Tổng hợp đề thi toán cao cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 01
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho số phức Z =
1 3
3
i
i
+
−
Tính Z
100
Câu 2. Tính f(A) biết f(x) = x
2
- x – 1 và A =
2 0 0
0 3 1
0 0 3
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Câu 3. Với giá trị nào của x thì hệ{
1 2 3
, ,u u u
ur uur uur
} lập thành một cơ sở của R
3

1
u
ur
= (x,1,0) ;
2
u
uur
= (1,x,1);
3
u
uur
= (0,1,x)
Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f: R
3

→
R
3
xác định bởi:
1 2 3
( , , )x x x x R
∀ = ∈
r
thì f(x) = (
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 ,2 6 2 ,3 9 3x x x x x x x x x
− + − + − +
)

a. Tìm số chiếu và một cơ sở của Kerf. Tìm diu (I
m
f)
b. Xác định ma trận của f đối với hệ cơ sở sau:
{
1 2 3
(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)u u u
= = =
ur uur uur
}
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
f(x
1
x) = x
1
2
+ 2x
2
2
+ 2x
1
x
2
+ 4x
2
x
3
Với x = (x
1
,x

2
,x
3
)
∈
R
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 02
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho số phức Z
3
3
i
i
+
=
−
Tính Z
100
Câu 2. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình sau:

1 1
3 2
 
 ÷
 
.X.

3 2 2 3
4 3 3 1
− −
   
=
 ÷  ÷
− −
   
Câu 3. Trong R
4
, xét tập A = {
1 2 3 4
( , , , )u x x x x
=
r
;
1 2 3 4
0x x x x+ + + =
}
a. Chứng minh rằng A là một không gian con của R
4
b. Tìm cơ sở và số chiều của A
Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f: R
3
→
R
3
xác định bởi
1 1 2 3
( , , )x x x x

∀ = ∈
ur
R
3
thì f(x) = (x + 2y + 2z, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z)
a. Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của R
3
b. Tìm một cơ sở trực chuẩn của R
3
sao cho ma trận của f đối với hệ cơ sở đó có
dạng ma trận chéo.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc :
f(x
1
x) = x
1
2
+ 4 x
2
2
+ x
3
2
– 4x
1
x
2
+ 2x
1
x

3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 03
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho số phức Z = 3 + 3i . Tính căn bậc bốn của Z
Câu 2. Tìm ma trận X thỏa mãn: A.X = B
Với A =
2 3 1
1 1 1
1 0 2
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
và B =
2
1
1
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Câu 3. Tìm giá trị của x để hạng của ma trận A bằng 2
A =

2 1 3
1 2 0
4 6x
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Câu 4. Cho ma trận A =
5 6 2
6 7 2
6 6 1
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
Tính A
10
Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = x
1
2
+ x

2
2
+ x
3
2
– 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 04
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Tính biểu thức sau: A =
( )
10
2
1 3
4 3
1
i

i
i
 
+
+ − +
 ÷
 ÷
−
 
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình :
2
2ax 1
2 2
2 4
y z
x ay z a
x y az a

+ + =

+ + =


+ + =

Câu 3. Tìm hạng của ma trận sau: A =
1 4 3 6
1 0 1 1
2 0 1 0
0 2 2 4

 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 ÷
 
Câu 4. Cho ma trận A =
1 3 1
3 5 1
3 3 1
− −
 
 ÷
− −
 ÷
 ÷
−
 
a. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của A
b. Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao ?
Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.
f(x
1
x) = 2x
1
2
+ x
2

2
– 3x
2
2
– 4x
1
x
2
– 4x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 05
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z
10
+ 2z
5
+ 1 = 0
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
2
( 1) 1
2
x ay z
x a y z
x y az
+ + =



+ − + =


+ + =

Câu 3. Trong R
3
, xét tập A = {
1 2 3 1 2 3
( , , ); 5 2u x x x x x x= = +
r
}
a. Chứng minh rằng A là không gian con của R
3
b. Tìm cơ sở và số chiều của A
Câu 4. Hãy chéo hóa thực giao của ma trận sau: A =
3 1 0
1 3 0
0 0 3
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Câu 5. Đưa dạng tòan phương về dạng chính tắc
f(x
1
x) = 2x

2
2
+ x
3
2
– 6x
1
x
2
+ 2x
2
x
3
– 4x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 06
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z
6
– 3z
3
– 4 = 0
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
2 3 5
2 a 8

2
x y z
x y z
x y z
+ − =


+ + =


− + =

Câu 3. Trong R
3
, cho hệ A ={
3
1 2
, ,u u u
ur uur r
}, với:
1 2 3
(1,1,0), (0,0,1), (0,1,1)u u u= = =
ur uur uur
a. Hệ A có phải là cơ sở của R
3
không ? vì sao?
b. Tìm tọa độ của véctơ
(1,0, 1)u
= −
r

theo hệ số cơ sở đó.
Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
→
R
3
3
1 2 3
( , , ) Rx x x x
∀ = ∈
r
thì f(x) = ( 2x
1
– x
2
– x
3;
x
1
- x
3 ;
-x
1
+ x
2
+ 2x
3
)
Hãy tìm một cơ sở của R
3

mà theo cơ sở đó ma trận của ánh xạ f là một ma trận
chéo.
Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.
f(x
1
x) = x
1
2

– 2x
2
2

+ x
3
2

– 4x
1
x
2
– 2x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 07
(Thời gian làm bài 90 phút)

Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z
4
+ z
2
+1 = 0
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
2 a 1
2 3 1
2 2 1
x y z
x ay z
x y z
+ + =


+ + = −


+ − =

Câu 3. Cho P
2
(x) là không gian véctơ gồm các đa thức bậc
≤
2 trên R
Xét hệ A =
2
1
2
2

3
( ) 2 1
( ) 3 3
( ) 2 2
f x x x
f x x x
f x x

= + −

= + −


= −

a. Chứng minh hệ tọa độ A là cơ sở của P
2
(x)
b. Tìm tọa độ của f(x) = 3x
2
+ x + 1 theo hệ A.
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3
→
R
3
3
1 2 3
( , , ) Rx x x x
∀ = ∈

r
thì f(x) = (x
1
+ x
2
, x
2
– 5x
3
)
a. Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính
b. Tìm số chiều và cơ sở của Kerf
Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x
1
2
- 3x
2
2
– 6x
1
x
2
+ 2x
1
x
2
– 4x

2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 08
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho tập B = (0;+
∞
) và ánh xạ f: R
→
B
Thỏa mãn: Thỏa mãn:
;x R∀ ∈
f(x) = 2
x+1
Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Song ánh? Tòan ánh?
Tìm ánh xạ ngược f
-1
nếu có.
Câu 2. Tính f(A) biết f(x) = 3x
2
– 2x + 5 và A =
1 2 3
2 4 1
3 5 2
−
 
 ÷

−
 ÷
 ÷
−
 
Câu 3. Trong R
4
, cho hệ A: {
1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4
( , , , );2 3 0;2 3 3 0u x x x x x x x x x x x x
= + − + = − + + =
r
}
a. Chứng minh rằng A là không gian con của R
4
b. Tìm cơ sở và số chiều của A.
Câu 4. Tính A
50
với ma trận A =
0 1 0
3 4 0
2 1 3
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x
1
x) = x
1
2
– x
3
2
+ 2x
1
x
2
– 4x
1
x
3
+ 6x
2
x
3.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 09
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho tập A = (0;+
∞
) và ánh xạ f: R
→
A

Thỏa mãn:
;x R
∀ ∈
f(x) = 3|x| +1
Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Tòan ánh? Song ánh?
Câu 2. Tính định thức :
0
0
0
0
x y z
x z y
y z x
z y x
Câu 3. Cho hệ A gồm các véctơ sau:

1 2 3
(2,3,5); (3,7,8); (1, 6,1)u u u
= = = −
ur uur uur
a. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ thuộc hệ A
b. Tính số a để véctơ
(7, 2, )u a
= −
r
là tổ hợp tuyến tính của hệ A.
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3

→

R
3
1 2 3
( , , )x x x x
∀ = ∈
R
3
thì f(x) = (6x
1
– 2x
2
– 2x
3,
-2x
1
+ 3x
2
, 2x
1
+ 3x
3
)
a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. Xác định ma trận của f theo cơ sở
chính tắc của R
3
b. Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của f.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x

1
2
+ x
2
2
– 4x
1
x
2
– 4x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 10
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f: X
→
Y
A, B là hai tập con của X
Chứng minh rằng : nếu f là đơn ánh thì f(A
∩
B) = f(A)
∩
f(B).
Câu 2. Giải phương trình :
1 2
1 2

2 1
2 1
x x
x x
x x
x x
= 0
Câu 3. Trong R
3
cho hai tập hợp :
U = {
x
r
= (x
1,
x
2,
x
3
) với 2x
1
– x
2
+ x
3
= 0}
V = {
x
r
= (x

1,
x
2,
x
3
) với x
1
+ x
2
+ x
3
= 0}
a. Hãy xác định U
∩
V
b. Tìm dim( U
∩
V) và một cơ sở của (U
∩
V).
Câu 4. Cho ma trận A =
3 0 2
0 1 2
2 2 2
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 

Hãy chéo hóa trực giao ma trận A.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 5x
1
2
+ 6x
2
2
+ 4x
3
2
– 4x
1
x
2
– 4x
1
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 11
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho A, B là hai tập hợp con của tập X
Chứng minh rằng: a. Nếu A
⊂

B thì
B A
⊂
b.
( )A B A B
∪ = ∩
Câu 2. Cho phương trình ma trận:
1 1 2 0
2 1 1 2
4 1 5
X
a a
−
   
 ÷  ÷
− =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
   
a. Tìm X khi a = -2
b. Phương trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?
Câu 3. Cho P
2
(x) là không gian véctơ gồm các đa thức bậc
≤
2 trên R. Xét hệ véctơ:
A = {f
1
(x) = 1; f

2
(x) = x – 1; f
3
(x) = (x-1)
2
}
a. Chứng minh hệ A là một cơ sở của P
2
(x)
b. Tìm tọa độ f(x) = 2x
2
+ 3x – 2 theo hệ A.
Câu 4. Cho ma trận A =
2 5 1
2 1 5
2 2 2
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
a. Tìm vecto riêng và giá trị riêng A
b. Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P
-1
AP là ma trận chéo.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1

x) = x
1
2
+ x
3
2
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
x
3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 12
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho A,B là hai tập hợp. Chứng minh rằng :
( )B A B A B
∪ = ∪
Câu 2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a
a

a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
Câu 3. Các tập sau đây có là không gian con của R
3
không? Vì sao?
Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó.
a. A = {
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với x + 2y + 3z = 0}
b. B = (
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với x + 2y + 3z = 1}
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3

→
R

3
1 2 3
( , , )x x x x∀ = ∈
R
3
thì f(x) = (-2x
1
– 2x
2
+ 2x
3
, -2x
1
+ 5x
2
+ x
3
, 2x
1
+ x
2
+ 5x
3
)
a. Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính trên R
3
b. f có là song ánh trên R
3
không ? tại sao? Xác định không gian Kerf
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:

f(x
1
x) = 3x
1
2
+ 5x
2
2
+ 3x
3
2
+ 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
3
x
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 13
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Tính phần thực và phần ảo của số phức:
10 15

( 1 ) ( 3 )z i i
= − + − +
Câu 2. Tính định thức:
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
x y z t
x y z t
x y z t
Câu 3. Các tập sau đây có là không gian con của R
3
không? Vì sao?
Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó.
a. A = {
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với x + 2z = 0}
b. B = {
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với z
2
= x
2

+ y
2
}
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3

→
R
3
1 2 3
( , , )x x x x∀ = ∈
R
3
thì f(x) = (x
1
+ x
2
+ x
3
, x
1
– x
2
– x
3
, 2x
1
+ x
2
– x

3
)
a. Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R
3
b. Cho hệ cơ sở A = {
1 2 3
(1,1,0); (0,1,1); (0,0,1)u u u
= = =
ur uur uur
}
Tìm ma trận của f đối với hệ số A theo hai cách.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x
1
2
– 6x
2
2
+ x
3
2
+ 6x
1
x
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M

Đề thi số 14
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Tìm tất cả số phức z thỏa mãn phương trình: z
6
(1-i) = 1+
3
i
Câu 2. Cho ma trận vuông cấp 4 sau đây:
1
1
1
1
a a a
a a a
a a a
a a a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
a. Chứng minh rằng ma trận A khả nghịch
b. Tìm ma trận A
-1
Câu 3. Trong R
3
cho hệ số A = {
1 2 3
(2, 1,4), (4,2,3), (2,7, 6)u u u= − = = −

ur uur uur
}
a. Hệ A có là một cơ sở của R
3
hay không? Tại sao?
b. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A.
Câu 4. Cho ma trận A =
1 0
0 1
0 0
a
a
a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Tính A
100
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x
1
x
2
+ 2x
1
x

3
+ 2x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 15
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Tính định thức
2
2
2
1
1
1
x x
x x
x x
với x = -
1 3
2 2
i+
Câu 2. Cho hệ phương trình:
2 1
2 3 2
4 5 1
x y z
x y mz

x y z m
+ − =


+ + =


+ − = +

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Có vô số nghiệm?
Câu 3. Trong R
4
cho hệ A = {
1 2 3
( 1,1, 2,0), (1,1,2,0); (3,0,0,1)u u u
= − − = =
ur uur uur
}
Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A.
Câu 4. Cho ma trận A =
2 1 1
1 2 1
0 0 1
−
 
 ÷
− −
 ÷
 ÷
 

a. Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của A
b. Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P
-1
AP là ma trận chéo.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 5x
1
2
+ x
2
2
+ 3x
3
2
+ 4x
1
x
2
– 2x
1
x
3
– 2x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1

Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 16
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho số phức Z =
1 3
3
i
i
+
−
Tính Z
100
Câu 2. Tìm ma trận X thỏa mãn: A.X = B
Với A =
2 3 1
1 1 1
1 0 2
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
và B =
2
1
1
 
 ÷
 ÷

 ÷
 
Câu 3. Trong R
3
, xét tập A = {
1 2 3 1 2 3
( , , ); 5 2u x x x x x x= = +
r
}
c. Chứng minh rằng A là không gian con của R
3
d. Tìm cơ sở và số chiều của A
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3
→
R
3
3
1 2 3
( , , ) Rx x x x
∀ = ∈
r
thì f(x) = (x
1
+ x
2
, x
2
– 5x
3

)
c. Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính
d. Tìm số chiều và cơ sở của Kerf
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x
1
2
+ x
2
2
– 4x
1
x
2
– 4x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 17
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho số phức Z
3
3
i
i

+
=
−
Tính Z
100
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình :
2
2ax 1
2 2
2 4
y z
x ay z a
x y az a

+ + =

+ + =


+ + =

Câu 3. Trong R
3
, cho hệ A ={
3
1 2
, ,u u u
ur uur r
}, với:
1 2 3

(1,1,0), (0,0,1), (0,1,1)u u u= = =
ur uur uur
c. Hệ A có phải là cơ sở của R
3
không ? vì sao?
d. Tìm tọa độ của véctơ
(1,0, 1)u
= −
r
theo hệ số cơ sở đó.
Câu 4. Tính A
50
với ma trận A =
0 1 0
3 4 0
2 1 3
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 5x
1
2
+ 6x

2
2
+ 4x
3
2
– 4x
1
x
2
– 4x
1
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 18
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho số phức Z = 3 + 3i . Tính căn bậc bốn của Z
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
2
( 1) 1
2
x ay z
x a y z
x y az
+ + =


+ − + =



+ + =

Câu 3. Cho P
2
(x) là không gian véctơ gồm các đa thức bậc
≤
2 trên R
Xét hệ A =
2
1
2
2
3
( ) 2 1
( ) 3 3
( ) 2 2
f x x x
f x x x
f x x

= + −

= + −


= −

c. Chứng minh hệ tọa độ A là cơ sở của P

2
(x)
d. Tìm tọa độ của f(x) = 3x
2
+ x + 1 theo hệ A.
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3

→
R
3
1 2 3
( , , )x x x x
∀ = ∈
R
3
thì f(x) = (6x
1
– 2x
2
– 2x
3,
-2x
1
+ 3x
2
, 2x
1
+ 3x
3

)
a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. Xác định ma trận của f theo cơ sở
chính tắc của R
3
b. Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của f.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = x
1
2
+ x
3
2
+ 2x
1
x
2
+ 2x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 19
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Tính biểu thức sau: A =
( )
10

2
1 3
4 3
1
i
i
i
 
+
+ − +
 ÷
 ÷
−
 
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
2 3 5
2 a 8
2
x y z
x y z
x y z
+ − =


+ + =


− + =

Câu 3. Trong R

4
, cho hệ A: {
1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4
( , , , );2 3 0;2 3 3 0u x x x x x x x x x x x x
= + − + = − + + =
r
}
a. Chứng minh rằng A là không gian con của R
4
b. Tìm cơ sở và số chiều của A.
Câu 4. Cho ma trận A =
3 0 2
0 1 2
2 2 2
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 

Hãy chéo hóa trực giao ma trận A.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 3x
1
2
+ 5x
2

2
+ 3x
3
2
+ 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
3
x
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 20
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z
10
+ 2z
5
+ 1 = 0
Câu 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
2 a 1
2 3 1
2 2 1

x y z
x ay z
x y z
+ + =


+ + = −


+ − =

Câu 3. Cho hệ A gồm các véctơ sau:

1 2 3
(2,3,5); (3,7,8); (1, 6,1)u u u
= = = −
ur uur uur
c. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ thuộc hệ A
d. Tính số a để véctơ
(7, 2, )u a
= −
r
là tổ hợp tuyến tính của hệ A.
Câu 4. Cho ma trận A =
2 5 1
2 1 5
2 2 2
−
 
 ÷

−
 ÷
 ÷
 
c. Tìm vecto riêng và giá trị riêng A
d. Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P
-1
AP là ma trận chéo.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x
1
2
– 6x
2
2
+ x
3
2
+ 6x
1
x
2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 21
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z

6
– 3z
3
– 4 = 0
Câu 2. Tính f(A) biết f(x) = 3x
2
– 2x + 5 và A =
1 2 3
2 4 1
3 5 2
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
Câu 3. Trong R
3
cho hai tập hợp :
U = {
x
r
= (x
1,
x
2,
x
3

) với 2x
1
– x
2
+ x
3
= 0}
V = {
x
r
= (x
1,
x
2,
x
3
) với x
1
+ x
2
+ x
3
= 0}
a. Hãy xác định U
∩
V
b. Tìm dim( U
∩
V) và một cơ sở của (U
∩

V).
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3

→
R
3
1 2 3
( , , )x x x x∀ = ∈
R
3
thì f(x) = (-2x
1
– 2x
2
+ 2x
3
, -2x
1
+ 5x
2
+ x
3
, 2x
1
+ x
2
+ 5x
3
)

c. Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính trên R
3
d. f có là song ánh trên R
3
không ? tại sao? Xác định không gian Kerf
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 2x
1
2
+ x
2
2
– 4x
1
x
2
– 4x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 22
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Giải phương trình trên tập số phức: z
4
+ z

2
+1 = 0
Câu 2. Tính định thức :
0
0
0
0
x y z
x z y
y z x
z y x
Câu 3. Cho P
2
(x) là không gian véctơ gồm các đa thức bậc
≤
2 trên R. Xét hệ véctơ:
A = {f
1
(x) = 1; f
2
(x) = x – 1; f
3
(x) = (x-1)
2
}
a. Chứng minh hệ A là một cơ sở của P
2
(x)
b. Tìm tọa độ f(x) = 2x
2

+ 3x – 2 theo hệ A.
Câu 4. Cho ánh xạ f: R
3

→
R
3
1 2 3
( , , )x x x x∀ = ∈
R
3
thì f(x) = (x
1
+ x
2
+ x
3
, x
1
– x
2
– x
3
, 2x
1
+ x
2
– x
3
)

c. Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R
3
d. Cho hệ cơ sở A = {
1 2 3
(1,1,0); (0,1,1); (0,0,1)u u u
= = =
ur uur uur
}
Tìm ma trận của f đối với hệ số A theo hai cách.
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc:
f(x
1
x) = 5x
1
2
+ x
2
2
+ 3x
3
2
+ 4x
1
x
2
– 2x
1
x
3
– 2x

2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 23
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho tập B = (0;+
∞
) và ánh xạ f: R
→
B
Thỏa mãn: Thỏa mãn:
;x R∀ ∈
f(x) = 2
x+1
Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Song ánh? Tòan ánh?
Tìm ánh xạ ngược f
-1
nếu có.
Câu 2. Giải phương trình :
1 2
1 2
2 1
2 1
x x
x x
x x
x x

= 0
Câu 3. Các tập sau đây có là không gian con của R
3
không? Vì sao?
Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó.
c. A = {
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với x + 2y + 3z = 0}
d. B = (
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với x + 2y + 3z = 1}
Câu 4. Cho ma trận A =
1 0
0 1
0 0
a
a
a
 
 ÷
 ÷
 ÷

 
Tính A
100
Câu 5. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc :
f(x
1
x) = x
1
2
+ 4 x
2
2
+ x
3
2
– 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 24
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho tập A = (0;+

∞
) và ánh xạ f: R
→
A
Thỏa mãn:
;x R
∀ ∈
f(x) = 3|x| +1
Hỏi rằng ánh xạ f thuộc loại gì: Đơn ánh? Tòan ánh? Song ánh?
Câu 2. Cho phương trình ma trận:
1 1 2 0
2 1 1 2
4 1 5
X
a a
−
   
 ÷  ÷
− =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
   
c. Tìm X khi a = -2
d. Phương trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?
Câu 3. Các tập sau đây có là không gian con của R
3
không? Vì sao?
Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó.
c. A = {

( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với x + 2z = 0}
d. B = {
( , , )u x y z
= ∈
r
R
3
với z
2
= x
2
+ y
2
}
Câu 4. Cho ma trận A =
2 1 1
1 2 1
0 0 1
−
 
 ÷
− −
 ÷
 ÷
 

c. Tìm véctơ riêng và giá trị riêng của A
d. Tìm một ma trận khả nghịch P sao cho P
-1
AP là ma trận chéo.
Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.
f(x
1
x) = 2x
1
2
+ x
2
2
– 3x
2
2
– 4x
1
x
2
– 4x
2
x
3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC PHẦN MÔN TOÁN
Bộ môn Toán Môn: Toán cao cấp 1
Ngành X, XN, VL, D, N, M
Đề thi số 25
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu 1. Cho hai tập hợp X và Y và ánh xạ f: X

→
Y
A, B là hai tập con của X
Chứng minh rằng : nếu f là đơn ánh thì f(A
∩
B) = f(A)
∩
f(B).
Câu 2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a
a
a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
Câu 3. Trong R
3
cho hệ số A = {
1 2 3
(2, 1,4), (4,2,3), (2,7, 6)u u u= − = = −
ur uur uur
}
c. Hệ A có là một cơ sở của R

3
hay không? Tại sao?
d. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ A.
Câu 4. Cho ánh xạ tuyến tính f: R
3
→
R
3
xác định bởi
1 1 2 3
( , , )x x x x
∀ = ∈
ur
R
3
thì f(x) = (x + 2y + 2z, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z)
c. Tìm ma trận của f đối với hệ cơ sở chính tắc của R
3
d. Tìm một cơ sở trực chuẩn của R
3
sao cho ma trận của f đối với hệ cơ sở đó có
dạng ma trận chéo.
Câu 5. Đưa dạng tòan phương sau về dạng chính tắc.
f(x
1
x) = 2x
1
2
+ x
2

2
– 3x
2
2
– 4x
1
x
2
– 4x
2
x
3