Anh xa tuyen tinh CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng

TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

1/1


Khái niệm tổng quát

Ánh xạ

Định nghĩa
Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y 6= ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn
tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

2/1


Khái niệm tổng quát

Ánh xạ

Định nghĩa
Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y 6= ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn
tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x).
Định nghĩa
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 6= x2
⇒ f (x1) 6= f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh
nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được
gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

2/1


Khái niệm tổng quát

Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa

Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F
được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu)
nếu và chỉ nếu

f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E
f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E .
Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào
F là L(E , F ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

3/1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

4/1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2,
f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2),
x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) =
(3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) =
f(x)+f(y).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

4/1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,

f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)
= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5/1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,
f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)
= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)
Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (2x12 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5/1

Khái niệm tổng quát

Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,
f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)
= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)
Ví dụ
Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (2x12 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) =
(2λ2x12 − λx2, λx2) 6= λ(2x12 − x2, x2), nếu λ 6= 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

5/1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Định nghĩa
Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được
gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là

ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

6/1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Định nghĩa
Cho E và F là 2 K -kgv, f : E → F là 1 ánh xạ.
Ta nói f là một đẳng cấu từ E lên F khi và chỉ khi
f là tuyến tính và song ánh.
Định nghĩa
Cho E là 1 K -kgv, f : E → E là 1 ánh xạ. Ta nói
f là một tự đẳng cấu của E khi và chỉ khi f là
tuyến tính và song ánh.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

7/1

Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là hạt
nhân của ánh xạ f .
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

8/1


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa

Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là hạt
nhân của ánh xạ f .
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .
1

2

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Im(f ) là khơng gian véctơ con của F
Ker (f ) là không gian véctơ con của E
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

8/1


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa
Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu
rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

9/1


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Định nghĩa
Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu
rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f .
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
f là đơn ánh ⇔ Ker (f ) = {0}
f là toàn ánh ⇔ Im(f ) = F
1

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

9/1


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Chứng minh.
1. Giả sử f là đơn ánh,
x ∈ Ker (f ) ⇒ f (x) = 0 = f (0) ⇒ x = 0 (vì nếu
x 6= 0 thì f (x) 6= f (0)). Vậy Ker (f ) = {0}.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 1


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Chứng minh.

1. Giả sử f là đơn ánh,
x ∈ Ker (f ) ⇒ f (x) = 0 = f (0) ⇒ x = 0 (vì nếu
x 6= 0 thì f (x) 6= f (0)). Vậy Ker (f ) = {0}.
Ngược lại, giả sử Ker (f ) = {0}. Ta chứng minh từ
f (x) = f (y ) ⇒ x = y . Thật vậy,
f (x − y ) = f (x) − f (y ) = 0 ⇒ x − y ∈ Ker (f )
⇒ x − y = 0 hay x = y .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 1


Khái niệm tổng quát

Hạt nhân và ảnh

Chứng minh.
1. Giả sử f là đơn ánh,
x ∈ Ker (f ) ⇒ f (x) = 0 = f (0) ⇒ x = 0 (vì nếu
x 6= 0 thì f (x) 6= f (0)). Vậy Ker (f ) = {0}.
Ngược lại, giả sử Ker (f ) = {0}. Ta chứng minh từ
f (x) = f (y ) ⇒ x = y . Thật vậy,
f (x − y ) = f (x) − f (y ) = 0 ⇒ x − y ∈ Ker (f )
⇒ x − y = 0 hay x = y .
2. f là toàn ánh ⇔ ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x)

⇔ f (E ) = F hay Im(f ) = F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

10 / 1


Khái niệm tổng quát

Ví dụ

Ví dụ
Cho f : P2(x) → R xác định bởi
R1
f (p(x)) = p(x)dx.
0
1

2

3

Tìm Ker (f )
Tìm dim(Ker (f ))
f có phải là đơn ánh khơng?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

11 / 1


Khái niệm tổng quát

1

Ví dụ

p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x)
R1 2
⇒ f (p(x)) = (ax + bx + c)dx
0
a
3

b
2

= + + c = 0 ⇒ c = − 3a − b2 . Vậy
Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) : ∀a, b ∈ R}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2011.

12 / 1