Bài giải đề 1 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Bài giải đề thi Đại số tuyến tính 2011
Câu 1: Cho
a) Tìm để là một cơ sở của khơng gian vector
b)
là cơ sở chính tắc của
Chọn
. Viết ma trận đổi cơ sở
. Rồi tính
Từ đó chỉ ra cơ sở
của
thỏa

với

.

Giải
a) lập ma trận

Để là một cơ sở của không gian vector
Suy ra
.
Ta có:

Do đó, để
với

thì
và

thì

thì hệ vector

độc lập tuyến tính và

.

và
là một cơ sở của khơng gian vector

b)
- Xác định
Ta có:

Do đó:

-

Tìm

. Ta có:

vậy,

Dương Minh Vũ

Page 1


-

Tìm

biết

Do

nên

Vậy,
Câu 2: Cho
a) Giải thích tại sao
b) Xét

và
(khơng gian con sinh bởi )
là một cơ sở của không gian vector
. Khi nào thì
. Tính tọa độ của vector theo cơ sở lúc đó.
Giải

a) Ta có
Do đó, hệ

là hệ độc lập tuyến tính tối đại của . Suy ra
khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm

là cơ sở của khơng gian vector

Ta lập ma trận

Để
có nghiệm thì
Vậy, Để
Khi đó:

thì

Suy ra tọa độ của vector

Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính

theo cơ sở

từ

Tìm một cơ sở cho mỗi khơng gian

vào

là

có biểu thức như sau:
và
Giải

-

Tìm cơ sở của
Để tìm cơ sở của

, ta tìm ảnh của cơ sở chính tắc của

Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

Dương Minh Vũ

là một cơ sở của

. Ta có

Page 2


Vậy, cơ sở của
Tìm cơ sở của

-

là

và
hay

Do đó

là khơng gian con các nghiệm của hệ
. Ta lập ma trận

là nghiệm của hệ

và hệ nghiệm cơ bản của

chính là một cơ sở của

Vậy, hệ
Ta có thể viết lại như sau

Ta được hệ nghiệm cơ bản là
Do đó,
và cơ sở của
Câu 4:

có các cơ sở
có các cơ sở

là
và

Và
Xét

là ánh xạ tuyế tính từ

Tìm ma trận

vào

có ma trận

rồi suy ra biểu thức của
Giải

-

Xác định

Do đó,
Suy ra:

Dương Minh Vũ

Page 3


-

Xác định

Do đó:
-

Tính

Biểu thức của
Từ

. Ta có

Với

thì

Vậy, biểu thức của

là

Bài 5: Xét xem tập hợp

và

dưới đây có phải là khơng gian vector con của

hay không? tại sao

Bài này rất dễ. Các bạn tự giải nhé

Dương Minh Vũ

Page 4