đề 15 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 15 – MÃ ĐỀ: 115
Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Khi đó số phức w = −2 z là

A. w = 4 + 2i .
Câu 2:

B. w = 4 − 2i .
Tìm đạo hàm của hàm số y = log 5 x .
A.

Câu 3:

y′ =

ln 5
x

B.

y′ =

Đạo hàm của hàm số là y = x
2022
A. y′ = 2023.x .

2023

C. w = −4 + 2i .

1
x ln 5

C.

y′ =

1
5ln x

D. w = −4 − 2i .

D.

y′ =

1
x

y′ =

2023
x 2022 .

trên tập số thực, là

2021
B. y′ = 2023.x .

2024
C. y′ = 2022.x .

D.

x+ 2

Câu 4:

Câu 5:

1
 ÷
Bất phương trình  2 
A. 1.

Cho cấp số nhân

( un )

<4

có

A. 8 .
Câu 6:

Câu 7:

( −3;0 ) .
2

Câu 9:

D. Vô số.

u1 = 2 và u2 = 6 . Giá trị của u5 bằng
B. 12 .
C. 162 .

D. 81 .

r
P)
u = ( 1; −2;0 )
(
Oxyz
Trong không gian
, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
. Biết
r
v = ( 0; 2; −1)
( P) .
,
là cặp vectơ chỉ phương của
r
r

r
r
n = ( 1; −2;0 )
n = ( 2;1; 2 )
n = ( 0;1; 2 )
n = ( 2; −1; 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
2
y = ax + bx + c ( a, b, c ∈ R )
Cho hàm số
có bảng biến thiên là hình bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

A.

Câu 8:

có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
B. 2.
C. 3.

∫

f ( x ) dx = 3

B.
2

( 1; 0 ) .

∫ g ( x ) dx = −3

C.

( 0; − 4 ) .

D.

( 0; − 3) .

2

∫  f ( x ) − 2 g ( x ) dx

Nếu
và
thì 0
bằng
A. −3 .
B. −9 .
C. 3 .
D. 9 .

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau?
0

0

Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3
2
4
2
4
2
4
2
A. y = x + 3 x + 2 x − 1 . B. y = x − 2 x − 1 .
C. y = − x + 2 x − 1 . D. y = x − x − 1 .
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 4 z − 2 = 0 . Bán kính mặt cầu
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
bằng
A. 1 .
B. 7 .
C. 2 2 .
D. 7 .
uu
r
P)

Q)
(
(
nP
Oxyz
,
Câu 11: Trong không gian
cho hai mặt phẳng
và
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

uur
nQ

và
( Q)

. Biết sin góc giữa hai vectơ

bằng.
3
.
A. 3

uu
r
nP

và

uur
nQ

3
.
( P ) và
bằng 3 Cosin góc giữa hai mặt phẳng

6
.
B.
C. 3
2
Câu 12: Cho số phức z = 3 + 8i , phần thực của số phức z bằng
A. 55 .
B. −55 .
C. 48 .
Câu 13: Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng
3
3
3
A. 3a .
B. a .
C. 27a .
−

3
.
3

D.

−

6
.
3

D. −48 .
3
D. 9a .

Câu 14: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng

đáy và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
6a 3
6a 3
3
A. 2a .
B. 12 .
C. 4 .
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
( P) : x + 2 y + 2z + m = 0

( S ) :( x + 1)

2

D.

6a 3
3 .

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4
2

2

và mặt phẳng

S
P
. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để mặt cầu ( ) và mặt phẳng ( ) có

điểm chung?
A. 12.

B. 13.
C. 15.
D. 14.
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, cho M (2;3) là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng
A. 2 .
B. 3 .
C. −3 .
D. −2 .
Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm , chiều cao 5cm . Diện tích tồn phần của hình trụ đó
bằng
2
2
2

2
A. 50cm .
B. 100cm .
C. 50π cm .
D. 100π cm .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 3 z + 2 = 0 đi qua điểm nào dưới đây?

A. Điểm

N ( −1;0;1)

.

B. Điểm

P ( −2;1; − 1)

. C. Điểm

Q ( 3;1;1)

.

D. Điểm

M ( 1;1; 2 )

.

Page 2

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3
2
Câu 19: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của

đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

y
4
2
x
−2 − 1 O

A. (−1; 0) .

B. (0; −1) .

1
C. (1; 4) .

Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y=

D. (0; 2) .

x2 + x − 2
x − 2 là đường thẳng có phương trình

C. y = 2 .
D. x = −2 .

B. y = −2 .
log 1 ( x − 2) > 1
2
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
là
 5
5

 5
 ; +∞ ÷
 2; ÷
 2; 2 ÷
.
.
A.
B.  2
C.  2  .
A. x = 2 .

5

 −∞; ÷
2
D. 
Câu 22: Cho đa giác lồi 11 đỉnh. Số tứ giác có cả 4 đỉnh thuộc đỉnh của đa giác đã cho là
A. 217 .
B. 220 .

C. 1320 .
D. 330 .
Câu 23: Hàm số

A.
C.

F ( x) = ln x + x + 1

f ( x) = x ln x + x

f ( x) = x ln x +

.

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên
f ( x) = x ( ln x - 1)
B.
.

2

x
+x
2
.

D.

f ( x) =

2

f ( x)

∫ ( f ( x ) + 2 x ) dx = 5

1
+1
x
.
2

∫ f ( x)dx

liên tục trên ¡ và
. Tính 0
A. −9 .
B. −1 .
C. 9 .
f ( x ) = 3x 2 + sin x
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số
là
3
3
A. x + cos x + C.
B. 6 x + cos x + C.
C. x − cos x + C.
y = f ( x)
Câu 26: Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ
Câu 24: Cho hàm số

0

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2;3) .
( −∞;0 ) .
( 1; +∞ ) .
A.
B.
C.
y = f ( x)
Câu 27: Cho hàm số
có đồ thị như sau

( 0;+¥ ) ?

.
D. 1 .
D. 6 x − cos x + C.

D.

( −1;1) .

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 0 .

B. 1 .

D. −3 .

C. 2 .

log3 ab
= a , khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 28: Với mọi số thực dương a, b thỏa mãn 9
2
2
2
2
A. a b = 1 .
B. ab = 1 .
C. ab = 3 .
D. ab = 2

( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 − 4 x + 4 , đường thẳng y = 4 x − 12 và trục
H
hồnh. Biết thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình ( ) quanh trục hồnh bằng

Câu 29: Gọi

a
a

π (a, b
b
là các số nguyên dương và b là phân số tối giản). giá trị của a + b bằng
A. 31 .
B. 5 .
C. 36 .
D. 37 .
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = 2 a và SA vng góc với
( SCD ) và ( ABCD ) .
đáy. Tính cosα với α là góc tạo bởi hai mặt phẳng
1
2
2
1
A. 5 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 3 .
Câu 31: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình dưới.

f ( x) = m
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có 6 nghiệm phân biệt là
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .

D. 1 .
y = f ( x)
f ′( x)
Câu 32: Cho hàm số
xác định và liên tục trên ¡ , có đạo hàm
thỏa mãn

y = f ( 1− x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
( −2;0 ) .
( −1;3) .
( 1; +∞ ) .
( −1;1) .
A.
B.
C.
D.
Câu 33: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên
bi. Xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là
P=
A.

C41C52C61
C154 .

P=
B.

C41C53C62

C152 .

P=
C.

C41C52C61
C152 .

P=
D.

C41C52C61
C152 .
Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 34: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

A. 1 .

log 2 ( 6 − 2 x ) = 1 − x

B. 2 .

bằng

C. 0 .

D. 3 .

Câu 35: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

trịn tâm I và bán kính R lần lượt là
I ( 2; −3) , R = 2
I 2; −3) , R = 2
A. (
.
B.
.

I ( −2;3) , R = 2

C.

.

D.

( P ) : 3x + y − 2 z = 0

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng

d1 :

( 1+ i ) z − 5 + i

=2

là một đường

I ( −2;3) , R = 2

.

và hai đường thẳng

x +1 y − 6 z
x −1 y − 2 z + 4
d2 :
=
=
=
=
−1
2
1 và
−3
−1
4 . Đường thẳng vng góc với ( P )

cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là
x + 2 y −1 z
=
=
1
−2 .
A. 3

x+5 y z −4

= =
1
2 .
B. 3

x + 2 y − 8 z −1
x −1 y − 2 z − 2
=
=
=
=
1
−2 .
1
−2 . D. 3
C. 3

Câu 37: Cho điểm

A.

A ( 1;1;1)

( 2; −3; −1) .

và đường thẳng
( 2;3;1) .
B.

 x = 6 − 4t


d :  y = −2 − t
 z = −1 + 2t


. Hình chiếu của A trên d có toạ độ là
( −2;3;1) .
( 2; −3;1) .
C.
D.

Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng

cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a .
a 2
2a 5
a 3
d=
d=
d=
3 .
3 .
2 .
A.
B.
C.
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên a thỏa mãn

A. 4096 .

(

)

D.

3log3 1 + a + a > 2 log 2 a
3

d=

a 5
2 .

.

B. 4095 .

C. 4094 .
D. 4093 .
f ( x)
F ( x) ,G ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên ¡ . Gọi
là hai nguyên hàm của hàm số
trên
π
2

¡ thỏa mãn
A. 2 .
Câu 41: Cho hàm số

F ( 1) + G ( 1) = −2

và
B. −2 .

y = f ( x)

F ( −1) + G ( −1) = 0

có đạo hàm

. Tính

C. 3 .
f ′ ( x ) = ( x − 2)

2

(x

(

2

∫  sin x − 2sin 2 x f ( cos 2 x )  dx
0

− 4 x + 3)

.

D. −1 .
với mọi x . Có bao nhiêu giá

)

g ( x ) = f x 2 − 10 x + m + 9
trị nguyên dương của tham số m để hàm số
có 5 điểm cực trị?
A. 16 .
B. 18 .
C. 17 .
D. 15 .
z +5 =5
z + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i .
z,z
Câu 42: Cho hai số phức 1 2 thỏa mãn 1
và 2
Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
1
A. 2 .

z1 − z 2

bằng

3
B. 2 .

5
C. 2 .

7
D. 2 .
Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB

a 15
5 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ tính theo a bằng:
3a 3
3a 3
3a 3
B. 2 .
C. 8 .
D. 4 .
3
2
Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ¡ và hàm số f '( x ) = ax + bx + cx + d ,

và A¢C bằng
3 3a 3
A. 8 .

Câu 44:

g '( x) = qx 2 + nx + p với a, q ≠ 0 có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi
hai đồ thị hàm số y = f '( x) và y = g '( x) bằng 10 và f (2) = g (2) . Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) .

8
8
16
16
A. 3 .
B. 15 .
C. 3 .
D. 5 .
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để trên tập số phức, phương trình

z 2 + 2mz + m 2 − m − 2 = 0 có hai nghiệm z1 , z2 thoả mãn z1 + z2 = 2 10 .
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
A ( −1;1;1) B ( 11;15; 4 ) C ( 3;9; − 2 )
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
;
;
và

đường thẳng

 x = −4 + 3t


d :  y = −3 + 2t
 z = −2 + 2t


( P)

. Mặt phẳng

( P)

chứa đường thẳng d và điểm A . Điểm M

2
2
sao cho biểu thức S = MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách
( Q ) : 2x + y + 2z − 3 = 0 .
từ điểm M đến mặt phẳng
A. 11 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 8 .
Câu 47: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau được thỏa mãn

thuộc mặt phẳng

log 2022 ( 4 x − 2 x +1 + 2023 )
A. 2 .

y 2 +101

≤ 20 y + 1

B. 3 .

?
C. 1 .

D. 0 .

Câu 48: Cho hình nón đỉnh S , đường trịn đáy tâm O và góc ở đỉnh bằng 120° . Một mặt phẳng đi qua

S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
SO bằng 3 , diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 18π 3 . Tính diện tích tam giác
SAB .

A. 21.
Câu 49: Trong

B. 27.
không

gian

với

hệ

C. 12.
tọa

độ

Oxyz ,

cho

điểm

D. 18.
A ( 1; 2; −3)

,

mặt

phẳng

 x = 1 + 3t

 y = 2 + 4t
( P ) : 2 x + 2 y − z + 9 = 0 và đường thẳng d :  z = −3 − 4t . Gọi B là giao điểm của đường thẳng
d và mặt phẳng ( P ) và điểm M thay đổi trong ( P ) sao cho M ln nhìn đoạn AB dưới góc
90o . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

N ( −1; −2;3)

Q ( 3;0;15 )
T ( −3; 2;7 )
.
B.
.
C.
.
D.
.
y = f ( x)
g ( x ) = f ( 2 x − 2)
Câu 50: Cho hàm số
liên tục trên ¡ và hàm
có đồ thị như hình vẽ bên
dưới.
A.

V ( −2; −1;3)

y = 4 f ( sin x ) + cos 2 x − m
Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số
nghịch biến trên

 π
 0; ÷
khoảng  2  ?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .
---------- HẾT ----------

D. 3 .

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.D
11.C
21.C
31.A
41.A

2.B
12.B
22.D
32.B
42.C

3.A
13.C
23.D
33.A
43.D

4.C
14.B
24.D

34.A
44.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.B
7.D
15.B
16.A
17.D
25.C
26.D
27.B
35.A
36.A
37.D
45.A
46.C
47.C

8.D
18.C
28.B
38.A
48.D

9.B
19.A
29.A
39.B

49.B

10.B
20.A
30.A
40.A
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z . Khi đó số phức w = −2 z là

A. w = 4 + 2i .
Điểm

M ( 2;1)

B. w = 4 − 2i .

C. w = −4 + 2i .
Lời giải

D. w = −4 − 2i .

trong hệ tọa độ vng góc cuả mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức

z = 2 + i suy ra w = −2 z = −2 ( 2 + i ) = −4 − 2i .
Câu 2:

Tìm đạo hàm của hàm số y = log 5 x .
ln 5
1
y′ =
y′ =
x
x ln 5
A.
B.

C.
Lời giải

y′ =

1
5ln x

D.

y′ =

1
x

y′ =

2023
x 2022 .

Chọn B
Áp dụng công thức
Câu 3:

( log a x ) ′ =

1
1
y′ =
xln 5 .
x ln a , ta được

2023
Đạo hàm của hàm số là y = x
trên tập số thực, là

A. y′ = 2023.x

2022

B. y′ = 2023.x

.

2021

.

C. y′ = 2022.x
Lời giải

2024

.

D.

Chọn A
Ta có

y′ = ( x 2023 ) ′ = 2023.x 2023−1 = 2023.x 2022

.

x+ 2

Câu 4:

1
 ÷
Bất phương trình  2 
A. 1.

<4

có bao nhiêu nghiệm ngun âm?
B. 2.
C. 3.
Lời giải

D. Vơ số.

Chọn C
x+2

Câu 5:

x+2

−2

1
1
1
 ÷ < 4 ⇔  ÷ <  ÷ ⇔ x > −4
2
2
Ta có  2 
Bất phương trình có 3 nghiệm ngun âm.
( u ) u = 2 và u2 = 6 . Giá trị của u5 bằng
Cho cấp số nhân n có 1
Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. 8 .

C. 162 .
Lời giải

B. 12 .

D. 81 .

Chọn C
Công bội:
Câu 6:

Câu 7:

q=

u2
6
= =3
u = u1q 4 = 2.34 = 162
u1 2
nên 5
.

r
P)
u = ( 1; −2;0 )
(
Oxyz
Trong không gian
, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
. Biết
r
v = ( 0; 2; −1)

( P) .
,
là cặp vectơ chỉ phương của
r
r
r
r
n = ( 1; −2;0 )
n = ( 2;1; 2 )
n = ( 0;1; 2 )
n = ( 2; −1; 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
r r r
n = u , v  = ( 2;1; 2 )
P)
(
Ta có
có một vectơ pháp tuyến là
.

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ R )

Cho hàm số
có bảng biến thiên là hình bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là

A.

( −3;0 ) .

B.

( 1; 0 ) .

( 0; − 4 ) .

C.
Lời giải

D.

( 0; − 3) .

Chọn D
Từ bảng biến thiên, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ
2

Câu 8:

∫

Nếu 0

A. −3 .

f ( x ) dx = 3

2

2

và

∫ g ( x ) dx = −3
0

B. −9 .
2

( 0; −3) .

2

thì

∫  f ( x ) − 2 g ( x ) dx
0

bằng

C. 3 .
Lời giải

D. 9 .

2

∫  f ( x ) − 2 g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx = 3 − 2. ( −3) = 9

Câu 9:

0
0
Ta có: 0
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau?

3
2
4
2
A. y = x + 3 x + 2 x − 1 . B. y = x − 2 x − 1 .

4
2
4
2
C. y = − x + 2 x − 1 . D. y = x − x − 1 .

Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải

Đường cong trong hình khơng phải đồ thị hàm đa thức bậc 3 nên loại đáp án A ;
lim y = +∞ ⇒ a > 0
Từ đồ thị ta thấy x →±∞
nên loại đáp án C ;
( 1; −2 ) vào hàm số y = x 4 − x 2 − 1 ta có −2 = 14 − 12 − 1 mệnh đề sai nên loại
Thay tọa độ điểm
đáp án D ;
4
2
Vậy đường cong trong hình là đồ thị của hàm số y = x − 2 x − 1
Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 y + 4z − 2 = 0 .

Bán kính mặt cầu

bằng
7.

C. 2 2 .
Lời giải
a = 0
b = 1
2
2
2
( S ) : x + y + z − 2 y + 4 z − 2 = 0 ⇒ 
c = −2
d = −2
Ta có

. Khi đó
A. 1 .

B.

( S)
Bán kính mặt cầu

R = 02 + 12 + ( −2 ) − ( −2 ) = 7

D. 7 .

2

là

.

uu
r
P)
Q)
(
(
nP
Oxyz
,
Câu 11: Trong khơng gian
cho hai mặt phẳng
và

lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

uur
nQ

và
( Q)

. Biết sin góc giữa hai vectơ

bằng.
3
.
A. 3

B.

−

3
.
3

uu
r
nP

và

uur

nQ

3
.
( P ) và
bằng 3 Cosin góc giữa hai mặt phẳng

6
.
C. 3
Lời giải

D.

−

6
.
3

Chọn C
2

 3
3
6
·uur uur
·uur uur
sin nP ; nQ =
⇒ cos (·( P ) ; ( Q ) ) = cos nP ; nQ = 1 − 

=
.
÷
÷
3
3 
3

Ta có:
2
Câu 12: Cho số phức z = 3 + 8i , phần thực của số phức z bằng
A. 55 .
B. −55 .
C. 48 .
D. −48 .

(

)

(

)

Lời giải
Chọn B
z = ( 3 − 8i ) = −55 − 48i
2

2

2
nên phần thực của số phức z bằng −55 .
Câu 13: Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng
3
3
3
3
A. 3a .
B. a .
C. 27a .
D. 9a .
Lời giải

Ta có

V = ( 3a ) = 27 a 3
Thể tích của khối lập phương cạnh 3a là
.
Câu 14: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
3

đáy và SA = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng
Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

2a3 .

B.

6a 3
12 .

6a 3
4 .

C.
Lời giải

S∆ABC =

D.

6a 3
3 .

a2 3
4 .

Diện tích của tam giác ABC đều cạnh a là:
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA
Ta có,
là đường cao của hình chóp

1
1 a2 3

6a 3
VS . ABC = .S∆ABC .SA = .
.a 2 =
3
3 4
12 .
Thể tích của khối chóp S . ABC là:
Câu 15: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu
( P) : x + 2 y + 2z + m = 0

( S ) :( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4
2

2

và mặt phẳng

S
P
. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để mặt cầu ( ) và mặt phẳng ( ) có

điểm chung?
A. 12.

B. 13.

C. 15.
Lời giải

D. 14.

( S ) có tâm I ( −1; 2; 3) và bán kính R = 2 .
S
P
⇔ d ( I,( P) ) ≤ R
Mặt cầu ( ) và mặt phẳng ( ) có điểm chung
Mặt cầu

⇔

−1 + 4 + 6 + m
1+ 4 + 4

≤2

⇔ m + 9 ≤ 6 ⇔ −15 ≤ m ≤ −3

.

{
}.
Do m là số nguyên nên
Vậy có 13 giá trị nguyên của m .
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, cho M (2;3) là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z bằng
A. 2 .
B. 3 .

C. −3 .
D. −2 .
Lời giải
Ta có: M (2;3) là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng toạ độ ⇒ z = 2 + 3i do đó
m ∈ −15, −14,......, −3

phần thực của z là 2.

Câu 17: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm , chiều cao 5cm . Diện tích tồn phần của hình trụ đó

bằng
2
A. 50cm .

C. 50π cm .
D. 100π cm .
Lời giải
Stp = S xq + 2.S d = 2π rh + 2π r 2 = 100π cm 2
Diện tích tồn phần của hình trụ:
.
Oxyz
(
P
)
:
x
−
2
y
−

3
z
+
2
=
0
Câu 18: Trong khơng gian
, mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
N ( −1;0;1)
P ( −2;1; − 1)
Q ( 3;1;1)
M ( 1;1; 2 )
A. Điểm
.
B. Điểm
. C. Điểm
.
D. Điểm
.
2

B. 100cm .

2

2

Page 11

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
+ Thay tọa độ điểm
quả: −2 = 0
Vậy N ∉ ( P ) .
+ Thay tọa độ điểm
quả: 1 = 0

N ( −1;0;1)

vào phương trình mặt phẳng ( P) : x − 2 y − 3 z + 2 = 0 ta có kết

P ( −2;1; − 1)

vào phương trình mặt phẳng ( P) : x − 2 y − 3 z + 2 = 0 ta có kết

Vậy P ∉ ( P) .
+ Thay tọa độ điểm
quả: 3 − 2 − 3 + 2 = 0

Q ( 3;1;1)

vào phương trình mặt phẳng ( P) : x − 2 y − 3 z + 2 = 0 ta có kết

Vậy Q ∈ ( P) .
3
2
Câu 19: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của

đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

y
4
2
x

−2 −1 O
A. (−1; 0) .

B. (0; −1) .

1

C. (1; 4) .
Lời giải

D. (0; 2) .

Chọn A
Từ đồ thị, ta có đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là ( −1; 0) .

Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

A. x = 2 .

B. y = −2 .

y=

x2 + x − 2
x − 2 là đường thẳng có phương trình
C. y = 2 .
D. x = −2 .

Lời giải
Chọn A

x2 + x − 2
x2 + x − 2
lim+
= +∞; lim
= −∞
x →2 −
x−2
x−2
Ta có x →2
Suy ra hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

 5
 2; 2 ÷
.
A.

log 1 ( x − 2) > 1

5

 ; +∞ ÷

.
B.  2

2

là

 5
 2; ÷
C.  2  .
Lời giải

5

 −∞; ÷
2
D. 

Ta có:

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
log 1 ( x − 2) > 1
2

x − 2 > 0
5


⇔
1 ⇔2< x<
2
 x − 2 < 2
Câu 22: Cho đa giác lồi 11 đỉnh. Số tứ giác có cả 4 đỉnh thuộc đỉnh của đa giác đã cho là
A. 217 .
B. 220 .
C. 1320 .
D. 330 .
Lời giải
4
Số tứ giác có cả 4 đỉnh thuộc đỉnh của đa giác đã cho là C11 = 330 tứ giá
F ( x) = ln x + x + 1

Câu 23: Hàm số

A.
C.

f ( x) = x ln x + x

f ( x) = x ln x +

.

là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên
f ( x) = x ( ln x - 1)
B.
.

x2
+x
2
.

D.
Lời giải

C.

( 0;+¥ ) ?

1
+1
x
.

f ( x) =

¢ 1
F ¢( x) = ( ln x + x + 1) = + x
x
Ta có
.
F ( x)

Do vậy

là một nguyên hàm của hàm số
2

f ( x)

Câu 24: Cho hàm số

A. −9 .

Ta có:

∫(

liên tục trên ¡ và
B. −1 .

f ( x) =

1
+x
( 0;+¥ ) .
x
trên

f ( x ) + 2 x ) dx = 5

0

2

. Tính

∫ f ( x)dx

.
D. 1 .

0

C. 9 .
Lời giải

2

2

2

2

0

0

0

0

∫ ( f ( x ) + 2 x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ 2xdx = ∫ f ( x ) dx + 4 = 5
f ( x ) = 3x + sin x

2

. Do đó

∫ f ( x)dx = 1
0

.

2

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số

A. x + cos x + C.
3

Ta có :

∫ ( 3x

Câu 26: Cho hàm số

2

B. 6 x + cos x + C.

+ sin x ) dx = x 3 − cos x + C.

y = f ( x)

là

3
C. x − cos x + C.
Lời giải

D. 6 x − cos x + C.

có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −∞;0 ) .
( 1; +∞ ) .
( −2;3) .
A.
B.
C.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra hàm số nghịch biến trên
y = f ( x)
Câu 27: Cho hàm số
có đồ thị như sau

D.

( −1;1) .

( −1;1) .
Page 13

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 0 .

B. 1 .

D. −3 .

C. 2 .
Lời giải

Từ đồ thị suy ra giá trị cực đại là y = 1 .
log3 ab
= a , khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 28: Với mọi số thực dương a, b thỏa mãn 9
2
2
2
2
A. a b = 1 .
B. ab = 1 .
C. ab = 3 .
D. ab = 2

Lời giải
2
log ab
log 3 ab
= a ⇔ 32log3 ab = a ⇔ 3 3 ( ) = a ⇔ ( ab ) = a ⇔ ab = 1 .

Ta có 9
( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 − 4 x + 4 , đường thẳng y = 4 x − 12 và trục
Câu 29: Gọi
H
hoành. Biết thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình ( ) quanh trục hồnh bằng
a
a
π (a, b
b
là các số nguyên dương và b là phân số tối giản). giá trị của a + b bằng
A. 31 .
B. 5 .
C. 36 .
D. 37 .
2

2

Lời giải

2
⬥ Xét các phương trình hoành độ giao điểm của y = x − 4 x + 4 , y = 4 x − 12 và trục hoành.

x 2 − 4 x + 4 = 4 x − 12 ⇔ x 2 − 8 x + 16 = 0 ⇔ ( x − 4 ) = 0
2

⇔ x =4.

x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2 .

4 x − 12 = 0 ⇔ x = 3
⬥ Khi cho hình phẳng

(H)

quay quanh trục hồnh ta được một khối trịn xoay có thể

tích
4

4

V = π ∫ ( x 2 − 4 x + 4 ) dx − π ∫ ( 4 x − 12 ) dx
2

2

2

3

Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
4

4

= π ∫ ( x − 2 ) dx − π ∫ ( 4 x − 12 ) dx

4

2

2

3

( x − 2)
=π
5

5 4

( 4 x − 12 )
−π

2

12

3 4

=
3

32
16
16
π − π = π.

5
3
15

 a = 16

⬥ Suy ra b = 15 . Vậy a + b = 31.
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA = 2 a và SA vng góc với

( SCD ) và ( ABCD ) .
đáy. Tính cosα với α là góc tạo bởi hai mặt phẳng
1
2
2
1
A. 5 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 3 .
Lời giải

CD ⊥ ( SAD )
suy ra SA ⊥ CD , cùng với CD ⊥ AD ta được
.
SCD
ABCD
CD
=
SCD
I

ABCD
(
) và (
) ta có
(
) (
) , đồng thời CD ⊥ ( SAD )
Xét hai mặt phẳng

Ta có

SA ⊥ ( ABCD )

2
2
·
do vậy góc tạo bởi hai mặt phẳng trên là α = SDA . Độ dài SD = SA + AD = a 5
AD
1
cos α =
=
SD
5.
Ta có

Câu 31: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình dưới.

f ( x) = m
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có 6 nghiệm phân biệt là
A. 2 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải

Từ bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

ta có bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

như sau:
Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

f ( x) = m
y = f ( x)
Số nghiệm của phương trình
chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng có phương trình y = m .
y = f ( x)

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
tại 6 điểm
phân biệt khi và chỉ khi 2 < m < 5

Do

m ∈ Z ⇒ m ∈ { 3; 4}

Câu 32: Cho hàm số

y = f ( x)

. Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

f ′( x)
xác định và liên tục trên ¡ , có đạo hàm
thỏa mãn

y = f ( 1− x)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
( −2;0 ) .
( −1;3) .
( −1;1) .
A.
B.
C.
Lời giải
y = f ( 1 − x ) ⇒ y′ = − f ′ ( 1 − x )
Ta có:

.
Hàm

số

y = f ( 1− x)

nghịch

biến

D.

( 1; +∞ ) .

1 − x ≥ 1
⇔
⇒ − f ′( 1− x) ≤ 0 ⇔ f ′( 1− x) ≥ 0
 −1 ≤ 1 − x ≤ 0

x ≤ 0
⇔
1 ≤ x ≤ 2 . Vậy hàm số y = f ( 1 − x ) có nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) .
Câu 33: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên
bi. Xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là
C41C52C61
P=
C154 .
A.

C41C53C62
P=
C152 .
B.

C41C52C61
P=
C152 .
C.
Lời giải

C41C52C61
P=
C152 .
D.

Chọn A
Số phần tử không gian mẫu:

n ( Ω ) = C154

Gọi A là biến cố cần tìm. Khi đó:

.
n ( A ) = C41 .C52 .C61

Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Xác suất của biến cố A là

P ( A) =

n ( A ) C41 .C52 .C61
=
n ( Ω)
C154

Câu 34: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

A. 1 .

log 2 ( 6 − 2 x ) = 1 − x

bằng

C. 0 .
Lời giải

B. 2 .

Điều kiện:
Ta có:

.

D. 3 .

6 − 2 x > 0 ⇔ 2 x < 6 ⇔ x < log 2 6

log 2 ( 6 − 2 x ) = 1 − x ⇔ 6 − 2 x = 21− x ⇔ 6 − 2 x =

2
(*)
2x

x
Đặt t = 2 . Khi đó phương trình có dạng:

6−t =

Ta có

2
⇔ t 2 − 6t + 2 = 0
t
.

t1t2 = 2 x1.2 x2 = 2 x1 + x2 = 2 ⇒ x1 + x2 = 1

.

Câu 35: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

( 1+ i ) z − 5 + i

tròn tâm I và bán kính R lần lượt là
I ( 2; −3) , R = 2

I 2; −3) , R = 2
I −2;3) , R = 2
A. (
.
B.
.
C. (
.
Lời giải
z = x + yi, ( x , y ∈ ¡ )
Gọi
. Ta có:

( 1+ i) z − 5 + i

D.

=2

là một đường

I ( −2;3) , R = 2

.

= 2 ⇒ ( 1 + i ) ( x + yi ) − 5 + i = 2 ⇔ ( x − y − 5 ) + ( x + y + 1) i = 2

⇔ ( x − y − 5 ) + ( x + y + 1) = 4 ⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 12 y + 22 = 0
2

2

⇔ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 11 = 0 .

I ( 2; − 3)
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm
và R = 2 .
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng

d1 :

( P ) : 3x + y − 2 z = 0

và hai đường thẳng

x +1 y − 6 z
x −1 y − 2 z + 4
=
=
d2 :
=
=
−1
2
1 và
−3
−1
4 . Đường thẳng vng góc với ( P )

cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là

x + 2 y −1 z
=
=
1
−2 .
A. 3

x+5 y z −4
= =
1
2 .
B. 3

x + 2 y − 8 z −1
x −1 y − 2 z − 2
=
=
=
=
1
−2 .
1
−2 . D. 3
C. 3

Lời giải

 x = −1 − t
x +1 y − 6 z


d1 :
=
= ⇔  y = 6 + 2t , t ∈ ¡ ⇒ M ∈ d1 ⇔ M ( −1 − t ; 6 + 2t ; t )
−1
2
1
z = t

Ta có:
.
 x = 1 − 3t ′
x −1 y − 2 z + 4

d2 :
=
=
⇔  y = 2 − t ′ , t ′ ∈ ¡ ⇒ N ∈ d1 ⇔ N ( 1 − 3t ′ ; 2 − t ′ ; −4 + 4t ′ ) .
−3
−1
4
 z = −4 + 4t ′

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

uuuu
r
⇒ MN = ( 2 + t − 3t ′ ; −4 − 2t − t ′ ; −4 − t + 4t ′ )

Lại có:
Vì

( P ) : 3x + y − 2 z = 0 ⇒

( d ) ⊥ ( P)

và

.

r

vectơ pháp tuyến của

( d ) cắt hai đường thẳng

( P ) : n = ( 3;1; −2 ) .

d1 tại M ,cắt d 2 tại N suy ra

 2 + t − 3t ′ = 3k
t = −2
uuuu
r
r


MN = kn ⇔  −4 − 2t − t ′ = k ⇔ t ′ = 1 ⇒ N ( −2;1; 0 )
 −4 − t + 4t ′ = −2k

 k = −1


.
uu
r r
( d ) ⊥ ( P ) nên ud = n( P ) = ( 3;1; −2 ) .
Do
x + 2 y −1 z
=
=
1
−2 .
Vậy phương trình đường thẳng d là: 3

Câu 37: Cho điểm

A.

A ( 1;1;1)

( 2; −3; −1) .

và đường thẳng
( 2;3;1) .
B.

 x = 6 − 4t

d :  y = −2 − t

 z = −1 + 2t


. Hình chiếu của A trên d có toạ độ là
( −2;3;1) .
( 2; −3;1) .
C.
D.

Lời giải
A trên đường thẳng d là M ( 6 − 4t ; − 2 − t ; − 1 + 2t ) .
⬥ Gọi hình
chiếu
của
điểm
uuuu
r
AM = ( 5 − 4t ; − 3 − t ; − 2 + 2t )
Ta có: uu
.
r
u = −4; −1; 2 ) .
⬥ Ta có d (
uuuu
r uu
r
AM .ud = 0 ⇔ −4 ( 5 − 4t ) + ( −3 − t ) ( −1) + ( −2 + 2t ) .2 = 0
⇔ −20 + 16t + 3 + t − 4 + 4t = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1.

M ( 2; − 3;1) .

⬥ Vậy hình chiếu của điểm A trên d là
Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng

cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a .
a 2
2a 5
a 3
d=
d=
d=
3 .
3 .
2 .
A.
B.
C.
Lời giải

D.

d=

a 5
2 .

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Gọi M là hình chiếu của O lên CD , H là hình chiếu của O lên SM. Suy ra đoạn OH là

mp ( SCD )
khoảng cách từ O đến
OM .OS

d = OH =

=

OM 2 + OS 2

Vậy

a
.a 2
a 2
2
=
2
3
a
+ 2a 2
4

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên a thỏa mãn

A. 4096 .

Từ giả thiết
Đặt

(

B. 4095 .

(

)

3log3 1 + a + 3 a > 2 log 2 a

.

C. 4094 .
Lời giải

)

3log 3 1 + a + 3 a > 2 log 2 a

D. 4093 .

.

log 2 a = 3x ⇔ a = 64 x
.

Ta được bất phương trình:
x

x

3log 3 ( 1 + 8x + 4 x ) > 6 x ⇔ 1 + 8 x + 4 x > 9 x
.

x

1 8  4
⇔  ÷ +  ÷ + ÷ >1
9 9 9
x

.

x

x

1 8 4
f ( x) =  ÷ +  ÷ +  ÷
9 9 9 .
Đặt
x

x

x

1 1 8 8  4  4
f ′ ( x ) =  ÷ ln  ÷+  ÷ ln  ÷+  ÷ ln  ÷ < 0

9 9 9 9 9 9
⇒
, ∀x ∈ ¡ .
f ( x)
f ( 2) = 1
là hàm số nghịch biến trên ¡ . Và ta lại có
.
Vậy
x

x

x

1 8 4
 ÷ +  ÷ +  ÷ > 1 ⇔ f ( x ) > f ( 2)
⇔ x < 2.
Từ  9   9   9 
2
Suy ra a < 64 = 4096
Suy ra có 4095 giá trị a nguyên
f ( x)
F ( x) ,G ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên ¡ . Gọi
là hai nguyên hàm của hàm số
trên
π
2

¡ thỏa mãn F ( 1) + G ( 1) = −2 và F ( −1) + G ( −1) = 0 . Tính
A. 2 .
B. −2 .
C. 3 .

∫  sin x − 2sin 2 x f ( cos 2 x )  dx
0

.

D. −1 .

Lời giải
Chọn A
G ( x) = F ( x) + C
Ta có:
2 F (1) + C = −2
 F ( 1) + G ( 1) = −2
⇔
⇔ { F (1) − F ( −1) = −1

2 F (−1) + C = 0
 F ( −1) + G ( −1) = 0
.
1

Do đó

∫ f ( x ) dx = F ( 1) − F ( −1) = −1

−1

.
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Lại có

π
2

π
2

π
2

0

0

0

∫  sin x − 2sin 2 x f ( cos 2 x ) dx = ∫ sin x dx − 2 ∫ sin 2 x f ( cos 2 x ) dx

π
2

= 1 − 2 ∫ sin 2 x f ( cos 2 x ) dx
0

π
2

Mà

.

∫ sin 2 x f ( cos 2 x ) dx = −
0

π
2

−1

π
2

Vậy

.

 1

∫  sin x − 2sin 2 x f ( cos 2 x )  dx = 1 − 2.  − 2 ÷ = 2
0

Câu 41: Cho hàm số

1

1
1
1
1
f ( cos 2 x ) d ( cos 2 x ) = − ∫ f ( u ) du = ∫ f ( u ) du = −
∫
20
21
2 −1
2

y = f ( x)

có đạo hàm

f ′ ( x ) = ( x − 2)

2

.

(x

2

− 4 x + 3)

với mọi x . Có bao nhiêu giá

g ( x ) = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )
m
trị nguyên dương của tham số
để hàm số
có 5 điểm cực trị?
A. 16 .
B. 18 .
C. 17 .
D. 15 .
Lời giải
x = 2
( x − 2 ) 2 = 0
f ′( x) = 0 ⇔ 
⇔  x = 1
2
 x − 4 x + 3 = 0
 x = 3
Ta có
.
2
g ′ ( x ) = ( 2 x − 10 ) . f ′ ( x − 10 x + m + 9 )
.
x = 5
x = 5
 2
 2

 2 x − 10 = 0
x
−
10
x
+
m
+
9
=
2
 x − 10 x + m + 9 = 2 ( *)

g′ ( x) = 0 ⇔ 
⇔
⇔
2

2
 x 2 − 10 x + m + 9 = 1
x − 5 ) = 17 − m ( 1)
(
 f ′ ( x − 10 x + m + 9 ) = 0

 2
2

 x − 10 x + m + 9 = 3
( x − 5 ) = 19 − m ( 2 )
( *) là nghiệm bội chẵn và các nghiệm của phương trình ( 1) khơng trùng

Vì các nghiệm của
với các nghiệm của phương trình

( 2)

nên để hàm số

g ( x ) = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )

có 5 điểm

( 2 ) cũng
phải có hai nghiệm phân biệt khác 5 và phương trình
phải có hai nghiệm phân biệt khác 5
cực trị thì phương trình

( 1)

17 − m > 0
m < 17
19 − m > 0
m < 19


⇔
⇔
⇔ m < 17
m − 17 ≠ 0
m ≠ 17
m − 19 ≠ 0

m ≠ 19
.

+
m ∈ { 1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}
Vì m ∈ ¢ nên
.

g ( x ) = f ( x 2 − 10 x + m + 9 )
16
m
Vậy có
giá trị nguyên dương
để hàm số
có 5 điểm cực trị

Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 42: Cho hai số phức
z1 − z 2

biểu thức
1
A. 2 .

z1 , z2 thỏa mãn z1 + 5 = 5 và z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i . Giá trị nhỏ nhất của
bằng

3
B. 2 .

5
C. 2 .
Lời giải

7
D. 2 .

Chọn C

z +5 = 5
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn 1
là tập hợp các điểm
M ( x; y)

( x + 5)
thoả mãn phương trình:

2

+ y 2 = 25 ( 1)

là đường tròn tâm
z2 + 1 − 3i = z2 − 3 − 6i

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z 2 thỏa mãn

N ( x; y)

I ( −5;0 ) , R = 5
là tập hợp các điểm

x + 1) + ( y − 3) = ( x − 3) + ( y − 6 ) ⇔ 8 x + 6 y − 35 = 0 ( 2 )
thỏa mãn phương trình (
z −z
Khi đó 1 2 là khoảng cách từ một điểm thuộc d : 8 x + 6 y − 35 = 0 tới một điểm thuộc

đường tròn

2

( C ) : ( x + 5)

2

+ y 2 = 25

2

2

2

.

15
5
15

> R ⇒ z1 − z2 min = MN min = d ( I , d ) − R = − 5 =
2
2.
2
Vì
Câu 43: Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
d ( I,d ) =

a 15
và A¢C bằng 5 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ tính theo a bằng:
3a 3
3a 3
3a 3
3 3a 3
A. 8 .
B. 2 .
C. 8 .
D. 4 .
Lời giải

AB / / A′B′ ⇒ AB / / ( A′B′C ) ⇒ d ( AB , A′C ) = d ( AB ,( A′B′C ) ) = d ( B ,( A′B′C ) ) =

Ta có
Đặt AA′ = x > 0 .

a 15
5

2
2

Tam giác CA′B′ cân tại C , CA′ = CB′ = a + x .
Diện tích tam giác CA′B′ là

1
1
a2 1
3a 2 + 4 x 2 1
SCA′B′ = CH . A′B′ = .a. a 2 + x 2 −
= a.
= a 3a 2 + 4 x 2
2
2
4 2
4
4

a2 3
V = x.
4
Thể tích lăng trụ

( 1)

Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

1
a 15 1

V = 3VB. A′B′C = 3. d( B ,( A′B′C ) ) .S A′B′C =
. a. 3a 2 + 4 x 2
3
5 4
Lại có
.
Do đó

V = x.
Câu 44:

x.

a 2 3 a 15 1
=
. a. 3a 2 + 4 x 2 ⇔ 5 x 3 = 15. 3a 2 + 4 x 2 ⇔ x = a 3
4
5 4
.

a2 3
3a 3
=
4
4 .

f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ¡ và hàm số f '( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,
g '( x) = qx 2 + nx + p với a, q ≠ 0 có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Cho hai hàm số

hai đồ thị hàm số y = f '( x) và y = g '( x) bằng 10 và f (2) = g (2) . Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) .

8
A. 3 .

8
B. 15 .

16
C. 3 .
Lời giải

Đặt h( x) = f ( x) − g ( x) ⇒ h '( x ) = f '( x ) − g '( x ).
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
f ′ ( x ) = g′ ( x ) ⇔ f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = 0

16
D. 5 .

.

Vì hai đồ thị y = f '( x) và y = g '( x) cắt nhau tại các điểm có hồnh độ lần lượt bằng 0; 1; 2 nên
phương trình có các nghiệm là x = 0; x = 1 và x = 2 . Do đó, ta có

h '( x) = f '( x) − g '( x ) = kx( x − 1)( x − 2) ( k ≠ 0 ) .
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f '( x ) và y = g '( x ) :
2

1

2

0

0

1

S = ∫ f '( x ) − g '( x )dx = k ∫ x ( x − 1) ( x − 2 ) dx − k ∫ x ( x − 1) ( x − 2 ) dx =

1
k.
2

Theo đề: S = 10 . Do đó: k = 20.
⇒

h '( x) = 20 x( x − 1)( x − 2)

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

 x4

h( x ) = ∫ 20 x ( x − 1)( x − 2)dx = 20 ∫ ( x − 3x + 2 x ) dx = 20  − x 3 + x 2 ÷+ C
 4


3

⇒

2

Vì f (2) = g (2) ⇒ h(2) = f (2) − g (2) = 0 ⇒ C = 0
Do đó:

h( x) = 5 x 4 − 20 x 3 + 20 x 2

Xét phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = 0
⇔ h( x ) = 0

⇔ 5 x 4 − 20 x 3 + 20 x 2 = 0
x = 0

⇔ x = 2
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

2

2

S = ∫ f ( x ) − g ( x )dx = ∫ h( x )dx = ∫ 5 x 4 − 20 x 3 + 20 x 2 dx =

16
.

3

0
0
0
⇒
Câu 45: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để trên tập số phức, phương trình
z 2 + 2mz + m 2 − m − 2 = 0 có hai nghiệm z1 , z2 thoả mãn z1 + z2 = 2 10 .
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
2
2
∆′ = m − ( m − m − 2 ) = m + 2
Ta có
.
TH1: Nếu ∆ > 0 ⇔ m > −2 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1 , z2

 z1 + z2 = −2m

2
 z1. z2 = m − m − 2 .
z1 + z2 = 2 10 ⇔ ( z1 +z2 ) − 2 z1 z2 + 2 z1 z2 = 40
2

Ta có:

⇔ 4m 2 − 2 ( m 2 − m − 2 ) + 2 m 2 − m − 2 = 40

⇔ m 2 − m − 2 = 18 − m2 − m

  m 2 − m − 2 = 18 − m2 − m

⇔   m 2 − m − 2 = −18 + m 2 + m

2
18 − m − m ≥ 0
  m 2 = 10

⇔ m = 8

2
18 − m − m ≥ 0
⇔ m = ± 10 .
Kết hợp điều kiện suy ra m = 10 .

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
TH2: Nếu ∆ < 0 ⇔ m < −2 thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt
z1,2 = −m ± i −m − 2

thoả mãn

z1 = z2

suy ra

z1 = z2 = 10 ⇔

( −m )

2

+

(

−m − 2

)

2

= 10

m = 4
⇔ m 2 − m − 12 = 0 ⇔ 
 m = −3 .

Kết hợp điều kiện thì m = −3 .
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thoả mãn đầu bài.
A ( −1;1;1) B ( 11;15; 4 ) C ( 3;9; − 2 )
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
;
;
và

đường thẳng

 x = −4 + 3t

d :  y = −3 + 2t
 z = −2 + 2t


( P)

. Mặt phẳng

( P)

chứa đường thẳng d và điểm A . Điểm M

2
2
sao cho biểu thức S = MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách
( Q ) : 2x + y + 2z − 3 = 0 .
từ điểm M đến mặt phẳng
A. 11 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn C
r
E
−

4;
−
3;
−
2
u
= ( 3; 2; 2 )
(
)
Đường thẳng d đi qua điểm
và có một vector chỉ phương
.
uuur r  −4 −3 −3 −3 −3 −4 
uuur
 AE , u  = 
;
;
÷ = ( −2; − 3;6 )


 2 2 2 3 3 2 
⇒ AE = ( −3; − 4; − 3) ⇒
.r
( P ) chứa đường thẳng d và điểm A nên có một vector pháp tuyến n = ( 2;3; − 6 ) .
Mặt phẳng
⇒ Phương trình mặt phẳng ( P ) là: 2 ( x + 1) + 3 ( y − 1) − 6 ( y − 1) = 0 hay 2 x + 3 y − 6 z + 5 = 0 .

thuộc mặt phẳng

I ( 7 ;12;1)

Gọi I là trung điểm BC ⇒
.
u
u
u
r
u
u
u
u
r
uuu
r uur 2 uuu
r uur 2
2
2
S = MB 2 + MC 2 = MB + MC = MI + IB + MI + IC =
Ta có:
uuu
r 2 uur2 uur 2 uuu
r uur uur
2
= 2 MI + IB + IC + MI . IB + IC = 2 IM 2 + IB 2 + IC 2 ≥ 2  d ( I ; ( P ) )  + IB 2 + IC 2 = const

(

(

) (

)

)

( P)

Dấu " = " xảy ra ⇔ M là hình chiếu của I trên mặt phẳng
.
I ( 7 ;12;1)
Khi đó đường thẳng IM đi qua điểm
và có một vector chỉ phương
 x = 7 + 2t1

 y = 12 + 3t1

⇒ Phương trình đường thẳng IM là:  z = 1 − 6t1 .
 x = 7 + 2t1
 y = 12 + 3t

1

z
=
1
−
6
t
1



M = IM I ( P )
2x + 3y − 6z + 5 = 0 ⇔
Do
nên tọa độ điểm M thỏa mãn hệ: 

r
n = ( 2;3; − 6 )

.

.

t1 = −1
x = 5


y = 9

z = 7

⇒ M ( 5;9; 7 ) .

Vậy

d ( M ;( Q) ) =

2.5 + 9 + 2.7 − 3
22 + 12 + 22

= 10

.
Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 47: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau được thỏa mãn

log 2022 ( 4 x − 2 x +1 + 2023 )

y 2 +101

≤ 20 y + 1

?

B. 3 .

A. 2 .

D. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C
Ta có

log 2022 ( 4 x − 2 x +1 + 2023)

y 2 +101

≤ 20 y + 1 ⇔ log 2022 ( 4 x − 2 x+1 + 2023) ≤

VT = log 2022 ( 4 x − 2 x +1 + 2023 ) = log 2022

( ( 2 −1)
x

2

)

20 y + 1
y 2 + 101

+ 2022 ≥ 1

. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 .
 y = 10
20 y + 1
−20 y 2 − 2 y + 2020 f ' y = 0 ⇔ 
( )
VP = f ( y ) = 2
; f '( y ) =
2
 y = − 101
y + 101
( y 2 + 101) ,
10


BBT:

Từ BBT suy ra VP ≤ 1 . Dấu bằng xảy ra khi y = 10 .
⇔ VT = VP = 1 ⇔ ( x; y ) = ( 0;10 )
Vậy đẳng thức xảy ra
.
Câu 48: Cho hình nón đỉnh S , đường trịn đáy tâm O và góc ở đỉnh bằng 120° . Một mặt phẳng đi qua
S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SO bằng 3 , diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 18π 3 . Tính diện tích tam giác
SAB .

A. 21.

B. 27.

C. 12.
Lời giải

D. 18.

Chọn D

Page 25