đề 6 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 06 – MÃ ĐỀ: 106
M
Điểm
trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức

A. z = −2 + i.
Câu 2:

B. z = −2 + i

D. z = −2 + i.

πx
y' =
ln π .
C.

x −1
D. y ' = xπ .

x
Tìm đạo hàm của hàm số y = π .

x −1
A. y ' = xπ ln π .

Câu 3:

C. z = −2 + i.

Đạo hàm của hàm số
4
1
- ( 2 x +1) 3
A. 3
.

x
B. y ' = π ln π .

y = ( 2 x +1)

-

1
3

-

B.

trên tập xác định là.
1
3

2 ( 2 x +1) ln ( 2 x +1)

-

. C.

1
3

( 2 x +1) ln ( 2 x +1) . D.

-

4
2
( 2 x +1) 3
3
.

2

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

x −2 x

< 64 là
Tập nghiệm của bất phương trình 4
( −1;3) .
( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) . C. ( −∞; −1) .
A.
B.

D.

( 3; +∞ ) .

2
Biết ba số x ;8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng
A. x = 4
B. x = 5
C. x = 2
D. x = 1

∆:

x +1 y − 2 z
=
=
−1
2
−3 và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
( P ) : x − y + z − 3 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua O , song song với ∆ và vng góc
( P ) là

với mặt phẳng
A. x + 2 y + z = 0 .
B. x − 2 y + z = 0 .
C. x + 2 y + z − 4 = 0 . D. x − 2 y + z + 4 = 0 .
ax + b
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau
y=

Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A.

( 0; −2 ) .

B.

2

Câu 8:

Câu 9:

∫ f ( x ) dx = 3

Biết 1
A. 6 .

( 0; −1) .

2

và

∫ g ( x ) dx = 2
1

B. 1 .

C.

( −1;0 ) .

D.

( 1;0 ) .

2

. Khi đó

∫  f ( x ) − g ( x )  dx
1

bằng?

C. 5 .

D. −1 .

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A.

y=

1 3 3 2
x + x − 2x +1
2
2
.

1
9
y = − x3 + 3x 2 + x + 1
2
2
C.
.

3
2
B. y = x − 3 x + 1 .
1
9
y = x3 − 3x 2 + x + 1
2

2
D.
.

S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 y + 2 z − 7 = 0
(
Oxyz
Câu 10: Trong khơng gian
, cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
đã cho bằng
A. 15 .
B. 7 .
C. 9 .
D. 3 .

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

d2 :

thẳng
0
A. 30 .

x = t

d1 :  y = 1 − 2t ( t ∈ ¡
 z = −3t


x
y −1 z + 1
=
=
−4
1
5 . Góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 là
0
0
B. 45 .
C. 90 .

)
và đường

0
D. 60 .

z1 = m + i và z2 = m + (m + 2)i ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương
của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo?
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .

Câu 12: Cho 2 số phức

Câu 13: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AA′ = a, AB = 3a, AC = 5a . Thể tích của khối hộp

đã cho là

3
A. 5a .

3
B. 4a .

3

C. 12a .

3

D. 15a .

Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

a3 2
A. 6 .

a3 2
B. 3 .

3
C. a .

a3 2
D. 2 .
Page 2

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ

( P ) : 2 x − y + 2 z − 10 = 0 . Tính bán kính

đường trịn
A. R = 5 .

(T)

Oxyz , cho điểm I ( −2;1;3)

R của mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt ( P ) theo một

có chu vi bằng 10π .
B. R = 34 .

Câu 16: Cho hai số phức

A. −2.

Câu 17: Cho hình nón

và mặt phẳng

D. R = 34 .

C. R = 5 .

z1 = −3 + i và z2 = 1 − i . Phần ảo của số phức z1 + z2 bằng

B. 2i.
C. 2.
D. 0.

( N)

có chiều cao bằng 3 và thể tích của khối nón được giới hạn bởi
16π . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng
A. 12π .
B. 20π .
C. 24π .
D. 10π .

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

điểm sau đây không nằm trên d ?
Q ( 5;1;6 )
M ( 3; 2; −3)
A.
.
B.
.

 x = 1 + 2t

d : y = 3−t
 z = 3t


C.

N ( 3; 2;3)

C.

( 0;1) .

.

( N)

bằng

. Điểm nào trong các

D.

P ( 1;3; 0 )

D.

( 1; 0 ) .

.

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
( 2; 5) .
( 5; 2 ) .

A.
B.

Câu 20: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

A. 1.

B. 0.

C. 2.

Câu 21: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

A.

S = ( 2; +∞ )

.

B.

S = ( −1; 2 )

y=

.

4x +1
mx − 1 khơng có tiệm cận đứng?
D. Vơ số.

log 1 ( x + 1) < log 1 ( 2 x − 1)
2

2

C.

S = ( −∞; 2 )

.

.
1 
S =  ;2÷
 2 .
D.

Câu 22: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
3
A. A8 .

Câu 23: Nếu

8
B. 3 .

3
C. 8 .

3
D. C8 .

F ( x ) = x 3 − 7 x + 2e x + C C
F x
( là hằng số) thì ( ) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau

đây?
A.

f ( x) =

x4 7 x2
−
+ e2 x
4
2
.

B.

f ( x ) = 3 x 2 − 7 + 2 xe x

.
Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
f ( x ) = 3 x − 7 + 2e
2

C.

1

Câu 24: Cho

∫( x

2

Câu 25: Cho hàm số

C.

)

Câu 26:

D.

. Tính
−5
B. 3 .

f ( x) =

x4 7 x2
−
+ 2e x

4
2
.

1

∫ f ( x ) dx
0

.
−1
C. 9 .

−5
D. 9 .

f ( x ) = 2x + 3

∫ f ( x ) dx = 2

∫

.

− 2 x − 3 f ( x ) dx = 1

0

−1
A. 3 .

A.

x

f ( x ) dx =

x −3

. Khẳng định nào sau đây đúng?
+C
f ( x ) dx = 2 x ln 2 + 3 x + C
.
B. ∫
.

2x
+3+ C
ln 2
.

D.

∫

f ( x ) dx =

2x
+ 3x + C
ln 2

.

y = f ( x)
Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

( 1; + ∞ ) .

B.

( −1; +∞ ) .

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

C.

( −∞; −1) .

D.

( −∞;1) .

¡ và có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số là
A. −2 .

B. 4 .

D. −1 .

C. 3 .

log 2 ( 8a )
Câu 28: Với a là số thực dương tùy ý,
bằng
1
+ log 2 a
A. 3
.

B. 3log 2 a .

( log 2 a )
C.

3

.

D. 3 + log 2 a .

Câu 29: Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn bởi các
3
2
đường y = x và y = 2 x là:
1

3
π
π
A. 3 .
B. 2 .

256π
C. 35 .

32
π
D. 15 .

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng a . Tính số

( AB ' C ')

đo góc tạo bởi hai mặt phẳng

0
A. 45 .

0
B. 60 .

Câu 31: Cho đồ thị của hàm số

f ( x) = m

y = f ( x)

( ABC ) ?

0
D. 26 33' .

0
C. 30 .

như hình vẽ. Tìm số giá trị ngun của m để phương trình

có đúng 3 nghiệm phân biệt.

A. 0 .

B. 3 .

Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

( −5;1) .

C. 1 .

D. 2 .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 4 ) .
2

có đạo hàm
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

và

B.

( 0; +∞ ) .

C.

( −∞; 0 ) .

Hàm số
D.

y = f ( x + 1)

đồng

( 0;1) .

Câu 33: Cho một đa giác đều có 36 đinh nội tiếp trong một đường trịn tâm O . Gọi X là tập các tam

giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập

X là tam giác cân.
7
3
52
48
A. 85 .
B. 35 .
C. 595 .
D. 595 .
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình

nghiệm
A. 5 .

x ∈ [ 1;9]

log 32 x − m log 9 x 2 + 2 − m = 0 có

.
B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

phương trình:
A. 8 x − 6 y − 25 = 0 .

B. 8 x − 6 y + 25 = 0 .

5 z = ( 4 + 3i ) z − 25

là đường thẳng có

C. 8 x + 6 y + 25 = 0 . D. 8 x − 6 y = 0 .

D ( 2; 0; − 2 )
A ( 0;0; 2 ) , B ( 2;1;0 ) , C ( 1; 2; − 1)
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho
và
. Đường thẳng

d đi qua A và vng góc với ( BCD ) có phương trình là
x = 3
 x = 3 + 3t
 x = 3t



 y = 2t
y = 2
 y = 2 + 2t
 z = −1 + 2t
z = 1− t

z = 2 + t
A. 
.
B. 
.
C. 
.

D.

M ( 1;3;3)
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho điểm
và đường thẳng
xứng với M qua đường thẳng ∆ có tọa độ là:
 1 5
M 1  0; ; ÷
M ( −1; −2;2 )
 2 2.
A. 1
.
B.

C.

M1 ( 1;1; 2 )

 x = 3 + 3t

 y = −2 + 2t
z = 1− t



 x = 1 − 2t

∆: y = t
z = 3 − t


.

D.

. Điểm

M 1 ( −1;1;2 )

.

M1

đối

.

Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng

( ABC ) ; góc giữa đường thẳng

0
SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của

( SMC ) .
cạnh AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng
a
d= .
2
A. d = a 3 .
B. d = a .
C.
Câu 39: Có

bao

( 2 − log (2

x

2

nhiêu

số

x

nguyên

thỏa

mãn

+ 1) − log 3 (4 x + 2) ) log 3 ( x 2 + 8 ) − log 3 x + x 2 − 9 x + 6  ≥ 0

A. 8 .

C. 7 .

B. Vơ số.

D.

d=

bất

a 39
.
13

phương

trình

?
D. 9 .

1

Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

3
f ( x ) + 2 = ∫ ( x + t ) f ( t ) dt , ∀x ∈ [ −1;1]
[ −1;1] thoả
2 −1
liên tục trên
. Tính

1

I=

∫ f ( x ) dx

−1

A. I = 4 .

?

B. I = 3 .

C. I = 2 .

D. I = 1 .

y = − x 2 − mx + m2 + 4 − 3mx + 19
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số
có 3 điểm cực

trị?
A. 3.
Câu 42: Giả sử

B. 5.

z1 ; z2

z1 − z2 = 6
A. 5 − 21 .

là hai trong số các số phức

C. 1.
z

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B. 20 − 4 21 .

thoả mãn

z1 + 3 z2

D. 2.

( z − 6 ) ( 8 − i.z )

là một số thực. Biết rằng

bằng

C. −5 + 73 .

D. 20 − 2 73 .

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình vng cạnh a . Khoảng cách từ A đến

( A′B′CD )
mặt phẳng
3
A. V = 2a . .

2a 5
bằng 5 . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho.

B.

V=

2a 3
.
3 .

C.

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

Câu 44: Cho

V=

a3 3
2 .

3
D. V = 2a 3 .

là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn

[ 2;3]

có đồ

f ′( x)
thị
như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số
2
g ( x ) = xf ( x ) h ( x ) = − x 2 f ( x ) f ′ ( x )
f ( 1)
;
và các đường thẳng x = 2; x = 3 bằng 72 . Tính
.

A.

f ( 1) = 2

.

B.

f ( 1) = −1

.

C.

f ( 1) = 1

.

D.

f ( 1) =

−62
5 .

2
Câu 45: Có bao nhiêu số ngun m để phương trình z + 2mz + 1 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt

z1 , z2

thỏa mãn

A. 1 .

z1 + 3 = z2 + 3

.
C. 3 .

B. 2 .

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm

D. 4 .
d:

A ( 2;5;3)

x −1 y z − 2
= =
2
1
2 . Gọi ( P ) là

và đường thẳng
( P ) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
O đến ( P ) bằng
3
1
11 2
A.

2.

B.

6.

C.

6

.

D.

2.

(

)

log3 ( x + 2 y ) = log 2 x 2 + y 2
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn
?

3.

B. 2.

C. 1.

D. vô số.

A.

( P ) đi qua đỉnh S
Câu 48: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy. Mặt phẳng
cắt đường trịn đáy tại A và B sao cho AB = 2a . Tính khoảng cách từ tâm đường trịn đáy đến
( P ) , biết thể tích khối nón là V = a 3π 3 .
a 6
a 30
a 5
A. 5 .
B. a 5 .
C. 5 .
D. 6 .
Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A ( 1;1; −3 )
B ( −2;3;1)
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Xét hai điểm M , N thay đổi
thuộc mặt phẳng
A. 5 .

( Oxz )

sao cho MN = 2 . Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng.
B. 6 .
C. 4 .
D. 7 .

y = x5 + 2 x 4 − mx 2 + 3x − 20
m
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số
để hàm số
nghịch
( −∞; −2 ) ?
biến trên
A. 4 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 9 .
---------- HẾT ----------

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.A
11.A
21.D
31.D
41.C

2.B

12.D
22.D
32.C
42.D

3.D
13.C
23.C
33.A
43.A

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.A
7.C
15.D
16.C
17.B
25.D
26.A
27.B
35.A
36.B
37.A
45.B
46.D
47.B

4.A
14.A

24.D
34.B
44.A

8.B
18.B
28.D
38.D
48.C

9.D
19.C
29.C
39.A
49.A

10.D
20.C
30.C
40.C
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức

A. z = −2 + i.

B. z = −2 + i

C. z = −2 + i.
Lời giải

D. z = −2 + i.

Điểm M trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức: z = −2 + i .
Câu 2:

x
Tìm đạo hàm của hàm số y = π .

x −1
A. y ' = xπ ln π .

Câu 3:

-

πx
ln π .

x −1
D. y ' = xπ .

x

Đạo hàm của hàm số
4
1

- ( 2 x +1) 3
A. 3
.
C.

C.
Lời giải

( a ) ' = a .ln a ( a > 0, a ≠ 1) .
x

Áp dụng

x
B. y ' = π ln π .

y' =

y = ( 2 x +1)

1
3

trên tập xác định là.

2 ( 2 x +1)

B.

1

3

-

( 2 x +1) ln ( 2 x +1) . D.

-

-

1
3

2
( 2 x +1)
3

ln ( 2 x +1)

.

4
3

.
Lời giải

1 ′
1
4

−1
−2
− 
− −1
−

y′ = ( 2 x + 1) 3  = ( 2 x + 1) ′ ( 2 x + 1) 3 =
( 2 x + 1) 3
3
3


Ta có:
.
2

Câu 4:

x −2 x
< 64 là
Tập nghiệm của bất phương trình 4
( −1;3) .
( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .
A.
B.
( −∞; −1) .
( 3; +∞ ) .
C.
D.
Lời giải

x
Ta có: 4

2

−2 x

< 64 ⇔ 4 x

2

−2 x

< 43 ⇔ x 2 − 2 x < 3 ⇔ x 2 − 2 x − 3 < 0 ⇔ −1 < x < 3 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S = ( −1;3)

.
Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 5:

2
Biết ba số x ;8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng
A. x = 4
B. x = 5

C. x = 2
D. x = 1
Lời giải
2
Do ba số x ;8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên theo tính chất cấp số nhân ta được

x2.x = 8 Û x3 = 8 Û x = 2 .
Câu 6:

x +1 y − 2 z
∆:
=
=
Oxyz
−1
2
−3 và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
( P ) : x − y + z − 3 = 0 . Phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua O , song song với ∆ và vng góc
( P ) là
với mặt phẳng
A. x + 2 y + z = 0 .
B. x − 2 y + z = 0 .
C. x + 2 y + z − 4 = 0 . D. x − 2 y + z + 4 = 0 .
Lời giải
r
r
P
u

=
−
1;
2;
−
3
n
= ( 1; −1;1)
(
)
(
)
∆ có VTCP
và
có VTPT là
.
ur
r r
( α ) qua O và nhận n′ = − u; n  = ( 1; 2;1)
( α ) : x + 2y + z = 0 .
Suy ra

Câu 7:

ax + b
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau
y=

A.

( 0; −2 ) .

B.

( 0; −1) .

C.

( −1;0 ) .

D.

( 1;0 ) .

Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ
2

Câu 8:

∫ f ( x ) dx = 3

Biết 1
A. 6 .

2

và

∫ g ( x ) dx = 2
1

( −1;0 ) .

2

. Khi đó

∫  f ( x ) − g ( x )  dx
1

C. 5 .
Lời giải

B. 1 .

bằng?
D. −1 .

Chọn B
2

2

2

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 3 − 2 = 1

Câu 9:

1
1
Ta có: 1
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

.

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

y=

1 3 3 2
x + x − 2x +1
2
2
.

3
2
B. y = x − 3 x + 1 .
1
9
y = x3 − 3x 2 + x + 1

2
2
D.
.

1
9
y = − x3 + 3x 2 + x + 1
2
2
C.
.

Lời giải
Dựa vào dạng đồ thị ta có a > 0 .

y=

1 3 3 2
x + x − 2 x + 1 ⇒ y ( 1) = 1
2
2
loại.

y = x 3 − 3x 2 + 1 ⇒ y ( 1) = −1
Xét hàm

y=

loại.

1 3
9
3
9
x − 3 x 2 + x + 1 y′ = x 2 − 6 x +
2
2
2
2
,

x = 1⇒ y = 3
y′ = 0 ⇔ 
 x = 3 ⇒ y = 1.
Vậy đồ thị là của hàm số

y=

1 3
9
x − 3x 2 + x + 1
2
2
.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Bán kính của mặt cầu
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
đã cho bằng
A. 15 .

B.

7.

R = 12 + ( −1) − ( −7 ) = 3

C. 9 .
Lời giải

D. 3 .

2

Ta có

.

Câu 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

d2 :

thẳng
0
A. 30 .

x = t

d1 :  y = 1 − 2t ( t ∈ ¡
 z = −3t



x
y −1 z + 1
=
=
−4
1
5 . Góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 là
0
0
B. 45 .
C. 90 .

)
và đường

0
D. 60 .

Lời giải
Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

r
u d1 = ( 1; − 2; − 3)
r
ud2 = ( −4;1;5 ) .

Ta có 
r r
ud1 .ud2
−4 − 2 − 15
3
cos ( d1; d2 ) = r r =
=
ud1 . ud2
1 + 4 + 9. 16 + 1 + 25 2
Suy ra

( d1 ; d 2 ) = 30

.

0

z1 = m + i và z2 = m + (m + 2)i ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương
của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo?
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải

Câu 12: Cho 2 số phức

z1 z2 = ( m + i ) ( m + (m + 2)i ) = m 2 − m − 2 + (2m + 2)i

.

m = 2
⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔ 
z1 z2 là một số thuần ảo
 m = −1 .
Vậy có 1 giá trị dương của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo.
Câu 13: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AA′ = a, AB = 3a, AC = 5a . Thể tích của khối hộp

đã cho là
3
A. 5a .

3

3
B. 4a .

2
2
BC
=
AC
−
AB
=
∆
ABC
Xét
vng tại B , ta có:

S ABCD = AB . BC = 3a .4a = 12a

3

C. 12a .
Lời giải

D. 15a .

( 5a ) − ( 3a )
2

2

= 4a

.

2

VABCD. A′B′C ′D′ = S ABCD . AA′ = 12a 2 . a = 12a 3

.

Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

a3 2
A. 6 .

a3 2

B. 3 .

3

C. a .
Lời giải

a3 2
D. 2 .

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là S . ABCD . Khi đó ABCD là hình vng cạnh a và
SA = SB = SC = SD = a .

SH ⊥ ( ABCD )
Gọi H là tâm của hình vng ABCD thì
nên SH là chiều cao của khối chóp
S . ABCD . Tính SH :
2
2
2
2
Xét tam giác ABC vng tại B ta có: AC = AB + BC = a + a = a 2 .
AC = a
SH =
2

2
2
2.
2
Nhận thấy AC = SA + SC nên tam giác SAC vng tại S . Suy ra
S
= a2
Diện tích đáy của khối chóp S . ABCD là ABCD
.

1 2 a
1
a3 2
=
.
a
.
=
V = .S ABCD .SH
3
2
3
6 .
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là:
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ

( P ) : 2 x − y + 2 z − 10 = 0 . Tính bán kính

đường trịn
A. R = 5 .

(T)

Oxyz , cho điểm I ( −2;1;3)

và mặt phẳng

R của mặt cầu ( S ) có tâm I và cắt ( P ) theo một

có chu vi bằng 10π .
B. R = 34 .

C. R = 5 .

D. R = 34 .

Lời giải

( P) .
Gọi H là hình chiếu của I lên
Khi đó

IH = d ( I , ( P ) ) = 3

(T)
Đường trịn

.

có chu vi là 10π nên có bán kính là

r=

10π
=5
2π
.
Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

( P)

cắt mặt cầu

( S)

theo giao tuyến là đường tròn

(T)

2
2
nên R = r + IH = 34 .

z1 = −3 + i và z2 = 1 − i . Phần ảo của số phức z1 + z2 bằng
A. −2.
B. 2i.
C. 2.

D. 0.
Lời giải
z + z = ( −3 + i ) + ( 1 + i ) = −2 + 2i.
Ta có: z2 = 1 + i . Do đó 1 2
Vậy phần ảo của số phức z1 + z2 bằng 2.

Câu 16: Cho hai số phức

Câu 17: Cho hình nón

( N)

có chiều cao bằng 3 và thể tích của khối nón được giới hạn bởi
16π . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng
A. 12π .
B. 20π .
C. 24π .
D. 10π .
Lời giải
1
V = B.h
3
Ta có
trong đó h là chiều cao hình nón và B là diện tích đáy hình nón.

⇒B=

( N)

bằng

3V 3.16π
=
= 16π
h
3
.

B
=4
2
2
2
2
π
Bán kính đáy hình nón:
và độ dài đường sinh là l = h + r = 3 + 4 = 5 .
( N ) là S xq = π rl = 20π .
Diện tích xung quanh của hình nón
r=

 x = 1 + 2t

d : y = 3−t
 z = 3t

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
. Điểm nào trong các

điểm sau đây không nằm trên d ?

Q ( 5;1;6 )
M ( 3; 2; −3)
A.
.
B.
.

N ( 3; 2;3)
C.
.
Lời giải

D.

P ( 1;3; 0 )

.

M ( 3; 2; −3)
Thay tọa độ điểm
vào phương trình của d ta được hệ:
3 = 1 + 2t

t = 1
2 = 3 − t
−3 = 3t ⇔ t = −1


.
M ( 3; 2; −3)

Vậy điểm
không nằm trên d .
Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A.

( 2; 5) .

B.

( 5; 2 ) .

( 0;1) .

C.
Lời giải

D.

( 1; 0 ) .

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là

y=

Câu 20: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

A. 1.

B. 0.

C. 2.

( 0;1)

4x +1
mx − 1 khơng có tiệm cận đứng?
D. Vô số.

Lời giải
  m ≠ 0
 m = −4

 4. ( −1) − 1.m = 0 ⇔  m = 0

m = 0

Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng khi
.
Câu 21: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

A.

S = ( 2; +∞ )

.

B.

S = ( −1; 2 )

log 1 ( x + 1) < log 1 ( 2 x − 1)
2

2

.
1 
S =  ;2÷
 2 .
D.

S = ( −∞; 2 )

.

C.
.
Lời giải
x + 1 > 2x −1
1
log 1 ( x + 1) < log 1 ( 2 x − 1) ⇔ 
⇔ 2 x − 1 > 0
2

2
2
Ta có
.
Câu 22: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
3
A. A8 .

8
B. 3 .

3
D. C8 .

3

C. 8 .
Lời giải.

Chọn D
Số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có
C83

cách chọn.

Câu 23: Nếu

F ( x ) = x 3 − 7 x + 2e x + C C
F x
( là hằng số) thì ( ) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau

đây?
x4 7 x2
f ( x) =
−
+ e2 x
4
2
A.
.
C.

f ( x ) = 3 x 2 − 7 + 2e x

B.

.

D.

f ( x ) = 3 x 2 − 7 + 2 xe x
f ( x) =

4

.

2

x 7x

−
+ 2e x
4
2
.

Lời giải
F ( x)

là họ nguyên hàm của hàm số

1

Câu 24: Cho

∫( x
0

−1
A. 3 .

2

)

− 2 x − 3 f ( x ) dx = 1

. Tính
−5
B. 3 .

f ( x)

nên

f ( x ) = F ′ ( x ) = 3 x 2 − 7 x + 2e x

.

1

∫ f ( x ) dx
0

.

−1
C. 9 .
Lời giải

−5
D. 9 .

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1

1

1
1
 x3
−2
2
x
−
2
x
−
3
f
x
d
x
=
1
⇔
−
x
−
3
f
x
d
x
=
1
⇔

−
3
( ))

÷
∫0 (
∫0 ( )
∫0 f ( x ) dx = 1
3
 3
0
2

Ta có
1

⇔ ∫ f ( x ) dx =
0

Câu 25: Cho hàm số

A.
C.

−5
9

f ( x ) = 2x + 3

∫ f ( x ) dx = 2

∫

.

f ( x ) dx =

x −3

. Khẳng định nào sau đây đúng?
+C
f ( x ) dx = 2 x ln 2 + 3 x + C
.
B. ∫
.

2x
+3+ C
ln 2
.

∫

D.

f ( x ) dx =

2x
+ 3x + C
ln 2
.

Lời giải

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2
Ta có:
Câu 26:

x

+ 3) dx =

x

2
+ 3x + C
ln 2
.

y = f ( x)
Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

( 1; + ∞ ) .

B.

( −1; +∞ ) .

( −∞; −1) .

C.
Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

D.

( −1;0 )

( −∞;1) .

và

( 1; +∞ ) .

¡ và có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số là
A. −2 .

B. 4 .

D. −1 .

C. 3 .
Lời giải

Giá trị cực đại của hàm số là 4 .

log 2 ( 8a )
Câu 28: Với a là số thực dương tùy ý,
bằng
1
+ log 2 a
A. 3
.

B. 3log 2 a .

C.

( log 2 a )

3

.

D. 3 + log 2 a .
Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có

log 2 ( 8a ) = log 2 8 + log 2 a = 3 + log 2 a

Lời giải
.

Câu 29: Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn bởi các
3
2
đường y = x và y = 2 x là:
1
3
π
π
A. 3 .
B. 2 .

256π
C. 35 .
Lời giải

32
π
D. 15 .

3
2
Hoành độ giao điểm của đường y = x với y = 2 x là x = 0; x = 2 . Vậy thể tích của khối trịn
2

xoay cần tính là:

V = π ∫ ( 2x

)

2 2

0

2

dx − π ∫ ( x3 ) dx =
2

0

256π
35

.

Câu 30: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng a . Tính số

đo góc tạo bởi hai mặt phẳng

0
A. 45 .

( AB ' C ')

0

B. 60 .

và

( ABC ) ?

0

C. 30 .
Lời giải

0
D. 26 33' .

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Gọi H là trung điểm của B ' C ' , do các tam giác ∆A ' B ' C ', ∆AB ' C ' lần lượt cân đỉnh A ' và A
nên AH ⊥ B ' C ' , A ' H ' ⊥ B ' C ' nên
( AB ' C ') , ( A ' B ' C ') ) = (·AH , A ' H ) = ·AHA '
(·( AB ' C ') , ( ABC ) ) = (·
AA '
1
tan ·AHA ' =
=
0
µ
A' H

3 ⇒ ·AHA ' = 300
Xét tam giác AHA ' có A ' = 90 , A ' H = a 3 và
Câu 31: Cho đồ thị của hàm số

f ( x) = m

A. 0 .

y = f ( x)

như hình vẽ. Tìm số giá trị ngun của m để phương trình

có đúng 3 nghiệm phân biệt.

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

f ( x) = m
y = f ( x)
Ta có phương trình
là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng nằm ngang y = m .
Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Để phương trình
điểm phân biệt.

f ( x) = m

có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng và đường cong cắt nhau tại 3

m = 1

Từ đồ thị suy ra  m = 3 .
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

2

có đạo hàm
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

( −5;1) .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 4 ) .

B.

( 0; +∞ ) .

f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 4 )

Ta có

2

Hàm số

( −∞; 0 ) .
C.
Lời giải
x = 1
= 0 ⇔  x = 2
 x = −4

D.

y = f ( x + 1)

đồng

( 0;1) .

 x +1 = 1
x = 0

y′ = f ′ ( x + 1) = 0 ⇔  x + 1 = 2 ⇔  x = 1
 x + 1 = −4  x = −5
Bảng biến thiên

( −∞;0 ) .

Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 33: Cho một đa giác đều có 36 đinh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập các tam
giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập
X là tam giác cân.
7
3
52
48
A. 85 .
B. 35 .
C. 595 .
D. 595 .
Lời giải
3
36

Số tam giác được tạo thành từ 36 đỉnh là C .
⇒ n ( Ω ) = C336
.
Gọi biến cố A: “Chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân”.
Ta tính số tam giác cân và khơng là tam giác đều được tạo thành từ tập X .
Giả sử tam giác cân và không là tam giác đều được tạo thành là tam giác ABC cân tại đỉnh A .
1
Chọn đỉnh A có C36 cách chọn.
1
Chọn đỉnh B có C16 cách chọn.
Khi đó đỉnh C là điểm đối đối xứng với B qua đường kính AO .
Do đó đỉnh C có 1 cách chọn.
1
1

Suy ra số tam giác cân và không đều được tạo thành là C36 .C16 tam giá C.

Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1
Số tam giác đều được tạo thành là C12 .
1
n A = C136 .C16
+ C112
Khi đó ( )
.
n ( A ) C136 .C116 + C112 7
P ( A) =
=
=
n ( Ω)
C336
85
Vậy xác suất cần tìm là
.

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình

nghiệm

x ∈ [ 1;9]

log 32 x − m log 9 x 2 + 2 − m = 0 có

.

A. 5 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

Điều kiện: x > 0
log 32 x − m log 9 x 2 + 2 − m = 0 ⇔ log 32 x − m log 3 x + 2 − m = 0
Đặt log 3 x = t
Khi đó phương trình trở thành:

t 2 − mt + 2 − m = 0 ⇔ t 2 + 2 = m ( t + 1) ⇔
g ( t) =

Xét hàm số
t 2 + 2t − 2
g '( t ) =
2
( t + 1)
g '( t ) = 0 ⇔

t2 + 2
=m
t +1

t2 + 2
t + 1 trên t ∈ [ 0; 2]

t 2 + 2t − 2

( t + 1)

2

t = −1 + 3 ( t / m )
=0⇒
t = −1 − 3 ( l )

Bảng biến thiên

−2 + 2 3 < m ≤ 2.
Vậy
Mà m ∈ ¢ nên có 1 giá trị thỏa mãn.
Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

phương trình:
A. 8 x − 6 y − 25 = 0 .

5 z = ( 4 + 3i ) z − 25

là đường thẳng có

B. 8 x − 6 y + 25 = 0 .
Page 20

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
C. 8 x + 6 y + 25 = 0 .

D. 8 x − 6 y = 0 .
Lời giải

5 z = ( 4 + 3i ) z − 25 ⇔ 5 z = ( 4 + 3i ) ( z − 4 + 3i ) ⇔ 5 z = 4 + 3i z − 4 + 3i
Ta có
⇔ z = z − 4 + 3i
.
x 2 + y 2 = ( x − 4 ) + ( y + 3) ⇔ 8 x − 6 y − 25 = 0
Gọi z = x + yi thay vào biến đổi ta được
.
2

2

D ( 2; 0; − 2 )
A ( 0;0; 2 ) , B ( 2;1;0 ) , C ( 1; 2; − 1)
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho
và
. Đường thẳng

d đi qua A và vng góc với ( BCD ) có phương trình là
x = 3
 x = 3 + 3t
 x = 3t




y = 2
 y = 2 + 2t
 y = 2t
 z = −1 + 2t
z = 1− t
z = 2 + t
A. 
.
B. 
.
C. 
.
Lời giải

D.

 x = 3 + 3t

 y = −2 + 2t
z = 1− t


.

uuur
uuur
BC = ( −1;1; − 1) , BD = ( 0; − 1; − 2 )
Ta có:

.
uuur uuur
( BCD ) là  BC , BD  = ( −3; − 2;1) .
VTPT của mặt phẳng
r
u
= ( 3; 2; − 1) .
A
0;
0;
2
(
)
Đường thẳng d đi qua
và có VTCP là

 x = 3s

 y = 2s
z = 2 − s
Phương trình đường thẳng d là 
hay

 x = 3 + 3t

 y = 2 + 2t
z = 1− t


.

M ( 1;3;3)
Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho điểm
và đường thẳng
xứng với M qua đường thẳng ∆ có tọa độ là:
 1 5
M 1  0; ; ÷
M 1 ( −1; −2;2 )
 2 2.
A.
.
B.

 x = 1 − 2t

∆: y = t
z = 3 − t


. Điểm

M1

đối

M ( 1;1; 2 )
M ( −1;1;2 )
C. 1
.
D. 1

.
Lời giải
r
u
= ( −2;1; −1)
Đường thẳng ∆ có một véc tơ chỉ phương là
. Gọi H là hình chiếu của điểm M
uuuu
r
H 1 − 2t; t ;3 − t ) ⇒ MH = ( −2t; t − 3; −t )
lên đường thẳng ∆ , khi đó (
. Hơn nữa
uuuu
rr
1
 1 5
MH .u = 0 ⇔ 4t + t − 3 + t = 0 ⇔ t = ⇒ H  0; ; ÷
2
 2 2
Gọi

M 1 ( x1; y 1 ; z1 )

là điểm đối xứng của M qua đường thẳng ∆ khi đó điểm H là trung điểm


 x1 = 0 − 1
 x1 = 2 xH − xM
 x1 = −1


1



 y1 = 2 yH − yM ⇒  y1 = 2. − 3 ⇔  y1 = −2
2
z = 2z − z

z = 2
H
M
 1
 1
5

z
=
2.
−
3
1

MM 1
2
của
, suy ra
.
Page 21

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Vậy tọa độ điểm

M 1 ( −1; −2;2 )

.

Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng

( ABC ) ; góc giữa đường thẳng

0
SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của

( SMC ) .
cạnh AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng
a
d= .
2
A. d = a 3 .
B. d = a .
C.

D.

d=

a 39
.
13

Lời giải

Xác định

· , ( ABC ) = SB
· , AB = SBA
·
600 = SB

·
và SA = AB.tan SBA = a. 3 = a 3 .

d  B, ( SMC )  = d  A, ( SMC ) 
Do M là trung điểm của cạnh AB nên 
.
d  A, ( SMC )  = AK .
Kẻ AK ⊥ SM . Khi đó 

Tam giác vng SAM , có
Vậy

d  B, ( SMC )  = AK =

Câu 39: Có

bao

( 2 − log (2
2

x

nhiêu

SA. AM

AK =

SA + AM
2

2

=

a 39
13 .

a 39
13 .

số

nguyên

x

thỏa

mãn

+ 1) − log 3 (4 x + 2) ) log 3 ( x 2 + 8 ) − log 3 x + x 2 − 9 x + 6  ≥ 0

A. 8 .

C. 7 .

B. Vơ số.

bất

phương

trình

?
D. 9 .

Lời giải
Điều kiện: x > 0 .
log 2 (2 x + 1) > 1
⇒ log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) > 2

x
log (4 + 2) > 1
Do x > 0 nên  3
⇒ 2 − log 2 (2 x + 1) − log 3 (4 x + 2) < 0

( 2 − log (2

2

x

.

+ 1) − log 3 (4 x + 2) ) log 3 ( x 2 + 8 ) − log 3 x + x 2 − 9 x + 6  ≥ 0

Khi đó,
⇔ log 3 ( x 2 + 8 ) − log 3 x + x 2 − 9 x + 6 ≤ 0

⇔ log 3 ( x 2 + 8 ) + x 2 + 8 − log 3 x − 9 x − 2 ≤ 0
Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
⇔ log3 ( x 2 + 8) + x 2 + 8 ≤ log 3 9 x + 9 x ( *)

Xét hàm số

f ( t ) = log 3 t + t

liên tục trên

D = ( 0; + ∞ )

.

1
+ 1 > 0, ∀t ∈ D ⇒

t ln 3
Ta có
hàm số f (t ) đồng biến trên D .
*) ⇔ f ( x 2 + 8 ) ≤ f ( 9 x ) ⇔ x 2 + 8 ≤ 9 x ⇔ 1 ≤ x ≤ 8
(
Suy ra
.
1
3
f x + 2 = ∫ ( x + t ) f ( t ) dt , ∀x ∈ [ −1;1]
f ( x)
[ −1;1] thoả ( )
2 −1
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên
. Tính
f ′( t ) =

1

I=

∫ f ( x ) dx

−1

?

B. I = 3 .

A. I = 4 .
1

D. I = 1 .

C. I = 2 .
Lời giải

1

1

1

3
3
x ∫ f ( t ) d t + ∫ t. f ( t ) d t − 2 , ( * )
A = ∫ f ( t ) dt , B = ∫ t. f ( t ) dt
2
2
−1
−1
−1
−1
Ta có
. Đặt
.
3
3
( *) ⇔ f ( x ) = x.A + B − 2, ( 1)

2
2
3
3
⇒ xf ( x ) = Ax 2 + Bx − 2 x , ( 2 )
2
2
.
f ( x) =

( 1) và ( 2 ) ta được
Lấy tích phân từ −1 đến 1 của
1

1
 3 Ax 2 3Bx

1
3
3

A = 
+
− 2 x ÷ = 3B − 4
 ∫ f ( x ) dx = ∫  x. A + B − 2 ÷dx
4
2

2
2


 −1


 −1

−1
⇔
⇔ A= B= 2
1

1
1
3
2
3
3


 x. f x dx =
2

 Ax 3Bx

( )
 Ax + Bx − 2 x ÷dx
B=
+
− x2 ÷ = A
∫

∫

2
2

4
 −1
−1 
 2
 −1


1

I = A=
Vậy

∫ f ( x ) dx = 2

−1

.

y = − x 2 − mx + m2 + 4 − 3mx + 19
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số
có 3 điểm cực

trị?
A. 3.

B. 5.

C. 1.
Lời giải

D. 2.

Cách 1:
2
2
Ta thấy phương trình − x − mx + m + 4 = 0 ln có hai nghiệm x1 , x2 .
 x 2 − 2mx − m 2 + 15 khi x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ )
y= 2
− x − 4mx + m 2 + 23 khi x ∈ ( x1; x2 )


Khi đó
Do đó để hàm số đã cho có 3 cực trị thì điểm cực đại xCD = −2m của hàm số

y = − x 2 − 4mx + m 2 + 23 thuộc khoảng ( x1 ; x2 ) hay x1 < −2m < x2 .
⇔ ( x1 + 2m ) ( x2 + 2m ) < 0 ⇔ x1 x2 + 2m ( x1 + x2 ) + 4m 2 < 0
⇔ − ( m 2 + 4 ) + 2m. ( − m ) + 4m 2 < 0 ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2

.
Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
+ Mà m nguyên dương nên m = 1 . Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1 .
Cách 2:

g ( x ) = x 2 + mx − m 2 − 4
+ Đặt
.
g ( −2m ) < 0 ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2
+ Điều kiện để y có ba điểm cực trị là
.
+ Mà m nguyên dương nên m = 1 . Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1 .

Câu 42: Giả sử

z1 ; z2

z1 − z2 = 6

là hai trong số các số phức

thoả mãn

z

z1 + 3 z2

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. 5 − 21 .

B. 20 − 4 21 .

( z − 6 ) ( 8 − i.z )

là một số thực. Biết rằng

bằng

C. −5 + 73 .
Lời giải

D. 20 − 2 73 .

z ;z
Gọi A, B là các điểm biểu diễn cho 2 1
Đặt
Do

(

)

z = a + bi ⇒ ( z − 6 ) 8 − i.z = ( a − 6 ) + bi  . ( 8 − b ) − ai 

( z − 6 ) ( 8 − i.z )

là một số thực nên

−a. ( a − 6 ) + b ( 8 − b ) = 0 ⇔ a 2 + b 2 − 6a − 8b = 0

I ( 3; 4 )
Suy ra A, B thuộc đường trịn tâm
, bán kính R = 5
uuur

uuur

r

Gọi M điểm thoả mãn 3MA + MB = 0 .
Gọi H là trung điểm của AB

2

73
3
IM = IH + MH = 4 +  ÷ =
2
2
2
2
2 .
2
Ta có IH = IA − AH = 5 − 3 = 4 ;
2

Khi đó M thuộc đường trịm tâm I , bán kính
Xét biểu thức
Ta có
Vậy

min

2

73
2 .

uuu
r uuu
r
uuuu
r
uuur suuu
z1 + 3 z2 = 3OA + OB = 4OM + 3MA + MB = 4OM

z1 + 3z2 min ⇔ OM min = OI − R′ = 5 −
z1 + 3z 2

R′ =

2

.

73
2 .


73 
= 4  5 −
÷ = 20 − 2 73
2 ÷



.

Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 43: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình vng cạnh a . Khoảng cách từ A đến

( A′B′CD )
mặt phẳng
3
A. V = 2a . .

2a 5
bằng 5 . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho.

B.

V=

2a 3
.
3 .

V=

C.
Lời giải

a3 3
2 .

3
D. V = 2a 3 .

Kẻ AH ⊥ A′D tại H .
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( ADD′A′ ) ⇒ CD ⊥ AH

′
CD
⊥
D
D

Ta có
 AH ⊥ CD
⇒ AH ⊥ ( A′B′CD )

′D
AH
⊥
A

Ta có
tại H .
( A′B′CD ) là AH .
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng
Tam giác A′AD vuông tại A có AH là đường cao.

1
1
1
1
1
1
5
1
1
=
+
⇒
=
−
= 2− 2= 2
2
2
2
2
2
2
AA′
AD
AA′
AH
AD
4a
a
4a
Suy ra AH

Vậy AA′ = 2a .
2
3
′
Suy ra V = AA .S ABCD = 2a.a = 2a . .

Câu 44: Cho

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

là hàm số nhận giá trị khơng âm trên đoạn

[ 2;3]

có đồ

f ′( x)
thị
như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số
2
g ( x ) = xf ( x ) h ( x ) = − x 2 f ( x ) f ′ ( x )
f ( 1)
;
và các đường thẳng x = 2; x = 3 bằng 72 . Tính
.

Page 25