đề 4 bám sát minh họa 2023 môn toto

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

Câu 2:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 04 – MÃ ĐỀ: 104
N ( 5; −3 )
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
z
=
3
−
5
i
z
=
−
5
+
3
i
A. 2
.
B. 3
.
C. z4 = 5 − 3i .
D. z1 = −3 + 5i .

x
Đạo hàm của hàm số y = 2021 là
x
x −1
A. x.2021 .
B. 2021 .

x
C. 2021 .ln x .

x
D. 2021 .ln 2021 .

3

Câu 3:

2
2
Tìm đạo hàm của hàm số: y = ( x + 1)

1
3
(2 x) 2
2
A.

3 − 14
x
B. 4

2
C. 3 x( x + 1)

1
2

1
3 2
( x + 1) 2
2
D.

x+ 2

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

1
 ÷
Tập nghiệm của bất phương trình  3 
[ 0; +∞ ) .
[ −4; +∞ ) .
A.
B.

Cho cấp số nhân

A. 512 .

( un )

≥9

là
C.

( −∞; −4] .

D.

( −∞; 4] .

u =2
u = 16
có 3
và 6
. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân bằng
B. 256 .
C. −256 .
D. 1024 .

M ( 2; −1;3)
( P ) : 3x − 2 y + z + 1 = 0 . Phương
Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng

( P)

trình mặt phẳng đi qua M và song song với
là
A. 3 x − 2 y + z + 11 = 0 . B. 2 x − y + 3 z − 14 = 0 .
C. 3 x − 2 y + z − 11 = 0 . D. 2 x − y + 3z + 14 = 0 .
Câu 7:

3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau

A.

( 0; −2 ) .

B.

( 0; −1) .

C.

( −1;0 ) .

D.

( 1;0 ) .
Page 1

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2

Câu 8:

Câu 9:

∫ f ( x)dx = 5

Nếu 1
A. 3

3

và

∫ f ( x)dx = −2
2

3

thì

∫ f ( x)dx
1

B. 7

bằng
C. −10

D. −7

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?

4
B. y = − x + 4 .

3
2
A. y = x − 3 x .

Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu

Phương trình của

( S)

A.
C.

x + y + ( z − 3) = 25
2

2

2

( S)

I ( 0;0; − 3)

có tâm

4
2
D. y = x − 4 x

và đi qua điểm

M ( 4;0; 0 )

.

là

x + y + ( z + 3) = 25
2

4
2
C. y = x − 2 x + 1 .

B.

x 2 + y 2 + ( z + 3) = 5

.

D.

x + y + ( z − 3) = 5

.

2

2

.

2

2

.

2

2

( P ) đi qua điểm A ( 1;1; − 1)
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng
,

B ( −1;1;1)

A.
B.
C.

D.

Oxy )
và tạo với mặt phẳng (
một góc α biết
( P ) : x + y + z − 1 = 0 hoặc ( P ) : x − y − z − 1 = 0 .
( P ) : x − y + z − 1 = 0 hoặc ( P ) : x − y + z + 1 = 0 .
( P ) : x + y + z + 1 = 0 hoặc ( P ) : x − y + z + 1 = 0 .
( P ) : x + y + z − 1 = 0 hoặc ( P ) : x − y + z + 1 = 0 .

cosα =

1
3.

Câu 12: Cho số phức z thoả điều kiện (1 + i ) z − 1 − 3i = 0 . Tích của phần thực và phần ảo của số phức z

bằng
A. 2 .

B. −2 .

C. −2i .

Câu 13: Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh

D. 2i .

a

và có một góc 60° . Khi

đó thể tích khối hộp là

3a 3 3
A. 4 .

a3 3
B. 3 .

a3 3
C. 2 .

3a 3 3
D. 2 .

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a , cạnh bên SA vng góc với

mặt
Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
phẳng đáy và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
3
A. V = 2a .

B.

V=

2a 3
6 .

C.

V=

2a 3
4 .

D.

V=

2a 3
3 .

Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z - m - 3m = 0 và mặt
2

( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9
2

cầu

2

m = 2


A.  m = −5 .

2

B. m = 2 .

. Tìm tất cả các giá trị của m để ( P) tiếp xúc với ( S ) .
 m = −2

C. m = −5 .
D.  m = 5 .

( 2 − 3i ) z = 22 − 7i . Phần ảo của z bằng
Câu 16: Cho số phức z thoả mãn
A. −5 .

C. 5 .

B. −4 .

D. 4 .

·
Câu 17: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a , ABC = 60° . Diện tích xung
quanh của hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC bằng
3
2
2
2
A. 18 3π a .

B. 18π a .
C. 9 3π a
D. 36π a

( α ) : 2 x + 3 y + 6 z + 6 = 0. Điểm nào sau đây
Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

Câu 19:

không thuộc mặt phẳng

(α) ?

A.

B.

M ( −3;0;0 )

Cho hàm số

.

y = f ( x)

Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 2 .

N ( 1; −1;0 )

.

C.

P ( 0; −2;0 )

.

D.

Q ( 0; 0; −1)

.

có đồ thị như hình dưới đây.

B. y = 2 .

Câu 20: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5.
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

D. x = 0 .

C. y = −2 .

log 0.3 ( 5 − 2 x ) > log 3 9
10

y=

x −1
x − m có hai đường tiệm

D. 5 .

là

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

 5
 0; ÷
A.  2  .

B.

( −∞ ; − 2 ) .

5

 −2; ÷
2.
C. 

D.

( −2; + ∞ ) .

Câu 22: Một câu lạc bộ có 30 thành viên. Có bao nhiêu cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1

phó chủ tịch và 1 thư kí?
3
3
A. A30 .
B. C30 .
Câu 23: Hàm số

A.
C.

Câu 24: Nếu

f ( x ) dx = 8

−1

A. 10.
Câu 25:

( x+e
Kết quả ∫
A.

x2 +

.

x
+x
2
.

D.

f ( x) =

1
+1
x
.

thì tích phân
B. 22.

2020 x

∫ 3 f ( x ) + 2 dx

−1

bằng
C. 26.

D. 30.

) dx bằng

y = f ( x)

B.

x3 +

e2020 x
+C
2020
.

x 2 e2020 x
+
+C
C. 2 2020
.

D.

x+

e 2020 x
+C
2020
.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
−1;1)
0; +∞ )
0;1
A. (
.
B. (
.
C. ( ) .
Câu 27: Cho hàm số

( 0;+¥ ) ?

2

e2020 x
+C
2020
.

Câu 26: Cho hàm số

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên
f ( x) = x ( ln x - 1)
B.
.

2

f ( x) = x ln x +

∫

D. 3! .

F ( x) = ln x + x + 1

f ( x) = x ln x + x

2

C. 30! .

D.

( 1; +∞ ) .

y = ax 4 + bx 2 + c (a, b, c ∈ ¡ có đồ thị là đường cong hình bên. Giá trị cực tiểu của

hàm số đã cho bằng

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A. 4.

B. 1.

C. -1.

D. 2.

log a 2 ( ab )
Câu 28: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 .
bằng
1
log a b
A. 2
.

B.

2 + 2log a b

.

1
+ log a b
C. 2
.

1 1
+ log a b
D. 2 2
.

(H)

giới hạn bởi các đường y = x − 2 , trục hoành và đường thẳng x = 9 .
( H ) quanh trục hồnh có thể tích V bằng:
Khối trịn xoay tạo thành khi quay
5π
7π
11π
13π
V=
V=
V=
V=
6 .
6 .
6 .
6 .
A.
B.
C.
D.

Câu 29: Cho hình phẳng

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng

( ABCD ) và

A.

3.

SA = 3a. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) . Giá trị tan ϕ là
3
6
3
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .

Câu 31: Cho đồ thị hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ bên dưới

f ( x) +1 = m
Tất cả các giá trị thực m để phương trình
có ba nghiệm phân biệt là
1
<
m
<
5
−
1
<
m
<
4

0
<
m
< 4.
A.
.
B.
.
C.
D. 0 < m < 5 .

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

y = f ( x)

y = f ′( x)
xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số
là đường cong trong
y = f ( x)
hình vẽ, hàm số
đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 32: Cho hàm số

A.

( 0; 2 ) .

B.

( −∞; −1) .

C.

( −4; 0 ) .

D.

( 2; +∞ ) .

Câu 33: Một hộp chứa 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên đồng

thời từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu được lấy có các số ghi trên đó lập thành
một cấp số cộng.
3
3
3
1
A. 4060 .
B. 58 .
C. 29 .
D. 580 .
Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình

A. −6 .

log32 x − log 3 (9 x ) − 4 = 0

B. −3 .

bằng

C. 3 .

D. 27 .

z −1+ i = z + 2
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn
. Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các

số phức z

A. là đường thẳng 3x − y − 1 = 0 .
C. là đường thẳng 3x + y + 1 = 0 .

B. là đường thẳng 3x − y + 1 = 0 .
D. là đường thẳng 3x + y − 1 = 0 .

M ( 1;3; − 2 )
( P ) : x − 2 y + 4 z + 1 = 0 . Đường thẳng đi qua
Câu 36: Trong không gian Oxyz cho điểm
và
M và vuông góc với ( P ) có phương trình là
x +1 y + 3 z + 2
=
=
−2

4 .
A. 1
x − 2 y −1 z + 2
=
=
−2
4 .
C. 1

x y −5 z +6
=
=
−2
4 .
B. 1
x −1 y − 3 z − 2
=
=
−2
4 .
D. 1

A ( 2; −1; −1)
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi A′ là điểm đối xứng của điểm
qua mặt

( α ) : x − y − z − 7 = 0 . Tọa độ điểm
( 8; −5; −5) .
( 3; −2; −2 ) .
A.

B.
phẳng

A′ là
C.

( 5; −3; −3) .

D.

( 4; −3; −3) .

Câu 38: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt

( A′BD ) bằng
phẳng
a 3
A. 2 .

a 2
B. 3 .

a 6
C. 3 .

a 3
D. 3 .

Page 6

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 39: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

log ( 60 x 2 + 120 x + 10m − 10 ) − 3log ( x + 1) > 1

biến x . Số phần tử của S là
A. 11 .
B. 10 .
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của
D. 12 .

C. 9 .

F ( x) ,G ( x)
f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
π
2

F ( 8 ) + G ( 8 ) = 17

mãn
A. −1 .

Câu 41: Cho hàm số bậc ba

F ( 0) + G ( 0) = 1

và
B. 1 .

y = f ( x)

∫ sin x. f ( 8cos x ) dx

. Khi đó 0
C. 8 .

có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là
A. 2.

bằng
D. −8 .

B. 4.

C. 8.

y= f

( ( x −1)

2

+m

) có 3

D. 10.

z + w + 5 + 12i
z = 4, w = 2
Cho hai số phức z và w thỏa mãn
. Khi
đạt giá trị lớn nhất,
phần thực của z + iw bằng

Câu 42:

30
A. 13 .

B.

−

4
13 .

44

C. 13 .

58
D. 13 .

( A′BC ) và ( ABC ) là 30° ,
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng
tam giác A′BC đều và diện tích bằng
A. 2 3 .
Câu 44: Cho hàm số

B. 6 .
f ( x ) = e 3 x + ae 2 x + b e x

g ( x) = f ( x) + f ′( x)

3 . Thể tích khối lăng trụ ABC . A′B′C ′ bằng

3 3
C. 4 .
với a , b là các số thự

3
D. 4 .

C.

Biết

hàm

số

có hai giá trị cực trị là 2 và 5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
y = g3 ( x)
( − f ( x ) + 5 f ′ ( x ) + 2e3 x ) g 2 ( x ) bằng
đường
và
117
A. 21 .
B. 7 .
C. 107 .
D. 3 .
2
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2mz + 8m − 12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao

z + z2 = 4
nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1
?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A ( 2; −1; −2 )
( d ) có phương
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm

và đường thẳng

x −1 y −1 z −1
=
=
−1
1 . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng
trình 1
( d ) và khoảng cách từ d tới mặt phẳng ( P ) là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng ( P ) vng góc với
mặt phẳng nào sau đây?
A. x − y − 6 = 0 .
B. x + 3 y + 2 z + 10 = 0 .
C. x − 2 y − 3 z − 1 = 0 .

D. 3x + z + 2 = 0 .

 2x − 1 
x
log 3 
÷= y +1 − 2 ?
( x; y ) thỏa mãn 0 ≤ y ≤ 2020 và
 y 
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
A. 2019 .
B. 11 .
C. 2020 .
D. 4 .

( N ) một góc bằng 30° , ta
bởi mặt phẳng đi qua đỉnh S và tạo với trục của

2
được thiết diện là tam giác SAB vng và có diện tích bằng 4a . Chiều cao của hình nón bằng

Câu 48: Cắt hình nón

( N)

A. a 2 .

B. a 3 .

( S ) : x + y + z = 1 và hai điểm
( S ) . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là điểm thuộc mặt cầu

Câu 49: Trong không gian với hệ trụcOxyz , cho mặt cầu

A ( 3;0;0) ; B ( - 1;1;0)

. Gọi M

D. 2a 3 .

C. 2a 2 .
2

2

2

MA + 3MB .
A. 2 34

B.

26

Câu 50: Cho hàm số bậc bốn

y = f ( x)

và

C. 5

f ( 1) = 0.

Biết hàm số

D.

y = f ′( x)

34

có đồ thị như hình vẽ bên.

2
 x x
g ( x ) = f 1 − ÷−

 2  8 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số
( −∞; −4 ) .
( 4; +∞ ) .
( 2; 4 ) .
A.
B.
C.
---------- HẾT ----------

D.

( −3; −1) .

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.C
11.D
21.C
31.A
41.A

2.D
12.B
22.A
32.B
42.C

3.C
13.D
23.D
33.B
43.C

4.C
14.D
24.D
34.C
44.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.C
15.A
16.B
25.C
26.D
35.B
36.B
45.A
46.D

7.D
17.B
27.D
37.D
47.B

8.A
18.B
28.D
38.D
48.B

9.D
19.D
29.C
39.A
49.C

10.A
20.C
30
40.B
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

N ( 5; −3 )
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. z2 = 3 − 5i .
B. z3 = −5 + 3i .
C. z4 = 5 − 3i .
D. z1 = −3 + 5i .
N ( 5; −3 )

Câu 2:

Lời giải
là điểm biểu diễn của số phức z4 = 5 − 3i

x
Đạo hàm của hàm số y = 2021 là
x
x −1
A. x.2021 .
B. 2021 .

x

C. 2021 .ln x .
Lời giải
x
x
Đạo hàm của hàm số y = a với a > 0, a ≠ 1 là: y′ = a .ln a .
x
x
Do đó đạo hàm của y = 2021 là y′ = 2021 .ln 2021 .

x
D. 2021 .ln 2021 .

3

Câu 3:

2
2
Tìm đạo hàm của hàm số: y = ( x + 1)

1
3
(2 x) 2
2
A.

3 − 14
x
B. 4

2
C. 3 x( x + 1)
Lời giải

( [ u ( x )] )
Áp dụng công thức đạo hàm hợp hàm số lũy thừa :

α '

1
2

1
3 2
( x + 1) 2
2

D.

= α .uα −1 .[ u ( x)]

'

'

3
1
1

 3
y ' =  ( x 2 + 1) 2 ÷ = .2 x .( x 2 + 1) 2 = 3 x .( x 2 + 1) 2

 2
Ta có :
x+ 2

Câu 4:

1
 ÷
Tập nghiệm của bất phương trình  3 
[ 0; +∞ ) .
[ −4; +∞ ) .
A.
B.

≥9

là

( −∞; −4] .

C.
Lời giải

D.

( −∞; 4] .

x+2

1
 ÷
3

≥ 9 ⇔ 3− x − 2 ≥ 32 ⇔ − x − 2 ≥ 2 ⇔ x ≤ −4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 5:

Cho cấp số nhân
A. 512 .

( un )

S = ( −∞; −4]

u =2
u = 16
có 3
và 6
. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân bằng
B. 256 .
C. −256 .
D. 1024 .
Lời giải

Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có

u1.q 2 = 2
u3 = 2
⇔

5
u6 = 16 u1.q = 16

( 1)
( 2)

3
3
Thay vào ta được 2.q = 16 ⇔ q = 8 ⇔ q = 2 . Từ đó suy ra

9
Số hạng thứ 10 là u10 = u1.q = 256 .

Câu 6:

u1 =

1
2.

M ( 2; −1;3)
( P ) : 3x − 2 y + z + 1 = 0 . Phương
Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng

( P)

trình mặt phẳng đi qua M và song song với
là
3
x
−
2
y
+
z
+
11
=
0

2
x
−
y
+
3
z
−
14
=
0
A.
. B.
.
C. 3 x − 2 y + z − 11 = 0 . D. 2 x − y + 3z + 14 = 0 .
Lời giải
r
( P ) nhận n = ( 3; −2;1) làm vectơ pháp tuyến

( P)
Mặt phẳng đã cho song song với

nên cũng nhận nhận

r
n = ( 3; −2;1)

( P ) có phương trình là
Vậy mặt phẳng đi qua M và song song với

làm vectơ pháp tuyến

3 ( x − 2 ) − 2 ( y + 1) + ( z − 3) = 0 ⇔ 3x − 2 y + z − 11 = 0

Câu 7:

3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau

A.

( 0; −2 ) .

B.

( 0; −1) .

C.

( −1;0 ) .

D.

( 1;0 ) .

Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ
2

Câu 8:

Nếu
A. 3

∫

3

f ( x)dx = 5

1

và

∫

( 1;0 ) .

3

f ( x)dx = −2

thì

2

B. 7

∫ f ( x)dx
1

bằng
C. −10

D. −7

Lời giải
Chọn A
Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
c

Áp dụng công thức

∫
a

b

b

f ( x )dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
c

3

2

3

1

1

2

( a < c < b)

, ta có

a

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 5 + (−2) = 3
Câu 9:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?

4
B. y = − x + 4 .

3
2
A. y = x − 3 x .

4
2

C. y = x − 2 x + 1 .

4
2
D. y = x − 4 x

Lời giải
Chọn D
Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số a > 0 .
4
2
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O hàm số cần tìm là y = x − 4 x .

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Phương trình của

( S)

x + y + ( z + 3) = 25

C.

x 2 + y 2 + ( z − 3) = 25

2

có tâm

I ( 0;0; − 3)

và đi qua điểm

M ( 4;0; 0 )

.

là

A.

2

( S)

2

B.

2

( S)
Phương trình mặt cầu

x 2 + y 2 + ( z + 3) = 5

.

x 2 + y 2 + ( z − 3) = 5

.

2

.

2

.

D.
Lời giải

có tâm

I ( 0;0; − 3)

x 2 + y 2 + ( z + 3) = R 2
2

và bán kính R là:

M ∈ ( S ) ⇒ 42 + 02 + ( 0 + 3) = R 2 ⇔ R 2 = 25

.

2

Ta có:

x 2 + y 2 + ( z + 3) = 25

.

2

Vậy phương trình cần tìm là:

.

( P ) đi qua điểm A ( 1;1; − 1)
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng
Oxy )
và tạo với mặt phẳng (
một góc α biết
P : x + y + z −1 = 0
P : x − y − z −1 = 0
A. ( )
hoặc ( )
.
P : x − y + z −1 = 0
P : x − y + z +1 = 0
B. ( )
hoặc ( )
.

,

B ( −1;1;1)

cosα =

1
3.

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
C.

( P) : x + y + z +1 = 0

D.

( P) : x + y + z −1 = 0

hoặc
hoặc

( P) : x − y + z +1 = 0 .
( P) : x − y + z +1 = 0 .
Lời giải

r
n = ( a; b; c )

P
là vectơ pháp tuyến của ( ) .
P : a x + by + cz + d = 0

Khi đó phương trình ( )
.

Gọi

Ta có

 A ( 1;1; −1) ∈ ( P )
a + b − c + d = 0
⇔

 −a + b + c + d = 0 .
 B ( −1;1;1) ∈ ( P )

a = c
r

d = −b nên n = ( a; b; a ) .
Từ đó ta có
cosα =

a
1
1
⇔
=
⇔ a = ±b
2
2
2

2
2
2
3
3
a + b + a . 0 + 0 +1
.

Theo giả thiết
Với a = b nên ta chọn a = 1 ta có a = b = c = 1 ; d = −1 .
Với a = −b nên ta chọn a = 1 ta có a = 1 ; b = −1 ; c = 1 ; d = 1 .
P : x + y + z −1 = 0
P : x − y + z +1 = 0
Khi đó ( )
hoặc ( )
.

Câu 12: Cho số phức z thoả điều kiện (1 + i ) z − 1 − 3i = 0 . Tích của phần thực và phần ảo của số phức z

bằng
A. 2 .

B. −2 .

C. −2i .

D. 2i .

Lời giải
Đặt z = x + yi

Ta có: (1 + i ) z − 1 − 3i = 0
⇔ (1 + i )( x − yi ) − 1 − 3i = 0
⇔ x − yi + ix + y − 1 − 3i = 0
⇔ ( x + y − 1) + i ( x − y − 3) = 0
x + y −1 = 0
⇔
x − y − 3 = 0
x = 2
⇔
 y = −1

Suy ra x. y = −2 .
Câu 13: Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh

a

và có một góc 60° . Khi

đó thể tích khối hộp là

3a 3 3
A. 4 .

a3 3
B. 3 .

a3 3
C. 2 .

3a 3 3

D. 2 .

Lời giải
Ta có chiều cao h = 3a .

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Hình thoi cạnh a và có một góc 60° có diện tích

S = 2.

a 2 3 a2 3
=
4
2

3a 3 3
V = S .h =
2 .
Thể tích khối hộp là

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a , cạnh bên SA vng góc với

mặt
phẳng đáy và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng

2a 3

V=
6 .
B.

3
A. V = 2a .

VS . ABCD

2a 3
V=
4 .
C.
Lời giải

2a 3
V=
3 .
D.

1
1
a3 2
2
= SA.S ABCD = a 2.a =
3
3
3 .

Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z - m - 3m = 0 và mặt

2

( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9
2

cầu

m = 2

A.  m = −5 .

2

2

B. m = 2 .

. Tìm tất cả các giá trị của m để ( P) tiếp xúc với ( S ) .
 m = −2

C. m = −5 .
D.  m = 5 .

Lời giải

I ( 1; −1;1)
Ta có ( S ) có tâm
và bán kính R = 3
Để ( P) tiếp xúc với ( S ) thì

d ( I;( P) ) = R ⇔

1 − m 2 − 3m
3

 m 2 + 3m − 10 = 0
m = 2
=3⇔  2
⇔
 m = −5
 m + 3m + 8 = 0

( 2 − 3i ) z = 22 − 7i . Phần ảo của z bằng
Câu 16: Cho số phức z thoả mãn
A. −5 .

Ta có

C. 5 .
Lời giải

B. −4 .

( 2 − 3i ) z = 22 − 7i ⇔ z =

D. 4 .

22 − 7i
⇔ z = 5 + 4i
2 − 3i

.

Suy ra z = 5 − 4i . Phần ảo của z bằng −4 .
·
Câu 17: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 3a , ABC = 60° . Diện tích xung
quanh của hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC bằng
3
2
2
2
A. 18 3π a .
B. 18π a .
C. 9 3π a
D. 36π a
Lời giải
Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

BC =

Ta có

AB
3a
=
= 6a
cos 60° 1
2

.

Diện tích xung quanh của hình nón là

S xq = π . AB.BC = π .3a.6a = 18π a 2

.

( α ) : 2 x + 3 y + 6 z + 6 = 0. Điểm nào sau đây
Câu 18: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
không thuộc mặt phẳng

(α) ?

A.

B.

C. (
Lời giải
N 1; −1; 0 )
Xét điểm (
ta có: 2.1 + 3.(−1) + 6.0 + 6 = 5 ≠ 0.
α
vậy điểm N không thược mặt phẳng ( ) .
Câu 19:

M ( −3;0;0 )

Cho hàm số

.

y = f ( x)

Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 2 .

N ( 1; −1;0 )

.

P 0; −2;0 )

.

D.

Q ( 0; 0; −1)

.

có đồ thị như hình dưới đây.

B. y = 2 .

C. y = −2 .
Lời giải
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

D. x = 0 .

Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 20: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

y=

cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5.
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .

x −1
x − m có hai đường tiệm

D. 5 .

Lời giải
Xét hàm nhất biến

y=

x −1
x − m có tiệm cận đứng x = m và tiệm cận ngang y = 1.

Để hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5
m = 5

m .1 = 5 ⇔ 
.
m
=
−
5

khi và chỉ khi:
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn và tổng chúng bằng 0 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

 5
 0; ÷
A.  2  .

B.

log 0.3 ( 5 − 2 x ) > log 3 9
10

là

5

 −2; ÷
2.
C. 

( −∞ ; − 2 ) .

D.

( −2; + ∞ ) .

Lời giải

5

5 − 2 x > 0
5
x <
log 0.3 ( 5 − 2 x ) > log 3 9 ⇔ 
⇔
2 ⇔ −2 < x <
2
5 − 2 x < 9
10
 x > −2
.

5

S =  −2; ÷
2.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là
Câu 22: Một câu lạc bộ có 30 thành viên. Có bao nhiêu cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1
phó chủ tịch và 1 thư kí?
3
3

A. A30 .
B. C30 .

C. 30! .
Lời giải.

D. 3! .

Chọn A
Mỗi cách chọn 3 người ở 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 30 thành viên.
3
Vậy số cách chọn là: A30 .
Câu 23: Hàm số

A.
C.

F ( x) = ln x + x + 1

f ( x) = x ln x + x

f ( x) = x ln x +

Ta có

.

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên
f ( x) = x ( ln x - 1)
B.

.

2

x
+x
2
.

F ¢( x) = ( ln x + x + 1) ¢=

Do vậy

F ( x)

D.
Lời giải

f ( x) =

( 0;+¥ ) ?

1
+1
x
.

1
+x
x

.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1
+x
( 0;+¥ ) .
x
trên
Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2

Câu 24: Nếu

∫

f ( x ) dx = 8

−1

A. 10.

Ta có

bằng

C. 26.
Lời giải

−1

2

2

−1

−1

−1

D. 30.

∫ 3 f ( x ) + 2 dx = 3 ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx = 3.8 + 2 x −1 = 24 + ( 4 + 2 ) = 30.

x2 +

Ta có

thì tích phân
B. 22.

∫ 3 f ( x ) + 2 dx

2

Câu 25: Kết quả

A.

2

∫( x + e

2020x

) dx

bằng

2020 x

e
+C
2020
.

∫( x +e

Câu 26: Cho hàm số

2020 x

2

B.

x3 +

e2020 x
+C
2020
.

x 2 e2020 x
+
+C
C. 2 2020
.
Lời giải

e 2020 x
+C
2020
.

x 2 e 2020 x
) dx = 2 + 2020 + C
.

y = f ( x)

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
−1;1)

0; +∞ )
0;1
A. (
.
B. (
.
C. ( ) .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy : Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 27: Cho hàm số

D.

x+

D.

( 1; +∞ ) .

( 1; +∞ )

y = ax 4 + bx 2 + c (a, b, c ∈ ¡ có đồ thị là đường cong hình bên. Giá trị cực tiểu của

hàm số đã cho bằng

A. 4.

B. 1.

C. -1.

Lời giải

D. 2.

Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 2 .

log a 2 ( ab )
Câu 28: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 .
bằng
1
log a b
A. 2
.

B.

2 + 2log a b

1
+ log a b
C. 2
.
Lời giải

.

1 1
+ log a b
D. 2 2
.

1
1 1
log a2 ( ab ) = log a ( ab ) = + log a b
2
2 2
.

(H)

giới hạn bởi các đường y = x − 2 , trục hoành và đường thẳng x = 9 .
( H ) quanh trục hồnh có thể tích V bằng:
Khối trịn xoay tạo thành khi quay
5π
7π
11π
13π
V=
V=
V=
V=
6 .
6 .
6 .
6 .
A.

B.
C.
D.
Lời giải

Câu 29: Cho hình phẳng

x −2 = 0 ⇔ x = 4.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm
Thể tích khối trịn xoay tạo thành là

9

 x2 8

11π
V = π ∫ x − 2 dx = π ∫ x − 4 x + 4 d x = π  − x x + 4 x ÷ =
6
 2 3
4
4
4
.
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng
( ABCD ) và SA = 3a. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) . Giá trị tan ϕ là
3
6
3
A. 3 .

B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .
9

(

)

2

9

(

)

Lời giải
Chọn A
S

3a
a

D

A
B

C

Ta có

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC 

· , AB = SBA
·
SB ⊂ ( SBC ) , SB ⊥ BC  ⇒ (·
SBC ) , ( ABCD ) = SB

AB ⊂ ( ABCD ) , AB ⊥ BC 
SA
3a
·
tan ϕ = tan SBA
=
=
= 3
AB
a
Câu 31: Cho đồ thị hàm số

y = f ( x)

như hình vẽ bên dưới
Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

f ( x) +1 = m
Tất cả các giá trị thực m để phương trình
có ba nghiệm phân biệt là
A. 1 < m < 5 .
B. −1 < m < 4 .
C. 0 < m < 4 .
D. 0 < m < 5 .
Lời giải

f ( x ) +1 = m ⇔ f ( x ) = m −1

.

Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ 0 < m − 1 < 4 ⇔ 1 < m < 5 .

y = f ( x)

y = f ′( x)
xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số
là đường cong trong
y = f ( x)
hình vẽ, hàm số
đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 32: Cho hàm số

A.

( 0; 2 ) .

Hàm số

B.

y = f ( x)

Theo đồ thị

( −∞; −1) .

C. (
Lời giải

−4; 0 )

.

D.

( 2; +∞ ) .

f ′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ D
đồng biến trên D khi
.

y = f ′( x)

đã cho,

f ′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ( −∞; −1)

.

Câu 33: Một hộp chứa 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên đồng

thời từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu được lấy có các số ghi trên đó lập thành
một cấp số cộng.
3
3
3
1
A. 4060 .
B. 58 .
C. 29 .
D. 580 .
Lời giải
3
n Ω = C30
= 4060
Số phần tử của không gian mẫu là ( )
.
Gọi A là biến cố cần tìm.

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
b=

a+c

∈¥
2
.

Gọi a , b , c là ba số tự nhiên theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, do đó
Suy ra a và c cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ và hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị.
a , b, c )
a, c )
Số cách chọn bộ (
theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng bằng số cách chọn cặp (
n A = 2.C152 = 210
2.C152
cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên số cách chọn là
. Suy ra ( )
.
n ( A)
210
3
p ( A) =
=
=
n ( Ω ) 4060 58
Vậy xác suất cần tìm là
.
Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình

A. −6 .

Điều kiện:

log32 x − log 3 (9 x ) − 4 = 0

B. −3 .

C. 3 .
Lời giải

bằng
D. 27 .

x>0

log 32 x − log 3 (9 x) − 4 = 0
⇔ log 32 x − log 3 9 − log 3 x − 4 = 0
⇔ log 32 x − log 3 x − 6 = 0
 x = 27
 log 3 x = 3
⇔
⇔
x = 1 .
log
x
=
−
2
 3
9

1
27. = 3

9
Tích các nghiệm là:
z −1+ i = z + 2
Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn
. Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các

số phức z

A. là đường thẳng 3x − y − 1 = 0 .
C. là đường thẳng 3x + y + 1 = 0 .

B. là đường thẳng 3x − y + 1 = 0 .
D. là đường thẳng 3x + y − 1 = 0 .
Lời giải

Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

).

z − 1 + i = z + 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ( x + 2 ) + y 2 ⇔ 3 x − y + 1 = 0
Ta có
.
Vậy quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng 3x − y + 1 = 0 .
2

2

2

M ( 1;3; − 2 )
( P ) : x − 2 y + 4 z + 1 = 0 . Đường thẳng đi qua
Câu 36: Trong không gian Oxyz cho điểm
và
M và vng góc với ( P ) có phương trình là
x +1 y + 3 z + 2
x y −5 z +6
=
=
=
=
−2
4 . B. 1
−2
4 .
A. 1

x − 2 y −1 z + 2
x −1 y − 3 z − 2
=
=
=
=
−2
4 . D. 1
−2
4 .
C. 1
Lời giải

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm.
Vì

∆ ⊥ ( P)

nên ∆ có vtcp

uur uuur
u∆ = n( P ) = ( 1; −2; 4 )

Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Phương trình tham số đường thẳng ∆ là:
N ( 0;5; − 6 ) ∈ ∆
Chọn t = −1 ta được
.

x = 1+ t

 y = 3 − 2t ( t ∈ ¡
 z = −2 + 4t


)
.

x y −5 z +6

=
=
−2
4 .
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 1

A ( 2; −1; −1)
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi A′ là điểm đối xứng của điểm
qua mặt

( α ) : x − y − z − 7 = 0 . Tọa độ điểm
( 8; −5; −5) .
( 3; −2; −2 ) .
A.
B.
phẳng

A′ là

( 5; −3; −3) .

C.
Lời giải

D.

( 4; −3; −3) .

A ( 2; −1; −1)
(α) .

Gọi d là đường thẳng qua
và vuông góc với
r
A
2;
−
1;
−
1
u
= ( 1; −1; −1)
(
)
d qua
và có vecto chỉ phương
.
x = 2 + t

 y = −1 − t , t ∈ ¡
 z = −1 − t
Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
.
x = 2 + t
t = 1
 y = −1 − t
x = 3


⇔



 z = −1 − t
 y = −2

 z = −2
H = d ∩(α )
Ta có
, tọa độ H thỏa mãn hệ:  x − y − z − 7 = 0
.
⇒ H ( 3; −2; −2 )

⇒ A′ ( 4; −3; −3)

là trung điểm của đoạn AA′
.

Câu 38: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt

( A′BD ) bằng
phẳng
a 3
A. 2 .

a 2
B. 3 .

a 6
C. 3 .
Lời giải

a 3
D. 3 .

Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Gọi O là trung điểm của BD ⇒ AO ⊥ BD .
AA′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ AA′ ⊥ BD
BD ⊥ ( AA′O )
Do
suy ra
.
AH ⊥ ( A′BD )
d A; ( A′BD ) ) = AH
Kẻ AH ⊥ A′O ⇒ AH ⊥ BD . Do đó
hay (
.
2
AO =
a
2 .
Ta có
1
1
1
1
1
3
=

+
= 2+
= 2
2
2
2
2
AH
AA′
AO
a  2 
a
a 3
a÷

⇒ AH =
2


3 .
Suy ra
a 3
′
A
BD
(
) bằng 3 .
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
Câu 39: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
log ( 60 x 2 + 120 x + 10m − 10 ) − 3log ( x + 1) > 1

có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của
x
S
biến . Số phần tử của là
A. 11 .
B. 10 .
C. 9 .
D. 12 .
Lời giải
 x > −1
( *)
 2
6 x + 12 x + m − 1 > 0

Điều kiện
.

log ( 60 x 2 + 120 x + 10m − 10 ) − 3log ( x + 1) > 1 ⇔ 1 + log ( 6 x 2 + 12 x + m − 1) − log ( x + 1) > 1
3

⇔ log ( 6 x 2 + 12 x + m − 1) > log ( x + 1) ⇔ 6 x 2 + 12 x + m − 1 > ( x + 1)
3

⇔ 6 x 2 + 12 x + m − 1 > x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ⇔ m − 2 > x 3 − 3 x 2 − 9 x =
⇒ Hệ điều kiện ( *) trở thành: x > −1 .
f ( x ) = x3 − 3 x 2 − 9 x
( −1; + ∞ ) .
Xét hàm số
trên khoảng
f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9

Ta có:
.
 x = −1
f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔ 
x = 3 .
Từ

( 1)
f ( x)
.
3

( 1)

Bảng biến thiên:

log ( 60 x 2 + 120 x + 10m − 10 ) − 3log ( x + 1) > 1
Để bất phương trình
có miền nghiệm chứa đúng
4 giá trị nguyên của biến x khi −11 < m − 2 ≤ 0 ⇔ −9 < m ≤ 2 .
Vậy có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

F ( x) ,G ( x)

f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
π
2

F ( 8 ) + G ( 8 ) = 17

mãn
A. −1 .

F ( 0) + G ( 0) = 1

và
B. 1 .

∫ sin x. f ( 8cos x ) dx

. Khi đó 0
C. 8 .
Lời giải

bằng
D. −8 .


G ( 8 ) = F ( 8 ) + C
G ( x) = F ( x) + C ⇒ 


G ( 0 ) = F ( 0 ) + C
Ta có:

2 F (8) + C = 18
 F ( 8 ) + G ( 8 ) = 18
⇔
⇔ F ( 8 ) − F ( 0 ) = 8.

 F (0) + G (0) = 2
2 F (0) + C = 2
π
2

8

1
1
∫0 sin x. f ( 8cos x ) dx = 8 ∫0 f (t )dt = 8 ( F (8) − F (0) ) = 1.

Vậy:

Câu 41: Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là
A. 2.

B. 4.

( ( x − 1) + m ) , ta có
Xét hàm số
• y ′ = 2 ( x − 1) f ′ ( ( x − 1) + m )

y= f

C. 8.
Lời giải

( ( x −1)

2

+m

) có 3

D. 10.

2

y= f

2

x = 1
x = 1



2
2
• y ′ = 0 ⇔ ( x − 1) + m = −1 ⇔ ( x − 1) = −1 − m


2
2
( x − 1) + m = 3
( x − 1) = 3 − m

g ( x ) = ( x − 1)

2

Xét hàm số
• g ′ ( x ) = 2 ( x − 1)

, ta có

• g′( x) = 0 ⇔ x = 1

g′( x)

+∞
+
+∞

y = 3− m

y = −1 − m

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

−1 − m ≤ 0 < 3 − m ⇔ −1 ≤ m < 3 ⇒ m ∈ { −1;0;1; 2}
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì
Vậy tổng các phần tử của S là 2 .
z + w + 5 + 12i
z = 4, w = 2
Cho hai số phức z và w thỏa mãn
. Khi
đạt giá trị lớn nhất,
phần thực của z + iw bằng

Câu 42:

30
A. 13 .

B.

−

4
13 .

44

C. 13 .

58
D. 13 .

Lời giải
Ta có

w = 2⇒ w = 2

Ta lại có

.

z + w + 5 + 12i ≤ z + w + 5 + 12i ≤ z + w + 13

.

 z = k w
( k, h ∈ ¡ ; k, h > 0)

z + w + 5 + 12i ≤ 19
z
+
w
=
h
(5
+
12

i
)


Suy ra
. Dấu " = " xảy ra khi
10 24
10 24


w
=
+
i
w
=
− i
k = 2

44 58


13 13
13 13
⇒
⇒
⇒ z + iw =
+ i
6 ⇒
20

48
20
48
13
13
h
=

z =
+ i
+ i
13  z =

13 13
13 13


.
44
Vậy phần thực của z + iw bằng 13 .

( A′BC ) và ( ABC ) là 30° ,
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng
tam giác A′BC đều và diện tích bằng
A. 2 3 .

B. 6 .

3 . Thể tích khối lăng trụ ABC . A′B′C ′ bằng

3 3
C. 4 .
Lời giải

3
D. 4 .

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Trong

( ABC )

Dễ thấy

vẽ AH ⊥ BC tại H .

BC ⊥ ( A′AH ) ⇒ BC ⊥ A′H

nên

( ( A′BC ) , ( ABC ) ) = ( A′H , AH ) = ·A′HA = 30° .

Tam giác A′BC đều có A′H là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.
A′A
A′A
AH =
= A′A. 3

A′H =
= 2 A′A
sin 30°
tan 30°
Ta có
và
.
Diện tích
Mà

3
3
⇒ BC 2
= 3 ⇔ BC 2 = 4 ⇒ BC = 2
4
4
.

S A′BC = BC 2

A′H =

BC 3
3
3
= 3 ⇒ A′A =
; AH =
2
2
2.

3 1 3
3 3
1

VABC . A′B′C ′ = A′A.S ABC = A′A.  . AH .BC ÷ =
. . .2 =
4 .
2
 2 2 2
Thể tích khối lăng trụ

Câu 44: Cho hàm số

f ( x ) = e 3 x + ae 2 x + b e x

g ( x) = f ( x) + f ′( x)

với a , b là các số thự

C.

Biết

hàm

số

có hai giá trị cực trị là 2 và 5 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
y = g3 ( x)

( − f ( x ) + 5 f ′ ( x ) + 2e3 x ) g 2 ( x ) bằng
đường
và
117
A. 21 .
B. 7 .
C. 107 .
D. 3 .
Ta có

Lời giải
f ′ ( x ) = 3e + 2ae + be ⇒ g ( x ) = 4e3 x + 3ae 2 x + 2be x ⇒ g ' ( x ) = 12e3 x + 6ae 2 x + 2be x
3x

x

g ′ ( x ) = 2e ( 6e + 3ae + b ) ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔ 6e + 3ae + b = 0
x

Ta có

2x

2x

x

2x

.

x

, đây là một phương

x
g x
trình bậc hai với e nên có tối đa 2 nghiệm, suy ra ( ) có tối đa 2 cực trị.


g ( n) = 2

g′( x) = 0
m
,
 g ( m ) = 5.
n
Theo giả thiết ta có phương trình
có hai nghiệm
và 

lim g ( x ) = lim ( e3 x + ae2 x + be x ) = 0 lim g ( x ) = lim ( e3 x + ae2 x + be x ) = +∞
x →−∞
x →+∞
; x →+∞
, mặt khác hàm

x →−∞

g x

g x =0
số ( ) có tối đa 2 cực trị có giá trị là 2 và 5 nên phương trình ( )
vơ nghiệm.
Xét phương trình
( − f ( x ) + 5 f ′ ( x ) + 2e3 x ) g 2 ( x ) = g 3 ( x )

⇔ − f ( x ) + 5 f ′ ( x ) + 2e3 x = g ( x )

⇔ − ( e3 x + ae 2 x + be x ) + 5 ( 3e3 x + 2ae 2 x + be x ) + 2e3 x = 4e 3 x + 3ae 2 x + 2be x
⇔ 12e3 x + 6ae 2 x + 2be x = 0
x = m
⇔ g′ ( x ) = 0 ⇔ 
 x = n.
Diện tích hình phẳng cần tính là

Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
S=

n

∫ ( − f ( x ) + 5 f ′ ( x ) + 2e ) g ( x ) − g ( x )  dx
3x

2

3

m

=

n

∫ g ( x ) ( − f ( x ) + 5 f ′ ( x ) + 2e
2

m
n

= ∫ g ( x ) g ′ ( x ) dx =
2

m

=

3x

− g ( x ) ) dx

n

∫ g ( x ) dg ( x )
2

m

n 1 3
1 3
117
g ( x)
= g ( n) − g 3 ( m) =
.
m 3
3
3

2
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2mz + 8m − 12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao

z + z2 = 4
nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1
?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
2
Ta có ∆′ = m − 8m + 12 . Xét hai trường hợp:
m > 6
∆′ > 0 ⇔ m 2 − 8m + 12 > 0 ⇔ 
m < 2 .
+) Trường hợp 1:
 z1 + z2 = 2m

z .z = 8m − 12

Phương trình có hai nghiệm thực z1 , z2 và  1 2
.
z1 + z 2 = 4 ⇔ z12 + z 22 + 2 z1z 2 = 16 ⇔ ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 + 2 z1 z2 = 16
2

Theo giả thiết:
⇔ 4m 2 − 2 ( 8m − 12 ) + 2 8m − 12 = 16

⇔ 4m 2 − 16m + 8 + 2 8m − 12 = 0
3
≤m<2
Với m > 6 hoặc 2
:

 m = 2 ( KTM )
⇔ 4m 2 − 16m + 8 + 2 ( 8m − 12 ) = 0 ⇔ 4m 2 − 16 = 0 ⇔ 
 m = −2 ( KTM ) .
3
m<
2:
Với

 m = 4 − 2 2 (TM )
⇔ 4m 2 − 16m + 8 + 2 ( −8m + 12 ) = 0 ⇔ 4m 2 − 32m + 32 = 0 ⇔ 
 m = 4 + 2 2 ( KTM )
.
2
+) Trường hợp 2: ∆′ < 0 ⇔ m − 8m + 12 < 0 ⇔ 2 < m < 6 .
z = z ⇒ z1 = z2 = z2
Phương trình có hai nghiệm phức z1 , z2 và 1 2

.
z + z 2 = 4 ⇔ 2 z1 = 4 ⇔ z1 = 2
Theo giả thiết 1
.
Khi đó

⇔ m + i m 2 − 8m + 12 = 2 ⇔ 2m 2 − 8m + 8 = 0 ⇔ m = 2

.

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn là m = 4 − 2 2 .

Page 25