CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bai tap khong gian euclide

KHÔNG GIAN EUCLIDE
TRẦN NGỌC DIỄM


Tích vơ hướng và kg Euclide
f là tích vơ hướng trên kg vector V, nếu:

i  f  x, y   f  y, x .
ii  f  x   f  x .
iii  f  x  y, z   f x, z   f  y, z 
iv  f  x, x  0, x
f  x, x  0  x 0.

Ký hiệu: f  x, y   x, y
Không gian vector với 1 tvh gọi là kg Euclide.


Tích vơ hướng và kg Euclide
Định nghĩa:
x   x, x 

: độ dài vector x

x  y d ( x , y )

: khoảng cách giữa x, y

 x, y 
cos  
x.y

:  là góc giữa x và y


Tích vơ hướng và khơng gian Euclide
1. Trên R2, với tvh <x, y> = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2
a) Tính <x,y> với x = (1,2), y = (-2,1)
b) Tính khoảng cách giữa x và y
c) Tìm độ dài vector x
2. Trên R3 tích vơ hướng (với x = (x1,x2,x3), y = (y1,y2,y3))

 x, y 5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3
a) Tính tích của x = (1,2,3) và y = (1,-1,2)
b) Tính độ dài của x
c) Tính khoảng cách giữa x, y


Sự trực giao
i) x, y trực giao  x y  <x, y> = 0,
ii) S trực giao  S gồm các vector đôi một trực giao.
iii)S trực chuẩn nếu S trực giao và ॥x॥= 1, x  S
iv) x M  x y , yM
v) M  M’  x y , xM, yM’
vi) Bù trực giao của M : M = {x V: x M}
vii) U, W ≤ E, UW : U+W=U W: tổng trực giao


Sự trực giao
Một số kết quả cần nhớ:
1. x  E  x= 0
2. xy, xz  x  y + z, , R

U E, < S > = U, x  U  x  S
3. <S> = U, < S’> = U’, U  U’  S  S’
4. M  E  M  E
Nếu M  E thì dimM + dimM = dimV và M M = E


Sự trực giao
5. Một hệ trực giao khơng có vector 0 thì độc lập tuyến tính
6. Hình chiếu trực giao:

x  E ( kg Euclide), U E  ! y  U , z  U 
x y  z
y =prU x : hình chiếu trực giao (vng góc) của x lên U


Sự trực giao
7. S ={ e1, e2,…,en} là cơ sở trực chuẩn của E
 x1 
 y1 
x 
y 
2 
2 


[ x ]S 
, [ y ]S 
 
 
x 

y 
 n
 n

a. xi  x, ei
b. x, y  x1 y1  x2 y2    xn yn
2
1

2
2

2
n

c. x  x  x    x


Sự trực giao
1. Trên R2, với tvh <x, y> = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2
Vector nào sau đây trực giao với nhau:
x = (-1,2), y = (1,2), z = (1,1), t = (3,4)
Tìm 1 hệ trực chuẩn từ các vector trực giao vừa tìm
được

2. Trên R2 với tvh chính tắc cho u=(1, -2, 1), v=(4,m+2,-1)
Tìm m để u và v trực giao.
• Làm lại với tvh sau:

 x, y 5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3

Sự trực giao
3. Trên khơng gian R3 với tvh chính tắc, cho
U  1,1,  1, 2,3,2 
a. Vector nào sau đây vng góc với U:
u 3,1,1, v  5,4,  1, w 5,4,  1
b. Tìm m để v = (– 3, m, m – 3) vng góc với U
Làm lại với tvh:

 x, y 5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3


Sự trực giao
4. Trong R3, với tvh chính tắc cho
U   x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3 0

W   x1 , x2 , x3  : 2 x1  x2  x3 0
Tìm vector u trong U sao cho u vng góc với W


Sự trực giao
5. Trên R3 với tvh chính tắc, tìm cơ sở của W
a. Cho W= <u1=(1,2,-1,1), u2=(2,4,-3,0), u3=(1,2,1,5)>|
b. W là không gian nghiệm của hệ pt

 x1  2 x2

2 x1  4 x2
 x  2x

2
 1

 x3
 3 x3
 x3



x4

 5 x4

0
0
0


Sự trực giao

6. Trên R3, cho 2 khôg gian con

U   x1 , x2 , x3  : x2  x3 0

W   x1 , x2 , x3  : x1  x2  x3 0, x1  x2  x3 0
Chứng minh U  W


Sự trực giao
7. Trong R4, cho

U  1,  1,2,1, 2,0,3,  1
W  1,3,0, m , 0,5,1, n 
Tìm m, n để

U W


Sự trực giao
8. Trong R3 cho 2 kg con

U  1,2,1,  1,0,1
W   x1 , x2 , x3  : x1  x2  mx3 0, x1  2 x2  x3 0
Tìm m để

U W




Sự trực giao
9. Trên không gian R3 cho S = {(1,1,1), (-2,1,1), (0,-1,1)}.
a) Kiểm tra tính trực giao của S
b) Tìm 1 cơ sở trực chuẩn S’ của R3 từ S.
c) Cho u = (1,2,2), tìm tọa độ của u theo S’


Sự trực giao
Qua trình trực giao hóa Gram - Schmidt:
cho {x1, …, xp} là hệ đltt trong E.

Đặt:

y1 x1 ,
 x2 , y1 
y2  x2 
y1 ,
 y1 , y1 
yk  xk 

k1

 xk , y j 

 y ,y
j 1

j

j



y j , k 2,..., p

Khi đó {y1, …, yp} là hệ trực giao.


Sự trực giao
1. Trên khơng gian R3, trực giao hóa các hệ vecor sau:

u 1,3,  2 , u 0,1,1
1

2

u  1,1,1, u 1,  1,1, u 1,1,  1
1

2

3

2. Bổ sung vào các tập hợp sau để được 1 cơ sở
trực giao của R3.

u 1,  3,2 , u 1,1,1
1

2


Sự trực giao
3. Bổ sung vào các tập hợp sau để được 1 cơ sở
trực giao của R4.

2,2,  2,  2 ,  2,2,  1,1
4. Cho U = <(2,1,0), (1,0,3)>, x = (-1,1,2).
Tìm y U, z U sao cho x = y + z

Sự trực giao
5. Tìm hình chiếu trực giao của x 1,1,1
lên kg con U   1,1,2 , 3,0,  5 

6. Trên kg R3 với tích vơ hướng
 x, y 4 x1 y1  2 x1 y3  2 x3 y1  3x2 y2  3x3 y3
Tìm hình chiếu trực giao của
lên kg con

x 1,1,1

U   1,1,2 , 3,0,  5 