Btl CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Bài tập lớn đại số tuyến tính -2015
Chú ý
1. Mỗi nhóm sẽ làm 2 phần
(a) Phần I (2điểm): Một câu lập trình. Hồn thành đoạn code theo cầu đề ra.
Chạy ít nhất 2 ví dụ. Nhóm 1 làm đề tài 1, nhóm 2 làm đề tài 2....
(b) Phần II(8điểm): Mỗi thành viên thực hiện ngẫu nhiên một câu, trực tiếp
trên lớp (do thầy chọn) trên command window.
2. Khi thực hiện bài tập trên lớp phải gõ từng lệnh trên command window, nghiêm
cấm lưu bài làm trước ở nhà rồi copy và past vào bài làm, cấm trao đổi.
3. Khi làm bài báo cáo, cần có đủ các thơng tin sau
(a) Trang bìa: Tên trường; bài tập lớn Matlab(đặt tên cho đề tài của mình);
mơn học; giáo viên hướng dẫn; Lớp; nhóm (thứ tự, tên và số báo danh từng
thành viên); năm học.
(b) Nội dung: Output; input; cơ sở lý thuyết (nói sơ qua về kiến thức được dùng
để giải quyết đề tài); thuật tốn(Các bước chính lập trình); đoạn code; ít
nhất 2 ví dụ chạy được(copy kết quả trên command và past vào bài báo cáo,
không gõ lại kết quả).
4. Nộp bài báo cáo ngay trước khi báo cáo (không nộp trước, khơng có bài báo cáo
thì khơng được báo cáo).
5. Đi đúng giờ, vắng thì 0điểm. Mọi lý do vắng mặt phải liên hệ với Thầy trước lúc
báo cáo. Vắng mặt vì đi trễ khơng chấp nhận.

1

Bài tập lập trình

Đề tài 1 Cho ma trận A. Kiểm tra xem A có vng và khả nghịch hay khơng? Nếu
có hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phép biến đổi sơ cấp.
Không được dùng lệnh "rref" và các lệnh tìm ma trận nghịch đảo của matlab.
Đề tài 2 Cho ma trận A. Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có, hãy tính định
thức ma trận A bằng cách kết hợp giữa biến đổi sơ cấp và khai triển.

Đề tài 3 Cho một họ véc tơ M. Kiểm tra M có ĐLTT hay khơng? Nếu có hãy trực
chuẩn họ véc tơ M .
Không được dùng lệnh "qr".
Đề tài 4 Cho ma trận A. Kiểm tra xem A có vng và đối xứng hay khơng? Nếu có,
hãy dùng thuật toán sylvester để xét xem A xác định dương hoặc xác định
âm hay khơng? nếu các định thức con chính dương thì A xác định dương;
nếu các định thức con lẻ âm và chẵn dương thì A xác định âm; trường hợp
cịn lại khơng kết luận được gì.

1


Đề tài 5 Lập function thực hiện phép nhân 2 ma trận. Nhập vào đa thức f (x) và ma
trận A. Dùng function trên để tính f(A).
Đề tài 6 Đưa ma trận A về dạng bậc thang và tìm hạng A bằng phép biến đổi sơ cấp.
Không được dùng lệnh "rref", "rank".
Đề tài 7 Kiểm tra ma trận A có vng và khả nghịch hay khơng? Nếu có, hãy tính
các phần tử bù đại số Aij , lập ma trận phụ hợp và suy ra ma trận nghịch
đảo.
Đề tài 8 Cho ma trận vng A. Hãy tìm ma trận phụ hợp của A từ đó suy ra ma
trận nghịch đảo(nếu có). Áp dụng giải hệ phương trình Cramer Ax = b.
Công thức nghiệm là x = A−1 b
Đề tài 9 Cho 2 KG con F, G trong Rn ở dạng tập sinh. Tìm cơ sở và số chiều của
F + G và F ∩ G.
Đề tài 10 Cho 2 KG con F, G trong Rn ở dạng tập nghiệm của hệ phương trình thuần
nhất. Tìm cơ sở và số chiều của F + G và F ∩ G.
Đề tài 11 Cho ma trận vng A. Tìm ma trận đặc trưng, đa thức đặc trưng, tìm TR
bằng lệnh roots, tìm VTR từ đó chéo hóa ma trận A nếu có.
khơng dùng lệnh eig
Đề tài 12 Nhập ma trận vuông, thực A. Kiểm tra xem A có vng hay khơng? Nếu có

chéo hóa trực giao A.
khơng dùng lệnh eig.
Đề tài 13 Nhập vào ma trận A và véc tơ cột b. Giải hệ phương trình Ax = b.
Hướng dẫn:
Dùng lệnh rank để xét xem hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm hay vơ số
nghiệm.
Trong trường hợp hệ vơ số nghiệm, ta tìm nghiệm tổng quát ở dạng
xtq = xr + xtn ,
trong đó, xtn = là KG nghiệm của hệ Ax = 0: null(A).
Tìm xr : dùng lệnh rref đưa về bậc thang và tìm các ẩn cơ sở.
Thêm vào hệ các phương trình xk = 0 với k là các chỉ số của ẩn tự do. Giải
hệ mới này để tìm nghiệm xr . Xuất ra cơ sở của xtn và xr .
Đề tài 14 Cho ánh xạ tuyến tính f : Rn → Rn . Tìm cơ sở và số chiều của nhân và
ảnh của f . Nhập vào véc tơ x và số a. Kiểm tra xem x có là VTR của f hay
khơng và a có là TR của f hay không?
Đề tài 15 Trong Rn , cho khơng gian con F và véc tơ x. Tìm hình chiếu của x xuống
F và khoảng cách từ x đến F .
Đề tài 16 Trong Rn , cho họ véc tơ E. Kiểm tra xem E có là cơ sở hay khơng? Nếu có,
hãy nhập ma trận của axtt f : Rn → Rn . Tìm cơ sở và số chiều của nhân và
ảnh của f .

2


2

Các câu hỏi làm trên command window

2.1

Nhóm 1

Tìm argument, modul của số phức, số phức liên hợp
√
√
√
1+i 3
−1 + i 3
2. z = (1 + i 3)(1 − i).
1. z =
.
3. z =
.
1+i
1−i
Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau bằng ý nghĩa hình học.
(
(
|z + 1 − i| = 1
|2z − i| = 1
4.
5.
|z − 1 + 2i| = 2
|3z − 3 + 2i| = 2
Giải phương trình trong phức
6. z 2 = z¯.

7. z 2 = z − z¯.


8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.




2 −1 4 5
1 2 0 −1
;B =
Cho A =
. Tìm C = AT B và tính
2 1 3 −1
−1 3 0 −1
vết C, hạng C, định thức của C.


0
2 −4
 −1 −4 5 

 . Chứng tỏ r(A) = r(AAT ) = r(AT A).
Cho A = 
 3
1
7 
0
5 −10






−1 2
2 1 0
1 2 1
Cho A =
, B =  0 2, C = −1 1 1 . Tính 2AC −
−1 1 −2
−1 1
0 2 −1
T
(CB)


−2 1 1
Tìm chỉ số lũy linh của ma trận  −3 1 2 . (Chỉ số lũy linh của ma trận
−2 1 1
vuông A là số tự nhiên m nhỏ nhất sao cho Am = 0. Chỉ số lũy linh luôn nhỏ
hơn hoặc bằng cấp ma trận)



3 4 6
√
Tìm chuẩn Frobenius của  2 1 7 . (Chuẩn Frobenius là AAT , bằng với
−2 5 3
căn của tổng bình phương các phần tử ma trận A).


1 1 1 1
 2 3 −1 4 

Cho A = 
 −1 1 0 2  . Với giá trị nào của m thì A khả nghịch?
2 2 3 m



 1 0
1 0 2 
1 1 .
Tìm ma trận nghịch đảo của
0 1 0
0 1
3




15.

16.

17.

18.

19.

20.


2 1 1
Cho A =  3 1 2  . Tính f (A), với f (x) = x2 − 2x − 3
1 −1 0




3 −2 6
1 1 −1
5  . Tìm m để AB khả nghịch
Cho A =  5 1 4  , B =  0 2
3 1 1
1 −2 m


−1 3 2
Cho A =  2 1 0  . Tìm PA .
4 3 1


 

1 2 1
1 1 1
Tìm m để 2 3 m  . 2 3 2 khả nghịch.
3 2 −1
5 7 5


2 3 1
Cho ma trận A =  3 4 2  . Tìm PA .
5 3 −1


1 1 2 1
Đưa ma trận 2 3 4 5 về dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấp (không được
3 4 6 9
dùng lệnh rref ).

21. Giải phương trình ma trận


 
2 −1
−2
(a)
.X =
3 1
3

(b)

22. Tìm

23. Tìm

24. Tìm

25. Tìm




5 6
(c)
.X =
7 8




0 −8 3
−25 23 −30

 

3 −2
−1 2
(d)  1 −5 9  X =  −36 −2 −26 

X.
=
2 3 8
−16 −26 7
5 −4
−5 6

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7



2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6
SỐ nghiệm của hệ phương trình
3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7



4x1 + 3x2 + 0x3 + x4 = 8

x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1



x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1
SỐ nghiệm của hệ phương trình
3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5



2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4


x1
−2x2 +3x3 −4x4 = 2



3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3
SỐ nghiệm của hệ phương trình
−2x
+x2 +2x3 −3x4 = 5

1


3x1
+3x3 −10x4 = 8


x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1

2x + x + 3x − x = 2
1
2
3
4
m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3x1 + 4x2 + 2x3 = 6




−2x1 − x2 + mx4 = m − 1
4

3 −1
5 −2







x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5



x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5
26. Giải hệ phương trình
 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5


x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5

=
=
=
=

0

0
0
0

27. Tìm hạng M = {(1; 1; 1; 0), (1; 2; 1; 1)(2; 0; m; −1)} theo m.
28. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con V =< (1; 2; 1; −1), (3; 1; 0; 5), (0; 5; 3; −8) >
29. Cho V =< (1; 2; 1; 1), (2; −1; 1; 3), (5; 5; 4; m) >. Tìm m để dim(V ) lớn nhất. Tìm
cơ sở của V .
30. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con
V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 : x1 + x2 − x3 = 0 ∧ 2x1 − x3 − x4 = 0}

 
 

1 1
2 1
5 2
31. Xét sự ĐLTT, PTTT của họ véc tơ M =
,
,
.
1 −1
2 −3
1 0
32. Trong R3 và cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1)} và [x]E = (1; −3; 2)T . Tìm x.
33. Trong R3 và cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1)}. Tìm toạ độ của x = (1; 2; −1)
trong cơ sở E.
34. Tìm m để M = {(1; 2; −1), (2; 1; 3), (−1; 2; m)} là tập sinh của R3 .
35. Tìm m để M = {(1; −2; 1), (3; 1; −1), (m; 0; 1)} là cơ sở của R3 .
36. Kiểm tra tập M = {x2 + x + 1, 2x2 + x + 1, x2 + 2x + 2} có là cơ sở của P2 [x]?

37. Trong R3 , cho 2 cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} và E 0 = {(1; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 1)}.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E 0 .
38. Tìm m để x = (1; 0; m) là tổ hợp tuyến tính của M = {(1; 1; 1), (2; 3; 1)}.
39. Trong R4 , cho 2 không gian con


 
x1










1 1 −1 −1 x2 
4
F = x∈R |
=
0
, G =< (2; −1; 0; m) > .
1 −1 3 −1 x3 







x4
Tìm m để G ⊂ F .
40. Trong R4 , cho không gian con
V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 − x2 + x3 = 0 ∧ x2 + x3 + x4 = 0}.
Tìm cơ sở của V .
41. Trong R4 , cho 2 không gian con
V1 =< (8; −6; 1; 0), (−7; 5; 0; 1) >, V2 =< (1; 0; −8; 7), (0; 1; 6; −5) > .
Kiểm tra xem V1 ⊥ V2 hay không?
5


42. Trong R4 , cho 2 không gian con
V1 =< (−2; 0; −6; 5), (1; 1; −1; 0) >, V2 =< (2; −1; 1; 2), (−1; 3; 2; m) > .
Tìm m để V1 ⊥ V2 .
43. Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng chính tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1).
Tính cos(u, v).
44. Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng chính tắc, cho u = (1; 1; 2), v = (2; 1; −1).
Tính d(u, v) và tìm 1 véc tơ w vng góc với 2 véc tơ u, v.

6


Trong R3 , cho tích vơ hướng
(x, y) = 2x1 y1 − 3x1 y2 − 3x2 y1 + 5x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 + 4x3 y3
(áp dụng cho câu 45-47 )
45. Tính khoảng cách giữa 2 véc tơ u = (1; 2; 1) và v = (−1; 1; 2).
46. Tính cos(u, v), với u = (1; 2; 1) và v = (−1; 1; 2).
47. Cho F =< 1; 2; 1 >. Tìm cơ sở của F ⊥ .
48. Tìm cơ sở và số chiều nhân của ánh xạ tuyến tính

f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2x1 + x2 − 3x3 ; x1 − 4x2 ).
49. Tìm cơ sở và số chiều ảnh của ánh xạ tuyến tính
f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; x2 + x3 ; x1 − x3 ).
50. Cho axttf : R3 −→ R2 , biết f (1; 1; 0) = (2; −1),
(−1; 1). Tìm f (2; 0; 3).

f (1; 1; 1) = (1; 2),

f (1; 0; 1) =

51. Cho axtt f : R3 −→ R2 biết ma trận của f trong cặp cơ sở
E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} là AE,F



2 1 −3
=
.
0 3 4

Tìm f (1; 2; 3).
52. Cho f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 +x2 ; x2 +x3 ; x3 +x1 ). Tìm véc tơ x sao cho f (x) = (1; 2; 3).


 
 
3
1 6
6
53. Cho A =

và u =
,v =
. Xét xem véc tơ nào là VTR của A.
5 2
−5
−2


3 4
54. Cho A =
, λ1 = −1, λ2 = 3. Số nào là TR của A?
6 5


3 1 1
55. Cho A = 2 4 2. Tìm tất cả các TR và VTR tương ứng của ma trận A.
1 1 3


0 −8 6
56. Cho A = −1 −8 7 . Tìm m để A có trị riêng bằng 2. Tìm tất cả các TR
1 −14 m
và VTR tương ứng của ma trận A với m vừa tìm được.


1 2 3
57. Cho A =  2 5 4  . Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi
3 7 8
sơ cấp. (Ghép vào ma trận đơn vị, dùng lệnh rref đưa về bậc thang suy ra kết
quả.)

58. Trong R3 , cho M = {(1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1)}. Tìm m để (3; 8; m) là tổ
hợp tuyến tính của M .
59. Trong R3 , cho V =< (1; 2; −1), (3; 2; −1), (0; 2; −1) >. Tìm m để (−3; 5; m) ∈ V .

7


60. Trong R4 , cho U = h(1, 2, 1, 1); (2, 1, 0, −2)i và V = h(1, 5, 3, 5); (3, 0, −1, m)i.
Tìm m để U ≡ V .
61. Trong R4 , cho V là tập nghiệm của hệ phương trình


x1 + x2 − x3 = 0
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0


x1 + x2 + 2x3 + mx4 = 0
Tìm m để dim(V ) lớn nhất. Tìm cơ sở và số chiều của V với m ở câu a.
62. Trong R4 , cho U = h(1, 2, 1, 0); (2, −1, 1, 1)i V = h(1, 1, −2, 1); (2, 0, 4, m)i. Tìm
m để dim(U + V ) bé nhất. Tìm cơ sở và số chiều của U + V .
4
63. Trong
 R ,
1
U:
−1
Tìm m để

cho 2 khơng gian
 dưới dạng

 tập nghiệm của hệ
 phương trình
1 2 2 2 0
1 2 0 0
,
V :
.
1 −1 2 0
−1 0 −1 m 0
dim(U ∩ V ) lớn nhất. Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V .

64. Trong R4 , cho không gian con
V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 − x2 + x3 = 0 ∧ x2 + x3 + x4 = 0}.
Tìm một cơ sở của V .
65. Trong R4 , cho không gian con
V = {(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ∈ R4 |x1 + x2 + x3 = 0 ∧ −x1 + x2 + x4 = 0}.
Tìm một cơ sở của V ⊥ .
66. Trong R4 , cho KG con V =< (2; −1; 1; 0), (−2; 1; 0; 1) > và x = (1; 1; 0; 1). Tìm
P rV (x).
67. Trong R3 , cho 2 KG con
V1 =< (1; 2; 1), (−1; 0; 1) >, V2 = {(x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R3 |x1 − x2 + mx3 = 0}
Tìm m để V1 ≡ V2 .
68. Trong khơng gian R3 với tích vơ hướng chính tắc, cho F =< (1; 1; 2), (2; 1; −1) >
và véc tơ x = (1; 2; 3). Tìm hình chiếu của x xuống F .
69. Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 − x1 y3 − x3 y1 . Tính
góc và khoảng cách giữa 2 véc tơ u = (1; 1; 2) và v = (2; 1; −1).
70. Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 5x3 y3 − 2x1 y3 − 2x3 y1 . Tìm
khơng gian bù vng góc của F =< (1; 2; 3) >.
71. Cho axttf : R3 −→ R2 , biết f (1; 1; 0) = (2; −1),
(−1; 1). Tìm f (x1 ; x2 ; x3 ).

f (1; 1; 1) = (1; 2),

f (1; 0; 1) =

72. Cho axtt f : R3 −→ R2 biết f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + 2x2 − 3x3 ; 2x1 + x3 ).
Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 3), (2; 5)}.
8


73. Cho axtt f : R3 −→ R3 biết ảnh của một tập sinh
f (1; 1; 1) = (1; 2; 1), f (1; 1; 2) = (2; 1; −1), f (1; 2; 1) = (5; 4; −1)..
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1)}.
74. Cho axtt f : R3 −→ R2 biết ma trận của f trong cặp cơ sở
E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} là AE,F



2 1 −3
=
.
0 3 4

Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
75. Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)}
là


1 0 1
A = 2 1 4 .

1 1 3
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
76. Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)}
là


1 0 1
A = 2 1 4 .
1 1 3
Tìm ma trận của f trong cơ sở E 0 = {(1; 2; 3), (2; 3; 5), (5; 8; 4)}.
77. Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}
là


1 1 −1
A E = 2 3 3  .
1 2 4
Tìm cơ sở và số chiều của Imf .
78. Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận trong cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}
là


1 1 −1
A E = 2 3 3  .
1 2 4
Tìm cơ sở và số chiều của ker f .
Viết một đoạn code nhỏ để thực hiện
79. Nhập vào ma trận A. Tìm phần tử lớn nhất của A.
80. Nhập vào ma trận A. Tìm phần tử nhỏ nhất của A.
81. Nhập vào ma trận A. Tìm tổng các phần tử của A.

82. Nhập vào ma trận A. Tìm tích các phần tử của A.
83. Nhập vào ma trận A. Tìm tích các phần tử khác 0 của A.
84. Nhập vào ma trận A. Đếm số phần tử khác 0 của A.
85. Nhập vào ma trận A. Đếm số phần tử bằng 0 của A.
86. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra xem A có vng và đối xứng hay không?
9