Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên (1995 2021)

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 1995 - 1996). BUỔI 1
Bài 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức : M = y - 5x y + 6x2
+ Phân tích M thành nhân tử
+ Tìm các cặp số ( x,y ) thoả mãn đồng thời : x − 5 y + 1 = 0 và M = 0
Bài 2 ( 2 điểm )
Trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng (d) có phương trình y = -2 .
Gọi M (x,y) là một điểm thay đổi trong mặt phẳng và D là hình chiếu vng góc của M lên (d). Giả sử ln
có MA = MD, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y, từ đó suy ra tập hợp điểm M
Bài 3 ( 2 điểm )
Cho 2 điểm cố định M, N . Đường tròn tâm O tiếp xúc với MN tại M, đường tròn tâm O' tiếp xúc với
MN tại N
a/ Hai đường tròn cắt nhau tại A, B. Nối AB kéo dài cắt MN ở C . Chứng minh hai tam giác CAM và
CMB đồng dạng , suy ra C là điểm cố định trên MN
b/ Dựng đường trịn tâm O' tiếp xúc ngồi với đường tròn tâm O
Bài 4 ( 2 điểm ) Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC của tam
giác này lần lượt ở D và E . Chứng minh rằng với mọi điểm K trên cạnh BC ln có diện tích tam giác DEK
khơng lớn hơn một phần tư diện tích tam giác ABC. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì tam giác DEK có diện
tích lớn nhất ?
1
1
1
Bài 5 ( 2 điểm ) Tính tổng A =
+
+ .......... +
1+ 2
2+ 3
1995 + 1996
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 1995 - 1996). BUỔI 2

( x + 2)2 − 8 x
2
x−
x
+ Tìm điều kiện để A có nghĩa
+ Rút gọn A

Bài 1 ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức

A =

Bài 2 ( 2,5 điểm)
Cho hàm số y = 3x2 có đồ thị ( P )
a/ Biện luận số giao điểm của ( P ) và đường thẳng ( d ) có phương trình y = mx - 1 (m là tham số ).
b/ Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( P ) và đi qua điểm A (0;1)
c/ Tìm trên đồ thị (P) các điểm cách đều hai trục toạ độ
Bài 3 ( 2 điểm )
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, D là một điểm trên đường trịn, từ điểm C trên AB hạ đường
vng góc với AD tại H . Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn (O) ở E và cắt CH tại F, DF cắt
(O) tại N
a/ Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn, suy ra 3 điểm N, C, E thẳng hàng
b/ Từ C kẻ đường song song với AD cắt DN tại M . Chứng minh BCM là tam giác cân
Bài 4 ( 2 điểm) Cho hình vng ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của OB và CD
a/ Chứng minh AMN là tam giác vuông cân
b/ So sánh AN và MD
a b c d
= = =
Bài 5 ( 2 điểm) Cho a, b, c, d và A, B, C, D là các số dương thoả mãn:
A B C D

Chứng minh: aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d )( A + B + C + D)
1


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI
(Năm học 1996 - 1997). Buổi 1
Bài 1. (2,5 điểm)
Cho biểu thức A =

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
.
x −5 x +6
x − 2 3− x

1. Tìm x để A có nghĩa.
2. Rút gọn A. Tìm x ngun để A nguyên.

(

)

(

)

Bài 2. (1,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + 2 1 + x + 1 + x + 2 1 − x + 1 .
Bài 3. (3 điểm)

Cho đường tròn (O, R). Gọi K là trung điểm của dây AB, qua K kẻ hai dây EF và CD ( với EF > CD),
C và E ở về cùng một phía đối với AB. CF cắt AB tại M; ED cắt AB tại N. Từ F kẻ dây FI // AB.
1. Chứng minh: FK = IK.
2. Chứng minh tứ giác KNDI nội tiếp trong một đường tròn và KM = KN.
3. Giả sử hai điểm A, B thay đổi trên đường tròn sao cho độ dài AB khơng đổi. Hãy tìm tập hợp điểm K.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân ( AB = AC). Gọi D là một điểm trên cạnh BC. Gọi (O1, R1) và (O2, R2) là các
đường tròn đi qua D lần lượt tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C; P là giao của BO1 và CO2; I là
trung điểm của O1O2.
Chứng minh rằng khi D di động trên BC thì P cố định và I chạy trên một đường thẳng cố định.
Bài 5. (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng toạ độ xOy, cho hai điểm A(2; 5), B(-3; 1). Tìm trên Ox điểm M sao cho MA + MB
nhỏ nhất.
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI
(Năm học 1996 – 1997). Buổi 2
Bài I. (3 điểm)
1/ Cho biểu thức: P( x) =

x3 + 3x 2 + ( x 2 − 4) x 2 − 1 − 4

x3 − 3x 2 + ( x 2 − 4) x 2 − 1 + 4
Rút gọn rồi giải phương trình P(x) = 1.
2/ Cho parabol (P): y = x2 - 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k. Chứng
minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm giá trị của k để MN nhỏ nhất.
Bài II. (2 điểm)
Cho đường tròn (O; R). Gọi P là điểm nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến PA, PB ( A, B là tiếp
điểm). Gọi H là chân đường vng góc hạ từ A xuống đường kính BC của đường tròn.
1. PC cắt AH tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.
2. Đặt PO = d. Tính AH theo Rvà d.
Bài III. (2,5 điểm) Cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB và BAx = 300 . Gọi H là chân đường vng góc

hạ từ B xuống Ax. Trên BH kéo dài lấy điểm C sao cho HM = 2CH, đường thẳng song song với AB kẻ từ C
cắt Ax tại D.
1. Gọi N là trung điểm của CD, chứng minh M, H, N thẳng hàng.
2. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh H là trọng tâm của ABE.
Bài IV. (1,5 điểm)
Tìm số nguyên n  0 để phương trình: nx2 + (2n - 1)x + n - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài V. (1 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên BC và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc MAN = 450. Chỉ dùng
thước kẻ hãy vẽ đường thẳng vng góc với MN.
2


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( Năm học 1997 - 1998 ).
Bài 1 ( 2 điểm ) Cho Parabol y = 3x2 (P)
a/ Biện luận theo tham số m số giao điểm của (P) với đường thẳng có phương trình y = mx - 2 (d)
b/ Tìm trên đồ thị của (P) các điểm cách đều hai trục toạ độ
Bài 2 ( 2,5 điểm )
1
1
a2 + 2
+
−
a/ Cho biểu thức B =
3
2(1 + a ) 2(1 − a ) 1 − a
Rút gọn và tính giá trị nhỏ nhất của B
10
b/ Giải phương trình x2 + 2
= 4x + 2

x − 4x + 5
Bài 3 ( 1,5 điểm)
Cho biểu thức A = n4 - 14n3 + 71n2 - 154n + 120 với n là số nguyên.
a/ Phân tích A thành tích của bốn số nguyên liên tiếp
b/ Chứng minh A chia hết cho 24
Bài 4 ( 3 điểm )
Cho đường tròn tâm O cố định . Một đường thẳng ( d) cố định cắt đường tròn (O) tại M và N , A là
một điểm chuyển động trên (d) ( A ở ngoài đoạn MN ) , từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường trịn (O)
a/ Tìm những điểm cố định mà đường tròn xác định bởi ba điểm A, B , C đi qua
b/ Tìm trên (d) điểm A sao cho ABC là tam giác đều
c/ Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho hai điểm A, B thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng (d) cho trước. Hãy tìm trên (d) hai điểm
C và D sao cho tổng AB + BC + CD + DA nhỏ nhất biết CD có độ dài m cho trước
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 1998 - 1999 ).
1
Bài 1 ( 2 điểm ) Trong cùng một hệ trục toạ độ vng góc xOy cho Parabol (P) : y = − x 2 và đường thẳng
4
(d) : y = mx - 2m - 1
a/ Tìm m sao cho (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b/ Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P)
Bài 2 ( 3 điểm )
 x 2 + xy + y 2 = 13
a/ Giải hệ phương trình 
 x − xy + y = 1
b/ Giả sử a, b, c là 3 cạnh một tam giác . Chứng minh rằng phương trình
b2x2 + ( b 2+ c2 - a2 )x + c2 = 0 ( với x là ẩn ) vô nghiệm
Bài 3 ( 2 điểm) Cho tam giác ABC có trực tâm H , trọng tâm G , tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi trung
điểm của BC là I , kẻ đường kính AM

a/ Chứng minh I là trung điểm của HM
b/ Chứng minh 3 điểm : H , G , O thẳng hàng
Bài 4 ( 2 điểm) Từ điểm A ngoài đường tròn (O,R ) kẻ cát tuyến AMN ( M nằm giữa A và N)
a/ Chứng minh AM.AN = OA2 - R2
b/ Các tiếp tuyến tại M và N của đường trịn cắt đường thẳng qua A và vng góc với OA lần lượt tại
B và C . Chứng minh AB = AC
Bài 5 ( 1 điểm )
Từ một điểm D trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC kẻ các đường DM , DN lần lượt vng
góc với AC, AB (M , N thuộc các cạnh AC và AB ). Chứng minh tam giác BDC đồng dạng với tam giác
NDM , với mỗi tam giác ABC cho trước hãy tìm vị trí của D trên đường trịn ngoại tiếp tam giác đó sao cho
độ dài đoạn MN lớn nhất
3


ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
(Năm học 1999 - 2000)
Bài I. (3 điểm)
1
a) Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = ax + b, Xác định các hệ số a, b sao cho (d) đi qua điểm
2
A(-1; 0) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm.
b) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0
cũng có hai nghiệm dương và tổng 4 nghiệm của hai phương trình khơng nhỏ hơn 4.
Bài II. (2 điểm)
Cho biểu thức: A = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1
1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A.
2. Tìm x ứng với GTNN của A.
Bài III. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AC > AB. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC, D là giao của
của AB và CM. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tiếp tuyến tại M và cắt tia AM lần lượt tại N và E.

1. Chứng minh: Tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh: MN // BC.
1
1
1
=
+
3. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh:
NC CE CI
Bài IV. (2,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Một cát tuyến CD quay quanh trung điểm I của OB, kẻ AE
vuông góc với CD, K là trung điểm của CD, H là giao điểm của BK và AE.
1. Chứng minh : BD = HC.
2. Tìm quỹ tích điểm H.
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2000-2001).
Bài 1 ( 2,5 điểm ) a/ Cho Parabol (P) : y = x2 và điểm A(2;1) . Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi
qua A
+ Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P)
+ Tìm trên đồ thị của (P) các điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ bằng 6
b/ Cho hàm số : f(x) = (x-1)(x-3)(x+5)(x+7)
Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm GTNN đó
x −3− 2 x − 4 + x − 4 x − 4 = 1
Bài 2 (2,5 điểm) a/ Giải phương trình
x + y = 2
b/ Giải hệ phương trình: 
2
 xy − z = 1
Bài 3 ( 3 điểm)
Cho hai đường tròn (O1) ; (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở hai điểm C, D. Vẽ cát tuyến

bất kỳ qua D cắt hai đường tròn ở M và N
( M  (O1) , N  (O2) ), vẽ cát tuyến ADB
vng góc với CD ( A  (O1) , B  (O2) ) . Gọi S là giao điểm của các tia AM, NB
a/ Chứng minh các tứ giác MCNS , ACBS nội tiếp đường tròn
b/ Chứng minh SM = SN
c/ Khi cát tuyến MDN quay quanh D thì trung điểm K của MN và điểm S di chuyển trên đường nào?
Bài 4 ( 2 điểm )
Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn tâm O, các điểm D, E chạy trên đường tròn sao cho AD
// BE và D , E ở cùng nửa mặt phẳng bờ AB . Gọi C là giao điểm của AE và BD, các tiếp tuyến với (O)
tại E và D cắt nhau ở P
a/ Chứng minh 3 điểm P , O , C thẳng hàng
b/ Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác DCE khơng đổi khi các điểm D, E thay đổi trên (O)

4


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2001 - 2002 ).
Bài 1 ( 2,5 điểm )
Cho phương trình ẩn số là x ( m là tham số ): x 2 − mx + m − 1 = 0
a/ Chứng minh rằng : với mọi giá trị của m phương trình ln có hai nghiệm
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2
Chứng minh rằng A = m2 - 8m +8
Bài 2 ( 2,5 điểm )
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m . Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất
trong vườn ) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2
Bài 3 ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một
điểm M ( khác điểm O ) . Đường thẳng CM cắt đường tròn (O ; R) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vng

góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng :
a/ Tứ giác OMNP nội tiếp
b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành
c/ Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M
d/ Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định
Bài 4 ( 2 điểm )
Một số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau ,được tạo nên từ bốn chữ số 0, 2, 3, 5. Hãy tìm số đó biết rằng
nó là bình phương của một số tự nhiên
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2002-2003). NGÀY THI : 04 - 07 - 2002
1
1
x3 − x
+
+
Bài 1 ( 2 điểm Cho biểu thức M =
x −1 − x
x −1 + x
x −1
a/ Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn biểu thức M
b/ Tìm giá trị của x khi cho M = 2
c/ Tìm giá trị ngun dương của x để M có giá trị nguyên
Bài 2 ( 2 điểm)
1
a/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2
4x − 4x + 3
b/ Với giá trị nào của x, y, z thì biểu thức : D = 2 x + 3 y − 4 z đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị đó bằng bao
nhiêu? Biết x, y, z thoả mãn hệ phương trình
2 x + y + 3z = 6
( với x, y, z  0)


3x + 4 y − 3z = 4
Bài 3 ( 1 điểm )
Tổng các chữ số của một số có 3 chữ số bằng 7. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi
chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau. Tìm các số có tính chất trên
Bài 4 ( 3 điểm )
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2 R . Vẽ dây AC và BD lần lượt bằng R và R 2 , gọi E
và F là chân các đường vng góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD
a/ Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD
b/ Tính EF theo R
c/ Chứng minh diện tích tứ giác AEFB bằng tổng diện tích hai tam giác ABC và ABD
Bài 5 ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) . Từ một điểm D bất kỳ trên (O) kẻ DM,
DN lần lượt vng góc với đường thẳng AB và BC (M  AB, N  BC)
a/ Chứng minh các tam giác ADC, MDN đồng dạng
b/ Xác định vị trí của D trên (O) để MN có độ dài lớn nhất

5


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2002-2003). NGÀY THI : 05 – 07 – 2002
1
Bài 1 ( 2 điểm )
Cho parabol (P): y = − x 2 và điểm D(1; -2).
2
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua D và có hệ số góc m. Chứng minh rằng (đ) ln cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với mọi m.
b) Gọi xA, xB là hồnh độ của A, B. Tìm m để x 2A .x B + x A .x 2B đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài II. (1,5 điểm) Cho biểu thức : P = x 2 − 3x y + 2 y .
a) Phân tích P thành nhân tử.

1
1
b) Tính giá trị của (P) khi x =
.
;y=
5 −2
9+4 5
Bài III. (2 điểm) a/ Rút gọn vế phải rồi giải phương trình: x 2 − 2 x + 1 = 6 + 4 2 − 6 − 4 2
b/ Cho P(x) là đa thức bậc 4 biết: P(1) = P(-1); P(2) = P(-2). Chứng minh rằng P(x) = P(-x) với mọi x.
Bài IV. (2 điểm)
Cho (O, R) và đường thẳng (c) ở ngồi đường trịn. Kẻ OP vng góc với (c) tại P. Từ điểm S trên (c)
vẽ 2 tiếp tuyến với (O) tại các tiếp điểm M, N. Dây cung nối hai điểm này cắt SO tại D và cắt OP tại E.
a) Chứng minh rằng: SO.OD = R2
b) Chứng minh các tứ giác SMNP, PMON nội tiếp.
c) Tìm tập hợp điểm D khi S chạy trên (c).
Bài V. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao
cho AD = kAB; BE = k.BC; CF = kCA.
a) Tính diện tích tam giác DEF theo S và k.
b) Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2003 - 2004 ). NGÀY THI : 04- 07 - 2003
Bài 1 ( 2 điểm )
10 x
A
B
=
+
a/ Cho biểu thức :
( với x   1 ) . Tính A và B
2

x −1 x −1 x +1
b/ Cho biểu thức : M = 2 3 + 5 − 13 + 48 . Chứng minh M = 6 + 2
Bài 2 ( 2 điểm ) Cho phương trình : 2x2 + ( 2m -1 )x + m - 1 = 0
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện
x12 + 10 x1x2 + x22 = -6
b/ Với giá trị nào của m để 2 nghiệm x1, x2 : đều dương ; đều âm; đối nhau
Bài 3 ( 3 điểm ) Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi C là một điểm trên cung AB , D là điểm chính
giữa cung nhỏ CB. Lấy E là một điểm bất kỳ trên đoạn OB,
nối DE cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai K , KC cắt AD tại H .
a/ Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn .
b/ Chứng minh EH vng góc với AC .
c/ Đường thẳng song song với AC kẻ từ E cắt CK tại I .Chứng minh IE = BE .
Bài 4 ( 2 điểm ) Cho đoạn thẳng AC và một điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Vẽ tia Bx vng góc với AC
AB BH
=
= 3 . Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABE và CBH cắt nhau
và trên đó lấy hai điểm H, E sao cho
BE BC
ở điểm thứ hai D
a/ Chứng minh 3 điểm A , H , D thẳng hàng
b/ Chứng minh đường thẳng BD luôn đi qua một điểm cố định khi B di chuyển trên AC.
Bài 5 ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ vng góc xOy cho điểm A (-2;1) và B (2;3). Tìm trên trục Ox toạ
độ điểm M0 sao cho M0A + M0B có giá trị nhỏ nhất
6


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2003 - 2004 ). NGÀY THI : 05- 07 - 2003
Bài 1 ( 2 điểm ) a/ Cho biểu thức A = x − 1 + 2 x − 2 + x − 1 − 2 x − 2
+ Rút gọn A

+ Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất
1
b/ Tìm các số x, y, z thoả mãn điều kiện x + y − 1 + z − 2 = (x+y+z)
2
Bài 2 (2 điểm )
Cho Parabol ( P ) : y = x2 - 4x + 3 và điểm A ( 2;1 ) . Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
a/ Chứng minh (d ) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M,N
b/ Tìm giá trị của k để đoạn MN ngắn nhất
Bài 3 ( 3 điểm) Cho góc xOy =  (  < 90o) , trên tia Ox lấy một điểm C cố định, các điểm A, B lần lượt
chạy trên Ox, Oy sao cho OA - OB = OC, đường trung trực của OC và AB cắt nhau tại D
a/ Chứng minh tứ giác ABOD nội tiếp đường trịn
b/ Tính góc AOD theo 
c/ Gọi G là trọng tâm của tam giác AOB. Chứng minh đường thẳng vng góc với AB kẻ từ G đi qua
một điểm cố định
Bài 4 ( 2 điểm ) Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B cố định. Vẽ các dây AD, AE lần
lượt của (O1) , (O2) sao cho AD tiếp xúc với (O2) , AE tiếp xúc với (O1). Đường kính vng góc với AD của
(O1) và đường kính vng góc với AE của (O2) cắt nhau tại H
a/ Chứng minh tứ giác AO1HO2 là hình bình hành
b/ Tìm tập hợp điểm H khi (O1) , (O2) thay đổi nhưng vẫn đi qua 2 điểm A , B
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho góc xOy . Trên Ox lấy 2 điểm A, B và trên Oy lấy 2 điểm C, D sao cho AB = CD , gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy.
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
(Năm học 2004-2005). Buổi 1
x x − x + 2x − 2
2x − 3 x − 2
Bài I. (2 điểm)
Cho các biểu thức: A =
; B=
x +2

x −2
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
Bài II. (2 điểm) Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + m − 3 = 0.
(1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
2
3
 1
=
=

Bài III.(1 điểm ) Giải hệ phương trình:  x − 1 y − 2 z − 3
 x + 2 y + 3z = 56

Bài IV.(4 điểm) Trên đường thẳng lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự, từ A kẻ các tiếp tuyến AE, AD với đường
trịn đường kính BC. Kẻ DH vng góc với EC tại H. Gọi P là trung điểm của DH, đường thẳng CP cắt đường
tròn tại điểm thứ hai Q, DE cắt BC tại I.
a) Tứ giác IPCE là hình gì? Tại sao?.
b) Chứng minh tứ giác QDPI nội tiếp.
c) Chứng minh góc AQE vng.
d) Chứng minh AC tiếp xúc với đường tròn qua 3 điểm A, D, Q.
Bài V. (1 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), M là một điểm thuộc đường tròn. Từ M dựng các đường
MH, MK lần lượt vng góc với BA, BC. Xác định vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất.
7


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH

(Năm học 2004-2005). Buổi 2
Bài I. (2 điểm)
a) Giải phương trình: x4 + 4x3 + 4x2 - 1 = 0.
b) Cho biểu thức: y = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 . Tìm x để y đạt GTNN
Bài II. (2 điểm) Một đoàn học sinh đi tham quan bằng ôtô, nếu mỗi ôtô chở 22 người thì cịn thừa một người.
Nếu bớt đi một ơtơ thì có thể chia đều số người cho các ơtơ cịn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và
có bao nhiêu ơtơ, biết rằng mỗi ôtô chở không quá 40 người.
Bài III. (2,5 điểm)
Cho nửa đường trịn đường kính AB và một điểm C cố định trên đoạn AB ( C khác A, B ). Lấy điểm
M trên nửa đường tròn, đường thẳng qua M, vng góc với MC lần lượt cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn
tại A, B ở E, F.
a) Chứng minh ECF là tam giác vuông.
b) Chứng minh: AE.BF = AC.BC
c) Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ECF khi M chuyển động trên nửa đường tròn.
Bài IV. (2,5 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB, Gọi K là điểm chính giữa cung AB, trên cung KB lấy
điểm M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = MB, kẻ dây BP song song với KM.
a) So sánh hai tam giác AKN và BKM.
b) Chứng minh tam giác KMN vuông cân.
c) Chứng minh tứ giác ANKP là hình bình hành.
Bài V. (1 điểm)
Trong hệ toạ độ xOy cho hai điểm A(5; 1) và B(-1; 5). Hãy tính chu vi và diện tích tam giác AOB.
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN YÊN BÁI
(Năm học 2005-2006). Buổi 1-6/7/2005

( x + 2)2 − 8 x
Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức: A =
.
2
x−

x
a/ Tìm điều kiện của x để A tồn tại.

b/ Rút gọn A.
1
Bài 2. (2,5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m , ( m là tham số).
2
a- Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b- Tìm phương trình đường thẳng (l) vng góc với (d) và tiếp xúc với (P).
c- Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu a) là 3 2 .
Bài 3. (2 điểm) a/ Tìm giá trị của m để hai phương trình bậc hai: x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có ít nhất
một nghiệm chung.
3 x + 5 y + 9 = 0
b/ Giải hệ phương trình: 
2 x − y − 7 = 0
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD, đường thẳng qua
D song song với BC cắt đừơng thẳng AH tại E.
a- Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
b- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC. Chứng minh góc OAC bằng góc BAE.
c- Gọi M là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam
giác ABC.
Bài 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC có góc A vng, gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC, các điểm M, N
theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB, AC. Tìm vị trí của D để MN có độ dài nhỏ nhất.
8


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( Năm học 2006-2007). Ngày thi : 06 - 07 - 2006
2

 1− a a
  1− a 
a+b
a 2b 4
Bài 1. ( 3 điểm)
Cho biểu thức : M = 2
+
+ a  
  1 − a 
b
a 2 + 2ab + b2  1 − a

a. Tìm điều kiện của a và b để biểu thức M tồn tại.
b. Rút gọn biểu thức M
Bài 2. ( 2 điểm)
Cho phương trình : a 2 x 2 + ( a 2 + b 2 − c 2 ) x + b 2 = 0
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 3. ( 2 điểm)
2a
b
+
=2
Cho các số a và b thoả mãn đẳng thức :
a +b a −b
3a − b
Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có được của biểu thức: M =
a + 5b
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O, có góc C bằng 450. Đường trịn đường kính AB
cắt các cạnh AC và BC lần lượt ở M và N.

a. Chứng minh : MN vuông góc với OC.
b. Tứ giác MONB là hình gì?
c. Cho AB = a . Tính MN theo a

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2006-2007). NGÀY THI : 07 - 07 – 2006
Bài 1. (3 điểm)
Cho biểu thức : A = x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4
a/ Tìm điều kiện của x để A tồn tại
b/ Rút gọn A
c/ Tìm các giá trị của x để A = 4
Bài 2. ( 2 điểm)
Với giá trị nào của a thì một trong 2 nghiệm của phương trình x 2 − 8 x + 4a = 0 sẽ gấp đơi một nghiệm
nào đó của phương trình x 2 + x − 4a = 0
Bài 3. ( 2 điểm)
Cho 5 số : n - 2, n - 1, n, n + 1, n + 2 ( trong đó n  )
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số đó khơng thể là bình phương của một số ngun
Bài 4. (2 điểm)
Hai đường thẳng xx’ và yy’ vng góc với nhau tại A. Đường trịn có tâm O di động trên xx’ và có bán
kính bằng R khơng đổi. Một đường trịn thứ hai có tâm tại điểm C, bán kính CA, tâm C di động trên yy’,
đường trịn này tiếp xúc ngồi với đường trịn tâm O ở T.
a/ CMR tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn kẻ từ T đi qua 1 điểm cố định trên yy’. Cho OA = d, tính
bán kính AC của đường trịn thứ 2 theo d và R
b/ Tìm d để 2 đường trịn bằng nhau, khi đó hãy tính góc OCA
c/ Một đường trịn thứ 3 đơi một tiếp xúc ngồi với 2 đường trịn nói trên. Tính diện tích phần xen giữa ba
đường trịn trong trường hợp chúng có cùng bán kính R

9

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2007-2008). NGÀY THI : 09 - 07 - 2007
Bài 1. ( 2 điểm)
x = 7 − y
Cho hệ phương trình: 
mx − 2 y = p
Tìm các giá trị của m và p sao cho:
a) Hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm
b) Hệ phương trình đã cho có vơ số nghiệm
c) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2. ( 2 điểm)
Hãy xác định giá trị của tham số k để sao cho phương trình : x 2 − 6 x + k = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 thoả
mãn điều kiện 3x1 + 2 x2 = 20 .
Bài 3. ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC, gọi I là điểm thuộc miền trong của ABC sao cho góc ABI bằng góc ACI. Dựng IH
vng góc với AB và IK vng góc với AC. Gọi D là trung điểm của BC.
a) Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của IB và IC. Chứng minh rằng góc IEH bằng góc IFK.
b) Chứng minh DH = DK.
Bài 4. (2 điểm)
Tìm các số có hai chữ số sao cho khi cộng số đó với tích hai chữ số của nó thì được bình phương của tổng
hai chữ số của số phải tìm.

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2007-2008). NGÀY THI : 10 - 07 - 2007
Bài 1. ( 2 điểm)
Cho phương trình : x2 + ax + a - 2 = 0
a) Chứng ming rằng phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt
b) Giả sử 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2. Hãy xác định giá trị của a để
x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. ( 2 điểm)

a
b
+
=2
Cho phương trình :
x −b x −a
a) Giải phương trình.
b) Tìm điều kiện của a và b để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3. ( 2 điểm )
 −1 − x − 2 y − x = 1
Giải hệ phương trình : 
 1 − 2 y + 2 y − x = 4
Bài 4. ( 2 điểm )
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ về miền ngoài của tam giác
ABC các đoạn PM ⊥ AB và PM = MA ; QI ⊥ AC và QI = IA.
Chứng minh :
a) Tam giác PMN bằng tam giác NIQ
b) Tam giác PNQ là tam giác vuông cân.
Bài 5. ( 2 điểm)
Cho số tự nhiên N = a1a2 ....an −1an thoả mãn N2 là số chứa một số lẻ chục. Tìm chữ số hàng đơn vị của N2.
10


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2008-2009). BUỔI 1
Bài 1. ( 2 điểm)
Tính giá trị biểu thức :
1
1
1

1
với a =
A=
+
; b=
a +1 b +1
3+ 8
3− 8
Bài 2. ( 2 điểm)
Cho phương trình : 5x2 − 2(m − 1) x − m2 = 0
a.Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
b. Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình
Bài 3. ( 2 điểm)
Giải phương trình
15 − x + 3 − x = 6
Bài 4. (2 điểm)
Tìm tất cả các số có 3 chữ số biết số đó chia hết cho 3 ; chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 ;
tích của 3 chữ số bằng 0
Bài 5. (2 điểm)
Cho tam giác vuông ABC ( BAC = 900 ) . Từ B dựng về phía ngồi tam giác ABC sao cho BC = BD và
ABC = CBD . I là một điểm trên CD sao cho IC = ID. Nối AI cắt BC tại E.
a.CMR : góc CAI bằng góc DBI
b . CMR : tam giác ABE cân
c. chứng minh : AB.CD = BC.AE

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2008-2009). BUỔI 2
Bài 1. ( 2 điểm)
Cho biểu thức :

 a −1
a + 1  1
a
P = 
−
−



2 
a − 1  2 a
 a +1

2

a. Rút gọn P
b. Tìm a để

P
2
a

Bài 2. ( 2 điểm) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện:

a +b −c b +c −a c + a −b
=
=
c
a
b

 b  c  a 
Tính giá trị biểu thức P = 1 + 1 + 1 + 
 a  b  c 
Bài 3. ( 2 điểm)
( x + 1)( x + 2)( x − 6)( x − 7) = 180
Giải phương trình:
Bài 4. (2 điểm)
Cho phương trình : x 2 − mx − (m + 2) = 0
a. CMR phương trình có nghiệm với mọi m
b. Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 (x1 > x2). Hãy xác định giá trị của m để x1 − x2 đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 5. (2 điểm)
Cho một hình vng và một hình chữ nhật cùng nội tiếp một hình trịn tâm O. Hình vng và hình chữ
nhật nào có diện tích lớn hơn? Hãy chứng minh.
11


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2010-2011) Buổi 2
x + y − 2 xy
1
Bài 1. ( 2 điểm) Cho biểu thức :
M=
:
x− y
x+ y
a. Tìm điều kiện để M có nghĩa
b. Tính giá trị của M biết x =

1
1
−
5− 2
5+ 2

;

y=

4−2 3
6− 2

Bài 2. ( 2 điểm)
1. Chứng minh 5 x 2 − 3x + 1  0
 x 2 + 3 y = 1
2. Giải hệ phương trình  2
3x − y = 1
Bài 3. ( 2 điểm)
Cho phương trình : x 2 − 2(m + 1) x + 2m + 3 = 0
a. Giải phương trình với m = -3
2
2
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn ( x1 + x2 ) + ( x1 − x2 ) = 10
Bài 4. (3 điểm) Các đường phân giác trong các góc A, B, C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác tương ứng ở A1, B1, C1. Gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC . Các điểm K, P
theo thứ tự là giao điểm các đường thẳng A1 B1 với đường thẳng AC, BC
a.CMR tứ giác AIKB1 nội tiếp.
b. CMR tứ giác IPCK là hình bình hành
c. Gọi diện tích tam giác ABC là S, diện tích tam giác A1B1C1 là S1. Hãy tính diện tích phần chung của

hai tam giác ABC và A1B1C1
Bài 5. (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của T = −5x2 − 2 xy − 2 y 2 + 14 x + 10 y − 1
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2011-2012). Buổi 1
Bài 1. ( 2.5 điểm) Khơng sử dụng máy tính hãy giải phương trình và hệ phương trình sau:
2x − y = 3
a/ 2x – 5 = 0
b/ x 2 − 7x + 6 = 0
c/ 
5x + y = 11
Bài 2. ( 2.0 điểm)

1. Tính

25. 9 +

64.49
16

2. Rút gọn biểu thức: M =

x
x
x +1
−
+
với x  0, x  1
x +1
x −1 x −1

Bài 3. ( 1.5 điểm)
Một xe máy và một ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ địa điểm A đến địa điểm B. Xe máy đi với vận
tốc 30km/h, ô tô đi với vận tốc 45km/h do đó ơ tơ đến B trước xe máy 1 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 12cm, AC = 9cm. Từ một điểm D trên cạnh BC kẻ
DH ⊥ AB, DI ⊥ AH ( H  AB, I  AC ) .
a/ Chứng minh: Tứ giác AHDI nội tiếp.
b/ Kẻ DK ⊥ IH ( K  IH ) . Trên tia DK lấy điểm E sao cho KE = KD. Chứng minh: 5 điểm A, H, D, I,
E cùng thuộc một đường trịn.
c/ Tính thể tích hình nón tạo thành khi cho tam giác ABC quay một vịng quanh cạnh góc vng AB.
Bài 5. (1 điểm) Cho x, y là các số hữu tỷ dương sao cho x3 + y3 = 2x 2 y 2 .
Chứng minh : giá trị biểu thức 1 −

1
là số hữu tỷ.
xy

12


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2011-2012) Buổi 2
Bài 1. ( 1.5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
1. A = 9 x 2 − 12 x + 4 − x
2. B = x − 6 x + 9 + x + 6 x + 9
Bài 2. ( 1.5 điểm)
Không sử dụng máy tính hãy:
1. Giải phương trình: 5 + 7 x = 28x − 2
2 x + 5 y − 4 = 0
2. Giải hệ phương trình 

 x − y − 5 = 0
Bài 3. ( 2 điểm)
Cho phương trình : mx2 − (3m2 − m + 1) x + 3m − 1 = 0
a. Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1
b. CMR phương trình ln có nghiệm với mọi m.
c. Với m  0 gọi x1 và x2 là 2 nghiệm phương trình. Tìm m để x12 + x2 2 = 9m2 + 8
Bài 4. (4 điểm)
Cho đoạn thẳng AC trên đó lấy điểm B( khác với A và C), vẽ đường trịn tâm O đường kính BC và
đường thẳng (d) vng góc với AC tại A; M là một điểm trên đường tròn, tia CM cắt (d) tại điểm D, AM cắt
đường tròn tại điểm thứ hai N, DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P. CMR:
1.Tứ giác DABM nội tiếp
2. Tích DC.MC khơng đổi khi M thay đổi trên đường tròn.
3. Tam giác NAP cân.
4. Khi M thay đổi trên đường trịn đường kính BC cố định thì trọng tâm G của tam giác MAB chạy
trên 1 đường tròn cố định. Hãy xác định đường trịn đó.
Bài 5. (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên a để pt: x2 − (2a + 3) x + 40 − a = 0 có nghiệm nguyên.
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2012 - 2013). Buổi 1
Bài 1. ( 2 điểm) 1. Cho hàm số y = x + 3 (1)
a.Tìm giá trị của y khi x = 1.
b. Vẽ đồ thị hàm số (1)
2
2. Giải phương trình 4x − 7x + 3 = 0
1
x
x+9
Bài 2. ( 2 điểm) Cho biểu thức:
M=
+
−

3− x 3+ x x −9
1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa. Rút gọn M
2. Tìm các giá trị của x để M > 1.
Bài 3. ( 2 điểm)
Một đội thợ mỏ phải khai thác 260 tấn than trong một thời hạn nhất định. Trên thực tế , mỗi ngày đội
đều khai thác vượt định mức 3 tấn, do đó họ đã khai thác được 261 tấn than và xong trước thời hạn 1 ngày.
Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than.
Bài 4. (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 12cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By. M là một điểm thuộc nửa đường trịn (O), M khơng trùng với A và
B. AM cắt By tại D, BM cắt Ax tại C. E là trung điểm của đoạn BD.
a. Chứng minh: AC.BD = AB2.
b. Chứng minh: EM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) .
c. Kéo dài EM cắt Ax tại F. Xác định vị trí của M trên nửa đường trịn (O) sao cho diện tích tứ giác
AFEB nhỏ nhất? Tìm GTNN đó.
Bài 5. (1 điểm)
Tính giá trị biểu thức T = x2 + y 2 + z 2 − 7 biết

x + y + z = 2 x − 34 + 4 y − 21 + 6 z − 4 + 45
13


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2012 - 2013). Buổi 2


1
x + 3 x − 4  x2 x + x2 − x −1
Câu 1: (2.5 điểm) Cho biểu thức:
Q=
− 2


 x + 1 ( x − 1) x + 4 
x +1


a/ Với giá trị nào của x thì Q xác định.
b/ Rút gọn Q
c/ Tìm các giá trị của x để Q = 2012 x − 2012 .

(

)

6 x 2 − 3xy + x = 1 − y
Câu 2: (1.5 điểm) Giải hệ phương trình sau:  2
2
 x + y = 1

Câu 3: (2.0 điểm) Cho đường thẳng d có phương trình : 2 ( m − 1) x + ( m − 2 ) y = 2
a/ Vẽ d với m = 3.
b/ Chứng minh d luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m, tìm điểm cố định đó.
c/ Tìm giá trị của m để d cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Câu 4: (1.0 điểm) Cho đường trịn (O; R), điểm M nằm ngồi đường tròn (O). Kẻ 2 tiếp tuyến MB, MC của
(O) và tia Mx nằm giữa 2 tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O)
tại điểm thứ 2 là A, AC cắt Mx tại I. Vẽ đường kính BB’. Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BB’, đường
này cắt MC, B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng:
a/ tứ giác MOIC nội tiếp.
b/ OI vng góc với Mx
c/ ME = R.
d/ Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đường nào? Tại sao?

Câu 5: (1.0 điểm) Tìm giá trị của x, y để biểu thức
M = x 2 + 2 y 2 − 6x + 4 y + 11 + x 2 + 3 y 2 + 2x + 6 y + 4 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2013 - 2014). Buổi 1
Bài 1. ( 1.5 điểm) 1/ Không sử dụng máy tính hãy tính 16 − 9
1
2x
1
2/ Rút gọn biểu thức: M =
với x  0, x  1
+
−
x +1 x −1
x −1
Bài 2. ( 1.0 điểm)
1. Vẽ đồ thị của hàm số y = x – 2 trên hệ trục tọa độ Oxy.
2. Tìm a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua gốc tọa độ và song song với đồ thị hàm số y = x – 2.
Bài 3. ( 3.0 điểm) 1/ Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
2 x + y = 5
a/ x 2 − 3x + 2 = 0
b/ 
 x − y = −2
2/ Cho phương trình : x 2 − 2 x + 2 − m = 0
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho x1 − x2 = 1
Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, M là một điểm bên ngồi đường trịn (O). Từ M vẽ các tiếp tuyến
MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm), MO cắt AB tại H.
a/ Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp.
b/ Chứng minh: MA. AH = AO.MH

c/ Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và MB, N là giao điểm của IK và MA. Chứng minh:
KB = AN , ONK = OBA
 x + y + z = 2013

Bài 5. (1 điểm ) Chứng minh nếu có 3 số thực x, y, z thỏa mãn:  1 1 1
1 thì ít nhất 1 trong 3 số x,
 x + y + z = 2013

y, z phải bằng 2013.
14


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2013 - 2014) Buổi 2

(


 ( a + 1) a − b
3 a
3a
1
Câu 1: (1.5 điểm) Cho biểu thức: P = 
−
+
 :
a
+
ab
+

b
a
a
−
b
b
a
−
b
a + ab + b


a/ Tìm điều kiện của a, b để P có nghĩa. Rút gọn P.
b/ Tìm các giá trị nguyên của a để Q = P. ( 3a + 5) nhận giá trị nguyên.

)

 x 2 + y 2 + xy − 3 y = 4
1. Giải hệ phương trình sau: 
2 x − 3 y + xy = 3
2
2. Cho phương trình : x − mx + 1 = 0
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho x1 − 2 x2 = 1
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 đều lớn hơn -2
Câu 3: (3.5 điểm) Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB . Lấy M là một điểm thuộc nửa đường tròn
(O), M không trùng với A và B. Kẻ đường cao MH của tam giác MAB. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H
trên MA, MB.
a/ Chứng minh: tứ giác ABFE nội tiếp.
b/ Kéo dài EF cắt cung MA tại P. Chứng minh MP 2 = MF .MB , từ đó suy ra tam giác MPH cân.
c/ Xác định vị trí của M trên nửa đường trịn (O) sao cho diện tích tứ giác MEHF lớn nhất? Tìm GTLN

đó theo R.
Câu 4: (1.0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x 2 + 3 y 2 + 4x − 19 = 0
1 1 2
Câu 5: (1.0 điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: + − = 0
x y z
x+z
z+ y
Tìm GTNN của biểu thức : T =
+
2x − z 2 y − z
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2014 - 2015). Buổi 1
Bài 1. ( 1.5 điểm) 1/ Khơng sử dụng máy tính hãy so sánh: 3 5 và 5 3
Câu 2: (3.0 điểm)

x x − 3 x + 3x − 9 x + 3 x
−
với x  0, x  9
x −9
x
Bài 2. ( 1.0 điểm)
Cho hàm số y =3 x – 2 có đồ thị là đường thẳng (d).
1/ Tính giá trị của y khi x = 1.
2/ Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P): y = x2
Bài 3. ( 3.0 điểm) 1/ Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
2x + y = 3
a/ x − 2 = 0
b/ 
x − 3y = 5
2/ Rút gọn biểu thức: P =

2/ Cho phương trình : x 2 − ( m + 2 ) x − 8 = 0

a. Giải phương trình với m = 0.
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) = 8
Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn biết BAC = 600 . Đường trịn tâm I đường kính BC cắt
AB và AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại H. Chứng minh rằng
a/ AH vng góc với BC và tứ giác ADHE nội tiếp. b/ BE. AH = BC. AE c/ Tam giác DEI đều
Bài 5. (1 điểm )


1
1
1
1
1
1
+
+
 3
+
+
Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh:

 x +2 y
x
y
z
y +2 z
z + 2 x 


15


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2014 - 2015) Buổi 2
Câu 1: (1.5 điểm) Với x>2, cho biểu thức : A =
Tìm x để A  −

x 2 − 3x − ( x − 1) x 2 − 4 + 2
x 2 + 3x − ( x + 1) x 2 − 4 + 2

.

x+2
x−2

1
.
2

 x 2 + y 2 + x + y = 18
Câu 2: (3.0 điểm) 1. Giải hệ phương trình sau: 
 x( x + 1) y ( y + 1) = 81
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = − x 2 và đường thẳng
d: y = -(m+5)x + m + 2 với m là tham số.
a) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm các giá trị của m để A, B nằm khác phía với nhau so với trục tung.
Câu 3: (3.5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi
qua A, cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N. Giả sử d cắt đường tròn (O) tại

E ( E  A ); MC cắt BN tại F.
a) Chứng minh rằng:  ACN đồng dạng với  MBA.
b) Chứng minh rằng: bốn điểm C, N, E, F cùng thuộc một đường trịn.
c)Tìm vị trí của điểm M’ thuộc miền trong của tam giác ABC để tổng :
T = AM '.BC + BM '. AC + CM '. AB đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính giá trị của tổng T theo AB.
d) Cho bán kính đường trịn (O) bằng 5cm, gọi K là trung điểm cạnh BC, cho ABC quay quanh trục AK
ta thu được hình nón. Tính thể tích của hình nón đó.
Câu 4: (1.0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy - 3x = 27 - 4y.
Câu 5: (1.0 điểm)
Cho x > -1, y > -2, z > -3 và x + y + z = -5.
1
4
9
Chứng minh rằng:
+
+
 36 , dấu "=" xảy ra khi nào?
x +1 y + 2 z + 3
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2015 - 2016) Buổi 1
Câu 1. (1,5 điểm)
1. Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức: A = 36 − 5.

x
4  x + 16
2. Rút gọn biểu thức B = 
(với x  0, x  16 ).
+
 :

x
+
4
x
−
4
x
+
4


Câu 2. (1,0 điểm)
Vẽ đường thẳng ( d ) là đồ thị của hàm số y = x + 2 trên hệ trục tọa độ Oxy . Tính diện tích của tam
giác tạo bởi ( d ) và hai trục tọa độ.
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

x − y = 3
c) 
x + 2 y = 6
2
2
2. Cho phương trình x − 2mx + m − 2m − 6 = 0 (1) (với m là tham số)
a) 2 x = 0

b) x 2 − 4 x + 3 = 0

Tìm giá trị của m để phương trình

(1) có

hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức

A = x1 x2 − x1 − x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
16


Câu 4. (3,5 điểm)

1
1. Cho hình thang vng ABCD có BAD = CDA = 900 và AB = AD = CD. Qua điểm E nằm trên
2
cạnh AB ( E khác A và B ) kẻ đường thẳng vng góc với DE cắt cạnh BC tại điểm F . Gọi H là trung
điểm của cạnh DC.
a. Chứng minh AB // DH và AB = DH
b. Chứng minh các tứ giác ABHD, DEBF là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c. Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông cân.
2. Một chi tiết máy có dạng như hình vẽ (hai hình nón
ở
hai đầu có cùng chiều cao và phần ở giữa là một hình trụ).
Tính diện tích mặt xung quanh của chi tiết.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = 1 . Tìm giá
trị
nhỏ nhất của biểu thức:

1 
1 
Q =  x 2 + 2  y 2 + 2 
y 

x 

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2015 - 2016) Buổi 2
Câu 1. (1,5 điểm)

 3a + 9a − 3
1
2 a +3 1
Cho biểu thức P = 
+
−
, với a  0, a  1.
:
a −1
a + 2  a − 1
 a+ a −2
1.Hãy rút gọn P.
2+ 3
2− 3
2.Khơng sử dụng máy tính, hãy tìm a để P =
+
.
2+ 4+2 3 2− 4−2 3
Câu 2. (3,0 điểm)
 x 2 − 3x + 2 = y − xy
1. Giải hệ phương trình sau:  2
2
 x + y = 2
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình:

y = 2 ( m − 1) x + 3 − m2 . Tìm m để (d)cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 5 .
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) lần
lượt tại A và B cắt nhau tại D. Đường thẳng DC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng DO cắt
đường thẳng AB tại M. Chứng minh rằng:
1.  DBE đồng dạng với  DCB.
2. Tứ giác OMEC nội tiếp đường tròn.
2

DE
 MB 
4. 
.
 =
DC
 MC 
Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 4 y 2 − 3x2 − 4 xy − 4 y − 2 x + 5 = 0.
3
Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c  1 và a − 1 + b − 1 + c − 1 
2
1
1
1
15
Chứng minh rằng: a − 1 + b − 1 + c − 1 +
+
+
 .
a −1

b −1
c −1 2

3. CMA = EMA .

17


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2016 - 2017) Buổi 1
Câu 1. (1,5 điểm)
a) Khơng sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A = 2015 + 36 − 25 .

a + a 
a- a 
b) Rút gọn biểu thức: P = 1 +
1
+

 , với a ≥ 0 ; a ≠ 1.

a
+
1
1a



Câu 2. (1,0 điểm)
Cho đường thẳng (d) có phương trình y = x + 2 và parabol (P) có phương trình y = x2.

a) Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A và B (với A có hồnh độ âm, B có hồnh độ dương).
Bằng tính tốn hãy tìm tọa độ các điểm A và B.
Câu 3. ( 3,0 điểm)
3x − 2 y = 3
a) Giải phương trình: 5x + 6 = 3x ;
b) Giải hệ phương trình: 
 x + 2 y = 17
c) Tìm m để phương trình: x2 − 2(m + 3) x + m2 + 4m − 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
d) Hàng ngày, bạn An đi học từ nhà đến trường trên quãng đường dài 8km bằng xe máy điện với vận
tốc không đổi. Hôm nay, vẫn trên đoạn đường đó, 2km đầu bạn An đi với vận tốc như mọi khi, sau đó vì xe
non hơi nên bạn đã dừng lại 1 phút để bơm. Để đến trường đúng giờ như mọi ngày bạn An phải tăng vận tốc
lên thêm 4km/h. Tính vận tốc xe máy điện của bạn An khi tăng tốc. Với vận tốc đó bạn An có vi phạm luật
giao thơng hay không? Tại sao? Biết rằng đoạn đường bạn An đi là trong khu vực đông dân cư.
Câu 4. (3,5 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE của
tam giác ABC ( D  AC , E  AB) .
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.
b) Đường thẳng AO cắt ED và BD lần lượt tại K và M. Chứng minh AK . AM = AD 2 .
c) Chứng minh BAH = OAC .
2. Từ những miếng tơn phẳng hình chữ nhật có chiều dài 1,5dm và chiều rộng 1,4dm. Người ta tạo nên
mặt xung quanh của những chiếc hộp hình trụ. Trong hai cách làm, hỏi cách nào thì được chiếc hộp có thể tích
lớn hơn.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn (a + b)(a + b −1) = a 2 + b2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
Q= 4
+ 4
2

2
2
a + b + 2ab b + a + 2ba 2
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
( NĂM HỌC 2016 - 2017) Buổi 2
x  0
2 x −9
x + 3 2 x +1

−
−
Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức : P =
, với  x  4 ;
x −5 x +6
x − 2 3− x
x  9

1) Rút gọn P ;
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Câu 2. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình sau : x 2 + x + x + 1 =

(x

2

+ x ) ( x + 1) + x 2 + x .

18

2) Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng ( d ) : y = 2 ( m − 1) x − (m − 3)
cả các giá trị của m để

(d )

cắt

( P)

( m là tham số). Tìm tất

tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lần lượt là x1 , x2 sao cho

2 x1 + x2 = m − 1 .
1
Câu 3. (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) , đường kính AB. I là điểm thuộc đoạn AO sao cho OI = OA . Qua
3
I vẽ dây cung CD vng góc AB. Trên đoạn CD lấy K tuỳ ý (K không trùng với C, I và D). Tia AK cắt đường
tròn ( O; R ) tại M.
1. Chứng minh tứ giác KIBM nội tiếp đường tròn;
2. Chứng minh đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  AC ⊥ CE MKC;
3. Gọi CE là đường kính của đường trịn ngoại tiếp AC MKC. Chứng minh ba điểm C , E , B thẳng
hàng. Từ đó suy ra tâm F của đường tròn ngoại tiếp AC MKC thuộc một đường thẳng cố định khi K thay đổi
trên đoạn CD (K không trùng với C, I và D);
4. Tính khoảng cách từ điểm D tới đường thẳng CB.
Câu 4. (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là một số chính phương với A = 4n4 + 22n3 + 37n2 + 12n − 12 .
Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 .
bc

ca
ab
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
.
+
+
3a + bc
3b + ca
3c + ab
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018. Ngày thi: 04/6/2017
II. Phần thi Tự luận: (8,0 điểm)

x
10 x
5
−
−
(với x  0 & x  25)
x − 5 x − 25
x +5
2
1/ Hãy rút gọn biểu thức A;
2/ Tìm các giá trị của x để A  .
7
2
Câu 2. (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình x − 7 x = 5 x − 2
Câu 1. (1,0 điểm)

Cho biểu thức A =

mx − y = 2
m2
2/ Cho hệ phương trình 
. Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y = 1 − 2
m +3
3x + my = 5
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D ở trên đường trịn sao cho C, D khơng cùng nằm trên nửa
mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AC và cung AD; giao điểm
của NM với AC là H, giao điểm của MD với CN là K. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
1. Chứng minh NKD đồng dạng với MKC;
2. Chứng minh OE vng góc với CD;
3. Chứng minh NHK đồng dạng với NCM và KH song song với AD;
4. Tìm vị trí của điểm C và D sao cho AMK là tam giác đều.
Câu 4. (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có số đo các cạnh là các số nguyên x, y, z thỏa mãn
2 x2 + 3 y 2 + 2 z 2 – 4 xy + 2 xz – 20 = 0 thì tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho A, M là hai điểm trên đường tròn (O; R) và B là điểm nằm bên ngồi đường trịn
(O; R). Trên OA lấy các điểm C và K sao cho OK: OA = 1: 3 và OC = 3OA.
1. Chứng minh  OKM đồng dạng với  OMC;
2. Khi A, B cố định còn M thay đổi. Hãy xác định vị trí điểm M trên đường tròn (O) sao cho
cho biểu thức P = MC + 3MB đạt giá trị nhỏ nhất.
19


KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019 - 2020
Khóa thi ngày: 03/6/2019

1 
x −1
1 

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A =  x +
−
.
 . 
x   x − x +1
x + 1 

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A .
2. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Tìm m để phương trình x 2 + 2mx − 2m − 6 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 11.
2. Giải phương trình 8x2 + 3x + 7 = 6 x x + 8 .

 x − y + xy = 1
3. Giải hệ phương trình  2
2
x + y = 2
Câu 3. (3,5 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) , tia phân giác BAC cắt cạnh BC tại D và cắt
đường tròn ( O ) tại I . Các tiếp tuyến tại B và C của ( O ) cắt nhau tại T . Gọi P, Q lần lượt là điểm thuộc
TC , TB sao cho DP / / AC và DQ / / AB .

a) Chứng minh tứ giác BDIQ nội tiếp.
b) Chứng minh AD vng góc với PQ .
c) Đường thẳng CQ cắt đường thẳng AB tại M , đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM cắt TC tại

N ( N khác C ). Chứng minh MN / / BC .
2. Cho tam giác đều ABC . Vẽ các tia Bx , Cy cùng phía với A đối với BC sao cho Bx / / AC ,
Cy / / AB . Một đường thẳng d đi qua A cắt Bx, Cy theo thứ tự ở D, E . Gọi I là giao điểm của CD và BE .
Xác định vị trí của đường thẳng d để tam giác BIC có diện tích lớn nhất.
Câu 4. (1,0 điểm)
1. Chứng minh A = 11...122...25 là số chính phương.
2019

2020

2. Tìm các số x, y nguyên thỏa mãn: x3 − y3 − 2 y 2 − 3 y − 1 = 0 .
Câu 5. (1,0 điểm)
1. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
3
+
+
 .
(1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4

2. Từ một đa giác đều 15 đỉnh, chọn ra 7 đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có 3 đỉnh trong số các đỉnh
đã chọn là ba đỉnh của một tam giác cân.

20