CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Ontapdaiso dethamkhao dt he

Nội dung thi cuối kỳ - Đại số - học kỳ hè 2013
1. Các phép toán ma trận.
2. Định thức - hệ phương trình.
3. Khơng gian véc tơ.
4. Khơng gian Euclide.
5. Ánh xạ tuyến tính.
6. Trị riêng - véc tơ riêng ma trận
Chú ý không thi phần: số phức, trị riêng ánh xạ tuyến tính, dạng tồn phương.

Đề ơn số 1





2 2 1
3 1 2
Câu 1) Cho hai ma trận A =  2 5 3  và B =  −1 2 4  . Tìm ma trận X thỏa AX − X = B T
2 3 5
2 6 3
Câu 2) Trong R4 cho không gian con U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1).
(a) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥ .
(b) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥ .
Câu 3) Trong R4 cho 2 không gian con
U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) >

x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 0
V :
2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0
(a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V.
(b) Tìm cơ sở và số chiều của U + V .

Câu 4) Trong R2 : x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ). Xét tích vơ hướng (x, y) = 2x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3x2 y2 . Tính
khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với u = (2, −1), v = (1, 3).
Câu 5) Cho 
ánh xạ f :
1 −2

3
2
A=
−1 3

R3→ R3 , biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} là
1
0  . Tìm f (4, 3, 6)
4

Câu 6) Cho ma trận cấp 3



0
2
2
A =  −1 −3 −2 
1
5
4
Tìm một ma trận B ∈ M3 (R) sao cho B 3 = A.

1

Đề ôn số 2





1 −1 0
−2 3 −6
Câu 1) Cho A = −1 2 1 , B =  1 −2 5 . Tìm ma trận X thỏa 3I + AX = B T .
3 −3 1
3
0
7
Câu 2) Tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình


2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −1
x1 + 2x2 + x4 = 0


x1 + x2 + x3 + x4 = 3
vng góc với véc tơ u = (1; 1; 1; 0).
Câu 3) Trong R4 , cho 2 không gian con F =< (1; 2; 1; 1); (2; 3; −1; 2) >, G =< (−3; 1; 2; 1), (−5; 10; 7; 7) >.
Tìm cơ sở và số chiều của F ∩ G.
Câu 4) Trong R3 , cho tích vơ hướng
(x, y) = 3x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5x2 y2 + x3 y3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 )
và khơng gian con F =< (1; −1; 2) >. Tìm hình chiếu của véc tơ x = (2; 0; 1) xuống F .
Câu 5) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa

f (1; 2; 1) = (2; −1; 3), f (2; 3; 0) = (−3; 2; 5), f (1; 3; 2) = (5; −3; −2)
.
(a) Tìm cơ sở và số chiều của ker f và =f .
(b) Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {(1; 2; 1), (2; 3; 0), (1; 3; 2)}.


 
3 −2 3
1



Câu 6) Cho ma trận A = −1 a −3 và x = −1. Tìm a, b để x là véc riêng của A. Chéo hóa A
2 −4 b
−1
với a, b vừa tìm được.

Đáp số
Đề 1



20 −9 −10
5 
1. X = −6 2
−5 4
2
2. (a) Cơ sở của U ⊥ là {(−1; −1; 1; 0), (−2; −4; 0; 3)}.
7
(b) P rU ⊥ (z) = (0; 2; 2; −3).

17
3. (a) Cơ sở U + V là {(1; 1; −2; 1), (0; 1; 3; −1), (0; 0; −9; 5)}
T
(b) Cơ sở U V là {(2; 3; −1; 1)}.
√
4. d(u, v) = 34.
2


5. f (4; 3; 6) = (22; 26; 21)

 
 
−1
−1 0 0
0
1
1
0
1
1
6. B = −1 −1 −1 .  0 0 √0  . −1 −1 −1 .
1
1
2
1
1
2
0 0 32
Đề 2:



−16 −5 11
1. X = −11 −6 8 .
9
2 −5
2. x = (−1; 0; 1; 2)α, ∀α ∈ R.
3. Cơ sở F ∩ G là {(4; 7; 1; 4)}.
4. Hình chiếu là

4
(1; −1; 2).
8

5. (a) Cơ sở của =f là {(2; −1; 3), (0, 1, 19)}.

25

(b) Ma trận của f trong cơ sở E là −6
−11



−2 0 0
2
6. a = 0, b = 4. D =  0 −2 0 , P = 1
0
0 7
0

Cơ sở của ker f là {(48; 76; 9)}.

−11 36
0
−6 .
8 −19

3 −1
0
1 .
−1 −2

3