Bài giảng quy hoạch tuyến tính

Bài ging quy hoch toán
Chng 1. BÀI TOÁN QUY HOCH TUYN TÍNH
PHNG PHÁP HÌNH HC
1.1. Các bài toán thc t
1.1.1. Bài toán lp k hoch sn xut
a) Ví d  sn xut ko và bánh cn 2 th nguyên liu chính là đng và bt mì,
vi tr lng hin có là 0,9kg đng và 1,1 kg bt mì. 1kg ko cn 0,5 kg đng và 0,3
kg bt mì; 1kg bánh cn 0,2kg đng và 0,4 kg bt mì.
Giá 1kg ko là 10000đ; 1kg bánh là 20000đ. Hãy lp k hoch sn xut sao cho
tng giá tr sn phm ln nht.

Gi x
1
là s kg ko đc sn xut; x
2
là s kg bánh đc sn xut.
Có mô hình toán hc:

f(x) = 10000x
1
+20000x
2
 max

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤+

≤+
0,
1.14.03.0
9.02.05.0
21
21
21
xx
xx
xx


b)Tng quát  sn xut n loi sn phm khác nhau cn m loi yu t sn xut
vi tr lng hin có là b
1
, b
2
, , b
m
. H s hao phí yu t i ( i=1 m ) cho 1 đn v sn
phm j (j=1 n) là a
ij
. Giá 1 đn v sn phm j là c
j
(j=1 n). Hãy lp k hoch sn xut
trên c s các yu t sn xut hin có sao cho tng giá tr sn phm ln nht.

Gi x
j
là s sn phm j đc sn xut,

f(x) là tng doanh thu ng vi k hoch sn xut x = (x
1
,x
2
, , x
n
).
Có mô hình toán hc:

f(x) =
c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 max
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=≤
∑
=
) 1(0
) 1(

1
njx
mibxa
j
ij
n
j
ij


Bài ging quy hoch toán
1.1.2. Bài toán vn ti
Có m kho hàng cha cùng 1 loi hàng hóa vi s lng  kho i là ai (i=1 m).
ng thi có n ca hàng vi nhu cu  ca hàng j là bj (j=1 n). Chi phí vn chuyn 1
đn v hàng t kho i đn ca hàng j là c
ij
. Hãy lp k hoch vn chuyn sao cho tha mãn
nhu cu các ca hàng và chi phí vn chuyn thp nht.

Gi x
ij
là s lng hàng chuyn t kho i đn ca hàng j
f(x) là tng chi phí theo k hoch vn chuyn x.
Mô hình toán hc:
f(x) =
∑
∑
c
=
m

i 1 =
n
j 1
ij
x
ij
 min

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==≥
==
=≤
∑
∑
=
=
) 1, 1(0
) 1(
) 1(
1

1
njmix
njbx
miax
ij
j
m
i
ij
i
n
j
ij
1.1.3. Bài toán xác đnh khu phn
Có n loi thc n gia súc, giá 1 đn v thc n j là c (j=1 n). Gia súc cn m cht
dinh dng vi nhu cu ti thiu cht i là b
i
(i=1 m). Bit hàm lng cht i có trong 1
đn v thc n j là a
ij
. Hãy xác đnh khu phn thc n cho gia súc sao cho chi phí thp
nht đng thi đm bo các cht dinh dng cho gia súc.

Gi x
j
là lng thc n j có trong khu phn,
f(x) là giá khu phn x = (x
1
,x
2

, , x
n
).
Có mô hình toán hc sau:
f(x) =
c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=≥
∑
=
) 1(0
) 1(
1
njx
mibxa
j
ij

n
j
ij


1.2. Bài toán qui hoch tuyn tính
Xét bài toán
Bài ging quy hoch toán
(1) f(x) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min
(2)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+=≤

+=≥
==
∑
∑
∑
=
=
=
) 1(
) 1(
) 1(
1
1
1
mkibxa
kpibxa
pibxa
ij
n
j
ij
ij
n
j
ij
ij
n
j
ij

Bài toán (1,2) gi là bài toán quy hoch tuyn tính dng tng quát, ký hin là (d,f).
* f(x) gi là hàm mc tiêu.
* H (2) gi là h ràng buc.
* Ma trn A = (a
ij
)
mxn
gi là ma trn s liu.
* Vect C = (c
j
)
n
gi là h s hàm mc tiêu.

Mi b s x=(x
1
, x
2
, , x
n
) tha mãn h ràng buc (2) gi là phng án, ký hiu x
∈
d.
Phng án làm cho hàm mc tiêu f(x) đt cc tr cn tìm gi là phng án ti u, hay là
nghim ca bài toán (d,f) .
1.3. Phng pháp hình hc
Phng pháp hình hc dùng đ gii bài toán (d,f) 2 n, hoc nhiu hn 2 n
nhng có th đa v bài toán 2 n tng đng.

Xét bài toán

f(x) = ax +by  min (max)
(d)

{
) 1( miciybxa
ii
=≤+

Min d d là giao các na mt phng, hay là mt đa giác. Bài toán có th phát biu bng
hình hc nh sau:
Tìm trong h đng thng song song ax+ by = f gi là h đng mc ,mt đng mc
ng vi f nh nht (ln nht) có ít nht 1 đim chung vi min d.

Ví d 1.1
f(x,y) = x + 2y  max

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤+
≤+
0,
1143
925
yx
yx
yx

Bài ging quy hoch toán


y




A(0,11/4)
B(1,2)

d

O C(9/5,0) x

Qua hình v thy đng thng qua A(0,
4
11
) ng vi f ln nht. Vy nghim là x
1
=0,
x
2
=
4
11
và f
max

=
2
11
.
Nhn xét
- Nghim là đnh ca đa giác.
- Nu hàm mc tiêu là f(x,y) = 3x + 4y thì nghim là c đon thng AB.
- Giá tr f ca h đng mc tng theo chiu ca pháp vect.

Ví d 1.2
f(x,y) = x + y  max


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤−
−≥−
0,
22
1
yx
yx
yx

d

A(0,1)

O B(2,0)

Theo hình v, hàm mc tiêu không b chn trên trong min d nên bài toán vô nghim.
oOo
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 5
________________________________________________________________________
1.4. Bài tp
Gii các bài toán sau bng phng pháp hình hc

1. f(x) = x + 2y → max 2. f(x) = 5x - 3y → min

36
34 1
00
xy
xy
xy
+≤
+≤
≥≥
⎧
⎨
⎪

⎩
⎪
,
2
xy
xy
xy
+≤
+≥
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
24
36
00,


3. f(x) = 3x + y → max 4. f(x) = 2x + 3y +10 → max


−+≥
+≤
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎩

⎪
36
351
00
xy
xy
xy,
5
36
4
24
00
xy
xy
xy
xy
+
≤
+≤
+≤
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
,

5. f(x) = 2x + 5y → max 6. f(x) = x + 3y → max


22
8
3
21
00
xy
xy
xy
xy
xy
+≥
+≤
+≥
+≤
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
,
2

xy
xy
xy
+≤
+≥
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
36
4
00,



7. f(x) = x + 2y → max 8. f(x) = 2x + 3y → min

xy
xy
xy
+≤
+≤
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

8
21
00,
4
xy
xy
xy
xy
+
≥
+≥
+≥
≥≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
28
36
34 1
00,
2
0
0


9. f(x) = 5x

1
+ 2x
2
+ 3x
3
→ max 10. f(x) = 2x
1
+ x
3
→ min

xxx
xx x
xx x
xxx
123
12 3
12 3
123
1
253 4
432
00
++=
++≤
++ ≤
≥≥≥
⎧
⎨
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
,,
xxx
xx x
xxx
123
12 3
123
1
223
00
++=
++ ≥
≥≥≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,,


***********************
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 6
________________________________________________________________________

Chng 2. PHNG PHÁP N HÌNH
2.1.
Dng chính tc và dng chun tc
2.1.1. nh ngha
Trong thc t, đa s các bài toán có điu kin không âm ca các n. T đó có đnh
ngha dng chính tc là bài toán (d,f) nh sau:
f(x) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min (1)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
==
∑
=
)3() 1(0
)2() 1(
1
njx
mibxa
j

ij
n
j
ij


(2) gi là ràng buc cng bc, (3) gi là ràng buc t nhiên.
Vi bài toán (d,f) chính tc, có th gi s m ≤n.

Mt trng hp đc bit ca dng chính tc là ma trn s liu A = (a
ij
)
mxn
có cha
đ m vect ct là m vect đn v ca không gian R
m
và b
i
≥ 0 (i=1 m) gi là dng chun
tc. Không mt tính tng quát, có th đnh ngha bài toán (d,f) chun tc nh sau:
f(x) =
c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
==+
∑
+=
) 1(0
) 1(
1
njx
mibxax
j
ij
n
mj
iji

trong đó b
i
≥ 0 (i=1 m).
2.1.2. Các phép bin đi
Các phép bin đi sau đ đa bài toán (d,f) bt k v dng chính tc tng đng
đ gii, và t đó suy ra nghim ca bài toán ban đu.
a/ f(x)  max g(x) = -f(x)  min ⇔
b/
∑
vi x

=
≤
n
j
ijij
bxa
1
⇔
∑
=
+
=+
n
j
iinjij
bxxa
1
n+i
≥0

∑
vi x
=
≥
n
j
ijij
bxa
1
⇔

∑
=
+
=−
n
j
iinjij
bxxa
1
n+i
≥0

x
n+i
gi là n ph. Có kt lun sau:
Nu
x = (x
1
, x
2
, , x
n
, x
n+1
, , x
n+m
) là nghim ca bài toán chính tc bin đi thì
x=(x
1
, x

2
, , x
n
) là nghim bài toán gc.
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 7
________________________________________________________________________

c/ Nu n x
j
không ràng buc v du thì đc thay bng hiu hai n không âm.
Ngha là đt x
j
=x
j
’ – x
j
” vi x
j
’≥0, x
j
”≥0.

d/ Trng hp b
i
< 0 thì nhân hai v phng trình cho -1 có đc b
i
>0.

Vy: Mi bài toán quy hoch tuyn tính đu có th đa v bài toán dng chính tc
tng đng. Hn na có th các h s t do b
i
trong h ràng buc là không âm.
2.1.3. Phng án c bn
Xét bài toán (d,f) dng chính tc
f(x) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
==
∑
=
) 1(0
) 1(
1
njx
mibxa
j

ij
n
j
ij


t A
j
= (a
1j
, a
2j
, , a
mj
) là vect ct th j trong ma trn A
mxn
b = (b
1
, b
2
, , b
m
) là ct h s t do.

Gi s x = (
x
1
, x
2
, , x

n
) là phng án ca bài toán thì h vect { A
j
/ x
j
> 0 }
gi là h vect liên kt vi phng án x.

nh ngha
x
∈
d
là phng án c bn nu h véct liên kt vi x đc lp tuyn tính.
n x
j
gi là n c bn nu
x
j
> 0.

Nhn xét:
- Phng án c bn có ti đa m thành phn dng.
Phng án c bn có đúng m thành phn dng gi là không suy bin. Ngc li
gi là suy bin. Bài toán có phng án c bn suy bin gi là bài toán suy bin.
- S phng án c bn ca mt bài toán (d,f) là hu hn.
- Vi bài toán dng chun tc thì có phng án c bn là x
o
= (b
1
, b

2
, ,b
m
,0, ,0).
2.1.4. Các tính cht
Tính cht 1 Bài toán (d,f) ch xy ra 1 trong 3 trng hp sau:
a) Vô nghim b) Có 1 nghim duy nht c) Vô s nghim.

Tính cht 2 Nu hàm mc tiêu f(x) là chn di (trên ) đi vi bài toán dng min (max)
trên tp phng án d thì bài toán (d,f) có nghim.
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 8
________________________________________________________________________
Tính cht 3 Nu bài toán (d,f) có nghim thì có nghm là phng án c bn.
2.2. Phng pháp đn hình
2.2.1. Ni dung
Xut phát t phng án c bn nào đó, tìm cách đánh giá nó. Nu cha ti u thì
chuyn sang phng án c bn mi tt hn. Nu bài toán có nghim thì sau hu hn
bc s tìm đc phng án c bn ti u. Hn na du hiu vô nghim cng đc th
hin trên thut toán .

Ví d 2.1 Xét bài toán (d,f) dng chun tc:
f(x) = x
1
-2x
2
+3x
3
-2x

4
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=++
=+−
)4 1(0
5
432
421
321
jx
xxx
xxx
j


Có phng án c bn x
o
= (0, 0, 4, 5) và f(x
o
)=2 vi x
3
, x
4
là n c bn.

ánh giá:
∀ x=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)∈ d :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=++
=+−
)4 1(0
5
432
421
321
jx
xxx
xxx
j
⇔
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
=≥
−−=
+−=
)4 1(0
5
324
214
213
jx
xxx
xxx
j

f(x) = x
1
-2x
2
+3x
3
-2x
4
= x
1
-2x
2
+3(4-2x
1

+3x
2
) -2(5-x
1
-x
2
)
= 2 -3x
1
+9x
2

= 2-∆
1
x
1
- ∆
2
x
2
Vì x
1
, x
2
≥0 nên nu ∆
1
, ∆
2
≤ 0 thì f(x)≥2 và x
o

là phng án ti u. Tuy nhiên,  đây
∆
1
=3>0 nên x
o
cha phi là nghim.

Th chn x
1
, x
4
làm n c bn , cho x
2
=0 và x
3
=0. Có
⎩
⎨
⎧
=+
=
5
42
41
1
xx
x
x⇒
1
=2 và x

4
=3.
Rõ ràng A
1
, A
4
đc lp tuyn tính nên có phng án c bn là
x = (2, 0, 0, 3)
và f(
x ) = - 4.
ánh giá:
∀ x=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)∈ d :
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 9
________________________________________________________________________
⎩
⎨
⎧
=++
=+−
5

432
421
321
xxx
xxx
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
−+=
324
321
2
1
2
5
3
2
1
2
3
2
xxx
xxx

f(x) = x
1
-2x
2
+3x
3
-2x
4
= (2+
2
3
x
2
-
2
1
x
3
)

-2x
2
+3x
3
-2(3-
2
5
x
2
+

2
1
x
3
)
= - 4 +
2
9
x
2
+
2
3
x
3
(= -4-∆
2
x
2
- ∆
3
x
3
)
≥ -4
Vì x
2
, x
3
≥0 nên

x là phng án ti u (∆
2
, ∆
3
≤0).
2.2.2. Bng đn hình
Cho bài toán (d,f) chun tc:
f(x) =
c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
==+
∑
+=
) 1(0
) 1(
1
njx

mibxax
j
ij
n
mj
iji

trong đó b
i
≥ 0 (i=1 m).
∀ j=1 n đt ∆
j
=
∑
c
=
m
i 1
i
a
ij
- c
j
và gi là c lng ca n x
j
đi vi phng án c bn
x
o
=(b
1

, b
2
, …, b
m
, 0, …, 0) vi f(x
o
)= c
∑
=
m
i 1
i
b
i
Lu ý: ∆
i
= 0 , ∀ i=1 m

Có bng đn hình sau:

H
s
n
CB
P/Án x
1
c
1
x
2

c
2
… x
m
c
m
x
m+1
c
m+1
… x
s
c
s
… x
n
c
n
c
1
x
1
b
1
1 0 … 0 a
1,m+1
… a
1s
… a
1n

c
2
x
2
b
2
0 1 … 0 a
2,m+1
… a
2s
… a
2n
… …
…
… … … … … … …
c
r
x
r
b
r
0 0 … 0 a
r,m+1
… a
rs
… a
rn
… …
…
… … … … … … …

c
m
x
m
b
m
0 0 … 1 a
m,m+1
… a
ms
… a
mn
f(x) ∆
1
∆
2
∆
m
∆
m+1
∆
s
∆
n
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 10
________________________________________________________________________
2.2.3. C s lý lun
Cho bài toán (d,f) chun tc:

f(x) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
==+
∑
+=
) 1(0
) 1(
1
njx
mibxax
j
ij
n
mj
iji

trong đó b

i
≥ 0 (i=1 m).
∀ j=1 n đt ∆
j
= c
∑
=
m
i 1
i
a
ij
- c
j

Có phng án c bn x
o
=(b
1
, b
2
, …, b
m
, 0, …, 0) vi f(x
o
)= c
∑
=
m
i 1

i
b
i
nh lý 1 ( Du hiu ti u)
Nu ∆
j
≤0 vi mi j = 1 n thì x
o
là phng án ti u.

Chng minh
Có f(x
o
)= c
∑
=
m
i 1
i
b
i
∀ x=(x
j
)
n
∈ d : x
i
+ a
∑
+=

n
mj 1
ij
x
j
=b
i
(i=1 m) ⇒ x
i
= b
i
- a
∑
+=
n
mj 1
ij
x
j
(i=1 m)
f(x) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j

= c

∑
=
m
i 1
i
x
i
+ c
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
= c
∑
=
m
i 1
i
(b
i
- a
∑
+=
n
mj 1
ij
x

j
) + c
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
= c
∑
=
m
i 1
i
b
i
- ( c
∑
+=
n
mj 1
∑
=
m
i 1
i
a
ij
-c

j
) x
j
= f(x
o
) - ∆
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
≥ f(x
o
) : vì ∆
j
≥0 và x
j
≥ 0 (j=m+1 n)

nh lý 2 ( Du hiu vô nghim)
Nu
∃ ∆
k
>0 và a
ik
≤0 ∀ i = 1 m thì bài toán vô nghim.

Chng minh

Vì ∆
i
= 0 , i=1 m và ∆∀
k
>0 nên có k>m.

________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 11
________________________________________________________________________
∀ >0, xét b s x=(x
j
)
n
vi
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠+==
=
=−=
), 1(0
) 1(
kjnmjx
x
miabx
j
k

ikii
ϑ
ϑ

∀ i=1 m: x
i
+ a
∑
+=
n
mj 1
ij
x
j
= (b
i
-a
ik
) + a
ik
= b
i
(1)
x
k
= >0 nên x
j
≥0 j=m+1 n ∀
∀ i=1 m: x
i

= b
i
-a
ik
≥bi ≥0. Vì >0 và a
ik
≤0.
Vy x
j
≥0 ∀ j=m+1 n (2)
(1) và (2) có x∈ d

f(x) =
c
∑
=
n
j 1
j
x
j

=
c
∑
=
m
i 1
i
x

i
+ c
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
= c
∑
=
m
i 1
i
(b
i
-a
ik
) + c
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
= c
∑
=

m
i 1
i
b
i
-  c
∑
=
m
i 1
i
a
ik
+c
k

= f(x
o
) – ( c
∑
=
m
i 1
i
a
ik
-c
k
)
= f(x

o
) – ∆
k

Cho x +∞ thì f(x)  -∞ trên d. Hay f(x) không b chn di trên d.
Vy bài toán vô nghim.

nh lý 3 ( iu chnh phng án)
Nu
∀ ∆
k
>0, ∃ a
ik
>0 thì có th tìm đc phng án c bn mi tt hn x
o
, trong
trng hp bài toán không suy bin.

Chng minh:
Gi s ∆
s
= max {∆
j
} vi ∆
j
>0 (j=1 n).
Theo gi thit a∃
is
>0
t  =min {

is
i
a
b
} vi a
is
> 0 . Có >0 do bài toán không suy bin.
Gi s =
rs
r
a
b
, có
rs
r
a
b
≤
is
i
a
b

Xét b s
x =(x
j
)
n
vi
________________________________________________________________________

GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 12
________________________________________________________________________
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠+==
=
=−=
), 1(0
) 1(
sjnmjx
x
miabx
j
s
isii
ϑ
ϑ

∀ i=1 m: x
i
+ a
∑
+=
n
mj 1
ij

x
j
= (b
i
-a
is
) + a
is
= b
i
(1)
x
s
= >0 nên x
j
≥0 j=m+1 n ∀
∀ i=1 m: x
i
= b
i
-a
is
= b
i
-
rs
r
a
b
a

is
≥0. Vì
is
i
a
b
≥
rs
r
a
b
(i=1 m) và a
is
>0.
Vy x
j
≥0 ∀ j=m+1 n (2)
(1) và (2) có x∈ d

Có x
r
= b
r
-a
rs
= b
r
-
rs
r

a
b
a
rs
=0. Vy x
r
là n không c bn.
H vect liên kt x
o
là m vect đn v {A
1
, A
2
, …, A
m
}.
Vy h vect liên kt
x là h con ca {A
1
, A
2
, …, A
m
}U {A
s
}\{A
r
}.
Gi s h vect liên kt x ph thuc tuyn tính thì h {A
1

, A
2
, …, A
m
} {AU
s
}\{A
r
} ph
thuc tuyn tính.
Nên ∃ k
i
≠0 sao cho: + k
∑
≠
=
m
ri
i
ii
Ak
1
s
A
s
=  ( vect không)
Nu k
s
=0 thì k∃
i

≠0 (i=1 m) sao cho: =  . Mâu thun vì {A
∑
≠
=
m
ri
i
ii
Ak
1
1
, A
2
, …, A
m
} là h
vect đn v. Vy k
s
≠0 và + k
∑
≠
=
m
ri
i
ii
Ak
1
s
A

s
= 
hay A
s
= -
∑
≠
=
m
ri
i
i
s
i
A
k
k
1
(3)
Ngoài ra, A
s
= (a
1s
, a
2s
, , a
ms
) = a
∑
=

m
i 1
is
A
i
(4)
Tr (4) cho (3) có
∑
≠
=
+
m
ri
i
i
s
i
is
A
k
k
a
1
)( + a
rs
A
r
= .
Do {A
1

, A
2
, …, A
m
} là h đc lp tuyn tính nên có a
rs
=0 (mâu thun).
Vy h vect liên kt
x là h đc lp tuyn tính. Hay x là phng án c bn.
f(
x ) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j

________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 13
________________________________________________________________________
= c
∑
=
m
i 1
i
x

i
+ c
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
= c
∑
=
m
i 1
i
(b
i
-a
is
) + c
∑
+=
n
mj 1
j
x
j
= c
∑
=

m
i 1
i
b
i
-  c
∑
=
m
i 1
i
a
is
+c
s

= f(x
o
) – ( c
∑
=
m
i 1
i
a
is
-c
s
)
= f(x

o
) – ∆
s
< f(x
o
) , vì >0 và ∆
s
>0.
Hay phng án c bn tt hn phng án c bn x
o
mt lng ∆
s
.
2.2.4. Các bc ca thut toán đn hình
Bc 1 Kim tra tính ti u ca phng án x
o
=(b
1
, b
2
, …, b
m
, 0, …, 0)
* Nu ∆
j
≤0 ∀ j = 1 n thì x
o
là phng án ti u và f
min
=f(x

o
)= c
∑
=
m
i 1
i
b
i
.
* Nu ∃ ∆
k
>0 thì chuyn sang bc 2.

Bc 2 Kim tra điu kin vô nghim
* Nu ∃ ∆
k
>0 và a
ik
≤0 vi mi i = 1 m thì bài toán vô nghim.
* Nu
∀ ∆
k
>0, ∃ a
ik
>0 thì chuyn sang bc 3.

Bc 3 Tìm n thay th và n loi ra
* Nu ∆
s

= max {∆
j
} vi ∆
j
>0 (j=1 n) thì đa x
s
đa vào tp n c bn .
* Nu
rs
r
a
b
=min {
is
i
a
b
} vi a
is
> 0 thì loi x
r
ra khi tp n c bn .
* Chuyn sang bc 4.

Bc 4 Bin đi bng đn hình
* Bin đi bng đn hình theo công thc sau:
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎨
⎧
≠−=
=
)('
'
ria
a
a
aa
a
a
a
is
rs
rj
ijij
rs
rj
rj


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠−=
=

)('
'
ria
a
b
bb
b
is
rs
r
ii
r
θ

* Tính li các giá tr ∆
j
, quay li bc 1.
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 14
________________________________________________________________________
Quá trình này có th mô t nh vic bin đi s cp v hàng trên ma trn b sung
ca h ràng buc sao cho vect A
s
tr thành vect đn v th r, và các vect đn v khác
vn gi nguyên.

Nhn xét Các công thc bin đi cho a
ij
cng đúng cho c b

i
và ∆
j
nu xem b là ct th 0
và ∆ là hàng th m+1 ca ma trn s liu A
mxn
.

Ví d 2.2
f(x) = 5x
1
+4x
2
+ 5x
3
+2x
4
+x
5
+ 3x
6
 min



⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
=≥
=++
=+++
=+++
)6 1(0
363
60324
52342
631
5321
4321
jx
xxx
xxxx
xxxx
j

H
s
n
CB
P/Án x
1
5
x
2
4
x

3
5
x
4
2
x
5
1
x
6
3
2 x
4
52 2 4 3 1 0 0
1 x
5
60 4 2 3 0 1 0
3 x
6
36 3 0 1 0 0 1

272
12 6 7 0 0 0
2 x
4
28 0 4 7/3 1 0 -2/3
1 x
5
12 0 2 5/3 0 1 -4/3
5 x

1
12 1 0 1/3 0 0 1/3

128
0 6 3 0 0 -4
2 x
4
4 0 0 -1 1 -2 2
4 x
2
6 0 1 5/6 0 1/2 -2/3
5 x
1
12 1 0 1/3 0 0 1/3

92
0 0 -2 0 -3 0

∆
j
≤0 j =1 6, x
∀
opt
= (12, 6, 0, 4, 0, 0) và f
min
=92

Ví d 2.3
f (x) = 3x
1

-2x
2
+2x
3
- x
4
 min

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=++−
=−+
)4 1(0
132
12
432
421
jx
xxx
xxx
j



________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao

Bài ging Quy hoch toán hc Trang 15
________________________________________________________________________
H
s
n
CB
P/Án x
1
3
x
2
-1
x
3
2
x
4
-1
3 x
1
1 1 1 0 -2
2 x
3
1 0 -2 1 3

5
0 0 0 1
3 x
1
5/3 1 -1/3 2/3 0

-1 x
4
1/3 0 -2/3 1/3 1

14/3
0 2/3 -1/3 0

Có ∆
2
=2/3>0 và trên ct này không có s dng nên bài toán vô nghim.
2.2.5. Bài toán n ph
Các phép bin đi đ đa bài toán (d,f) v dng chính tc
vi x
∑
=
≤
n
j
ijij
bxa
1
⇔
∑
=
+
=+
n
j
iinjij
bxxa

1
n+i
≥0

∑
vi x
=
≥
n
j
ijij
bxa
1
⇔
∑
=
+
=−
n
j
iinjij
bxxa
1
n+i
≥0
x
n+i
gi là n ph. Có kt lun sau:
Nu
x = (x

1
, x
2
, , x
n
, x
n+1
, , x
n+m
) là nghim ca bài toán chính tc bin đi thì
x=(x
1
, x
2
, , x
n
) là nghim bài toán gc.

Ví d 2.4
f (x) = -x
1
+3x
2
-2x
3
 max



⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=≥
≤++−
−≥−−
=++−
)4 1(0
10834
1242
723
321
321
4321
jx
xxx
xxx
xxxx
j

Bài toán chính tc tng đng
g (x) = x
1
-3x
2
+2x
3

 min

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=≥
=+++−
=+++−
=++−
)6 1(0
10834
1242
723
6321
5321
4321
jx
xxxx
xxxx
xxxx
j
Trong đó x
5
, x
6
là n ph.

ây là bài toán (d,f) chun tc nên đc đa vào bng đn hình đ gii.


________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 16
________________________________________________________________________

H
s
n
CB
P/Án x
1
1
x
2
-3
x
3
2
x
4
0
x
5
0
x
6
0

0 x
4
7 3 -1 2 1 0 0
0 x
5
12 -2 4 1 0 1 0
0 x
6
10 -4 3 8 0 0 1

0
-1 3 -2 0 0 0
0 x
4
10 5/2 0 9/4 1 1/4 0
-3 x
2
3 -1/2 1 ¼ 0 1/4 0
0 x
6
1 -5/2 0 29/4 0 -3/4 1

-9
1/2 0 -11/4 0 -3/4 0
1 x
1
4 1 0 9/10 2/5 1/10 0
-3 x
2
5 0 1 7/10 1/5 3/10 0

0 x
6
11 0 0 19/2 1 -1/2 1

-11
0 0 -16/5 -1/5 -4/5 0

∆
j
≤0 j =1 6, x
∀
opt
= (4, 5, 0, 0, 0, 11) và f
min
=-11. Vy nghiêm bài toán gc là
x
opt
= (4, 5, 0, 0) và f
max
=11.

Nu các giá tr min/max đt ti nhiu v trí thì chn tùy ý mt v trí bt k trong s đó.
Thông thng chn ch s nh nht.
2.2.6. Bài toán n gi
Cho bài toán (d,f) dng chính tc:
f(x) =
c
∑
=
n

j 1
j
x
j
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
==
∑
=
) 1(0
) 1(
1
njx
mibxa
j
ij
n
j
ij

trong đó b
i
≥0 (i=1 m).

Xét bài toán:

f ( x ) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j
+ M
∑
x
=
m
i 1
n+i
 min
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=≥
==+
+
=
∑
) 1(0
) 1(
1

mnjx
mibxxa
j
iinj
n
j
ij

vi M là s dng khá ln ( M∞)
Bài toán này gi là bài toán m rng ca bài toán trên, hay bài toán M.
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 17
________________________________________________________________________
Vi bài toán M có ngay phng án c bn ban đu vi x
n+i
(i=1 m) là các n c bn .
Dùng thut toán đn hình đ gii.
x
n+i
gi là các n gi.

Sau khi gii bài toán M, có đc quan h gia bài toán M và bài toán (d,f) nh sau:
• Nu bài toán M vô nghim thì bài toán (d,f) vô nghim.
• Nu bài toán M có nghim
x = (x
1
, x
2
, , x

n
, 0, ,0) thì x = (x
1
, x
2
, , x
n
) là
nghim ca bài toán (d,f).
• Nu bài toán M có nghim
x = (x
1
, x
2
, , x
n+m
) và
∃
x
n+m
)>0 thì bài toán (d,f) vô
nghim.

Tin trình gii bài toán M là loi dn các n gi ra khi tp n c bn cho đn khi loi tt
c là bt đu gii bài toán gc. Nên t đó có th không cn tính cho các ct n gi. Nu
cui cùng không loi đc các n gi mà nhn giá tr 0 thì bài toán gc cng có nghim.

 đây gi s bài toán (d,f) trong ma trn s liu A không có vect
đn v nào. Tuy
nhiên, ch cn thêm mt s (<m) n gi cho đ m vect đn v.

Ví d 2.5
f (x) = x
1
+2x
2
-x
3
 max



⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=≥
=+−
≥++
≤−+−
)3 1(0
422
62
624
321
321
321

jx
xxx
xxx
xxx
j

Dng chính tc tng đng:
f (x) = -x
1
-2x
2
+x
3
 min
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=≥
=+−
=−++
=+−+−
)5 1(0
422
62
624
321

5321
4321
jx
xxx
xxxx
xxxx
j

trong đó x
4
, x
5
là hai n ph.
Bài toán chính tc cn thêm hai n gi đ đa v bài toán chun tc là x
6
, x
7
.
Bài toán M tng ng:

f ( x ) = -x
1
-2x
2
+ x
3
+M x
6
+M x
7

 min
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 18
________________________________________________________________________

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=≥
=++−
=+−++
=+−+−
)7 1(0
422
62
624
7321
65321
4321
jx
xxxx
xxxxx
xxxx
j
ây là bài toán dng chun tc nên đc đa vào bng đn hình đ gii.

H s n
CB
P/Án x
1
-1
x
2
-2
x
3
1
x
4
0
x
5
0
x
6
M
x
6
M
0 x
4
6 -1 4 -2 1 0 0 0
M x
6
6 1 1 2 0 -1 1 0
M x

7
4 2 -1 2 0 0 0 1


3M+1 2 4M-1 0 -M 0 0
0 x
4
10 1 3 0 1 0 0 1
M x
6
2 -1 2 0 0 -1 1 -1
1 x
3
2 1 -1/2 1 0 0 0 1/2


-M+2 2M+3/2 0 0 -M 0 -2M+1/2
0 x
4
7 5/2 0 0 1 3/2 -3/2 5/2
-2 x
2
1 -1/2 1 0 0 -1/2 1/2 -1/2
1 x
3
5/2 3/4 0 1 0 -1/4 1/4 1/4

-9/2
11/4 0 0 0 3/4 -M-3/4 -M+5/4
-1 x

1
14/5 1 0 0 2/5 3/5 -3/5 1
-2 x
2
12/5 0 1 0 1/5 -1/5 1/5 0
1 x
3
2/5 0 0 1 -3/10 -7/10 7/10 -1/2

-36/5
0 0 0 -11/10 -9/10 -M+9/10 -M-3/2

Nghim bài toán M là x = (14/5, 12/5, 2/5, 0, 0,0,0), n gi đã b loi t bng th 3.
Nghim bài toán gc chính tc là x = (14/5, 12/5, 2/5,0,0), vi x4, x5 là n ph, nên có
nghin bài toán gc là x
opt
= (14/5, 12/5, 2/5,0,0) và f
max
= 36/5

Ví d 2.6
f (x) = 8x
1
-6x
2
-2x
3
 max

⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=−+
=++
)3 1(0
434
4434
321
321
jx
xxx
xxx
j

Bài toán M tng ng:

f ( x ) = -8x
1
+6x
2
+2x
3
+Mx
4
+Mx
5
 min

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=+−+
=+++
)5 1(0
434
4434
5321
4321
jx
xxxx
xxxx
j

________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 19
________________________________________________________________________
H
s
n
CB
P/Án x
1
-8

x
2
6
x
3
2
x
4
M
x
5
M
M x
4
4 4 3 4 1 0
M x
5
4 4 1 -3 0 1


8M+8 4M-6 M-2 0 0
-8 x
1
1 1 3/4 1 1/4 0
M x
5
0 0 -2 -7 -1 1


0 -2M-12 -7M-10 -2M-2 0

Nghim bài toán M là X= (1,0,0,0,0)
n gi x
5
còn là n c bn nhng nhn giá tr 0 nên nghim bài toán gc là x = (1,0,0) và
f
max
= 8

Ví d 2.7
f (x) = -8x
1
+6x
2
+2x
3
 min

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=−+
=++
)3 1(0
534
4434
321

321
jx
xxx
xxx
j

Bài toán M tng ng:

f ( x ) = -8x
1
+6x
2
+2x
3
+Mx
4
+Mx
5
 min

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=≥
=+−+
=+++
)5 1(0
534

4434
5321
4321
jx
xxxx
xxxx
j

H s n
CB
P/Án x
1
-8
x
2
6
x
3
2
x
4
M
x
5
M
M x
4
4 4 3 4 1 0
M x
5

5 4 1 -3 0 1


8M+8 4M-6 M-2 0 0
-8 x
1
1 1 3/4 1 1/4 0
M x
5
1 0 -2 -7 -1 1


0 -2M-12 -7M-10 -2M-2 0

n gi x
5
còn là n c bn nhng nhn giá tr x
5
=1>0 nên nên bài toán gc vô nghim.
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 20
________________________________________________________________________
2.3. Cài đt thut toán đn hình
2.3.1. Khai báo d liu
a) Xem b là ct 0, c là hàng 0 và ∆ là hàng m+1 ca ma trn s liu a và f(x
o
)=a[m+1][0]
vi a[0][0]=0. Các giá tr b
i

, c
j
, ∆
j
và f(x) bin đi thao cùng công thc vi a
ij
. Ngha là:
b
i
=a[i][0], c
j
=a[0][j], ∆
j
=a[m+1][j].
Ch cn khai báo mt ma trn A nh sau:
float a[m+2][n+1];
b) Các mng đánh du tp n c bn:
int cb[n+1], acb[m];
vi ý ngha:
x
j
là n c bn cb[j]=1 ⇔
và
x
j
n c bn th i ⇔ acb[i]=j

Tp n c bn ban đu gm m n đc nhp t bàn phím
2.3.2. Tính các c lng ∆
j

for (j=1; j<=n; j++){
a[m+1][j]=0;
for (i=1; j<=m; i++) a[m+1][j]+= a[0][ACB[i]]*a[i][j];
a[m+1][j]-= a[0][j];
}
2.3.3. Kim tra ti u và tìm n thay th
int Toiuu( )
{
int s=1, j=1;
for (j=1; j<=n; j++)
if (a[m+1][j]> a[m+1][s])s=j;
return a[m+1][s]>0;
}
2.3.4. Kim tra vô nghim
int Vonghiem( )
{
int i,j;

for (j=1; j<=n; j++)
if (a[m+1][j]> 0){
i=1; while (i<=m && a[i][j]<=0)i++;
if (i>m)retrun 1;
}
return 0;
}
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 21
________________________________________________________________________

2.3.5. Tìm n loi ra
r=1; while (a[i][j]<=0)r++;
for (i=r+1; i<=m; i++)
if (a[i][j]>0)
if (a[i][0]/a[i][j]< a[r][0]/a[r][j])r=i;
2.3.6. Bin đi bng
abc[r]:=s; cb[s]=1;
ars = a[r][s]; // Bin trung gian

// Bin đi riêng hàng r
for (j=0; j<=n; j++) a[r][j]/=ars;

for (i=1; i<=m+1; i++)
if (i!=r){
ais=a[i][s]; // Bin trung gian
a[i][j]-= a[r,j]* ais/ars;
}
oOo
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 22
________________________________________________________________________
2.4. Bài tp
Gii các bài toán sau bng phng pháp đn hình

1. f(x) = 7x
1
- 5x
2
- 3x

3
→ max

4x + x - 3x 15
4x + 3x +5x 12
x + 2x + 3x 10
x 0 (j = 1 3)
12 3
123
12 3
j
=
=
=
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪


2. f(x) = -5x
1
- 4x
2
+ 5x
3

- 3x
4
→ max

2x + 4x + 3x x 42
4x - 2x + 3x 24
3x + x 15
x 0 (j = 1 4)
1234
12 3
13
j

+
=
≤
≤
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪


3. f(x) = 7x
1
+15x

2
+ 5x
3
→ min

3x - 2x - 4x
-x + 4x + 3x -3
2x +x + 8x 2
x 0 (j = 1 3)
123
123
12 3
j
≥
≥
≥
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
1


4. f(x) = 2x
1
+17x

2
+18x
3
→ max

6x + 4x + 7x
8x + 4x 30
x 0 (j = 1 3)
123
13
j
≤
≤
≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
50


5. f(x) = 3x
1
-x
2
+2x
3
x
4

+5x
5
→ max

2x -x +x +2x +x
4x - 2x + x
x - x + 2x + x
x + x +2x +x
x 0 (j = 1 5)
12 3 4 5
123
12 3 5
12 34
j
≤
=
≥−
≤
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
17
20

18
100


________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 23
________________________________________________________________________
6. f(x) = -5x
1
- 4x
2
+ 5x
3
- 3x
4
→ max

2x + 4x + 3x x 42
4x - 2x + 3x 24
3x + x 15
x 0 (j = 1 4)
1234
12 3
13
j

+
=
≤

≤
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪


7. f(x) = 8x
1
+ 7x
2
+ 9x
3
> min

45 3
364
248
013
123
12 3
123
xxx
xx x
xxx
xj

j
−+=
+−≤
++=
≥∀=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
,
6
9
7
6
3
2

8. f(x) = 2x
1
- x
2
+ 3x
3
> min

7x + 3x + 9x 5
2x - x - 8x

6x +4x + 2x
123
12 3
123
≤
=−
=
≥∀=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
18
20
013xj
j
,

9. f(x) = 3x
1
+ 2x
2
- 4x
3
> min

568

434
272
013
123
12 3
123
xxx
xx x
xxx
xj
j
−+=
++=
−−≤
≥∀=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
,

10. f(x) = 3x
1
- x
2
+ 5x
3

> min

2x + 3x + 7x 5
5x - 2 x - x
6x + 2x + x
123
123
123
≤
=−
=
≥∀=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
41
10
013xj
j
,


11. f(x) = x
1
+ 2x
2

+ x
3
→ max

x -4 x + 2x -6
x +x + 2x 5
2x - x + 2x 3
x 0 (j = 1 3)
12 3
12 3
12 3
j
≥
=
=
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪


***********************
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 24
________________________________________________________________________

Chng 3. BÀI TOÁN I NGU
3.1.
Các bài toán thc t
3.1.1. Bài toán lp k hoch sn xut
Mt nhà máy sn xut hai loi sn phm A, B gm hai phân xng vi nng sut nh
sau:
Phân xng I : 1 nghìn sn phm A + 4 nghìn sn phm B trong 1 nm. và
Chi phí 16 triu đng.
Phân xng II : 3 nghìn sn phm A + 1 nghìn sn phm B trong 1 nm. và
Chi phí 15 triu đng.
K hoch Nhà nc giao cho nhà máy là: 1 nghìn sn phm A + 2 nghìn sn phm B.
Hãy lp k hoch sn xut sao cho tng chi phí th
p nht đng thi đm bo k hoch
nhà nc giao cho nhà máy.
Gi x
1
là thi gian phân xng I sn xut ( đn v nm),
x
2
là thi gian phân xng II sn xut ( đn v nm)
Tng chi phí ca k hoach sn xut x=(x
1
, x
2
) là
f(x) = 16x
1
+ 15x
2
(triu đng)

Mô hình toán hc:

f(x) = 16x
1
+ 15x
2
 min
(d)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥+
≥+
0
24
13
2,1
21
21
xx
xx
xx
3.1.2. Bài toán đánh giá sn phm
Vi nng sut hai phân xng ca nhà máy nh bài toán trên . Nhà máy sn xut đc 1
nghìn sn phm A và 2 nghìn sn phm B. Hãy đnh giá tr cho 1 sn phm A và 1 sn
phm B sao cho tng giá tr ca sn phm: phân xng I không vt quá chi phí là 16
triu đng/nm và phân xng II không vt quá chi phí là 15 triu đng/nm, và tng

giá tr sn phm ca nhà máy ln nht.
Gi y
1
(nghìn đng) là giá tr đn v sn phm A,
y
2
(nghìn đng) là giá tr đn v sn phm B
Tng giá tr sn phm theo k hoch đánh giá y=( y
1
, y
2
) là
g(y) = y
1
+2y
2
(nghìn đng)
Mô hình toán hc:
g(y) = y
1
+2y
2
 max
________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao
Bài ging Quy hoch toán hc Trang 25
________________________________________________________________________
( d
~
)

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤+
≤+
0
153
164
2,1
21
21
yy
yy
yy


x
2

(4,3)
d

(5/11, 2/11)


O
O x

1

f
min
=f(5/11, 2/11)= 10 (triu đng) g
max
=g(4, 3)= 10 (triu đng)

Nhn xét: f
min
= g
max
3.2. Bài toán đi ngu
3.2.1. i ngu không đi xng
Cho bài toán (d,f) dng chính tc
(1) f(x) = c
∑
=
n
j 1
j
x
j
 min
(d)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

=≥
==
∑
=
) 1(0
) 1(
1
njx
mibxa
j
ij
n
j
ij

Cùng vi bài toán (I), xét bài toán (
d
~
, g) nh sau:
( 1
~
) g(y) = b
∑
=
m
i 1
i
y
i
 max

( d
~
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=≤
∑
=
) 1(dotu
) 1(
1
miy
njcya
i
ji
n
j
ji
( 1
~
) gi là bài toán đi ngu ca bài toán (1).

________________________________________________________________________
GV: Phan Thanh Tao