Bt khong gian vecto CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2014.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

1 / 54


Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa
Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E ,
λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi
n
P
λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn là tổ hợp
x=
i=1

tuyến tính của x1, x2, . . . , xn .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

2 / 54


Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn hay không?

Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn với ẩn
λ1, . . . , λn ∈ R.
Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vơ số) thì x
là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn .
rank(x1, x2, . . . , xn ) = rank(x1, x2, . . . , xn , x)
Nếu hệ vơ nghiệm thì thì x khơng là tổ hợp
tuyến tính của x1, x2, . . . , xn .
rank(x1, x2, . . . , xn ) < rank(x1, x2, . . . , xn , x)


Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn hay không?

Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn với ẩn
λ1, . . . , λn ∈ R.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

3 / 54


Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn hay không?

Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn với ẩn
λ1, . . . , λn ∈ R.
Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vơ số) thì x
là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

3 / 54


Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn hay không?

Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn với ẩn
λ1, . . . , λn ∈ R.
Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vơ số) thì x
là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn .
rank(x1, x2, . . . , xn ) = rank(x1, x2, . . . , xn , x)
Nếu hệ vơ nghiệm thì thì x khơng là tổ hợp
tuyến tính của x1, x2, . . . , xn .
rank(x1, x2, . . . , xn ) < rank(x1, x2, . . . , xn , x)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

3 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

{x1, x2, . . . , xm }
là phụ thuộc
tuyến tính

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

4 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

{x1, x2, . . . , xm }
là phụ thuộc
tuyến tính

∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K

không đồng thời bằng 0
m
P
sao cho
λi xi = λ1x1 +
i=1

λ2x2 + . . . + λm xm = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

4 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

{x1, x2, . . . , xm }
là phụ thuộc
tuyến tính

∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K
không đồng thời bằng 0
m
P
sao cho
λi xi = λ1x1 +

i=1

λ2x2 + . . . + λm xm = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

4 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

{x1, x2, . . . , xm }
là phụ thuộc
tuyến tính

∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K
không đồng thời bằng 0
m
P
sao cho
λi xi = λ1x1 +
i=1

λ2x2 + . . . + λm xm = 0
m
P

λi xi =

i=1

λ1x1 + λ2x2 + . . . +
λm xm = 0 ⇒ λ1 =
λ2 = . . . = λm = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

4 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

{x1, x2, . . . , xm }
là phụ thuộc
tuyến tính

∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K
không đồng thời bằng 0
m
P
sao cho
λi xi = λ1x1 +
i=1

λ2x2 + . . . + λm xm = 0
m
P

λi xi =

i=1

λ1x1 + λ2x2 + . . . +
λm xm = 0 ⇒ λ1 =
λ2 = . . . = λm = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

{x1, x2, . . . , xm }
là độc lập tuyến
tính

BÀI TẬP KHƠNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

4 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

{x1, x2, . . . , xm }
là phụ thuộc
tuyến tính

∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K
không đồng thời bằng 0
m
P
sao cho
λi xi = λ1x1 +
i=1

λ2x2 + . . . + λm xm = 0
m
P

λi xi =

i=1

λ1x1 + λ2x2 + . . . +
λm xm = 0 ⇒ λ1 =
λ2 = . . . = λm = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

{x1, x2, . . . , xm }
là độc lập tuyến
tính

BÀI TẬP KHƠNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

4 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

5 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + . . . + λm xm = 0
với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình
này tương đương với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHƠNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

5 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + . . . + λm xm = 0
với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình
này tương đương với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó
Nếu hệ này có nghiệm duy nhất
λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các véctơ
x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

5 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Kiểm tra các véctơ x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + . . . + λm xm = 0
với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình
này tương đương với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó
Nếu hệ này có nghiệm duy nhất
λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các véctơ
x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến tính.
Nếu hệ có vơ số nghiệm thì các véctơ
x1, x2, . . . , xm phụ thuộc tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

5 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn

Đặt A =

x1T

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x2T

...

xmT




và xác định r (A).

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

6 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn

Đặt A =

x1T

x2T

...

xmT

và xác định r (A).

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính.

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHƠNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

6 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn

Đặt A =

x1T

x2T

...

xmT

và xác định r (A).

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính.
Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc
tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

6 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn

Đặt A =

x1T

x2T

...

xmT

và xác định r (A).

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính.
Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc
tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

6 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn

Đặt A =

x1T

x2T

...

xmT




và xác định r (A).

Nếu r (A) = m thì x1, x2, . . . , xm độc lập tuyến
tính.
Nếu r (A) < m thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc
tuyến tính.
Chú ý. m là số véc tơ trong Rn .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

6 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp đặc biệt m = n
Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

7 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp đặc biệt m = n
Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).
Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập
tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

7 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Trường hợp đặc biệt m = n
Ta có thể tính det(A) thay cho r (A).
Nếu det(A) 6= 0 thì x1, x2, . . . , xm độc lập
tuyến tính.
Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, . . . , xm phụ thuộc
tuyến tính.

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHƠNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

7 / 54


Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

Định lý
Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì
độc lập tuyến tính.
1

TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉC-TƠ

TP. HCM — 2014.

8 / 54