Calculus2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

ĐẬU THẾ PHIỆT

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
Tính các Đạo hàm riêng
1
3. u = p
x2 + y 2 + z
 y x
4. u =
x

y

1. z = esin( x )

2. z = xy

5. Tính

∂f
∂f
(2, 1); (2, 1) với f (x, y) =
∂x
∂y

2
xZ
+y 2

et dt

x+y

6. Chứng minh nếu f (x, y, z) = ln(x3 + y 3 + z 3 − 3xyz) thì
∂f ∂f ∂f
3
+
+
=
∂x ∂y ∂z
x+y+z
y2 y 1 1
+ − + thì
7. Chứng minh nếu f (x, y, z) =
2x 2 x y
x2

∂f
∂f
y3
+ y2
=
∂x
∂y
x

8. Chứng minh nếu f (x, y, z) = (z − y)(x − z)(y − x) thì
∂f ∂f ∂f
+
+
=0

∂x ∂y ∂z
9. Cho x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ

0 0

xr xθ

0 0

yr yθ

0 0

zr zθ

z = r cos θ. Tính


x0ϕ


yϕ0


zϕ0


Vi phân hàm số
1. z = exy

p
2. ln(x + x2 + y 2

Page 1


ĐẬU THẾ PHIỆT


3. ln sin

 y 

4. (xy)z

x

z2
5. Tính df (0, 1, 2) với f (x, y, z) =
x+y
6. Tính df (1, 1) với f (x, y, z) = xyex+y
p
7. Tính gần đúng 3, 982 + 3, 032
8. Tính gần đúng (1, 99)3,02
9. Tính gần đúng sin 32° cos 59°
10. Tìm d2 f với f (x, y) = xy
11. Tìm d2 f với f (x, y, z) = xy + xz + z
12. Tìm d2 f (1, 1) với f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 4 ln x − 2 ln y
∂ 3f
với f (x, y) = x ln(xy)

13.
∂x2 ∂y
∂ 6f
với f (x, y) = x4 sin y + y 3 sin x
14.
3
3
∂x ∂y
15. Tính d3 f với f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy(x − y)
16. Tính d3 f với f (x, y) = xyz
z
17. Tính d2 f (2, 3, 4) với f (x, y, z) = p
x2 + y 2
∂ 6f
18. Tính
với f (x, y, z) = ln(x + y + z
∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Đạo hàm hàm hợp
1.

df
với f (x, y) = xy ;
dt

x = ln t;

y 
df
2.

với f (x, y) = arctan
;
dt
x
3.

y = sin t
x = e2t + 1;

df ∂f
,
với f (x, y) = ln(ex + ey );
dy ∂y

y = e2t − 1

1
x = y2 + y
2
Page 2


ĐẬU THẾ PHIỆT

4.

∂f ∂f
,
với f (x, y) = u ln v;
∂x ∂y

u = xy;

5. df với f (x, y) = u2 v − uv 2 ; u = x cos y

v = x2 − y 2
v = y sin x

6. Chứng minh hàm g = yf (cos(x − y)) với f là một hàm khả vi, thoả phương
trình
∂g ∂g
g
+
=
∂x ∂y
y
7. Chứng minh hàm g =

y
với f là một hàm khả vi, thoả phương
f (x2 − y 2 )

trình

g
1 ∂g 1 ∂g
+
= 2
x ∂x y ∂y
y

8. Chứng minh hàm h(x, y) = xf (x + y) + yg(x + y) với f, g là hàm khả vi,
thoả phương trình
∂ 2h
∂ 2h
∂ 2h
−2
=0
+
∂x2
∂x∂y ∂y 2
2
∂ 2h
2∂ h
9. Chứng minh 2 = a
với h = f (a − at) + g(x − at) trong đó f, g là các
∂t
∂x2
hàm khả vi và a là hằng số

x2
10. Chứng minh hàm z = f (xy) với f là hàm khả vi thoả phương trình
3y
x2 − xy

∂z
∂z
+ y2
=0
∂x

∂y



y2
11. Chứng minh hàm số z = ex f xe 2x2 với f là hàm khả vi, thoả phương
trình
xy

∂z
∂z
+ (y 2 − x2 )
= xyz
∂x
∂y

Đạo hàm hàm ẩn
1. yx0 biết cos(xy) − exy − xy 2 = 0
2. yx0 biết xy = y x
3. y 0 (1), y 00 (1) biết x2 + 2xy + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0 và y(1) = 2
Page 3


ĐẬU THẾ PHIỆT
 
x
z
4. zx0 , zy0 biết = ln
+ 10
z

y
∂z ∂z
xy
,
biết
− z ln(y + z) = 0
∂x ∂y
z


x
00
6. zx0 , zxx
biết z = y + arctan
z−y
5.

7. u0x , u0y biết u = x cos z + z sin y với z(x, y) xác định bởi xyz + ez = 0
8. u0x , u0y biết u =
9.

10.

x+z
và z(x, y) xác định bởi zez = xez + yey
y+z

dx dy
,
biết x, y, z thoả hệ

dz dz
(
x+y+z =0
a)
x2 + y 2 + z 2 = 1

(
x2 + y 2 = z 2
b)
x+y+z =0

∂u ∂v ∂u ∂v
, , ,
biết u, v là hàm theo x, y xác định bởi
∂x ∂x ∂y ∂y
(
u+v−x=0
u2 + v 2 − y = 0

z
11. dz biết yz − e x + x2 + y 2 = 0
12. d2 z biết x + y + z = ez
13. dz(3, −2), d2 z(3, −2) biết z(x, y) là hàm khả vi thoả z 3 − yz + x = 0 và
z(3, −2) = 2

Đạo hàm theo hướng
−
1. Tính đạo hàm theo hướng →
u của hàm f = x3 + 2y 2 − 3x3 tại điểm A(2, 0, 1)
−→

−
với →
u = AB, B(1, 2, −1)
−−−→
2. Tính modul của gradf với f = x3 + y 3 + z 3 − 3xy tại A(2, 1, 1). Khi nào thì
−−−→
−−−→
gradf vng góc với Oz. Khi nào gradf = 0
p
−−−→
1
3. Tính gradf với f = x2 + + ln r với r = x2 + y 2 + z 2
x
Page 4


ĐẬU THẾ PHIỆT
4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số f = x sin z − y cos z từ gốc toạ
độ là lớn nhất.
p
−−−→
5. Tính p
góc giữa hai vector gradz của các hàm số z = x2 + y 2 và z = x −
3y + 3xy tại (3,4)
6. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến tại M (0, 0, π) của mặt z =
2arccot(x − y)

Tính tích phân kép
ZZ
1.

x sin(x + y)dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤

π 2
π
;y ≤ x ≤
2
2

D

ZZ
2.

x2 (y − x)dxdy: D giới hạn bởi các đường cong y = x2 và x = y 2

D

ZZ
3.

|x + y|dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1; |y| ≤ 1}

D

ZZ p
4.
|y − x2 |dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
D

ZZ
5.

|y − x2 |3 dxdy: D = {(, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}

D

ZZ
6.

(|x| + |y|)dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1}

D

ZZ
7.

(
dxdy
4y ≤ x2 + y 2 ≤ 8y
√
:D=
(x2 + y 2 )2
x ≤ y ≤ 3x

D

ZZ s
8.

1 − x2 − y 2
dxdy D : x2 + y 2 ≤ 1
2
2
1+x +y

D



x2 + y 2 ≤ 12





x2 + y 2 ≥ 2x
ZZ

√
xy
2
2
9.
dxdy:
D
=
x + y ≥ 2 3y

x2 + y 2



x>0
D



y > 0
Page 5


ĐẬU THẾ PHIỆT
ZZ
10.

|9x2 − 4y 2 |dxdy: D :

x2 y 2
+
≤1
4
9

D

ZZ
11.

(
1 ≤ xy ≤ 4

(4x2 − 2yd2 xdy: D :
x ≤ y ≤ 4x

D

ZZ
12.

|x|2x

2

−y

dxdy

(
−1 ≤ x ≤ 1
D:
−1 ≤ y ≤ 0

D
√

2

Z

Z
dx

13. Đổi thứ tự lấy tích phân

f (x, y)dy
x2 −4

−2
1

Z

Z
dx

14. Đổi thứ tự lấy tích phân
0

ZZ
(8x − 3y)dxdy

15.

4−x

2−x

√
1− 1−x2

f (x, y)dy

(
2x + 3y ≤ 1
D:
x ≥ 0; y ≥ 0

D

ZZ
16.

cos(x − y)
dxdy
sin x cos y

D:

nπ

π π
πo
≤x≤ ; ≤y≤
6
3 6
3

D

ZZ
17.

dxdy
1 + (x2 + y 2 )2

(
x2 + y 2 ≤ 1
D:
x≥0

D

ZZ
18.

dxdy
p
4 − (x2 + y 2 )2

(
x2 + y 2 ≤ 3
D:
x≥0

D

ZZ
(x + y)(y + 2x)dxdy

19.

D giới hạn bởi y = −x; y = 1 − x; 2x + y = 0;

D

2x + y = 2
ZZ
20.
ln(1 + x2 + y 2 )dxdy

p
D : giới hạn bởi y = a2 − x2 ; y = 0

D

ZZ
(y−x)(y+2x)dxdy

21.

D giới hạn bởi y = x; y = 1+x; 2x+y = 0; 2x+y = 2

D

Page 6


ĐẬU THẾ PHIỆT
ZZ

2

p
D giới hạn bởi y = − a2 − x2 ; y = 0

2

arctan(1 + x + y )dxdy

22.
D

1

Z

√
1+ 1−x2

Z

f (x, y)dy

dx

23. Đổi cận tích phân

2−x

0
1

Z

x2

Z
dx

24. Đổi cận tích phân

0

ZZ
25. Biểu diễn tích phân

1
2 (3−x)

f (x, y)dy +

0

√

Z 3Z

f (x, y)dy
1

0

f (x, y)dxdy trong toạ độ cực với D cho bởi x2 +y 2 ≤

D

6x + 2 3y
Z1
26. Đổi cận tích phân

√

Z1−x2
dx
f (x, y)dy

0

(1−x)2
2

ZZ p
|y − x2 |dA trong đó D giới hạn bởi −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
27. I =
D

√ 2
Z1−y

Z1/2

dy
√

28. Chuyển sang toạ độ cực
0

f (x, y)dx
2y−y 2

√
2
Z 2
Z2y−y
29. Đổi cận tích phân
dy
f (x, y)dx
1

2−y

Z1
30. Đổi thứ tự lấy tích phân

√ 2
Z2−y
dy
f (x, y)dx
√

0

ZZ
31. Biểu diễn tích phân
4, y ≥ x

y

f (x, y)dxdy trong toạ độ cực với D cho bởi x2 +y 2 ≤

D

√
Z2

1−(y−1)2

Z
dy

32. Đổi thứ tự lấy tích phân
1

f (x, y)dx
2−y

Page 7


ĐẬU THẾ PHIỆT
Z0

f (x, y)dy +

dx

33. Đổi cận tích phân

Z1

Z1

−1

√

2−y

0

Z1

Z1
dy

Z1/2
0

f (x, y)dx
√

0

36. Đổi thứ tự lấy tích phân

2x−x2

√ 2
Z 1−y
f (x, y)dx

dy

35. Đổi thứ tự lấy tích phân

√

1+

Z1
34. Đổi thứ tự lấy tích phân

f (x, y)dy

dx
0

−x

Z1

y

√ 2
Z1−y

dy
√

f (x, y)dx
2y−y 2

ZZ
max{x, y}dA trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤

37. I =
D

y≤4
ZZ
38. I =
|xy|dA với D là miền giới hạn bởi 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4
D

ZZ
|y|dA với D là miền

39. I =

x2 y 2
+

≤ 1 và x2 + y 2 ≥ 1
16
9

D

ZZ 
40. I =

x2 y 2
+
16
9

p


dA trong đó D giới hạn bởi x = 0, y = 0, x =

9 − y2
12

D

41. Tính diện tích miền giới hạn bởi x2 + 3y 2 ≤ 1, y ≥ 0, y ≥ x
√
42. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2x ≤ x +y ≤ 6x,y ≤ x 3, x+y ≥ 0
ZZ
43. I =
(x − yd A với D giới hạn bởi đường x = a cos3 t, y = a sin3 t, 0 ≤ t ≤

2

2

D

π/2 và các trục toạ độ

Tính tích phân bội 3
Page 8


ĐẬU THẾ PHIỆT


ZZZ
0 ≤ x ≤ 1/4
1.
zdxdydz: V = x ≤ y ≤ 2x
p


0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y 2
V
(
ZZZ
x2 + y 2 + z 2 = 1
2
2
2.

(x + y )dxdydz ; V :
x2 + y 2 − z 2 = 0
V

ZZZ
3.

(
x2 + y 2 ≤ 1
V :
1≤z≤2

(x2 + y 2 )zdxdydz

V

ZZZ
z

4.

p
x2 + y 2 dxdydz

V

(a) V giới hạn bởi x2 + y 2 = 2x và các mặt y = 0, z = 0, z = a
(b) V là nửa hình cầu x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ 0
x2 + y 2 z 2
+ 2 ≤ 1; z ≥ 0

(c) V là nửa khối Ellipsoid
a2
b
ZZZ
p
5.
ydxdydz V giới hạn bởi y = x2 + z 2 và mặt phẳng y = h
V

ZZZ
6.

(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz

(
1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4
V :
x2 + y 2 ≤ z 2

V

ZZZ p
x2 + y 2 dxdydz
7.

V giới hạn bởi x2 + y 2 = z 2 và z = 1

V

ZZZ

8.

dxdydz
p
x2 + y 2 + (z − 2)2

(
x2 + y 2 ≤ 1
V :
|z| ≤ 1

V

9.

ZZZ p

x2 + y 2 + z 2 dxdydz

V giới hạn bởi x2 + y 2 + z 2 ≤ z

V

ZZZ
10.

z 3 dxdydz
(x2 + y 2 + z 2 )2

(

x2 + y 2 ≤ 1
V
1≤z≤5

V

Page 9


ĐẬU THẾ PHIỆT
ZZZ p
11.
6y − x2 − y 2 − z 2 dxdydz

V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 6y

V


z=0



ZZZ
x + y + z = 10
f (x, y, z)dxdydz với Ω bị chặn bởi các mặt
12. Biểu diễn tích phân

xy = 4



Ω

x+y =5
ZZZ p
13.
x2 + y 2 + z 2 dxdydz với V là nửa trên của hình cầu có phương trình
V

x2 + y 2 + z 2 ≤ R2
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz với Ω xác định bởi Ω =

14. Xác định cận của tích phân
Ω

(
x2 + y 2 + z 2 ≤ 16
p
x2 + z 2 + y ≤ 0
ZZZ
15. Xác định cận lấy tích phân

(
4 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 9
f với Ω = p 2
y + z2 + x ≤ 0

Ω

ZZZ
16. I =

(y+z)dV với V giới hận bởi z = x2 +y 2 , x2 +y 2 = 4, z = 2+x2 +y 2 .

V

ZZ
17. I =

xdV với V giới hạn bởi x + y 2 + z 2 ≤ 0, x2 + y 2 + z 2 ≤ 2

D



ZZZ
0 ≤ x ≤ 1/4
18.
zdV trong đó miền V xác định bởi x ≤ y ≤ 2x
p


0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y 2
V
(
ZZZ
x2 + y 2 + z 2 = 1
2
2

19.
(x + y )dV trong đó V =
x2 + y 2 − z 2 = 0
V

ZZZ
20.

(
x2 + y 2 ≤ 1
2
2
(x + y )zdV trong đó V =
1≤z≤2

V

Page 10


ĐẬU THẾ PHIỆT
ZZZ
z

21.

p
x2 + y 2 dV trong đó

V

• V là miền giới hạn bởi mặt trụ x2 + y 2 = 2y và các mặt x = 0, z =
0, z = a
• V là nửa của hình cầu x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≤ 0, a(> 0)
x2 + y 2 z 2
+ 2 ≤ 1, z ≥ 0, (a, b > 0)
• V là nửa khối Ellipsoid
a2
b
ZZZ
p
22.
ydV trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón y = x2 + z 2 và mặt
V

phẳng y = 4.
(
ZZZ
1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4
2
2
2
23.
(x + y + z )dV trong đó V :
x2 + y 2 ≤ z 2
V

ZZZ p
x2 + y 2 dV trong đó V giới hạn bởi x2 + y 2 = z 2 , z = 1
24.

V

ZZZ
25.

(
dV
x2 + y 2 ≤ 1
trong đó V :
x2 + y 2 + (z − 2)2
|z| ≤ 1

V

ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dV trong đó V là miền giới hạn bởi x2 + y 2 + z 2 ≤ z
26.
V

ZZZ
27.

xyzdV với V là miền giới hạn bởi các mặt y = x2 , x = y 2 z = xy,

V

z=0
ZZZ
28.

dV
với V giới hạn bởi các mặt x + y + z = 1, x = 0,
(1 + x + y + z)3

V

y = 0, z = 0
ZZZ
29.
|xyz|dV với V là cho bởi x2 + y 2 ≤ 2z, 0 ≤ z ≤ 2
V

ZZZ
30.

z
dV với V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + z 2 = 1, x2 + z 2 = 2,
2
2
x +z

V

y = π, y = 2π
Page 11


ĐẬU THẾ PHIỆT
ZZZ
z

31.

p
x2 + y 2 dxdydz với Ω xác định bởi x2 + y 2 ≤ 2x, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 3

Ω

ZZZ
y cos(x + z)dV với V là miền giới hạn bởi các mặt y =

32.

√

x, y = 0,

V

z = 0, x + z = π/2
ZZZ
xy
√ dV với V là miền giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 = 4z 2 , z = 1, trong
33.
z
V

góc 1/8 thứ nhất.
ZZZ
34.

(x2 + y 2 )dV với V là miền cho bởi 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 0
V

ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dV với V cho bởi x2 + y 2 + z 2 ≤ x
35.
V

ZZZ
36.

1
p
dV với V là miền giới hạn bởi x2 + y 2 ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 2
2
2
2
(x + y + 4)

V

ZZZ
(x + y + z)dxdydz

37.

V : giới hạn bởi x + y + z = a; x = 0; y = 0; z = 0

V

ZZZ
xyzdxdydz

38.

V giới hạn bởi y = x2 ; x = y 2 ; z = xy; z = 0

V

ZZZ
39.

(x2 + y 2 )dxdydz

V giới hạn bởi z = x2 − y 2 ; z = 0; z = 1

V

ZZZ
zdxdydz

40.

V giới hạn bởi z 2 =

h2 2
(x + y 2 ); z = h
2
R

V

ZZZ
|xyz|dxdydz

41.

V giới hạn bởi x2 + y 2 ≤ 2z; 0 ≤ z ≤ a

V

ZZZ
dxdydz

42.

V giới hạn bởi x2 + y 2 = 1; x = 0; z = 0; z = a

V

Page 12


ĐẬU THẾ PHIỆT
ZZZ
43.

z
dxdydz
x2 + z 2

V giới hạn bởi x2 + z 2 = 1; x2 + z 2 = 2; y = π; y = 2π

V

ZZZ
y cos(x + z)dxdydz

44.

V giới hạn bởi y =

√

x; y = 0; z = 0; x + z =

π
2

V

ZZZ
45.

xy
√ dxdydz
z

V giới hạn bởi x2 + y 2 = 4z 2 ; z = 1; x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0

V

ZZZ p
46.
x2 + y 2 dxdydz

V giới hạn bởi x2 + y 2 = z 2 ; z = 1

V

ZZZ
z

47.

p
x2 + y 2 dxdydz

V giới hạn bởi y =

p
2x − x2 ; y = 0; z = 0; z = a

V

√2 2
x2Z
−y 2 /a
Za −y
p

dy
dx
x2 + y 2 dz

√
a/
Z 2

48.
0

ZZZ
49.

y

xyz 2 dxdydz

0

V cho bởi x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 và x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0

V

ZZZ
50.

(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz

V là miền giới hạn bởi mặt cầu x2 + y 2 + z 2 =

V

x+y+z
ZZZ
51.
(x2 = y 2 )dxdydz

V cho bởi R12 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ R22 ; z ≥ 0

V

ZZZ p
52.
x2 + y 2 + z 2 dxdydz

V cho bởi x2 + y 2 + z 2 ≤ x

V

ZZZ
53.

dxdydz
p
x2 + y 2 + (z − 2)2

V cho bởi x2 + y 2 ≤ 1; −1 ≤ z ≤ 1

V

ZZZ
xyzdxdydz

54.

x2 + y 2
V giới hạn bởi z = x +y ; z =
; xy = a2 ; xy = b2 ;
2
2

2

V

y = αx; y = βx (z = x2 + y 2 , 0 < α < β)
Page 13