ]y(t)  [ bk Dk ]f(t) a n =1; n  m
k=0

k=0

Q(D)

P(D)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mơ tả bởi phương trình vi phân
 Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp

tích phân kinh điển: tổng của 2 đáp ứng tự do & cưỡng bức
 Đáp ứng tự do: đáp ứng bởi các tác nhân nội tại bên trong hệ thống,

thường là do năng lượng tích trữ & tín hiệu vào
 Đáp ứng cưỡng bức (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào của
hệ thống
dv(t)
dv(t)
 Ví dụ: 1000
+300v(t)=f(t) 
+0.3v(t)=103f(t)
dt
dt
2 t
Với: f(t)=5000e u(t)
 Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng bức vcb(t)=Ke-2t khi t>0

-2Ke 2t  0.3Ke 2t  5e 2t  K=  2.94  v cb (t)=  2.94e2t

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
 Bước 2: xác định đáp ứng tự do vtd(t)  giải pt thuần nhất

dv td (t)
+0.3v td (t)=0
dt
Phương trình đặc trưng:  +0.3=0   =  0.3

 v td (t)=K1e 0.3t
 Bước 3: xác định đáp ứng tổng

 v(t)=v td (t)+v cb (t)=K1e 0.3t  2.94e 2t
 Điều kiện đầu: HT LTI nhân quả

HT phải ở trạng thái nghỉ
n-1

y(0)=

dy(0)
dy (0)
 ... 
0
dt
dt n-1

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Áp dụng cho ví dụ trước ta được v(0)=0  K1  2.94  0
 K1  2.94  v(t)=2.94(e 0.3t  e 2t ); t>0

 v(t)=2.94(e 0.3t  e 2t )u(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

3


2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
a) Phương pháp tính trực tiếp
b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Phương pháp tính trực tiếp
 Xét hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi PTVP

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

4


a) Phương pháp tính trực tiếp
 Trình tự xác định h(t):
 Xét phương trình Q(D)h a (t)= (t) khi t>0, tức t=0+ trở đi

nên ha(t) là nghiệm của phương trình thuần nhất Q(D)h a (t)=0

các hằng số trong ha(t) sẽ được xác định dùng điều kiện đầu tại t=0+.
 Do hệ thống ở trạng thái nghỉ nên

dh a (0 )
dh a n 1 (0 )
h a (0 )=
 ...
0
dt
dt n 1
n
d k h a (t)
Từ phương trình: Q(D)h a (t)= (t)   a k
= (t); a n  1
k
dt
k=0
d k-1h a (t)
Kết luận:
; k=1  n-1 phải là hàm liên tục tại 0, suy ra:
dt k-1
k
0 d h (t)
d k 1h a (0+ ) d k 1h a (0 )
d k1h a (0+ )
a
dt




0

0
0 dt k
dt k 1
dt k 1
dt k 1


Signals & Systems – FEEE, HCMUT

a) Phương pháp tính trực tiếp
d k h a (t)
hai vế phương trình:  a k
= (t)
dt k
k=0
n

Lấy tích phân từ
Suy ra:



0

0

an

0-

tới

0+

d n h a (t)
d n-1h a (0+ )
dt

1

 1/ a n  1
dt n
dt n-1

Vậy điều kiện đầu để xác định ha(t) là:
d n-1h a (0+ )
d k 1h a (0+ )

1
;
 0, k=1  n  1
dt n-1
dt k 1
 Xác định h(t)=P(D)h a (t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

5

a) Phương pháp tính trực tiếp
 Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT nhân quả được mô tả bởi PTVP

(D+2)y(t)=(3D+5)f(t)
 Bước 1: Xác định ha(t)

Do HT nhân quả nên ha(t)=0 khi t<0
Khi t>0: ha(t) là nghiệm của PT (D+2)h a (t)=0
Áp dụng ĐK đầu tại 0+: h a (0+ )=K=1

h a (t)=Ke2t

h a (t)=e 2t u(t)

 Bước 2: Xác định h(t)

h(t)=P(D)h a (t)=3

dh a (t)
+5h a (t)
dt

h(t)=(3D+5)e2 t u(t)  3δ(t)  e 2t u(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)

Sơ đồ hệ thống tính đáp ứng xung theo u(t)

Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT được mô tả bởi PTVP:
(D 2 +3D+2)y(t)=Df(t)

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

6


2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống
n

 Đa thức đặc trưng của hệ thống: Q(λ)=λ +a n-1λ

n-1

+....a1λ+a 0

 Nghiệm của Q()=0 quyết định tính ổn định của hệ thống:

Img
Re{}<0

Re{}>0
Real

LHP

RHP

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống
 Kết luận:
 Hệ thống ổn định tiệm cận khi tất cả các nghiệm của PT đặc trưng

nằm bên trái của mặt phẳng phức
 Hệ thống ổn biên khi có nghiệm đơn trên trục ảo và các nghiệm còn

lại nằm ở nữa trái của MP phức
 Hệ thống không ổn định khi có nghiệm nằm ở nữa phải hoặc nghiệm

bội trên trục ảo

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

7