CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Đề + đáp án 2009 2010 ca 2

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : a/ Cho ma trận A =




7



−3
−4

.
1 0
a/ Chéo hoá ma trận A.
b/ Áp dụng, tìm ma trận B sao cho B 20 = A.

Câu 2 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá
 t
1

E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =  2
3
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc .


3
Câu 3 : Cho ma trận A = 
 −3
2
6
ma trận A .

2
−2
2

Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m)


1


Câu 5 : Tìm m để ma trận A =  3
−2

ma trận củ
 a f trong cơ sở
2
0
1 −1 
.
0
2



2
−3 
 . Tìm trị riêng, cơ sở của các không gian con riêng của
3
T



−5

là véctơ riêng của ma trận A =  −3
−3
3
m
−4

3

3

3 
.
1
3



1



−2
−4 
 có đúng hai trị riêng dương và một trị riêng âm.
6

Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều
kim đồng hồ một góc 6 0 o . Tìm ánh xạ tuyến tính f . Giải thích rõ.
Câu 7 : Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng tỏ rằng A khả nghịch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG là
trị riêng của A.
1
Khi A khả nghịch chứng tỏ rằng nếu λ là trị riêng của A, thì là trị riêng của A−1 .
λ
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điể
m.




3 1
2 0
−1
Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 0.5ñ) A = P DP ; P =
. D=
.
5 2
0 1
−1
−1
20

20
−1
Ta coù
A =
√ P · D · P . Giả sử B = Q · D1 · Q , ta coù B = Q · D1 · Q = A. Chọn Q = P và
20
2
0
√
D1 =
. Vậy ma trận B = P · D1 · P −1
20
0
1
Câu 2 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Gọi ma trận chuyể
n cơ sở

 từ E sang chính tắc làP . Khi đó ma
1 1 1
trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E laø : P −1 = 
1 1 
 2
 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong
1 2 1






−6

5 2

6 4 
cơ sở chính tắc là B = P −1 AP = −9

−1 2 8 4
Câu 3 (1.5đ). Giả sử λ0 là trị riêng của A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 . Khi ñoù
A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ60 · x0 .
Laäp ptrình đặc trưng, tìm được TR của A: λ1 = 1 , λ2 = 2 ,
Cơ sở của Eλ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, cuûa Eλ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }.
TR cuûa A6 : δ1 = 1 6 , δ2 = 2 6 , Cơ sở của: Eδ1 : {( −1 , 
1 , 0 ) T , ( −1 , 0 ,1 ) T }, cuû
a Eδ2 : 
{( 2 , −3 , 2 ) T }.

−5 3 3
2
2




1 3 
Câu 4 (1.5đ). x là VTR của A ⇔ A · x = λ · x ⇔ 
 −3
 1  = λ ·  1  ⇔ m = 1
−3 3 1
m
m
2

Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực. Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x1 + mx22 + 6 x23 +
6 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 . Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 +
2 ( x3 + x2 ) 2 + ( m − 1 1 ) x23 . Ma traän A có một TR dương, 1 TR âm ⇔ m < 1 1 .
Câu 6 (1.5đ). f : IR2 −→ IR2 . f được xác định hoàn toàn nếu biết ảnh của một cơ sở của IR2 .
Chọn cơ sở chính taéc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.
√
√
√
√
Khi đó f ( 1 , 0 ) = ( 12 , −2 3 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( 23 , 12 ) . f ( x, y) = ( x2 + y 2 3 , −x2 3 + y2 )
Caâu 7 (1.0đ). A khả nghịch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 không là TR của A. Giả sử λ0 là TR của A
⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ10 · x0 (vì λ0 = 0 ) → ñpcm.