Nội suy đa thức, đạo hàm và tích phân

PHƯƠNG PHÁP SỐ
PHƯƠNG PHÁP SỐ
VÀ LẬP TRÌNH
GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
1. Nội suy đa thức
1.1. Vấn đề nội suy
1.2. Nội suy bằng đa thức Lagrange
1.3. Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu
Nội suy đa thức
Đạo hàm và tích phân
2. Đạo hàm
2.1. Đạo hàm số của hàm liên tục
2.2. Đạo hàm số của hàm rời rạc
3. Tích phân
3.1. Tích phân hàm liên tục
3.2. Tích phân hàm rời rạc
1. Biết cách nội suy đa thức.
2. Biết cách tính đạo hàm và tích phân.
3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích
Mục tiêu
3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích
phân.
Nhu cầu nội suy
Trong thực tế đo đạc, ta thường xây dựng kết quả đo dưới
dạng bảng số:
Nội suy đa thức
• Muốn biết giá trị của y tại x = x*(không có trong bảng)?
• Cần tìm một hàm số mô tả mối quan hệ y= f(x)?
Đa thức nội suy: y=f(x) sao cho f(x
i
)=y

i
Nội suy bằng đa thức Larange
sao cho .
Nội suy đa thức
- Nội suy bậc nhất
- Nội suy bậc hai
- Nội suy bậc n
Nội suy bằng đa thức Larange bậc nhất
Ta xây dựng đa thức dưới dạng:
Nội suy đa thức
Đa thức Larange bậc nhất:
Nội suy bằng đa thức Larange bậc hai
Ta xây dựng đa thức dưới dạng:
Nội suy đa thức
Đa thức Larange bậc hai:
Nội suy bằng đa thức Larange bậc n
Đa thức Larange bậc n:
Nội suy đa thức
với
1,
n
j
i
j j i
i j
x x
L
x x
= ≠
−

=
−
∏
Nội suy bằng đa thức Newton
Giả sử ta đa thức nội suy cho tập dữ liệu n điểm khác
nhau .
Khi thêm vào 1 điểm dữ liệu mới , ta xây dựng lại đa
thức nội suy mới:
Nội suy đa thức
1
( )
n
P x
−
(
)
, , 1,
i i
x y i n
=
(
)
1 1
,
n n
x y
+ +
với
( )
1 0 1

1
( ) ( ) ; ( )
n
n n n i
i
P x P x C x x P x y
−
=
= + − =
∏
( )
( ) ( )
0 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
( ) ;
( ) ( ) ( )
( ) .
n n n n n n n
n n n n
n n
n i n i
i i
P x y
P x P x y P x
P x y C x
x x x x
+ − + + − +

+ +
+ +
= =
=
− −
= → = =
− −
∏ ∏
Nội suy bằng đa thức Newton
-Xác lập bậc của đa thức (n-1), giá trị cần tính nội suy của hàm
tại đó, các điểm dựng nên đa thức nội suy
- For i=0,n:
-
For j
-
1
,n:
Nội suy đa thức
(
)
, , 1,
i i
x y i n
=
0
i i
D y
=
-
For j

-
1
,n:
For i=j,n:
- Tính
, 1 1, 1
i j i j
ij
i i j
D D
D
x x
− − −
−
−
=
−
(
)
(
)
(
)
(
)
00 11 0 22 0 1
0 1

( )( ) ( )
n

nn n
P x D D x x D x x x x
D x x x x x x
= + − + − − +
+ − − −
Phương pháp bình phương tối thiểu
• Ta cần tìm mối quan hệ giữa x và y.
• Giả sử có thể mô tả mối quan hệ này thông qua hàm số
y = f(x) sao cho sai khác của nó với hàm thực sự là nhỏ
nhất.
Nội suy đa thức
• Sử dụng điều kiện cực trị của bình phương độ sai lệch
của hàm f với hàm thực sự tại các giá trị tới hạn, ta suy
ra được các hệ số của hàm f.
Phương pháp bình phương tối thiểu
Ta định nghĩa hàm tổng bình phương sai số:
Nội suy đa thức
Do hàm f(x) là rất gần với hàm thực sự nên ta có điều kiệu
sau (điều kiện bình phương tối thiểu):
• Hàm bậc nhất
• Hàm bậc hai
Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc nhất
Hàm cần tìm có dạng .
Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình:
Nội suy đa thức
Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a và b.
Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc hai
Hàm cần tìm có dạng .
Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình:
Nội suy đa thức

Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a, b và c.
Ví dụ
Tìm hàm xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của hàm số cho bởi
bảng dưới đây:
a)
Nội suy đa thức
b)
Đạo hàm hàm liên tục:
Cho một hàm số liên tục, yêu cầu tính đạo hàm tại một vị
trí x*.
Giải pháp:
Sử dụng định nghĩa đạo hàm:
Đạo hàm
Sử dụng định nghĩa đạo hàm:
1. Xác lập hàm cần lấy đạo hàm f(x), hai biên x
a
, x
b
, số
điểm cần lấy đạo hàm n.
2. Tính bước nhảy giữa hai điểm cần lấy đạo hàm:
h=(x
b
- x
a
)/n
Đạo hàm
3. For i= 0, 1, 2,…, n: tính f(x
a
+ih).

4. For i= 1, 2,…, n-1: tính đạo hàm bằng công thức:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
1 1
' *
2
1 2 * 1
'' *
a a
a
a a a
a
f x i h f x i h
f x i h
h
f x i h f x i h f x i h
f x i h

h
+ + − + −
+ =
+ + − + + + −
+ =
Đạo hàm hàm rời rạc:
Cho một hàm số dưới dạng bảng số rời rạc, yêu cầu tính
đạo hàm tại một vị trí x*.
Giải pháp:
1.
Sử dụng định nghĩa đạo hàm nếu khoảng cách lưới đủ
Đạo hàm
1.
Sử dụng định nghĩa đạo hàm nếu khoảng cách lưới đủ
nhỏ.
2.Sử dụng nội suy, tìm ra hàm liên tục tương ứng. Sau đó,
tìm đạo hàm theo phương pháp đạo hàm của hàm liên
tục.
Tích phân hàm liên tục:
Cho hàm số liên tục trên đoạn , tính tích phân:
Tích phân
Giải pháp:
- Dùng công thức nguyên hàm
- Phương pháp hình thang
- Phương pháp Simpson
Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:
Khai triển Tay lor:
Tích phân
( )
( ) ( ) ( )

(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
2 3
0 0 0
1 1
' ''
2! 3!
1 1
x
xx
f x dx f x x f x x f x x
+∆
= ∆ + ∆ + ∆ +
 
∫
=> Quy tắc hình thang
(
)
(
)
(
)

(
)
( ) ( )
( )
0 0 0
0 0
3
1 1
'
2 2
1
2
f x f x f x x x
f x f x x x x
 
= + + ∆ + + ∆
 
 
 
= + + ∆ ∆ +
 
Θ ∆
Tích phân
y
Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:
( )
( ) ( )
0
0
0 0

1
2
x x
x
f x dx f x f x x x
+∆
 
= + + ∆ ∆
 
∫
0
x x
+ ∆
0
x
x
Quy tắc hình thang
Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:
Tích phân
y
Quy tắc hình thang phức
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0 0
2 2 2
2
x n x
x

x
f x dx f x f x x f x x f x n x
+ ∆
∆
 
= + + ∆ + + ∆ + + + ∆
 
∫
0
x n x
+ ∆
0
x
x
Tích phân
Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:
- Lập hàm f(x), xác định 2 biên x
1
, x
2
, số điểm cần lấy tích
phân n.
- Tính
(
)
1 0
/
x x x n
∆ = −
- For i=0, (n-1):

( )
( )
( )
0 0
1
2
x
TP TP f x i x f x i x
∆
 
= + + ∆ + + + ∆
 
Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:
Tích phân
y
Quy tắc điểm giữa
( )
( ) ( )
0
0
/2
3
/2
0 0
1
''
24
x x
xx
f x dx f x x f x x

+∆
−∆
= ∆ + ∆ +
∫
0
x x
+ ∆
0
x
x
Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:
Tích phân
y
Quy tắc điểm giữa phức hợp
( )
0
0
1
0
0
1
2
x n x
n
i
x
f x dx x f x i x
+ ∆
−
=

 
 
=∆ + + ∆
 
 
 
 
∑
∫
0
x n x
+ ∆
0
x
x