đề 8 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

Câu 2:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 08 – MÃ ĐỀ: 108
Trong mặt phẳng phức, cho số phức z = 3 − 2i . Điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào sau
đây?
N −2;3)
P 2; −3)
M ( −3; −2 )
Q 3; 2 )
A. (
.
B. (
.
C.
.
D. (
.
x
Đạo hàm của hàm số y = π

2

+2 x

là

2

Câu 3:

A.

y′ = ( 2 x + 2 ) .π x

2

2

C.

y ′ = ( 2 x + 2 ) .π x

+2 x

+2 x

π x +2x
y′ = ( 2 x + 2 ) .
ln π .
B.
( 2x + 2)
y′ = x2 + 2 x
π
.ln π .
D.

.

.ln π

.

1

3
 ; +∞ ÷
y = ( 2 x − 1) 2
2


Trên khoảng
, đạo hàm của hàm số
là
2
1
5
3
1
( 2 x − 1) 5
( 2 x − 1) 2
2
3
2
x
−
1

(
)
A. 2
.
B. 2
.
C.
.

1
3
−
( 2 x − 1) 2
D. 2
.

x2 − 4

Câu 4:

Câu 5:

3
 ÷
Giải bất phương trình  4 
T = [ −2; 2]
A.
.
T = ( −∞; −2]
C.

.

(u )
Cho cấp số nhân n
A. 243 .

Câu 6:

Câu 7:

≥1

ta được tập nghiệm T . Tìm T .
T = [ 2; +∞ )
B.
.
T = ( −∞; −2 ] ∪ [ 2; +∞ )
D.

có u5 = 9 , cơng bội
B. 729 .

q=

1
3 . Tìm u2 .
C. 81 .

D. 27 .

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
r
M ( 1; 2; −3)
n = ( 1; −2;3)
qua điểm
và có một vectơ pháp tuyến
.
x
−
2
y
+
3
z
+
12
=
0
x
−
2
y
−
3
z
−
6
=
0
x

−
2
y
+
3
z
− 12 = 0 D. x − 2 y − 3 z + 6 = 0
A.
B.
C.
3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau

A.

( 0;1) .

B.

( 2;0 ) .

C.

( 0; −1) .

D.

( 0;2 ) .

Page 1
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2

Câu 8:

Câu 9:

∫ f ( x ) dx = 1
Cho −2
,
A. I = 5 .

4

4

∫ f ( t ) dt = −4

−2

. Tính
B. I = −3 .

∫ f ( y ) dy
2

.
C. I = 3 .

D. I = −5 .

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?

A.

y=

2x + 3
2x −1 .

B.

y=

2x − 3
1− 2x .

C.

y=

2x + 3
1− 2x .

D.

y=

2x + 3
x −1 .

I ( 1; − 4;3)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm
và tiếp
xúc với mặt phẳng ( P) : 2 x − 2 y − z + 5 = 0 là:

( x + 1)

2

A.
C.

( x − 1)

2

+ ( y − 4 ) + ( z + 3) = 4
2

( x + 1)

2

B.

+ ( y − 4 ) + ( z + 3) = 16

.

D.

( x − 1)

2

+ ( y + 4 ) + ( z − 3) = 16

.

2

+ ( y + 4 ) + ( z − 3) = 4
2

.

2

.

2

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

2

2

2

 x = 1− t

d :  y = 2 + 2t
 z = 3+ t


và mặt phẳng:

x − y + 3 = 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng.
0
A. 60

0
B. 30

C. 120

Câu 12: Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức

A. 15 .

B.

−

w=

o

0
D. 45

z−2
z + 2i có phần thực bằng

15
29 .

C. −15 .

15
D. 29 .

Câu 13: Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3; 4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng?

A. 10 .

B. 20 .

C. 12 .

D. 60 .

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3a và AD = 4a . Cạnh bên SA

3
A. 4 2a .

( ABCD )

và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
4 2a 3
2 2a 3
3
3 .
3 .
B. 12 2a .
C.
D.

vng góc với mặt phẳng

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có

tâm

I ( 1; 2; −1)

và tiếp xúc với mặt phẳng

( P ) : x − 2 y − 2z − 8 = 0 ?

Page 2
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

( x + 1)
A.

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3

( x + 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9

C.

2

2

Câu 16: Cho hai số phức

A. −3 − i .

2

.

( x − 1)
B.

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3

.

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

2

2

D.

2

2

2

.

2

.

z1 = −1 + 2i và z2 = 4 − i . Khi đó số phức liên hợp của z1 + z2 là
B. −3 + i .
C. 3 + i .
D. 3 − i .

Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 2a, BC = 4a . Khi xoay tam giác ABC quanh cạnh AB thì

đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón. Diện tích tồn phần của hình nón tạo thành bằng
A. 36π a 2 .
B. 24π a 2 .
C. 8π a 2 .
D. 12π a 2 .
Oxyz , cho đường thẳng

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ

d

có phương trình

x −1 y + 2 z − 3
=
=
3
2
−4 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?
N ( 4;0; −1)
M ( 1; −2;3)

P ( 7;2;1)
Q ( −2; −4;7 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 19: Cho hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡

)

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm

số đã cho là

A. 3 .

B. 2 .

D. 0 .

C. 1 .

Câu 20: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?

A.

y=

2
x +1 .

B.

y=

2x − 2
x+2 .

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

A.

( −∞; −2] ∪ [ 2 : +∞ ) .

B.

C.

log 3 ( 13 − x 2 ) ≥ 2

( −∞; 2] .

C.

y=

x+3
x−2 .

là
( 0; 2]

.

D.

D.

y=

1+ x
2 − 2x .

[ −2;2] .

Câu 22: Cho đa giác lồi 20 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là
3
C20
B. 3! .

3
20

A. A .

Câu 23: Biết

A. 5.

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số
B. 625.

3
D. C20 .

C. 20! .

f ( x) = x2

. Biểu thức
C. 25.

F ′ ( 25)

bằng
D. 125.
2

Câu 24: Biết

F ( x ) = x4

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x)

trên ¡ . Giá trị của

∫ 6x + f ( x )  dx

−1

bằng
Page 3
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
78
A. 5 .

123
C. 5 .

B. 24 .

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
x

4
sin 2 x
−
+C

2
A. ln 4
.

f ( x)

Câu 26: Cho hàm số

f ( x ) = 4 x + cos 2 x

D. 33 .

là

4 x sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
x
+
+C
4 ln 4 +
+C
4 ln 4 −
+C
2
2
2
B.
. C.
. D. ln 4

.
x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.

( −∞; −1) .

Câu 27: Cho hàm số

B.

( 1;+∞ ) .

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡

C.

)

( −1;3) .

D.

( 2;3) .

có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Giá trị

cực đại của hàm số đã cho bằng

C. −3 .

B. −1 .

A. 0 .

P = log
Câu 28: Cho a, b > 0 và a, b ≠ 1 , biểu thức
A. 18 .
B. 24 .

a

D. 2 .

b3 .log b a 4

có giá trị bằng bao nhiêu?
C. 12 .
D. 6 .

Câu 29: Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol

( P ) : y = x2
2

A.

và đường thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox .

π ∫ ( x 2 − 2 x ) dx
0

2

.

B.

2

2

0

0

π ∫ 4 x 2 dx − π ∫ x 4 dx

. C.

2

2

0

0

π ∫ 4 x 2dx + π ∫ x 4 dx

2

. D.

π ∫ ( 2 x − x 2 ) dx
0

.

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy và

a 6
6 . Khi đó góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và mặt đáy ( ABCD ) là
A. 60° .
B. 45° .
C. 30° .
D. 75° .
SA =

Câu 31: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m sao cho phương trình f ( x ) − m = 1 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

Page 4
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A. 6.

B. 9.

Câu 32: Cho hàm số

C. 8.

y = f ( x)

( 1; 2 ) .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 4 ) .
2

có đạo hàm
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

D. 7.

B.

( −4;1) .

C.

( −∞; −4 ) .

Hàm số
D.

y = f ( x)

nghịch

( 1; +∞ ) .

Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau và các chữ số thuộc tập

{ 1; 2;3; 4;5;6;7} . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó khơng có hai chữ số
hợp
liên tiếp nào cùng lẻ bằng
1
13
9
2
A. 5 .
B. 35 .
C. 35 .
D. 7 .

x
log 32 x + 2 log9  ÷ = 0

9
Câu 34: Tổng các nghiệm của phương trình
là
A. −1 .

B. 1 .

28
C. 9 .

1
D. 3 .

Câu 35: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện

zi − (2 + i ) = 2

là:
2
A. ( x − 2) + ( y + 1) = 4 .
2
2
C. ( x − 1) + ( y + 2) = 4 .

2
2
B. ( x − 1) + ( y − 2) = 4 .
2
2
D. ( x − 1) + ( y − 1) = 9

2

A ( 2; −1;5 )
Câu 36: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
, song song với mặt phẳng

x −1 y + 2 z +1
=
=
3
−5 .
và vng góc với đường thẳng ∆ 2
x + 2 y −1 z + 5
x + 2 y +1 z + 5
=
=
=
=
10
1 .
10
1 .
A. −5
B. 5
x − 2 y +1 z − 5
x − 2 y +1 z − 5
=
=
=

=
10
1 .
10
4 .
C. 5
D. −5

( P ) : 2x + y − 9 = 0

( P ) : 2 x − y − 2 z + 1 = 0 và điểm
P
trên mặt phẳng ( ) . Tính T = a + b + c.

Câu 37: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng

A ( 3; 0; −1)

A. T = −3 .

. Gọi

H ( a; b; c )

là hình chiếu của A
B. T = 1 .
C. T = −1 .

D. T = 3 .

( ABCD )
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . SA vng góc với mặt phẳng
SBC )
và SA = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (
bằng bao nhiêu?

Page 5
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

a 2
B. 2 .

a
A. 2 .

C. a 2 .

a 3
D. 2 .

2 log 3 ( x + 2 ) − log 3 ( 2 x 2 − 1) ≥ ( x + 1) ( x − 5 )
x
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn
?
A. 8 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 5 .

f ( x ) = f ( 2 x + 1)
F ( x)
liên tục trên R thỏa
. Gọi
là nguyên hàm của
F ( 3) = 4
2 F ( 1) + F ( 7 )
f ( x)
trên R thỏa mãn
. Khi đó giá trị của
bằng
A. 12 .
B. −10 .
C. 8 .
D. −6 .
f ( x)

Câu 40: Cho hàm số

Câu 41: Cho hàm số

y = f ( 3 − 5x )

xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ

g ( x ) = f ( x3 + m )
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
có đúng 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng x = 2 . Tổng các phần tử của tập hợp S

bằng
A. 120 .

B. 105 .

C. −120 .

D. −105 .

Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn z + 1 ≥ 1 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

( 1+ i) z + i + 2

A. 4.

z +1

( M 2 + m2 ) bằng:
lần lượt là M và m . Khi đó giá trị của
B. 8 + 4 3.
C. 6.
D. 2.

Page 6

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

·
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AC = a 7, ABC = 30° , AB = AA′ . Gọi

M là trung điểm

của BB′ , khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC ′ bằng a 3 . Thể tích của khối lăng
trụ đứng ABC. A′B′C ′ là
25a3
B. 2 .

5 3 3
a
A. 3
.

25 3a 3
6
C.
.

5 3 3
a
D. 6

1

y = f ( x ) = x + ∫ ( x + u ) f ( u ) du
2

Câu 44: Cho hàm số

hạn bởi
A.

S=

0

( C ) , trục tung, tiếp tuyến của ( C )

1
4

B.

S=

1
3.

có đồ thị

( C ) . Khi đó diện tích hình phẳng giới

tại điểm có hồnh độ x = 1 là

2
1
S=
S=
3.
6.
C.
D.

z 4 + ( 4 − m ) z 2 − 4m = 0
là 4 nghiệm phức của phương trình
. Tìm tất cả các
z + z 2 + z3 + z 4 = 6
giá trị m để 1
.
m
=
−
1
m
=
±
2
A.
.
B.
.
C. m = ±3
D. m = ±1 .

Câu 45: Gọi

z1 , z2 , z3 , z4

A ( 2;1;3)
không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
và mặt phẳng
( P ) : x + my + ( 2m + 1) z − m − 2 = 0 , m là tham số. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vng góc của
( P ) . Tính a + b khi khoảng cách từ điểm A đến ( P ) lớn nhất ?
điểm A trên
1
3
a+b = −
a+b =
2.
2.
A.
B. a + b = 2 .
C. a + b = 0 .
D.

Câu 46: Trong

Câu 47: Có

bao
nhiêu
cặp
số
log 4 ( 512 x + 768 ) + 2 x − 1 = 2 y + 16 y

A. 2019

B. 0

nguyên

x; y

thỏa

0 ≤ x ≤ 2020

mãn

và

?
C. 2020

D. 1

Câu 48: Cho khối nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2 3a . Gọi A và B là hai điểm thuộc đáy sao cho

AB = 4a . Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng ( SAB ) bằng 2a , thể tích của khối
nón đã cho bằng
8 2 3
16 3 3
πa
πa

3
3
A. 3
.
B. 4 6π a .
C. 3
.
D. 8 2π a .

A ( −1; 2;3)
B ( 3; 2;5 )
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Xét hai điểm M và N thay
đổi thuộc mặt phẳng
A. 2 17 .

( Oxy )

sao cho MN = 2023 . Tìm giá trị nhỏ nhất của AM + BN .
B. 65 .
C. 25 97 .
D. 205 97 .

Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số
( −∞; −1) ?
nghịch biến trến khoảng
A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .

---------- HẾT ----------

y = 3 x 4 - 4 x3 - 12 x 2 + m

D. 3 .

Page 7
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Page 8
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
11.A
21.D
31.B
41.D

2.C
12.B
22.D
32.A
42.C

3.C
13.D
23.B
33.B
43.C

4.A
14.A
24.B
34.C
44.B

5.A
15.D
25.D
35.C
45.D

6.A
16.D
26.A
36.D
46.D

7.B
17.D
27.B
37.D
47.B

8.D
18.C
28.B
38.B
48.D

9.C
19.A
29.B
39.B
49.D

10.D
20.B
30.C
40.B
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Trong mặt phẳng phức, cho số phức z = 3 − 2i . Điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào sau
đây?
N −2;3)
P 2; −3)
M ( −3; −2 )
Q 3; 2 )
A. (
.
B. (

.
C.
.
D. (
.
Lời giải
3; 2 )
Ta có: z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i nên có điểm biểu diễn là (
.

Câu 2:

x
Đạo hàm của hàm số y = π

2

+2 x

là
2

π x +2 x
′
x2 + 2 x
y = ( 2x + 2) .
y′ = ( 2 x + 2 ) .π
ln π .
A.
. B.

C.

y ′ = ( 2 x + 2 ) .π

Ta có

Câu 3:

y =πx

2

+2 x

x2 + 2 x

.ln π

.

D.
Lời giải

⇒ y′ = ( x 2 + 2 x ) ′ .π x

2

+2 x

y′ =

( 2x + 2)
πx

.ln π = ( 2 x + 2 ) .π x

2

2

+2x

+2 x

.ln π .

.ln π

.

1

3
 ; +∞ ÷
2
y
=
2
x
−

1
(
)
 , đạo hàm của hàm số
Trên khoảng  2
là
2
1
5
3
1
( 2 x − 1) 5
( 2 x − 1) 2
2
3
2
x
−
1
(
)
A. 2
.
B. 2
.
C.
.
Lời giải

1

3
−
( 2 x − 1) 2
D. 2
.

3 ′
1
1
1
3
3

2
x
−
1
(
) 2  = ( 2 x − 1) 2 ( 2 x − 1) ′ = .2. ( 2 x − 1) 2 = 3 ( 2 x − 1) 2
2
 2
Ta có: 
.

x2 − 4

Câu 4:

3
 ÷ ≥1

Giải bất phương trình  4 
ta được tập nghiệm T . Tìm T .
T = [ −2; 2]
T = [ 2; +∞ )
A.
.
B.
.
T = ( −∞; −2]
T = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )
C.
.
D.
Lời giải
x2 − 4

3
 ÷
Bất phương trình  4 

≥ 1 ⇔ x 2 − 4 ≤ 0 ⇔ x ∈ [ −2; 2 ]
Page 9
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Vậy tập nghiệm

Câu 5:

T = [ −2;2]

(u )
Cho cấp số nhân n
A. 243 .

.
q=

có u5 = 9 , cơng bội
B. 729 .

1
3 . Tìm u2 .
C. 81 .

D. 27 .

Lời giải
4

1
u5 = u1.q 4 ⇒ 9 = u1.  ÷ ⇒ u1 = 729
3
Ta có
.
1
u2 = u1.q = 729. = 243
3
.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
r
M ( 1; 2; −3)
n = ( 1; −2;3)
qua điểm
và có một vectơ pháp tuyến
.
x
−
2
y
+
3
z
+
12
=
0
x
−
2
y
−
3
z
−
6
=

0
x
−
2
y
+
3
z
− 12 = 0 D. x − 2 y − 3 z + 6 = 0
A.
B.
C.
Lời giải
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm

M ( 1; 2; −3)

và có một vectơ pháp tuyến

1( x − 1) − 2 ( y − 2 ) + 3 ( z + 3) = 0 ⇔ x − 2 y + 3 z + 12 = 0
Câu 7:

r
n = ( 1; −2;3)

là

.

3

2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau

A.

( 0;1) .

B.

( 2;0 ) .

C.

( 0; −1) .

D.

( 0;2 ) .

Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại các điểm có tọa độ
2

Câu 8:

∫

f ( x ) dx = 1

Cho
A. I = 5 .
−2

4

Ta có:

∫

−2

f ( t ) dt =

4

,

4

∫

−2

∫

−2

f ( t ) dt = −4

. Tính
B. I = −3 .

f ( x ) dx

4

,

∫
2

( 1;0 ) , ( 2;0 ) , ( −1;0 ) .

4

∫ f ( y ) dy
2

.
C. I = 3 .
Lời giải

D. I = −5 .

4

f ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx
2

.

Page 10
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2

∫

Khi đó:

−2

4

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
2

4

⇒ ∫ f ( x ) dx =
2

4

∫

−2

4

∫ f ( x ) dx

−2

.

2

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = −4 − 1 = −5
−2

.

4

Vậy
Câu 9:

∫ f ( y ) dy = −5
2

.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?

A.

y=

2x + 3
2x −1 .

B.

y=

2x − 3
1− 2x .

y=

C.

2x + 3
1− 2x .

D.

y=

2x + 3
x −1 .

Lời giải
Chọn C
Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ dạng
y=

ax + b
cx + d

( c ≠ 0.ad − bc ≠ 0 )

.

a
<0
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang nằm phía dưới trục hồnh nên c
.

Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ âm nên loại đáp án B.

Suy ra hàm số cần tìm là

y=

2x + 3
1− 2x .

I ( 1; − 4;3)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm
và tiếp
xúc với mặt phẳng ( P) : 2 x − 2 y − z + 5 = 0 là:

( x + 1)

2

A.
C.

( x − 1)

2

+ ( y − 4 ) + ( z + 3) = 4
2

+ ( y + 4 ) + ( z − 3) = 4
2

( x + 1)

2

B.

+ ( y − 4 ) + ( z + 3) = 16

.

D.

( x − 1)

2

+ ( y + 4 ) + ( z − 3) = 16

.

2

.

2

.

2

2

2

2

Page 11
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

 x = 1− t


d :  y = 2 + 2t
 z = 3+ t


và mặt phẳng:

x − y + 3 = 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng.
0
A. 60

0
B. 30

C. 120

o

0
D. 45

Lời giải
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là

r
u = ( −1; 2;1)

( P)
Mặt phẳng

r

n = ( 1; −1;0 )

có véc tơ pháp tuyến là

( P ) . Khi đó ta có
Gọi α là góc giữa Đường thẳng d và Mặt phẳng
rr
u.n
sin α = r r =
u n

−1.1 + 2. ( −1) + 1.0

( −1)

2

+ 2 + 1 . 1 + ( −1) + 0
2

2

2

2

2

=

3
2 3

=

3
2

0
Do đó α = 60

Câu 12: Cho số phức z = 2 − 3i . Số phức

A. 15 .

Ta có

w=

B.

−

w=

15
29 .

z−2
z + 2i có phần thực bằng

C. −15 .
Lời giải

15
D. 29 .

−3i ( 2 − 5i )
z−2
−3i
15 6
=
=
=− − i
z + 2i 2 + 5i
29
29 29 .

Câu 13: Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3; 4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng?

A. 10 .

C. 12 .
Lời giải

B. 20 .

D. 60 .

Thể tích của khối hộp đã cho bằng V = 3.4.5 = 60
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3a và AD = 4a . Cạnh bên SA

3
A. 4 2a .

( ABCD )

và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
4 2a 3
2 2a 3
3
3 .
3 .
B. 12 2a .
C.
D.
Lời giải

vuông góc với mặt phẳng

Page 12
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

2
Diện tích đáy hình chữ nhật là S = AB ×AD = 3a ×4a = 12a

1
1

V = Sh = ×12a 2 ×a 2 = 4 2a 3
3
3
Thể tích của hình chóp có đáy hình chữ nhật là
.
Câu 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có

tâm

I ( 1; 2; −1)

( x + 1)

2

A.
C.

( x + 1)

2

và tiếp xúc với mặt phẳng

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3
2

( x − 1)

2

B.

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3

D.

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9
2

( P ) : x − 2 y − 2z − 8 = 0 ?

.

2

.

2

2

2

.

2

.

Lời giải
Mặt cầu tâm

I ( 1; 2; −1)

R = d ( I,( P) )

và tiếp xúc với mặt phẳng
1 − 2.2 − 2 ( −1) − 8
=
=3
2
2
12 + ( −2 ) + ( −2 )
.

( x − 1)
Vậy phương trình mặt cầu là
Câu 16: Cho hai số phức

A. −3 − i .

2

( P ) : x − 2 y − 2z − 8 = 0

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9
2

nên

2

.

z1 = −1 + 2i và z2 = 4 − i . Khi đó số phức liên hợp của z1 + z2 là
B. −3 + i .
C. 3 + i .
D. 3 − i .
Lời giải

z1 + z2 = −1 + 2i + 4 − i = 3 + i .

⇒ z1 + z2 = 3 − i .
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 2a, BC = 4a . Khi xoay tam giác ABC quanh cạnh AB thì

đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón. Diện tích tồn phần của hình nón tạo thành bằng
A. 36π a 2 .
B. 24π a 2 .
C. 8π a 2 .
D. 12π a 2 .
Lời giải

Page 13
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

AB =

( 4a ) − ( 2a )
2

2

= 2a 2

Khi quay tam giác quanh AB tạo thành hình nón có h = 2a 2, r = 2a, l = 4a
2
Khi đó Stp = π .2a.4a + π ( 2a ) = 12π a .
2

Oxyz , cho đường thẳng

Câu 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ

d

có phương trình

x −1 y + 2 z − 3

=
=
3
2
−4 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?
N ( 4;0; −1)
M ( 1; −2;3)
P ( 7;2;1)
Q ( −2; −4;7 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Thế tọa độ M vào phương trình đường thẳng d ta được 1 = 1 = 1 , loại A
Thế tọa độ N vào phương trình đường thẳng d ta được 0 = 0 = 0 , loại B
Thế tọa độ P vào phương trình đường thẳng d ta được

2=2=

1
( !)
2 , nhận C

Thế tọa độ Q vào phương trình đường thẳng d ta được −1 = −1 = −1 , loại D

Câu 19: Cho hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡

)

có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm

số đã cho là

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Từ đồ thị, ta có hàm số có có 3 điểm cực trị.
Câu 20: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?
Page 14
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

y=

2
x +1 .

B.

y=

2x − 2
x+2 .

C.
Lời giải

y=

x+3
x−2 .

D.

y=

1+ x
2 − 2x .

Ta có:

2
2

y=
=0
x + 1 có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 .
+) x →±∞ x + 1
. Đồ thị hàm số
lim

2x − 2
2x − 2
y=
=2
x + 2 có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 .
+) x →±∞ x + 2
. Đồ thị hàm số
lim

x+3
x+3
y=
=1
x − 2 có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 .
+) x →±∞ x − 2
. Đồ thị hàm số
lim

+)

lim

x →±∞

1+ x
1+ x
1
1
y=
=−
y=−
2 − 2x
2 . Đồ thị hàm số
2 − 2 x có tiệm cận ngang là đường thẳng
2.

Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Tổng quát: Đồ thị hàm số

y=

tiệm cận đứng là đường thẳng

C.

( −∞; −2] ∪ [ 2 : +∞ ) .
( 0; 2] .

B.
D.

2x − 2
x+2 .

ax + b
a
y=
( ad ≠ bc )
c , có
cx + d
có tiệm cận ngang là đường thẳng
x=−

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

A.

y=

d
c.

log 3 ( 13 − x 2 ) ≥ 2

( −∞; 2] .

là

[ −2;2] .

Lời giải
Chọn D
13 − x 2 > 0

 x 2 < 13
log3 ( 13 − x 2 ) ≥ 2 ⇔ 
⇔
 2
2
13 − x ≥ 9
x ≤4
 Bất phương trình

− 13 < x < 13
⇔
⇔ −2 ≤ x ≤ 2

 −2 ≤ x ≤ 2
.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình

log 3 ( 13 − x 2 ) ≥ 2

là

[ −2;2] .

Câu 22: Cho đa giác lồi 20 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là
3
A. A20 .

3
C20

B. 3! .

C. 20! .
Lời giải.

3
D. C20 .

Page 15
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Chọn D
Mỗi tam giác được tạo thành là một tổ hợp chập 3 của 20 phần tử.
3
Vậy số tam giác là: C20 .

Câu 23: Biết

F ( x)

A. 5.

là một nguyên hàm của hàm số
B. 625.

F ( x)

+) Vì

f ( x) = x2

. Biểu thức
C. 25.
Lời giải

f ( x ) = x2

là một nguyên hàm của hàm số

F ′ ( 25)

bằng
D. 125.

nên

F ′ ( x ) = f ( x ) = x 2 ⇒ F ′ ( 25 ) = 252 = 625.
2

Câu 24: Biết

F ( x ) = x4

là một nguyên hàm của hàm số

bằng
78
A. 5 .

∫ 6x + f ( x )  dx = ( 3x

Ta có

−1

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
x

A.
C.

4
sin 2 x
−
+C
ln 4
2
.
4 x ln 4 −

Ta có

B.

2

trên ¡ . Giá trị của

123
C. 5 .
Lời giải

B. 24 .

2

f ( x)

+ x4 )

2
−1

= 24

−1

D. 33 .

.

f ( x ) = 4 x + cos 2 x
4 x ln 4 +

∫ 6x + f ( x )  dx

là

sin 2 x
+C
2
.

4 x sin 2 x
sin 2 x
+
+C
+C
2
2
. D. ln 4
.
Lời giải

x
∫ ( 4 + cos 2 x ) dx =

Câu 26: Cho hàm số

f ( x)

4 x sin 2 x
+
+C
ln 4
2
.

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.

( −∞; −1) .

B.

( 1;+∞ ) .

( −1;3) .

C.
Lời giải

D.

( 2;3) .

Page 16
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

f ( x)

Quan sát bảng biến thiên của hàm số

f ( x)

ta thấy hàm số

nghịch biến trên khoảng

( −∞; −1) .
Câu 27: Cho hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡

)

có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Giá trị

cực đại của hàm số đã cho bằng

C. −3 .
Lời giải

B. −1 .

A. 0 .

D. 2 .

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và có giá trị cực đại bằng −1
P = log
Câu 28: Cho a, b > 0 và a, b ≠ 1 , biểu thức
A. 18 .

B. 24 .
P = log

a

b3 .log b a 4

có giá trị bằng bao nhiêu?
C. 12 .
D. 6 .
Lời giải

b3 .log b a 4 = ( 6 log a b ) . ( 4 log b a ) = 24

.
Câu 29: Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox .
a

2

π ∫ ( x − 2 x ) dx
2

A.
C.

2

2

0

2

2

0

0

2

π ∫ 4 x dx − π ∫ x 4 dx
2

.

π ∫ 4 x 2 dx + π ∫ x 4 dx

B.

0

0

.

2

. D.

π ∫ ( 2 x − x 2 ) dx
0

.
Lời giải

x = 0
x2 − 2 x = 0 ⇔ 
x = 2 .
Phương trình hồnh độ giao điểm:

Vậy thể tích khối trịn xoay được tính:

2

2

2

0

0

0

V = π ∫ x 4 − 4 x 2 dx = π ∫ 4 x 2 dx − π ∫ x 4 dx

.

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy và

a 6
6 . Khi đó góc giữa mặt phẳng ( SBD ) và mặt đáy ( ABCD ) là
A. 60° .
B. 45° .
C. 30° .
D. 75° .
Lời giải
SA =

Page 17
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD
Gọi O = AC ∩ BD . Ta có (
. Vì ABCD là hình vng nên AO ⊥ BD .

Lại có

BD ⊥ ( SAC )

( ( SBD) ;( ABCD ) ) = ( SO; AO ) .
nên BD ⊥ SO . Do đó, ta có







( SBD ) ; ( ABCD ) ) = SOA .
Vì ∆ SAO có SAO = 90° nên SOA là góc nhọn và ta có (
a 6

SA
3
tan SOA =
= 6 =
⇒ SOA = 30°
AO a 2
3
2
Xét V SAO ta có
.



Câu 31: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m sao cho phương trình f ( x ) − m = 1 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

A. 6.

B. 9.

C. 8.
Lời giải

f ( x ) − m = 1 ⇔ f ( x ) = m + 1.
Phương trình

f ( x) = m +1

f ( x) − m = 1

D. 7.

có ít nhất hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

có ít nhất hai nghiệm phân biệt ⇔ −3 ≤ m + 1 ≤ 5 ⇔ −4 ≤ m ≤ 4.

m nguyên nên m = { −4; −3; −2; −1;0;1; 2;3; 4} . Vậy có 9 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 4 ) .
2

có đạo hàm
biến trên khoảng nào dưới đây?

Hàm số

y = f ( x)

nghịch

Page 18
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A.

( 1; 2 ) .

B.

( −4;1) .

f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 4 )
Ta có

( −∞; −4 ) .

C.
Lời giải
2

D.

( 1; +∞ ) .

x = 1
= 0 ⇔  x = 2
 x = −4

Bảng xét dấu đạo hàm

( 1; 2 ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau và các chữ số thuộc tập
{ 1; 2;3; 4;5;6;7} . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó khơng có hai chữ số
hợp
liên tiếp nào cùng lẻ bằng
1
13
9
2
A. 5 .
B. 35 .
C. 35 .
D. 7 .
Lời giải
Số phần tử của tập hợp S là A = 840 .
4
7

Phép thử T: Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc S

⇒ Ω = 840
Gọi A là biến cố: “Số được chọn khơng có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ”
TH1: Số cần tìm có 1 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
+) Chọn 1 chữ số lẻ trong 4 chữ số lẻ có 4 cách.
+) Xếp số lẻ vào 1 trong 4 vị trí có 4 cách.
+) Xếp 3 chữ số chẵn vào 3 vị trí có 3! = 6 cách.
Suy ra có 4.4.6 = 96 cách.
TH2: Số cần tìm có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn.
2
+) Chọn 2 chữ số lẻ trong 4 chữ số lẻ có C4 cách.
+) Xếp 2 chữ số lẻ vào 2 vị trí có 2! cách.
2
+) Chọn 2 chữ số chẵn trong 3 chữ số chẵn có C3 cách.
2
+) Xếp 2 chữ số chẵn vào 3 khoảng trống được tạo bởi 2 chữ số lẻ, có A3 cách.
2
2
2
Suy ra có C4 .2.C3 . A3 = 216 cách.

Khi đó

ΩA = 96 + 216 = 312

P ( A) =
Vậy

cách.

ΩA 312 13

=
=
Ω 840 35

Page 19
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 34:

x
log 32 x + 2 log 9  ÷ = 0
9
Tổng các nghiệm của phương trình
là
A. −1 .

28
C. 9 .
Lời giải

B. 1 .

1
D. 3 .

Điều kiện x > 0 .

x
 x
 x
log 32 x + 2 log 9  ÷ = 0 ⇔ log 32 x + 2log 2  ÷ = 0 ⇔ log 32 x + log 3  ÷ = 0
3
9
9
9
Khi đó phương trình
⇔

log 32

x = 3
 log 3 x = 1
x + log3 x − 2 = 0 ⇔ 
⇔
x = 1
log
x
=
−
2
 3
9.


28
Vậy tổng các phương trình đã cho là 9 .
Câu 35: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện

zi − (2 + i ) = 2

là:
2
2
2
A. ( x − 2) + ( y + 1) = 4 .B. ( x − 1) + ( y − 2) = 4 .
2
2
2
2
C. ( x − 1) + ( y + 2) = 4 .D. ( x − 1) + ( y − 1) = 9
Lời giải
2

Gọi z = x + yi
Ta có:

zi − (2 + i) = 2

⇔ ( x + yi )i − (2 + i) = 2
⇔ xi − y − 2 − i = 2
⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 .
A ( 2; −1;5 )
Câu 36: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
, song song với mặt phẳng

x −1 y + 2 z +1
=

=
3
−5 .
và vng góc với đường thẳng ∆ 2
x + 2 y −1 z + 5
x + 2 y +1 z + 5
=
=
=
=
10
1 . B. 5
10
1 .
A. −5
x − 2 y +1 z − 5
x − 2 y +1 z − 5
=
=
=
=
10
1 . D. −5
10
4 .
C. 5

( P ) : 2x + y − 9 = 0

Lời giải

r

P : n P = 2;1;0 )
VTPT của mặt phẳng ( ) ( ) (
.

Page 20
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
r
∆ : u ∆ = ( 2;3; −5 )
VTCP của đường thẳng
.
r
r r
d : u d =  n( P ) ; u ∆  = ( −5;10; 4 )
VTCP của đường thẳng
.

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng

( d) :

x − 2 y +1 z − 5
=
=
−5
10

4 .

( P ) : 2 x − y − 2 z + 1 = 0 và điểm
P
trên mặt phẳng ( ) . Tính T = a + b + c.

Câu 37: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng

A ( 3; 0; −1)

. Gọi

H ( a; b; c )

là hình chiếu của A
B. T = 1 .
C. T = −1 .

A. T = −3 .

D. T = 3 .

Lời giải
P
Đường thẳng d qua A và vng góc với mặt phẳng ( ) nên nhận vecto pháp tuyến

r
n = ( 2; −1; −2 )

Do

của

( P)

làm vec tơ chỉ phương, có phương trình là:

 x = 3 + 2t

 y = −t
 z = −1 − 2t


.

H ∈ d nên H ( 3 + 2t ; −t; −1 − 2t ) .

Ta lại có
Suy ra

H ∈ ( P ) ⇒ 2 ( 3 + 2t ) − ( −t ) − 2 ( −1 − 2t ) + 1 = 0 ⇔ 9t + 9 = 0 ⇔ t = −1

H ( 1;1;1)

.

Như vậy T = 1 + 1 + 1 = 3.

( ABCD )
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . SA vng góc với mặt phẳng

SBC )
và SA = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (
bằng bao nhiêu?

a 2
B. 2 .

a
A. 2 .

C. a 2 .

a 3
D. 2 .

Lời giải
Trong

( SAB )

vẽ AH ⊥ SB tại H
Page 21
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB )

.

( SAB ) ⊥ ( SBC )

⇒ AH ⊥ ( SBC ) hay AH = d ( A, ( SBC ) )
( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB

Trong ( SAB ) , AH ⊥ SB
Khi đó 
.

AH =
Ta có

SA. AB
SA + AB
2

2

=

a.a
a +a
2

2

=

a 2
a 2
2 nên d ( A, ( SBC ) ) = 2 .

2 log 3 ( x + 2 ) − log 3 ( 2 x 2 − 1) ≥ ( x + 1) ( x − 5 )
x
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn
?
A. 8 .

B. 7 .

C. 6 .
Lời giải

D. 5 .

x + 2 ≥ 1
 x ≥ −1
⇔
⇔ x ≥ 1 ⇒ D = [ 1; +∞ )
 2
x
≤
−
1
∨
x
≥

1
2
x
−
1
≥
1

ĐKXĐ: 
Ta có

2 log 3 ( x + 2 ) − log 3 ( 2 x 2 − 1) ≥ ( x + 1) ( x − 5 )

⇔ log 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) + ( x 2 + 4 x + 4 ) ≥ log 3 ( 2 x 2 − 1) + ( 2 x 2 − 1)
f ( t ) = log 3 t + t , ∀t ≥ 1 ⇒ f ′ ( t ) =
Đặt

1
1
.
+ 1 > 0, ∀t > 1
t.ln 3 2 log 3 t

( 1; +∞ )

Suy ra

f ( t)

Suy ra

f ( x 2 + 4 x + 4 ) ≥ f ( 2 x 2 − 1) ⇔ x 2 + 4 x + 4 ≥ 2 x 2 − 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 5

đồng biến trên

Vậy có 7 số nguyên x thoả mãn.

f ( x ) = f ( 2 x + 1)
F ( x)
liên tục trên R thỏa
. Gọi
là nguyên hàm của
F ( 3) = 4
2 F ( 1) + F ( 7 )
f ( x)
trên R thỏa mãn
. Khi đó giá trị của
bằng

Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

Page 22
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
B. −10 .

A. 12 .

C. 8 .
Lời giải

D. −6 .

1
f ( x ) = f ( 2 x + 1) ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( 2 x + 1) dx ⇒ F ( x ) = 2 F ( 2 x + 1) + C
Ta có:

2 F ( 1) = F ( 3) + 2C

2 F ( 3) = F ( 7 ) + 2C ⇒ 2 F ( 1) + F ( 7 ) = 3F ( 3 ) = 12
Từ đó có: 
Câu 41: Cho hàm số

y = f ( 3 − 5x )

xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ

g ( x ) = f ( x3 + m )
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
có đúng 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng x = 2 . Tổng các phần tử của tập hợp S

bằng
A. 120 .

B. 105 .

C. −120 .
Lời giải

D. −105 .

1
y′ = −5. f ′ ( 3 − 5 x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ⇒ f ′ ( 3 − 5 x ) = − 5 ( x + 1) ( x − 2 )
Dựa vào đồ thị ta có:
.
1
⇒ f ′ ( 3 − 5u ) = − ( u + 1) ( u − 2 )
5
.
1  3 − x  3 − x
1

f ′( x) = − 
+ 1÷
− 2 ÷=
( 8 − x) ( x + 7)
5
5
5
125



3
−
5u

=
x
Đặt
, ta có
.

Ta có:

g ( x ) = f ( x3 + m )

g ′ ( x ) = 3x 2 . f ′ ( x 3 + m )

,
x
=
0

g′ ( x) = 0 ⇔ 
3
 f ′ ( x + m ) = 0 , trong đó x = 0 là nghiệm bội chẵn.
 x = 3 −m − 7
 x 3 + m = −7
f ′ ( x3 + m ) = 0 ⇔  3
⇔
 x = 3 − m + 8 .
x + m = 8
Xét phương trình

Page 23
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3
3
g ( x ) = f ( x3 + m )
x
=
−
m
−
7,
x
=
−
m
+
8
Các nghiệm
là các nghiệm bội lẻ nên hàm số
có 2
3
3
điểm cực trị là x = − m − 7, x = −m + 8 .
g ( x ) = f ( x3 + m )
Đồ thị hàm số
có đúng 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng x = 2

 3 −m − 7 < 2
⇔ −15 < m < 0

3
−
m
+
8
>
2

khi 
.
m ∈ { −14; − 13;...; − 1}
S = { −14; − 13;...; − 1}
Do m nguyên nên
hay
.
Vậy tổng các phần tử của tập hợp S bằng −105 .
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn z + 1 ≥ 1 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

( 1+ i) z + i + 2
z +1

M 2 + m2 )
(
m
M
lần lượt là
và . Khi đó giá trị của
bằng:

B. 8 + 4 3.

A. 4.

+) Ta có:

P=

( 1+ i) z + i + 2
z +1

+) Áp dụng bất đẳng thức:

( z + 1) ( 1 + i )
z +1

⇔ 2−

−1

≤P≤

=

C. 6.
Lời giải

( z + 1) ( 1 + i ) + 1 = ( z + 1) ( 1 + i ) + 1
z +1

z +1

z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2

( z + 1) ( 1 + i )

+1

z +1

1
1
≤P≤ 2+
z +1
z +1

D. 2.

⇔ 1+ i −

, ta có:

1
1
≤ P ≤ 1+ i +
z +1
z +1

( 1)

−1
 1
z +1 ≥ 1 ⇒ 
≤ 1;
≥ −1 (2)
z
+
1
z
+
1

Mà:

Từ và ⇒ 2 − 1 ≤ P ≤ 2 + 1
Bây giờ ta xét dấu “=” xảy ra khi nào.
Với

z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ )

, ta có:

a b = a2b1 ; z1 ≥ z 2
 a b = a2b1
• z1 + z2 = z1 + z2 ⇔  1 2
; • z1 − z2 = z1 + z2 ⇔  1 2
 a1a2 + b1b2 ≤ 0
 a1a2 + b1b2 ≥ 0
.

Giả sử:

z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) ⇒ ( z + 1) ( 1 + i ) = ( a + 1 − b ) + ( a + b + 1) i

.

Mà: 1 = 1 + 0.i . Do đó:

Page 24
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
 ( z + 1) ( 1 + i ) + 1 = ( z + 1) ( 1 + i ) + 1
• P = 2 +1 ⇔ 
 z + 1 = 1


2
a=
−1

a + b + 1 = 0
 a + 1 = −b
2

2
2



⇔ a + 1 − b ≥ 0
⇔  −2b ≥ 0 ⇔ b ≤ 0
⇔z=
−1−
i
2
2

 2

2
2
 (a + 1) + b = 1  2b = 1
b = − 2

2
.
 ( z + 1) ( 1 + i ) + 1 = ( z + 1) ( 1 + i ) − 1
• P = 2 −1 ⇔ 
 z + 1 = 1


2
−1
a = −
a + b + 1 = 0
 a + 1 = −b
2



2
2

⇔ a + 1 − b ≤ 0
⇔ −2b ≤ 0 ⇔ b ≥ 0
⇔ z=−
−1+
i
2
2



2
2
2
2b = 1
b = 2
 (a + 1) + b = 1 

2
.
 M = 2 + 1
⇒ M 2 + m2 = 6

m = 2 −1
Vậy: 
.

·
Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AC = a 7, ABC = 30° , AB = AA′ . Gọi

M là trung điểm

của BB′ , khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC ′ bằng a 3 . Thể tích của khối lăng
trụ đứng ABC. A′B′C ′ là
5 3 3
a
A. 3
.

25a3
B. 2 .

25 3a 3
6
C.
.
Lời giải

5 3 3
a
D. 6

Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB .
CH ⊥ ( ABB′A′ ) ⇒ d ( C , ( ABB ′A′ ) ) = CH
Có ABC. A′B′C ′ là hình lăng trụ đứng nên
Page 25
Sưu tầm và biên soạn