CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Ctct đáp án đề thi online đại số

2
Câu 1:Tìm ma trận X thỏamãn𝑋𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑋 + 𝐵 với𝐴 = 2
1
−1 4 −2
𝐵 = −3 4 0 .
−3 1 3
𝑇

Giải:
𝑋𝐴 + 𝐴𝐵𝑇 = 𝑋 + 𝐵 ⇔ 𝑋 𝐴 − 𝐼 = 𝐵 − 𝐴𝐵𝑇
2 2 1
−1 4 −2
Với𝐴 = 2 0 1 và 𝐵 = −3 4 0 ta có
1 3 2
−3 1 3
1 2 1
−5
2 −1
𝑋. 2 −1 1 =
1
10 3
1 3 1
−10 −8 −3
1 2 1
−5
2 −1
⇒𝑋=
1
10 3 . 2 −1 1
1 3 1
−10 −8 −3

−1

11 −4 −8
= 7 −2
2
27 −7 −23

2 1
0 1 và
3 2


Câu 2:Giảihệphươngtrình:
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0
−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 3
3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 5
Giải:
Biếnđổisơcấp:
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0
3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2
3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2
⇔
⇔
−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 3
2𝑦 + 𝑧 = 4

9𝑧 + 8𝑡 = 14
3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 5
5𝑦 − 2𝑧 − 4𝑡 = 2
9𝑧 + 8𝑡 = 14
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 1
⇔ 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2
9𝑧 + 8𝑡 = 14
Đặt𝑡 = 9𝑚, ta có 𝑧 =

14
9

− 8𝑚

3𝑦 = −2 + 36𝑚 +
𝑥 = 1 − 9𝑚 −

14
8
8
− 24𝑚 = + 12𝑚 ⇒ 𝑦 = + 4𝑚
3
3
9

28
8
11
+ 16𝑚 + + 4𝑚 = − + 11𝑚
9

9
9

Vậyhệ pt cónghiệmdạng 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = −

11
9

8

14

9

9

+ 11𝑚, + 4𝑚,

− 8𝑚, 9𝑚
(𝑚 ∈ ℝ).


Câu 3:Trongℝ4 chohaikhônggian con 𝑈 =< 2, 1, 0, 4 >và
𝑉=

𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 /𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + 𝑥4 = 0 & − 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = 0 .

Tìmcơsởvàsốchiềucủa𝑈 + 𝑉
Giải:
Ta có𝑉 =< 1, −7, −5,0 , 1, −2,0,5 >

Viếtlạithành ma trậnhàngvàbđsc
1 −7−5 0
1 −7−5 0
1
→
→
1 −2 0 5
0 5 5 5
0
0 15 10 4
0
2 1 0 4

−7−5
0
1 1
1
0 −5 −11

Vậykhônggian𝑈 + 𝑉 có 3 chiều,
mộtcơsởcủakhơnggiannàylà 1, −7, −5, 0 , 0, 1, 1, 1 , (0, 0, 5, 11)


Câu 4:Trongℝ3 vớitíchvơhướng 𝑥, 𝑦 =

𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3

= 3𝑥1 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 + 5𝑥2 𝑦2 + 2𝑥3 𝑦3 . Tìmhìnhchiếucủa vector
𝑧 = (1, −1,3)lên khơng gian con 𝑈 =< 1, 2, 3 , (4, 1, 2) >.
Giải:

Ta tìmcơsởcủa kg bùvnggóccủa U.
𝑥, 𝑦, 𝑧 , 1,2,3

=0

𝑥, 𝑦, 𝑧 , 4,1,2
cơsởcủa kg bùvnggóc.

=0

Ta cóhệpt

(với (x,y,z) làmột vector trongtập vector

𝑥 + 9𝑦 + 6𝑧 = 0
Từđósuyra
⇔
11𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 0

𝑥 = 15𝑡
𝑦 = 31𝑡
𝑧 = −49𝑡

Chọn u3 = (x,y,z) = (15,31,-49)
Phântích𝑧 = 𝛼1 𝑢1 + 𝛼2 𝑢2 + 𝛼3 𝑢3
Ta có 1, −1,3 = 𝛼1 1,2,3 + 𝛼2 4,1,2 + 𝛼3 15,31, −49
𝛼1 = −5/334
⇔ 𝛼2 = 141/334
𝛼3 = −15/334
Suy ra hìnhchiếuvnggóccủa z lên U là :

𝛼1 𝑢1 + 𝛼2 𝑢2 =

−5 1,2,3 +141(4,1,2)
334

=

1
334

(559,131,267)


Câu 5: Cho ánhxạtuyếntính𝑓: ℝ3 → ℝ3 có ma trậncủa𝑓 trong cơ sở
𝐸=

1
2, 3, 5 , 1, 1, 2 , (2, −1, 2) là 𝐴𝐸 = −3
3

3
3
−5 −3 . Tìm𝑓(1, 1, 1).
3
1

Giải :
Ta có: 𝑓(𝑥)

𝐸

= 𝐴𝐸 . 𝑥

𝐸

⇒ 𝐸 −1 . 𝑓 𝑥 = 𝐴𝐸 . 𝐸 −1 . 𝑥
⟹ 𝑓 𝑥 = 𝐸. 𝐴𝐸 . 𝐸 −1 . 𝑥
2 1 2
1
3
𝑓 1,1,1 = 3 1 −1 . −3 −5
5 2 2
3
3

3
2
−3 . 3
1
5

1 2
1 −1
2 2

−1

1
7
. 1 = 1

11
2


Câu 6: Cho ma trận:
−3 6 2
𝐴 = −3 6 1
−6 6 5
a. Chéohóa ma trận A.
b. Cho 3 dãysố 𝑢𝑛 , (𝑣𝑛 ) và (𝑤𝑛 ) thỏamãn:
𝑢1 = 2, 𝑣1 = 0, 𝑤1 = 4
𝑢𝑛+1 = −3𝑢𝑛 + 6𝑣𝑛 + 2𝑤𝑛
(∀𝑛 ≥ 1).
𝑣𝑛+1 = −3𝑢𝑛 + 6𝑣𝑛 + 𝑤𝑛
𝑤𝑛 +1 = −6𝑢𝑛 + 6𝑣𝑛 + 5𝑤𝑛
Tính𝑣12 .
Giải:
a. Ta có: 𝐴 = 𝑃. 𝐷. 𝑃−1
2
với𝐷 = 0
0

0 0
2 1 1
3 0 ,𝑃 = 1 1 0
0 3
2 0 3

b. Ta có:
𝑢𝑛 +1

𝑢𝑛
𝑣𝑛+1 = 𝐴 𝑣𝑛
𝑤𝑛 +1
𝑤𝑛
Suyra
𝑢12
𝑢1
𝑢1
11
11
−1
𝑣12 = 𝐴 . 𝑣1 = 𝑃. 𝐷 . 𝑃 . 𝑣1
𝑤12
𝑤1
𝑤1
2 1 1
211
= 1 1 0 . 0
2 0 3
0
Ta có𝑣12 = −350198

0
311
0

2
0
0 . 1
2

311

1 1
1 0
0 3

−1

2
. 0
4