đề 3 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 03 – MÃ ĐỀ: 103
Oxy
Trên mặt phẳng tọa độ
, số phức z = −2i được biểu diễn bởi điểm
A.

Câu 2:

M ( −2; 0 ) .

Hàm số

y′ =
A.
Câu 3:

B.

y = ln ( 2 x + 1)
2
x ln ( 2 x + 1)

N ( 0; −2 ) .

C.

P ( 0; 2 ) .

D.

Q ( 2; 0 ) .

có đạo hàm là

.

B.

y′ =

1
2x +1 .

( 0; + ∞ ) , đạo hàm của hàm số
Trên khoảng
8
−
3

8
−
3

5
y′ = − x

3
A.
.

C.

y=x

−

5
3

y′ =

2
2x +1 .

D.

1
( 2 x + 1) ln 2

.

là

5 − 23
y′ = − x
3

C.
.

5
y′ = x
3
B.
.

y′ =

5 − 23
y′ = x
3
D.
.

x2 + x

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

1
1
>

 ÷
49 là
Tập nghiệm của bất phương trình  7 
−∞;1)
( −∞; −2 ) ∪ ( 1; +∞ ) . C. ( 1; +∞ ) .
A. (
.
B.

Cho cấp số nhân
A. 24 .

( un )

D.

( −2;1) .

có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng thức hai u2 = −6 . Giá trị của u4 bằng
B. −12 .
C. −24 .
D. 12 .

( α ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
(α) ?
vectơ pháp tuyến của
uu
r
uu

r
ur
uu
r
n2 = ( 3;2;4 )
n3 = ( 2; − 4;1)
n1 = ( 3; − 4;1)
n4 = ( 3;2; − 4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là điểm nào trong các điểm sau

Tìm giá trị của d .
A.

( 1;0 ) .

B.

3

Câu 8:

Nếu

∫ 2 f ( x ) + 1dx = 5

A. 3.

1

( 2;0 ) .

C.

( −1;0 ) .

D.

( 0;2 ) .

3

thì

∫ f ( x ) dx
1

B. 2.

bằng

3
.
C. 4

3
.
D. 2
Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 9:

Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào

A.

y=

x −1
x +1 .

B.

y=

2x +1
x +1 .

C.

y=

2x − 3
x +1 .

y=

D.

2x + 5
x +1 .

Câu 10: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 4 z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu.
A. m < 6
B. m ≥ 6
C. m ≤ 6
D. m > 6
x y z
∆: = =
1 2 −1 và mặt phẳng ( α ) : x − y + 2 z = 0 .
Câu 11: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
( α ) bằng
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng
A. 30° .
B. 60° .
C. 150° .

D. 120° .
Câu 12: Cho hai số phức z = 1 + 3i, w = 2 − i . Tìm phần ảo của số phức u = z.w .
A. −7 .
B. 5i .
C. 5.
D. −7i .
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢, có ABCD là hình vng cạnh 2a , cạnh

AC ¢= 2a 3 .Thể tích khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢ bằng
3
A. 4a .

3
B. 3a .

3
C. 2a .

3
D. a .

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 6 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
0
bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC?
3
3
3
A. V = 9a
B. V = 2a
C. V = 3a

3
D. V = 6a

( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3 ) = 16
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
và mặt phẳng
( P) : 2 x − 2 y + z + 6 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
2

A. ( P ) không cắt mặt cầu ( S ).
C. ( P ) đi qua tâm mặt cầu ( S ).

2

2

B. ( P ) tiếp xúc mặt cầu ( S ).
D. ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .

Câu 16: Cho số phức z = 1 + 4i . Phần ảo của phức liên hợp z bằng
A. 1 .
B. 4 .
C. −1 .

D. −4 .

Câu 17: Diện tích tồn phần của hình nón có bán kính đáy bằng 2 và độ dài đường sinh bằng 6 là

A. 8π .

B. 16π .

C. 12π .

D. 24π .

Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ

 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t ( t ∈ R)
 z = 1 + 4t

A.

Q ( 2; −3; 4 )

Câu 19: Cho hàm số

.

Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số

. Đường thẳng d khơng đi qua điểm nào dưới đây?
N 3; −1;5 )

P 5; −4;9 )
M 1; 2;1)
B. (
.
C. (
.
D. (
.

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị cực tiểu của hàm số là
B. y = −2 .

A. x = −2 .

Câu 20: Đồ thị hàm số

y=

( m + 1) x − 3
x−m+3

trình:
A. y = −3 .

S = ( −∞; −1]

B. x = 6 .

.

B.

D. y = 2 .

có tiệm cận ngang y = −2 thì có tiệm cận đứng có phương

Câu 21: Tập nghiệm S của bất phương trình

A.

C. y = 0 .

C. x = 0 .

log 2 ( 2 x + 3) ≥ 0

S = [ −1; +∞ )

.

C.

D. x = −6 .

là

S = ( −∞; −1)

.

D.

S = ( −∞;0]

.

Câu 22: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4, 5, 6 ?
5
A. A6 .

Câu 23: Hàm số

5
C. C6 .

B. P6 .

D. P5 .

F ( x ) = 2 x + sin 2 x

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
1
2
f
x

=
x
−
cos 2 x
(
)
f ( x ) = 2 + 2 cos 2 x
2
A.
. B.
.
1
f ( x ) = x 2 + cos 2 x
f ( x ) = 2 − 2 cos 2 x
2
C.
. D.
.
2022

Câu 24: Nếu

∫

f ( x ) dx = 3

1

A. 2023 .

2022

và

∫

g ( x ) dx = 4

1

2022

thì

B. 2022 .

∫ ( 2 f ( x ) − g ( x ) + 1) dx
1

C. 2021 .

′
Câu 25: Tìm hàm số y = f ( x) biết rằng f ( x) = sin x + 2 và f (0) = 1

A. cos x +2x+1 .

B. − cos x +2x +2 .

C. − cos x +2x +1 .

bằng
D. 2022 .
D. − cos x +2x .
Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 26: Cho hàm số bậc ba

Hàm số
A.

y = f ( x)

( 0; 2 ) .

Câu 27: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình sau

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( −∞ ; − 1) .

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡

C.

)

( 2; 4 ) .

D.

( −1; 2 ) .

có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Điểm cực tiểu

của đồ thị hàm số đã cho là

A. 0 .

B. 2 .

C.

( 0; 2 ) .

D.

( 2;0 ) .

Câu 28: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a + 2 log b = 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. a + b = 1 .

B. a + 2b = 10 .

2
C. ab = 10 .

2
D. a + b = 10 .

2
Câu 29: Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = 2 x + 3 quanh trục Ox

là:

1088π
A. 15 .

138π
B. 5 .

9π
C. 2 .

72π
D. 5 .

Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = a , các cạnh bên

SA = SB = SC =

a 6
2 . Tính góc tạo bởi mặt bên ( SAB ) và mặt phẳng đáy ( ABC ) .

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

π
A. 6 .
Câu 31: Cho hàm số

π
B. 4 .

y = f ( x)

C. arctan 2 .

xác định trên

¡ \ { 1}

D. arctan 2 .

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng

biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
nghiệm thực phân biệt.
A.

( −1;1] .

Câu 32: Cho hàm số

B.

y = f ( x)

(−

).

2 ; −1

C.

m

(−

sao cho phương trình
2 ; − 1

.

D.

f ( x) = m

có ba

( −1;1) .

f ′ ( x ) = x2 − 5 x + 4
¡
xác định trên tập
và có
. Khẳng định nào sau đây

đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

( 1; 4 ) .

( 3; +∞ ) .

( −∞;3) .
( 1; 4 ) .

Câu 33: Một số nguyên dương được gọi là đối xứng nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì ta

được số bằng với số ban đầu, chẳng hạn 2332 là một số đối xứng. Chọn ngẫu nhiên một số đối
xứng có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5 .
1
1
1

2
A. 9 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 9 .
Câu 34: Tích tất cả các nghiệm của phương trình

A. −7

log 32 x − 2 log 3 − 7 = 0

B. 9

C. 2

là
D. 1

z + 3 − 5i = 10
w = 2 z ( 1 − 3i ) + 9 − 14i
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn
và
. Khẳng định nào đúng

trong các khẳng định sau?

I −33; −14 )
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm (
.
I 33;14 )

B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm (
.
I −33;14 )
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm (
.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có bán kính R = 10 .
A ( 3; −1; 2 ) B ( −1;3;5 ) C ( 3;1; −3 )
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với
,
,
. Đường

trung tuyến AM của ∆ABC có phương trình là

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
 x = 1 − 2t

 y = 2 − 3t
z = 1+ t
A. 
.

 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t
z = 1+ t
B. 

.

 x = 1 + 2t

 y = 2 + 3t
z = 1+ t
C. 
.

 x = 3 + 2t

 y = −1 + 3t
z = 2 + t
D. 
.

M ( 2; −5; 4 )
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua mặt

( Oyz ) là
phẳng
( 2;5; 4 ) .
A.

B.

( 2; −5; −4 ) .

( 2;5; −4 ) .

C.

D.

( −2; −5; 4 ) .

A , AB = a, AC = a 2 và SA ⊥ ( ABC ) ,

Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại

SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

a 3
A. 2 .

a 2
C. 5 .

a
B. 2 .

 x2 + x + 1 
log 2 
÷+
16 x + 3 

Câu 39: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 2 .
B. 3 .

C. 10 .
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

a 10
D. 5 .

(

)

2

x − 2 + x ≤1
là
D. 11 .

F ( x) ,G ( x)
f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
e8

1

∫ x f ( 5ln ( x ) ) dx

F ( 8) + G ( 8) = 8

F ( 0 ) + G ( 0 ) = −2
mãn
và
. Khi đó 1
A. −1 .
B. 1 .
C. 5 .
Câu 41: Cho hàm số

f ′ ( x ) = ( x − 2)

2

(x

2

− 4 x + 3)

bằng
D. −5 .

với mọi x ∈ R . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương

y = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )
m
của
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
A. 18 .

B. 16 .
C. 17 .

D. 15 .

z1 , z2 là các số phức thoả mãn điều kiện z1 + 3z2 = 3 và 3z1 − z2 = 1 . Giá trị lớn nhất của
P = z1 + z2
biểu thức
bằng
4
A. 5 .
B. 9 .
C. 2 .
D. 1 .

Câu 42: Gọi

Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm

O của tam giác ABC
3a 3 2
4 .
A.
Câu 44: Cho

hàm

a
bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ bằng

3a 3 2
8 .
B.

y = f ( x)

số

f ( x) + f ′( x) =

( A′BC )
đến mặt phẳng

có

3a 3 2
C. 28 .

đạo

hàm

liên

2 x3 − 5 x2 + 5 x

(x

2

− x + 1)

tục

3a 3 2
D. 16

trên

đoạn

[ 0;1]

và

thỏa

1

2

;

f ( 1) − f ( 0 ) = 2

;

∫ f ( x ) dx = 0
0

. Biết diện tích hình phẳng giới
Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
hạn bởi đồ thị

( C ) : y = f ( x ) , trục tung và trục hồnh có dạng

2
2
nguyên dương. Tính T = a + b .
A. T = 13 .
B. T = 25 .

S = ln a − ln b với a, b là các số

C. T = 34 .

D. T = 41 .

2
2
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z + 3 z + a − 2a = 0 có

z = 3
nghiệm phức z0 thỏa 0
.
3
A. .

B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B (2; 0;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y + 2 z + 2 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song
với mặt phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.

A.
C.
Câu 47:

d:

x −1 y −1 z −1
=
=
3
1
−2 .

d:

x−2 y−2 z
=
=
1

1
−1 .

B.
D.

( x; y )
Có bao nhiêu cặp số nguyên
A. 2020 .

B. 9 .

d:

x y z+2
= =
2 2
−2 .

d:

x −1 y −1 z −1
=
=
3
−1
−1 .

2 y − log 2 ( x + 2 y −1 ) = 2 x − y
2

≤
x
≤
2021
thỏa mãn
và
?
2019
10
C.
.
D. .

h = 40cm, bán kính đáy r = 50cm. Một thiết qua đỉnh của
hình nón và khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d = 24cm. Tính

Câu 48: Hình nón trịn xoay có chiều cao

diện tích S của thiết diện.
2
A. 800cm .

2
B. 1600cm .

2
C. 200cm .

2
D. 2200cm .

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 13 = 0 . Lấy điểm M
M kẻ được ba tiếp tuyến MA , MB , MC đến mặt cầu ( S ) thỏa

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

trong không gian sao cho từ

·
·
·
mãn AMB = 60° , BMC = 90° , CMA = 120° ( A , B , C là các tiếp điểm). Khi đó đoạn thẳng
OM có độ nhỏ nhất bằng
A. 14 − 3 3 .
Câu 50: Cho hàm số

để hàm số
A. 7 .

B. − 14 + 6 3 .

y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2

g ( x) = f ( x + m )

C. 14 − 6 .

D. 6 − 14 .

. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

( 0;1) ?
nghịch biến trên
B. 8 .
C. 9 .
---------- HẾT ----------

m ∈ [ −10;10]

D. 10 .

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.B
11.A
21.B
31.B
41.B

2.C
12.A
22.A
32.A
42.C

3.A
13.A
23.A

33.A
43.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.D
7.D
15.A
16.D
17.B
25.B
26.A
27.C
35.B
36.B
37.D
45.B
46.C
47.D

4.D
14.D
24.A
34.B
44.B

8.D
18.A
28.C
38.D

48.C

9
19.B
29.A
39.A
49.D

10.A
20.D
30
40.B
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức z = −2i được biểu diễn bởi điểm
A.

M ( −2; 0 ) .

B.

N ( 0; −2 ) .

C.
Lời giải

P ( 0; 2 ) .

D.

Q ( 2; 0 ) .

N ( 0; −2 ) .
Số phức z = −2i được biểu diễn bởi điểm
Câu 2:

Hàm số
A.

y = ln ( 2 x + 1)

2
y′ =
x ln ( 2 x + 1)

.

có đạo hàm là
B.

y′ =

1
2x +1 .

C.

y′ =

2
2x +1 .

y′ =
D.

1
( 2 x + 1) ln 2

.

Lời giải
Hàm số
Câu 3:

y = ln ( 2 x + 1)

có đạo hàm là

y′ =

2
2x + 1 .

( 0; + ∞ ) , đạo hàm của hàm số
Trên khoảng
8
−

3

8
−
3

5
y′ = − x
3
A.
.

5
y′ = x
3
B.
.

y=x

−

5
3

là

5 −2
y′ = − x 3
3

C.
.
Lời giải

D.

y′ =

5 − 23
x
3
.

 − 5 ′
5 − 5 −1
5 −8
y′ =  x 3 ÷ = − x 3 = − x 3
3
3


Ta có:
.
x2 + x

Câu 4:

1
1
>

 ÷
49 là
Tập nghiệm của bất phương trình  7 
−∞;1)
( −∞; −2 ) ∪ ( 1; +∞ ) . C. ( 1; +∞ ) .
A. (
.
B.
Lời giải
x2 + x

1
 ÷
Ta có:  7 
Câu 5:

>

D.

( −2;1) .

1
⇔ x 2 + x < 2 ⇔ x 2 + x − 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1
49

( un )

có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng thức hai u2 = −6 . Giá trị của u4 bằng
B. −12 .

C. −24 .
D. 12 .
Lời giải
u
u2 = u1 .q ⇒ q = 2 = −2 ⇒ u4 = u1q 3 = −24
u1
Ta có
.
Cho cấp số nhân
A. 24 .

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 6:

Câu 7:

( α ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
(α) ?
vectơ pháp tuyến của
uu
r
uu
r
ur
uu
r

n2 = ( 3;2;4 )
n3 = ( 2; − 4;1)
n1 = ( 3; − 4;1)
n4 = ( 3;2; − 4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
r
n = ( 3;2; − 4 )
α ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0
(
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là điểm nào trong các điểm sau

Tìm giá trị của d .
A.

( 1;0 ) .

B.

( 2;0 ) .

C.

( −1;0 ) .

D.

( 0;2 ) .

Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ
3

Câu 8:

Nếu

∫ 2 f ( x ) + 1dx = 5
1

A. 3.

( 0; 2 ) .

3

thì

∫ f ( x ) dx
1

bằng

3
.
C. 4

B. 2.

3
.
D. 2

Lời giải
Chọn D
3

Ta có
Câu 9:

3

3

3

3

3
∫1 2 f ( x ) + 1dx = 5 ⇔ 2∫1 f ( x ) dx + ∫1 dx = 5 ⇔ 2∫1 f ( x ) dx + 2 = 5 ⇔ ∫1 f ( x ) dx = 2

Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào

Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

y=

x −1
x +1 .

B.

y=

2x +1
x +1 .

y=

C.
Lời giải

2x − 3

x +1 .

D.

y=

2x + 5
x +1 .

Chọn B

( 0;1) nên chọn phương án B.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm có tọa độ
Câu 10: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 4 z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu.
A. m < 6

B. m ≥ 6

C. m ≤ 6
Lời giải

D. m > 6

2
2
2
Phương trình x + y + z − 2 x − 2 y − 4 z + m = 0 là một phương trình mặt cầu

⇔ 12 + 12 + 22 − m > 0 ⇔ m < 6 .

x y z
∆: = =
Oxyz
1 2 −1 và mặt phẳng ( α ) : x − y + 2 z = 0 .
Câu 11: Trong không gian
cho đường thẳng
( α ) bằng
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng
A. 30° .
B. 60° .
C. 150° .
D. 120° .
Lời giải
r
u = ( 1; 2; −1)
( α ) có vectơ pháp tuyến
∆
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
, mặt phẳng
r
n = ( 1; −1; 2 )
( α ) , khi đó
. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng
rr
u.n
r r
1− 2 − 2 1
sin ϕ = cos u, n = r r =
= ⇒ ϕ = 30°

2
6. 6
u.n

( )

.

Câu 12: Cho hai số phức z = 1 + 3i, w = 2 − i . Tìm phần ảo của số phức u = z.w .
A. −7 .
B. 5i .
C. 5.
D. −7i .

Lời giải
u = z.w = ( 1 − 3i ) ( 2 − i ) = −1 − 7i ⇒

phần ảo của số phức là −7.

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢, có ABCD là hình vng cạnh 2a , cạnh

AC ¢= 2a 3 .Thể tích khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢ bằng
3
A. 4a .

3

B. 3a .

3

C. 2a .
Lời giải

3
D. a .

2
2
2
2
2
2
Ta có: AC ¢ = AB + AD + AAÂ ị AAÂ = 4a ị AAÂ= 2a .
Th tích khối lăng trụ ABC. A¢B ¢C ¢là

1
1
VABC . A¢B ¢C ¢ = . AB. AD. AA¢= .2a.2a.2a = 4a 3
2
2
.
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 6 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
0
bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC?
3
3

3
A. V = 9a
B. V = 2a
C. V = 3a

3
D. V = 6a

Lời giải

Diện tích đáy là:

(

S ABCD = AB 2 = a 6

)

2

= 6a 2 .

· , ( ABCD ) = SDO
·
·
⇒ SDO
= 600
( ABCD ) là SD
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy

ABCD là hình vuông suy ra

DO =

1
1
1
BD = AB 2 = a 6. 2 = a 3.
2
2
2

0
·
Xét tam giác vuông SOD : SO = DO.tan SDO = a 3.tan 60 = 3a.

1
1
VS . ABCD = .SO.S ABCD = .3a.6a 2 = 6a 3.
3
3
Vậy
Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3 ) = 16
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
và mặt phẳng
( P) : 2 x − 2 y + z + 6 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

2

A. ( P ) không cắt mặt cầu ( S ).
C. ( P ) đi qua tâm mặt cầu ( S ).

2

2

B. ( P ) tiếp xúc mặt cầu ( S ).
D. ( P ) cắt mặt cầu ( S ) .
Lời giải

I ( 1; −2;3)
Mặt cầu ( S ) có tâm
và bán kính R = 4

d ( I , ( P) ) =
Ta có:

2+ 4+3+ 6
22 + ( −2 ) + 12
2

=5> R
. Suy ra ( P ) không cắt mặt cầu ( S ).

Câu 16: Cho số phức z = 1 + 4i . Phần ảo của phức liên hợp z bằng
A. 1 .
B. 4 .

C. −1 .

D. −4 .

Lời giải
Số phức z = 1 + 4i , số phức liên hợp là z = 1 − 4i .
Vậy phần ảo của số phức z bằng −4.
Câu 17: Diện tích tồn phần của hình nón có bán kính đáy bằng 2 và độ dài đường sinh bằng 6 là

A. 8π .

Ta có

B. 16π .

Stp = S xq + S d = π rl + π r 2 = 16π

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ

 x = 1 + 2t

 y = 2 − 3t ( t ∈ R)
 z = 1 + 4t

A.

Q ( 2; −3; 4 )

.

C. 12π .
Lời giải

D. 24π .

.

Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số

. Đường thẳng d không đi qua điểm nào dưới đây?
N 3; −1;5 )
P 5; −4;9 )
M 1; 2;1)
B. (
.
C. (
.
D. (
.
Lời giải

Thay tọa độ

Câu 19: Cho hàm số

Q ( 2; −3; 4 )

y = f ( x)

vào phương trình đường thẳng khơng thỏa.

có đồ thị như hình vẽ.

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Giá trị cực tiểu của hàm số là
B. y = −2 .

A. x = −2 .

C. y = 0 .
Lời giải

D. y = 2 .

Từ đồ thị hàm số ta có giá trị cực tiểu của hàm số là y = −2 .

Câu 20: Đồ thị hàm số

y=

trình:
A. y = −3 .

( m + 1) x − 3
x−m+3

có tiệm cận ngang y = −2 thì có tiệm cận đứng có phương

B. x = 6 .

C. x = 0 .

D. x = −6 .

Lời giải
Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = −2 nên m + 1 = −2 ⇒ m = −3 . Vậy tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số có phương trình: x = −6 .
Câu 21: Tập nghiệm S của bất phương trình

A.

S = ( −∞; −1]

Ta có

.

B.

log 2 ( 2 x + 3) ≥ 0

S = [ −1; +∞ )

.

C.

Lời giải

là

S = ( −∞; −1)

.

D.

S = ( −∞;0]

.

log 2 ( 2 x + 3) ≥ 0 ⇔ 2 x + 3 ≥ 1 ⇔ x ≥ −1

Vậy tập nghiệm bất phương trình

S = [ −1; +∞ )

Câu 22: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4, 5, 6 ?
5
A. A6 .

B. P6 .

5

C. C6 .
Lời giải.

D. P5 .

Chọn A
Số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4, 5, 6 là một chỉnh
5
hợp chập 5 của 6 phần tử. Vậy có A6 số cần tìm.

Câu 23: Hàm số

F ( x ) = 2 x + sin 2 x

là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
1
f ( x ) = x 2 − cos 2 x
f ( x ) = 2 + 2 cos 2 x
2
A.
. B.
.

Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

1
2
f
x

=
x
+
cos 2 x
(
)
f x = 2 − 2 cos 2 x
2
C. ( )
. D.
.
Lời giải
f ( x ) = F ′ ( x ) = ( 2 x + sin 2 x ) ′ = 2 + 2 cos 2 x

Ta có:

2022

Câu 24: Nếu

∫

f ( x ) dx = 3

1

A. 2023 .
2022

Ta có

∫

2022

và

∫

g ( x ) dx = 4

1

2022

thì

B. 2022 .

( 2 f ( x ) − g ( x ) + 1) dx = 2

1

.

∫ ( 2 f ( x ) − g ( x ) + 1) dx
1

C. 2021 .
Lời giải

2022

∫

f ( x ) dx −

1

2022

∫

g ( x ) dx +

1

B. − cos x +2x +2 .

Ta có

2022

∫ 1dx = 2.3 − 4 + 2021 = 2023.
1

′
Câu 25: Tìm hàm số y = f ( x) biết rằng f ( x) = sin x + 2 và f (0) = 1

A. cos x +2x+1 .

bằng
D. 2022 .

C. − cos x +2x +1 .
Lời giải

.

D. − cos x +2x .

f ( x) = ∫ f '( x)dx = ∫ (sin x + 2)dx = − cos x +2x +C

Mà f (0) = 1 nên f (0) = −cos0+2.0+C=1 ⇒ C=2
Do đó f ( x) = − cos x +2x+2
Câu 26: Cho hàm số bậc ba

Hàm số
A.

y = f ( x)

( 0; 2 ) .

y = f ( x)

có đồ thị như hình sau

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( −∞ ; − 1) .

( 2; 4 ) .

C.
Lời giải

D.

( −1; 2 ) .

Chọn A

y = f ( x)
( 0; 2 ) .
Dựa vào đồ thị, hàm số
nghịch biến
y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡ )
Câu 27: Cho hàm số
có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số đã cho là
Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A. 0 .

B. 2 .

( 0; 2 ) .

C.
Lời giải

D.

( 2;0 ) .

( 0; 2 ) .
 Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
Câu 28: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a + 2 log b = 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
2
2
A. a + b = 1 .
B. a + 2b = 10 .
C. ab = 10 .
D. a + b = 10 .
Lời giải
log a + 2 log b = 1 ⇔ log a + log b 2 = 1 ⇔ log ab 2 = 1 ⇔ ab 2 = 10 .
Câu 29: Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = 2 x + 3 quanh trục Ox
2

là:

1088π
A. 15 .

138π

B. 5 .

9π
C. 2 .
Lời giải

72π
D. 5 .

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
Hoành độ giao điểm của đường y = x với y = 2 x + 3 là x = −1; x = 3 . Vậy thể tích của khối
3

trịn xoay cần tính là:

3

V = π ∫ ( 2 x + 3) dx − π ∫ ( x 2 ) dx =
2

−1

2

−1

1088π
15 .

Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AC = a , các cạnh bên

SA = SB = SC =

π
A. 6 .

a 6
2 . Tính góc tạo bởi mặt bên ( SAB ) và mặt phẳng đáy ( ABC ) .

π
B. 4 .

C. arctan 2 .
Lời giải

D. arctan 2 .

Chọn D

BC ⇒ HA = HB = HC =

1
1
BC = a 2
2
2

.

Gọi H là trung điểm của
a 6
SA = SB = SC =
2 nên SH ⊥ BC , ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC
mà
SH ⊥ ( ABC )
suy ra
.
·
· , HI = SIH
·
HI ⊥ AB ⇒ ( SAB ) , ( ABC ) = SI
Kẻ
.
1
1
1
HI = AB = AC = a
2
2
2
Ta có

) (

(

2

)

2

a 6 a 2
SH = SC − HC = 
÷
÷ −  2 ÷
÷ =a
2

 

.
SIH
H
Xét tam giác
vng tại , ta có
SH
a
·
·
tan SIH
=
=
= 2 ⇒ SIH
= arctan 2
1
IH

a
2
.
2

Câu 31: Cho hàm số

2

y = f ( x)

xác định trên

¡ \ { 1}

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng

biến thiên như sau:
Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
nghiệm thực phân biệt.
A.

( −1;1] .

B.

(−

Số nghiệm của phương trình

).

f ( x) = m

C.
Lời giải

sao cho phương trình
2 ; − 1

.

D.

f ( x) = m

có ba

( −1;1) .

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y = f ( x)

và

có ba nghiệm thực phân biệt thì đồ thị hàm số

y = f ( x)

và

đường thẳng y = m .

Do đó, để phương trình

(−

2 ; −1

f ( x) = m

m

đường thẳng y = m cắt tại ba giao điểm.

Dựa vào bảng biến thiên ta có − 2 < m < −1 .
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

f ′ ( x ) = x2 − 5 x + 4
xác định trên tập ¡ và có
. Khẳng định nào sau đây

đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

( 1; 4 ) .

( 3; +∞ ) .

( −∞;3) .
( 1; 4 ) .

Lời giải
Ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

( −∞;1)

và

( 4; +∞ ) . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; 4 ) .

Câu 33: Một số nguyên dương được gọi là đối xứng nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì ta

được số bằng với số ban đầu, chẳng hạn 2332 là một số đối xứng. Chọn ngẫu nhiên một số đối
xứng có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5 .
1
1

1
2
A. 9 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 9 .
Lời giải
Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Gọi số cần tìm là abba .
Nhận thấy a ≠ 0 nên a có 9 cách chọn, và b có 10 cách chọn.
Suy ra

n ( Ω ) = 9 ×10 = 90

.

Gọi A là biến cố: “số được chọn chia hết cho 5”.
Nhận xét abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b .
Vì 110 M5 nên để abba M5 thì 1001a M5 .

/ 5 nên a M5 , do đó a = 5 .
Mà 1001M
Vậy a có 1 cách chọn, tương ứng b có 10 cách chọn.
Suy ra

n ( A ) = 10

P ( A) =
Xác suất cần tìm:

n ( A) 1
=
n ( Ω) 9

.

Câu 34: Tích tất cả các nghiệm của phương trình

A. −7

log 32 x − 2 log 3 − 7 = 0

B. 9

là

C. 2

D. 1

Lời giải
Chọn B
Gọi

x1 ; x2

là nghiệm của phương trình đã cho.

Áp dụng định lý Vi_ét ta có
Mặt khác

log 3 x1 + log 3 x2 =

−b
=2
a

log 3 ( x1.x2 ) = log 3 x1 + log 3 x2 = 2 ⇒ x1.x2 = 9

z + 3 − 5i = 10
w = 2 z ( 1 − 3i ) + 9 − 14i
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn
và
. Khẳng định nào đúng

trong các khẳng định sau?

I −33; −14 )
A. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm (
.
I 33;14 )
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm (
.
I −33;14 )
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có tâm (
.
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn có bán kính R = 10 .

Lời giải

Ta có

w = 2 z ( 1 − 3i ) + 9 − 14i ⇔ w − ( 9 − 14i ) = 2 ( 1 − 3i ) z ⇔ z =

w − ( 9 − 14i )
2 − 6i
.
Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

z + 3 − 5i = 10 ⇔

w − ( 9 − 14i )
2 − 6i

Khi đó
⇔

w − ( 9 − 14i ) + ( 3 − 5i ) ( 2 − 6i )
2 − 6i

+ 3 − 5i = 10

= 10

⇔ w − ( 33 + 14i ) = 20
I 33;14 )
Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn tâm (
, bán kính R = 20 .
A ( 3; −1; 2 ) B ( −1;3;5 ) C ( 3;1; −3 )
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với
,
,
. Đường

trung tuyến AM của ∆ABC có phương trình là
 x = 1 − 2t
 x = 1 + 2t


 y = 2 − 3t
 y = 2 − 3t
z = 1+ t
z = 1+ t
A. 
.
B. 
.
C.

Ta có

M ( 1; 2;1)

là trung điểm

 x = 1 + 2t

 y = 2 + 3t
z = 1+ t

.

Lời giải
uuuu
r
BC ⇒ AM = ( −2;3; −1)

.

 x = 3 + 2t

 y = −1 + 3t
z = 2 + t
D. 
.

uuuu
r

AM = ( −2;3; −1)
A 3; −1; 2 )
Khi đó, trung tuyến AM đi qua (
và có vectơ chỉ phương
.

x = 1+ 2 ( 1− u )
 x = 3 − 2u


AM :  y = −1 + 3u ⇒ AM :  y = 2 − 3 ( 1 − u )
z = 2 − u


z = 1+ ( 1− u ) .

 x = 1 + 2t

AM :  y = 2 − 3t , t = 1 − u ∈ ¡
z = 1+ t

Do vậy
.

M ( 2; −5; 4 )
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua mặt

( Oyz ) là
phẳng
( 2;5; 4 ) .
A.

B.

( 2; −5; −4 ) .

C.

( 2;5; −4 ) .

D.

( −2; −5; 4 ) .

Lời giải

( Oyz ) là I ( 0; −5; 4 ) .
Ta có: Hình chiếu của M lên qua mặt phẳng
( Oyz ) nên I là trung điểm MM ' ⇒ M ' ( −2; −5; 4 ) .
Do M ' đối xứng với M qua mặt phẳng
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng tại

A , AB = a, AC = a 2 và SA ⊥ ( ABC ) ,

SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng

a 3
A. 2 .

a
B. 2 .

a 2
C. 5 .

a 10
D. 5 .
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải

Gọi I là hình chiếu của A trên BC , H là hình chiếu của A trên SI .
Ta có:

SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC 

 ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AH 
AI ⊥ BC 
 ⇒ AH ⊥ ( SBC )


SI ⊥ AH 

Do đó:

d ( A, ( SBC ) ) = AH

1
1
1
1
1 1
1

5
a 10
= 2+
+
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
2
2
2
AH
SA AB AC
a a 2a
2a
5

Vậy

d ( A, ( SBC ) ) =

a 10
5 .

 x2 + x + 1 
log 2 
÷+
16 x + 3 

Câu 39: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 2 .
B. 3 .
C. 10 .

(

)

2

x − 2 + x ≤1
là
D. 11 .

Lời giải:
Chọn A
Điều kiện: x ≥ 0 .

 x2 + x + 1 
log 2 
÷+
 16 x + 3 

(

)

x − 2 + x ≤ 1 ⇔ log 2 ( x 2 + x + 1) − log 2 ( 16 x + 3 ) + 2 x − 4 x + 3 ≤ 0
2

2

1 3


1 3

⇔ log 2   x + ÷ + ÷+ 2   x + ÷+ ÷ ≤ log 2  2 x

÷
2 4
2 4




(

)

2

3
3

+ ÷+ 2  2 x + ÷
4
4


Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3

 3
f ( t ) = log 2  t 2 + ÷+ 2  t + ÷
4

 4  với t ≥ 0 có
Xét hàm số

f ( t)

nên

đồng biến trên khoảng

f ′( t ) =

2t
+2>0
 2 3
 t + ÷ln 2
4

, ∀t ≥ 0

[ 0; +∞ ) .

Suy ra

x ≥ 0

1 3
3
1
3− 2 2
3+ 2 2


⇔ 0,1 ≈
≤x≤
≈ 2,9
1
 x + ÷+ ≤ 2 x + ⇔ 2 x ≥ x + ⇔  2
2 4
4
2
2
2
x
−
3
x
+
≤
0


4

x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { 1; 2}
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

.
F ( x) ,G ( x)
f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
e8

1

∫ x f ( 5ln ( x ) ) dx

F ( 8) + G ( 8) = 8
F ( 0 ) + G ( 0 ) = −2
mãn
và
. Khi đó 1
A. −1 .
B. 1 .
C. 5 .
Lời giải

bằng
D. −5 .


G ( 8 ) = F ( 8 ) + C

G ( x) = F ( x) + C ⇒ 

G ( 0 ) = F ( 0 ) + C
Ta có:

2 F (8) + C = 8
 F ( 8 ) + G ( 8 ) = 8
⇔
⇔ F (8) − F (0) = 5.

 F (0) + G(0) = −2
2 F (0) + C = −2
e8

Vậy:

8

1
1
1
∫1 x f ( 5 ln ( x ) ) dx = 5 ∫0 f (t )dt = 5 ( F (8) − F (0) ) = 1.

Câu 41: Cho hàm số

f ′ ( x ) = ( x − 2)

của m để hàm số
A. 18 .

2

(x

2

− 4 x + 3)

y = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )

B. 16 .

với mọi x ∈ R . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
có 5 điểm cực trị?
C. 17 .

D. 15 .

Lời giải

x = 2
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = 3 x = 2
f′ x
Ta có
,
là nghiệm kép nên khi qua giá trị x = 2 thì ( )
khơng bị đổi dấu.
Đặt

g ( x ) = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )

khi đó

g ' ( x ) = f ′ ( u ) . ( 2 x − 10 )

2
với u = x − 10 x + m + 9 .

Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
x = 5
 2 x − 10 = 0
 2
2
 2
2
( x − 10 x + m + 9 − 2 ) = 0
( x − 10 x + m + 9 − 2 ) = 0
⇔
g′ ( x) = 0 ⇔ 
2
2
 x − 10 x + m + 8 = 0 ( 1)
x
−
10
x

+
m
+
9
=
1

 2
 2
x − 10 x + m + 9 = 3

 x − 10 x + m + 6 = 0 ( 2 )
Nên
Hàm số

y = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )

Hay phương trình

( 1)

g′ x
có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi ( ) đổi dấu 5 lần

và phương trình

( 2)

phải có hai nghiệm phân biệt khác 5

∆1' > 0
 '
∆ 2 > 0
⇔
h ( 5 ) ≠ 0
 p ( 5) ≠ 0

,.
17 − m > 0
19 − m > 0

⇔
⇔ m < 17
−
17
+
m
≠
0

−19 + m ≠ 0
.
Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.
z1 , z2 là các số phức thoả mãn điều kiện z1 + 3z2 = 3 và 3z1 − z2 = 1 . Giá trị lớn nhất của
P = z1 + z2
biểu thức
bằng
4
A. 5 .
B. 9 .

C. 2 .
D. 1 .
Lời giải

Câu 42: Gọi

Ta có:

(
)
= ( 3 z − z ) ( 3z − z ) = 9 z

(

9 = z1 + 3z2 = ( z1 + 3z2 ) z1 + 3z2 = z1 + 9 z2 + 3 z1 z2 + z1z2
2

1 = 3z1 − z2

( 1)
Cộng vế

2

1

( 2)
và

2

ta có:

1

1

(

2

2

(

2

P 2 = ( z1 + z2 ) ≤ ( 12 + 12 ) z1 + z2

Dấu “ = ” xảy ra

⇔ z1 = z2 =

2

(

2

+ z2 − 3 z1 z2 + z1z2

10 = 10 z1 + z2

2

Ta có:

2

2

2

2

)⇔z

1

2

)

( 1)
( 2)

2

+ z2 = 1

) =2⇒P≤

)

.

2.

2
2 .

Vậy max P = 2 .

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm

O của tam giác ABC
3a 3 2
4 .
A.

( A′BC )
đến mặt phẳng
3a 3 2
8 .
B.

a
bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ bằng

3a 3 2
C. 28 .
Lời giải

3a 3 2
D. 16

Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A ' M .
BC ⊥ AM 
 ⇒ BC ⊥ ( AA′M ) ⇒ BC ⊥ AH
′
BC
⊥
AA
Ta có
Mà

AH ⊥ A′M ( 2 )

Từ và

⇒ d ( A, ( A′BC ) ) = AH
d ( O, ( A′BC ) )

Ta có

d ( A, ( A′BC ) )

=

.

MO 1
=
MA 3

.

⇒ d ( A, ( A′BC ) ) = 3d ( O, ( A′BC ) ) =

a
a
⇒ AH =
2
2.

1
1
1 ⇔ 1 = 4 − 4 ⇔ AA′ = a 3
=
+
2
AA′2 a 2 3a 2
2 2.
AA′2 AM 2
Xét tam giác vuông A ' AM : AH

Suy ra thể tích lăng trụ ABC. A ' B′C ′ là:

V = AA′.S∆ABC =

a 3 a 2 3 3 2a3
.
=
16 .
2 2 4

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 44: Cho

hàm

y = f ( x)

số

f ( x) + f ′( x) =

hạn bởi đồ thị

có

đạo

hàm

liên

2x − 5x + 5x
3

(x

2

2

− x + 1)

tục

trên

;

f ( 1) − f ( 0 ) = 2

2
2
nguyên dương. Tính T = a + b .
A. T = 13 .
B. T = 25 .

Ta có

⇒ ∫ f ( x ) dx +

⇒ ∫ f ( x ) dx +

∫

∫

2 x3 − 5 x 2 + 5x

(x

2

− x + 1)

f ′ ( x ) dx = ∫

f ′ ( x ) dx = ∫

[ 0;1]

và

thỏa

1

2

;

∫ f ( x ) dx = 0
0

( C ) : y = f ( x ) , trục tung và trục hồnh có dạng

f ( x) + f ′( x) =

đoạn

2

. Biết diện tích hình phẳng giới
S = ln a − ln b với a, b là các số

D. T = 41 .

C. T = 34 .
Lời giải
=

( 2 x − 1) ( x 2 − x + 1) − 2 x 2 + 2 x + 1

(x

2

− x + 1)

2

2x −1
2 x2 − 2 x − 1
d
x
−
∫ x 2 − x + 1 2 dx
x2 − x + 1
(
)
d ( x 2 − x + 1)
x2 − x + 1

2x2 − 2x −1
−∫

( 2 x − 1)

2
2

 x2 − x + 1 

÷
 2x −1 

dx

 x2 − x + 1 

d
÷
d ( x − x + 1)
2x −1 
2x −1
f ( x ) dx + f ( x ) = ∫ 2
−∫ 
= ln ( x 2 − x + 1) + 2
+C
2
x − x +1
x − x +1
 x2 − x + 1 
 2x −1 ÷


2

⇒∫

.

Mặt khác, ta có
1
 1 2x −1
1
dx = ln ( x 2 − x + 1) = 0 = ∫ f ( x ) dx
∫ 2
0
0

0 x − x +1

 2 x − 1  1
 2
÷ = 1 − ( −1) = 2 = f ( 1) − f ( 0 )
x
−
x
+
1

0

 2x −1
dx = ln ( x 2 − x + 1) + C
∫ 2
x
−
x
+
1


nên suy ra

1
2

S =∫

Do đó

0

C = 0

2x −1

f ( x) = 2

x − x +1 .


1
2x −1
4
2
dx = − ln ( x − x + 1) 2 = ln = ln 4 − ln 3
2
x − x +1
3
0
. Suy ra

a = 4

b = 3 .

2
2

Vậy T = a + b = 25 .

2
2
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z + 3 z + a − 2a = 0 có

z = 3
nghiệm phức z0 thỏa 0
.
3
A. .
B. 2 .

C. 1 .

D. 4 .
Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
2
Phương trình z + 3z + a − 2a = 0 có ∆ = −4a + 8a + 3 .
Xét 2 trường hợp:

2

2

2− 7

2+ 7
≤a≤
2
2 .
TH1.
Khi đó, phương trình có nghiệm z0 thì z0 ∈ ¡ .
 z0 = 3
z0 = 3 ⇔ 
 z0 = − 3 .
Theo đề bài:
a = 0
a 2 − 2a ⇔ 
z0 = − 3
a = 2 .
, thay vào phương trình ta được
*
2
z = 3
* 0
, thay vào phương trình ta được a − 2a + 6 = 0 .
Kết hợp điều kiện a > 0 và điều kiện suy ra a = 2 .

2− 7
a <
2
∆ < 0 ⇔ − 4 a 2 + 8a + 3 < 0 ⇔ 

2+ 7
a >


2 .
TH2.
∆ ≥ 0 ⇔ −4 a 2 + 8 a + 3 ≥ 0 ⇔

Khi đó, phương trình có nghiệm phức z0 thì z 0 cũng là một nghiệm của phương trình.
 a = −1
2
z0 .z 0 = a 2 − 2a ⇔ z0 = a 2 − 2a ⇔ a 2 − 2a − 3 = 0 ⇔ 
a = 3 .
Ta có
Kết hợp điều kiện a > 0 và điều kiện suy ra a = 3 .
Vậy có 2 giá trị a dương thỏa mãn là a = 2 ; a = 3 .
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B (2; 0;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y + 2 z + 2 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song
với mặt phẳng ( P ) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.

x −1 y −1 z −1
=
=
3
1
−2 .
A.
x−2 y−2 z
d:
=
=
1
1

−1 .
C.
d:

B.

d:

x y z+2
= =
2 2
−2 .

d:

x −1 y −1 z −1
=
=
3
−1
−1 .

D.
Lời giải

Gọi ( P ') chứa A và song song ( P ) suy ra ( P ') : x + y + 2 z − 4 = 0 .
Ta thấy B ∈ ( P ') do đó d ( B, d ) đạt giá trị lớn nhất là AB.
Page 25