Đề ôn cuối kì có giải CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

1 / 26


Câu 1.



2 2 1
Cho hai ma trận A =  2 5 3  và
2 3 5


3 1 2
B =  −1 2 4  . Tìm ma trận X thỏa
2 6 3
AX − X = B T

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

2 / 26


AX − X = B T ⇔ (A − I )X = B T

Vậy X


20
 −6
−5

⇔ X = (A − I )−1.B T

−1 
T
1 2 1
3 1 2
=  2 4 3   −1 2 4  =
2 3 4
2 6 3

−9 −10

2
5 
4
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

3 / 26


Câu 2.
Trong R4 cho không gian con
U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1).
a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U.
b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥.
c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

4 / 26

a) Để v ∈ U thì ∃α, β ∈ R :
v = (1, 2, −1, m) = α(1, 1, 2, 2) + β(2, −1, 1, 0)


α + 2β = 1



α−β = 2
2α + β = −1




2α = m
Hệ này vô nghiệm nên @m sao cho v ∈ U.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

5 / 26


b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥. Véctơ
x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ⊥ nên x ⊥ (1, 1, 2, 2) và
x ⊥ (2, −1, 1, 0)


x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 0
2x1 − x2 + x3 = 0
Cơ sở của U ⊥ : e1 = (−1, −1, 1, 0) và
e2 = (−2, −4, 0, 3). Số chiều dim(U ⊥) = 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

6 / 26


c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.
z= αe1 + βe2 + g , với g ∈ (U ⊥)⊥.
< z, e1 >= α < e1, e1 > +β < e1, e2 >
< z, e2 >= α < e1, e2 > +β < e2, e2 >

7
14
3α + 6β = 0
⇔
⇔ α = , β = − Vậy
6α + 29β = −7
17
17
hình chiếu của z xuống U ⊥ là
14
7

f = (−1, −1, 1, 0) − (−2, −4, 0, 3) =
17
17
14 14 21
(0, , , − )
17 17 17
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

7 / 26


Câu 3.
Trong R4 cho 2 không gian con
U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) >

x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 0
V :
2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0
a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V .
b) Tìm cơ sở và số chiều của U + V

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

8 / 26


a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V .
x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ∩ V ⇔ x ∈ U ∧ x ∈ V .
x ∈ U ⇔ (x1, x2, x3, x4) = α(1, 1, −2, 1) +
β(1, 2, 1, 0)= (α + β, α + 2β, −2α + β, α)
−8α + 8β = 0
x ∈V ⇔
⇔ α = β.
−2α + 2β = 0
Vậy x = α(2, 3, −1, 1). Từ đó suy ra (2, 3, −1, 1)
là tập sinh của U ∩ V . Véctơ (2, 3, −1, 1) độc lập
tuyến tính nên cơ sở của U ∩ V là (2, 3, −1, 1).
Dim(U ∩ V ) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

9 / 26


Tìm
 cơ sở của V


1 2 3 −5

1 2 3 −5
→
2 −1 2 1
0 −5 −4 11
Cơ sở của V là (−7, −4, 5, 0) và (3, 11, 0, 5)
U +V =
<
11, 0, 5) >
 (1, 1, −2, 1), (1, 2,1, 0),(−7, −4, 5, 0), (3, 
1 1 −2 1
1 1 −2 1
 1 2 1 0



 →  0 1 3 −1 
 −7 −4 5 0 
 0 0 −18 10 
3 11 0 5
0 0 0
0
Cơ sở của U + V là
(1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0), (−7, −4, 5, 0). Dim(U + V ) = 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

10 / 26

Câu 4.
Trong R2 : x = (x1, x2), y = (y1, y2). Xét tích vơ
hướng (x, y ) = 2x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 3x2y2.
Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với
u = (2, −1), v = (1, 3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

11 / 26


Câu 4.
Trong R2 : x = (x1, x2), y = (y1, y2). Xét tích vơ
hướng (x, y ) = 2x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 3x2y2.
Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với
u = (2, −1), v = (1, 3).
√
√
d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v > = 34.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

11 / 26


Câu 5.
Cho ánh xạ f : R3 → R3, biết ma trận của f
trongcơ sở B = {(1,
 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} là
1 −2 1
A =  3 2 0  . Tìm f (4, 3, 6)
−1 3 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

12 / 26


[f (4, 3, 6)]B =
A[(4,
B = 

 3, 6)]

1 −2 1
−2

1
 3 2 0  .  1  =  −4  .
−1 3 4
5
25
Vậy f (4, 3, 6) =
1(1, 1, 0) − 4(1, 0, 1) + 25(1, 1, 1) = (22, 26, 21)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

13 / 26


Câu 6.
Cho ma trận cấp 3



0 2 2
A =  −1 −3 −2 
1 5 4

Tìm một ma trận B ∈ M3(R) sao cho B 3 = A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐỀ ƠN TẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

14 / 26


Xét






−λ
2
2




χA(λ) = |A − λI | =

−1 −3 − λ −2