đề 11 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 11 – MÃ ĐỀ: 111
Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Cho số phức z = −4 + 5i . Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ
−4;5 )
−4; −5 )
4; −5 )
A. (
B. (
C. (
( 0;+∞ ) , đạo hàm của hàm số y = log 2 x là:
Trên khoảng
1
ln 2
1
y' =
y' =
y' =

x ln 2 .
x .
x.
A.
B.
C.
Trên khoảng
3 23
y′ = x
5 .
A.

y' =

1
2x .

5
3

( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số

y = x là

3 83
y′ = x
8 .
B.

5 − 23

y′ = x
3
C.
.

5 23
y′ = x
3 .
D.

M ( 2;1; −3) N ( 1;0;2 ) P ( 2; −3;5 )
Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm
,
;
. Tìm một vectơ pháp
r
( MNP ) .
n
tuyến của mặt phẳng
r
r
n ( 12; 4;8 )
n ( 8;12; 4 )
.

B.

.

C.

r
n ( 3;1; 2 )

.

D.

r
n ( 3; 2;1)

.

ax + b
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là
y=

A.

( 0; 2 ) .
2

Câu 8:

D.

( 4;5)

x+ 2
Tập nghiệm của bất phương trình 3 < 27 là
( −∞;1] .
( −∞ ; 7 ) .
( −∞ ; −1) .
( − ∞;1) .
A.
B.
C.
D.
( u ) u = 5, q = 2 . Số hạng thứ 6 của cấp số nhân đó là
Cho cấp số nhân n có 1
1
A. 160 .
B. 25 .
C. 32 .
D. 160 .

A.
Câu 7:

D.

∫

f ( x ) dx = 6

Biết 1
A. I = 5 .

B.
5

,

∫
2

( 2;0 ) .

f ( x ) dx = 1

, tính
B. I = −5 .

C.

( 0; − 2 ) .

D.

( 1; 0 ) .

5

I = ∫ f ( x ) dx
1

.
C. I = 7 .

D. I = 4 .

Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 9:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
3
A. y = x − 3x + 1 .
3
2
C. y = − x − 3x − 1 .

3
B. y = x − 3 x − 1 .
3
2
D. y = − x + 3 x + 1 .

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + ( z − 2)

2

= 25

( S ) là
Tâm và bán kính của mặt cầu
( 0; 2;0 ) , R = 25 .
( 0;0;5) , R = 25 .
A.
B.
( 0;0; −2 ) , R = 5 .
( 0;0; 2 ) , R = 5 .
C.
D.

.

( Oxy ) và ( Oxz ) bằng
Câu 11: Trong khơng gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng
o
A. 30

o
B. 45

o
C. 60

o
D. 90

2
Câu 12: Cho số phức z = 7 + 6i , phần ảo của số phức z bằng

A. 13 .

C. 6 .
Câu 13: Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V là
3
A. V = 4a .

B. 84 .

D. 48 .

3
B. V = a .

8a 3
V=
3 .
D.

3
C. V = 8a .

Câu 14: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc và AB = AC = 2a, AD = 3a . Thể

tích V của khối tứ diện đó là:
3
A. V = 4a .

3

B. V = 2a .

3
D. V = 3a .

3
C. V = a .

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 16 đi qua điểm nào dưới
Câu 15: Trong không gian Oxyz , mặt cầu
đây?
Q ( −2; −1; −1)
N ( −2; −1;3)
M ( 2;1; −3)
P ( 2;1;1)
A. Điểm
. B. Điểm
. C. Điểm
. D. Điểm
.
2

Câu 16: Phần ảo của số phức z = −3i + 1 bằng
A. 1 .
B. −3 .

2

C. 3 .

2

D. −1 .

Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 6 . Diện tích xung quanh của hình

nón đã cho bằng
A. 6π .

C. 36π .
D. 18π .
 x = 1 + 2t

d :  y = 2 − 2t
 z = −3 − 3t

Câu 18: Trong không gian Oxyz , đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Q ( 2; 2;3)
N ( 2; −2; −3)
M ( 1; 2; −3)
P ( 1; 2;3)
A. Điểm
.
B. Điểm
. C. Điểm
. D. Điểm
.
4
2

Câu 19: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ thị
hàm số đã cho có tọa độ là
B. 108π .

Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

−1

y

1
x

O
−3
A. (−1; −4) .

−4

B. (0; −3) .

C. (1; −4) .

D. (−3; 0) .

2x + 4
x − 1 là đường thẳng có phương trình

Câu 20: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x = 1 .
B. x = −1 .
C. x = 2 .
D. x = −2 .
y=

Câu 21: Nghiệm của bất phương trình

A. x > 9 .

log 2 ( x − 1) > 3

B. 1 < x < 9 .

C. x > 10 .

D. 1 < x < 10 .

Câu 22: Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác đã cho là

A. 720
Câu 23: Cho

A.

B. 60

C. 240

D. 120

∫ 2 x  dx = F ( x ) + C . Khẳng định nào dưới đây đúng?

F ′( x) = 2
6

∫

.

B.

.

C.

F ′ ( x ) = x2

.

thì

∫  x + f ( x )  dx
0

F ′ ( x ) = 2 x2

.

bằng

A. 6 .

B. 39 .
C. 21 .
f ( x ) = 2 x3 − 3 x 2 − 1
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
là
1 4 3
x − x − x+C
4
3
2
A. 2 x − 3x − x + C .
B. 2 x − 3 x + C .
C. 2
.
Câu 26: Cho hàm số

D.

6

f ( x ) dx = 3

Câu 24: Nếu 0

F ′ ( x ) = 2x

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

D. 9 .

2
D. 6 x − 6 x + C .

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

y = f ( x)
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
( −∞; −1) .
( 2; +∞ ) .
( −1;1) .
A.
B.
C.
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

D.

( 0;1) .

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2 .

B. −1 .
C. 3 .
D. −2 .
Câu 28: Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng
 2a 3 
 2a 3 
1
log 2 
log 2 
÷ = 1 + 3log 2 a − log 2 b
÷ = 1 + log 2 a − log 2 b
3
 b 
 b 
A.
.
B.
.
 2a 3 
 2a 3 
1
log 2 
=
1
+
3log
a
+
log
b

log
÷
÷ = 1 + log 2 a + log 2 b
2
2
2
3
 b 
 b 
C.
.
C.
.
1
y=
, y = 0, x = 0, x = 2
H
( ) giới hạn bởi các đường
x +1
Câu 29: Cho hình phẳng
. Quay hình phẳng

(H)

quanh trục hồnh tạo nên một khối trịn xoay có thể tích bằng
π
8π
3 −1
A. 2
.

B. π ln 3 .
C. 9 .
D. π ln 3 .
Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B và SA vng góc với mặt

(

)

phẳng đáy. Biết rằng AC = a 2 ,

SA =

a 3
3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) .

0
A. 90 .

0
0
B. 30 .
C. 60 .
y = f ( x)
Câu 31: Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong trong hình bên.

0
D. 45 .

3 f ( x) +1 = m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nhiều nghiệm nhất?
13
A. 12
B. 11
C.
D. 14
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

A.

( 1; 2 ) .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 ) .
2

có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?
B.

( −∞;1) .

C.

Hàm số

( 2; 4 ) .

D.

y = f ( x)

đồng biến

( 0;1) .

Câu 33: Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có hai bạn A và B, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác

suất để hai bạn A và B đứng cạnh nhau là
1
1
A. 5 .
B. 4 .
Câu 34: Biết phương trình

T = ( x1 )

x2
4

A. T = 4 .

2 log 2 x + 3log x 2 = 7

2
C. 5 .

có hai nghiệm thực

1
D. 10 .

x1 < x2

. Tính giá trị của biểu thức

.
B. T = 2 .

C. T = 2 .

D. T = 8 .

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

z =2

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z

A.

I ( 3; − 2 )

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường trịn. Tìm tọa độ tâm I của đường trịn đó?

.

B.

I ( −3; 2 )

.

C.

I ( 3; 2 )

.

D.

I ( −3; − 2 )

.
x−3 y −3 z
d:
=
=
A
1;

2;
−
1
(
)
1
3
2,
Câu 36: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
và cắt đường thẳng
( α ) : x + y − z + 3 = 0 là
song song với mặt phẳng
x −1 y − 2 z +1
x +1 y − 2 z +1
=
=
=
=
2
1 .
2
1 .
A. 1
B. −1
x −1 y − 2 z +1
x −1 y + 2 z +1
=
=
=
=

−2
−1 .
−2
1 .
C. 1
D. 1
M ( 3;2; −1)
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Khi đó điểm đối xứng với M qua mặt phẳng

( yOz )

có tọa độ
M ( 3;0;0 )
M ( 3; −2;1)
M 0;2; −1)
M −3; 2; −1)
A. 1
.
B. 2
.
C. 4 (
.
D. 3 (
.
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết BC = 2a và SA vng góc với mặt
( SAB ) bằng
phẳng đáy. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng
A. 2a .
B. a 2 .

C. 2 3a .
D. a .
Câu 39: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 0.
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

B. 1.
liên tục trên R . Gọi

)

(

log 2023 x x 2 + 5 − x 2 ≤ x 2 + 5 − 4 x
C. 2.
F ( x) ,G ( x)

D. 3.
là hai nguyên hàm của

là:

f ( x)

trên R thỏa

2

mãn

3F ( 8 ) + G ( 8 ) = 9

và

3F ( 0 ) + G ( 0 ) = 3

1
B. 4 .

A. 3.

. Khi đó
C. 6.

∫ f ( 4 x ) dx
0

bằng
3
D. 8 .

1
y = x3 − x 2 − mx + 2023
3
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có hai điểm
( −4;3) ?

cực trị thuộc khoảng
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn | z − 2i | + | z + 5 − 2i |= 5 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức T =| z − 1 − 3i | + | z − 2 − i | tương ứng là a và b . Giá trị của T = a + b bằng
A. 37 + 2 5 .
B. 37 + 5 + 6 2 . C. 37 + 2 10 .
D. 2 13 + 4 5 .
Câu 43: Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D có đáy là hình chữ nhật với AB = 6 , AD = 3 , A′C = 3 và
mặt phẳng

( AA′C ′C )

với nhau góc
A. 12 .

α

( AA′C′C )

vng góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng
và
3
tan α =
4 . Thể tích V của khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ là
có
B. 6 .

C. 8 .
D. 10 .

( AA′B′B )

tạo

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 44: Cho hàm số

f ( x)

đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn

[ 1; 4]

f ( 1) = 1

thỏa mãn

và

 f ( x ) + xf ′ ( x )  = 4 f ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 4]
. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2

hàm số

y = f ( x)

A. 4 − 2ln 2.

, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

B. 4 + 2ln 2.
C. 4 + ln 2.
D. 4 − ln 2.
2
Câu 45: Cho phương trình mz − 4mz + n = 0 (m ≠ 0, ( m, n) = 1) có hai nghiệm phức. Gọi A , B là hai
điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều. Tìm m, n .
A. m = 3; n = 16 .
B. m = 16; n = 3 .
C. m = 3; n = −16 .
D. m = 16; n = −3 .
x − 2 y −1 z −1
d
:
=
=
A
0;1;
2
(
) và đường thẳng
2
2
−3 . Gọi ( P )

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm

M ( 5; −1;3 )
( P ) bằng
là mặt phẳng đi qua A và chứa d . Khoảng cách từ điểm
đến
1
11
A. 5 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 3 .

Câu 47: Có

bao

nhiêu

bộ

( x; y )

với

x, y

nguyên

và

 2y 
 2x +1 
÷ ≤ ( 2 x + 3 y − xy − 6 ) log 2 
÷
 x −3 ?
 y+2

1 ≤ x, y ≤ 2020

thỏa

mãn

( xy + 2 x + 4 y + 8) log 3 
A. 4034 .

B. 2 .

C. 2017 .

D. 2017 × 2020 .

( O ) và
′
Câu 48: Cho hình trụ có O, O là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc

C , D cùng thuộc ( O′ ) sao cho AB = a 3 , BC = 2a đồng thời ( ABCD ) tạo với mặt phẳng

( ABCD ) bằng

đáy hình trụ góc 60° . Khoảng cách từ điểm O′ đến mặt phẳng
a 3
A. 4 .

a
B. 4 .

a 3
C. 2 .

a
D. 2 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1; 2), B (6;3; 2) . Xét hai điểm M , N thay đổi thuộc
mặt phẳng (Oyz ) sao cho MN = 16 . Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng

A. 4 5 .

B. 4 13 .

C. 2 15 .

D. 5 3 .

y = − x 4 + mx 3 + 2m 2 x 2 + m − 1
Câu 50: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho hàm số

đồng biến trên
A. −1 .

( 1; +∞ ) . Tổng tất cả các phần tử của
B. −2 .

S là
C. 0.

D. 2.

---------- HẾT ----------

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.D
21.A
31.B
41.C

Câu 1:

Câu 2:

2.A
12.B
22.D
32.A
42.B

3.D
13.C
23.B
33.A
43.C

4.D
14.B
24.C
34.B
44.B

5.D
15.D
25.C
35.A
45.A

6.D
16.B
26.D
36.C
46.C

7.B
17.D
27.B
37.D
47.A

8.C
18.C
28.A
38.A
48.A

9.A
19.B
29.D
39.A
49.B

10.D
20.A
30.B
40.D
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Cho số phức z = −4 + 5i . Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ
−4;5 )
−4; −5 )
4; −5 )
4;5)
A. (
B. (
C. (
D. (
Lời giải

z
=
−
4
+
5
i
a
=
−
4
Số phức
có phần thực
; phần ảo b = 5 nên điểm biểu diễn hình học của số
−4;5)
phức z là (
.
( 0;+∞ ) , đạo hàm của hàm số y = log 2 x là:
Trên khoảng
1
ln 2
1
y' =
y' =
y' =
x ln 2 .
x .
x.
A.
B.

C.

D.

y' =

1
2x .

y′ =

5 23
x
3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 3:

( log 2 x ) ' =

1
x ln 2 .

( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số
Trên khoảng
A.

y′ =

3 23
x
5 .

B.

y′ =

3 83
x
8 .

5

y = x 3 là
C.
Lời giải

y′ =

5 − 23
x
3
.

D.

 5 ′ 5 2
y′ =  x 3 ÷ = x 3

  3 .
Ta có
Câu 4:

x+ 2
Tập nghiệm của bất phương trình 3 < 27 là
( −∞;1] .
( −∞ ; 7 ) .
( −∞ ; −1) .
( − ∞;1) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
x+2
x+2
3
Ta có bất phương trình 3 < 27 ⇔ 3 < 3 ⇔ x + 2 < 3 ⇔ x < 1 . Vậy tập nghiệm của bất

phương trình là
Câu 5:

S = ( − ∞;1)

Cho cấp số nhân
1
A. 160 .

( un )

có

u1 = 5, q = 2 . Số hạng thứ 6 của cấp số nhân đó là

B. 25 .

C. 32 .
Lời giải

D. 160 .

Chọn D
u6 = u1q 5 = 5 × 25 = 160
Ta có
Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 6:

M ( 2;1; −3) N ( 1;0;2 ) P ( 2; −3;5 )
Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm
,
;
. Tìm một vectơ pháp
r
( MNP ) .
n

tuyến của mặt phẳng
r
r
n ( 12; 4;8 )
n ( 8;12; 4 )
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

r
n ( 3;1; 2 )

.

D.

r
n ( 3; 2;1)

.

Chọn D
uuuu

r uuur
uuuu
r
uuur
MN = ( −1; −1;5 ) ; MP = ( 0; −4;8 )  MN ; MP  = ( 12;8; 4 )
Ta có:
;
.
uuuu
r uuur
( MNP ) cùng phương với  MN ; MP  . Suy ra một véc tơ pháp tuyến của
Vectơ pháp tuyến của

( MNP )
Câu 7:

r
n ( 3; 2;1)

là

ax + b
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là
y=

A.

( 0; 2 ) .

B.

( 2;0 ) .

( 0; − 2 ) .

C.
Lời giải

Chọn B
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có tọa độ
2

Câu 8:

∫ f ( x ) dx = 6
Biết 1
,
A. I = 5 .
5

5

, tính
B. I = −5 .

2

( 1; 0 ) .

( 2;0 ) .

5

∫ f ( x ) dx = 1
2

D.

I = ∫ f ( x ) dx
1

.

C. I = 7 .
Lời giải

D. I = 4 .

5

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =6 + 1 = 7

Câu 9:

1
1
2
Ta có:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3
A. y = x − 3x + 1 .

3
B. y = x − 3 x − 1 .

3
2
C. y = − x − 3 x − 1 .
Lời giải
3
2
( 0;1) .
Hàm số y = ax + bx + cx + d với a > 0 và cắt Oy tại

3
2
D. y = − x + 3 x + 1 .

( S ) : x + y + ( z − 2 ) = 25 . Tâm và bán kính của mặt
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( S ) là
cầu

( 0; 2;0 ) , R = 25 .
( 0;0;5) , R = 25 . C. ( 0;0; −2 ) , R = 5 . D. ( 0;0; 2 ) , R = 5 .
A.
B.
Lời giải
2

( S ) : x2 + y 2 + ( z − 2)

2

= 25

2

2

I ( 0;0; 2 )

và bán kính R = 5 .
( Oxy ) và ( Oxz ) bằng
Câu 11: Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng
o
o
o
o
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90

Lời giải
Chọn D
r
r
( Oxy ) và ( Oxz ) lần lượt là k và j. .
Ta có vectơ pháp tuyến của
r r
(·Oxy ) ; ( Oxz ) = 90°
k
⊥
j
Vì
nên
.
có tâm

)

(

2
Câu 12: Cho số phức z = 7 + 6i , phần ảo của số phức z bằng

A. 13 .

B. 84 .

C. 6 .
Lời giải

D. 48 .

Chọn B
z 2 = ( 7 + 6i ) = 13 + 84i
2

nên phần ảo bằng 84 .
Câu 13: Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích V là
Ta có

3
A. V = 4a .

3
B. V = a .

3
C. V = 8a .
Lời giải

D.

V=

8a 3
3 .

V = ( 2a ) = 8a 3
Khối lập phương có cạnh bằng 2a thì có thể tích
.

Câu 14: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc và AB = AC = 2a, AD = 3a . Thể
tích V của khối tứ diện đó là:
3

3
A. V = 4a .

3
B. V = 2a .

3
C. V = a .
Lời giải

3
D. V = 3a .

Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Do khối tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi một vng góc nên

VABCD =

1
AB. AC. AD = 2a 3
6
.

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 16 đi qua điểm nào dưới
Câu 15: Trong không gian Oxyz , mặt cầu
2

đây?
A. Điểm

Q ( −2; −1; −1)

Thay tọa độ điểm

. B. Điểm

P ( 2;1;1)

N ( −2; −1;3)

. C. Điểm
Lời giải

vào phương trình mặt cầu

2

M ( 2;1; −3)

( S ) : ( x − 2)

2

. D. Điểm

P ( 2;1;1)

.

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 16
2

2

. Ta

( S)

đi qua điểm P .
Câu 16: Phần ảo của số phức z = −3i + 1 bằng
A. 1 .
B. −3 .
có mặt cầu

2

C. 3 .
Lời giải

D. −1 .

Phần ảo của số phức z = −3i + 1 bằng −3 .
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 6 . Diện tích xung quanh của hình

nón đã cho bằng
A. 6π .
B. 108π .
C. 36π .
D. 18π .
Lời giải
S = π rl = π .3.6 = 18π
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: xq
.
 x = 1 + 2t

d :  y = 2 − 2t
 z = −3 − 3t

Câu 18: Trong không gian Oxyz , đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Q ( 2; 2;3)
N ( 2; −2; −3)
M ( 1; 2; −3)
P ( 1; 2;3)
A. Điểm
.
B. Điểm
. C. Điểm
. D. Điểm
.
Lời giải
 1
t = 2
2

=
1
+
2
t
1
=
2
t





2 = 2 − 2t ⇔ 0 = −2t ⇔ t = 0 ⇒ Q ∉ d
3 = −3 − 3t
6 = −3t
t = −2



Q ( 2; 2;3)

Với điểm
ta có
.
 1
t = 2
2
=

1
+
2
t
1
=
2
t





−2 = 2 − 2t ⇔ −4 = −2t ⇔ t = 2 ⇒ N ∉ d
−3 = −3 − 3t
0 = −3t
t = 0



N ( 2; −2; −3)

Với điểm
ta có
.
1 = 1 + 2t
0 = 2t


2 = 2 − 2t ⇔ 0 = −2t ⇔ t = 0 ⇒ M ∈ d

−3 = −3 − 3t
0 = −3t
M ( 1; 2; −3)

Với điểm
ta có 
.
1 = 1 + 2t
0 = 2t
t = 0



2 = 2 − 2t ⇔ 0 = −2t ⇔ t = 0 ⇒ P ∉ d
3 = −3 − 3t
6 = −3t
t = −2
P ( 1; 2;3)


Với điểm
ta có 
.

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
4
2

Câu 19: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ thị

hàm số đã cho có tọa độ là

−1

y

1
x

O
−3
A. (−1; −4) .

−4

B. (0; −3) .

C. (1; −4) .
Lời giải

D. (−3; 0) .

Chọn B
Từ đồ thị, ta có đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại là (0; −3) .
2x + 4
y=
x − 1 là đường thẳng có phương trình
Câu 20: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A. x = 1 .

B. x = −1 .

C. x = 2 .
Lời giải

D. x = −2 .

Chọn A
lim y = +∞ 

x →1+
⇒
lim y = −∞ 
−
 Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x = 1 .
Ta có x →1
Câu 21: Nghiệm của bất phương trình

A. x > 9 .

log 2 ( x − 1) > 3

B. 1 < x < 9 .

C. x > 10 .
Lời giải

D. 1 < x < 10 .

Điều kiện: x > 1

log 2 ( x − 1) > 3 ⇔ x − 1 > 8 ⇔ x > 9

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > 9 .
Câu 22: Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác đã cho là
A. 720
B. 60
C. 240
D. 120
Lời giải
C103 = 120
Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác đã cho là
Câu 23: Cho

A.

∫ 2 x  dx = F ( x ) + C . Khẳng định nào dưới đây đúng?

F ′( x) = 2

F ( x)

.

B.

là nguyên hàm của

6

Câu 24: Nếu

∫ f ( x ) dx = 3
0

A. 6 .

F ′ ( x ) = 2x

f ( x)

thì

.

C.
Lời giải

F ′( x) = f ( x)

F ′ ( x ) = x2

. Vậy

.

F ′ ( x ) = 2x

D.

F ′ ( x ) = 2 x2

.

.

6

thì

∫  x + f ( x )  dx
0

B. 39 .

bằng
C. 21 .
Lời giải

D. 9 .

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
6

Ta có

6

6

6

x2
x
+
f
x
dx
=
xdx
+
f
x
dx
=
+ 3 = 21


(
)
(
)


∫0 
∫0
∫0
2 0

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2 x − 3x −1
3

2

.

là

1 4 3
x − x − x+C
A. 2 x − 3x − x + C .
B. 2 x − 3 x + C .
C. 2
.
Lời giải
1
f ( x ) dx = ∫ ( 2 x3 − 3x 2 − 1) dx = x 4 − x 3 − x + C
∫
2
Ta có
.
4

3

Câu 26: Cho hàm số

2

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

2
D. 6 x − 6 x + C .

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

y = f ( x)
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
( 2; +∞ ) .
( −∞; −1) .
( −1;1) .
A.
B.
C.
Lời giải
y = f ( x)
( 0; 2 ) .
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số
đồng biến khoảng
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

D.

( 0;1) .

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2 .
B. −1 .

C. 3 .
D. −2 .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng −1 .
Câu 28: Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng
 2a 3 
 2a 3 
1
log 2 
=
1
+
3log
a
−
log
b
log
÷
÷ = 1 + log 2 a − log 2 b
2
2

2
3
 b 
 b 
A.
.
B.
.
 2a 3 
log 2 
÷ = 1 + 3log 2 a + log 2 b
b 

C.
.

 2a 3 
1
log 2 
÷ = 1 + log 2 a + log 2 b
3
 b 
C.
.
Lời giải

 2a 3 
3
3
log 2 

÷ = log 2 ( 2a ) − log 2 b = log 2 2 + log 2 a − log 2 b = 1 + 3log 2 a − log 2 b
 b 
.
Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 29: Cho hình phẳng

(H)

y=
giới hạn bởi các đường

1
, y = 0, x = 0, x = 2
x +1
. Quay hình phẳng

(H)

quanh trục hồnh tạo nên một khối trịn xoay có thể tích bằng
π
8π
3 −1
A. 2
.
B. π ln 3 .
C. 9 .

Lời giải

(

)

2

2

D. π ln 3 .

2

1
 1 
V =π∫
 dx = π ∫ x + 1dx = π ln ( x + 1) 2 = π ln 3
0  x +1 
0
0
Thể tích khối trịn xoay bằng
.
Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B và SA vng góc với mặt

phẳng đáy. Biết rằng AC = a 2 ,
0
A. 90 .

0

B. 30 .

SA =

a 3
3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) .
0

C. 60 .
Lời giải

0
D. 45 .

Tam giác ABC vuông cân tại B mà AC = a 2 nên AB = AC = a .
SBC ) ∩ ( ABC ) = BC
BC ⊥ ( SAB )
SBC )
ABC )
Ta có (
và
nên góc giữa hai mặt phẳng (
và (
là

SA
3
·
·
tan SBA

=
=
⇒ SBA
= 300
·SBA
AB 3
góc
. Trong tam giác vng SBA có
.
y = f ( x)
Câu 31: Cho hàm số bậc ba
có đồ thị là đường cong trong hình bên.

3 f ( x) +1 = m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nhiều nghiệm nhất?
13
A. 12
B. 11
C.
D. 14
Lời giải
Chọn B
m −1
3 f ( x) +1 = m ⇔ f ( x) =
3 .
Ta có
Page 13

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Để

phương

⇔ −3 <

trình

f ( x) =

m −1
3

3 f ( x) +1 = m

có

nhiều

nghiệm

nhất

m −1
< 1 ⇔ −8 < m < 4
3
.

Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

( 1; 2 ) .

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 ) .
2

có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?
A.

hay

B.

( −∞;1) .

f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 )

2

Ta có
Bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số nghịch biến trên khoảng

( 2; 4 ) .
C.

Lời giải
x = 1
= 0 ⇔  x = 2
 x = 4

Hàm số
D.

y = f ( x)

đồng biến

( 0;1) .

( 1; 2 ) .

Câu 33: Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có hai bạn A và B, đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác

suất để hai bạn A và B đứng cạnh nhau là
1
1
A. 5 .
B. 4 .

2
C. 5 .
Lời giải

1
D. 10 .

Chọn A

⇒ n ( Ω ) = 10!
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng có 10! cách
Gọi biến cố A : “Xếp 10 học sinh thành một hàng sao cho A và B đứng cạnh nhau”.
Xem A và B là nhóm X .
Xếp X và 8 học sinh cịn lại có 9! cách.
Hốn vị A và B trong X có 2! cách.

⇒ n ( A ) = 9!2!
Vậy có 9!2! cách
P ( A) =

n ( A) 1
=
n ( Ω) 5

Xác suất của biến cố A là:
.
2 log 2 x + 3log x 2 = 7
x Câu 34: Biết phương trình
có hai nghiệm thực 1 2 . Tính giá trị của biểu thức

T = ( x1 )

x2
4

.

A. T = 4 .

B. T = 2 .

C. T = 2 .
Lời giải

D. T = 8 .

Điều kiện x > 0, x ≠ 1

Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có

2 log 2 x + 3log x 2 = 7 ⇔ 2 log 2 x +

3
2
= 7 ⇔ 2 ( log 2 x ) − 7 log 2 x + 3 = 0
log 2 x

1

x = 2

log 2 x =

⇔
(thoảmã
n đk)
2⇔

x
=
8

log 2 x = 3

Vì x1 < x2 nê
n x1 = 2; x2 = 8.
Khi đó:

T = ( x1 )

x2
4

=

8
4

( ) = ( 2)
2

z =2

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z

A.

I ( 3; − 2 )

.

2

= 2.

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là một đường trịn. Tìm tọa độ tâm I của đường trịn đó?

I ( −3; 2 )

B.

.

C.
Lời giải

I ( 3; 2 )

.

D.

I ( −3; − 2 )

.

Cách 1.

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z
Đặt w = x + yi .Ta có
.
⇔ x + yi = 3 − 2i + ( 2 − i ) z

.

⇔ ( 2 − i ) z = ( x − 3) + ( y + 2 ) i

(

⇔ 4−i
⇔z=

2

.

) z = ( x − 3) + ( y + 2 ) i  . ( 2 + i ) .

2x − y − 8 x + 2 y +1
+
i
5
5
.
2

2

 2x − y − 8   x + 2 y +1 

÷ +
÷ =4
z =2
5
5




Vì
nên
.

⇔ x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 13 = 20 .
⇔ ( x − 3) + ( y + 2 ) = 20
2

2

.

I ( 3; − 2 )
Vây tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm
.
Cách 2.
Đặt z = a + bi; w = x + yi .
Vì

z =2

2
2
nên a + b = 4 .

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z

Ta có
.
⇔ x + yi + 2i − 3 = ( 2 − i ) ( a + bi )

.
⇔ ( x − 3) + ( y + 2 ) i = ( 2a + b ) + ( 2b − a ) i

.

⇒ ( x − 3) + ( y + 2 ) = ( 2a + b ) + ( 2b − a )
2

2

2

(

⇔ ( x − 3) + ( y + 2 ) = 5 a + b
2

2

⇔ ( x − 3) + ( y + 2 ) = 20
2

2

2

).

2

.

2

.
Page 15

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

I ( 3; − 2 )
Vây tập hợp biểu diễn số phức w là đường trịn tâm
.
Câu 36: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

A ( 1; 2; −1)

( α ) : x + y − z + 3 = 0 là
song song với mặt phẳng
x −1 y − 2 z +1
x +1 y − 2 z +1
=
=
=
=
2
1 . B. −1
2
1 .
A. 1
x −1 y − 2 z +1
x −1 y + 2 z +1
=
=
=
=
−2

−1 . D. 1
−2
1 .
C. 1

và cắt đường thẳng

d:

x−3 y −3 z
=
=
1
3
2,

Lời giải

x = 3 + t

d :  y = 3 + 3t , t ∈ ¡
 z = 2t


Phương trình tham số
uuuu
r
uu
r
∆ ∩ d = M ⇒ M ( 3 + t ;3 + 3t ; 2t )

AM = ( 2 + t ;1 + 3t ;1 + 2t ) ; nα = ( 1;1; −1)
Gọi
. Ta có
uuuu
r uu
r
AM P ( α ) ⇒ AM . nα = 0 ⇔ ( 2 + t ) .1 + ( 1 + 3t ) .1 + ( 1 + 2t ) . ( −1) = 0
Vì
⇔ t = −1
uuuu
r
⇒ M ( 2; 0; −2 ) ⇒ AM = ( 1; −2; −1)
Vậy phương trình đường thẳng là

∆:

x −1 y − 2 z +1
=
=
1
−2
−1 .

M ( 3;2; −1)
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Khi đó điểm đối xứng với M qua mặt phẳng

( yOz )

có tọa độ

M ( 3;0;0 )
A. 1
.

B.

M 2 ( 3; −2;1)

.

C.
Lời giải

M 4 ( 0;2; −1)

.

D.

M 3 ( −3; 2; −1)

.

M 3;2; −1)
yOz )
M −3; 2; −1)
Điểm đối xứng với điểm (
qua mặt phẳng (
là điểm 3 (
.

Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết BC = 2a và SA vng góc với mặt
( SAB ) bằng
phẳng đáy. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng
A. 2a .
B. a 2 .
C. 2 3a .
D. a .

Lời giải

Ta có

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD

.

 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ ( SAB )

AD
⊥
SA

Khi đó
.
Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

d D, ( SAB ) ) = AD = BC = 2a
Do đó (
.
d D, ( SAB ) ) = 2a
Vậy (
.
Câu 39: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 0.
B. 1.
Chọn A
)
Ta có:

(

)

)

(

log 2023 x x 2 + 5 − x 2 ≤ x 2 + 5 − 4 x
C. 2.
Lời giải

là:

D. 3.

(

)

log 2023 x x 2 + 5 − x 2 ≤ x 2 + 5 − 4 x ⇔ log 2023 x x 2 + 5 − x 2 − x 2 + 5 + 4 x ≤ 0
Đặt

(

)

f ( x ) = log 2023 x x 2 + 5 − x 2 − x 2 + 5 + 4 x

f ′( x) =

=

2x
x2 + 5 + x ×
− 2x
2 x2 + 5
−

(

ln 2023 × x x 2 + 5 − x 2

x +5

2x2 − 2x x2 + 5 + 5

)
(
( x + 5 − x)
=
ln 2023 ×( x x + 5 − x )
ln 2023 × x x 2 + 5 − x2

x2 + 5

+4
x

−

x +5
2

+4

2

2

2

Suy ra

)

x

2

. Khi đó,

2

f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡

x2 + 5

x

−

x +5
2

+4

.

( 0; + ∞ ) .
Do đó, f đồng biến trên
f ( x ) ≥ f ( 1) ≈ 1, 6 > 0
Do x > 0, x ∈ ¢ nên x ≥ 1 suy ra
.
f ( x)
F ( x) ,G ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số

liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
2

mãn

3F ( 8 ) + G ( 8 ) = 9

và

A. 3.

3F ( 0 ) + G ( 0 ) = 3

1
B. 4 .

. Khi đó

∫ f ( 4 x ) dx
0

C. 6.
Lời giải

bằng
3
D. 8 .

Chọn D
G ( x) = F ( x) + C
Ta có:
3F ( 8 ) + G ( 8 ) = 9
4 F ( 8 ) + C = 9
3
⇔
⇔ F ( 8) − F ( 0 ) = .

2
3F ( 0 ) + G ( 0 ) = 3 4 F ( 0 ) + C = 3
Vậy:
2
8
F ( 8) − F ( 0 ) 3
1
f
(4
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
=
= .
∫0

4 ∫0
4
8

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

1
y = x3 − x 2 − mx + 2023
3
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có hai điểm
( −4;3) ?
cực trị thuộc khoảng
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn C
2
y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 x − m = 0 ( 1)
Ta có: y ' = x − 2 x − m . Xét phương trình
.
( −4;3) thì phương trình ( 1) phải có 2 nghiệm
Để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng
phân biệt thuộc khoảng
Ta có:

( −4;3)

( 1) ⇔ m = x 2 − 2 x .

Xét hàm số

g ( x ) = x2 − 2x

Bảng biến thiên của

g ( x)

có

g '( x) = 2x − 2

. Cho

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình
khi −1 < m < 3 .

( 1)

g '( x) = 0 ⇔ 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1

.

có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

( −4;3)

m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 0;1; 2}

Do
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn | z − 2i | + | z + 5 − 2i |= 5 . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức T =| z − 1 − 3i | + | z − 2 − i | tương ứng là a và b . Giá trị của T = a + b bằng
A. 37 + 2 5 .
B. 37 + 5 + 6 2 . C. 37 + 2 10 .
D. 2 13 + 4 5 .
Lời giải
Chọn B

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Ta gọi điểm M biểu diễn số phức z và điểm A(0; 2), B( −5; 2) ⇒ AB = 5 .
Suy ra | z − 2i | + | z + 5 − 2i |= 5 ⇔ MA + MB = AB . Do đó M nằm trên đoạn thẳng AB .
Gọi điểm C (1;3), D(2;1) . Suy ra, biểu thức T =| z − 1 − 3i | + | z − 2 − i |= MC + MD , với M nằm
trên đoạn AB .
Ta có M trùng với A thì giá trị của biểu thức T đạt nhỏ nhất.

T = AC + AD = 2 + 5 = b
Suy ra min
khi M ≡ A .
Giá trị của biểu thức T lớn nhất khi điểm M trùng với điểm B .
Suy ra

Tmax = BC + BD = 37 + 5 2 = a

khi M ≡ B .

Vậy (a + b) = 37 + 5 + 6 2 .
Câu 43: Cho lăng trụ ABCD. A′B′C ′D có đáy là hình chữ nhật với

A′C = 3 và
( AA′C ′C ) vng góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( AA′C′C ) và ( AA′B′B ) tạo
mặt phẳng
với nhau góc α

có

A. 12 .

tan α =

AB =

6

,

AD =

3,

3

4 . Thể tích V của khối lăng trụ ABCD. A′B′C ′D′ là

B. 6 .

C. 8 .
Lời giải

D. 10 .

2
2
Dễ thấy A′C ′ = A′D′ + A′B′ = 3 = A′C cho nên tam giác A′CC ′ cân tại A′ , do đó
uuur 3 uuuur
C ′E = C ′D′
A′F ⊥ CC ′ , với F là trung điểm của CC ′ . Gọi E là điểm thỏa mãn
2
.

hay tam giác

3 6
6
27
D′E =
A′E 2 + A′C 2 = A′D′2 + D′E 2 + A′C ′2 =
= C ′E 2
2 và
2 , suy ra
2
( AA′C ′C )

EA′C ′
A′

EA′ ⊥ ( AA′C ′C )

, suy ra EA′ ⊥ A′F và CC ′ ⊥ ( EA′F ) , do đó

Khi đó

C ′E =

vng tại

. Lại có mặt

vng góc với đáy nên

·
′ = ( A′F , EF ) = ( ( AA′C ′A ) , ( CDD′C ′ ) ) = ( ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) ) = α
EFA

Ta

có

EA′ = D′E 2 + A′D′2 =

CC ′ = 2 A′C ′2 − A′F 2 = 2 ,

do

h = d ( C , ( A′B′C ′D′ ) ) = d ( C , A′C ′ ) =

3 2
2 ,
đó

suy
chiều

ra
cao

A′F = A′E cot α = 2 2

của

khối

lăng

và

trụ

là

A′F ×CC ′ 4 2
=
.

A′C ′
3
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Vậy V = AB ×AD ×h = 8 .
Câu 44:

Cho hàm số

f ( x)

đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn

[ 1; 4]

f ( 1) = 1

thỏa mãn

và

 f ( x ) + xf ′ ( x )  = 4 f ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 4]
. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2

hàm số

y = f ( x)

, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

A. 4 − 2ln 2.

B. 4 + 2ln 2.

C. 4 + ln 2.
Lời giải

D. 4 − ln 2.

Chọn B

( f ( x ) + xf ′ ( x ) )
( f ( x ) + xf ′ ( x ) ) = 4 f ( x ) ⇒
4 f ( x)
2

+) Ta có

⇒

f ( x ) + xf ′ ( x )
2 xf ( x )

⇒ xf ( x ) = ∫

+) Lại có

S=∫
1

( f ( x ) + xf ′ ( x ) )
= 1⇒
4 xf ( x )

( x ) ′ f ( x ) + xf ′ ( x ) = 1 ⇒ ( xf ( x ) ) ′ = 1 ⇒
1
⇒
x
x
x
2 xf ( x )
2 xf ( x )

(

2

=

1
x

xf ( x )

)′ =

1

x

1
dx ⇒ xf ( x ) = 2 x + C.
x

f ( 1) = 1 ⇒ C = −1 ⇒ xf ( x ) = 2
4

+) Do đó

=

2

(2

)

x −1
x

2

(2
x −1 ⇒ f ( x ) =

)

x −1

x

2

.

4
4
4
4
4 1

dx = ∫  4 −
+ ÷dx = 4 x − 8 x + ln x = 4 + 2 ln 2.
1
1
1
x x
1

2
Câu 45: Cho phương trình mz − 4mz + n = 0 (m ≠ 0, ( m, n) = 1) có hai nghiệm phức. Gọi A , B là hai

điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều. Tìm m, n .
A. m = 3; n = 16 .
B. m = 16; n = 3 .
C. m = 3; n = −16 .
D. m = 16; n = −3 .
Lời giải
Chọn A

n
mz 2 − 4mz + n = 0 ⇔ z 2 − 4 z + = 0
m
Ta có:
có hai nghiệm phức ⇔

∆′ = 4 −

n
=k <0
m
.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức: z1 = 2 + k i ; z2 = 2 − k i .
Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của z1; z2 trên mặt phẳng Oxy ta có:

(

A 2; k

) ; B ( 2; − k ) .

Ta có: AB = 2 k ; OA = OB = 4 + k .
Tam giác OAB đều khi và chỉ khi AB = OA = OB ⇔ 2 k = 4 + k ⇔ 4k = 4 + k

4
4
n
4
n 16

4− = − ⇔ =
∆′ = −
3 . Vì ∆′ < 0 nên
3 hay
m
3
m 3 .
Từ đó ta có n = 16; m = 3 .
⇔k=

Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

x − 2 y −1 z −1
=
=
2
2
−3 . Gọi ( P )
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
M ( 5; −1;3 )
( P ) bằng
là mặt phẳng đi qua A và chứa d . Khoảng cách từ điểm
đến
1
11
A. 5 .

B. 3 .
C. 1 .
D. 3 .
d:

A ( 0;1; 2 )

Lời giải
Chọn C

uuur
AB = ( 2;0; −1)
B ( 2;1;1) ∈ d
Lấy
ta có
.
uuur uu
r
 AB, ud  = ( 2; 4; 4 ) = 2 ( 1; 2; 2 )

Ta có 
Mặt phẳng

( P)

đi qua A và chứa d suy ra

uur
nP = ( 1; 2;2 )

( P ) : x + 2 y + 2z − 6 = 0

Phương trình mặt phẳng
x + 2 yM + 2 z M − 6
d ( M ,( P) ) = M
=1
2
2
2
1
+
2
+
2
Vậy
.
( x; y ) với x, y
Câu 47: Có bao nhiêu bộ

.

nguyên

và

1 ≤ x, y ≤ 2020

 2y 
 2x +1 
÷ ≤ ( 2 x + 3 y − xy − 6 ) log 2 

÷
 x −3 ?
 y+2

thỏa

mãn

( xy + 2 x + 4 y + 8) log 3 
A. 4034 .

C. 2017 .

B. 2 .

D. 2017 × 2020 .

Lời giải
Chọn A

+ Điều kiện

 x, y ∈ ¥ * : x, y ≤ 2020
 x, y ∈ ¥ * : x, y ≤ 2020

⇔
2
x
+
1

2
y


 x > 3, y > 0
 x − 3 > 0, y + 2 > 0


BPT cho có dạng

.

 y−2 
x+4 
+ 1÷+ ( x + 4 ) ( y + 2 ) log 3 
+ 1÷ ≤ 0
 x−3 
 y+2 
.

( x − 3) ( y − 2 ) log 2 

 x+4 
2
− ( x − 3) log 2 
+ 1÷+ 3 ( x + 4 ) log 3  ÷ ≤ 0
 x−3 
3
+ Xét y = 1 thì thành
, rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x > 3 vì
2
 x+4 
− ( x − 3) < 0;log 2 
+ 1÷ > log 2 ( 0 + 1) = 0;3 ( x + 4 > 0 ) ;log 3 < 0
3
 x−3 
.

( x; y ) = ( x,1) với 4 ≤ x ≤ 2020, x ∈ ¥ .
Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ
4 ( x + 4 ) log 3 1 ≤ 0
+ Xét y = 2 thì thành
, BPT này cũng ln đúng với mọi x mà
4 ≤ x ≤ 2020, x ∈ ¥ .
( x; y ) nữa.
Trường hợp này cho ta 2017 cặp
VT ( *) > 0
+ Với y > 2, x > 3 thì
nên khơng xảy ra.
( x; y ) thỏa mãn u cầu bài tốn.
Vậy có đúng 4034 bộ số
Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

( O ) và
′
Câu 48: Cho hình trụ có O, O là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc

C , D cùng thuộc ( O′ ) sao cho AB = a 3 , BC = 2a đồng thời ( ABCD ) tạo với mặt phẳng

( ABCD ) bằng
đáy hình trụ góc 60° . Khoảng cách từ điểm O′ đến mặt phẳng
a 3
A. 4 .

a
B. 4 .

a 3
C. 2 .
Lời giải

a
D. 2 .

Chọn A

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AB và I là trung điểm của OO′ .
·
( ABCD ) và mặt phẳng đáy là IMO
′ = 60° .
Suy ra góc giữa mặt phẳng
1
1
IM = MN = BC = a
2
2

Ta có
.
a
·
′=
O′M = IM .cos IMO
2.
Xét ∆IO′M vng tại O , ta có

( ABCD ) là
Khoảng cách từ điểm O′ đến mặt phẳng
a 3
3
·
′= .
d ( O ', ( ABCD ) ) = O ' M .sin IMO
=
a
2 2
4 .
Vậy khoảng cách từ điểm O′ đến mặt phẳng

( ABCD )

a 3
bằng 4 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1; 2), B (6;3; 2) . Xét hai điểm M , N thay đổi thuộc
mặt phẳng (Oyz ) sao cho MN = 16 . Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng

A. 4 5 .

B. 4 13 .

C. 2 15 .
Lời giải

D. 5 3 .

Chọn B

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có phương trình mặt phẳng (Oyz ) : x = 0.

(Oyz ) : x = 0 ⇒ B ' ( −6;3; 2 )
Gọi B ' là điểm đối xứng B qua

(Oyz ) : x = 0 ⇒ H ( 0;3;2 )
Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm B xuống

(Oyz ) : x = 0 ⇒ K ( 0; −1; 2 )
Gọi K là hình chiếu vng góc của điểm A xuống
Ta có
Gọi

HK = 4, d ( A, ( Oyz ) ) = AK = 2, d ( B, ( Oyz ) ) = BH = 6.

( α ) : x = 2 . Trên ( α ) lấy điểm

A ' sao cho

uuur uuuu
r
AA ' = MN .

Vì M , N thay đổi và MN = 16 ⇒ A ' nàm trên đường tròn tâm A , bán kính R = 16.
2
2
2
2
AM + BN = A ' N + BN = A ' N + NB ' ≥ A ' B ' ≥ B ' A '' = B ' I + IA '' = 8 + 12 = 4 13.

y = − x 4 + mx 3 + 2m 2 x 2 + m − 1
Câu 50: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho hàm số

đồng biến trên
A. −1 .

( 1; +∞ ) . Tổng tất cả các phần tử của

S là
C. 0.
Lời giải

B. −2 .

D. 2.

Chọn A
4
3
2 2
Gọi g ( x) = − x + mx + 2m x + m − 1 .

3 − 73 
3 + 73 
g ′( x) = −4 x 3 + 3mx 2 + 4m 2 x = x −4 x 2 + 3mx + 4m 2 = −4 x  x −
m÷
(x −
m÷
÷
÷
8
8




(

Gọi

a=

)

3 − 73
3 + 73
2 73
m, b =
m, b − a =
m
8
8
8
.

Nếu m > 0 thì b > a , nếu m < 0 thì b < a .
lim g ′( x) = −∞
Ta có x →+∞
nên khơng xảy ra trường hợp hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng
(1; +∞)
Để thỏa mãn u cầu đề bài thì phải có g ( x) nghịch biến trên (1; +∞) và g (1) ≤ 0 .
−1 − 5
−1 + 5
≤m≤
2
2
.
g ( x) nghịch biến trên (1; +∞) ⇔ g ′( x) ≤ 0, ∀x ∈ (1; +∞) .
g (1) ≤ 0 ⇔ 2m 2 + 2m − 2 ≤ 0 ⇔

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3
+) Nếu m = 0 : g ′( x) = −4 x . Điều kiện và đều thỏa mãn, do đó giá trị m = 0 thỏa mãn yêu cầu
đề bài.

+) Nếu

0
−1 + 5
2
: Dấu g ′( x) trên trục số như sau:

Để thỏa mãn điều kiện thì
.

b=

3 + 73
−3 + 73
−1 + 5
m ≤1⇔ m ≤
08
8
2
. Kết hợp và có:

−1 − 5
≤m<0
2

+ ) Nếu
: Dấu g ′( x) trên trục số như sau:

Để thỏa mãn điều kiện thì

a=

3 − 73
−3 − 73
m ≤1⇔ m ≥
8
8
. Kết hợp và có:

−3 − 73
≤m<0
8
.
−3 − 73
−1 + 5
≤m≤
8
2
Vậy các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là
, suy ra các giá trị
nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = −1, m = 0 , do đó S = −1 .

---------- HẾT ----------

Page 24