On thi dai hoc (30)

Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp

Chuyên đề: đại số tổ hợp.
Bài 1
Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một đợc thành lập từ
6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Bài 2
Cho 8 chữ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hái có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ
số khác nhau từng đôi một từ các chữ số trên và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 4.
Bài 3
Cho 8 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ
số khác nhau từng đôi một từ các chữ số trên và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ
số 5.
Bài 4
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thiÕt lËp tÊt c¶ các số có chín chữ số khác
nhau. Hỏi trong các số đà thiết lập có bao nhiêu số mà chữ số chín đứng ở vị trí
chính giữa.
Bài 5
Từ các chữ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiÕt lËp tÊt cả số gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi
trong các số đà thiết lập đợc, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh
nhau?
Bài 6
Cho 6 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hái có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn,
mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và chữ số đầu tiên phải khác 0.
Bài 7
Trong khai triển của

1 2

x
3 3

10

thành đa thức

a 0 a1 x  ...  a10 x 10 .

sè a k lớn nhất.
Bài 8
Cho n là một số nguyên dơng cố định. Chứng minh rằng
số tự nhiên không vợt quá n  1 .
2
Bµi 9
0
2
4
2002
CMR: C 2003
 3 2 C 2003
 3 4 C 2003
 ...  3 2002 C 2003

C nk

HÃy tìm hệ

lớn nhất nếu k là

2 2002 (2 2003 1) .

Bài 10
5C
90
2 A

Giải hệ phơng trình:

2C
80
5 A
Bài 11
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 10 chữ
số đợc chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác
có mặt đúng một lần.
Bài 12
y
x

y
x

y
x

y
x

1

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp

Cho 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hái cã thÓ lËp đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số
khác nhau từng đôi một từ các chữ số trên và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
5.
Bài 13
Trên mặt phẳng cho thËp gi¸c låi A1 A2 ...A10 . XÐt tÊt cả các tam giác đợc tạo
từ các đỉnh của thập giác trên. Hỏi trong tất cả các tam giác đó, có bao nhiêu tam
giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác?
Bài 14
Tìm các sè ©m trong dÉy sè  x n  víi x n 

An44 143

.
Pn 2 4 Pn

Bµi 15
CMR: C n1 .3 n  1  2C n2 .3 n 2  3C n3 .3 n  3  ...nC nn n.4 n  1 ; (n 1) .
Bµi 16
a/ Cã thể tìm đợc bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau đôi một.
b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập đợc bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số
khác nhau đôi một?
Bài 17

Một đội văn nghệ có 10 ngời trong đó có 6 nữ và bốn nam.
a/ Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số ngời bằng
nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau.
b/ Có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời mà trong đó có không quá một nam.
Bài 18
Giải phơng trình: Px Ax2 72 6( Ax2  2 Px ) .
Bµi 19
CMR: víi n là số tự nhiên và n 2 ta có:
Bài 20
CMR:

1
1
1
n 1
 2  ...  2 
.
2
n
A2 A3
An

Anm 1  Anm mAnm11 .

Bài 21
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ
số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn 345?
Bài 22

Cho A là tập hợp gồm 20 phần tử.
a/ Có bao nhiêu tập hợp con của tập A?
b/ Có bao nhiêu tập con của tập A mà số phần tử là số chẵn?
Bài 23
a/ Từ các chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số có các chữ số phân
biệt?
b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ
số đôi một khác nhau?
Bài 24
Với mỗi n là số tự nhiên, hÃy tính tổng:

2

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp

1
1
1
1
C n0 C n1 2  C n2 2 2  C n3 2 3  ... 
C nn 2 n .
2
3
4
n 1

Bµi 25
Víi mỗi n là số tự nhiên, hÃy tính tổng:
Bài 26

C n0 

1 1 1 2
1
C n  C n  ...  ( 1) n
C nn .
2
3
n 1

Chøng minh r»ng víi mäi sè x, ta cã: x n 

1
2n

n

C

k
n

( 2 x  1) k , víi n lµ sè tù

k 0

nhiên.
Bài 27
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và có
chữ số đứng đầu là chữ số 2?
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một, sao cho
trong 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
Bài 28
HÃy tìm số n nguyên dơng thoả mÃn đẳng thức: C n4 1  C n3 1  5 An2 2 0 .
4
Bµi 29
TÝnh tỉng:

S

26 0 25 1 2 4 2 23 3 2 2 4 2 5 20 6
C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 .
1
2
3
4
5
6
7

Bài 30
Cho đa thức P( x) (3x 2)10 .
a/ T×m hƯ sè cđa x2 trong khai triĨn cđa P(x).
b/ TÝnh tỉng cđa c¸c hƯ sè trong khai triĨn trên của P(x).
Bài 31

Cho tập hợp X 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Hái cã bao nhiªu tËp con Y cđa X sao
cho 0 và 1 thuộc Y, 8 và 9 không thuộc Y, ®ång thêi cã Ýt nhÊt mét trong c¸c sè 2,
3, 4 thuộc Y?
Bài 32
Giải phơng trình:

5
2
14
x x
x
C5 C6 C7

.

Bài 33
Cho tập hợp A 1, 2, 3, 4, 5 . Hái:
a/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã bèn chữ số khác nhau từng đôi một đợc lập từ
các phần tử của A.
b/ Trong các số tự nhiên ở câu a) có bao nhiêu chữ số bắt đầu bởi chữ số 5.
Bài 34
Một lớp học có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 ngời trong
lớp để đi làm công tác phong trào Mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
trong 5 ngời đó phải có ít nhất:
a/ Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
b/ Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Bài 35

3

ĐT: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp

Một hộp đựng 10 viên bi, trong đó có 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Hỏi có
bao nhiêu cách lấy đồng thời từ hộp ra 3 viên bi trong đó có:
a/ Đúng hai viên bi màu xanh.
b/ ít nhất hai viên bi màu xanh.
Bài 36
Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số?
Bài 37
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có
ba chữ số?
Bài 38
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số, trong đó các chữ số đều là
chẵn?
Bài 39
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ
số đứng giữa thì giống nhau?
Bài 40
Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho 5?
Bài 41
Một đội văn nghệ đà chuẩn bị đợc hai vở kịch, ba điệu múa và 6 bài hát. Tại
một hội diễn, mỗi đội chỉ đợc phép trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài
hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chơng trình biểu diễn, biết rằng
chất lợng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là nh nhau?
Bài 42

Từ thành phố A đến thành phố B có ba con đờng, từ thành phố A đến thành
phố C có hai con ®êng, tõ thµnh phè B ®Õn thµnh phè D cã hai con đờng, từ thành
phố C đến thành phố D có ba con đờng. Không có con đờng nào nối thành phố B
với C. Hỏi có bao nhiêu con đờng đi từ thành phố A đến thành phố D?
Bài 43
Giải phơng trình: 3Px A3x .
Bài 44
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác chữ số không biết
rằng tổng ba chữ số này bằng 8?
Bµi 45
CMR:
a/ C nk  n  k  1 C nk  1 .
k

k
n

k1
n 1

b/ C C  C nk 21  ...  C kk11 ; (k  n) .
Bài 46
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 ngời khách vào 5 ghế xếp thành
một dÃy?
Bài 47
Có bao nhiêu đờng chéo trong hình thập giác lồi?
Bài 48
Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho ba ngời, sao cho:
a/ Một ngời nhận đợc một đồ vật, còn hai ngời kia mỗi ngời nhận đợc 2 đồ
vật?

b/ Mỗi ngời nhận đợc ít nhất một ®å vËt?
4

§T: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp

Bài 49
Khai triển: a/ ( x  2 y ) 6 ; b/ ( x 1 ) 7 .
x
Bài 50
Tính tổng sau đây: S C50  2C51  22 C52  23 C53  24 C54  25 C55 .

Bµi 51
CMR:
a/ C 20 p  C 22p  C 24p  ...  C 22pp C 21 p  C 23 p  C 25 p  ...  C 22pp  1 .
b/ C 20p  C 22p  C 24p  ... C 22pp 2 2 p 1 .
Bài 52
Giải bất phơng trình:

An44
15
.

( n 2)! ( n 1)!

Bài 53

Giải phơng trình:

Pn 5
240 Ank33 .
Pn k

Bài 54
Có bao nhiêu số chẵn gồm hai chữ số.
Bài 55
Một chi đoàn thanh niên có 50 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
ba đoàn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi (mỗi đoàn viên phụ trách một trong ba
nhóm đó)?
Bài 56
Trong mét cuéc ®ua ngùa, cã 12 con ngùa cïng xuất phát. Hỏi có bao nhiêu
khả năng xếp loại:
a/ Ba con về nhất, nhì, ba?
b/ Ba con về đích đầu tiên?
Bài 57
CMR: 1 C n1 C n2 C n3  ...  ( 1) p C np ( 1) p C np 1 .
Bµi 58
Cho khai triĨn nhÞ thøc:
n

n

n

n 1

x

x 1
x 1
 x2 1

 3x 

  3x
0
1
n
3
2
2
2

2

C
2

C
2
2

...

C

(n là số nguyên dơng).


n
n
n 2









Biết rằng trong khai triển đó Cn3 5Cn1 , và số hạng thứ t bằng 20n, tìm n và x.

Bài 59
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của (

1
x5 ) n ,
x3

biết r»ng Cnn41  Cnn3 7(n  3) ( n lµ số nguyên dơng, x>0, Cnk là tổ hợp chập k của n
phần tử).

5

ĐT: 0989200410

Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp

Bài 60
Với n là số nguyên dơng, gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa
thức của ( x 2  1) n ( x  2) n . T×m n để a3n 3 26n .
Bài 61
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niut¬n cđa (

1
 x5 ) n
x3

, biÕt r»ng Cnn41  Cnn3 7(n 3) ( n là số nguyên dơng, x>0, Cnk là tổ hợp chập k của
n phần tử).
Bài 62
k
k 1
1000
1001
Chøng minh r»ng: C2001
 C2001
C2001
 C2001
, 0 k 2000 .
Bài 63
Giải bất phơng trình:

1 2
6
A2 x Ax2 C x3 10 .
2
x

Bài 64
28
Trong khai triển nhị thức ( x. 3 x  x  15 ) n . HÃy tìm số hạng không phụ thuộc x,
biết rằng: Cnn  Cnn 1  Cnn 2 79 .
Bµi 65
BiÕt tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thøc ( x 2  1)n b»ng 1024, h·y t×m hệ
số a của số hạng ax12 trong khai triển đó.
Bài 66
Mét líp cã 30 häc sinh nam vµ 15 häc sinh nữ. Có 6 học sinh đợc chọn ra để
lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau
1/ Nếu phải có ít nhất hai nữ.
2/ Nếu chọn tuỳ ý.
Bài 67
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 5. Từ các số đà cho có thể lập đợc
1/ Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.
2/ Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng
đôi một.
3/ Bao nhiêu ch÷ sè chia hÕt cho 9, cã ba ch÷ sè và ba chữ số đó khác nhau
từng đôi một.
Bài 68
Một đội văn nghệ có 20 ngời, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra 5 ngêi sao cho:
1/ Cã ®óng hai nam.

2/ Cã Ýt nhất hai nam và ít nhất 1 nữ.

Bài 69
Chứng minh r»ng:

1 0 1 1 1 2
( 1) n n
1
.
Cn  Cn  Cn  ... 
Cn 
2
4
6
2(n  1)
2(n  1)

6

§T: 0989200410


Nguyễn Thái Hòa

Đại số tổ hợp
1

(Gợi ý: Sử dụng tích phân I x(1 x 2 ) n dx )
0

Bài 70
n 1
Chøng minh r»ng: 1  1 Cn1  1 Cn2  ...  1 Cnn  2  1 .

2

3

n 1

n 1

1

(Gợi ý: Sử dụng tích phân I (1 x)n dx )
0

Bài 71
Khai triển đa thức: P( x) (1 2 x)12 thành dạng: a0 a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 .
T×m max(a1 , a2 ,..., a12 ) .
Bài 72
1

Tìm hệ số cđa x31 trong khai triĨn nhÞ thøc cđa f ( x) ( x 2 ) 40 .
x
Bài 73
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn văn học,
4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng
cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F cho mỗi em một cuốn.
1/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách

thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng?
2/ Giả sử thầy giáo muốn tặng sách song, mỗi một trong ba thể loại văn học,
âm nhạc và hội họa đều còn ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
Bài 74
1
2

1
3

Tính tổng: S Cn0 Cn1 Cn2  ... 

1
Cnn .
n 1

Bµi 75
Cnk
2n 1  1
.


n 1
k 0 k  1
n

Chøng minh r»ng:

Bµi 76
Chøng minh r»ng:

1/ Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn 2n
2/ C21n  C23n  C25n  ...  C22nn  1 C20n  C22n  C24n  ...  C22nn
Bµi 77
1
2
3
2000
TÝnh tỉng: S C2000
 2C2000
 3C2000
 ...  2000C2000

7

§T: 0989200410