Bài giảng Giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (Tiếp theo) - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TỐN
KHỐI 12


CHỦ ĐỀ
KHẢO SÁT SỰ BIẾN
THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ ( tiếp theo)
TIẾT 2


CHỦ ĐỀ: SỰ TƯƠNG GIAO

1. ĐỊNH NGHĨA

Tương giao đồ thị
• Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị
(𝐶1 ) và
𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị (𝐶2 ).
• Phương trình hoành độ giao điểm
của (𝐶1 ) và (𝐶2 ) là 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

• Số giao điểm của (𝐶1 ) và (𝐶2 ) bằng
với số nghiệm của phương
trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 1 .

• Nghiệm 𝑥0 của phương
trình 1 chính là hồnh
độ 𝑥0 của giao điểm.

• Để tính tung độ 𝑦0 của
giao điểm, ta thay hoành
độ 𝑥0 vào 𝑦 = 𝑓 𝑥 hoặc
𝑦=𝑔 𝑥 .
• Điểm 𝑀 𝑥0 ; 𝑦0 là giao
điểm của (𝐶1 ) và (𝐶2 ).


CHỦ ĐỀ: SỰ TƯƠNG GIAO

2. CHÚ Ý : Nếu bài tốn tương giao đồ thị có chứa tham số m

• Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng 𝐹 𝑥, 𝑚 = 0(phương
trình ẩn x tham số m)
• Cơ lập m đưa phương trình về dạng 𝑚 = 𝑓 𝑥 .
• Lập BBT cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
• Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.


VÍ DỤ 1

Đồ thị của hàm số
𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1 và đồ thị hàm số
𝑦 = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1 có tất cả bao nhiêu điểm chung?
Ⓐ. 0.

Ⓑ. 2.

Ⓒ. 3.

Ⓓ. 1.

Lời giải
 −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1
𝑥=0
⇔ −𝑥 3 + 4𝑥 = 0 ⇔ ቎ 𝑥 = 2 .
𝑥 = −2
Chọn C


VD2: Cho đồ thị của hàm số y = x3 -3x2 +2 như hình vẽ bên.
Tìm m để phương trình x3 -3x2 +2 = m có ba nghiệm phân biệt
(C)

Giải
Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số
giao điểm của đường thẳng (d) y = m
và đồ thị hàm số (C) y = x3 -3x2 +2
● ●

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân
biệt khi (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Dựa vào đồ thị ta có (d) cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt khi và chỉ-2khi
Vậy -2 < m < 2 là các giá trị cần tìm

●

y=m

VÍ DỤ 3

Tập hợp các giá trị thực của 𝑚 để 𝑥 3 − 3𝑥 − 4𝑚 = 0 có ba nghiệm phân biệt là
1 1
2 2

A. − ;

.

B. −∞;

1
2

1
2

C. − ; +∞ .

.

Lời giải
•
•
•
•

Tập xác định 𝐷 = ℝ.
Ta có 𝑥 3 − 3𝑥 − 4𝑚 = 0 ⇔ 4𝑚 = 𝑥 3 − 3𝑥
Đặt ℎ 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥.
ℎ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 3.

𝑥=1
• ℎ′ 𝑥 = 0 ⇒ ቈ
.
𝑥 = −1
• Bảng biến thiên
• Dựa vào BBT, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

−2 < 4𝑚 < 2 ⇔
• Chọn A

−1
2

1
2

<𝑚< .

D. (−2; 2).


VÍ DỤ 4

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 có bảng biến thiên như sau. Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚
để phương trình 𝑓 𝑥 = 𝑚 có ba nghiệm phân biệt.

Ⓐ.𝑚 < −2.
Ⓑ.−2 < 𝑚 < 4.
Ⓒ.−2 ≤ 𝑚 ≤ 4.
Ⓓ. 𝑚 > 4.

Lời giải
• Dựa vào bảng biến thiên của hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥

• Suy ra đường thẳng 𝑦 = 𝑚 cắt đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑓 𝑥 tại ba điểm phân biệt khi −2 < 𝑚 < 4.
Chọn B


VÍ DỤ 5

Đường thẳng 𝑦 = 𝑥 − 1 cắt đồ thị hàm số 𝑦 =

2𝑥−1
𝑥+1

Ⓐ. 0; −1 , 2; 1 .

Ⓑ. 0; 2 .

Ⓒ. 1; 2 .

Ⓓ. −1; 0 , 2; 1 .

 Lời giải
•𝑥−1=

2𝑥−1
𝑥+1

𝑥 ≠ −1 .

•⇔ 𝑥 2 − 2𝑥 = 0
•⇔ ቈ

𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = −1
.
𝑥=2⇒𝑦=1

•Vậy toạ độ giao điểm là 0; −1 và 2; 1
• Chọn A.

tại các điểm có tọa độ là:


VÍ DỤ 6

Gọi 𝑀, 𝑁 là các giao điểm của hai đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2 và 𝑦 =
điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁. Tìm hồnh độ điểm 𝐼.
Ⓐ. 7.

Ⓑ. 3.

Ⓒ.

−7

.
2

7
2

Ⓓ. .

Lời giải
7𝑥−14
• 𝑥−2=
⇔ 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 = 0 ( 𝑥 ≠ −2)
𝑥+2

•
•
•
•

𝑥=5
⇒ 𝑀 2; 0 ; 𝑁 5; 3 .
𝑥=2
Do 𝐼 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁 nên
𝑥 +𝑥
2+5
7
Ta có 𝑥𝐼 = 𝑀 2 𝑁 = 2 = 2.
Chọn D.
⇔ቈ

7𝑥−14
.
𝑥+2

Gọi 𝐼 là trung


VÍ DỤ 7

Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 4 + 4𝑥 2 có đồ thị 𝐶 . Tìm số giao điểm của đồ thị 𝐶 và trục hoành.
Ⓐ. 3.

Ⓑ.2.

Ⓒ. 1.

Lời giải
• Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị 𝐶 là
• 𝑥 4 + 4𝑥 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 0
• Vậy đồ thị 𝐶 cắt trục hồnh tại một điểm.
• Chọn C

Ⓓ. 0.


VÍ DỤ 8

Tìm tham số 𝑚 để đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 + 1 cắt đồ thị 𝑦 =
điểm phân biệt là
−3

𝑚≥
2 .
A. ൝
𝑚 ≠ −1

B. 𝑚 ≥

−3
.
2

C. 𝑚 >

𝑥+𝑚
𝑥−1

−3
.
2

tại hai
−3

𝑚>
2 .
D. ൝
𝑚 ≠ −1

Lời giải

• Phương trình hồnh độ giao điểm là:
⇔ቊ

𝑥≠1
𝑥 + 𝑚 = 2𝑥 + 1 𝑥 − 1

𝑥+m
𝑥−1

= 2𝑥 + 1.

⇔

𝑥≠1
𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑚 − 1 = 0
∗
• Yêu cầu bài tốn tương đương với phương trình ∗ có hai nghiệm
phân biệt khác 1
𝑚 ≠ −1
𝑔(1) ≠ 0
𝑚 ≠ −1
ቊ
⇔ቊ
⇔ ൝𝑚 > − 3.
8𝑚 + 12 > 0
𝛥>0
ቊ

2

BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 1

Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 5 cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng
A. 0
B. 1.
C. −5.
D. 5
Lời giải
• Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 − 5 cắt trục tung tại điểm
𝑀 0; −5 .

• Chọn C


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 2

Biết đường thẳng 𝑦 = −2𝑥 + 2 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 + 2 tại một
điểm duy nhất, kí hiệu 𝑥0 ; 𝑦0 . Tìm 𝑦0 .

A. 𝑦0 = 4.

B. 𝑦0 = 0.
C. 𝑦0 = 2.
Lời giải

D. 𝑦0 = −1.

• Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
𝑥 3 + 𝑥 + 2 = −2𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 3 + 3𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0.
• Vậy 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑦0 = 2.

• Chọn C


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 3

Cho hàm số 𝑓 𝑥 có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 là
A. 2.
B. 0.
C. 4.
Lời giải

D. 3.

1

• Phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥 = − .
2
• Số nghiệm của phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 chính bằng số giao điểm của
1

đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = − .
2
• Dựa bảng biến thiên suy ra phương trình 2𝑓 𝑥 + 1 = 0 có 4 nghiệm thực.

• Chọn C


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 4

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị như hình bên. Số nghiệm của phương trình
3𝑓(𝑥) − 5 = 0 là

A. 4.

B. 5. C. 2. D. 3.
Lời giải
5

• Ta có 3𝑓(𝑥) − 5 = 0 ⇔ 𝑓(𝑥) = .
3

5
3

• Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng 𝑦 = cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Do đó phương trình 3𝑓(𝑥) − 5 = 0 có 4 nghiệm.

• Chọn A


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 5

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2𝑓 𝑥 − 5 = 0 là
A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 𝟑.
Lời giải
5
2

• Ta có 2𝑓 𝑥 − 5 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥 = .
5
2

• Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng 𝑦 = cắt 𝑦 = 𝑓 𝑥 tại 4 điểm phân
biệt nên phương trình 2𝑓 𝑥 − 5 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
• Chọn A


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 6
Cho đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 như hình vẽ

Khi đó, phương trình 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 = 𝑚 (𝑚 là tham số) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A. −3 ≤ 𝑚 ≤ 1.

B. −3 < 𝑚 < 1.

C. 𝑚 > 1.

D. 𝑚 < −3.

Lời giải
•

Ta có: đường thẳng 𝑦 = 𝑚 cắt đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 tại 3 đ𝑖ể𝑚 phân biệt khi và chỉ
khi −3 < 𝑚 < 1.

•

Vậy phương trình 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 = 𝑚 (𝑚 là tham số) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −3 <
𝑚 < 1.

•

Chọn B


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 7

Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑥 4 + 4𝑥 2 − 5 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 𝟎.

B. 𝟐.

C. 𝟏.
Lời giải

D. 𝟒.

• Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 4 +
4𝑥 2 − 5 với trục hoành:
𝑥4

+

4𝑥 2

𝑥2 = 1
−5=0 ⇔ ቈ 2
𝑥 = −5 𝑃𝑇𝑉𝑁

⇔ 𝑥 = ±1.

• Phương trình hồnh độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị
của hàm số
𝑦 = 𝑥 4 + 4𝑥 2 − 5 cắt trục hồnh tại 2 điểm.
•

Chọn B


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 8

Cho hàm số 𝑓 𝑥 có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình 𝑓 𝑥 + 2 = 0 là
A. 2.
B. 4.

C. 1.
Lời giải

D. 3.

• Ta có: 𝑓 𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑓 𝑥 = −2
• Số nghiệm của phương trình 𝑓 𝑥 + 2 = 0 là số giao điểm của đồ thị hàm
số 𝑦 = 𝑓 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = −2. Từ bảng biến thiên ta có số nghiệm
là 2.

• Chọn A


BÀI TẬP CỦNG CỐ SỐ 9

Cho hàm số bậc ba 𝑦 = 𝑓 𝑥 có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm
thực của phương trình 𝑓 𝑥 = 1 là

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
• Từ đồ thị hàm số ta có số nghiệm thực của phương trình 𝑓 𝑥 = 1 là 3.
•

Chọn D