đề 13 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 13 – MÃ ĐỀ: 113
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .
Câu 2:

B. w = −15 − 20i .
x
Đạo hàm của hàm số y = 2 là:
x
A. y′ = 2 ln 2 .

Câu 3:

x
B. y′ = 2 .

Đạo hàm của hàm số
A.
C.

2 ( 2 x +1)
-

1

3

2
( 2 x +1)
3

y = ( 2 x +1)

ln ( 2 x +1)

Câu 5:

-

.

4
3

Cho cấp số nhân

.

Câu 7:

( un )

D.

có

2x
ln 2 .

x −1
D. y′ = x 2 .

trên tập xác định là.
1

u2 = 3, u3 = 6
B. 1 .

-

4
1
( 2 x +1) 3
3
.

3− x

3
3
 ÷ ≤ ÷
2
Tập các số x thỏa mãn  2 
( −∞;3] .
[ 1; +∞ ) .

A.
B.

A. 2 .
Câu 6:

1
3

C.

y′ =

D. w = 15 − 20i .

( 2 x +1) 3 ln ( 2 x +1) .
B.

2x

Câu 4:

-

C. w = 15 + 20i .

là
C.

( −∞;1] .

D.

[ 3; +∞ ) .

u

. Số hạng đầu 1 là
3
C. 2 .

( P) :

D. 0 .

x y z
+ + = 1.
4 6 1
Véctơ nào sau đây là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( P) ?
véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
r
r
r
n = ( 4;6;1)
n = ( 3; 2;12 )
n = ( 2;3;1)

n = ( 1; 2;3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ax + b
y=
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là

Page 1
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

( 3;0 ) .
6

Câu 8:
Câu 9:

B.

( 2; 0 ) .

6

C.

( 0; − 2 ) .

D.

6

∫ f ( x ) dx = 2 ∫1 g ( x ) dx = −4 ∫1 ( f ( x ) + g ( x ) ) dx
Nếu 1
và
thì
bằng
A. −2 .
B. 6 .
C. 2 .
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ:

A.

y=

2x −1
x +1 .

( 0;3) .

B.

y=

x+2
x +1 .

C.

y=

D. −6 .

2x − 2
x −1 .

D.

y=

2x +1
x −1 .

( S ) có phương trình ( x + 2 ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 9 .
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
S
Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( ) là
I ( −2;1;3) ; R = 9

I ( 2; −1; −3) ; R = 9
I −2;1;3) ; R = 3
I 2; −1; −3) ; R = 3
A. (
.
B.
. C. (
. D.
.
( P ) và ( Q ) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
uur
uur
uu
r
uu
r
nQ
nQ
P
Q
nP
nP
và
. Biết góc giữa hai vectơ
và
bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( )
bằng.
o
o

o
o
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
2

1
Câu 12: Cho số phức z = −2 + 6i , phần thực của số phức z bằng
1
−1
−3
A. 20 .
B. 20 .
C. 20 .

2

2

3
D. 20 .

3
Câu 13: Khối lập phương có thể tích 27a thì cạnh của khối lập phương bằng

Page 2
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. 6a

B. 9a

D. 27a

C. 3a

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 . Biết rằng cạnh bên SA = 2a

và vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
2a 3
4a 3
3
A. 3 .
B. 3 .
C. 2a .

a3
D. 3 .

2
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z - m - 3m = 0 và mặt

( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9
2

cầu

m = 2

A.  m = −5 .

2

2

B. m = 2 .

. Tìm tất cả các giá trị của m để ( P) tiếp xúc với ( S ) .
 m = −2

C. m = −5 .
D.  m = 5 .

Câu 16: Cho số phức z = 1 − 2i . Phần ảo của số phức z là?

D. −2i.

C. 2i.

B. −2 .

A. 2 .

Câu 17: Một hình nón bán kính đáy bằng

4 ( cm )

, góc ở đỉnh là 120° . Tính diện tích xung quanh của

hình nón.
32π 3
( cm2 ) .
3
A.

64π 3
( cm2 ) .
3
B.

32π 3
( cm 2 ) .
9
C.

32π 3
( cm2 ) .
2
D.

( P ) : x − 3 y + 5 z − 2 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc mặt
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P
phẳng ( ) ?
Q ( 4; 4; 2 )
P ( 4; − 1;3)

N 1;1; 7 )
M ( 0; 0; 2 )
A. (
.
B.
.
C.
.
D.
.
y = f ( x)
Câu 19: Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã
cho có tọa độ là

A. (−1; 2) .

B. (0;1) .

C. (1; 2) .

D. (1; 0) .

Câu 20: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?

A.

y=

2

x +1 .

B.

y=

1+ x
1− 2x .

y=

−2 x + 3
x−2 .

C.
log 2 ( x − 4 ) + 1 > 0

Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

D.

y=

2x − 2
x+2 .

5

13 
 13 

 13 

 13

4;
−∞
;
;+ ∞÷
 4; ÷
÷

÷


2 .
.
A.  2  .
B.  2  .
C. 
D.  2
A = { 0;1; 2;3; 4;5;6}
Câu 22: Cho tập
, có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của tập hợp A
3
3
A. P3 .
B. A7 .
C. P7 .
D. C7 .
Page 3

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 23: Hàm số

F ( x ) = ex

2

f ( x) = x e + 3

là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

2 x2

A.

.

B.

∫ ( 3 f ( x ) + 5) dx = 9
0

A. 8 .

thì

∫ f ( x ) dx

0

A.

Câu 26: Cho hàm số bậc ba

.

D.

f ( x ) = xe x

2

.

bằng

3
C. 4 .

f ( x ) = cos x +

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số

1
+C
x2
.

. C.

2

3

4
B. 3 .

− sin x −

f ( x ) = 2 xe x

2

3

Câu 24: Nếu

f ( x ) = x2ex + C

1
x

− sin x + ln x + C

B.
y = f ( x)

D. −2.

. C.

sin x −

1
+C
x2
.

D.

sin x + ln x + C

.

có đồ thị như hình sau

y = f ( x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 0; 2 ) .
( −∞ ; − 1) .
A.
B.
( 2; 4 ) .
( −1; 2 ) .
C.
D.
Câu 27: 111Equation Chapter 1 Section 1 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. −1.
B. 4.

D. −2.
2 5
P = 2 log 2 a + 5log 2 b
Câu 28: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b = 64 . Giá trị của
là
A. P = 7 .
B. P = 64 .
C. P = 6 .
D. P = 2 .
C. 3.

Câu 29: Quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (3 x − 1) ln x , trục Ox và

đường thẳng x = 2 ta thu được khối trịn xoay có thể tích bằng
2

2

2
∫ (3x − 1) ln xdx

A.

1
3

π ∫ (3x − 1)2 ln xdx
.

B.

1
3

2

. C.

π ∫ (3x − 1)2 ln xdx
1

2

. D.

∫ (3x −1)
1

2

ln xdx
.

′
Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' , BC = a, AC = 2a, A A = a 3 . Tính góc giữa mặt

( BCD ' A ')

phẳng
A. 30° .

Câu 31: Số Hàm số

( ABCD ) .

và mặt phẳng
B. 45° .

y = f ( x)

C. 60° .

D. 90° .

có bảng biến thiên như sau:

Page 4
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

f ( x) = m
Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt

( −4; 2] .
( −4; 2 ) .
[ −4; 2 ) .
B.
C.
D.
y = f ( x)
y = f ′( x)
Câu 32: Cho hàm số bậc bốn
. Hàm số
có đồ thị như
hình vẽ sau
y = f ( x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng
sau?
1; 4 )
−1;1)
A. (
.
B. (
.
0;3)
−∞ ; 0 )
C. (
.
D. (
.
Câu 33: Xếp ngẫu nhiên 3 quả cầu màu đỏ khác nhau và 3 quả cầu màu xanh giống nhau vào một giá

chứa đồ nằm ngang có 7 ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để 3 quả cầu màu
đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng.
3
3
3
3
A. 160 .
B. 70 .
C. 80 .
D. 140 .
A.

[ −4; 2] .

Câu 34: Tích các nghiệm của phương trình

log 22 x − 3log 2 x + 2 = 0

là
6
8
B. .
C. .
D. 2 .
z
=1
i
+
2
z

Câu 35: Cho số phức thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một
( C ) . Tính bán kính r của đường tròn ( C ) .
đường tròn
A. r = 1.
B. r = 5.
C. r = 2. .
D. r = 3. .
( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 và đường thẳng
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
x +1 y z + 2
d:
= =
2
1
3 . Đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vng góc
với d có phương trình là
x −1 y +1 z −1
x −1 y −1 z −1
x −1 y −1 z −1
x +1 y +1 z +1
=
=
=
=
=
=
=
=
−1

−3 . B. 5
−1
−2 .C. 5
−1
−3 D. 5
−1
−3
A. 5
A. 3 .

( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0 và điểm M ( 1; −2; 4 ) . Tìm tọa
Câu 37: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng

P .
độ hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng ( )
( 5; 2; 2 ) .
( 0;0; −3) .
( 3;0;3) .
( 1;1;3) .
A.
B.
C.
D.
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh 1 ,
. Khoảng cách từ
A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
Page 5
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1
B. 5 .

5
A. 2 .

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn

A. 432.

2
C. 5 .

x 2 − 25
< log 3
3
324
C. 216.

log 2

B. 434

π
4

Câu 40: Cho hàm số
2

∫
1

f ( x)

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

2

x 2 − 25
144 ?
D. 217.

∫ tan x. f ( cos x ) dx = 2

e2

2

0

và

∫

f ( ln 2 x )

e

x ln x

dx = 2
.

f ( 2x)
dx
x

Tính 4
A. 0 .

.

Câu 41: Cho hàm số bậc ba

Hàm số

1
D. 2 .

h ( x)

B. 1 .
y = f ( x)

có đạo hàm

C. 4 .

D. 8 .

có đồ thị như hình vẽ.

h′ ( x ) = f ( x 3 − 3 x 2 + m ) + 3

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

h( x)
[ −1; 2] .
tham số m để hàm số
có hoành độ cực trị thuộc đoạn
A. 11 .
B. 8 .
C. 9 .
D. 10 .
z
w=
2 + z 2 là một số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
Câu 42: Cho số phức z có phần ảo khác 0 và
K = z−4+i 2
thức
.
A. 2 + 2 2 .
B. 2 + 3 2 .

C. 4 2 .

D. 2 2 .

Câu 43: Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ , khoảng cách từ C đến BB′ là

5 , khoảng cách từ A đến
BB′ và CC ′ lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng ( A′B′C ′ ) là trung

điểm M của B′C ′ ,

2 15
A. 3 .
Câu 44: Cho hai hàm số

A′M =

15
3 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng.
15
3 .

B. 5 .
C.
3
2
f ( x ) = ax − 3 x + bx + 2; g ( x ) = cx 2 − 2 x + d

2 5
D. 3 .
có bảng biến thiên như sau:

Page 6
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa
mãn x1 + x2 + x3 = −2 . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x ) ; y = g ( x ) ; x = −1; x = 1

bằng

8
B. 3 .

10
A. 3 .

3
C. 4 .

Câu 45: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

z 2 − m +1z −

1
D. 2 .
1
m 2 − 5m − 6 = 0(m
4
là tham số thực).

(

)

Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−10;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức

z + z2 ≤ z1 − z2

mãn 1
A. 11.

z1 , z2

thỏa

?
B. 10.

C. 8.

D. 9.
 x = 1 − 2t

d :y = t
 z = −1 − t


M ( 1; 0; −2 )
không gian Oxyz , cho điểm

; đường thẳng
và
x −1 y + 2 z
d′ :
=
=
2
−1
1 . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M và chứa d . Khoảng cách giữa đường

Câu 46: Trong

thẳng d ′ và
12
A. 5 .

( P)

bằng
4
B. 5 .

8
C. 5 .

5
D. 5 .
2

2

2

x
x
x
x
x+2
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y để bất phương trình 6 + 9 y.3 ≤ 3 y + 2 .3
có
5 giá trị x nguyên?
A. 65024 .
B. 65021 .
C. 65022 .
D. 65023 .

( P ) đi qua
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hình trịn tâm O và O ' , chiều cao h = a 3 . Mặt phẳng
a 3
2 , cắt hai đường tròn tâm O và O′ tại bốn điểm là bốn đỉnh
2
của một hình thang có diện tích bằng 3a . Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã
cho bằng

tâm O và cách O′ một khoảng

144 3πa 3
169
A.
.

B.

3πa .
3

12 3πa 3
13
C.
.

169 3 3
πa
D. 144
.

Page 7
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 49: Trong

không gian

( S1 ) : ( x − 7 )

Oxyz ,

2

+ ( y + 7 ) + ( z − 5 ) = 24;
2

2

cho hai mặt cầu
3
2
2
2
( S2 ) : ( x − 3) + ( y + 5 ) + ( z − 1) =
2 và mặt phẳng ( P ) : 3 x − 4 y − 20 = 0 . Gọi A, M , N lần

lượt là các điểm thuộc

2 6
A. 5 .

( P ) ; ( S1 )

3 6
B. 5 .
f ( x)

và

( S2 ) . Đặt d = AM + AN . Tính giá trị nhỏ nhất của d .
4 6
C. 5 .

g ( x)

Câu 50: Cho hai hàm số
và
xác định và liên tục trên ¡ . Trong đó
hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

11 6
D. 10 .
′
g ( x ) =  f ( x 2 − 4 ) 
là

h ( x ) = f ( x2 + x + m)
( 0;1) ?
m
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của
để hàm số
đồng biến trên
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 7 .
---------- HẾT ----------

Page 8
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.D
11.A
21.A
31.C
41.B

Câu 1:

2.A
12.B
22.D
32.A
42.C

3.C
13.C
23.C
33.B
43.A

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.B
7.A
15.A
16.A
17.A
25.D
26.A

27.B
35.B
36.C
37.C
45.B
46.B
47.A

4.C
14.B
24.D
34.C
44.A

8.A
18.B
28.C
38.C
48.D

10.A
20.D
30.B
40.D
50.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .

Số phức
Câu 2:

9.A
19.B
29.C
39.D
49.D

B. w = −15 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
Lời giải
w = 5 z = 5 ( 3 − 4i ) = 15 − 20i

D. w = 15 − 20i .

x
Đạo hàm của hàm số y = 2 là:

A. y′ = 2 ln 2 .

B. y′ = 2 .

x

x

C.
Lời giải

y′ =

2x
ln 2 .

x −1
D. y′ = x 2 .

Chọn A
Ta có
Câu 3:

y ′ = ( 2 x ) ′ = 2 x ln 2

Đạo hàm của hàm số
A.
C.

2 ( 2 x +1)
-

-

1
3

2
( 2 x +1)
3

.

y = ( 2 x +1)

ln ( 2 x +1)

1
3

trên tập xác định là.
-

D.

1

( 2 x +1) 3 ln ( 2 x +1) .
B.

.

4
3

.

-

-

4
1
( 2 x +1) 3
3
.

Lời giải
1 ′
1
4
−1
−2
− 
− −1
−

y′ = ( 2 x + 1) 3  = ( 2 x + 1) ′ ( 2 x + 1) 3 =
2
x
+
1
(
) 3
3
3


Ta có:
.
2x

Câu 4:

3− x

3
3
 ÷ ≤ ÷
2
Tập các số x thỏa mãn  2 
( −∞;3] .
[ 1; +∞ ) .
A.
B.

là

( −∞;1] .

C.
Lời giải

D.

[ 3; +∞ ) .

Chọn C
2x

3− x

3
3
 ÷ ≤ ÷
2
Ta có  2 

⇔ 2 x ≤ 3 − x ⇔ 3x ≤ 3 ⇔ x ≤ 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S = ( −∞;1]

.

.
Page 9

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 5:

Cho cấp số nhân

( un )

có

A. 2 .

u2 = 3, u3 = 6
B. 1 .

u

. Số hạng đầu 1 là
3
C. 2 .

D. 0 .

Lời giải
u
6
u
3
q= 3 = =2
u1 = 2 =
u2 3
q 2.
Ta có cơng bội
. Suy ra
Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
( P) ?
véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
A.

r
n = ( 4;6;1)

.

B.

r
n = ( 3; 2;12 )

.

C.
Lời giải

( P) :

x y z
+ + = 1.
4 6 1
Véctơ nào sau đây là

r
n = ( 2;3;1)

.

D.

r
n = ( 1; 2;3)

.

Chọn B

x y z
+ + = 1 ⇔ 3 x + 2 y + 12 z − 12 = 0
4 6 1
Ta có
r
P)
n = ( 3; 2;12 )
(
Do đó mặt phẳng
có véc tơ pháp tuyến là
.
ax + b
y=
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là

( P) :

Câu 7:

A.

( 3;0 ) .

B.

( 2; 0 ) .

C. (
Lời giải

0; − 2 )

.

D.

Chọn A
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ
6

Câu 8:

∫

Nếu
A. −2 .

f ( x ) dx = 2

1

Ta có

6

và

∫ g ( x ) dx = −4
1

( 0;3) .

( 3;0 ) .

6

thì

B. 6 .

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx
1

bằng

C. 2 .
Lời giải

6

6

6

1

1

1

∫ ( f ( x ) + g ( x ) )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 2 + ( −4 ) = −2

D. −6 .

.
Page 10

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 9:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ:

A.

2x −1
x +1 .

y=

B.

y=

x+2
x +1 .

C.
Lời giải

y=

2x − 2
x −1 .

D.

y=

2x +1
x −1 .

Nhận thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và đường tiệm cận
ngang là y = 2 nên đáp án A đúng.
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S)

có phương trình

( x + 2)

2

+ ( y − 1) + ( z − 3) = 9
2

2

.

S
Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( ) là
I ( −2;1;3) ; R = 9
I −2;1;3) ; R = 3
A. (
.
B.
.
I ( 2; −1; −3) ; R = 9
I 2; −1; −3) ; R = 3
C. (
. D.
.
Lời giải
S
I −2;1;3)
Mặt cầu ( ) có tâm (
và bán kính R = 3 .

( P ) và ( Q ) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
uur
uur
uu
r
uu
r
nQ
nQ
P
Q
nP
nP
và
. Biết góc giữa hai vectơ
và
bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( )
bằng.
o
o
o
o
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90

Lời giải
Chọn A

·uur uur
nP ; nQ = 30° ⇒ (·( P ) ; ( Q ) ) = 30°.
Ta có:

(

)

1
Câu 12: Cho số phức z = −2 + 6i , phần thực của số phức z bằng
1
−1
−3
A. 20 .
B. 20 .
C. 20 .
Lời giải
Chọn B
1
1
−2 − 6i −1 3
z = −2 + 6i ⇒ =
=
= − i
z −2 + 6i
40
20 20
Ta có

3

D. 20 .

Page 11
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

1
−1
Vậy phần thực của số phức z bằng 20 .
3
Câu 13: Khối lập phương có thể tích 27a thì cạnh của khối lập phương bằng

A. 6a

B. 9a

D. 27a

C. 3a
Lời giải

3
3
Gọi cạnh của hình lập phương là x , ta có thể tích khối lập phương là x = 27a Û x = 3a .
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 . Biết rằng cạnh bên SA = 2a
và vng góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
2a 3
4a 3

a3
3
A. 3 .
B. 3 .
C. 2a .
D. 3 .

Lời giải

(

S ABCD = a 2

)

2

= 2a 2
ABCD
a
2
Đáy
là hình vng cạnh
nên có diện tích
.
SA ⊥ ( ABCD )
Do
nên SA = 2a là đường cao.
1
1

4a 3
V = .S ABCD .SA = .2a 2 .2a =
3
3
3 .
Thể tích khối chóp S . ABCD là
2
Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z - m - 3m = 0 và mặt
( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 9
2

cầu

m = 2

A.  m = −5 .

2

2

B. m = 2 .

. Tìm tất cả các giá trị của m để ( P) tiếp xúc với ( S ) .
 m = −2

C. m = −5 .
D.  m = 5 .

Lời giải

I ( 1; −1;1)
Ta có ( S ) có tâm
và bán kính R = 3
Để ( P) tiếp xúc với ( S ) thì

d ( I;( P) ) = R ⇔

1 − m 2 − 3m
3

 m 2 + 3m − 10 = 0
m = 2
=3⇔  2
⇔
 m = −5
 m + 3m + 8 = 0

Câu 16: Cho số phức z = 1 − 2i . Phần ảo của số phức z là?

A. 2 .

C. 2i.

B. −2 .

D. −2i.

Lời giải
Page 12

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Ta có số phức

z = 1 + 2i . Phần ảo của số phức z là 2 .

Câu 17: Một hình nón bán kính đáy bằng

4 ( cm )

, góc ở đỉnh là 120° . Tính diện tích xung quanh của

hình nón.
32π 3
cm 2 ) .
(
3
A.

64π 3
cm 2 ) .
(
3
B.

32π 3
cm 2 ) .
(

9
C.

32π 3
cm 2 ) .
(
2
D.

Lời giải

Độ dài đường sinh

l=

4
8
=
sin 60°
3.

8 32π 3
=
3 .
3
Diện tích xung quanh
( P ) : x − 3 y + 5 z − 2 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc mặt
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P
phẳng ( ) ?

Q ( 4; 4; 2 )
P ( 4; − 1;3)
N 1;1; 7 )
M ( 0; 0; 2 )
A. (
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Q 4; 4; 2 )
P
Q ∈( P)
Tọa độ điểm (
thỏa mãn phương trình ( ) nên
.
y = f ( x)
Câu 19: Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã
cho có tọa độ là
S xq = π rl = π .4.

A. (−1; 2) .

B. (0;1) .

C. (1; 2) .

Lời giải

D. (1; 0) .

Chọn B
Từ bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là (0;1) .
Câu 20: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị nào dưới đây?
2
1+ x
−2 x + 3
2x − 2
y=
y=
y=
y=
x +1 .
1− 2x .
x−2 .
x+2 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
Page 13
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Trong 4 đáp án trên chỉ có đáp án

y=

2x − 2
2x − 2
lim
=2
x + 2 thoả x → ±∞ x + 2
.
log 2 ( x − 4 ) + 1 > 0

Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

 13 
 4; ÷
A.  2  .

5

 13 
 4; ÷
B.  2  .

13 

 −∞ ; ÷
2 .
C. 

Lời giải

 13

 ;+ ∞÷
.
D.  2

Điều kiện: x − 4 > 0 ⇔ x > 4 .
log 2 ( x − 4 ) > −1 ⇔ x − 4 < 5 ⇔ x < 13
2
2.
5

 13 
S =  4; ÷
 2 .
Vậy
A = { 0;1; 2;3; 4;5; 6}
Câu 22: Cho tập
, có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của tập hợp A
3
3
A. P3 .
B. A7 .
C. P7 .
D. C7 .
Lời giải
Câu 23: Hàm số

F ( x ) = ex

2

f ( x) = x e + 3

là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

2 x2

A.

f ( x ) = x2ex + C
2

.

B.

. C.
Lời giải

F ( x ) = e x ⇒ f ( x ) = F ′ ( x ) = 2 xe x
2

Ta có:
3

Câu 24: Nếu

∫ ( 3f ( x) + 5) dx = 9
0

2

.

D.

f ( x ) = xe x

2

.

2

.

3

thì

∫ f ( x) dx
0

bằng

4
B. 3 .

A. 8 .

f ( x ) = 2 xe x

3
C. 4 .

D. −2.

Lời giải
Ta có

3

3

3

3

3

0

0

0

0

0

∫ ( 3 f ( x) + 5) dx = 9 ⇔ 3∫ f ( x) dx + 5∫ dx = 9 ⇔ 3∫ f ( x) dx + 15 = 9 ⇔ ∫ f ( x) dx = −2
f ( x ) = cos x +

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số

A.

− sin x −


Ta cos

1
+C
x2
.

B.

.

1
x

− sin x + ln x + C

sin x −

. C.
Lời giải

1
+C
x2
.

D.

sin x + ln x + C

.

1

∫  cos x + x ÷dx = sin x + ln x + C

Câu 26: Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

.

có đồ thị như hình sau

Page 14
Sưu tầm và biên soạn

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

y = f ( x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 0; 2 ) .
( −∞ ; − 1) .
( 2; 4 ) .
( −1; 2 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
y = f ( x)
( 0; 2 ) .
Dựa vào đồ thị, hàm số
nghịch biến
Câu 27: 211Equation Chapter 1 Section 1 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. −1.
B. 4.

C. 3.
Lời giải

D. −2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là: y = f (−1) = 4.
2 5
P = 2 log 2 a + 5 log 2 b
Câu 28: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b = 64 . Giá trị của
là
P
=
7
P
=
64
P
=
6
P
=
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
a 2b 5 = 64 ⇔ log 2 ( a 2b5 ) = log 2 64 ⇔ 2 log 2 a + 5 log 2 b = 6
Theo bài ra: a, b > 0 ;
.
Vậy P = 6 .

Câu 29: Quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (3 x − 1) ln x , trục Ox và

đường thẳng x = 2 ta thu được khối trịn xoay có thể tích bằng
2

2

2
∫ (3x − 1) ln xdx

A.

1
3

π ∫ (3x − 1)2 ln xdx
.

2

C.

π ∫ (3x − 1) 2 ln xdx
1

1
3

B.

.

2

.

Tập xác định của hàm số

D.

∫ (3x − 1)

2

D = [ 1; +∞ )

ln xdx
.
Lời giải

1

.

Page 15
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Phương trình hồnh độ giao điểm của hàm số

y = (3x − 1) ln x

và trục Ox

là

( 3x - 1) ln x = 0 Û x =1 .
2

Thể tích khối tròn xoay bằng

V = π ∫ (3 x − 1) 2 ln xdx.
1

′
Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' , BC = a, AC = 2a, A A = a 3 . Tính góc giữa mặt

( BCD ' A ')

phẳng
A. 30° .

( ABCD ) .

và mặt phẳng
B. 45° .

C. 60° .

Lời giải

D. 90° .

Ta có: ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình hộp chữ nhật

 AB ⊥ BC

⇒  BA′ ⊥ BC
 ABCD ∩ A′D ′CB = BC
) (
)
(

⇒ góc giữa mặt phẳng ( BCD ' A ') và mặt phẳng ( ABCD ) là góc ·ABA′ .
A′A
a 3
a 3
tan ·A′BA =
=
=
=1
AB
AC 2 − BC 2 a 3
⇒ ·A′BA = 45° .
Vậy góc giữa mặt phẳng
Câu 31: Số Hàm số

y = f ( x)

( BCD ' A ')

và mặt phẳng

( ABCD )

bằng 45° .

có bảng biến thiên như sau:

f ( x) = m
Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt
A.

[ −4; 2] .

B.

( −4; 2] .

Số nghiệm của phương trình

f ( x) = m

( −4; 2 ) .

C.
Lời giải

D.

là số giao điểm của đồ thị hàm số

[ −4; 2 ) .

y = f ( x)

và đường

m ∈ ( −4; 2 )
thẳng y = m . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
.
y = f ( x)
y = f ′( x)
Câu 32: Cho hàm số bậc bốn
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau
Page 16
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

y = f ( x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
1; 4 )
−1;1)
0;3)

−∞ ; 0 )
A. (
.
B. (
.
C. (
.
D. (
.
Lời giải
y = f ′( x)
Dựa vào đồ thị hàm số
ta có
f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; + ∞ )
f ′ x < 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ; − 1) ∪ ( 1; 4 )
và ( )
.
y = f ( x)
−1;1)
4; + ∞ )
Do đó hàm số
đồng biến trên các khoảng (
và (
, nghịch biến trên các

khoảng

( −∞ ; − 1)

Vậy hàm số

và (
y = f ( x)

1; 4 )

.

nghịch biến trên khoảng

( 1; 4 )

là đúng.

Câu 33: Xếp ngẫu nhiên 3 quả cầu màu đỏ khác nhau và 3 quả cầu màu xanh giống nhau vào một giá

chứa đồ nằm ngang có 7 ơ trống, mỡi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để 3 quả cầu màu
đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng.
3
3
3
3
A. 160 .
B. 70 .
C. 80 .
D. 140 .
Lời giải
Chọn B
3
Chọn 3 ô trống trong 7 ô để xếp 3 quả cầu xanh giống nhau có C7 cách.

3
Chọn 3 ơ trống trong 4 ơ còn lại để xếp 3 quả cầu đỏ khác nhau có A4 cách.
⇒ n ( Ω ) = C73 . A43 = 840
cách.
Gọi A là biến cố “ 3 quả cầu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu xanh xếp cạnh nhau”
Xem 3 quả cầu đỏ là nhóm X , 3 quả cầu xanh là nhóm Y .
2
Xếp X , Y vào các ơ trống có A3 cách.

Hốn vị 3 quả cầu đỏ trong X có 3! cách.
⇒ n ( A ) = A32 .3! = 36
.
n ( A)
3
P ( A) =
=
n ( Ω ) 70
Xác suất của biến cố A là:
.
2

Tích các nghiệm của phương trình log 2 x − 3log 2 x + 2 = 0 là
A. 3 .
B. 6 .
C. 8 .
Lời giải

Câu 34:

D. 2 .

log x = 1
x = 2
log 22 x − 3log 2 x + 2 = 0 ⇔  2
⇔
x = 4 .
log 2 x = 2
Điều kiện x > 0 . Khi đó phương trình
Vậy tích các phương trình đã cho là 8.

Page 17
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
z
=1
i
+
2
z
Câu 35: Cho số phức thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một
( C ) . Tính bán kính r của đường trịn ( C ) .
đường tròn
A. r = 1.
B. r = 5.
C. r = 2. .
D. r = 3. .
Lời giải

z
=1⇔ z = i + 2 = 5
i
+
2
Ta có:
.

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính r = 5.
( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 và đường thẳng
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
x +1 y z + 2
d:
= =
2
1
3 . Đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vng góc
với d có phương trình là

x −1 y +1
=
=
−1
A. 5
x −1 y −1
=
=
−1
C. 5

z −1
x −1 y −1
=
=
−3 . B. 5
−1
z −1
x +1 y +1
=
=
−3 D. 5
−1

z −1
−2 .
z +1
−3
Lời giải

uu
r
ud = ( 2;1;3)

uur
nP = ( 1; 2;1)

( P) .
là véc-tơ chỉ phương của d và
là véc-tơ pháp tuyến của
∆ ⊂ ( P)

A = d ∩ ( P)
Gọi A = d ∩ ∆ . Do
nên
.
x = 1
x + 2 y + z − 4 = 0


 x + 1 y z + 2 ⇔  y = 1 ⇒ A ( 1;1;1)
 2 = 1 = 3
z = 1

A
Suy ra tọa độ
thỏa hệ:
.
uur uur
 ∆ ⊂ ( P )
u∆ ⊥ nP
⇒  uur uu
r
uur

∆
⊥
d

u
⊥
u

u


d
 ∆
∆
Gọi
là véc-tơ chỉ phương của ∆ . Lại có:
ta chọn
uu
r
uur uu
r
u∆ =  nP ; ud  = ( 5; −1; −3 )
.
Ta có

x −1 y −1 z −1
=
=
−1
−3 .
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 5
( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0 và điểm M ( 1; −2; 4 ) . Tìm tọa
Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
P .
độ hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng ( )
( 5; 2; 2 ) .
( 0;0; −3) .
( 3;0;3) .

( 1;1;3) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Page 18
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

M ( 1; −2; 4 )
P
+ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua
và vng góc với mặt phẳng ( ) .
 x = 1 + 2t

 y = −2 + 2t ( t ∈ ¡ )
z = 4 − t
Phương trình tham số của ∆ là: 
.
H ( 1 + 2t ; −2 + 2t ; 4 − t )

( P) .
là hình chiếu vng góc của M trên
( P ) nên thay tọa độ của H vào phương trình của ( P ) , ta được:
Vì H nằm trên
2 ( 1 + 2t ) + 2 ( −2 + 2t ) − ( 4 − t ) − 3 = 0 ⇔ 9t − 9 = 0 ⇔ t = 1
.

H ( 3;0;3)
Vậy
.
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh 1 ,
. Khoảng cách từ
A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
1
2
1
5
A. 2 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 2 .
+ Gọi

Lời giải

CD ⊥ ( SAD )
. Do
nên CD ⊥ AE .
AE ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AE
Do đó:
.
1
1
1
2
= 2+

⇒ AE =
2
2
SA
AD
5.
Xét tam giác SAD : AE
Hạ

AE ⊥ SD ( E ∈ SD )

Vậy:

d ( A, ( SCD ) ) =

2
5.

x 2 − 25
< log 3
3
324
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn
A. 432.
B. 434
C. 216.
Lời giải
Chọn D
D = ( −∞; −5 ) ∪ ( 5; +∞ ) .
TXĐ:

log 2

Ta có:
⇔

log 2

3

x 2 − 25
< log 3
324

( (

2

x 2 − 25
144

)

( (

1
1
ln x 2 − 25 − ln 324 <
ln x 2 − 9 − ln144
ln 2 3
ln 3 2

)

2

x 2 − 25
144 ?
D. 217.

)

)
Page 19

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
⇔

( (

)

( (

1
1
ln x 2 − 25 − 4 ln 2 3 <
ln x 2 − 25 − 4 ln 3 2

ln 2 3
ln 3 2

(

)

) (

)

)

(

⇔ ln 3 2 − ln 2 3 ln x 2 − 25 < 4 ln 2 3 2 − ln 2 2 3

(

(

)

⇔ ln x 2 − 25 < 4 ln 3 2 + ln 2 3

(

⇔ x 2 − 25 < 3 2.2 3

)

)

)

)

4

⇔ − 46681 < x < 46681

x ∈ { −216; −215;...; −6; 6;...; 215; 216}
Kết hợp điều kiện ta có
.
x
Vì ngun dương nên có 217 số ngun x thỏa mãn.
π
4

f ( x)

Câu 40: Cho hàm số

f ( 2x)

2

∫
Tính
A. 0 .

x

1
4

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

2

0

và

∫
e

f ( ln 2 x )
x ln x

dx = 2
.

dx

.
C. 4 .
Lời giải

B. 1 .

π
4

*

∫ tan x. f ( cos x ) dx = 2

e2

D. 8 .

π

2
1 4 f ( cos x )
2
I1 = ∫ tan x. f ( cos x ) dx = ∫
.sin2xdx
2 0 cos 2 x
0

.

Đặt cos x = t ⇒ sin 2 xdx = −dt .
Đổi cận
2

x

0

t

1

1

1

⇒∫
1 2 f (t)
I1 = − ∫
dt
1
21 t
2
Khi đó
e

I2 =
*

2

∫
e

f ( ln x )
2

x ln x

2
Đặt ln x = t

⇒

f ( t)
dt = 4
t

.

e
1 f ( ln x ) 2ln x
.
dx
2 ∫e ln 2 x
x

x

t

f ( t)
1 f ( t)
dt ⇒ ∫
dt = 4
∫
21 t

t
1
.
4

Khi đó

2

I =∫

* Tính
Đổi cận

1
4

.

2 ln x
dx = dt
x
.

Đổi cận

I2 =

4
1

2

2

2

dx =

π

f ( 2x )
dx
x

e

e2

1

4

4

. Đặt 2x = t

x

⇒ dx =

1
dt
2 .
1
4

2
Page 20

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1
2

t
4

I =∫
1
2

Khi đó

1
4
f ( t)
f ( t)
f ( t)

dt = ∫
dt + ∫
dt = 4 + 4 = 8
t
t
t
1
1
2

Câu 41: Cho hàm số bậc ba

Hàm số

4

h ( x)

y = f ( x)

có đạo hàm

.

có đồ thị như hình vẽ.

h′ ( x ) = f ( x 3 − 3 x 2 + m ) + 3

. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

h( x)
[ −1; 2] .
tham số m để hàm số
có hồnh độ cực trị thuộc đoạn
A. 11 .
B. 8 .
C. 9 .
Lời giải

D. 10 .

 x 3 − 3 x 2 + m = −1
h′ ( x ) = 0 ⇔ f ( x − 3 x + m ) + 3 = 0 ⇔ f ( x − 3x + m ) = −3 ⇔  3
2
 x − 3x + m = 2
Ta có:
3

2

3

 x 3 − 3x 2 = −1 − m
⇔ 3
( ∗)
2
 x − 3x = 2 − m

Xét hàm số
Ta có BBT:

g ( x ) = x3 − 3x 2

trên đoạn

2

[ −1; 2]

Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán:
 −4 ≤ −1 − m ≤ 0
 −1 ≤ m ≤ 3
⇔
⇔ −1 ≤ m ≤ 6
( ∗) ⇒ 
 −4 ≤ 2 − m ≤ 0
2 ≤ m ≤ 6
Suy ra

m ∈ { −1; 0;1; 2;3; 4;5; 6}

Câu 42: Cho số phức z có phần ảo khác 0 và

K = z−4+i 2
thức
.
A. 2 + 2 2 .
B. 2 + 3 2 .

w=

z
2 + z 2 là một số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

C. 4 2 .

D. 2 2 .
Page 21

Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
Chọn C
2
Đặt z = a + bi với a, b ∈ ¡ ; i = −1 và b ≠ 0 . Ta có
z
a + bi
a + bi
(a + bi )(a 2 − b 2 + 2 − 2abi )
w=
=
=
=
2
2 + z 2 2 + ( a + bi ) 2 a 2 − b 2 + 2 + 2abi
( a 2 − b 2 + 2 ) + 4a 2b 2

 a (a 2 − b 2 + 2) + 2ab 2  + b(a 2 − b 2 + 2) − 2a 2b  i

=
2
( a 2 − b 2 + 2 ) + 4a 2 b 2

z
2 + z 2 là một số thực suy ra
b(a 2 − b 2 + 2) − 2a 2b = 0
 a 2 + b 2 = 2
⇔ 2 2
 2 2
2
2
2 2
2 2
( a − b + 2 ) + 4a b ≠ 0
( a − b + 2 ) + 4a b ≠ 0
w=

(

K2 = z − 4+i 2

)

2

= (a − 4) 2 + (b + 2) 2 = a 2 + b 2 − 8a + 2 2b + 16 + 2

= 20 − 8a + 8b ≤ 20 +

( (−8)

2

)

+ ( 8) 2 ( a 2 + b2 ) = 20 + 12 = 32

Suy ra K ≤ 4 2 .
K =4 2
Vậy max
Câu 43: Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ , khoảng cách từ C đến BB′ là

5 , khoảng cách từ A đến
BB′ và CC ′ lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng ( A′B′C ′ ) là trung

điểm M của B′C ′ ,

2 15
A. 3 .

A′M =

B.

15
3 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng.
5.

C.

Lời giải

15
3 .

2 5
D. 3 .

C′

Kẻ AI ⊥ BB ' , AK ⊥ CC ' .
Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 ⇒ AI = 1 , AK = 2 .
Page 22
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

⇒ AF = A′M =

15
3

Gọi F là trung điểm của BC
AI ⊥ BB ' 
 ⇒ BB ' ⊥ ( AIK )
BB
'
⊥
AK


⇒ BB ' ⊥ IK .
Ta có
2
2
2
Vì CC //BB ' ⇒ d (C , BB ') = d ( K , BB ') = IK = 5 ⇒ IK = AI + AK ⇒ ∆AIK vuông tại A .
⇒ EF ⊥ ( AIK ) ⇒ EF ⊥ AE
Gọi E là trung điểm của IK ⇒ EF //BB '
.
·
·
= FAE
AM ⊥ ( ABC )
( ABC ) , ( AIK ) ) = ( EF ; AM ) = AME
Lại có
. Do đó (

5
= 2
15
AE
3
·
cos FAE
=
=
·
3
= 30° .

AF
2 ⇒ FAE
Ta có

( AIK )

Hình chiếu vng góc của tam giác ABC lên mặt phẳng

S AIK

là ∆AIK nên ta có:

3 ⇒ 2 =S
⇒ 1 = S ABC
ABC
·
= S ABC cos EAF
3
2
.

15
⇒ AM = 3
3
AF
tan ·AMF =
3 ⇒ AM = 5 .
AM
Xét ∆AMF vuông tại A :
f ( x ) = ax3 − 3 x 2 + bx + 2; g ( x ) = cx 2 − 2 x + d

Câu 44: Cho hai hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa
mãn x1 + x2 + x3 = −2 . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x ) ; y = g ( x ) ; x = −1; x = 1

8
B. 3 .

10
A. 3 .

Tại

bằng

các

điểm

cực

3
C. 4 .
Lời giải
α, β

trị

của

1
D. 2 .
thì

g(α) = g( β ) = 0

dó

đó

g ( x ) = c ( x − α ) ( x − β ) ; f ′ ( x ) = 3ax − 6 x + b = 3a ( x − α ) ( x − β )
2

Page 23
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

1

k=

c = 3ka
3



2
2
g ( x ) = k . f ′ ( x ) ⇔ cx − 2 x + d = k ( 3ax − 6 x + b ) ⇔ 2 = 6k ⇔ c = a
d = kb

b

d =
3.

Do đó:
b
f ( x ) = ax3 − 3x 2 + bx + 2; g ( x ) = ax 2 − 2 x +
3.
Suy ra:
Phương trình hồnh độ giao điểm:

b
b
⇔ ax 3 + ( −3 − a ) x 2 + ( b + 2 ) x + 2 − = 0
3
3
a+3
b
x1 + x2 + x3 =
= −2 ⇔ a = − 1 ⇒ g ( x ) = − x 2 − 2 x +
a
3 đạt giá trị lớn nhất tại x0 = −1
Viet:
ax3 − 3 x 2 + bx + 2 = ax 2 − 2 x +

và giá trị lớn nhất đó bằng

g ( −1) = 1 ⇔

1

S=
Vậy

∫ −x

3

− x 2 + 2 x + 2 dx =

−1

b
+ 1 = 1 ⇔ b = 0 ⇒ c = −1; d = 0
3
.

10
.
3

Câu 45: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

z 2 − m +1z −

1
m 2 − 5m − 6 = 0(m
4
là tham số thực).

(

)

Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−10;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức

z + z2 ≤ z1 − z 2

mãn 1
A. 11.

z1 , z2

thỏa

?
B. 10.

C. 8.
Lời giải

D. 9.

2

Điều kiện m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −1 . ∆ = m − 4m − 5
m ≥ 5
∆ ≥ 0 ⇔ m 2 − 4m − 5 ≥ 0 ⇔ 
 m ≤ −1 phương trình có 2 nghiệm thực
+ Trường hợp 1:

z1.z2 = −

z1 , z2

1 2
m − 5m − 6
4
.

(

)

Theo định lý Viet
2
2
z1 + z2 ≤ z1 − z2 ⇔ z1 + z2 ≤ z1 − z2 ⇔ 4 z1.z2 ≤ 0
m ≥ 6
− m2 − 5m − 6 ≤ 0 ⇔ m 2 − 5m − 6 ≥ 0 ⇔ 
 m ≤ −1

(

)

( 10 − 6 ) + 1 + 1 = 6 .

Do m ∈¢ và m ∈ [−10;10] nên số giá trị m thỏa mãn là
2
+ Trường hợp 2: ∆ < 0 ⇔ m − 4m − 5 < 0 ⇔ −1 < m < 5 .
phương trình có 2 nghiệm phức

z1 , z2

m ≥ 6
 m 2 − 5m − 6 ≥ 0 
z1 + z2 ≤ z1 − z2 ⇔ z1 + z2 ≤ z1 − z2 ⇔ m + 1 ≤ m − 4m − 5 ⇔  2
⇔ m ≤ −1
 m − 3m − 4 ≤ 0 
 −1 ≤ m ≤ 4
Do m ∈¢ , −1 < m < 5 và m ∈ [−10;10] nên số giá trị m thỏa mãn là m = 0, m = 1, m = 2, m = 3 .
Vậy có 10 giá trị của m.
2

2

2

Page 24
Sưu tầm và biên soạn


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
 x = 1 − 2t


d :y = t
 z = −1 − t


M ( 1; 0; −2 )
không gian Oxyz , cho điểm
; đường thẳng
và
x −1 y + 2 z
d′ :
=
=
2
−1
1 . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M và chứa d . Khoảng cách giữa đường

Câu 46: Trong

thẳng d ′ và
12
A. 5 .

( P)

bằng
4
B. 5 .

8

C. 5 .
Lời giải

5
D. 5 .

Chọn B

uuur
A ( 1; 0; −1) ∈ d
MA = ( 0; 0;1)
Lấy
ta có
.
uuur uu
r
 MA, ud  = ( −1; −2;0 )

Ta có 
.

uur
nP = ( 0;1;0 )

( P)
Mặt phẳng

đi qua M và chứa d suy ra
P : x + 2 y −1 = 0
Phương trình mặt phẳng ( )

.
uur
u = ( 2; −1;1)
Đường thẳng d ′ có vectơ chỉ phương là d ′
uur uur
ud ′ .nP = 0 ⇒ d ′ // ( P )
Ta thấy
.
N 1; −2; 0 ) ∈ d ′
Lấy (
.
x + 2 yN − 1
4
d ( d ′, ( P ) ) = d ( N , ( P ) ) = N
=
2
2
2
5.
1 +2 +0
Vậy

.

2

2

2

x
x
x
x
x+2
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số y để bất phương trình 6 + 9 y.3 ≤ 3 y + 2 .3
có

5 giá trị x nguyên?
A. 65024 .

B. 65021 .

C. 65022 .
Lời giải

D. 65023 .

Chọn A
2

2

2

x
x
x
x
x+2

Biến đổi bất phương trình 6 + 9 y.3 ≤ 3 y + 2 .3
2

2

2

2

⇔ (3x .2 x − 3x y ) + (9 y.3x − 2 x .3x + 2 ) ≤ 0
2

2

2

⇔ 3x (2 x − y ) + 9.3x ( y − 2 x ) ≤ 0
2

2

⇔ (2 x − y )(3x − 9.3x ) ≤ 0

(3

x2 − x

)(

)

2

− 9 2x − y ≤ 0
3x

2

−x

3x

2

−x

- Th1: Xét

 x = −1
− 9 = 0 ⇔ x2 − x = 2 ⇔ 
 x = 2 là nghiệm của bất phương trình.
 x < −1
− 9 > 0 ⇔ x2 − x > 2 ⇔ 
x > 2 .

- Th2: Xét
x2
2
Khi đó, (1) ⇔ 2 ≤ y ⇔ x ≤ log 2 y (2)
Nếu y < 1 thì vơ nghiệm.

Page 25
Sưu tầm và biên soạn