Nâng cao kĩ năng giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BÁO CÁO
YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP CƠ SỞ
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: "Nâng cao kĩ năng giải một số bài tốn hình học khơng gian
bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11 trường THPT Sơn Thịnh và các
trường THPT trong khu vực.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 1/9/2020 đến 25/5/2022
5. Tác giả:
Họ và tên : Nguyễn Quỳnh Mai
Năm sinh: 15/07/1980
Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Tốn - Tin học
Chức vụ cơng tác: Tổ trưởng chun môn
Nơi công tác: Trường THPT Sơn Thịnh – Văn Chấn – Yên Bái
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Sơn Thịnh – Văn Chấn – Yên Bái
Điện thoại: 0912111055
II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: "Nâng cao kĩ năng giải một số bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11”.
1.Tình trạng các giải pháp đã biết:
* Lịch sử vấn đề đã nghiên cứu
Trong chương trình toán THPT hiện nay, ở lớp 10 học sinh bắt đầu làm quen với
phương pháp vectơ, sau đó dùng vectơ để xây dựng hệ toạ độ trên mặt phẳng. Sang lớp
1


11 học sinh được làm quen với vectơ trong không gian được phát triển từ vectơ trong
mặt phẳng, sử dụng vectơ để nghiên cứu các quan hệ trong không gian. Ở lớp 12 vectơ

tiếp tục được sử dụng để nghiên cứu một số quan hệ hình học và xây dựng hệ trục toạ
độ trong khơng gian. Với khung chương trình đó, có thể thấy vai trị của vectơ trong
nghiên cứu tốn học là vơ cùng quan trọng. Trong khi đó đa số học sinh lại không để ý
nhiều đến mảng kiến thức đó, chưa liên hệ được nhiều với bài tập hình khơng gian.
Mặt khác, bài tập hình khơng gian được coi là bài tập khó, hình vẽ khơng trực quan,
khơng biết cách trình bày lời giải một bài tốn như thế nào cho mạch lạc, logic, do đó
địi hỏi học sinh cần phải có độ nhanh nhạy, sáng tạo trong tư duy hình khơng gian thì
mới tìm ra lời giải đung hướng.
Công cụ vectơ cũng là một phương pháp tốt để giải một số bài tốn hình khơng
gian nhưng sách giáo khoa lại chưa đi sâu vào việc hướng dẫn trình bày lời giải các bài
tốn hình học khơng gian bằng phương pháp này. Do đó học sinh khi làm tốn hình ít
nghĩ đến việc sử dụng phương pháp vectơ để hỗ trợ giải toán.
Dạng bài này đối với các trường chun, các trường có chất lượng tốt thì khơng
phải là vấn đề khó, nhưng đối với trường THPT Sơn Thịnh với chất lượng đầu vào mơn
tốn rất thấp thì việc tiếp thu vấn đề này qua sách giáo khoa hoặc các tài liệu tham khảo
còn hạn chế, chưa đạt hiệu quả như mong muốn. Trước đây, khi chữa bài phần hình
học khơng gian lớp 11 tơi thường gặp khó khăn trong việc định hướng cách giải cho
học sinh, hầu như rất ít học sinh tự làm được mà chủ yếu giáo viên phải hướng dẫn
cách giải sau đó các em mới theo đó mà trình bày. Tơi cũng có vận dụng phương pháp
vectơ vào chữa cho học sinh nhưng chỉ được một số ít bài nên học sinh chưa khắc sâu
được cách giải, học sinh được chữa bài nào thì biết bài đó, khơng hình thành được
phương pháp cụ thể. Do đó, khơng tạo thành kỹ năng, học sinh rất nhanh qn.
Qua tìm hiểu, tơi thấy vấn đề này đã được đưa ra nhưng còn chung chung, chưa
nêu cụ thể phương pháp giải, nhận dạng bài toán cho học sinh. Trước tình hình đó cùng
với q trình giảng dạy và nghiên cứu, tơi đã tìm hiểu và tổng hợp các dạng bài hình
học khơng gian lớp 11, phân loại cho từng dạng và nêu ví dụ minh họa cho từng dạng
để học sinh tham khảo. Với mong muốn giúp các em tự tin hơn khi gặp các bài hình
2

học khơng gian, xóa bỏ tâm lý sợ khi gặp bài tập dạng này, tôi mạnh dạn đưa ra một
sáng kiến là: "Nâng cao kĩ năng giải một số bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11”. Với sáng kiến này, tôi hy vọng sẽ giúp các
em học sinh lớp 11 trường tôi tự tin hơn khi gặp bài tốn hình học, chuyển một bài tốn
được coi là bài tốn khó về một bài tốn đơn giản hơn có “cơng thức” giải cụ thể. Dần
dần hướng học sinh thoát khỏi phương pháp tư duy lối mòn, phát triển, mở rộng khả
năng tư duy một vấn đề theo nhiều hướng mới hiệu quả.
Trong những năm gần đây, tỉ lệ học sinh đỗ vào các trường đại học, cao đẳng
của trường tôi khá cao. Tuy nhiên, ngay cả các em có học lực khá giỏi cũng chỉ đỗ vào
các trường tốp giữa, do điểm mơn tốn các em chưa cao, số điểm trên 7 còn chưa nhiều.
Tơi mong muốn qua đề tài này, giúp ích một phần nào đó cho học sinh khá giỏi trường
tơi tăng điểm số mơn Tốn trong kì thi THPT Quốc gia cao hơn nữa nhằm nâng cao
chất lượng mơn học nói riêng và chất lượng của nhà trường nói chung. Giúp các em có
thể vào được các trường tốp cao hơn mà các em mong muốn.
* Các giải pháp đã thực hiện:
- Chữa bài tập trong các giờ chính khóa (chỉ có thể chữa được một số ít bài).
- Giới thiệu phương pháp để học sinh về nhà tự tìm hiểu qua tài liệu, sách báo,
internet....
+ Ưu điểm: Học sinh bước đầu đã biết đến việc sử dụng vectơ để giải các bài
tập hình học khơng gian. Phát huy tính tự giác của học sinh.
+ Hạn chế: Để giải các bài tập hình học khơng gian ở lớp 11, sách giáo khoa chỉ
hướng dẫn cách sử dụng kiến thức hình học khơng gian đơn thuần, điều này rất khó đối
với nhiều học sinh, đòi hỏi các em phải rất linh hoạt, nhìn nhận vấn đề tổng qt, khơng
có cơng thức hay định hướng chung nào cả.
*Khảo sát thực trạng:

3


SKKN này đã được áp dụng tại lớp 11A năm học 2020 – 2021 của trường THPT

Sơn Thịnh. Và được tiếp tục thực hiện tại lớp 11C năm học 2021-2022 của trường
THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái.
Kiểm tra trước tác động: Trên lớp 11C năm học 2020-2021 và lớp 11C năm học
2021-2022.
Đề kiểm tra: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các
cạnh AA1, B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).
Hướng dẫn:
Cách 1: Sử dụng phương pháp vectơ:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở và phiên dịch giả thiết, kết luận:
Đặt: DA = a, DC = c, DD1 = b
Theo bài ra ta có:

D

+ M là trung điểm AA1: DM =
+ N là trung điểm B1C1: DN =

(

1
DA + DA1
2

(

)

1
DB1 + DC1
2

+ MN / / ( DA1C1 )  MN = xDC1 + yDA1

C

(1)
B

A

)

(2)
(3)

M

D1

C1

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

N
A1

Từ (1), (2):
MN = DN − DM =

Suy ra:

(

)

(

1
1
−a + 2c + b = c − a + c + b
2
2

1
MN = DC1 − DA1
2

)

(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian
Từ (4) kết luận : MN // (DA1C1).
Cách 2: Sử dụng kiến thức hình học không gian cổ điển:
Gọi I, H lượt là trung điểm của AD và CD
MI / / A1 D  MI / /(DA1C1 ) (1)

4

B1

IH / / A1C1  IH / /(DA1C1 ) (2)

 ( IH  MI )  (MNHI )

D

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

C

B

A

 ( MNIH ) / /(DA1C1 )
M

D1

C1

MN  (MNHI )

Mà

N

A1

B1

Vậy nên MN/ /(DA1C1 )
Kết quả cụ thể của lớp 11C năm học 2020 - 2021, thu được như sau:
Lớp

Kết quả kiểm tra 15’

Số HS

Khá

Giỏi

11C

38

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

0

0%

8

21,1%

17

44,7%

13

34,2%

Kết quả cụ thể của lớp 11C năm học 2021-2022 (trước thực nghiệm)
Lớp

Kết quả kiểm tra 15’

Số HS

Khá

Giỏi

11C

44

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

0

0%

9

20,5%

17

38,6%

18

40,9%

Nhận xét:
Qua các kết quả kiểm tra cho thấy, số học sinh đạt loại khá giỏi chiếm tỉ lệ ít, trong
khi đó học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ rất cao. Nguyên nhân là do các em khơng tìm được
5


hướng giải theo cách thông thường, cụ thể là không tìm được đường thẳng nào nằm
trong mp(DA1C1) song song với MN. Hoặc có em khá hơn tìm ra được cách giải nhưng
lập luận khơng chặt chẽ, thiếu tính logic nên điểm số không cao.
Từ thực trạng trên tôi đã nghiên cứu và làm sáng kiến kinh nghiệm “Nâng cao kỹ năng
giải một số bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp vectơ cho sinh lớp 11”
2. Nội dung các giải pháp đề nghị cơng nhận là sáng kiến:
a) Mục đích của giải pháp: Giúp học sinh lớp 11 giải quyết được một số bài

tốn liên quan đến hình học khơng gian, mà việc vận dụng trực tiếp phương pháp đã
học ở lớp 11 trở nên khó khăn, dễ mắc sai lầm. Nêu ra phương pháp giải, phân dạng
các loại thường gặp có ví dụ minh họa và bài tập áp dụng. Giải pháp được thực hiện
trong tiết ôn tập chương II, ơn tập chương III hình hoc 11 và tiết tự chọn chủ đề quan
hệ song song và quan hệ vng góc trong khơng gian. Giúp học sinh lớp 11 giải được
thêm được một dạng bài được coi là khó trong chương trình tốn THPT, từ đó nâng cao
khả năng tư duy cho học sinh.
b) Nội dung các giải pháp: Giải pháp bao gồm ba phần chính : Phần I – Đặt
vấn đề, Phần II – Nội dung, Phần III – Kết luận và khuyến nghị, trong đó nội dung
chính của sáng kiến tập trung vào đề xuất các dạng bài tập thường gặp trong hình học
khơng gian lớp 11 đó là: Phần chứng minh quan hệ song song, phần chứng minh
quan hệ vng góc và phần tính góc – tính khoảng cách. Mỗi phần lại được phân
loại bài tập cụ thể và có ví dụ minh họa và bài tập áp dụng cho từng loại.
- Hướng dẫn quy trình chung để giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương
pháp véctơ, gồm các bước cơ bản sau:
Bước 1. Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch”
các giả thiết, kết luận của bài tốn hình học khơng gian đã cho ra “ngơn ngữ” véctơ.
Đây là một trong những bước rất quan trọng của bài toán, yêu cầu khi chọn vectơ cơ
sở ta phải chọn hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng. Các vectơ cơ sở khi chọn phải tính
6


được tích vơ hướng, khi chọn ưu tiên chọn các cặp vectơ khi nhân vô hướng lại bằng 0
nhằm đơn giản bài toán.
Bước 2. Thực hiện các phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở
theo cầu của bài toán.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học khơng gian
tương ứng.
- Hướng dẫn vận dụng vào các dạng tốn hình học khơng gian cụ thể như sau:

* Phần chứng minh quan hệ song song:
Bài toán 1. Chứng minh hai đường thẳng song song:
AB // CD với nhau khi và chỉ khi AB = kCD .
Bài toán 2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:
AB//(P)  AB = xa + yb ( a, b không cùng phương và thuộc mặt phẳng (P)) .
Bài toán 3. Chứng minh hai mặt phẳng song song
 AB = x A ' B ' + y A ' C '
(ABC) / / ( A ' B ' C ' )  
.
 AC = x1 A ' B ' + y1 A ' C '

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử E là tâm của mặt ABB1A1; N, I lần
lượt là trung điểm của CC1 và CD . Chứng minh : EN//AI.
Lời giải.
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở và phiên dịch giả thiết, kết luận:
Đặt AB = a, AD = b, AA1 = c
Theo bài ra:

B

C

+ I là trung điểm của CD ta có:

I

1
1
AI = ( AD + AC ) = ( AD + AD + AB )
2

2
=

D

A

.N

.E

1
AB + AD (1)
2

B1

+ E là tâm của mặt ABB1A1 ta có:

A1

7

C1

D1


1
AE = ( AA1 + AB ) (2)

2

1
2

+ N là trung điểm của CC1 ta có: AN = ( AC + AC1 )
1
= ( AB + AD + AB + AD + AA1 )
2
= AB + AD +

1
AA1 (3)
2

+ Chứng minh: EN / / AI  chứng minh EN = k AI
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
1
2

1
2

Từ (2), (3) ta có: EN = AN − AE = AB + AD = a + b (5)
1
2

Từ (1) ta có: AI = a + b

(6)

Từ (5), (6) ta có: EN = AI (7)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian
Từ (7) kết luận: Vì EN và AI là đường thẳng phân biệt nên EN // AI.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam
giác ABA1 và ABC . Chứng minh : MN//(AA1C1).
Lời giải.
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở và phiên dịch giả thiết, kết luận:
Đặt AB = a, AC1 = b, AA1 = c
Theo bài ra:
+ M là trọng tâm của tam giác
AM =

C1

A1
ABA1 ta có:

2
1
AH = ( AB + AA1 ) (1)
3
3

B1
H
M

+ N là trọng tâm của tam giác ABC ta có:
2

1
1
AN = AP = ( AB + AC ) = ( AB + AC1 − AA1 ) (2)
3
3
3

C

A
N
B

8

P


+ Chứng minh:
MN / / ( AA1C1 )  MN = xAC1 + y AA1

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
1
3

1
3

Từ (1), (2) ta có: MN = AN − AM = ( AB + AC1 − AA1 ) − ( AB + AA1 )
1

1
2
1
MN = (a + b − c) − (a + c) = b − c
3
3
3
3
MN =

1
2
AC1 − AA1 (3)
3
3

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian
Từ (3) kết luận: MN//(AA1C1).
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CC’
và A’D’. Chứng minh: (MNP) // (A’BC’).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở và phiên dịch giả thiết,
B
kết luận.
.M
Đặt: AB = a, AD = b, AA ' = c
Ta có A ' B = a − c ; A ' C ' = a + b ;
BA ' = c − a ; BC ' = b + c
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ.

C

D

A

B’

(

)

1
1
1
PN = PD ' + D ' C ' + C ' N = b + a − c = A ' B + A ' C ' (1)
2
2
2
1
1
1
MP = MA + AA ' + A ' P = − a + b + c = BA ' + BC ' (2)
2
2
2

(

)

A’

C’

.P

Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véctơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian.
Từ (1)  PN / / ( A ' BC ')

(3)

Từ (2)  MP / / ( A ' BC ')

(4)

.N

Từ (3) và (4) suy ra (MNP) // (A’BC’)

9

D’


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các
tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1. Chứng minh : MN // EF.
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1,
B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).

Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm
BB1, CC1, AA1. G là trọng tâm tam giác A1B1C1.
Chứng minh: a) (MGC1)//(BA1N)
b) (A1GN)//(B1CE).

* Phần chứng minh quan hệ vng góc:
Bài tốn 1. Chứng minh hai đường thẳng vng góc:
AB và CD vng góc với nhau khi và chỉ khi AB.CD = 0 .
Bài toán 2. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
 AB.a = 0

AB ⊥ (P)  


 AB.b = 0

( a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P)) .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Tam giác SAD đều
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC, CD. Chứng minh: AM ⊥ BP
Lời giải
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở và phiên dịch giả thiết, kết luận.
Đặt HA = a, HN = b, HS = c
S
Ta có: a.c = 0, b.c = 0, a.b = 0
M

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ.
AM =

(

) (

)

1
1
AS + AB = b + c − a ;
2
2

A

B
N

H

10

D

P

C


1

BP = BC + CP = −2a − b
2

Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véctơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian.
2
1 2
1
 AM .BP = a − b = HA2 − AB 2 = 0  AM ⊥ BP
4
4

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các
tam giác ABC và SBC. Chứng minh: HK ⊥ ( SBC ) .
Lời giải:
 BH ⊥ AC
Ta có: 
 BH ⊥ SC  BH .SC = 0

S


 BH ⊥ SA

Khi đó:

(
)
HK .BC = ( HA + AS + SK ) .BC

HK .SC = BK − BH .SC = BK .SC − BH .SC = 0 (1)

K
A

C
H

= HA.BC + AS.BC + SK .BC = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK ⊥ ( SBC )

B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a , AD = a 2
, SA ⊥ ( ABCD ) , M là trung điểm AD. Chứng minh: ( SAC ) ⊥ ( SMB ) .
Lời giải:

S

Đặt AB = a, AD = b, AS = c
Ta có: a.c = 0, b.c = 0, a.b = 0 và BM ⊥ SA (1)
1
BM = b − a , AC = a + b
A
2
2
1 2
1
M
 BM . AC = −a + b = − AB 2 + AD 2 = 0
D

2
2
 BM ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM ⊥ ( SAC ) mà BM  ( SMB)  ( SAC ) ⊥ ( SBM )

11

B

C


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh
AD và BB’. Chứng minh : MN ⊥ A’C.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA=a 3 , AC=2a, AB=a, ABC = 900 . Gọi
M và N là hai điếm sao cho: 3MB + MS = 0 ; 4 NS + 3NC = 0 .
Chứng minh: SC ⊥ (AMN).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A. Vẽ
SO ⊥ (ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh:
DC ⊥ (SOE)).

* Phần tính góc và tính khoảng cách:
Bài tốn 1. Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho đường thẳng chéo nhau d1 và d2 , d1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương a1 ;
đường thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉ phương a2 .
Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là : cos(d1 , d 2 ) =

a1.a2
a1 . a2

Bài tốn 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Giả sử ta đang cần tìm khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB, CD.
- Gọi M, N là 2 điểm nằm trên 2 đường thẳng chéo nhau AB, CD. Biểu biễn
các vectơ MN; AB; CD qua hệ vectơ cơ sở.
 AM = xAB

+ M, N lần lượt thuộc AB, CD  

CN = yCD

+ Sử dụng tính chất tìm điều kiện để MN là đoạn vng góc chung của AB, CD.
Từ đó tìm x, y.
Bài tốn 3. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Để giải quyết bài toán này, ta tìm một đường thẳng thích hợp đi qua điểm đó và
song song với mặt phẳng đã cho, sau đó tìm khoảng cách giữa đường thẳng đó với
12


một đường thẳng trong mặt phẳng, rồi chuyển về tìm đoạn vng góc chung của hai
đường chéo nhau như bài tốn 2.
Bài tốn 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Giả sử m, n là các véc tơ bất kì khác 0 tương ứng vng góc hai mặt phẳng

( ) và (  ) , cịn  là góc hai mặt phẳng ( ) và (  ) . Thế thì: cos =

m.n
m.n

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4 2 . SA = 2 và

SA ⊥ ( ABC ) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường
thẳng SM và AN.

S

Lời giải:
Đặt AB = a, AC = b, AS = c
Vì SA ⊥ ( ABC ) nên: a.c = 0, b.c = 0, a.b = 16

A

Ta có:

C
N

M

1
1 

SM = SA + AM = −c + a  SM =  −c + a  = 2 3
2
2 


(

)

(

B

)

2
1
1
a + b  AN =
a+b = 2 6
2
2
1  1
1 2 1

SM . AN =  −c + a  . a + b = a + a.b = 12
2  2
4
4


AN =

(

)

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SM và AN, thì

(

)

cos = cos SM , AN =

 PQ =

(

SM . AN

=

SM . AN

)

1
1
a − b − 2c  PQ =
6
6

12
1
=
  = 450
2 3.2 6
2

( a − b − 2c )

2

=

2 3
3

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với
(ABCD), SC tạo với đáy một góc 450 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC và SB.
Lời giải:
13


Chọn

vectơ

hệ

cơ

sở:

S

AD = a;AB = b;SA = c

a.b = b.c = c.a = 0

 a = b = a; c = a 2

M

Khi đó: 

Biểu diễn SB; AC qua hệ vectơ cơ sở:
SB = SA + AB = b + c


1
1
1
AC = AB + AD = a + b

2
2
2

(

A

D

N

)

B

C

Lấy điểm M thuộc SB; N thuộc AC sao cho:

(

)

SM = xSB = x b + c = x.b + x.c


1
1
AN = y.AC = y.a + y.b

2
2

Ta có:
1
1 
MN = MS+ SA + AN = −x(b + c) + c + y  a + b 
2 
2
1


1
MN = y.a +  y − x  b + (1 − x ) c
2
2



MN.AC = 0

MN là đoạn vng góc chung của AC và SB khi : 


MN.SB = 0

1 2 1  1
1 2  1
 2
 2
y.a
+
y
−
x

y − x = 0

 b = 0  y.a +  y − x  a = 0
2 2
4
2



2



 1
 1 y − x  b2 + 1 − x c = 0
 1 y − x  a2 + 1 − x 2a2 = 0  y − 3x + 2 = 0
2
(
)
( )



 2
 2




4

2
x
=

2
2

2
1
2
1 
a 10
5
 MN = a − b + c  MN =  a − b + c  =

5
5
5
5
5 
5
5
y = 4

5

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là MN =

14

a 10
.
5


Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Cạnh đáy có độ dài là a, biết
góc giữa 2 đường thẳng AB’ và BC’ là 600 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB’

và BC’ theo a.
Lời giải
Chọn hệ vectơ cơ sở là: AB = a;AC = b;AA ' = c .
a.b = 0; b.c = 0; a = b = a

Khi đó: 
a2
a.b =

2

B

C

A

H

K

Biểu diễn AB'; BC' qua hệ vectơ cơ sở:

B'

C'

AB' = AA ' + A ' B' = a + c
BC' = BB' + B'C' = −a + b + c

A'

Dựa vào góc giữa 2 vectơ AB'; BC'

( )(

)

a2
AB '.BC' = a + c −a + b + c = −a + a.b + c = − + c2
2
2

2

AB ' = a2 + c2

BC' =

(

)

−a + b + c

2

= a2 + b2 + c2 − 2a.b = a2 + c2

(

 cos( AB';BC' ) = cos AB';BC'

 c = a 2;

)

a2
2
AB'.BC'
1

= 2
=
2
a +c
2
AB' BC'
c2 −

c=0 (loai)

Vậy AA’ = a 2 hay c = a 2

( )
(
)

AH = xAB ' = x a + c


Lấy điểm H  AB'; K  BC' sao cho : 
BK = yBC' = y −a + b + c


( )

(

)

HK = HA + AB + BK = −x a + c + a + y −a + b + c = − ( x + y − 1) a + yb + ( y − x ) c

HK .AB ' = 0

Để HK là đoạn vng góc chung của AB’ và BC’ thì: 

HK .BC' = 0

15

(1)



a2
2
− x + y − 1 a2 + a.b.y + y − x c2 = 0
− ( x + y − 1) a + y. + ( y − x ) 2a2 = 0

(

)
(
)


2


2
2
2
2
( x + y − 1) a + yb + ( y − x ) c − ( x + 2y − 1) a.b = 0 ( x + y − 1) a2 + ya2 + ( y − x ) 2a2 − ( x + 2y − 1) a = 0


2
5
3


−3x + 2 y = −1  x = 9


− 3 x + 3 y = 1
y = 4
 2

2
9

Thay x, y vào (1) ta được:
HK =

(

)

1
1
4b − c  HK =
9
9

(

)

2

4b − c =

1
a 2
16b2 + c2 =
9
3

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = a ; AD = a 3 . Hình chiếu vng góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trung với
giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600.

Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng ( A’BD) theo a.
Lời giải
Chọn hệ vectơ cơ sở: OD = a;A 'B' = b;A 'O = c .
Khi đó:


1 2
0
a.b == a.a.cos60 = 2 a ;a.c = 0; b.c = 0

 a = b = a; c = a 3

2

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD và M

B'

A'

là trung điểm AD. Ta có:

C'

D'

A 'O ⊥ (ABCD) 
  A ' M ⊥ AD
OM ⊥ AD


M

(A’ADD’) và (ABCD) là : A ' MO = 600
 A 'O = OM.tan600 =

a 3
2

B

A

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

 c=

O
D

C

a 3
2

Vì B’D’ // (A’BD) nên khoảng cách từ B’ đến (A’BD) bằng khoảng cách giữa B’D’
và A’B.
16

Biểu diển B' D '; A ' B qua hệ vectơ cơ sở: B' D' = 2.a ; A ' B = A ' O + OB = −a + c
Gọi các điểm H  B' D '; K  A ' B sao cho:

(

)

B' H = x.B' D' = 2x.a


A 'K = y.A ' B = y −a + c

(

HK = HB' + B' A ' + A ' K = −2xa + b + y −a + c = ( −2x − y ) a + b + yc

)
(1)

 HK.B' D ' = 0
Để HK là đoạn vuông góc chung của B’D’ và A’B thì : 
 HK.A ' B = 0


a2
2
−2 2x + y a2 + 2a.b = 0
−
2
2x

+
y
a
+
2.
=0
(
)

)
 (

2


2
2
2
2
( 2x + y ) a − a.b + yc = 0  2x + y a2 − a + y 3a = 0
(
) 2 4



−2(2x + y) + 1 = 0
4x + 2y = 1
x = 1/ 4





1 3y
7y 1  
= 0 2x +
=
y = 0
2x + y − +

2 4

2 2

Thay x, y vào (1) ta được:
2

 1

1
a 3
.
HK = − a + b  HK = HK =  − a + b  =
2
2
 2


HK = d (B’;(A’BD))=

a 3

.
2

Vậy khoảng cách giữa B’D’ và A’B bằng
bằng

a 3
hay khoảng cách từ B’ đến (A’BD)
2

a 3
.
2

Ví dụ 5 : Cho hình S.ABC đáy là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc
vng góc với đáy, SA = 3 . Mặt phẳng ( ) song song với các đường thẳng SB và AC,
mặt phẳng (  ) song song với các đường thẳng SC và AB. Tính giá trị của góc giữa hai
mặt phẳng ( ) và (  ) .
Lời giải:
Đặt: AS = a, AB = b, AC = c .
Giả sử m, n là các véc tơ bất kì khác 0 tương ứng vng góc hai mặt phẳng ( ) và

(  ) , cịn  là góc hai mặt phẳng ( ) và (  ) .

17


Thế thì: cos =

m.n

m.n
S

Đặt: m = xa + yb + zc
Ta có:

(

)(

)



 SB.m = 0
 b − c xa + yb + zc = 0
m ⊥ ( )  



 AC.m = 0
c( xa + yb + zc) = 0

 y = −23
6 x − 2 y − z = 0



1
 y + 2z = 0

 x = − 2 z

A

C

B

Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m ⊥ ( ) không được xác định duy
nhất.
Chọn z = −1  x = 1, y = 4 nên m = a + 4b − 2c là một trong các véc tơ vng góc
với ( )
1
⃗⃗⃗⃗ . 𝑛⃗ = 0
𝑡
=
−
𝑢
𝑆𝐶
⃗
2
Tương tự : 𝑛⃗ = 𝑡𝑎 + 𝑢𝑏 + 𝑣𝑐 ⊥ (𝛽) ⇔ {
⇔{
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵. 𝑛⃗ = 0
𝑣 = −2𝑢

Chọn : u = −2  v = 4, t = 1  n = a − 2b + 4c , khi đó : cos =

m.n

1
= .
m.n 5

Nhận xét: Cịn một số bài tốn tính khoảng cách khác có thể dùng phương pháp
khác hữu hiệu hơn như phương pháp tọa độ hoặc dùng cơng thức tính thể tích mà tơi
đã trình bày trong một sáng kiến khác.

18


Bài tập tự luyện:
Bài 1. Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và O1 tương
ứng trọng tâm của các đáy ABC và A1B1C1. Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO1 trên
đường thẳng B1O bằng

5a
. Hãy tính đường cao của lăng trụ.
4

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của góc
giữa các cạnh đối diện.
Bài 3. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h. Tính
cosin của góc:
a) Giữa AB1 và BC1.
b) Giữa AB và B1C.
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 5. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC Tam

giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc  , biết rằng các điểm S và
E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng GC và SA bằng:
A.

a 5
5

B.

a
.
5

C.

a 5
.
10

D.

a 2
.
5

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm

tam giác SCD. Khi đó tan của góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng
(ABCD) bằng:
A.

85
.
17

B.

10
.
17

C.

19

5
.
22

D.

5
.
22


Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm

tam giác SCD. Khi đó cos của góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA
bằng:
A.

330
.
110

B.

33
11

C.

3
.
11

D.

33
22

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung
điểm của cạnh BC. Khi đó tan của góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC)
bằng:
A.

2 11

.
110

B.

110
.
11

C.

2 110
.
33

D.

2 110
.
11

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi một vng góc, AB = a, AC = a 2 và
a 2 33
diện tích tam giác SBC bằng
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
6

(SBC) bằng:
A.

a 330
.
33

B.

a 330
.
11

C.

a 110
.
33

D.

2a 330
.
33

Câu 6. Cho hình chóp tam giác S. ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC
vuông cân tại B,

BA = BC = a

, góc giữa mp(SBC ) với mp( ABC ) bằng 600 . Gọi

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng AI với BC .
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
2

Câu 7. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3
. Cạnh OA vng góc với mặt phẳng (OBC), OA = a 3 , gọi M là trung điểm
của BC. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. h =

a 5
.
5

B. h =

a 3
.
2

C. h =

a 15
.
5

D. h =

a 3
.
15

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng
góc với đáy và SA = a . Tính góc  giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SDC ) .
20


A.  = 900 .

C.  = 300 .

B.  = 600 .

D.  = 450 .

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AB = a . Hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( SBC ) là

a 2
. Tính góc  tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
2

A.  = 450 .

C.  = 300 .

B.  = 900 .

D.  = 600 .

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vng góc
với mặt đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm của SC. Tính cơsin của góc 
giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABC ) .
A. cos  =

21
.
7

B. cos  =

5
.
10

C. cos  =

7
.
14

D. cos  =

5
.
7

3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Sáng kiến được áp dụng trong các giờ Ôn tập chương II và Ôn tập chương III- Hình
học 11 ban cơ bản và giờ tự chọn - chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuông góc và
góc- khoảng cách. Việc áp dụng sáng kiến bước đầu đã đạt được kết quả rất tốt, điều
này phản ánh rõ qua kết quả của lớp 11A năm học 2020 - 2021 và bài kiểm tra ở lớp
11C năm học 2021-2022. Điều đó góp phần nâng cao hơn chất lượng của học sinh
trong lớp nói riêng và học sinh tồn trường nói chung.
Thơng qua sáng kiến này có thể áp dụng rộng rãi đối với đối tượng học sinh lớp 11 ở
tất cả các lớp trong trường THPT Sơn Thịnh và các trường THPT trong địa bàn tỉnh Yên
Bái.

4. Hiệu quả, lợi ích thu được:

Giải pháp này đã được áp dụng tại các lớp 11A năm học 2020 – 2021 và lớp
11C năm học 2021-2022 của trường THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái.

*Kết quả thực nghiệm 1:
21


Sau khi thực hiện xong Phần ôn tập chương III.Vectơ trong khơng gian. Quan hệ
vng góc trong khơng gian, tơi tiến hành cho học sinh kiểm tra 15 phút trên 2 lớp
11C (lớp đối chứng) và lớp 11A ( lớp thực nghiệm) năm học 2020-2021.

Đề bài: Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh bên
SC vng góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC, AB. Hãy
tìm số đo của góc giữa SM và CN.

Đáp án
Nội dung đáp án
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở

Điểm

S

CA = a, CB = b, CS = c

a.b = 16 ; c.b = 0 ; c.a = 0
1
SM = CM − CS = b − c
2
1

CN = (a + b)
2
1
 1

SM .CN =  b − c  .  (a + b)  = 12
2
 2


2,0

P

1,0
A

C

N

M

1,0
B

2

4 2
SM = 2 + 

 = 2 3
2


2

1,0

CN = 2 6

1,0

Gọi góc  là góc giữa SM và CN.
Ta có:

1,0
cos =

SM .CN
SM . CN

=

2,0

12
2
=
2
2 3.2 6

1,0

  = 45

0

22


Kết quả cụ thể của lớp 11C năm học 2020-2021(Lớp đối chứng)
Lớp

Kết quả kiểm tra 15 phút

Số
HS

11C

Khá

Giỏi

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

0

0%

8

21,1%

17

44,7%

13

34,2%

38

Kết quả cụ thể của lớp 11A năm học 2020-2021 (Lớp thực nghiệm)
Lớp

Kết quả kiểm tra 15 phút

Số HS
Giỏi

11A

Khá

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

6

15,8%

14

36,8%

11

28,9%

7

18,4%

38

Biểu đồ so sánh chất lượng giữa (lớp đối chứng 11C)
và (lớp thực nghiệm 11A) năm học 2020-2021 trường
THPT Sơn Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái
44,70%
45%
40%

36,80%

34,20%

35%
28,90%
30%
25%

21,10%
18,40%

20%

15,80%

15%
10%
5%

0%
0%
Giỏi

Khá

Trung bình

Lớp 11C

23

Lớp 11A

Yếu - Kém


*Kết quả sau thực nghiệm 2:
Sau khi thực hiện xong Phần ôn tập chương II.Quan hệ song song trong không
gian, tôi tiến hành cho học sinh kiểm tra 15 phút trên lớp 11C ( lớp thực nghiệm) năm
học 2021-2022.
Đề bài: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, M là điểm
nằm trên đoạn CD sao cho

MC 1
= . Chứng minh MG // (ABC).
MD 2

Đáp án:
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tuyệt đối
Điểm

Nội dung
A

- Hình vẽ:

1,0
G

Đặt: AB = a, AC = b, AD = c
Vì

B

(

) (

MC 1
1
1
1
=  CM = CD = AD − AC = c − b
MD 2
3
3
3

)

I
C

D

1,5

M

1,5

Gọi I là trung điểm BD. Khi đó:
AI =

(

)

(

1
1
AB + AD = a + c
2
2

)

(

)

(

2
2 1
1
GM = − AI + AC + CM = − . a + c + b + c − b
3
3 2
3

1
2
1
2
= − a + b = − AB + AC
3
3
3
3

)

1,5

1,5

Vậy MG // (ABC)
2,0

1,0
24


Kết quả cụ thể của lớp 11C năm học 2021-2022 (trước thực nghiệm)
Lớp

Kết quả kiểm tra 15’

Số
HS

11C

Khá

Giỏi

44

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

0

0%

9

20,5%

17

38,6%

18

40,9%

Kết quả cụ thể của lớp 11C năm học 2021-2022 (sau thực nghiệm)
Lớp

Kết quả kiểm tra 15’

Số HS
Giỏi

11C

44

Khá

Trung bình

Yếu-Kém

SHS

%

SHS

%

SHS

%

SHS

%

3

6,8%

14

31,8%

19

43,2%

8

18,2%

Biểu đồ so sánh kết quả trước thực nghiệm và sau thực
nghiệm trên lớp 11C năm học 2021-2022 trường THPT Sơn
Thịnh - Văn Chấn - Yên Bái
Trước thực nghiệm

Sau thực nghiệm

43,20%

45%

40,90%
38,60%

40%
31,80%

35%

30%
25%

20,50%
18,20%

20%
15%
6,80%

10%
5%

0%

0%
Giỏi

Khá

Trung bình

25

Yếu - Kém