đề 17 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 17 – MÃ ĐỀ: 117
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 2i ?
Q ( 2; −3)
B.
.
x
Tính đạo hàm của hàm sớ y = 13

A.
Câu 2:

A.
Câu 3:

P ( −3; 2 )

y′ =

.

13x
ln13

Trên khoảng

x −1
B. y′ = x.13

Câu 5:

u1 =

1
6.

B.

2

D.

M ( −2;3)

x
D. y ′ = 13

là
1

y′ =

1
16 .

B.

C.

.

u1 =

1
2.

D.

u1 = −

2 −1

.

1
16 .

Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt

ur
m= ( 1;1;1)

C.

r
j = ( 0;1;0)

D.

r
k = ( 0;0;1)

ax + b
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục tung là
y=

A.

( 0; 2 ) .
3

Câu 9:

u1 =

Trong không gian với hệ tọa độ

( Oxy)

Câu 8:

y=x

2 −1

phẳng
?
r
i = ( 1;0;0)
A.
Câu 7:

.

1
y′ = x
′
y
=
2
x
2 x.
2
B.
.
C.
D.
x+1
Tập nghiệm của bất phương trình 2 < −8 là
( −4; +∞ ) .
( −∞; −9 ) .
A. ¡ .
B.
C.

D. ∅ .
1
u2 =
un )
(
4 , u4 = 4 . Giá trị của u1 là
Cho cấp sớ nhân
có cơng bợi dương và

A.
Câu 6:

N ( 3; −2 )

x
C. y′ = 13 ln13

( 0;+ ∞ ) , đạo hàm của hàm số là

A. y′ = 2 x .
Câu 4:

C.

∫

Nếu 0
A. 10 .

f ( x ) dx = 6

B.
2

và

∫
0

( 2;0 ) .

f ( x ) dx = 4

C.

( 0;1) .

D.

( 1; 0 ) .

3

thì

∫ f ( x ) dx
2

bằng
C. −10 .

B. 2 .
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm sớ nào dưới đây?

D. −2 .

Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3
2
A. y = x + 2 x − 1 .

3
2
4
2
4
2
B. y = − x + 2 x − 1 . C. y = x − 2 x − 1 .
D. y = −2 x + 4 x − 1 .
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 8x + 2 y + 1 = 0 . Tìm tọa đợ tâm và bán
Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu

( S) .
kính của mặt cầu
I ( −4;1;0 )
A.

và R = 4 .
I ( −4;1;0 )
C.
và R = 2 .

B.

Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
uu
r
nP

và

uur
nQ

. Biết cosin góc giữa hai vectơ

uu
r
nP

D.
( P)
và

I ( 4; − 1;0 )

và R = 2 .

I ( 4; − 1;0 )

và R = 4 .

và

uur
nQ

( Q)

lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

1
.
( P ) và
bằng 2 Góc giữa hai mặt phẳng

( Q)

bằng.
o
A. 30

o
B. 45

o
C. 60

Câu 12: Cho z1 = 2 + 4i , z2 = 3 − 5i . Xác định phần thực của w = z1.z2
A. −120 .
B. −32 .
C. 88 .

o
D. 90
2

D. −152 .

Câu 13: Cho khới lăng trụ đứng có chiều cao bằng 3 và đáy là tam giác đều có đợ dài cạnh bằng 2 .
Tính thể tích khới lăng trụ đã cho
B. 3 3 .
C. 3 .
D. 6 .
SA ⊥ ( ABCD )
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có
, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a ,
A. 3 .

AD = 2a , SA = 3a . Thể tích hình chóp S . ABCD bằng
3
A. 2a .

a3
3
3
B. 6a .

C. a .
D. 3 .
Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 2) 2 = 1 và mặt phẳng

Câu 15: Trong không gian
(α ) : 3 x + 4 z + 12 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) .
B. Mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu ( S ) theo một đường tròn.
C. Mặt phẳng (α ) đi qua tâm của mặt cầu ( S ) .
D. Mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu ( S ) .
Câu 16: Cho số phức z có sớ phức liên hợp z = −3 − 2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z
bằng.
A. 1 .
B. 5 .
C. −5 .
D. −1 .
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy là a , chiều cao là 2a . Diện tích xung quanh của hình nón đó là
Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A.

S xq = π a 2 3

.

B.

S xq = 2π a 2

.

C.

S xq = π a 2 5

.

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

D.
( P)

S xq = 2π a 2 5

.

có phương trình

x + 2 y − 3z − 2 = 0 . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( P ) ?

( −1;2;3) .
( 1;2;1) .
( 1;2; −2 ) .
B.
C.
D.
3

2
Câu 19: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ
thị hàm sớ đã cho có tọa đợ là
1
−1
3
A.

( 1;2; −3) .

2
−1

y

x

O

A. (−1; 2) .

C. (2; −1) .

B. (0;3) .

D. (3; 0) .
2x − 3
y=
x + 1 tương ứng có phương
Câu 20: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm sớ

trình là
A. x = 2 và y = 1 .
B. x = −1 và y = 2 . C. x = 1 và y = −3 . D. x = 1 và y = 2 .

log 2 ( x − 1) < 4
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
là
17; +∞ )
−∞;17 )
1;9
1;17 )
A. (
.
B. (
.
C. ( ) .
D. (
.
Câu 22: Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Sớ tam
giác trong có đỉnh là 3 trong sớ 15 đã cho là
A.

C153

Câu 23: Biết
A.

3

C. 15 .

B. 15! .

.

D.

A153

.

∫ f ( x ) dx = sin 3x + C . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

f ( x ) = −3cos 3x

.

8

∫ f ( x)dx = 10

Câu 24: Nếu 2
A. 24 .

B.

f ( x ) = 3cos3x

4

thì

∫  f (2 x) + 3
1

B. 19 .

x  dx

.

C.

f ( x) = −

D.

f ( x) =

cos 3x
3

bằng

C. 26 .
f ( x ) = 5 x 4 + cos x

Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
5
5

A. 5 x − sin x + C .
B. x − sin x + C .

cos 3 x
3 .

là
C. x + sin x + C .
5

D. 10 .
5
D. 5 x + sin x + C .

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 26: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Hàm sớ y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.

( −2;0 ) .

Câu 27: Cho hàm số

B.

y = f ( x)

( −1; 4 ) .

C.

( −∞ ; − 2 ) .

D.

( 0; + ∞ ) .

là hàm số bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 1 .
B. 2 .
Câu 28: Cho log 2 3 = a. Tính P = log8 6 theo a .
1
P = (1 + a)
3
A. P = 3(1 + a) .
B.
.

C. −1 .

D. −2 .

C. P = 1 + a .

D. P = 2 + a .
2
Câu 29: Tính thể tích V của khới trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = 4 − x và trục
hoành quanh trục Ox.
4
512π
7π
22π
V=
V=
V =
V =
5.
15 .
2 .
3 .
A.
B.
C.
D.
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , SA vng góc với đáy và
SA = a 6 . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng
0
0
0
A. 30 .
B. 60 .
C. 45 .
y = f ( x)
Câu 31: Cho hàm sớ bậc ba

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

0
D. 90 .

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
có
ít nhất ba nghiệm thực phân biệt?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
f ( x)
y = f ′( x)
Câu 32: Cho hàm số
xác định và liên tục trên ¡ . Biết đồ thị của đạo hàm
chỉ cắt trục
hoành tại bốn điểm có hoành đợ lần lượt là x = ±2 và x = ±1 như hình vẽ.

Khi đó hàm sớ
A.

( −∞; 2 ) .

f ( x)

đồng biến trên khoảng
B.

( −2; −1) .

C.

( −1;1) .

D.

( 0;1) .

Câu 33: Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3
đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
1
1
1
1
P=
P=
P=
P=
55 .
220 .
4.
14 .
A.

B.
C.
D.
Câu 34: Tính tổng T các nghiệm của phương trình
A. T = 11 .
B. T = 110 .

( log10 x )

2

− 3log100 x = −5

C. T = 10 .

D. T = 12 .

z =2 5
Câu 35: Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn
của sớ phức
trịn đó?
A. r = 5 .

w = i + ( 2 −i) z

cùng tḥc mợt đường trịn cớ định. Tính bán kính r của đường

B. r = 10 .

C. r = 20 .

D. r = 2 5 .

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 36: Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

các

đường

thẳng

 x = −1 + 3t

x − 3 y +1 z − 2
x+3 y−2 z

d1 :
=
=
, d 2 :  y = −2t , d3 :
=
=
2
1
−2
4
−1
6

 z = −4 − t
. Đường thẳng song song với

d3

d
d
và cắt đồng thời 1 và 2 có phương trình là
x +1 y
z−4

x −1 y
z+4
=
=
=
=
−1
6 .
−1
6 .
A. 4
B. 4
x − 3 y +1 z − 2
x − 3 y +1 z − 2
=
=
=
=
1
6 .
1
−6 .
C. 4
D. −4
Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho đường thẳng

d:

x − 2 y x −1
=

=
1
−1
2 và điểm

A ( 2;0;3 )

. Toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng d tương ứng là
8 2 7
2 4 5
 10 4 5 
 ;− ; ÷
 ;− ; ÷
 ;− ; ÷
( 2; − 3;1) .
3
3
3
3
3
3
3 3.




A.
.
B.
.

C.  2
D.
Câu 38: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng

( SBD )

theo a .

a
A. 2 .

B. a 2 .

a 2
D. 2 .

C. 2a .

log ( x 2 + 1) − log 3 ( x + 21)  . ( 16 − 2 x −1 ) ≥ 0?

Câu 39: Có bao nhiêu sớ nguyên x thoả mãn  3
A. 17 .
B. 18 .
C. 16 .
D. Vô số.
f ( x)
F ( x) ,G ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số

liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
e2

∫

f ( ln x )

dx
2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1 F ( 2 ) − 2G ( 2 ) = 4
F ( 1) − G ( 1) = −1
2
x
1
mãn
,
và
. Tính
.
A. −2 .
B. −4 .
C. −6 .
D. −8 .
f ′ ( x ) = ( − x3 + x 2 ) ( x 2 − 5 x + 6 ) , ∀x ∈ ¡
y = f ( x)
Câu 41: Cho hàm sớ đa thức
. Hàm sớ
. Hỏi có bao

g ( x ) = f ( x2 + 2x + m)
m
nhiêu giá trị ngun của tham sớ
để hàm sớ
có đúng 5 điểm cực trị?
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn
nhất của
A. 28 .

z − 4 + 3i .

3 z + z + 2 z − z ≤ 12.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ

Giá trị của M .m bằng
B. 24 .

C. 26 .
D. 30 .
Câu 43: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng tại A , AB = a, BC = 2a , biết hình

( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa AA ' và mặt
chiếu của A ' lên mặt phẳng
phẳng

( ABC ) bằng 600 . Khi đó thể tích của hình trụ

ABC. A ' B ' C ' bằng:
Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1 3
a
A. 2 .

1 3
a
B. 6 .

Câu 44: Cho hàm số bậc ba

x1 ; x2

thỏa mãn

f ( x)

1 3
a
D. 3 .

3 3
a
C. 2 .

f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết hàm số

x2 = x1 + 2

f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2

và

. Gọi

S1 ; S 2

đạt cực trị tại hai điểm

là diện tích của hai hình phẳng

S1
được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số S2 .

5
A. 4 .

3
B. 5 .

3
C. 8 .

5
D. 8 .

a ≤2
Câu 45: Xét các số thực a thay đổi thỏa mãn
và z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình
7 
A
 ;2÷
z 2 − az + 1 = 0 . Gọi  2  và M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 và z2 . Giá trị lớn
nhất của diện tích tam giác AMN bằng
9 3
B. 4 .

7
A. 2 .

15 15
C. 16 .

D. 2 3 .
x−2 y −6 z +2
d1 :
=
=
2
−2
1
Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau

và

d2 :

x − 4 y +1 z + 2
=
=
1
3
−2 . Gọi mặt phẳng ( P ) là chứa d1 và ( P ) song song với đường thẳng d 2

. Khoảng cách từ điểm

M ( 1;1;1)

đến

( P)

bằng

2
1
3
A. 10 .
B. 53 .
C. 3 10 .
D. 5 .
( a; b ) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn:
Câu 47: Có tất cả bao nhiêu cặp sớ

log 5 ( a + b ) + ( a + b ) = 5 ( a 2 + b2 ) + ab ( 3a + 3b − 5 ) + 1
3

A. 2 .
Câu 48: Cho hình trụ

B. 3 .

C. 4 .

( Η ) có hai đáy là hai đường trịn có tâm

.
D. Vơ số.

O và O ' , mặt phẳng ( α ) đi qua O ' và cắt

đường tròn tâm O tại hai điểm A, B sao cho tam giác O ' AB là tam giác đều và có diện tích

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
a2 3
4 . Biết góc giữa mp ( α ) và mp ( OAB ) bằng 600 , tính khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng

( O′AB ) ?
a 3

B. 4 .

a 3
D. 8 .
 x = 2 − 2t
 x = 5 + 3s


d1 :  y = 1
d2 :  y = 1
 z = −2 + t
z = 3 − s
A ( 1;1;1)


Câu 49: Trong không gian Oxyz cho
và hai đường thẳng
,
. Gọi
3a
A. 8

3a
C. 4 .

B , C là các điểm lần lượt di động trên d1 , d 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = AB + BC + CA là:
A. 2 29 .

B.

29 .

C.

30 .

D. 2 30 .

3
2
m ∈ [ −10;10]
Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x + 2 . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số
A. 7 .

g ( x) = f ( x + m )

( 0;1) ?
nghịch biến trên
B. 8 .
C. 9 .

D. 10 .

---------- HẾT ----------

Page 8

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
11
21.D
31.B
41.B

2.C
12.D
22.A
32.B
42.B

3.B
13.B
23.B
33.A
43.C

4.D
14.A
24.B
34.A
44.B

5.B
15.D

25.C
35.B
45.C

6.D
16.D
26.A
36.D
46.C

7.C
17.C
27.D
37.C
47.C

8.B
18.C
28.B
38.D
48.A

9.D
19.B
29.B
39.B
49.A

10.D
20.B

30.B
40.B
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − 2i ?
P ( −3; 2 )
Q ( 2; −3)
N ( 3; −2 )
M ( −2;3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:

z = a + bi ⇒ N ( a; b )

là điểm biểu diễn của số phức

z

z = 3 − 2i ⇒ N ( 3; −2 )
Câu 2:

x
Tính đạo hàm của hàm sớ y = 13

A.

y′ =

13x
ln13

x −1
B. y′ = x.13

x
C. y′ = 13 ln13
Lời giải

x
D. y ′ = 13

Chọn C
x
Ta có: y′ = 13 ln13 .

Câu 3:

Trên khoảng

( 0;+ ∞ ) , đạo hàm của hàm số là
B. y′ = 2 x

A. y′ = 2 x .

2 −1

.

y=x

C.
Lời giải

2

là

y′ =

1
2 x.

D.

y′ =

1
x

2

2 −1

.

Chọn B
Ta có
Câu 4:

( )′ =

y′ = x

2

2.x

2 −1

.

Tập nghiệm của bất phương trình 2 < −8 là
( −4; +∞ ) .
( −∞; −9 ) .
A. ¡ .
B.
C.
Lời giải
Chọn D

x+1
Ta có 2 > 0 với ∀x ∈ ¡
x+1

D. ∅ .

⇒ 2 x+1 > −8 với ∀x ∈ ¡
Do đó, bất phương trình đã cho vơ nghệm.
Câu 5:

(u )
Cho cấp sớ nhân n

có cơng bội dương và

u2 =

1
4 , u4 = 4 . Giá trị của u1 là
Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

u1 =

1
6.

B.

u1 =

1
16 .

u1 =

C.
Lời giải

1
2.

D.

u1 = −

1
16 .

Chọn B

Ta có:
Với
Câu 6:

1


q = 4
u2 = u1.q =
4 ⇒ q 2 = 16 ⇔ 

 q = −4 ( L )
u = u .q 3 = 4
 4
1

q = 4 ⇒ u1.4 =

.

1
1
⇔ u1 =
4
16 .

Trong không gian với hệ tọa độ

( Oxy)

phẳng
?
r
i = ( 1;0;0)
A.

B.

Oxyz

, vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt

ur
m= ( 1;1;1)

C.
Lời giải

r
j = ( 0;1;0)

Chọn D

( Oxy)
Do mặt phẳng

vng góc với trục Oz nên nhận véctơ

D.

r
k = ( 0;0;1)

r
k = ( 0;0;1)

làm một véc tơ pháp

tuyến

Câu 7:

ax + b
cx + d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa đợ giao điểm của đồ thị
Cho hàm số
hàm số đã cho và trục tung là
y=

A.

( 0; 2 ) .

B.

( 2;0 ) .

( 0;1) .

C.
Lời giải

Chọn C
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm sớ cắt trục tung tại điểm có tọa độ
3

Câu 8:

∫

Nếu 0
A. 10 .

f ( x ) dx = 6

2

và

∫

f ( x ) dx = 4

0

D.

( 1; 0 ) .

( 0; 2 ) .

3

thì

∫ f ( x ) dx
2

B. 2 .

bằng
C. −10 .

D. −2 .

Lời giải
3

Ta có:

∫
0

2

3

0

2

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

.
Page 10

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3

Suy ra
Câu 9:

∫
2

3

2

0

0

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 6 − 4 = 2

.

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

3
2
A. y = x + 2 x − 1 .

3
2
4

2
B. y = − x + 2 x − 1 . C. y = x − 2 x − 1 .
Lời giải

4
2
D. y = −2 x + 4 x − 1 .

Từ đồ thị ta có:
Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương

y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) ⇒
loại A,B.

Đồ thị hàm số dáng đồ thị quay xuống ⇒ a < 0 .

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 8x + 2 y + 1 = 0 . Tìm tọa đợ tâm và bán
Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu
( S) .
kính của mặt cầu
I ( −4;1;0 )
I ( 4; − 1;0 )
A.
và R = 4 . B.
và R = 2 .
I ( −4;1;0 )
I ( 4; − 1;0 )
C.
và R = 2 . D.
và R = 4 .

Lời giải
Từ phương trình của mặt cầu suy ra tâm

I ( 4; − 1;0 )

R = 42 + ( −1) + 02 − 1 = 4.
2

và bán kính

( P ) và ( Q ) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là
Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
uu
r
nP

và

uur
nQ

. Biết cosin góc giữa hai vectơ

uu
r
nP

và

uur

nQ

1
.
( P ) và
bằng 2 Góc giữa hai mặt phẳng

( Q)

bằng.
o
A. 30

o
B. 45

C. 60
Lời giải

o

o
D. 90

Chọn C

·uur uur
1 1
cos (·( P ) ; ( Q ) ) = cos nP ; nQ = = ⇒ (·( P ) ; ( Q ) ) = 60°.
2 2

Ta có:

(

)

Câu 12: Cho z1 = 2 + 4i , z2 = 3 − 5i . Xác định phần thực của w = z1.z2

2

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. −120 .

B. −32 .

z2 = 3 + 5i ⇒ z2 = − 16 + 30i ⇒ w = z1.z2 = ( 2 + 4i ) ( −16 + 30i ) = − 152 − 4i
2

2

Ta có

D. −152 .

C. 88 .
Lời giải

.

Vậy phần thực của w là −152 .
Câu 13: Cho khới lăng trụ đứng có chiều cao bằng 3 và đáy là tam giác đều có đợ dài cạnh bằng 2 .
Tính thể tích khới lăng trụ đã cho
B. 3 3 .

A. 3 .

C. 3 .
Lời giải

D. 6 .

22 3
= 3
4
Diện tích đáy bằng
.
Thể tích của khới lăng trụ là V = B.h = 3 3 .
B=

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có
, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB = a ,
AD = 2a , SA = 3a . Thể tích hình chóp S . ABCD bằng
3
A. 2a .

3

B. 6a .

a3
D. 3 .

3

C. a .
Lời giải

1
1
1
VS . ABCD = SA.S ABCD = .SA. AB. AD = .3a.a.2a = 2a 3
3
3
3
Ta có:
.
2
2
2
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 2) = 1
(α ) : 3 x + 4 z + 12 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

và mặt phẳng

A. Mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) .
B. Mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu ( S ) theo mợt đường trịn.
C. Mặt phẳng (α ) đi qua tâm của mặt cầu ( S ) .

D. Mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu ( S ) .
Lời giải
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 0;0; 2 )

, bán kính R = 1 .
d ( I,( α ) ) =

( α ) là
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng
Suy ra mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu ( S ) .

3 xI + 4 z I + 12
3 +4
2

2

=

3.0 + 4.2 + 12
= 4 >1
5
.

Câu 16: Cho sớ phức z có sớ phức liên hợp z = −3 − 2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z
bằng.
A. 1 .
B. 5 .
C. −5 .
D. −1 .
Lời giải
Ta có: z = −3 − 2i ⇒ z = −3 + 2i . Sớ phức z có phần thực −3 , phần ảo 2
Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Tổng phần thực và phần ảo của số phức z là −3 + 2 = −1
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy là a , chiều cao là 2a . Diện tích xung quanh của hình nón đó là
A.

S xq = π a 2 3

.

B.

S xq = 2π a 2

.

C.
Lời giải

S xq = π a 2 5

.

D.

S xq = 2π a 2 5

.

2
2
2
2
2
2
Ta có: l = h + r = (2a) + a = 5a ⇒ l = a 5 .

Diện tích xung quanh của hình nón là

S xq = π rl = π .a.a 5 = π a 2 5

.

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa đợ Oxyz , cho mặt phẳng

( P)

có phương trình

x + 2 y − 3z − 2 = 0 . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( P ) ?

A.

( 1;2; −3) .

B.

( −1;2;3) .

( 1;2;1) .

C.
Lời giải

( P)

Ta thấy 1 + 2.2 − 3.1 − 2 = 0 nên mặt phẳng

D.

M ( 1;2;1)

chứa điểm

( 1;2; −2 ) .

.

3
2
Câu 19: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ

thị hàm sớ đã cho có tọa đợ là
1
−1
3

2
−1

y

O

A. (−1; 2) .

B. (0;3) .

C. (2; −1) .
Lời giải

x

D. (3; 0) .

Chọn B
Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Từ đồ thị, ta có đồ thị hàm sớ đã cho có điểm cực đại là (0;3) .
y=

2x − 3
x + 1 tương ứng có phương

Câu 20: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm sớ
trình là
A. x = 2 và y = 1 .
B. x = −1 và y = 2 . C. x = 1 và y = −3 .
Lời giải

D. x = 1 và y = 2 .

Chọn B
lim y = 2

Ta có:

x →±∞

nên đồ thị hàm sớ có đường tiệm cận ngang là y = 2 .

 lim + y = −∞
 x →( −1)

y = +∞
 x →lim
−
 ( −1)
nên đồ thị hàm sớ có đường tiệm cận đứng là x = −1 .

log 2 ( x − 1) < 4
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
là
17; +∞ )
−∞;17 )
1;9
A. (
.
B. (
.
C. ( ) .
Lời giải
Ta có

log 2 ( x − 1) < 4

D.

( 1;17 ) .

ĐK: x > 1

( 1) ⇔ x − 1 < 24 ⇔ x < 17 , kết hợp điều kiện ta được 1 < x < 17 .
⇒ tập nghiệm của phương trình là: S = ( 1;17 )

Câu 22: Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Sớ tam
giác trong có đỉnh là 3 trong số 15 đã cho là
A.

C153

3

C. 15 .
Lời giải

B. 15! .

.

D.

A153

.

Ta chọn Ba điểm bất kì trong 15 điểm đã cho thành lập được một tam giác, suy ra số tam giác
3
được tạo thành là C15 .

Câu 23: Biết
A.

∫ f ( x ) dx = sin 3x + C . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

f ( x ) = −3cos 3x

.

B.

f ( x ) = 3cos3x

.
C.
Lời giải

f ( x) = −

cos 3 x
3 .

D.

f ( x) =

cos 3x
3

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.
8

∫ f ( x)dx = 10

Câu 24: Nếu 2
A. 24 .

4

thì

∫  f (2 x) + 3
1

x  dx

bằng

B. 19 .

C. 26 .

D. 10 .

Lời giải
Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có

4

4

4

8

1

1

1

2

1
I = ∫  f (2 x) + 3 x  dx = ∫ f (2 x)dx + ∫ 3 xdx = ∫ f ( x )dx + 2 x x = 5 + 14 = 19
1
2

f ( x ) = 5 x 4 + cos x
Câu 25: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
là
5
5
5
A. 5 x − sin x + C .
B. x − sin x + C .
C. x + sin x + C .

4

.

5
D. 5 x + sin x + C .

Lời giải

f ( x ) dx = ∫ ( 5 x
Ta có: ∫

4

+ cos x ) dx = x5 + sin x + C

.

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Hàm sớ y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.

( −2;0 ) .

B.

( −1; 4 ) .

( −∞ ; − 2 ) .

C.
Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 27: Cho hàm số

y = f ( x)

D.

( 0; + ∞ ) .

( −2;0 ) .

là hàm sớ bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm sớ đã cho bằng
A. 1 .

B. 2 .

C. −1 .
Lời giải

D. −2 .

Dựa vào đồ thị hàm sớ ở hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x =- 1 , giá trị cực tiểu bằng
−2 .

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 28: Cho log 2 3 = a. Tính P = log8 6 theo a .
1
P = (1 + a)

P
=
3(1
+
a
)
3
A.
.
B.
.

C. P = 1 + a .

D. P = 2 + a .

Lời giải
1
1
1
1
P = log8 6 = log 23 6 = log 2 6 = log 2 (2.3) = (log 2 2 + log 2 3) = (1 + a)
3
3
3
3
Ta có
.
2
Câu 29: Tính thể tích V của khới trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = 4 − x và trục

hoành quanh trục Ox.
4
512π
7π
22π
V=
V=
V =
V =
5.
15 .
2 .
3 .
A.
B.
C.
D.

Lời giải:
x = 2
4 − x2 = 0 ⇔ 
 x = −2 .
Phương trình hoành đợ giao điểm:
2

2

V = π ∫ y dx =π ∫ ( 4 − x
2

Thể tích:

−2

−2

)

2 2


8x3 x5  2
512π
dx =π ∫ ( 16 − 8 x 2 + x 4 ) dx =π 16 x −
+ ÷ =
3
5  −2
15

−2
.
2

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , SA vng góc với đáy và
SA = a 6 . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) bằng
0
0
0
A. 30 .
B. 60 .

C. 45 .
Lời giải

0
D. 90 .

Ta có BD = ( SBD ) ∩ ( ABCD ) ,

AO ⊥ BD ,
SO ⊥ BD .
·
Suy ra (( SBD),( ABCD)) = SOA = α .

Ta có

tan α =

SA a 6
=
= 3
0
AO a 2
. Khi đó α = 60 .

Câu 31: Cho hàm sớ bậc ba

y = f ( x)

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
có
ít nhất ba nghiệm thực phân biệt?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Lời giải
Chọn B
 f ( x) = m
 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0 ⇔ 
 f ( x) = m +1.
Ta có

 m ≤1
⇔ −4 ≤ m ≤ 1

 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0
Để phương trình 
có ít nhất ba nghiệm  m + 1 ≥ −3
.
y = f ′( x)
xác định và liên tục trên ¡ . Biết đồ thị của đạo hàm
chỉ cắt trục

hoành tại bớn điểm có hoành đợ lần lượt là x = ±2 và x = ±1 như hình vẽ.

Câu 32: Cho hàm sớ

f ( x)

Khi đó hàm số
A.

f ( x)

( −∞; 2 ) .

đồng biến trên khoảng
B.

( −2; −1) .

C. (
Lời giải

−1;1)

.

D.

( 0;1) .

f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2; −1)

( 1; 2 ) .
Hàm số đồng biến ⇔
và
f ′ x < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ( −1;1) ( 2; +∞ )
Hàm số nghịch biến ⇔ ( )
,
,
.

Vậy hàm số

f ( x)

đồng biến trên khoảng

( −2; −1) .

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 33: Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3
đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
1
1
1
1
P=
P=
P=

P=
55 .
220 .
4.
14 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử không gian mẫu:

n ( Ω ) = C123 = 220

.

Gọi A : “ 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.
.
Ta có:

n ( A ) = C41 = 4

Khi đó:

P ( A) =

.

n ( A)

4
1
=
=
n ( Ω ) 220 55

.

Câu 34: Tính tổng T các nghiệm của phương trình
A. T = 11 .
B. T = 110 .

( log10 x )

2

− 3log100 x = −5

C. T = 10 .
Lời giải

D. T = 12 .

Chọn A
Phương trình đã cho tương đương với:

( log10 x )

2

− 3 ( log10 + log10 x ) = −5

 log10 x = 1
x = 1
⇔
⇔
⇔ ( log10 x ) − 3log10 x + 2 = 0
 log10 x = 2
 x = 10
2

Suy ra T = 1 + 10 = 11 .

z =2 5
Câu 35: Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng trong mặt phẳng tọa đợ các điểm biểu diễn
của sớ phức
trịn đó?
A. r = 5 .

w = i + ( 2 −i) z

cùng tḥc mợt đường trịn cớ định. Tính bán kính r của đường

B. r = 10 .

C. r = 20 .
Lời giải

D. r = 2 5 .

Chọn B
Ta có

w = i + ( 2 − i) z ⇔ w − i = ( 2 − i) z

. Suy ra

w − i = ( 2 − i ) z = 2 − i . z = 10

.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức w trên mặt phẳng tọa độ nằm trên đường trịn có bán
kính r = 10 .
Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 36: Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

các

đường

thẳng

 x = −1 + 3t

x − 3 y +1 z − 2
x+3 y−2 z

d1 :
=
=
, d 2 :  y = −2t , d3 :
=
=
2
1
−2
4
−1
6


 z = −4 − t
. Đường thẳng song song với

d3

d
d
và cắt đồng thời 1 và 2 có phương trình là
x +1 y
z−4
x −1 y
z+4
=
=
=
=
−1
6 . B. 4
−1
6 .
A. 4
x − 3 y +1 z − 2
x − 3 y +1 z − 2
=
=
=
=
1
6 .D. −4
1

−6 .
C. 4
Lời giải

d
d
d
Gọi ∆ đường thẳng song song với 3 và cắt 1 và 2 .
r r
u∆ ; u3 = ( 4; −1; 6 )

d
lần lượt là véctơ chỉ phương của ∆ và 3 .

∆ ∩ d1 = A ⇒ A ( 2 x + 3; x − 1; −2 x + 2 ) ; ∆ ∩ d 2 = B ⇒ B ( −1 + 3 y; −2 y; −4 − y )
Ta có
.
uuu
r
AB = ( 3 y − 2 x − 4; −2 y − x + 1; − y + 2 x − 6 )
.

r
r
3 y − 2 x − 4 −2 y − x + 1 − y + 2 x − 6
∆ //d3 ⇒ u∆ = ku3 ⇒
=
=
4
−1

6
Vì
.

2 x − 3 y + 4 = −8 y − 4 x + 4
6 x + 5 y = 0
⇒
⇔
⇔ x= y=0
−
12
y
−
6
x
+
6
=
y
−
2
x
+
6
−
13
y
+
4
x

=
0


.
Từ đó suy ra:

uuu
r
A ( 3; −1; 2 ) ; B ( −1;0; −4 ) ⇒ AB = ( −4;1; −6 )

là véctơ chỉ phương của ∆ .

x − 3 y +1 z − 2
=
=
1
−6 .
Suy ra phương trình ∆ là: −4

Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho đường thẳng

A ( 2;0;3 )

. Toạ độ điểm A′
8 2 7
 ;− ; ÷
A.  3 3 3  .
B.

d:

x − 2 y x −1
=
=
1
−1
2 và điểm

đối xứng với A qua đường thẳng d tương ứng là
2 4 5
 10 4 5 
 ;− ; ÷
 ;− ; ÷
( 2; − 3;1) .
3 3.
 3 3 3.
C.  2
D.
Lời giải

Đưa đường thẳng d về phương trình tham sớ

x = 2 + t

d :  y = −t
 z = 1 + 2t


Page 19

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

H ( 2 + t ; − t ;1 + 2t )
Gọi hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d là H suy ra
.
uuur
uu
r
AH = ( t ; − t ; 2t − 2 )
u = ( 1; − 1; 2 )
Ta có
và VTCP của đường thẳng d là d
.
uuur uu
r
2
2 7
8
AH .ud = 0 ⇔ t + t + 4t − 4 = 0 ⇔ t = ⇒ H  ; − ; ÷
3
3 3.
3
Suy ra

10

 x A′ = 2 xH − xA = 3


4

 y A′ = 2 yH − y A = −
3

5

 z A′ = 2 z H − z A = 3
Có điểm H là trung điểm của AA′ suy ra tọa đợ điểm A′ là: 
.
Câu 38: Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng

( SBD )

theo a .

a
A. 2 .

Gọi

C. 2a .
Lời giải

B. a 2 .

a 2
D. 2 .

O là giao điểm của AC và BD . Theo tính chất hình chóp đều S . ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

.
Ta có

AO ⊥ ( SBD )
AO ⊥ BD AO ⊥ SO
;
nên suy ra
.

d ( A, ( SBD ) ) = AO =

1
a 2
AC =
2
2

.

log ( x 2 + 1) − log 3 ( x + 21)  . ( 16 − 2 x −1 ) ≥ 0?

Câu 39: Có bao nhiêu sớ ngun x thoả mãn  3
A. 17 .
B. 18 .
C. 16 .
D. Vô số.
Page 20

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: x > −21.
Khi đó:
log 3 ( x 2 + 1) − log3 ( x + 21)  . ( 16 − 2 x −1 ) ≥ 0



 log 3 ( x 2 + 1) − log 3 ( x + 21) ≥ 0

 16 − 2 x −1 ≥ 0
⇔
 log 3 ( x 2 + 1) − log 3 ( x + 21) ≤ 0

 16 − 2 x −1 ≤ 0
Giải

(I )

( II )

( I ) ta có

log 3 ( x 2 + 1) − log 3 ( x + 21) ≥ 0
log 3 ( x 2 + 1) ≥ log 3 ( x + 21)
⇔

x −1

x −1
4
16 − 2 ≥ 0
2 ≤ 2
  x ≤ −4
 x 2 + 1 ≥ x + 21  x 2 − x − 20 ≥ 0
 x ≤ −4

⇔
⇔
⇔   x ≥ 5 ⇔ 
.
x
=
5
x
−
1
≤
4
x
≤
5



x ≤ 5

 −21 < x ≤ −4


( 1) .
Kết hợp điều kiện ta được  x = 5
Giải

( II ) ta có

log 3 ( x 2 + 1) − log 3 ( x + 21) ≤ 0
log 3 ( x 2 + 1) ≤ log 3 ( x + 21)
⇔

 x−1
x −1
4
16 − 2 ≤ 0
2 ≥ 2
 x 2 + 1 ≤ x + 21  x 2 − x − 20 ≤ 0 −4 ≤ x ≤ 5
⇔
⇔
⇔
⇔ x = 5 ( 2) .
x ≥ 5
x −1 ≥ 4
x ≥ 5
 −21 < x ≤ −4
( 1) và ( 2 ) ta có các giá trị của x thoả mãn bất phương trình đã cho là  x = 5
Từ
.

x ∈ { −20; −19;...; −4;5}
Vì x ∈ Ζ nên suy ra

. Vậy có tất cả 18 sớ nguyên x thoả mãn đề bài.
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

F ( x) ,G ( x)
f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
e2

2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1 F ( 2 ) − 2G ( 2 ) = 4
F ( 1) − G ( 1) = −1
mãn
,
và
. Tính

∫
1

f ( ln x )
2x

dx

.
Page 21

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
C. −6 .
Lời giải

B. −4 .

A. −2 .

D. −8 .

Chọn B
G ( x) = F ( x) + C
Ta có:
2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1
 F (0) − C = 1
 F (0) = 2



 F ( 2 ) − 2G ( 2 ) = 4 ⇔ − F (2) − 2C = 4 ⇔  F (2) = −6

C = 1


C = 1
 F ( 1) − G ( 1) = −1
.
2

Do đó
e

Vậy

2

∫
1

∫ f ( x ) dx = F ( 2 ) − F ( 0 ) = −8
0

f ( ln x )
2x

e

dx =

2

∫

f ( ln x )
2

1

Câu 41: Cho hàm số đa thức

.

d ( ln x ) =

y = f ( x)

2

1
f ( u ) du = − 4
2 ∫0

.

f ′ ( x ) = ( − x + x 2 ) ( x 2 − 5 x + 6 ) , ∀x ∈ ¡
3

. Hàm sớ

(

. Hỏi có bao

)

g ( x ) = f x2 + 2x + m
nhiêu giá trị ngun của tham sớ m để hàm sớ
có đúng 5 điểm cực trị?
A. 2 .

B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Ta có

y = f ′ ( x ) = ( − x 3 + x 2 ) ( x 2 − 5 x + 6 ) = − x 2 ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3 )
g ( x ) = f ( x + 2x + m)
2

Xét hàm sớ

có

.
g ′ ( x ) = 2 ( x + 1) f ′ x + 2 x + m

(

2

)

x +1 = 0
( 1)
x +1 = 0

 2
2
2

( x 2 + 2 x + m ) = 0
( x + 2 x + m ) = 0


⇒ g′ ( x ) = 0 ⇔  x2 + 2x + m = 1
⇔  x2 + 2 x = 1 − m
( 2)
 2
 2
( 3)
 x + 2x = 2 − m
 x + 2x + m = 2
 2
 x2 + 2x + m = 3
( 4)
 x + 2 x = 3 − m


(x
Vì các nghiệm của phương trình

(

2

+ 2x + m) = 0
2

(nếu có) khơng làm

g′( x )

đổi dấu. Do đó,

)

g ( x ) = f x2 + 2x + m
( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) phải
để hàm sớ
có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình
có đúng 4 nghiệm phân biệt khác −1 .
h ( x ) = x 2 + 2 x ⇒ h′ ( x ) = 2 x + 2 = 0 ⇔ x = −1
Đặt
BBT:

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Để hàm số

g ( x ) = f ( x2 + 2x + m)

1 − m ≤ −1
⇔2≤m<3

2
−
m

>
−
1
5

có đúng điểm cực trị thì:
.

Vì m nguyên nên m = 2 ⇒ có 1 sớ ngun m thỏa mãn đề bài.
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn
nhất của
A. 28 .

z − 4 + 3i .

3 z + z + 2 z − z ≤ 12.

Giá trị của M .m bằng
B. 24 .

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ

C. 26 .
Lời giải

D. 30 .

Chọn B
Gọi z = x + yi ; x; y ∈ ¡ .
3 z + z + 2 z − z ≤ 12 ⇔ 3 x + 2 y ≤ 6.

Xét
Ta có:

P = z − 4 + 3i =

( x − 4)

2

+ ( y + 3)

2

(1)

( 2)

Tập hợp những điểm biểu diễn z = x + yi ; x; y ∈ ¡ . thỏa mãn là miền trong của hình thoi

ABCD với A ( 0;3) ; B ( −2;0 ) ; C ( 0; −3) ; D ( 2;0 ) tạo bởi 4 đường thẳng thỏa 3 x + 2 y = 6.
I ( 4; −3)
Điểm biểu diễn z thỏa mãn là đường tròn tâm
bán kính R = P ≥ 0 .

P đạt min, max khi bán kính đường trịn đạt min, max khi xét sự tương giao với miền hình thoi

ABCD.
Page 23

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm nhất khi đường tròn tiếp xúc cạnh CD:
3x − 2 y − 6 = 0 tương ứng có

m=

3.4 + 2.3 − 6
32 + 22

=

12
.
13 Điểm giao xa nhất là đỉnh A ( 0;3) của

2
2
hình thoi. Do đó M = 4 + 6 = 2 13.
⇒ M .m = 24.

Câu 43: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng tại A , AB = a, BC = 2a , biết hình

( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa AA ' và mặt
chiếu của A ' lên mặt phẳng
( ABC ) bằng 600 . Khi đó thể tích của hình trụ

phẳng
1 3
a
A. 2 .

1 3
a
B. 6 .

ABC. A ' B ' C ' bằng:
1 3
a
D. 3 .

3 3
a
C. 2 .
Lời giải

AI ⊥ ( ABC )
Gọi I là trung điểm của BC , theo giả thiết ta có
.

( ABC ) là AI .
Hình chiếu của AA′ lên mặt phẳng đáy
AA′; ( ABC ) ) = ( AA′; AI ) = ·A′AI = 60o
Suy ra (
.

1
a2 3
S
=
.

AB
.
AC
=
2
2
∆ABC
2
2 .
Ta có AC = BC − AB = a 3 ; Do đó
1
AI = BC = a
·
2
Mặt khác,
nên A′I = AI .tan A′AI = a 3 .
VABC . A'B'C' = S ∆ABC . A′I =

3a 3
2 .

Vậy thể tích khới lăng trụ ABC. A'B'C' là
f ( x)
f ( x)
Câu 44: Cho hàm sớ bậc ba
có đồ thị như hình vẽ bên. Biết hàm số
đạt cực trị tại hai điểm

x1 ; x2

thỏa mãn

x2 = x1 + 2

và

f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2

. Gọi

S1 ; S 2

là diện tích của hai hình phẳng

S1
được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số S2 .

Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

5
A. 4 .

3
B. 5 .

3
C. 8 .

Lời giải

5
D. 8 .

y = f ( x)
f ( x)
Gọi x0 là hoành độ điểm uốn I của đồ thị hàm số
. Do
đạt cực trị tại hai điểm

x1 ; x2

thỏa mãn

x2 = x1 + 2 ⇒ x1 − x0 = x2 − x0 = 1

.

uur
f ( x)
Cố định đồ thị hàm số
, tịnh tiến hệ toạ độ Oxy theo véc tơ OI . Khi đó, trong hệ toạ đợ
mới S1 ; S2 khơng thay đổi so với hệ toạ độ cũ.
y = g ( x)
Trong hệ toạ độ Oxy mới, đường cong là đồ thị của hàm sớ bậc ba
. Từ hình vẽ suy
ra

g′( x)

là tam thức bậc hai có nghiệm x1 = −1; x2 = 1 .

⇒ g ′ ( x ) = a ( x + 1) ( x − 1) = a ( x 2 − 1) ( a > 0 )

 x3

⇒ g ( x ) = a  − x ÷+ b
 3

.
 x3

⇒ g ( x) = a  − x ÷
y = g ( x)
O ( 0;0 )
 3
.
Đồ thị hàm số
đi qua điểm
nên b = 0
Ta có:

 x3

 x 4 x 2  0 5a
S2 = ∫ a  − x ÷dx = a  − ÷ =
3

 12 2  −1 12

−1 
0

1
1
  x3

  x3

 2a 
 x4 x 2 2x  1 a
S1 = ∫  a  − x ÷− g ( 1)  dx = ∫ a  − x ÷+  dx = a  − + ÷ =
3
3
3 0 4

 3
 12 2
0  
0  


S1 3
=
S
Vậy 2 5 .

Page 25