đề 9 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

Câu 2:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 09 – MÃ ĐỀ: 109
z
=
1
+
9
i
Cho số phức
. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức đã cho.
M ( 1 ; − 9)
M ( −1 ; 9 )
M ( −1 ; − 9 )
M ( 1 ; 9)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đạo hàm của hàm số
1

y' =
( 2 x + 1) ln 2 .
A.

y = log 2 ( 2 x + 1)
B.

y' =

là

1
2x +1 .

2
C. 2 x + 1 .

D.

2
( 2 x + 1) ln 2

.

1

Câu 3:

Đạo hàm của hàm số
2

1
−
y′ = ( 2 x − 1) 3
3
A.
.
C.

y′ =

y = ( 2 x − 1) 3

là:
1

B.

2
( 2 x − 1)
3
.
4
3

D.

y′ = ( 2 x − 1) 3 ×ln 2 x − 1

y′ =

2
( 2 x − 1)
3

.

2
−
3

.

x

Câu 4:

1
 ÷ <2
Tập nghiệm của bất phương trình  3 
là

1


 log 2 ; + ∞ ÷
3
.
A. 
Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Cho cấp số nhân
A. 33 .

( un )



 −∞ ;log 1 2 ÷
3 .
C. 

có u2 = −6 , u5 = 48 . Tính S5 .
B. −31 .
C. 93 .

Trong không gian hệ tọa độ

Oxyz ,

cho

A ( 1;2;− 1)



 log 1 2; + ∞ ÷

.
D.  3

D. 11 .
;

B ( −1;0;1)

và mặt phẳng

( P ) :x + 2 y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A, B và vng góc với ( P )
( Q ) :2 x − y + 3 = 0 B. ( Q ) :x + z = 0
( Q ) :− x + y + z = 0 D. ( Q ) :3x − y + z = 0
A.
C.

3
2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là điểm nào trong các điểm sau

A.

( 0; −3) .
1

Câu 8:

1


 −∞ ;log 2 ÷
3 .
B. 

Nếu

∫
0

f ( x ) dx = 4

B.

( 3;0 ) .

C.

( −3;0 ) .

D.

( 0;3) .

1

thì

∫ 2 f ( x ) dx
0

bằng
Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. 16 .
Câu 9:

B. 4 .

D. 8 .

C. 2 .

Đường cong trong hình vẽ sau là của đồ thị hàm số nào dưới đây?

3
2
A. y = − x + 3 x − 2.

4
2
4
2
3
2
B. y = − x + x − 2.
C. y = x − x − 2.
D. y = x − 3 x − 2.
2

S ) : x2 + ( y − 2) + z 2 = 9
S
(
Oxyz
Câu 10: Trong khơng gian
, cho mặt cầu
. Bán kính của ( ) bằng
A. 6 .
B. 18 .
C. 3 .
D. 9 .

(

A ( 0; 2;0 ) B ( 2;0;0 ) C 0; 0; 2
, cho tứ diện ABCD có
,
,
D ( 0; −2;0 )
( ABC ) và ( ACD ) là :
và
. Số đo góc của hai mặt phẳng

Câu 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ
0
A. 30 .

Oxyz

0

B. 45 .

0
C. 60 .

)

0
D. 90 .

z1
Câu 12: Cho hai số phức

A. 1 .

z1 = 4 − 3i và z2 = 1 + 2i. Phần thực của số phức z2 bằng
2
11
−
−
B. 5 .
C. 2 .
D. 5 .

Câu 13: Cho khối lập phương có cạnh bằng 6 . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

A. 216 .

B. 18 .

C. 36 .

D. 72 .

AB = a, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC )
Câu 14: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
và SA = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
a3 3
a3 3
a3
A. 3 .
B. 6 .
C. 3 .

2a 3
D. 3 .

I ( 1; 0; 2 )
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng

( S)

P
tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có phương trình là

( x − 1)
A.

2

+ y2 + ( z − 2) = 3

( x + 1)

2

+ y + ( z − 2) = 3

C.

Câu 16: Cho hai số phức

A. 13 .

2

.

( x + 1)
B.

+ y2 + ( z + 2) = 9

.

.

( x − 1)

2

+ y + ( z − 2) = 9

.

2

2

( P ) : x − 2 y + 2 z + 4 = 0 . Mặt cầu

2

D.

2

2

2

z1 = 2 + 3i, z2 = −4 − i . Số phức z = z1 − z2 có mơđun là
B. 2 2 .
C. 2 13 .
D. 2 17 .

Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, đường cao là 2a. Diện tích xung quanh của hình nón

bằng

2
A. 2a .

2
B. 5a .

2
C. 2 5pa .

D.

5pa 2 .

Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

 x = 1 + 2t

d : y = 3−t
z = 1− t

Câu 18: Trong không gian Oxyz , đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
M ( 1;3; −1)
M ( −3;5;3)
M ( 3;5;3)
M ( 1; 2; −3)
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 19: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như sau:

Hàm số đạt cực đại tại
A. 0 .

B. −1 .

C. −2 .

Câu 20: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. y = 1 .

y=

B. x = −1 .


log 3  log 1

 2
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
1 
 ;3 ÷
0;1)
(
A.
.
B.  8  .

D. 1 .

1− x
x + 1 có phương trình là
C. x = 1 .
D. y = −1 .


x ÷< 1

là
1 
 ;1 ÷
C.  8  .

1

 ; +∞ ÷
.
D.  8

Câu 22: Một hộp có 8 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bi sao cho có đúng 1

bi đỏ?
1
1
1
A. C5 .C8 .C4 .
Câu 23: Hàm số

1
2
B. A5 . A12 .

F ( x ) = ex

1
2
C. C5 .C12 .

1
1 1
D. A5 . A8 . A4 .

2

là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:
2

2

2

f ( x) = 2 xe x .

2 x
B. f ( x) = x e − 1 .

ex
f ( x) =
2x .
D.

2x
C. f ( x) = e .

A.
3

Câu 24: Nếu

∫ f ( x ) dx = 4
2

3

thì

∫ 3 f ( x ) − 2 dx
2

A. 10 .
Câu 25: Tìm nguyên hàm

A.

F ( x ) = e 2 x +1 +

B. 6 .

F ( x)

của hàm số

bằng bao nhiêu
C. 14 .

f ( x ) = e 2 x +1 + x 2

3

x e
−
3 2.

B.

thỏa mãn

D. 18 .

F ( 0) =

F ( x ) = e 2 x +1 +

e
2

x3
3 .
Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

C.

F ( x) =

e 2 x +1 x3
+
2
3 .

Câu 26: Cho hàm số

y = f ( x)

e 2 x +1 x3 e
F ( x) =
+

−
2
3 2.
D.

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
Câu 27:

( −2; +∞ ) .

B.

( 0; +∞ ) .

y = f ( x)

Cho hàm số bậc ba
số đã cho bằng bao nhiêu?

A. −1 .

C.

( −∞; −2 ) .

D.

( −2; 2 ) .

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm

B. −2 .

C. 1 .

D. 2 .

log a b = 5, log a c = 7 . Tính giá trị của biểu thức
Câu 28: Cho a, b, c là các số thực dương, a ≠ 1 và
b
 ÷.
c
A. P = −4 .
P = log

a

B. P = 4 .

C. P = −1 .

D. P = 1 .

2
Câu 29: Thể tích của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = − x + 3 x và

y = 0 khi quay quanh trục Ox bằng

81
9
A. 10 .
B. 2 .

9π
C. 2 .

81π
D. 10 .

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt

SAB )
SCD )
phẳng vng góc với đáy. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (
và (
bằng

2 3
A. 3 .

B.

2.

2
C. 3 .

3

D. 3 .

Câu 31: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị là đường cong như bên dưới. Số các giá trị nguyên

7 f ( x) = m
dương của m để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt là

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A. 5 .
Câu 32: Cho hàm số

B. 7 .

C. 8 .

y = f ( x)

( 1; 2 ) .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( 4 − x ) .
2

có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?
A.

D. 6 .

B.

( 3;5) .

C.

Hàm số

( 1; 4 ) .

D.

y = f ( x)

đồng biến

( 0; 2 ) .

Câu 33: Một hộp đựng 11 viên bi ghi số từ 1 đến 11. Người ta lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số

trên viên bi lại với nhau. Xác suất để tổng các số ghi trên 4 viên bi được lấy ra số lẻ bằng
16
31
21
11
.
.

.
.
A. 33 .
B. 32 .
C. 32 .
D. 32
Câu 34: Giả sử phương trình

log 22 x - ( m + 2) log 2 x + 2m = 0

có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa

x - x2
mãn x1 + x2 = 6 . Giá trị của biểu thức 1
là
3
A. 4 .
B. .
C. 8 .
Câu 35: Cho số phức

w = (1+ i) z + 2

với

D. 2 .

1 + iz = z − 2i

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường thẳng ∆ . Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến ∆ bằng
2
A. 0
B. 2 2 .
C. 2 .
D. 2 .

( P ) : 2 x − y − z + 1 = 0 và ( P2 ) : x − 2 y + z − 1 = 0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1
A ( 1; 2;3)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
và song song với hai mặt phẳng trên.
x = 1+ t
x = 1+ t
x = 1+ t
x = 1+ t




y = 2+ t( t ∈¡ )
y = 2 −t( t ∈¡ )
 y = 1 + 2t ( t ∈ ¡ )
 y = 1 + 2t ( t ∈ ¡ )
z = 3 + t
z = 3 + t
 z = 1 + 3t
z = 3 + t
A. 
.

B. 
. C. 
. D. 
.

Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , tìm điểm đối xứng của M ( −2;1; 0) qua đường thẳng

x
y z+7
= =
−2 1
−2 ?
M ′ ( 1; 2;3)
A.
.
d:

B.

M ′ ( 1; 2; −3)

.

C.

M ′ ( −1; −2; −3)

.

D. M ′(6; −3; −10) .

Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a , biết SAB là tam giác đều và nằm

( SCD ) .
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng
a 14
3a 14
a 21
2a 21
7 .
7
A.
B. 6 .
C.
D. 16 .

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 39: Có

bao

nhiêu

số

nguyên

x

của

2 log 3 ( x + y + 1) = log 2 ( x 2 + 2 x + 2 y 2 + 1)

A. 2 .

sao

tồn

tại

số

y

thực

thỏa

mãn

?

B. 1 .

D. 4 .

C. 3 .

f ( x ) = 4 f ( −2 x + 3)
F ( x)
liên tục trên R thỏa
. Gọi
là nguyên hàm của

f ( x)

Câu 40: Cho hàm số

cho

5

F ( 2 ) − F ( 4 ) = 24

f ( x)

trên R và thỏa mãn
A. 10 .
B. 12 .
Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên

trị?
A. 2013.

m ∈ ( −2019; 2019 )

∫ f ( x ) dx

. Khi đó −1
C. −10 .

để hàm số

B. 2014.

bằng
D. −12 .

y = x2 − 4 x + m + 6 x + 1

C. 2015.

D. 2016.

z − 5 + 7i = 197
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất của

z − 4 − 7i + z − 6 + 21i

thuộc tập hợp nào sau đây?
A.

( 20;

)

197 .

B.

[ 30; 40] .

có ba điểm cực

 197; 2 394 

C. 

D.

(2

)

394; 40 .

·
Câu 43: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có BAC = 60° , AB = 3a và AC = 4a . Gọi M là trung

3a 15
( B′AC ) bằng 10 . Thể tích khối
điểm của B′C ′ , biết khoảng các từ M đến mặt phẳng
lăng trụ bằng
3
3

3
3
A. 4a
B. 27a
C. 7a
D. 9a
Câu 44: Cho

hàm

f ( x) + f ′( x) =

hạn bởi đồ thị

y = f ( x)

số

có

đạo

hàm

liên

2x − 5x + 5x
3

(x

2

2

− x + 1)

tục

trên

[ 0;1]

đoạn

và

thỏa

1

2

;

f ( 1) − f ( 0 ) = 2

;

∫ f ( x ) dx = 0

0

( C ) : y = f ( x ) , trục tung và trục hồnh có dạng

2
2
ngun dương. Tính T = a + b .
A. T = 13 .
B. T = 25 .

. Biết diện tích hình phẳng giới
S = ln a − ln b với a, b là các số

D. T = 41 .

C. T = 34 .

Câu 45: Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình

mz 2 + 2 ( m + 1) z − m + 6 = 0

có nghiệm
−
B. 4 .

A. 3 .

z0

thỏa mãn

C. 1 .

z0 = 1

. Tính S .
D. −2 .

I ( 2;1;5 )
(S )
(S )
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 có tâm 2
, bán kính bằng 2 và mặt cầu 1

( P ) thay đổi và luôn tiếp xúc với
. Mặt phẳng
( P ) bằng
2 mặt cầu trên. Khoảng cách nhỏ nhất từ O đến mặt phẳng
9 − 15
9 + 15
9 3 + 15
2 .
2 .
2
A. 15 .
B.
C.
D.
.
có phuong trình:

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 16
2

2

x+ y
x
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 4 = 3

2

+ y2

?
Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. Vô số.

Câu 48: Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường trịn tâm O bán kính R = 5 , góc ở đỉnh bằng 60° . Một

mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt đường trịn đáy tại hai điểm A và B sao cho AB = 6 .
( SAB ) .
Tính khoảng cách từ O đến

20 273
90 .
A.

20 270
91 .
B.

20 271
91 .
C.

Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

20 273
91 .
D.

( S ) :( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 +( z − 1) 2 =

13
2 và

ba điểm A(−1; 2;3) , B (0; 4;6) , C (−2;1;5) ; M ( a; b; c) là điểm thay đổi trên ( S ) sao cho biểu

2
2
2
thức 2 MA + MB − 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a + b + c.
13
a+b+c = .
2
A.
B. a + b + c = 4.
C. a + b + c = 6.
D. a + b + c = 12.
Câu 50: Cho hàm số

f ( x ) = x4 + 2 x2 + 1

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

g ( x) = f ( 3 x − m + m )
−∞ ;1)
số
nghịch biến trên (
?
5
10
11
A. .
B. .
C. .
---------- HẾT ----------

m ∈ [ 0;10]

để hàm

2

D. 9 .

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
11.C
21.C
31.D
41.A

2.D
12.C
22.C
32.B
42.B

3.D
13.A
23.A
33.A
43.B

4.D
14.B
24.A
34.D
44.B

5.A
15.D
25.C
35.B
45.D

6.B
16.C
26.D
36.A
46.B

7.D
17.D
27.D
37.D
47.B

8.D
18.B
28.A
38.A
48.D

9.A
19.A
29.D
39.A
49.C

10.C
20.D
30.A
40.B
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho số phức z = 1 + 9i . Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức đã cho.
M ( 1 ; − 9)
M ( −1 ; 9 )
M ( −1 ; − 9 )
M ( 1 ; 9)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

z = 1 + 9i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M ( 1 ; 9 ) .
Câu 2:

Đạo hàm của hàm số
1
y' =
( 2 x + 1) ln 2 .
A.

y = log 2 ( 2 x + 1)
B.

1
2x +1 .

( 2 x + 1) '
( log ( 2 x + 1) ) ' = 2 x + 1 ln 2 =
(

2

Ta có

y' =

là

)

2
C. 2 x + 1 .
Lời giải

2
( 2 x + 1) ln 2

D.

2
( 2 x + 1) ln 2

.

.

1

Câu 3:

Đạo hàm của hàm số
2
1
−
y′ = ( 2 x − 1) 3
3
A.
.
C.

y′ =

y = ( 2 x − 1) 3

2
( 2 x − 1)
3
.

là:
1

B.

4
3

D.

y′ = ( 2 x − 1) 3 ×ln 2 x − 1

y′ =

2
( 2 x − 1)
3

.

2

−
3

.
Lời giải

Ta có:

y′ =

2
2
1
2
−
−
( 2 x − 1) 3 ×( 2 x − 1) ′ = ( 2 x − 1) 3
3
3
.
x

Câu 4:

1
 ÷ <2
Tập nghiệm của bất phương trình  3 
là

1



 log 2 ; + ∞ ÷
3
.
A. 

1

 −∞ ;log 2 ÷
3 .
B. 



 −∞ ;log 1 2 ÷
3 .
C. 
Lời giải



 log 1 2; + ∞ ÷
.
D.  3

x

1
 ÷ < 2 ⇔ x > log 1 2

3
3
.

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023



S =  log 1 2; +∞ ÷
3

.
Vậy tập nghiệm
Câu 5:

Cho cấp số nhân
A. 33 .

( un )

có u2 = −6 , u5 = 48 . Tính S5 .
B. −31 .
C. 93 .
Lời giải

D. 11 .

u1.q = −6
u1.q = −6 u1 = 3
⇒
⇒


u1.q 4 = 48 q3 = −8
q = −2 .

Ta có
S5 =

3 ( 1 − (−2)5 )

Vậy
Câu 6:

1 − ( −2 )

= 33

.

Trong không gian hệ tọa độ

Oxyz ,

A ( 1;2;− 1)

cho

;

B ( −1;0;1)

và mặt phẳng

( P ) :x + 2 y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A, B và vng góc với ( P )
( Q ) :2 x − y + 3 = 0 B. ( Q ) :x + z = 0
( Q ) :− x + y + z = 0 D. ( Q ) :3x − y + z = 0
A.
C.
Lời giải

uuur
r
AB = ( −2; −2; 2 ) = −2 ( 1;1;− 1) , u = ( 1;1; − 1)
uuur
n( P ) = ( 1;2;− 1)
uuur
uuu
r uuur
n( Q ) =  AB,n( P )  = ( 1;0;1)

Vậy
Câu 7:

( Q ) :x + z = 0 .

3

2
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là điểm nào trong các điểm sau

A.

( 0; −3) .

B.

( 3;0 ) .

C.

( −3;0 ) .

D.

( 0;3) .

Lời giải
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ

( 0;3) .
Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1

Câu 8:

∫ f ( x ) dx = 4

Nếu
A. 16 .
0

1

thì

∫ 2 f ( x ) dx
0

bằng

B. 4 .

D. 8 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn D

Ta có:
Câu 9:

1

1

0

0

∫ 2 f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx = 2.4 = 8

.

Đường cong trong hình vẽ sau là của đồ thị hàm số nào dưới đây?

3
2
A. y = − x + 3 x − 2.

4
2
4
2
B. y = − x + x − 2.
C. y = x − x − 2.
Lời giải

3
2
D. y = x − 3 x − 2.

3

2
Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra hàm số là hàm đa thức bậc 3 có dạng y = ax + bx + cx + d .

Mặt khác

lim y = −∞ ⇒ a < 0

x →+∞

nên chọn đáp án A .

( S ) : x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 9 . Bán kính của ( S ) bằng
Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu
2

A. 6 .

B. 18 .

Bán kính của

( S)

C. 3 .
Lời giải

D. 9 .

là R = 9 = 3 .

(

A ( 0; 2;0 ) B ( 2;0;0 ) C 0; 0; 2
, cho tứ diện ABCD có
,
,
D ( 0; −2;0 )
( ABC ) và ( ACD ) là :
và
. Số đo góc của hai mặt phẳng

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
0
A. 30 .

Oxyz

0
B. 45 .

0

C. 60 .
Lời giải
uu
r

)

0

D. 90 .

uuur uuuu
r

n = éA B ; AC ù
= - 2 2;- 2 2;- 4)
ú
ë
û (
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là 1 ê
.
uu
r

uuu
r uuur

n = éAC; AD ù
= 4 2;0;0)
ú
ë
û (
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( A CD ) là 2 ê
.

Gọi

j

là góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ACD) .

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
ur uu
r
cosj = cos n1, n2 =

(

Ta có

)

(- 2

( - 2 2) .4 2
2) +( - 2 2) + 4 . ( 4 2)
2

2

2

2

=

1
® j = 600
2

.

z1
Câu 12: Cho hai số phức

A. 1 .

z1
Ta có z2

=

z1 = 4 − 3i và z2 = 1 + 2i. Phần thực của số phức z2 bằng
2
11
−
−
B. 5 .
C. 2 .
D. 5 .
Lời giải

4 − 3i (4 − 3i )(1 + 2i ) 10 + 5i
=
=
= 2 + i.

1 − 2i (1 − 2i )(1 + 2i ) 12 + 22
z1

Vậy phần thực của số phức z2 là 2.
Câu 13: Cho khối lập phương có cạnh bằng 6 . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

A. 216 .

B. 18 .

C. 36 .
Lời giải

D. 72 .

3
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 6 là V = 6 = 216 .

AB = a, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC )
Câu 14: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
và SA = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
a3 3
a3 3
a3
A. 3 .
B. 6 .
C. 3 .
Lời giải

2a 3

D. 3 .

2
2
2
2
Ta có BC = AC − AB = 3a ⇒ BC = a 3 .

1
1 1
1
a3 3
VS . ABC = S ∆ABC .SA = . AB.BC.SA = .a.a 3.a =
3
3 2
6
6 .
Vậy

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
I ( 1; 0; 2 )
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng

( S)

P

tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có phương trình là

( x − 1)

2

A.
C.

( x + 1)

2

+ y2 + ( z − 2) = 3

( x + 1)

2

B.

+ y2 + ( z + 2) = 9

.

D.

( x − 1)

2

+ y 2 + ( z − 2) = 9

.

2

+ y2 + ( z − 2) = 3

.

2

.

( P ) : x − 2 y + 2 z + 4 = 0 . Mặt cầu
2

2

Lời giải
d ( I;( P) ) =

1 − 2.0 + 2.2 + 4

Ta có
Khi đó mặt cầu

1 + ( −2 ) + 2

( S)

2

2

có tâm

A. 13 .

=3

.

I ( 1;0; 2 )

( S ) : ( x − 1)
Phương trình mặt cầu
Câu 16: Cho hai số phức

2

2

và bán kính R = 3 .

+ y2 + ( z − 2) = 9
2

.

z1 = 2 + 3i, z2 = −4 − i . Số phức z = z1 − z2 có mơđun là
B. 2 2 .
C. 2 13 .
D. 2 17 .
Lời giải

Ta có

z = z1 − z2 = 6 + 4i ⇒ z = 62 + 42 = 2 13.

Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, đường cao là 2a. Diện tích xung quanh của hình nón

bằng
2
A. 2a .

2
B. 5a .

2
C. 2 5pa .
Lời giải

D.

5pa 2 .

l = r 2 + h 2 = a 2 + ( 2a ) = a 5
2

S xq = π rl = π aa 5 = 5π a 2

 x = 1 + 2t

d : y = 3−t
z = 1− t

Câu 18: Trong không gian Oxyz , đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
M ( 1;3; −1)
M ( −3;5;3)
M ( 3;5;3)
M ( 1; 2; −3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
 x = 1 + 2 ( −2 ) = −3

 y = 3 − ( −2 ) = 5

z = 1 − ( −2 ) = 3
Với t = −2 , ta có 
.

Vậy

M ( −3;5;3) ∈ d

Câu 19: Cho hàm số

.

y = f ( x)

có đồ thị như sau:

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Hàm số đạt cực đại tại
A. 0 .

B. −1 .

C. −2 .

D. 1 .

Lời giải
Ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Câu 20: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. y = 1 .

B. x = −1 .

1− x
x + 1 có phương trình là
C. x = 1 .
D. y = −1 .
Lời giải

y=

Tập xác định: D = ¡ \{−1} .
Đồ thị hàm số có TCN : y = −1 .


log 3  log 1
 2
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
1 
 ;3 ÷
( 0;1) .
A.
B.  8  .


x ÷< 1

là

1 
 ;1 ÷
C.  8  .

1

 ; +∞ ÷
.
D.  8

Lời giải
0
3


log 3  log 1 x ÷ < 1 ⇔ 0 < log 1 x < 31 ⇔  1 ÷ > x >  1 ÷ ⇔ 1 > x > 1
2
2
 2 
8.
2
Ta có

1 
S =  ;1÷
8 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 22: Một hộp có 8 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bi sao cho có đúng 1

bi đỏ?

1
1
1
A. C5 .C8 .C4 .

1
2
B. A5 . A12 .

1

2

C. C5 .C12 .
Lời giải.

1
1 1
D. A5 . A8 . A4 .

Chọn C
1
 Chọn 1 bi đỏ có C5 cách.

Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
 Chọn 2 bi cịn lại có C12 cách.

1
2
Theo quy tắc nhân, ta có C5 .C12 cách chọn thỏa yêu cầu.

Câu 23: Hàm số

F ( x ) = ex

2

là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:
2

2

2

x
. f ( x) = 2 xe .

2 x
B. f ( x) = x e − 1 .

ex
f ( x) =
2x .
D.

2x
C. f ( x) = e .

A
Lời giải
Chọn A

( ) ′ = 2 xe

x
f ( x) = F′( x) ⇒ f ( x) = e

Ta có
3

Câu 24: Nếu

f ( x) dx = 4

∫

2

x2

.

3

thì

∫ 3f ( x) − 2 dx

2

A. 10 .

Ta có:

2

B. 6 .

bằng bao nhiêu
C. 14 .
Lời giải

3

3

3

2

2

2

D. 18 .

∫ 3f ( x) − 2 dx = 3∫ f ( x) dx − 2∫ dx = 10

Câu 25: Tìm nguyên hàm

F ( x)

của hàm số

f ( x ) = e 2 x +1 + x 2

thỏa mãn

F ( 0) =

e
2

x e
x3
2 x +1
F ( x) = e
+ −
F ( x) = e +
3 2.
3 .
A.
B.
e 2 x +1 x3
e 2 x +1 x3 e
F ( x) =
+
F ( x) =

+
−
2
3 . D.
2
3 2.
C.
Lời giải
2 x +1

Ta có

F ( x) =

Câu 26: Cho hàm số

3

e 2 x +1 x 3
e 2 x +1 x 3
e
+ +C
F ( x) =
+
F ( 0) = ⇒ C = 0
2
2
3
2
3 .

mà
. Vậy

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

( −2; +∞ ) .

B.

( 0; +∞ ) .

( −∞; −2 ) .
C.
Lời giải

D.

( −2; 2 ) .
Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 27:

y = f ( x)

Cho hàm số bậc ba
số đã cho bằng bao nhiêu?

A. −1 .

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm

B. −2 .

Từ đồ thị ta có hàm số

y = f ( x)

( −2; 2 ) .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

đạt cực đại tại x = −1 và giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

2.
log a b = 5, log a c = 7 . Tính giá trị của biểu thức
Câu 28: Cho a, b, c là các số thực dương, a ≠ 1 và
b
 ÷.
c

A. P = −4 .
P = log

Ta có

a

P = log

a

B. P = 4 .
b
 ÷ = log 12
a
c

C. P = −1 .
Lời giải

D. P = 1 .

b
b
 ÷ = 2 log a  ÷ = 2 ( log a b − log a c ) = 2 ( 5 − 7 ) = −4.
c
c

2
Câu 29: Thể tích của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = − x + 3 x và

y = 0 khi quay quanh trục Ox bằng
81
9
A. 10 .
B. 2 .

9π
C. 2 .
Lời giải

81π
D. 10 .

x = 0

2
Phương trình hồnh độ giao điểm. − x + 3 x = 0 ⇔  x = 3 .
3

Ta có. V =

π ∫ ( − x 2 + 3 x ) dx
2

0

81π
= 10 .

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt

SAB )
SCD )
phẳng vng góc với đáy. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (
và (
bằng

2 3
A. 3 .

B.

2.

2
C. 3 .

3
D. 3 .
Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải

Gọi H là trung điểm AB
Ta có: H là trung điểm AB thì SH ⊥ AB
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
⇒ SH ⊥ ( ABCD )


SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB
(


Mà
 AB PCD
⇒ ( SAB ) ∩ ( SCD ) = Sx // AB // CD

S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )


Mặt khác

( SAB ) ∩ ( SCD ) = Sx

·
·
( SAB ) ⊃ SH ⊥ Sx ⇒ ( SAB ) , ( SCD ) = HSK

( SCD ) ⊃ SK ⊥ Sx
Mà 
, với K là trung điểm CD .

(

Xét tam giác HSK vng tại H có:

(

)

·
tan HSK
=

HK 2 3
=
SH
3

)

2 3
⇒ tan (·SAB ) , ( SCD ) =
3 .
Câu 31: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị là đường cong như bên dưới. Số các giá trị nguyên

7 f ( x) = m
dương của m để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt là

A. 5 .

B. 7 .

C. 8 .
Lời giải

D. 6 .

Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Ta có
7 f ( x) = m ⇔ f ( x) =

m
7

 y = f ( x)


m
y =
7
Số nghiệm của phương trình là là số giao điểm của đồ thị hai hàm số 
.

Dựa vào đồ thị hàm số
⇔1<

Suy ra

y = f ( x)

và đồ thị của hàm số

y=

m
⇒
7
PT có 4 nghiệm phân biệt

m
< 2 ⇔ 7 < m < 14
7
, mà m là số nguyên dương.

m ∈ { 8;9;10;11;12;13}

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

A.

( 1; 2 ) .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( 4 − x ) .
2

có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?
B.

( 3;5) .

f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( 4 − x )

Ta có

( 1; 4 ) .

C.
Lời giải
2

Hàm số
D.

y = f ( x)

đồng biến

( 0; 2 ) .

x = 1
= 0 ⇔  x = 2
 x = 4

Bảng xét dấu đạo hàm

( −∞;1) ; ( 2; +∞ ) .
Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 33: Một hộp đựng 11 viên bi ghi số từ 1 đến 11. Người ta lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số
trên viên bi lại với nhau. Xác suất để tổng các số ghi trên 4 viên bi được lấy ra số lẻ bằng

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
16
.
A. 33 .

31
.
B. 32 .

Không gian mẫu

21
.
C. 32 .
Lời giải

11
.
D. 32

4
n(W) = C 11
.

Gọi A : “ Tổng các số ghi trên 4 viên bi được lấy ra số lẻ”
Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ, 5 số chẵn.
1

3

C .C .
Trường hợp 1: Chọn 1 viên số lẻ, 3 viên số chẵn có 6 5
3

1

C .C .
Trường hợp 2 : Chọn 3 viên số lẻ 1 viên số chẵn: 6 5

Xác suất

1
3
3
1
n(A) C 6.C 5 +C 6 .C 5 16
P (A) =
=
= .
4
n(W)
33
C 11

Câu 34: Giả sử phương trình

.

log 22 x - ( m + 2) log 2 x + 2m = 0

có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa

x - x2
mãn x1 + x2 = 6 . Giá trị của biểu thức 1
là
A. 4 .
B. 3 .
C. 8 .
Lời giải

D. 2 .

Đk: x > 0 .
2
Đặt t = log 2 x . Khi đó ta có phương trình: t - (m + 2)t + 2m = 0 .

Û t 2 - mt - 2t + 2m = 0 Û t (t - m) - 2(t - m) = 0 Û (t - 2)(t - m) = 0 .

ét = 2
Û ê
Û
êt = m
ë

élog 2 x = 2
ê
Û

êlog 2 x = m
ë

éx = 4
ê
êx = 2m
ë
.

2
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 Û phương trình t - (m + 2)t + 2m = 0 có hai
nghiệm phân biệt Û m ¹ 2 .

Ta có:

x1 + x2 = 6 Û 4 + 2 m = 6 Û m = 1 .

Þ x1 - x2 = 4 - 2 = 2
Câu 35: Cho số phức

.

w = (1+ i) z + 2

với

1 + iz = z − 2i

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w là đường thẳng ∆ . Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến ∆ bằng

2
A. 0
B. 2 2 .
C. 2 .
D. 2 .
Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải

Ta có

1+ i

w−2
1 + i , thay vào 1 + iz = z − 2i ta được:

w = (1+ i) z + 2 ⇔ z =

i ( w − 2) +1 + i
w−2 w−2
w − 2 − 2i − 2i 2
=
− 2i ⇔
=
⇔ i ( w − 2 ) + 1 + i = w − 2i
1+ i
1+ i
1+ i

1+ i

1+ i 

⇔ iw − 2+
÷ = w − 2i ⇔ w − 2 + 1 − i = w − 2i ⇔ w − 1 − i = w − 2i
i 

Gọi

w = x + yi ( x, y ∈ ¡

) , từ ( 1)

ta có

x + yi − 1 − i = x + yi − 2i

( 1)

.

⇔ ( x − 1) + ( y − 1) i = x + ( y − 2 ) i ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x − y + 1 = 0
.
2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng ∆ : x − y + 1 = 0.

d ( A, ∆ ) =
Khi đó

1 − ( −2 ) + 1
12 + ( −1)

2

= 2 2.

( P ) : 2 x − y − z + 1 = 0 và ( P2 ) : x − 2 y + z − 1 = 0 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1
A ( 1; 2;3)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
và song song với hai mặt phẳng trên.
x = 1+ t
x = 1+ t
x = 1+ t
x = 1+ t




y = 2+ t( t ∈¡ )
y = 2 −t( t ∈¡ )
 y = 1 + 2t ( t ∈ ¡ )
 y = 1 + 2t ( t ∈ ¡ )
z = 3 + t

z = 3 + t
 z = 1 + 3t
z = 3 + t
A. 
.
B. 
. C. 
. D. 
.
Lời giải
ur
P1 ) : n1 = ( 2; − 1; − 1)
(
Véc tơ pháp tuyến
;
ur
P2 ) : n1 = ( 1; − 2;1)
(
Véc tơ pháp tuyến
.
Véc tơ chỉ phương đường thẳng

r
ur uu
r
d : u =  n1 , n2  = ( −3; −3; − 3)

.

A ( 1; 2;3)

( 1;1;1) có phương trình:
Đường thẳng d đi qua
, véc tơ chỉ phương

x = 1+ t

y = 2+ t( t ∈¡
z = 3 + t


)
.

Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , tìm điểm đối xứng của M ( −2;1; 0) qua đường thẳng

d:

x
y z+7
= =
−2 1
−2 ?
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A.

M ′ ( 1; 2;3)

.

B.

M ′ ( 1; 2; −3)

.
C.
Lời giải

M ′ ( −1; −2; −3)

D. M ′(6; −3; −10) .

.

Gọi H là hình chiếu của M lên d .
uuuu
r
Do H ∈ d ⇒ H ( −2t ; t; −7 − 2t ) ⇒ MH = ( −2t + 2; t − 1; −7 − 2t ) .
uu
r
ud = (−2;1; −2)
d
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
.
uuuur r
Đường thẳng MH vng góc với d ⇔ MH ⊥ u d .
uuuur r
⇔ MH .u d = 0 ⇔ (−2t + 2).(−2) + (t − 1).1 + (−7 − 2t ).(−2) = 0 ⇔ t = −1 .

Suy ra H (2; −1; −5) .
Khi đó, H là trung điểm MM ′ với M ′ là điểm đối xứng cần tìm.

 xM ′ = 2 x H − x M
 xM ′ = 6


 yM ′ = 2 yH − yM ⇔  yM ′ = −3 ⇒ M ′(6; −3; −10)
z = 2z − z
 z = −10
 M′
H
M
 M′
.
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a , biết SAB là tam giác đều và nằm

( SCD ) .
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng
a 14
3a 14
a 21
2a 21
7 .
7
A.
B. 6 .
C.
D. 16 .

Lời giải

Ta có

d ( A; ( SCD ) ) = d ( I ; ( SCD ) )

Gọi E là trung điểm CD .
d ( I ; ( SCD ) ) = IH =
Dựng IH ⊥ SE thì ta có

IE .IS
IE 2 + IS 2

=

2 a.a 3

( 2a )

2

(

+ a 3

)

2

=

2a 21
7
.
Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 39: Có

bao

nhiêu

số

nguyên

x

của

2 log 3 ( x + y + 1) = log 2 ( x 2 + 2 x + 2 y 2 + 1)

A. 2 .

Đặt

sao

cho

tồn

tại

số

thực

y

thỏa

mãn

?

B. 1 .

D. 4 .

C. 3 .
Lời giải

2 log 3 ( x + y + 1) = log 2 ( x 2 + 2 x + 2 y 2 + 1) = 2t

 x + y + 1 = 3t
 x + y + 1 = 3t
⇒ 2

⇔
2
2
t
2
t
( x + 1) + 2 y = 4 .
 x + 2 x + 2 y + 1 = 4
2

2
1
3
2

  1
9t = ( x + 1) + y  = 1. ( x + 1) +
. 2 y  ≤ 1 + ÷( x + 1) + 2 y 2  = .4t


2
2

  2
Ta có:

t

1
9 3

⇒ ÷ ≤ ⇒t ≤
2.
4 2

Lại có

( x + 1)

2

1
2

+ 2 y = 4 ⇒ ( x + 1) ≤ 4 ≤ 4 = 2 ⇒ x ∈ { −2; −1;0}
2

2

t

t

.

2 log 3 ( y + 1) = log 2 ( 2 y 2 + 1)
Nếu x = 0 ta có phương trình
. Ta thấy phương trình này có

nghiệm y = 0 .
Nếu x = −1 ta có phương trình

t
log 4 2
 y = 3
t
t
9
2 log 3 y = log 2 2 y = 2t ⇒  2
⇒
2.9
=
4
⇒
t
=
log
2
⇒
y
=
3
4
t
2 y = 4
9
.
2

log 4 2

Ta thấy phương trình này có nghiệm y = 3

9

.

(

)

2 log 3 ( y − 1) = log 2 2 y 2 + 1 = 2t
Nếu x = −2 ta có phương trình

 y − 1 = 3t
⇒ 2
⇒ 2.9t + 4.3t + 3 = 4t ( *)
t
2 y + 1 = 4
.
t
2
t
t
VT ( *) > 4t
4
=
2
y
+
1
≥

1
⇒
t
≥
0
⇒
2.9
>
4
Ta có
. Suy ra
nên phương trình vơ nghiệm.

Vậy có 2 giá trị nguyên của
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

x

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

f ( x ) = 4 f ( −2 x + 3)
F ( x)
liên tục trên R thỏa
. Gọi
là nguyên hàm của
5

∫

F ( 2 ) − F ( 4 ) = 24
trên R và thỏa mãn
. Khi đó −1
A. 10 .
B. 12 .
C. −10 .
f ( x)

f ( x ) dx

bằng
D. −12 .
Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
f ( x ) = 4 f ( −2 x + 3) ⇒ ∫ f ( x ) dx =4 ∫ f ( −2 x + 3 ) dx ⇒ F ( x ) = −2 F ( −2 x + 3) + C

Ta có:

 F ( 2 ) = −2 F ( 1) + C

F ( 4 ) = −2 F ( 5 ) + C ⇒ F ( 2 ) − F ( 4 ) = 2 ( F ( 5 ) − F ( 1) ) ⇒ F ( 5 ) − F ( 1) = 12
Từ đó có: 
5

Vậy

∫ f ( x ) dx = F ( x )

1

5
1

Câu 41: Có bao nhiêu số nguyên

trị?
A. 2013.

= F ( 5 ) − F ( 1) = 12

m ∈ ( −2019; 2019 )
B. 2014.

.
để hàm số

y = x2 − 4 x + m + 6 x + 1

C. 2015.
Lời giải

có ba điểm cực

D. 2016.

Cách 1:
2
Ta thấy khi x − 4 x + m ≥ 0 với mọi x ∈ ¡ thì hàm số y chỉ có duy nhất 1 cực trị. Do đó để

2
x
hàm số đã cho có 3 cực trị thì x − 4 x + m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt 1 , x2 hay m < 4 .

 x 2 + 2 x + m + 1
khi x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ )
y= 2
− x + 10 x − m + 1 khi x ∈ ( x1 ; x2 )
Khi đó hàm số
.
2
Do đó để y có 3 cực trị thì điểm cực đại xCD = 5 của hàm số y = − x + 10 x − m + 1 thuộc

khoảng

( x1; x2 )

hay

x1 < 5 < x2

⇔ ( x1 − 5 ) ( x2 − 5 ) < 0 ⇔ x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 25 < 0 ⇔ m − 5.4 + 25 < 0 ⇔ m < −5
.
Kết hợp điều kiện ta được m < −5 .
+ Mà

m ∈ ( −2019; 2019 )

m ∈ { −2018; −2017;…; −7; −6}
và m ∈ Z nên

. Suy ra số giá trị m

thỏa mãn là 2013 .
Cách 2:
+ Đặt

g ( x ) = x2 − 4 x + m

.

g ( 5 ) < 0 ⇔ 5 + m < 0 ⇔ m < −5
+ Điều kiện để y có ba điểm cực trị là
.
+ Mà

m ∈ ( −2019; 2019 )

m ∈ { −2018; −2017;…; −7; −6}
và m ∈ Z nên
. Suy ra số giá trị m

thỏa mãn là 2013 .

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

z − 5 + 7i = 197
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất của

z − 4 − 7i + z − 6 + 21i

thuộc tập hợp nào sau đây?
A.

( 20;

)

197 .

B.

[ 30; 40] .

 197; 2 394 

C. 

D.

(2

)

394; 40 .

Lời giải

Gọi

M ( x; y )

là điểm biểu diễn số phức z

M ∈ ( C ) : ( x − 5) + ( y + 7 ) = 197
2

Suy ra,
Gọi

A ( 4;7 ) , B ( 6; −21)

. Ta thấy

2

có tâm

I ( 5; −7 )

A, B ∈ ( C )

( C) .
Mặt khác, AB = 2 197 = 2 R ⇒ AB là đường kính của đường tròn
M ∈ ( C ) : MA2 + MB 2 = AB 2 = 788

( MA + MB )
Ta có:

2

≤ 2 ( MA2 + MB 2 ) = 2.788 = 1576

⇒ MA + MB ≤ 1576 = 2 394
Ta có:

z − 4 − 7i + z − 6 + 21i = MA + MB ≤ 2 394

Vậy giá trị lớn nhất của

z − 4 − 7i + z − 6 + 21i

bằng 2 394 ≈ 39,69.

Dấu " = " xảy ra khi MA = MB
·
Câu 43: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có BAC = 60° , AB = 3a và AC = 4a . Gọi M là trung
điểm của B′C ′ , biết khoảng các từ M đến mặt phẳng
lăng trụ bằng
3
3
3
A. 4a
B. 27a
C. 7a
Lời giải

( B′AC )

3a 15
bằng 10 . Thể tích khối
3
D. 9a

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

d ( M ; ( B′AC ) )

d ( B; ( B′AC ) )
Gọi B′C ∩ BM = G , ta có:

=

MG B′M 1
3a 15
=
= ⇒ d ( B; ( B′AC ) ) =
BG
BC 2
5

.

AC ⊥ ( BB′K ) ⇒ ( B′AC ) ⊥ ( BB′K )
Kẻ BK ⊥ AC , mà AC ⊥ BB′ nên

.

( B′AC ) ∩ ( BB′K ) = B′K , trong mp ( B′BK )
Do đó:

d ( B; ( B′AC ) ) = BH =

∆AKB vuông tại K nên

BH ⊥ ( B′AC )
kẻ BH ⊥ B′K , khi đó:
.

3a 15
5 .

BK = AB.sin 60o = 3a.

3 3a 3
=
2
2 .

1
1
1
1
1
1
=

+
⇔
=
+
⇔ BB′ = 3a 3
2
2
2
2
2
BH
BK
BB′
BB′2
 3a 15 
 3a 3 

÷ 
÷
 5 
 2 
Mặt khác:
.

1
V = BB′.S∆ABC = 3a 3. .3a.4a.sin 60o = 27 a 3
2
Vậy
.
Câu 44: Cho

hàm

f ( x) + f ′( x) =

hạn bởi đồ thị

y = f ( x)

số

có

đạo

hàm

liên

2 x3 − 5 x2 + 5 x

(x

2

− x + 1)

tục

trên

đoạn

[ 0;1]

và

thỏa

1

2

;

f ( 1) − f ( 0 ) = 2

;

∫ f ( x ) dx = 0
0

( C ) : y = f ( x ) , trục tung và trục hồnh có dạng

2
2
nguyên dương. Tính T = a + b .
A. T = 13 .
B. T = 25 .

C. T = 34 .
Lời giải

. Biết diện tích hình phẳng giới
S = ln a − ln b với a, b là các số

D. T = 41 .

Chọn B
Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
f ( x) + f ′( x) =

Ta có
⇒ ∫ f ( x ) dx +

⇒ ∫ f ( x ) dx +

⇒∫

∫

2 x3 − 5 x 2 + 5x

(x

2

− x + 1)

f ′ ( x ) dx = ∫

∫ f ′ ( x ) dx = ∫

2

=

( 2 x − 1) ( x 2 − x + 1) − 2 x 2 + 2 x + 1

(x

2

− x + 1)

2

2x −1
2 x2 − 2 x − 1
d
x
−
∫ x 2 − x + 1 2 dx
x2 − x + 1
(
)
d ( x 2 − x + 1)

x2 − x + 1

2x2 − 2x −1
−∫

( 2 x − 1)

2
2

 x2 − x + 1 

÷
 2x −1 

dx

 x2 − x + 1 
d

÷
d ( x 2 − x + 1)
2x −1 
2x −1

f ( x ) dx + f ( x ) = ∫ 2
−∫
= ln ( x 2 − x + 1) + 2
+C
2

2
x − x +1
x − x +1
 x − x +1 

÷
 2x −1 
.

Mặt khác, ta có
1
 1 2x −1
1
dx = ln ( x 2 − x + 1) = 0 = ∫ f ( x ) dx
∫ 2
0
0
0 x − x +1

 2 x − 1  1
 2
÷ = 1 − ( −1) = 2 = f ( 1) − f ( 0 )
 x − x + 1  0
 2x −1
dx = ln ( x 2 − x + 1) + C
∫ 2
x
−
x
+

1


nên suy ra

1
2

S =∫

Do đó

0

C = 0


2x −1
f ( x) = 2

x − x +1 .


1
2x −1
4
2
a = 4
dx = − ln ( x − x + 1) 2 = ln = ln 4 − ln 3
2


x − x +1
3
0
. Suy ra b = 3 .

2
2
Vậy T = a + b = 25 .

Câu 45: Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình

mz 2 + 2 ( m + 1) z − m + 6 = 0

A. 3 .

Xét phương trình

có nghiệm
B. −4 .

z0

thỏa mãn
C. 1 .
Lời giải

mz 2 + 2 ( m + 1) z − m + 6 = 0

z0 = 1

. Tính S .
D. −2 .

.

2 z + 6 = 0 ⇔ z = −3 ⇒ z = 3
TH1: m = 0 ⇒ Phương trình đã cho có dạng
khơng thõa mãn.
TH2: m ≠ 0

Page 25