đề 14 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 14 – MÃ ĐỀ: 114
z
=
3
+
2
i
Cho số phức
. Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào sau đây?
Q ( - 3; - 2)
M ( 3; 2)
N ( - 3; 2)
P ( 3; - 2)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

y = log ( 2 x + 1)

2
Tính đạo hàm của hàm số
.
2
1
2
y′ =
y′ =
′
y
=
( 2 x + 1) ln 2
( 2 x + 1) ln 2 C.
2x + 1
A.
B.
e
Đạo hàm của hàm số là y = x trên tập số thực, là
e +1
A. y′ = ex .

Câu 4:

Câu 5:

e −1
B. y′ = ex .

C.

y′ =

1 e −1
x
e
.

D.

D.

y′ =

1
2x + 1

y′ =

1 e +1
x
e +1
.

x+1
Tập nghiệm của bất phương trình 2 > 8 là
( −∞; 2 ) .
( −∞; 2] .

( 2; +∞ ) .
[ 2; +∞ ) .
A.
B.
C.
D.
u = 3 và công bội q = −2 . Số hạng thứ 7 của cấp số nhân đó là
(u )
Cho cấp số nhân n với 1

A. −384 .
Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

B. 192 .
C. −192 .
D. 384 .
A ( 9;0;0 ) , B ( 0;9;0 ) , C ( 0;0;9 )
Trong không gian Oxyz , cho
. Tìm tọa độ của một vectơ pháp
( ABC ) .
tuyến của mặt phẳng
( 1; 2;3) .
( 81;81;81) .
( 9;0;0 ) .
( 9;0;9 ) .
A.

B.
C.
D.
y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ R )
Cho hàm số
có đồ thị là đường
cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho
và trục tung là
( 0; − 2 ) .
( −2;0 ) .
A.
B.
( 0; − 1) .
( −1;0 ) .
C.
D.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡
thoả mãn:
2

4

∫ f ( x)dx = 5; ∫ f ( x)dx = 8

4

∫ ( f ( x ) + 3 ) dx .

. Tính 2
A. 6 .

B. 9 .
C. 19 .
Câu 9: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số nào?
−1

−1

3
A. y = − x + 3 x + 2 .

3
B. y = − x − 3 x + 2 .

4
2
C. y = x − x + 2 .

D. 3 .

3
D. y = x − 3 x + 2 .

Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

I ( 1; 4;0 )
M ( 1; 4; − 2 )
S

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Mặt cầu ( ) tâm I và đi qua
có
phương trình là

( x − 1)

2

A.
C.

( x + 1)

2

và

uur
nQ

+ ( y − 4) + z 2 = 4

( x − 1)

2

B.

+ ( y − 4) + z 2 = 2

.

D.

( x + 1)

2

+ ( y + 4) + z 2 = 2

.

2

+ ( y + 4) + z2 = 4

.

2

.

2

2

uu
r
P)

Q)
(
(
nP
Oxyz
,
Câu 11: Trong không gian
cho hai mặt phẳng
và
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

và

. Biết cosin góc giữa hai vectơ

( Q)

uu
r
nP

và

uur
nQ

bằng

3
.

3 Cosin góc giữa hai mặt phẳng ( P )

−

bằng.

3
.
A. 3

B.

−

3
.
3

6
.
C. 3

D.

−

6
.
3

Câu 12: Cho số phức z = 2 + 3i , tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng
2

A. 7 .

B. 12 .

C. −5 .

D. 6 .

2
Câu 13: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 7 a và chiều cao h = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho

bằng:
14 3
a
A. 2 .

14 3
a
B. 3 .

3

3
D. 7a .

C. 14a .

Câu 14: Cho khối chóp S . ABC có ba cạnh SA , SB , SC cùng có độ dài bằng a và vng góc với nhau

từng đơi một. Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
a3
a3
a3
A. 6 .
B. 3 .
C. 2 .

3
D. a .

( S ) : x 2 + y 2 + ( z + 3) = 5 . Mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
2

( P ) : 2x − y + 2z + 3 = 0

theo một đường trịn có bán kính bằng
B. 2.
C. 1 .
D. 3.
Câu 16: Phần ảo của số phức 2 − 3i là:
A. −2 .
B. 2 .
C. 3 .
D. −3 .
Câu 17: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài bằng a . Tính diện tích
S

tồn phần tp của hình nón đó.
3 2
5 2
1 2
2
S
=
π
a
S
=
π
a
S
=
πa
tp
tp
tp
Stp = π a
4
4
4
A.
.
B.
.
C.
.
D.

A. 4.

Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình

thẳng d đi qua điểm nào sau đây
B ( 2;3; −2 )
C ( −2; −3; 2 )
A.
.
B.
.
Câu 19: Cho hàm số

y = f ( x)

C.

A ( 1; −1;1)

.

x = 2 + t

y = 3−t ( t ∈¡
 z = −2 + t


D.

)

. Hỏi đường

D ( 2;3; 2 )

.

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là.
A. (2; −2) .

B. (1;5) .

C. ( −2; 2) .

D. Khơng có điểm cực đại.

Câu 20: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. y = −2 .

y=

B. y = 1 .

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

x−2
x + 1 là đường thẳng có phương trình

C. x = −1 .

D. x = 2 .

log3 ( x - 1) £ 1

là
( 1;4ùúû.
C.

( - ¥ ;4ùúû.
B.
A = { 1; 2;...;9;10} .
Câu 22: Cho tập
Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là
2
A. 2! .
B. A10 .
C. 10! .
A.

( - ¥ ;4) .

Câu 23: Nếu

D.

( 0;4ùúû.

2
D. C10 .

F ( x ) = x 3 − 7 x + 2e x + C C
F x
( là hằng số) thì ( ) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau

đây?
A.
C.

f ( x) =

x4 7x2
−
+ e2 x
4
2
.

f ( x ) = 3x 2 − 7 + 2e x
1

Câu 24: Nếu

∫ f (2 x)dx = 8

0

B.

.

D.

f ( x ) = 3x 2 − 7 + 2 xe x
f ( x) =

4

.

2

x
7x
−
+ 2e x
4
2
.

2

thì

∫ [ f ( x ) − 2 x ] dx

0

bằng

A. 8 .

B. 10 .
C. 12 .
D. 16 .
2
f ( x ) = sin x + 3 x − 1
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
là
3
3
A. cos x + x − x + C . B. cos x + 6 x .
C. − cos x + x − x + C . D. − cos x + 6 x − x + C .
Câu 26: Cho hàm số

Hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ.

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Page 3

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A.

( - ¥ ;2) .

Câu 27: Cho hàm số

y = f ( x)

B.

( - 1;1) .

C.

( 0;2) .

D.

( 1;+¥ ) .

có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. −1.

D. 3 .

C. 1 .

a(
Câu 28: Cho a, b là các số thực dương và a ≠ 1 thoả mãn
3
3
−
−
A. 4 .
B. 2 .
C. −3 .

log

a 2b ) =

1
2 . Giá trị của log a2 b bằng
3
D. 4 .

( H)

2
giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0; x = 2 . Thể tích V của khối trịn
( H ) quanh trục Ox là
xoay thu được khi quay
32π
8π
3π

V=
V=
V=
5 .
3 .
5 .
A. V = 4π .
B.
C.
D.
Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B ′C ′ có cạnh bên có độ dài bằng a . Biết khoảng cách từ điểm

Câu 29: Cho hình phẳng

C

( C ′AB )
đến mặt phẳng

a 3
( C ′AB ) và ( ABC ) .
bằng 2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng

0
A. 30 .

0
B. 60

0

C. 45 .

0
D. 90 .

Câu 31: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình.

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
nhiều nghiệm nhất là
A. 3 .
B. 12 .
C. 13 .
D. 11 .
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?

3 f ( x) − m = 0

có

f ′ ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 5 ) ( x + 1) .
2

Hàm số

y = f ( x)

đồng biến

( 0; +∞ ) .
( −∞; −5 ) .
( −1; 2 ) .
B.
C.
D.
Câu 33: Trong một hịm phiếu có 9 lá phiếu ghi các số tự nhiên từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên cùng lúc
hai lá phiếu. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn
hoặc bằng 15 .
5
1
1
1
A. 18
B. 6
C. 12
D. 9
A.

( −5; −1) .

Page 4

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 34: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình

log 1 2 x − 5 log 3 x + 6 = 0
3

.Tính T .
T=

A. T = 5 .

1
243 .

B. T = −3 .
C. T = 36 .
D.
z+2
Câu 35: Xét các số phức z thỏa mãn z − 2i là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức z ln thuộc một đường trịn cố định. Bán kính của đường trịn đó bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. 2 2 .
D. 2 .
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau

x−4 y −4 z +3
=
=

2
2
−1 . Phương trình đường vng
( d1 ) , ( d 2 ) là
x − 4 y +1 z
x−2
=
=
=
( d1 ) :
2
−1 2 .
A.
B. 6
x−2 y−2 z +2
x−4
=
=
=
−1
2 .
C. 2
D. 2
Câu 37: Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với

( d2 ) :

A.

( −1; −2;0 ) .

B.

( −1;2;0) .

C.

( d1 ) :

x −1 y +1 z − 2
=
=
3
2
−2 ,

góc chung của hai đường thẳng

y−2 z +2
=
3
−2 .
y −1 z
=
−1 −2 .
M (−1;2;0) qua trục Ox ?

( 1;2;0 ) .

D.

( 0; −2;1) .

Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA = a 3 và vuông

d từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
a 15
a 3
d=
d=
5 .
2 .
B. d = a .
C.
D.
(log 3 3 x) 2 − 4 log 3 x  ( 4 x − 18.2 x + 32 ) ≥ 0
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x < 25 thỏa mãn 
?
A. 22 .
B. 23 .
C. 24 .
D. 25 .
F ( x) ,G ( x) , H ( x)
f ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên R . Gọi
là ba nguyên hàm của
trên
góc với mặt đáy

a 5
d=
5 .
A.

( ABC ) . Tính khoảng cách

2

R thỏa mãn

F ( 8) + G ( 8) + H ( 8) = 4
1
B. 4 .

A. 3.
Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

và

F ( 0) + G ( 0) + H ( 0) = 1
C. 6.

f ′ ( x ) = x ( x 2 − 3x + 2 )
2

có đạo hàm

. Khi đó

∫ f ( 4 x ) dx
0

bằng

3
D. 2 .
với mọi x . Có bao nhiêu giá trị

g ( x ) = f ( x2 − x + m)
m
nguyên
bé hơn 15 để hàm số
có duy nhất một điểm cực trị?
10
13
A. .
B. 12 .
C. .
D. 11 .
z−w =9
Câu 42: Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T= z+w
.
A. max T = 176 .
B. max T = 14 .
C. max T = 4 .

D. max T = 106 .

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

2
2 15
=
3
3 .Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác
Câu 43: Vậy
0
·
·
vuông tại A , cạnh BC = 2a và ABC = 60 . Biết tứ giác BCC ' B ' là hình thoi có B ' BC là góc
VABC . A ' B 'C ' = 5.

BCC ' B ')
ABC )
ABB ' A ' )
nhọn, mặt phẳng (
vng góc với (
, góc giữa hai mặt phẳng (
và

( ABC ) bằng 450 . Thể tích khối lăng trụ

6a 3

A. 7 .

a3
3a 3
a3
B. 7 .
C. 7 .
D. 3 7 .
3
2
2
Câu 44: Cho hai hàm số f ( x ) = ax − 3 x + bx + 1 − 2d và g ( x ) = cx − 2 x + d có bảng biến thiên như
sau:

Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hồnh độ

x1 , x2 , x3

2
2
2
thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 30 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x ), y = g ( x), x = −3, x = 6 bằng

1321
A. 12 .

1123
B. 12 .

1231
2113
C. 12 .
D. 12 .
2
Câu 45: Trong tập các số phức, cho phương trình ( z − 3) − 9 + m = 0, m ∈ ¡ (1) . Gọi m0 là một giá trị
z .z = z2 .z2 .Hỏi trong
của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 1
khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị m0 ∈ ¥ ?
A. 13

B. 11.

Câu 46: Trong

khơng

gian

với

hệ

C. 12.
tọa

độ

Oxyz , cho điểm
 x = 3 + t1


d1 :  y = 2 + 2t1
 z = 5 − 3t
1


( P) : 2x − 2 y − z + 5 = 0

D. 10.
A ( 2;3; − 1)

;

mặt

phẳng

 x = 2 + 2t2

d 2 :  y = 3 + t2
 z = −5 + t
2


và hai đường thẳng
;
. Đường thẳng d
đi qua điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 lần lượt tại B và C . Tính tổng khoảng cách từ B
( P) .
và C đến mặt phẳng

A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn
log 3 ( x 2 + y 2 + 2 x ) + log 2 ( x 2 + y 2 ) ≤ log 3 ( 2 x ) + log 2 ( x 2 + y 2 + 48 x ) ?
A. 189.

B. 196.

C. 190.
D. 168.
( N ) có chiều cao bằng 6a . Cắt ( N ) bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm
Câu 48: Cho hình nón
2
của đáy một khoảng bằng 3a ta được thiết diện có diện tích bằng 12 11a . Thể tích của khối
nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3

D. 12 5πa .
x = 1

d : y = 2 −t
( P ) : y − 1 = 0 , đường thẳng  z = 1 và hai điểm
Câu 49: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng

1

B  ;0;8 ÷
A ( −1; −3;11)
 . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho d ( M , d ) = 2 và
, 2
3
A. 36 5πa .

3
B. 270πa .

3
C. 90πa .

NA = 2 NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .

A. MN min = 1 .

B.

MN min = 2

.

C.

MN min =

2

2 .

2
MN min = .
3
D.

y = x5 + 2 x 4 − mx 2 + 3x − 20
m
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số
để hàm số
nghịch
( −∞; −2 ) ?
biến trên
A. 4 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 9 .
---------- HẾT ----------

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.D
11.A
21.C
31.D
41.B

Câu 1:

2.A
12.A
22.D
32.C
42.D

3.B
13.C
23.C
33.C
43.C

4.D
14.A
24.C
34.C
44.A

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.B
7.C
15.B
16.D
17.B
25.C
26.B
27.C

35.B
36.C
37.A
45.D
46.A
47.B

8.B
18.A
28.A
38.C
48.C

9.A
19.B
29.B
39.B
49.A

10.A
20.B
30.A
40.B
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Cho số phức z = 3 + 2i . Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào sau đây?
Q ( - 3; - 2)
M ( 3; 2)
N ( - 3; 2)

P ( 3; - 2)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Giả thiết z = 3 + 2i Þ z = 3 - 2i

( 3;- 2)
Suy ra điểm biểu diễn số phức z = 3 - 2i có tọa độ
Câu 2:

Câu 3:

y = log ( 2 x + 1)

2
Tính đạo hàm của hàm số
.
2
1
2
y′ =
y′ =
y′ =
2 x + 1) ln 2

2 x + 1) ln 2
(
(
2x + 1
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn A
( 2 x + 1) ′ =
2
y′ = ( log 2 ( 2 x + 1) ) ′ =
( 2 x + 1) ln 2 ( 2 x + 1) ln 2 .
Ta có

D.

y′ =

1
2x + 1

y′ =

1 e +1
x
e +1
.

e

Đạo hàm của hàm số là y = x trên tập số thực, là
e +1
A. y′ = ex .

e −1
B. y′ = ex .

y′ =

C.

1 e −1
x
e
.

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có
Câu 4:

y′ = ( x e ) ′ = ex e−1

.
x+1

Tập nghiệm của bất phương trình 2
( −∞; 2 ) .

( −∞; 2] .
A.
B.

> 8 là

[ 2; +∞ ) .

C.
Lời giải

D.

( 2; +∞ ) .

Chọn D
x +1
x +1
3
Ta có bất phương trình 2 > 8 ⇔ 2 > 2 ⇔ x > 2 . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S = ( 2; +∞ )
Câu 5:

Cho cấp số nhân
A. −384 .

( un )

u1 = 3 và công bội q = −2 . Số hạng thứ 7 của cấp số nhân đó là

B. 192 .
C. −192 .
D. 384 .

với

Lời giải
Chọn B
u = u1 .q 6 = 3. ( −2 ) = 192
Số hạng thứ 7 của cấp số nhân đó là 7
.
6

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 6:

Câu 7:

A ( 9;0;0 ) , B ( 0;9;0 ) , C ( 0;0;9 )
Trong không gian Oxyz , cho
. Tìm tọa độ của một vectơ pháp
( ABC ) .
tuyến của mặt phẳng
( 1; 2;3) .
( 81;81;81) .
( 9;0;0 ) .
( 9;0;9 ) .

A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
uuu
r
uuur
AB = ( −9;9; 0 ) AC = ( −9;0;9 )
Ta có
;
.
r uuur uuur
n =  AB, AC  = ( 81;81;81)
ABC )
(
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
.

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ R )
Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao
điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

A.

( 0; − 2 ) .

B.

( −2;0 ) .

( 0; − 1) .

C.
Lời giải

D.

Chọn C
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ
2

Câu 8:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡

thoả mãn:

∫

−1

( −1;0 ) .

( 0; −1) .
4

f ( x)dx = 5; ∫ f ( x)dx = 8
−1

. Tính

4

∫ ( f ( x ) + 3 ) dx .
2

A. 6 .

B. 9 .
4

∫(

Câu 9:

4

C. 19 .
Lời giải
4

4

2

D. 3 .

4

f ( x ) + 3) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ 3dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx + ∫ 3dx

2
2
−1
−1
Ta có 2
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số nào?

3
A. y = − x + 3 x + 2 .

2

3
4
2
B. y = − x − 3 x + 2 . C. y = x − x + 2 .
Lời giải

= 8−5+6 = 9.

3
D. y = x − 3 x + 2 .

Page 9

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Nhánh cuối của đồ thị đi xuống nên a < 0 , đồ thị có hai điểm cực trị nên a.c < 0 .

I ( 1; 4;0 )
M ( 1; 4; − 2 )
S
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Mặt cầu ( ) tâm I và đi qua
có
phương trình là

( x − 1)

2

A.
C.

( x + 1)

2

Mặt cầu

( x − 1)

2

+ ( y − 4) + z 2 = 4
2

+ ( y + 4) + z = 4

( S)

2

có tâm

.

B.

2

.

2

+ ( y − 4) + z 2 = 2

.

( x + 1)

2

+ ( y + 4) + z = 2

.

D.
Lời giải

I ( 1; 4;0 )

+ ( y − 4) + z 2 = 4

( x − 1)

2

2

2

S
, bán kính bằng IM = 2 nên phương trình của mặt cầu ( ) là

2

.

uu
r
P)
Q)
(
(
nP

Oxyz
,
Câu 11: Trong không gian
cho hai mặt phẳng
và
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

và
và

uur
nQ

. Biết cosin góc giữa hai vectơ

( Q)

uu
r
nP

và

uur
nQ

bằng

−

3
.
3 Cosin góc giữa hai mặt phẳng ( P )

bằng.

3
.
A. 3

−

B.

3
.
3

6
.
C. 3
Lời giải

D.

−

6
.
3

Chọn A

Ta có:

3
3
·uur uur
cos (·( P ) ; ( Q ) ) = cos nP ; nQ = −
=
.
3
3

(

)

2
Câu 12: Cho số phức z = 2 + 3i , tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng

B. 12 .

A. 7 .

C. −5 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn A
z 2 = ( 2 + 3i ) = −5 + 12i
2

nên tổng phần thực và phần ảo bằng −5 + 12 = 7 .
2
Câu 13: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 7 a và chiều cao h = 2a . Thể tích khối lăng trụ đã cho
bằng:
14 3
14 3
a
a
3
3
A. 2 .
B. 3 .
C. 14a .
D. 7a .
Ta có

Lời giải
2
3
Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = B.h = 7 a .2a = 14a .
Câu 14: Cho khối chóp S . ABC có ba cạnh SA , SB , SC cùng có độ dài bằng a và vng góc với nhau
từng đơi một. Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
a3
A. 6 .

a3

B. 3 .

a3
3
C. 2 .
D. a .
Lời giải
Do khối chóp S . ABC có ba cạnh SA , SB , SC cùng có độ dài bằng a và vng góc với nhau
1
1
a3
VS . ABC = .SA.SB.SC = a.a.a =
6
6
6 .
từng đơi một nên ta có:
Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
S ) : x 2 + y 2 + ( z + 3) = 5
( S ) cắt mặt phẳng
(
Oxyz
Câu 15: Trong không gian
cho mặt cầu
. Mặt cầu
( P ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0 theo một đường trịn có bán kính bằng
A. 4.
B. 2.

C. 1 .
D. 3.
Lời giải
2

Mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 + ( z + 3)

2

=5

có tâm

I ( 0;0; −3)

, bán kính R = 5 .
2.0 − 0 + 2.( −3) + 3
h = d (I , ( P ) ) =
=1
2
2
2
2 + ( −1) + ( 2 )
( P) :

Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
.
( S ) cắt mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 2 z + 3 = 0 theo một đường trịn có bán kính r là:

Vậy mặt cầu

r = R2 − h2 = 5 −1 = 2 .
Câu 16: Phần ảo của số phức 2 − 3i là:

A. −2 .

B. 2 .

D. −3 .

C. 3 .
Lời giải

Phần ảo của số phức 2 − 3i là −3 .
Câu 17: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài bằng a . Tính diện tích
S
tồn phần tp của hình nón đó.
3
5
1
Stp = π a 2
Stp = π a 2
Stp = π a 2
Stp = π a 2
4
4
4
A.
.

B.
.
C.
.
D.
Lời giải

Ta có

l =a,

r=

a
2

Stp = π rl + π r 2 = π

a
a
3
a + π ( )2 = π a 2
2
2
4
.

Câu 18: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình

thẳng d đi qua điểm nào sau đây

B ( 2;3; −2 )
C ( −2; −3; 2 )
A.
.
B.
.

C.
Lời giải

A ( 1; −1;1)

.

x = 2 + t

y = 3−t ( t ∈¡
 z = −2 + t


D.

)
. Hỏi đường

D ( 2;3; 2 )

.

B ( 2;3; −2 )

Với t = 0 thì đường thẳng d đi qua điểm
.
Câu 19: Cho hàm số

y = f ( x)

xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là.
A. (2; −2) .
B. (1;5) .

C. ( −2; 2) .

D. Khơng có điểm cực

đại.
Lời giải
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;5) .
x−2
y=
x + 1 là đường thẳng có phương trình
Câu 20: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. y = −2 .
B. y = 1 .

C. x = −1 .
D. x = 2 .
Lời giải
Chọn B
Ta thấy
x−2 
lim
= 1
x →+∞ x + 1

⇒
x−2 
lim
=1
x →−∞ x + 1
 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

A.

( - ¥ ;4) .

Ta có

B.

log3 ( x - 1) £ 1

là
( 1;4ùúû.

C.
Lời giải

( - ¥ ;4ùúû.

log 3 ( x − 1) ≤ 1 ⇔ 0 < x − 1 ≤ 3 ⇔ 1 < x ≤ 4

Câu 22: Cho tập

A = { 1; 2;...;9;10} .

( 0;4ùúû.

.

Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là
2
B. A10 .
C. 10! .

A. 2! .

D.

2
D. C10 .

Lời giải
2
Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là C10 .

F ( x ) = x 3 − 7 x + 2e x + C C
F x
Câu 23: Nếu
( là hằng số) thì ( ) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau
đây?
x4 7x2
f ( x) =
−
+ e2 x
f ( x ) = 3x 2 − 7 + 2 xe x
4
2
A.
.
B.
.
x4 7 x2
f ( x) =
−
+ 2e x
f ( x ) = 3x − 7 + 2e
4
2
C.
. D.
.
Lời giải
2

F ( x)

x

là họ nguyên hàm của hàm số

f ( x)

nên

f ( x ) = F ′ ( x ) = 3 x 2 − 7 x + 2e x

.
Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1

Câu 24: Nếu

2

∫ f (2 x)dx = 8

thì

0

A. 8 .

Suy ra

bằng

0

B. 10 .
1

Ta có

∫ [ f ( x ) − 2 x ] dx

D. 16 .

C. 12 .
Lời giải

1

2

2

1
1
f (2 x)dx = ∫ f (2 x)d(2 x) = ∫ f ( x)dx = 8 ⇒ ∫ f ( x)dx = 16
20
20
0

∫
0

2

2

2

0

0

0

∫ [ f ( x) − 2 x ] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ 2xdx = 16 − 4 = 12

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số

A. cos x + x − x + C .
3

f ( x ) = sin x + 3 x − 1
2

.

.

là

B. cos x + 6 x .

3
C. − cos x + x − x + C . D. − cos x + 6 x − x + C .
Lời giải

( sin x + 3x
Ta có: ∫
Câu 26: Cho hàm số

Hàm số
A.

2

− 1) dx = − cos x + x3 − x + C

y = f ( x)

y = f ( x)

.

có đồ thị như hình vẽ.

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

( - ¥ ;2) .

B.

( - 1;1) .

( 0;2) .

C.
Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 27: Cho hàm số

y = f ( x)

D.

( 1;+¥ ) .

( −1;1) .

có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. −1.

D. 3 .

C. 1 .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là

y = f ( 0) = 1

.

Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
a(
Câu 28: Cho a, b là các số thực dương và a ≠ 1 thoả mãn
3
3
−
−
A. 4 .
B. 2 .
C. −3 .
Lời giải

log

Từ giả thiết ta có
Vậy giá trị của

log a ( a 2b ) =

log a 2 b =

a 2b ) =

1
2 . Giá trị của log a2 b bằng
3
D. 4 .

1
1
1
3
⇔ log a a 2 + log a b = ⇔ log a b = − 2 = −
2
2
2
2.

1
1  3
3
log a b = .  − ÷ = −
2
2  2
4.

( H)

2

giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0; x = 2 . Thể tích V của khối trịn
( H ) quanh trục Ox là
xoay thu được khi quay
32π
8π
3π
V=
V=
V=
5 .
3 .
5 .
A. V = 4π .
B.
C.
D.
Lời giải

Câu 29: Cho hình phẳng

2
Phương trình hồnh độ giao điểm: x = 0 ⇔ x = 0
Thể tích cần tính:
2

V =π ∫( x
0

)

2 2

2

x5
32π
dx = π
=
.
5 0
5

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B ′C ′ có cạnh bên có độ dài bằng a . Biết khoảng cách từ điểm

C đến mặt phẳng
0
A. 30 .

a 3
( C ′AB ) và ( ABC ) .
bằng 2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng
0
0
0
B. 60
C. 45 .
D. 90 .

( C ′AB )

Lời giải

·
· ′H , CH = C
C ′AB ) , ( ABC ) ) = ( C
(
) · ′HC .
(
Kẻ CH ⊥ AB tại H . Khi đó

Kẻ CK ⊥ C ′H tại K .
Ta lại có
Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
 AB ⊥ C ′C
⇒ AB ⊥ ( C ′HC ) ⇒ AB ⊥ CK

 AB ⊥ CH
.

CK ⊥ ( C ′AB ) ⇒ d ( C , ( C ′AB ) ) = CK
Mà CK ⊥ C ′H . Do đó
.
Trong tam giác C ′HC vng tại C có
1
1
1
1

1
1
=
−
=
− 2 = 2 ⇒ CH = a 3
2
2
2
2
CH
CK
C ′C
a
3a
a 3

÷
÷
 2 
.
′
· ′HC = C C = a = 1 ⇒ C
· ′HC = 300
tan C
CH a 3
3
Suy ra
.
y = f ( x)

Câu 31: Cho hàm số
có đồ thị như hình.

3 f ( x) − m = 0
Số giá trị ngun của tham số m để phương trình
có nhiều nghiệm nhất là
A. 3 .
B. 12 .
C. 13 .
D. 11 .
Lời giải
m
f ( x) =
3 . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f ( x )
Ta có
y=

m
3.

và
Phương trình có nhiều nghiệm nhất khi

−3 <

m
< 1 ⇔ −9 < m < 3
3
.

m ∈ { −8; −7;K ;2}
Vì m ∈ ¢ nên
. Có 11 giá trị m .
Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

A.

( −5; −1) .

f ′ ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 5 ) ( x + 1) .
2

có đạo hàm
trên khoảng nào dưới đây?

( −∞; −5 ) .
C.
Lời giải
 x = −5
2
f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x + 5 ) ( x + 1) = 0 ⇔  x = −1
 x = 2
B.

( 0; +∞ ) .

Hàm số
D.

y = f ( x)

đồng biến

( −1; 2 ) .

Ta có
Bảng xét dấu đạo hàm

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

( −∞; −5 ) ; ( 2; +∞ ) .
Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 33: Trong một hòm phiếu có 9 lá phiếu ghi các số tự nhiên từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên cùng lúc
hai lá phiếu. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn
hoặc bằng 15 .
5
1
1
1
A. 18
B. 6
C. 12
D. 9
Lời giải
Chọn C

n ( Ω ) = C92 = 36
Số phần tử của không gian mẫu là
.
A
=
"
Gọi
tổng hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15"
( 6;9 ) ; ( 7;8 ) ; ( 9;7 ) ⇒ n ( A) = 3 .
Ta có các cặp số có tổng là số lẻ và lớn hơn hoặc bằng 15 .là
3
1
P ( A) =
=
36 12 .
Vậy xác suất của biến cố A là
Câu 34: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình

A. T = 5 .

B. T = −3 .

log 1 2 x − 5 log 3 x + 6 = 0
3

.Tính T .

C. T = 36 .
Lời giải

D.

T=

1
243 .

Chọn C
Xét phương trình:

log 1 2 x − 5 log 3 x + 6 = 0
3

⇔ ( − log 3 x ) − 5log 3 x + 6 = 0 ⇔ ( log 3 x ) − 5log 3 x + 6( 1)
2

2

t = 2
⇒ ( 1) ⇔ t 2 − 5t + 6 =⇔ ( t − 2 ) ( t − 3) = 0 ⇔ 
t = 3
Đặt t = log 3 x
Với t = 2 ⇒ log 3 x = 2 ⇒ x = 9
Với t = 3 ⇒ log 3 x = 3 ⇒ x = 27 .
Vậy T = 36 .
z+2
Câu 35: Xét các số phức z thỏa mãn z − 2i là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức z luôn thuộc một đường trịn cố định. Bán kính của đường trịn đó bằng

A. 1 .

B.

2.

C. 2 2 .
Lời giải

D. 2 .

M ( a; b )
Đặt z = a + bi, a, b ∈ ¡ . Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức z .
w=
Có

=

z+2
a + 2 + bi = ( a + 2 + bi ) a − ( b − 2 ) i 
=
2
a2 + ( b − 2)
z − 2i a + ( b − 2 ) i

a ( a + 2 ) + b ( b − 2 ) + − ( a + 2 ) ( b − 2 ) + ab  i
a2 + ( b − 2)

2

 a ( a + 2 ) + b ( b − 2 ) = 0 ( 1)
⇔ 2
2
 a + ( b − 2 ) ≠ 0
w là số thuần ảo
Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Có

( 1) ⇔ a 2 + b2 + 2a − 2b = 0 .

I ( −1;1)
Suy ra M thuộc đường trịn tâm
, bán kính R = 2 .
x −1 y +1 z − 2
=
=
( d1 ) :
Oxyz
3
2
−2 ,
Câu 36: Trong không gian
, cho hai đường thẳng chéo nhau
x−4 y −4 z +3
=
=
( d2 ) :

2
2
−1 . Phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng
( d1 ) , ( d 2 ) là
x − 4 y +1 z
x−2 y−2 z +2
=
=
=
=
( d1 ) :
2
−1 2 .
3
−2 .
A.
B. 6
x−2 y−2 z +2
x − 4 y −1 z
=
=
=
=
−1
2 .D. 2
−1 −2 .
C. 2
Lời giải
ur
uu

r
u1 = ( 3; 2; − 2 )
u2 = ( 2; 2; − 1)
d1 ) , ( d 2 )
(
Hai đường thẳng
có VTCP là
và
.
A ( 1 + 3t ; − 1 + 2t ; 2 − 2t ) ∈ ( d1 )
B ( 4 + 2u ; 4 + 2u ; − 3 − u ) ∈ ( d 2 )
Lấy điểm
và
AB là đường thẳng vng góc chung của hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) khi
 A ( 4;1;0 )

uuu
r ur

⇒
B ( 2; 2; − 2 )
 AB.u1 = 0
12u − 17t = −29
u = −1  u
r
r uu
r
 uuu
 uu
⇔

⇔
AB
AB
.
u
=
0
9
u
−
12
t
=
−
21
t
=
1


2
 ( −2;1; − 2 ) .


( d ) , ( d2 ) là
Vậy phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng 1
x−2 y−2 z+2
=
=
2

−1
2 .
Câu 37: Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với M (−1;2;0) qua trục Ox ?
A.

( −1; −2;0 ) .

B.

( −1;2;0) .

( 1;2;0 )

( 0; −2;1)

C.
.
D.
.
Lời giải
M ( x0 ; y0 ; z0 )
M ′( x0 ; − y0 ; − z0 )
Tọa độ điểm M ′ đối xứng với
qua trục Ox là:
.
M ′ ( −1; −2;0 )
Nên tọa độ điểm đối xứng với M (−1;2;0) qua trục Ox là:
.
Câu 38: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA = a 3 và vng
( ABC ) . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

góc với mặt đáy
a 5
a 15
a 3
d=
d=
d=
5 .
5 .
2 .
A.
B. d = a .
C.
D.
Lời giải

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

⇒ BC ⊥ ( SAH )
Vẽ AH ⊥ BC tại H
.
⇒ AK ⊥ ( SBC )
Vẽ AK ⊥ SH tại K mà AK ⊥ BC
tại K .
AK = d ( A, ( SBC ) )
Do đó
.

H là trung điểm của BC nên

AK =

SA. AH
SA + AH
2

2

Vậy

AH =

a 3.

=

( a 3)

a 3
2 .

a 3
2
2

2

a 3

+
÷
 2 

=

a 15
.
5

(

)

(log 3 3 x) 2 − 4 log 3 x  4 x − 18.2 x + 32 ≥ 0
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x < 25 thỏa mãn 
?

B. 23 .

A. 22 .

C. 24 .
Lời giải

D. 25 .

Chọn B
(log 3 3 x) 2 − 4 log 3 x  ( 4 x − 18.2 x + 32 ) ≥ 0(1)
+ĐK: 0 < x < 25; x ∈ Z

(1) ⇔ (log 3 x) 2 − 2 log 3 x + 1 ( 4 x −18.2 x + 32 ) ≥ 0
⇔ ( log 3 x − 1)

2

(4

x

− 18.2 x + 32 ) ≥ 0

+TH 1: log 3 x − 1 = 0 ⇔ x = 3(tm)
+TH 2 : log 3 x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3
(1) ⇔ 4 x − 18.2 x + 32 ≥ 0
 2 x ≥ 24
x ≥ 4
⇔ x
⇔
& 0 < x < 25; x ∈ Z ⇒ x ∈ { 1; 4;5;...; 24}
x
≤
1
2
≤
2


Vậy có 23 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài ra.
F ( x) ,G ( x) , H ( x)
f ( x)

f ( x)
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên R . Gọi
là ba nguyên hàm của
trên
2

R thỏa mãn F ( 8) + G ( 8 ) + H ( 8 ) = 4 và F ( 0 ) + G ( 0 ) + H ( 0 ) = 1 . Khi đó

∫ f ( 4 x ) dx
0

bằng

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1
B. 4 .

A. 3.

3
D. 2 .

C. 6.
Lời giải

Chọn B

Ta có:

G ( x) = F ( x ) + C H ( x ) = F ( x ) + C′
,

 F ( 8 ) + G ( 8 ) + H ( 8 ) = 4
3F ( 8 ) + C + C ′ = 4
⇔
⇔ F ( 8 ) − F ( 0 ) = 1.

 F ( 0 ) + G ( 0 ) + H ( 0 ) = 1 3F ( 0 ) + C + C ′ = 1
Vậy:
2
8
F ( 8) − F ( 0 ) 1
1
= .
∫0 f (4 x)dx = 4 ∫0 f ( x)dx =
4
4
Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm

f ′ ( x ) = x 2 ( x 2 − 3x + 2 )

với mọi x . Có bao nhiêu giá trị

g ( x ) = f ( x2 − x + m)
m
nguyên
bé hơn 15 để hàm số
có duy nhất một điểm cực trị?
10
13
A. .
B. 12 .
C. .
D. 11 .
Lời giải
x = 0
 x2 = 0
f ′( x) = 0 ⇔  2
⇔  x = 1
 x − 3x + 2 = 0
 x = 2
Ta có
.
g ′ ( x ) = ( 2 x − 1) . f ′ ( x 2 − x + m )
.
1

x
=

2
1


 2
x
=

2
2
g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 x − 1) . f ′ ( x − x + m ) = 0 ⇔ 
⇔  x − x + m = 0 ( *)
 2
2
 f ′ ( x − x + m ) = 0
x − x + m = 1
 x2 − x + m = 2


(

)

g ( x ) = f x2 − x + m
là nghiệm bội chẵn nên để hàm số
duy nhất một
2
2
điểm cực trị thì phương trình x − x + m = 1 và phương trình x − x + m = 2 phải vơ nghiệm
Vì các nghiệm của

( *)

hoặc có nghiệm kép

5

m≥

1 − 4. ( m − 1) ≤ 0
5 − 4m ≤ 0

4 ⇔m≥ 9
⇔
⇔
⇔
4
9 − 4m ≤ 0
m ≥ 9
1 − 4. ( m − 2 ) ≤ 0

4
.
m ∈ ¢

m ∈ { 3; 4;...;14}
Vì m < 15 nên
.

(

)

g ( x) = f x2 − x + m
Vậy, có 12 giá trị nguyên m bé hơn 15 để hàm số

có duy nhất một điểm
cực trị.
z−w =9
Câu 42: Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T= z+w
.
A. max T = 176 .
B. max T = 14 .
C. max T = 4 .
D. max T = 106 .
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
Chọn D
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
w = ( 3 − x) + ( 4 − y) i
Đặt
. Do z + w = 3 + 4i nên
.
Mặt khác

z−w =9

nên

( 2 x − 3)

z−w =

2

+ ( 2 y − 4 ) = 4 x 2 + 4 y 2 − 12 x − 16 y + 25 = 9
2

⇔ 2 x + 2 y − 6 x − 8 y = 28 ( 1) .
2

Suy ra

2

T = z + w = x2 + y2 +

( 3 − x)

2

+ ( 4 − y)

2

.

T ≤ 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 − 6 x − 8 y + 25 )
2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có

x + y = ( 3 − x) + ( 4 − y)
Dấu " = " xảy ra khi
.
2
T ≤ 2. ( 28 + 25 ) ⇔ 0 ≤ T ≤ 106
( 1) ( 2 )
2

2

2

( 2) .

2

Từ

và
ta có
Vậy MaxT = 106 .

.

2
2 15
=
3
3 .Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác

Câu 43: Vậy
0
·
·
vuông tại A , cạnh BC = 2a và ABC = 60 . Biết tứ giác BCC ' B ' là hình thoi có B ' BC là góc
VABC . A ' B 'C ' = 5.

BCC ' B ')
ABC )
ABB ' A ' )
nhọn, mặt phẳng (
vng góc với (
, góc giữa hai mặt phẳng (
và

( ABC ) bằng 450 . Thể tích khối lăng trụ

6a 3
A. 7 .

a3
B. 7 .

3a 3
C. 7 .
Lời giải

a3
D. 3 7 .

0
·
Tam giác ABC vng tại A có BC = 2a ABC = 60 .
AB = 2a.cos600 = a, AC = 2a.sin600 = a 3 .

S ∆ABC

a2 3
=
2 .

Dựng B ' H vng góc với BC tại H .

BCC ' B ' ) ⊥ ( ABC )
B ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' H ⊥ AB
Vì (
nên
.
ABC )
Trong (
dựng HK ⊥ AB tại K .
 AB ⊥ HK
⇒ AB ⊥ ( B ' HK ) ⇒ AB ⊥ B ' K

 AB ⊥ B ' H
.

Page 20

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
 HK ⊥ AB, HK ⊂ ( ABC )
· ' KH = 450
⇒ ( ( ABB ' A ') , ( ABC ) ) = B

 B ' K ⊥ AB, B ' K ⊂ ( ABB ' A ' )
.
Vậy ∆B ' HK vuông cân tại H ⇒ B ' H = HK . Đặt B ' H = HK = x .
2
2
Xét ∆B ' HB vuông tại H ⇒ BH = 4a − x .
Ta lại có HK song song AC .
BH HK
4a 2 − x 2
x
⇒
=
⇒
=
⇔ a 3. 4a 2 − x 2 = 2a.x ⇔ 4 x 2 = 3 ( 4a 2 − x 2 )
BC AC
2a
a 3

⇔ 7 x 2 = 12a 2 ⇒ x =

2a 3
7 .

Vậy thể tích hình lăng trụ là

V=

a 2 3 2a 3 3a 3
.
=
2
7
7.

3
2
2
Câu 44: Cho hai hàm số f ( x ) = ax − 3 x + bx + 1 − 2d và g ( x ) = cx − 2 x + d có bảng biến thiên như

sau:

Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ

x1 , x2 , x3

2
2
2
thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 30 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x ), y = g ( x), x = −3, x = 6 bằng

1321
A. 12 .

1123
B. 12 .

1231
C. 12 .
Lời giải

2113
D. 12 .

2
Ta có f '( x) = 3ax − 6 x + b . Từ BBT ta thấy α, β là nghiệm của phương trình

2

α + β = a

α.β = b
2
f '( x ) = 3ax − 6 x + b = 0 nên 
3a . Ta cũng có α, β là nghiệm của phương trình
2

2 2
=
α + β = c

a = c
a c
⇔



b = 3d
α.β = d
b =d

g ( x) = cx 2 − 2 x + d = 0 , nên 
c . Từ, suy ra  3a c
.
1
1
1
1
I ( ; −4)
g ( ) = −4 ⇒ d = − 4 ⇔ d = − 4
g
(
x
)
c
a
Từ BBT ta thấy
có đỉnh c
và c > 0 , suy ra c
.

x, x , x
Ta có phương trình f ( x) − g ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3
⇔ ax3 − (3 + a ) x 2 + (3d + 2) x + 1 − 3d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , nên ta có
Page 21

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3+ a

 x1 + x2 + x3 = a

 x x + x x + x x = 3d + 2
 1 2 2 3 3 1
a .
2
2
2
2
Nên ta có x1 + x2 + x3 = 30 ⇔ ( x1 + x2 + x3 ) − 2( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 30
1
3.( − 4) + 2
3+ a 2
3+ a 2
3d + 2
) − 2. a
= 30
⇔(
) − 2(
) = 30 ⇔ (
⇔ 29a 2 − 26a − 3 = 0
a
a
a
a

a = 1
⇔
a = − 3
29 . Vì a = c > 0 , nên a = 1 , suy ra c = 1, d = −3, b = −9 .


3
2
Từ đây, ta được f ( x ) − g ( x ) = x − 4 x − 7 x + 10 .

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ), y = g ( x), x = −3, x = 6 bằng
6
6
1321
S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ x 3 − 4 x 2 − 7 x + 10 dx =
12
−3
−3
.
2
Câu 45: Trong tập các số phức, cho phương trình ( z − 3) − 9 + m = 0, m ∈ ¡ (1) . Gọi m0 là một giá trị

z .z = z2 .z2 .Hỏi trong
của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 1
khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị m0 ∈ ¥ ?
A. 13

B. 11.

C. 12.

D. 10.

( z − 3) = 9 − m0 .
Ta xét phương trình:
TH1: Nếu m0 = 9 ⇒ z = 3 . Hay phương trình chỉ có một nghiệm. Trường hợp này khơng thỏa
điều kiện bài tốn.
2

z = 3 − 9 − m0 , z2 = 3 + 9 − m0
TH2: Nếu m0 < 9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực 1
2

2

(

z1.z1 = z2 .z2 ⇔ z1 = z2 ⇔ 3 − 9 − m0

) = ( 3+
2

9 − m0

)

2

Do:
3 − 9 − m0 = 3 + 9 − m0


⇔ 9 − m0 = 0 ⇔ m0 = 9
3 − 9 − m0 = −3 − 9 − m0 ( VN )
.
TH3: Nếu m0 > 9 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là:
z1 = 3 − i m0 − 9, z2 = 3 + i m0 − 9.
Khi đó

z1.z1 = z2 .z2 = 32 +

(

m0 − 9

)

2

Do đó m0 > 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
m ∈ ( 0; 20 )
m ∈ { 10;11;...;19} .
Do bài tốn địi hỏi
nên
Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.
A ( 2;3; − 1)
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
; mặt

( P) : 2x − 2 y − z + 5 = 0

và hai đường thẳng

 x = 3 + t1

d1 :  y = 2 + 2t1
 z = 5 − 3t
1


;

 x = 2 + 2t2

d 2 :  y = 3 + t2
 z = −5 + t
2


phẳng

. Đường thẳng d
Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
đi qua điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 lần lượt tại B và C . Tính tổng khoảng cách từ B
( P) .
và C đến mặt phẳng
A. 3 .
B. 1 .

C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
B ( 3 + t1 ; 2 + 2t1 ;5 − 3t1 ) C ∈ d 2
Do B ∈ d1 nên tọa độ B có dạng
;
nên tọa độ C có dạng
uuur
uuur
C ( 2 + 2t2 ;3 + t2 ; − 5 + t2 ) ⇒ AB = ( 1 + t1 ; − 1 + 2t1 ;6 − 3t1 ) AC = ( 2t 2 ; t2 ; − 4 + t2 )
;
.
uuu
r
uuur
Do A ; B ; C thẳng hàng nên AB = k AC
t1 = 1
1 + t1 = 2kt2

1 + t1 = 2kt2
1


k
=
−


 −1 + 2t1 = kt2

2
3t1 − 3 = 0

6 − 3t = k −4 + t

t
=
−
2
(
1
2 ) ⇔  −7 + 5t1 = 4 k ⇔ 
⇔
2
⇒ B ( 4; 4; 2 ) ; C ( −2;1; − 7 ) .
( P ) là:
Vậy tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng
2. ( −2 ) − 2.1 + 7 + 5
2.4 − 2.4 − 2 + 5
d ( B; ( P ) ) + d ( C ; ( P ) ) =
+
=3
2
2
2
2
2
2
2 + ( −2 ) + ( −1)
2 + ( −2 ) + ( −1)

.
(
x
;
y
)
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên
thỏa mãn
2
2
log 3 ( x + y + 2 x ) + log 2 ( x 2 + y 2 ) ≤ log 3 ( 2 x ) + log 2 ( x 2 + y 2 + 48 x ) ?
A. 189.

B. 196.

C. 190.
Lời giải

D. 168.

Chọn B
Điều kiện: x > 0 .
Ta có:

(

)

(

)
(x

(

log 3 x 2 + y 2 + 2 x + log 2 x 2 + y 2 ≤ log 3 ( 2 x ) + log 2 x 2 + y 2 + 48 x

(

)

⇔ log 3 x 2 + y 2 + 2 x − log 3 ( 2 x ) ≤ log 2

2

)

(

+ y 2 + 48 x − log 2 x 2 + y 2

)

)

 x2 + y 2 + 2 x 
 x 2 + y 2 + 48 x 
 x2 + y 2 

48 x 

⇔ log 3 
≤
log
⇔
log
÷
÷
÷ ≤ log 2 1 + 2
2
3 1 +
2
2
2 ÷
2x
2x 
 x +y 


 x +y


 x2 + y 2 

48 x 
⇔ log 3 
+ 1 ÷− log 2 1 + 2
≤ 0.
2 ÷
 x +y 
 2x


Đặt:

t=

 24 
x2 + y 2
log 3 (1 + t ) − log 2 1 + ÷≤ 0
(t > 0)
t 

2x
, bất phương trình trở thành:
.

1
24
 24 
′
f
(
t
)
=
+
> 0, ∀t > 0
2
f (t ) = log 3 (1 + t ) − log 2 1 + ÷
(1
+

t
)
ln
3
t
+
24
t
ln
2
t  có

Xét hàm số
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) .

(

)

 24 
f (8) = log 3 (1 + 8) − log 2 1 + ÷ = 0
8 

Ta có

Từ đó suy ra:

(1) ⇔ f (t ) ≤ f (8) ⇔ t ≤ 8 ⇔

x2 + y 2
≤ 8 ⇔ ( x − 8) 2 + y 2 ≤ 64
2x
.

Đếm các cặp giá trị nguyên của ( x; y )
Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
Ta có: ( x − 8) ≤ 64 ⇔ 0 ≤ x ≤ 16 , mà x > 0 nên 0 < x ≤ 16 .
Với x = 1, x = 15 ⇒ y = {±3; ±2; ±1; 0} nên có 14 cặp.
Với x = 2, x = 14 ⇒ y = {±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 22 cặp.

Với x = 3, x = 13 ⇒ y = {±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 26 cặp.
Với x = 4; x = 12 ⇒ y = {±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 26 cặp.
Với x = 5, x = 11 ⇒ y = {±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 30 cặp.
Với x = 6; x = 10 ⇒ y = {±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1; 0} nên có 30 cặp.
Với x = 7, x = 9 ⇒ y = {±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1;0} nên có 30 cặp.
Với x = 8 ⇒ y = {±8; ±7; ±6; ±5; ±4; ±3; ±2; ±1;0} có 17 cặp.
Với x = 16 ⇒ y = 0 có 1 cặp.
Vậy có 196 cặp giá trị nguyên ( x; y ) thỏa mãn đề bài.
( N ) có chiều cao bằng 6a . Cắt ( N ) bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm
Câu 48: Cho hình nón
2
của đáy một khoảng bằng 3a ta được thiết diện có diện tích bằng 12 11a . Thể tích của khối
nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

3

A. 36 5πa .

3
B. 270πa .

3

C. 90πa .
Lời giải

3

D. 12 5πa .

Chọn C

Giả sử mặt phẳng

( P ) đi qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SBC .

 BC ⊥ OI
⇒ BC ⊥ ( SOI )

BC
⊥
SO
BC

I
Gọi là trung điểm của

. Ta có
.
( H ∈ SI ) , mà OH ⊥ BC
Kẻ OH ⊥ SI
OH ⊥ ( SBC )
suy ra
.
S = 12 11a 2 và d ( O; ( SBC ) ) = OH = 3a .
Theo giả thiết có: SO = 6a , SBC
1
1
1
=
+ 2
2
2
SO OI ⇒ OI = 2 3a
Trong ∆SOI vuông tại O có: OH

SI = SO 2 + OI 2 = 4 3a .
2S
1
BC
S SBC = SI .BC ⇒ BC = SBC = 2 33a ⇒ IC =
= 33a
2
2
SI
Ta có:
.

Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
2
Trong ∆OIC vng tại I có: OC = OI + IC = 3 5a = R .
1
V = π.SO.OC 2 = 90πa 3
3
Vậy thể tích của khối nón đã cho là
.

( P ) : y − 1 = 0 , đường thẳng
Câu 49: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

x = 1

d : y = 2 −t
z = 1


và hai điểm

1

B  ;0;8 ÷
 . Hai điểm M , N thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho d ( M , d ) = 2 và
, 2
NA = 2 NB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .

A ( −1; −3;11)

A. MN min = 1 .

B.

MN min = 2

.

C.

MN min =

2
2 .

2
MN min = .
3
D.

3

2a
×
24

V=

Lời giải
Chọn A
I = d ∩ ( P ) ⇒ I ( 1; 2 − t ;1)
Gọi
I ∈ ( P ) ⇒ 2 − t − 1 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ I ( 1;1;1)

d ⊥ ( P) ⇒ M

I ( 1;1;1) , R1 = 2
thuộc đường tròn tâm
.
uuu
r
uuur  1

N ( x; y; z ) ⇒ NA ( −1 − x; −3 − y;11 − z ) ; NB  − x; − y;8 − z ÷
2

2
 1
2
2
2
2

NA = 2 NB ⇔ ( 1 + x ) + ( 3 + y ) + ( 11 − z ) = 4  − x ÷ + y 2 + ( 8 − z ) 

 2


Ta có

⇔ 3x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x − 6 y − 42 z + 126 = 0
⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 14 z + 42 = 0

Vậy

N ∈ S ( J ( 1;1;7 ) ; R2 = 3 )

J ∈ ( P) : y = 1
và
J ( 1;1;7 ) ; R2 = 3

Nên N thuộc đường trịn tâm
Ta có IJ = 6 > R1 + R2 ⇒ MN min = IJ − R1 − R2 = 1

y = x5 + 2 x 4 − mx 2 + 3x − 20
Câu 50: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
nghịch
biến trên
A. 4 .

( −∞; −2 ) ?

B. 6 .

C. 7 .
Lời giải

D. 9 .

5
4
2
Xét hàm số f ( x ) = x + 2 x − mx + 3x − 20

f ′ ( x ) = 5 x 4 + 8 x 3 − 2mx + 3

Ta thấy

lim f ( x ) = −∞

x →−∞

y = f ( x)

nên hàm số

y = f ( x)

nghịch biến trên ( −∞; −2 ) khi và chỉ khi hàm số

đồng biến trên ( −∞; −2 ) và hàm số không dương trên miền ( −∞; −2 )

Page 25