Tuan 3(update) VẼ KỸ THUẬT

CHƯƠNG 4:
SỰ TƯƠNG GIAO
•
•

4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỞI HÌNH CHIẾU
4.4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT


4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỞI HÌNH CHIẾU

4.3.1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH
CHIẾU:
a) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng:
Định nghĩa:
Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là lấy
mặt phẳng P2’ P1 làm mặt phẳng hình
chiếu bằng mới.
Gọi x’ = P1 P2’ là trục hình chiếu mới.
Tính chất:
Hình chiếu đứng A1 của A không thay
đổi.
Độ xa mới bằng độ xa cũ:
A2’Ax= A2Ax = AA1
Cách thực hiện:
 (vạch trục x’).
Chọn mặt phẳng P2’ P
1
Vẽ hình chiếu bằng mới (vẽ đường dóng
mới x’ vàchuyển độ xa).

Ta xét một vài thí dụ:
Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB
(A1B1, A2B2). Thay mặt phẳng
hình chiếu bằng sao cho trong
hệ thống mới mặt phẳng hình
chiếu mới AB là đường bằng.
Giải: Điều kiện ắt có và đủ để
AB là đường bằng A1B1 là phải
song song với trục hình chiếu.
Do đó chọn x’ // A1B1.
Hình chiếu bằng mới của đoạn
thẳng là A2’B2’.

A2’
x’

B2’

Ax’

A1
Bx ’
B1
x

Ax

Bx

A2

B2


• Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC.
Thay mặt phẳng hình chiếu bằng
sao cho trong mặt phẳng hình
chiếu mới ABC là mặt phẳng
chiếu bằng.
• Giải: Mặt phẳng P2’ phải chọn
vừa vng góc với ABC vừa
vng góc với P1 nên nó vng
góc với một đường mặt của mặt
phẳng ABC. Do đó trục hình
chiếu mới x’ phải vng góc với
hình chiếu đứng của đường mặt
của ABC.
Ta có các bước vẽ:
• Vẽ một đường mặt bất kỳ của
ABC, ví dụ đường mặt AE.
• Vẽ x’ A1E1.
• Hình chiếu bằng mới của ABC là
A2’B2’C2’.


a) Thay mặt phẳng hình chiếu đứng:
Định nghĩa:
Thay mặt phẳng hình chiếu đứng
là lấy mặt phẳng P1’  P2 làm mặt

phẳng hình chiếu đứng mới.
Gọi x’ = P2  P1’ là trục hình chiếu
mới.
Tính chất:
Hình chiếu bằng A2 của A không
thay đổi.
Độ cao mới bằng độ cao cũ:
A1’Ax= A1Ax = AA2
Cách thực hiện:

Chọn mặt phẳng P1’ P2 (vạch trục
x’).
Vẽ hình chiếu đứng
mới (vẽ

đường dóng mới x’ và chuyển độ
cao).


• Một vài thí dụ áp dụng:
• Thí dụ 1: Thay mặt phẳng hình
chiếu đứng để đường bằng AB
trở thành đường thẳng chiếu
đứng.
• Giải: Để đường bằng AB trở
thành đường thẳng chiếu đứng
phải chọn x’A2B2.
• Hình chiếu đứng mới của AB
trùng thành một điểm, cách x’
một đoạn bằng độ cao của

đường bằng trong hệ thống cũ.


• Thí dụ 2: Thay mặt phẳng hình
chiếu đứng để mặt phẳng chiếu
bằng ABC trở thành mặt phẳng
mặt.
• Giải: ABC trở thành mặt phẳng
mặt khi và chỉ khi A2B2C2 song
song với trục hình chiếu.
• Do đó ta chọn x’ // A2B2C2.


c) Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu:
Nhiều bài toán nếu chỉ thực hiện một phép thay mặt
phẳng hình chiếu đối tượng vẫn chưa có được vị trí đặc
biệt đối với mặt phẳng hình chiếu. Trong trường hợp như
vậy cần thực hiện liên tiếp hai phép thay mặt phẳng hình
chiếu.


B1

•
•
D1

A1

C1

x

x’

B2

A2

D2

Thí dụ 1: Tìm đợ lớn thực của tam giác ABC.
Giải:
- Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1 để mặt
phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng chiếu đứng
mới bằng cách chọn trục x’ A2D2 (A2D2 là hình
chiếu bằng của đường bằng AD thuộc mặt
phẳng (ABC)).
- Thay mặt phẳng hình chiếu bằng P2 để mặt
phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng bằng mới
bằng cách chọn trục x’’//B1’C1’.
- Độ lớn tam giác A2’B2’C2’ bằng độ lớn thực
của tam giác ABC trong không gian.
B1’
x’’

A1’ D1’
C2

C1’

B2 ’

C2 ’
A2’


Phép quay quanh một trục:
Khái niệm cơ bản:
Định nghĩa:
Quay một điểm M quanh trục d một
 điểm M
góc có hướng là biến
thành điểm M’ thõa mãn các điều
kiện sau:
1. M và M’ cùng tḥc mặt phẳng P
vng góc với trục quay d.
2. Khoảng cách của M và M’ đến d
bằng nhau: OM = OM’= r.
3. Góc MOM’ = 
Tính chất:
Cặp điểm tương ứng (M, M’) nằm
trên một đường tròn thuộc mặt
phẳng vuông góc với trục d.
Trong phép quay để xác định hình
tương ứng của hình gốc chỉ cần
quay các yếu tố đủ xác định hình
đó.


• Phép quay quanh đường thẳng chiếu:

• Quay quanh đường thẳng chiếu bằng:
- Trong phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng t, cặp điểm tương
ứng (M, M’) có:
- Hình chiếu đứng (M1, M1’) nằm trên một đường thẳng song song
với trục x.
- Hình chiếu bằng (M2, M2’) nằm trên một đường tròn có tâm là hình
chiếu bằng t2 của trục t.


• Quay quanh đường thẳng chiếu đứng:
- Trong phép quay quanh đường thẳng chiếu đứng t, cặp điểm tương
ứng (M, M’) có:
- Hình chiếu bằng (M2, M2’) nằm trên một đường thẳng song song với
trục x.
- Hình chiếu đứng (M1, M1’) nằm trên một đường tròn có tâm là hình
chiếu đứng t1 của trục t.
O1 t1

M1 ’

O2

M2 ’

M1
x
M2

t2

• 4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH PHẲNG
QUANH ĐƯỜNG BẰNG HAY ĐƯỜNG
MẶT CỦA NĨ:
• Mục đích:
• Đưa mặt phẳng về vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu:
phương pháp quay hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt
của nó.
• Để quay một hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó
ta chỉ cần quay một điểm của mặt phẳng ấy.


• Quay mặt phẳng quanh đường bằng của nó:
Mục đích: đưa mặt phẳng đến vị trí song song với mặt phẳng hình
chiếu bằng.
Để quay mặt phẳng R(A, b) quanh đường bằng b của nó tới vị
trí //P2 chỉ cần quay điểm A là đủ.
- Xác định tâm quay của A: AO b  A2O2 b2.
- Xác định bán kính quay: AO = A O2.

- Vì sau khi quay Q trở thành mặt phẳng bằng nên:
A
A2’O2=AO= O2.


• Quay mặt phẳng quanh đường
mặt của nó:
Mục đích: đưa mặt phẳng đến vị
trí song song với mặt phẳng hình
chiếu đứng.

Để quay mặt phẳng R(A, b) quanh
đường mặt m của nó tới vị trí //P1
chỉ cần quay điểm A là đủ.
- Xác định tâm quay của A: AO 

m  A1O
1 m1 .
- Xác định bán kính quay:
AO = AO1.
- Vì sau khi quay Q trở thành mặt
phẳng mặt nên:
A
A1’O1=AO= O1.


• Ta xét một vài thí dụ:
• Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB là
đường bằng. Hãy quay mặt phẳng ABC
quanh AB để ABC trở thành song song với
mặt phẳng hình chiếu bằng.
• Giải: Ta chỉ cần quay C quanh AB về vị
trí C’ sao cho ABC’ song song với P2.
Để xác định C’ ta dựa vào các điều kiện 1
và 2 của phép quay một điểm quanh đường
thẳng.
Điểm C và điểm C’ nằm trong mặt phẳng
vng góc với AB (điều kiện 1). Vì AB là
đường bằng nên mặt phẳng ấy là mặt
phẳng chiếu bằng. Do đó:
C2C2’  A2B2.

Gọi O2 = C2C2’ A2B2. O2 chính là hình
chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm của
AB với mặt phẳng chiếu bằng chứa CC’).
OC’ = OC (điều kiện 2). Từ điều kiện này
ta dễ dàng xác định được C2’ khi biết độ
dài của OC.


• Thí dụ 2: Xác định độ lớn
thật của tam giác ABC.
• Giải: Vẽ trong mặt phẳng
Q (ABC) đường bằng b qua
A, D.
• Quay Q quanh b tới vị trí trở
thành mặt phẳng bằng. Chỉ
cần quay điểm B tới vị trí B’.
• Khi đó điểm C sẽ tới vị trí
C2’ thõa mãn:
C2’  B2’D2 (D b nên D2 D2’)
C2C2’ b2.
• Độ lớn tam giác A2B2’C2’
bằng độ lớn tam giác ABC
trong không gian.


• Nếu trong phép quay mặt phẳng quanh đường bằng hay đường mặt
nói trên, đường bằng hay đường mặt tương ứng là vết bằng hay vết
đứng của mặt phẳng thì phép quay được gọi là phép gập mặt phẳng
vào mặt phẳng hình chiếu bằng hay vào mặt phẳng hình chiếu đứng
(đưa P tới vị trí trùng với mặt phẳng hình chiếu bằng hay mặt

phẳng hình chiếu đứng).


• Gập mặt phẳng vào mặt phẳng hình chiếu:
• Gập mặt phẳng vào mặt phẳng hình chiếu bằng:
• Khi gập mặt phẳng vào vết bằng, P2 và điểm O=V1P V2P không
đổi. Để xác định hình gập của vết đứng ta chỉ cần tìm hình gập A’
của một điểm A V1P. Hình chiếu bằng A2’ của điểm A’ phải thõa
mãn 2 điều kiện:
• A2A2’  V2P.
• A2’O=A1O=AO.


• Gập mặt phẳng vào mặt phẳng hình chiếu đứng:
• Khi gập mặt phẳng vào vết đứng, P1 và điểm O=V1P V2P không
đổi. Để xác định hình gập của vết đứng ta chỉ cần tìm hình gập N’
của một điểm N V2P. Hình chiếu đứng N1’ của điểm N’ phải thõa
mãn 2 điều kiện:
• N1N1’  V1P.
• N1’O=N2O=NO.