đề 20 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 1:

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
MƠN TỐN
ĐỀ SỐ: 20 – MÃ ĐỀ: 120
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .
Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Trên khoảng
1
y′ =
ln 9 .
A.

B. w = −15 − 20i .

( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số

B.

D. w = 15 − 20i .

y = log9 x là

9
x.

C.

Trên khoảng

( 0;+ ∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x

3 4
y′ = x 7
7 .
A.

7 −4
y′ = x 7
3
B.
.

3
7

y′ =

1
2 x ln 3 .

D.

y′ =

ln 9
x .

y′ =

3

là

3 −4
y′ = x 7
7
C.
.

D.

4

7x7 .

Tập nghiệm của bất phương trình 3 ≥ 27 là

( −∞;8] .
( 8; +∞ ) .
( −∞;8) .
[ 8;+∞ ) .
A.
B.
C.
D.
(u )
Cho cấp số nhân n có u1 = 1 và u4 = 27 . Công bội q của cấp số nhân là
1
q=
q
=
3
q
=
6
q
=
−
3
3.
A.
.
B.
.
C.
.
D.

x−5

P : 2x − z +1 = 0
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )
. Một vec tơ pháp
P
tuyến của mặt phẳng ( ) là:
r
r
r
r
n = ( 2; −1; 0 ) .
n = ( 2; −1;1) .
n = ( 2; 0; −1) .
n = ( 2; 0;1) .
A.
B.
C.
D.
4
2
y = ax + bx + c ( a, b, c ∈ R )
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị
hàm số đã cho và trục hoành là

B. 1 .

A. 0 .
Câu 8:

y′ =

C. w = 15 + 20i .

2

3

Nếu 1
A. 7.

1

∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 4
B. 12.

C. 2 .

D. 3 .

3

thì

∫ f ( x ) dx
2

bằng
C. 1.

D. −1 .
Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 9:

Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị như hình dưới đây.

y=

A.

1 − 2x
1+ x .

B.

y=

2x −1
x −1 .

C.

y=

x −1
1 − 2x .

D.

y=

2x −1
1− x .

Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các phương trình, phương trình nào khơng phải là
phương trình mặt cầu?
2
2
2
A. x + y + z + x − 2 y + 4 z − 3 = 0 .
2
2
2
C. x + y + z − 2 x + 4 y − 4 z + 11 = 0 .

2
2
2
B. 2 x + 2 y + 2 z − x − y − 3 z = 0 .
2
2
2
D. 2 x + 2 y + 2 z + 4 x + 8 y + 6 z + 3 = 0 .

uu
r

P)
Q)
(
(
nP
Oxyz
,
Câu 11: Trong khơng gian
cho hai mặt phẳng
và
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

và

uur
nQ

( Q)

. Biết sin góc giữa hai vectơ

uu
r
nP

và

uur
nQ

1
.
( P ) và
bằng 2 Cosin góc giữa hai mặt phẳng

bằng.

1
− .
A. 2

B.

−

3
.
2

3
.
C. 2

1
.
D. 2

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = 5i . Phần ảo của z bằng
A. −2 .
B. −1 .

C. 2 .
D. 1 .
Câu 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Thể tích khối lăng trụ đã
cho bằng
4 3
2 3
a
a
3
A. 4a .
B. 3 .
C. 3 .
D. 2a .
Câu 14: Cho khối chóp S . ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a . Cạnh bên SA vng góc với
3

đáy và SA = 3a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 2a 3 .

B. 6a 3 .

C. 12a 3 .

D. 3a 3 .

2
2
2
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 y + 1 = 0 và đường thẳng

 x = 2t

d :  y = 1+ t
z = 2 − t


A. 3.

. Số điểm chung của đường thẳng d và mặt cầu
B. 2.
C. 1.

( S)

là
D. 0.
Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 16: Cho số phức z = −1 + 5i . Phần ảo của số phức z bằng
A. 1 .
B. 5
C. −5 .

D. −1 .

Câu 17: Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy a và đường cao a 3 bằng
2
B. 2 3π a .

2
A. π a 3 .

2
C. 4π a .

D. 2π a .
( P ) có phương trình
Câu 18: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
2

x − 2 y + 5 z − 4 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?

B ( 1; −1;1)
C ( 0; 2;0 )
.
B.
.
C.
.
Câu 19: Hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như sau:
A.

A ( 2;1;0 )

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A. (−3; −1) .
B. (4;5) .
C. (−1; −3) .

Câu 20: Đồ thị hàm số

y=

D.

D ( −1;0;1)

.

D. (5; 4) .

2 x +1
x - 1 có:

A. Tiệm cận đứng là x =- 1 ; tiệm cận ngang là y =- 2 .
B. Tiệm cận đứng là x = 1 ; tiệm cận ngang là y = 2 .
C. Tiệm cận đứng là x = 1 ; tiệm cận ngang là y =- 2 .
D. Tiệm cận đứng là x =- 1 ; tiệm cận ngang là y = 2 .
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

( −∞ ;12 ) .
A.

log 1 ( x − 3) < −2
3

( 12; + ∞ ) .
B.

.
7

 −∞ ; ÷
3.
D. 

( 3;12 ) .
C.

Câu 22: Lớp 12A có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh tham gia cổ vũ cho SEA Game
31?
5
5
A. C40 .
B. P5 .
C. A40 .
D. 8 .
Câu 23: Biết

∫

f ( x ) dx =

f ( x) = 5 + 3

5x
+ 3x + C
f ( x)
ln 5

, khi đó
bằng

x

A.

.

B.

f ( x) =

5x
+ 3x
ln 5
.

C.

f ( x) =

5x
+3
ln 5
.

D.

f ( x ) = 5x + 3x

.

2

Câu 24: Biết
bằng

F ( x ) = x4

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x)

trên ¡ . Giá trị của

∫ ( 6 x + f ( x ) ) dx

−1

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

78
A. 5 .

123
C. 5 .

B. 24 .
D. 33 .
2x + 3 khi x ≥ 1
f ( x) =  2
3x + 2 khi x < 1 . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên ¡
Câu 25: Cho hàm số
thỏa mãn
A. 60 .

F ( 0) = 2

Câu 26: Cho hàm số

. Tính giá trị của biểu thức
B. 28 .

y = f ( x)

F ( −2) + 2F ( 3)
C. −1 .

.
D. −48 .

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2; +∞ ) .
( 0; +∞ ) .

( −∞; −2 ) .
( −2; 2 ) .
A.
B.
C.
D.
y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡ )
Câu 27: Cho hàm số
có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị cực tiểu
của hàm số đã cho là

A. −1.

B. 1.

(

)

C. 2.

D. 3.

C. 2 lg a + 1 .

D. lg a − 2 .

lg 10a 2
a
Câu 28: Với mọi số thực dương,

bằng
2
A. 1 + lg a .

B. 2 lg a − 1 .

Câu 29: Tính thể tích V của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y = x − x và trục
Ox quanh trục Ox.
π
π
π
π
V =
V =
V =
V =
6 .
2 .
4 .
3 .
A.
B.
C.
D.
( ABCD ) là hình vng tâm O. Biết SO ⊥ ( ABCD ) ,
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy
2

SO = a 3 và đường tròn ngoại tiếp ( ABCD ) có bán kính bằng a . Gọi α là góc hợp bởi mặt
bên

( SCD )

3
A. 2 .

với đáy. Tính tan α
B.

3
2.

6
C. 6 .

D.

6.
Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3
Câu 31: Cho hàm số y = x − 3 x + 2 có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị của

3
tham số m để phương trình x − 3x + 2 − m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 4 .
B. m > 4 .

C. 0 ≤ m ≤ 4 .
D. m < 0 .
y = f ′( x)
y = f ( −x)
Câu 32: Cho hàm số
có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số
đồng biến trên khoảng
nào sau đây?

A.

( 0;+ ∞ ) .

B.

( −2;0 ) .

C.

( −2; 2 ) .

D.

( −2; + ∞ ) .

Câu 33: Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn
có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
60
238
210

82
A. 143 .
B. 429 .
C. 429 .
D. 143 .
2

2+log x
+ 9.41+log x = 78.6log x
Câu 34: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3

A. 100.

B. 1.

(

)

C. 10.

1
D. 10 .

( z − 4i ) z + 2
Câu 35: Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
z
biểu diễn của là một đường trịn. Tìm tọa độ tâm của đường trịn đó.
( 1; −2 ) .

( −1; −2 ) .
( −1; 2 ) .
( 1; 2 ) .
A.
B.
C.
D.
Câu 36: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng x − y − 2 z + 3 = 0 và cắt hai đường
d1 :

x +1 y −1 z −1
x −1 y − 2 z +1
=
=
d2 :
=
=
2
−1
1 ;
1
1
2

thẳng
x = 1+ t

 y = 3t
z = 2 − t
A. 

x = 1+ t

 y = −3t
z = 2 − t


x = 1+ t

y = 3+ t
z = 2 − t


x = 1+ t

y = 3
 z = −1 + 2t


B.
C.
D.
x −1 y + 2 z +1
d:
=
=
2
1
−3 và điểm A ( 2; −5; −6 ) . Gọi H là hình chiếu vng
Câu 37: Cho đường thẳng

góc của A trên d . Tọa độ của H là.
Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
H ( −3; −1; 4 )
H ( 3; −1; −4 )
H ( −3;1; 4 )
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ; SA vng góc với đáy và

A.

H ( −1; −3; 2 )

.

SA = a 2 . Khoảng cách từ B đến ( SCD ) bằng
a
a 6

A.

3 .

B.

3.

C. a 2 .

(

D. a .

)

4 x − 5.2 x+2 + 64 2 − log ( 4 x ) ≥ 0
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn
?
A. 22 .
B. 25 .
C. 23 .
D. 24 .
f ( x ) = 3 f ( 2x )
F ( x)
f ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên R thỏa
. Gọi
là nguyên hàm của
8

trên R thỏa mãn

A. 15 .

F ( 4) = 3

F ( 2 ) + 4 F ( 8) = 0
và
. Khi đó
B. −15 .
C. 9 .

Câu 41: Cho hàm số trùng phương
nguyên
A. 1.

để hàm số
B. 3.

z + 1 + mi = z + m + 2i
A.

z1 , z2

bằng

y = f ( x)

có 5 điểm cực trị?
C. 4 .

D. −9 .

. Có bao nhiêu giá trị
D. 2 .

z − 1 = 34,

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

và sao cho
B. 10 .

2.

2

y = f ( x) = x4 - 2( m - 3) x2 + m - 5

mỴ [ - 2019;2019]

Câu 42: Cho hai số phức

∫ f ( x ) dx

z1 − z2

là lớn nhất. Khi đó giá trị của
C. 2 .

z1 + z2

bằng

D. 130 .

0
·
Câu 43: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , AB = 2a, BC = a, ABC = 60 . Hình chiếu vng góc của

( ABCD ) là trung điểm O của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng
điểm A ' lên mặt phẳng
( ABB ' A ')

và

( ABCD )

0
bằng 60 . Thể tích của hình hộp đã cho bằng

3a 3
3a3 7
3a3 3
4 .
B.
C. 2 .
D. 4 .
3
2
Câu 44: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ¡ và hàm số f ′( x ) = ax + bx + cx + d ,
a3 3
A. 2 .

g '( x ) = qx 2 + nx + p với a, q ≠ 0 có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi
5
hai đồ thị hàm số y = f ′( x ) và y = g ′( x ) bằng 2 và f (2) = g (2) . Biết diện tích hình phẳng
a
2
2
y
=
f
(
x
)
y
=
g
(
x
)
giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
và
bằng b . Tính T = a − b .

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

C. −5 .
D. 16 .

z 2 − 2 ( m + 1) z + m + 3 = 0 m
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( là tham số thực). Có
A. 7 .

B. 55 .

z +2 =6
bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z0 thỏa mãn 0
?
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
x − 2 y −1 z − 2
=
=
( d1 ) :
Oxyz
1
−1
−1 và
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
x = t
( d2 ) :  y = 3
 z = −2 + t
(d )
(d )


. Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả 1 và 2 , đồng thời cắt mặt

cầu

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 = 0

A. 2 .

B. 1 .

Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên

( x; y )

theo giao tuyến là một đường trịn có chu vi bằng π 6 .
C. 0 .
D. Vô số.

thỏa mãn

log 7 ( x + y ) + log 5 ( x + y − 5 ) − log 7 5 < log 7 ( x + y + 4 )

A. 128.

B. 120.

C. 144.

D. 149.

( α ) đi qua đỉnh hình nón và
Câu 48: Cho khối nón xoay đỉnh S có thể tích bằng 96π . Một mặt phẳng
cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 10 . Khoảng cách từ tâm của
đường trịn đáy đến mặt phẳng

(α)

có thể bằng kết quả nào dưới đây?

6 13
5
A. 8 .
C. 5 .
D. 24 .
A ( 1; 2; −2 ) B ( 2; 4; −3)
Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
. Điểm M di động trên mặt
8 33
B. 15 .

( Oxy ) các góc phụ nhau. Giá trị lớn nhất của độ
sao cho MA , MB luôn tạo với
dài đoạn thẳng OM thuộc khoảng nào dưới đây?
phẳng

A.

( Oxy )

( 4;5 ) .

B.

( 3; 4 ) .

C.

( 2;3) .

D.

( 6;7 ) .
Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 50: Cho hàm số

f ( x ) = x4 + 2 x2 + 1

g ( x) = f ( 3 x - m + m2 )

A. 2.

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

đồng biến trên
B. 3.

( 5;+¥ ) ?
C. Vơ số.

D. 5.

---------- HẾT ----------

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.C
11.C
21.B
31.A
41.D

Câu 1:

2.C
12.B
22.A
32.A
42.C

3.C
13.D
23.A
33.B
43.D

4.C
14.A
24.B
34.B
44.A

8.C
18.D
28.C
38.A
48.B

9.D
19.C
29.A
39.D
49.D

10.C
20.B
30.D
40.B
50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó số phức w = 5 z là

A. w = 15 + 20i .
Số phức

Câu 2:

BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.C
7.C
15.D
16.C
17.D
25.B
26.D
27.C
35.B
36.A
37.C
45.D
46.C
47.B

B. w = −15 − 20i .
C. w = 15 + 20i .
Lời giải

D. w = 15 − 20i .

w = 5 z = 5 ( 3 + 4i ) = 15 + 20i

Trên khoảng
1
y′ =

ln 9 .
A.

( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số
B.

y′ =

9
x.

y = log9 x là
C.
Lời giải

y′ =

1
2 x ln 3 .

D.

y′ =

ln 9
x .

y′ =

3

Chọn C
Ta có

y ' = ( log9 x ) ′ =

1
1
=
x ln 9 2 x ln 3
3

Câu 3:

( 0;+ ∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x 7
Trên khoảng
A.

y′ =

3 74
x
7 .

B.

y′ =

7 −74
x

3
.

là

C.
Lời giải

y′ =

3 − 74
x
7
.

4
7

7x .

D.

Chọn C

Câu 4:

Câu 5:

 73 ′ 3 73 −1 3 − 74
′

y =  x ÷ = .x = .x
7
  7
Ta có
.
x−5
Tập nghiệm của bất phương trình 3 ≥ 27 là
( −∞;8] .
( 8; +∞ ) .
[ 8;+∞ ) .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn C
x −5
x −5
3
Ta có 3 ≥ 27 ⇔ 3 ≥ 3 ⇔ x − 5 ≥ 3 ⇔ x ≥ 8

D.

( −∞;8) .

8; +∞ )
Tập nghiệm của bất phương trình là: [
.
(u )
Cho cấp số nhân n có u1 = 1 và u4 = 27 . Công bội q của cấp số nhân là
Page 9

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. q = 3 .

B. q = 6 .

C. q = −3 .
Lời giải

D.

q=

1
3.

Chọn A
u = u1.q3 ⇔ 27 = q3 ⇔ q = 3
Ta có: 4
.
Câu 6:

P : 2x − z +1 = 0
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )
. Một vec tơ pháp

tuyến của mặt phẳng
r
n = ( 2; −1; 0 ) .

A.
Chọn C

là:
r
n = ( 2; −1;1) .
B.

C.
Lời giải

r
n = ( 2; 0; −1) .

D.

r
n = ( 2; 0;1) .

r
n = ( 2; 0; −1) .

P
Mặt phẳng ( )

Câu 7:

( P)

có VTPT là

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ R )

Cho hàm số
hàm số đã cho và trục hoành là

B. 1 .

A. 0 .

có đồ thị như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn C
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 2 điểm phân biệt. Nên ta có 2 giao điểm.
Câu 8:

2

3

Nếu 1
A. 7.

1

∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 4

B. 12.
3

∫

Câu 9:

1

3

thì

∫ f ( x ) dx
2

bằng
C. 1.
Lời giải

D. −1 .

3

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −3 + 4 = 1

2
1
Ta có 2
.

Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị như hình dưới đây.

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

y=

A.

1 − 2x
1+ x .

Đồ thị hàm số

B.
y=

y=

2x −1
x −1 .

C.
Lời giải

y=

x −1

1 − 2x .

D.

y=

2x −1
1− x .

ax + b
d
x=−
c
≠
0;
ad
−
bc
≠
0
cx + d với
c làm tiệm cận đứng
nhận đường thẳng

a
c làm tiệm cận ngang.
và đường thẳng
Từ đồ thị hàm số ta thấy
- Tiệm cận đứng là x = 1 nên loại đáp án A và C
y=

- Tiệm cận ngang là y = −2 nên loại đáp án B
Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các phương trình, phương trình nào khơng phải là
phương trình mặt cầu?
2
2
2
2
2
2
A. x + y + z + x − 2 y + 4 z − 3 = 0 .
B. 2 x + 2 y + 2 z − x − y − 3 z = 0 .
2
2
2
C. x + y + z − 2 x + 4 y − 4 z + 11 = 0 .

Xét đáp án A có

a 2 + b2 + c 2 − d =

33
>0
4
nên PT ở đáp án A là phương trình mặt cầu

Xét đáp án B có PT được viết lại là:

a2 + b2 + c2 − d =

2
2
2
D. 2 x + 2 y + 2 z + 4 x + 8 y + 6 z + 3 = 0 .
Lời giải

1
1
3
x2 + y 2 + z2 − x − y − z = 0
2
2
2
nên

11
>0
16
nên PT ở đáp án B là phương trình mặt cầu

2
2
2
Xét đáp án C có a + b + c − d = −2 < 0 nên PT ở đáp án C khơng là phương trình mặt cầu
uu
r
P)
Q)
(
(

nP
Oxyz
,
Câu 11: Trong khơng gian
cho hai mặt phẳng
và
lần lượt có hai vectơ pháp tuyến là

và

uur
nQ

( Q)

. Biết sin góc giữa hai vectơ

uu
r
nP

và

uur
nQ

1
.
( P ) và
bằng 2 Cosin góc giữa hai mặt phẳng

bằng.

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1
− .
A. 2

B.

−

3
.
2

3
.
C. 2
Lời giải

1
.
D. 2

Chọn C

·uur uur
1
·uur uur
sin nP ; nQ = ⇒ nP ; nQ = 30° ⇒ (·( P ) ; ( Q ) ) = 30°.
2
Ta có:

(

)

(

)

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = 5i . Phần ảo của z bằng
A. −2 .
B. −1 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Cách 1:
5i ⇔ z = 5i ( 1 − 2i )
5i + 10
⇔z=
⇔z=
1
+
2
i

1
−
2
i
(
)(
)
1 + 2i
1+ 4 ⇔ z = 2 + i ⇒ z = 2 − i
Ta có (1 + 2i ) z = 5i
Vậy phần ảo của z bằng −1 .
Cách 2:
z = a + bi ( a , b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi
Gọi
a + 2b = 0
a=2
⇔
⇔
(1 + 2i) z = 5i ⇔ (1 + 2i) ( a − bi ) = 5i ⇔ a + 2b + ( 2a − b ) = 5i
 2a − b = 5
b = −1
Ta có
Vậy phần ảo của z bằng −1 .
Câu 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Thể tích khối lăng trụ đã
cho bằng
3

A. 4a .

4 3

a
B. 3 .

2 3
a
C. 3 .
Lời giải

3
D. 2a .

2
3
Ta có: V = B.h = a .2a = 2a .
Câu 14: Cho khối chóp S . ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a . Cạnh bên SA vng góc với

đáy và SA = 3a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
A. 2a 3 .

B. 6a 3 .

C. 12a 3 .
Lời giải

D. 3a 3 .

SABCD = AB .BC = 2a2

1
1

VS .ABCD = SA.SABCD = .3a.2a2 = 2a3
3
3
2
2
2
Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 y + 1 = 0 và đường thẳng
 x = 2t

d :  y = 1+ t
z = 2 − t
( S ) là

. Số điểm chung của đường thẳng d và mặt cầu
A. 3.
B. 2.
C. 1.

D. 0.

Lời giải
Giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là nghiệm hệ phương trình:

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

 x = 2t (1)
 y = 1 + t (2)



 z = 2 − t (3)
 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 (4)
Thế,, vào ta được:
4t 2 + ( 1 + t ) + ( 2 − t ) − 4t + 4 ( 1 + t ) + 1 = 0 ⇔ 6t 2 − 2t + 10 = 0
2

2

Phương trình vơ nghiệm nên đường thẳng d và mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung.
Câu 16: Cho số phức z = −1 + 5i . Phần ảo của số phức z bằng
A. 1 .
B. 5
C. −5 .
D. −1 .
Lời giải
Ta có: z = −1 − 5i suy ra phần ảo bằng −5 .
Câu 17: Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy a và đường cao a 3 bằng
2
B. 2 3π a .

2
A. π a 3 .

C. 4π a .
Lời giải
2

2

D. 2π a .

2
2
2
2
Ta có : l = r + h = a + 3a = 2a

Vậy

S xq = π rl = π .a.2a = 2π a 2

.

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P)

có phương trình

x − 2 y + 5 z − 4 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?

C ( 0; 2;0 )
D ( −1;0;1)
C.
.
D.
.
Lời giải
A ( 2;1;0 )

( P ) ta được −4 = 0 vô lý ⇒ A ∉ ( P )
Thay tọa độ điểm
vào phương trình mặt phẳng
.
B ( 1; −1;1)
( P ) ta được 4 = 0 vô lý ⇒ B ∉ ( P ) .
Thay tọa độ điểm
vào phương trình mặt phẳng
C ( 0; 2;0 )
( P ) ta được −8 = 0 vơ lý
Thay tọa độ điểm
vào phương trình mặt phẳng
A.

A ( 2;1;0 )

⇒ C ∉( P)

.

B.

B ( 1; −1;1)

.

.

D ( −1;0;1)
( P ) ta được 0 = 0 ⇒ D ∈ ( P ) .

Thay tọa độ điểm
vào phương trình mặt phẳng
Câu 19: Hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
A. (−3; −1) .
B. (4;5) .
C. (−1; −3) .

D. (5; 4) .

Lời giải
Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là (−1; −3) .
2 x +1
y=
x - 1 có:
Câu 20: Đồ thị hàm số
A. Tiệm cận đứng là x =- 1 ; tiệm cận ngang là y =- 2 .
B. Tiệm cận đứng là x = 1 ; tiệm cận ngang là y = 2 .
C. Tiệm cận đứng là x = 1 ; tiệm cận ngang là y =- 2 .
D. Tiệm cận đứng là x =- 1 ; tiệm cận ngang là y = 2 .
Lời giải
Chọn B
lim y = −∞, lim y = +∞
x →1
Vì x →1

nên có tiệm cận đứng là x = 1 ;
lim y = 2, lim y = 2
x →+∞
Vì x →−∞
nên có tiệm cận ngang là y = 2 .
log 1 ( x − 3) < −2
3
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
.
−

A.

+

( −∞ ;12 ) .

B.

( 12; + ∞ ) .

( 3;12 ) .

C.
Lời giải

7

 −∞ ; ÷
3.

D. 

Điều kiện x − 3 > 0 ⇔ x > 3
−2

1
log 1 ( x − 3) < −2 ⇔ x − 3 >  ÷ ⇔ x − 3 > 9 ⇔ x > 12
3
3
.

S = ( 12; + ∞ )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Câu 22: Lớp 12A có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh tham gia cổ vũ cho SEA Game
31?
5
5
A. C40 .
B. P5 .
C. A40 .
D. 8 .
Lời giải
5
Số cách chọn ra 5 học sinh tham cổ vũ cho SEA Game 31 là C40 .

Câu 23: Biết

∫

f ( x ) dx =

f ( x) = 5 + 3

5x
+ 3x + C
f ( x)
ln 5
, khi đó
bằng

x

A.

Ta có

.

5x
5x
f ( x) =
+ 3x
f ( x) =
+3
ln 5
ln 5
B.
. C.
.

Lời giải

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C

với

F′( x) = f ( x)

D.

f ( x ) = 5x + 3x

.

.

 5x
′
f ( x) = 
+ 3x ÷ = 5x + 3
 ln 5

Do đó
.
2

F ( x ) = x4

Câu 24: Biết
bằng

78
A. 5 .

là một nguyên hàm của hàm số

B. 24 .

f ( x)

123
C. 5 .

trên ¡ . Giá trị của

∫ ( 6 x + f ( x ) ) dx

−1

D. 33 .
Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Lời giải
2

Ta có

∫ ( 6 x + f ( x ) ) dx = ( 3x

−1

2

+ x4 )

2
−1

= 12 + 16 − 3 − 1 = 24
.

2x + 3 khi x ≥ 1
f ( x) =  2
3x + 2 khi x < 1 . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên ¡
Câu 25: Cho hàm số
thỏa mãn
A. 60 .

Ta có

F ( 0) = 2

F ( x) = ∫

. Tính giá trị của biểu thức
B. 28 .

F ( −2) + 2F ( 3)

.
D. −48 .

C. −1 .
Lời giải

 x2 + 3x + C1 khi x ≥ 1

f ( x) dx =  3

 x + 2x + C2 khi x < 1

F ( 0) = 2 ⇒ 03 + 2.0+ C2 = 2 ⇒ C2 = 2
Theo bài ra ta có
F ( x)
f ( x)
F ( x)
Vì
là một nguyên hàm của
trên ¡ nên
là hàm số liên tục tại x = 1
lim F ( x ) = lim− F ( x ) ⇒ 12 + 3.1+ C = 13 + 2.1+ 2 ⇒ C = 1
1
1
x →1
Ta có x→1+
F ( −2 ) + 2 F ( 3) = 28
Vậy:
.
y = f ( x)

Câu 26: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2; +∞ ) .
( 0; +∞ ) .
( −∞; −2 ) .
A.
B.
C.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng

y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ¡
Câu 27: Cho hàm số
của hàm số đã cho là

A. −1.

B. 1.

)

D.

( −2; 2 ) .

( −2; 2 ) .

có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị cực tiểu

C. 2.
Lời giải

D. 3.

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Dựa vào đồ thị ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
y =2.

(

2

A ( 0; 2 )

)

lg 10a
Câu 28: Với mọi số thực a dương,
bằng
2
A. 1 + lg a .
B. 2 lg a − 1 .
C. 2 lg a + 1 .
Lời giải
Ta có

. Giá trị cực tiểu của hàm số là

lg ( 10a 2 ) = lg10 + lg a 2 = 1 + 2lg a

D. lg a − 2 .

.

2
Câu 29: Tính thể tích V của khối trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C ) : y = x − x và trục
Ox quanh trục Ox.
π
π
π
π
V =
V =
V =
V =
6 .
2 .
4 .
3 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
2

Điều kiện xác định: x − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1.

x = 0
x − x2 = 0 ⇔ 
x = 1 .
Phương trình hồnh độ giao điểm:
1

Thể tích:

1

V = π ∫ y 2 dx =π ∫
0

0

(

x − x2

)

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy

2

1
 x 2 x3  1 π
dx =π ∫ ( x − x 2 ) dx =π  − ÷ =

3 0 6
 2
0
.

( ABCD )

là hình vng tâm O. Biết

SO ⊥ ( ABCD )

,

SO = a 3 và đường trịn ngoại tiếp ( ABCD ) có bán kính bằng a . Gọi α là góc hợp bởi mặt
bên

( SCD )

3
A. 2 .

với đáy. Tính tan α
B.

3
2.

6
C. 6 .
Lời giải

D.

6.

Chọn D

Gọi M là trung điểm của CD .
CD ⊥ OM

Khi đó  CD ⊥ SO
·
⇒ CD ⊥ SM ⇒ (·
=α
( SCD ) , ( ABCD ) ) = SMO

.
Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Ta có: R = OA = a ⇒ AC = 2a ⇒ AB = AD = a 2 .
a 2
SO
⇒ tan α =
= 6
2
OM
.
3

Câu 31: Cho hàm số y = x − 3 x + 2 có đồ thị như đường cong trong hình bên. Tìm tất cả các giá trị của
⇒ OM =

3
tham số m để phương trình x − 3x + 2 − m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

A. 0 < m < 4 .

B. m > 4 .

C. 0 ≤ m ≤ 4 .
Lời giải

D. m < 0 .

3
3
Phương trình x − 3 x + 2 − m = 0 ⇔ x − 3x + 2 = m .
3
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 3x + 2 và đường thẳng
y=m

Từ đồ thị suy ra, phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ 0 < m < 4 .
y = f ′( x)
y = f ( −x)
Câu 32: Cho hàm số
có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số
đồng biến trên khoảng
nào sau đây?

A.

( 0;+ ∞ ) .

Ta có

B.

( −2;0 ) .

y = f ( − x ) ⇒ y′ = − f ′ ( − x )

Để hàm số

y = f ( −x)

.

đồng biến thì

( −2; 2 ) .

C.
Lời giải

D.

y′ ≥ 0 ⇔ − f ′ ( − x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( − x ) ≤ 0

( −2; + ∞ ) .

.

Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
− x ≤ 0
x ≥ 0
f ′( −x) ≤ 0 ⇔ 
⇔
2 ≤ − x ≤ 4
 −4 ≤ x ≤ −2 .
Dựa vào đồ thị hàm số ta có,
Câu 33: Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn
có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
60
238
210
82
A. 143 .
B. 429 .
C. 429 .
D. 143 .
Lời giải
Chọn B
Gọi A là biến cố: “ 5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “
Ω = C155
-Không gian mẫu:
.

4
1
-Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: C8 .C7 .
3
2
- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: C8 .C7 .
⇒ n ( A) = C84 .C71 + C83 .C72 = 1666

⇒ P ( A) =

n ( A ) 1666 238
= 5 =
Ω
C15
429

.
2

2+log x
+ 9.41+log x = 78.6log x
Câu 34: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3

A. 100.

B. 1.

1
D. 10 .

C. 10.
Lời giải

Điều kiện x > 0
2

4.32+log x + 9.41+log x = 78.6 log x ⇔ 4.32.32.log x + 9.4.4log x = 78.6log x
log x

9
⇔ 36. ÷
4

log x

3
+ 36 = 78. ÷
2

2log x

3
⇔ 36. ÷
 2

log x

 3
− 78. ÷
 2

+ 36 = 0

 3 log x 3
 ÷ =
 x = 10
2
log x = 1
2

⇔
⇔
⇔
 3 log x 2
x = 1
log
x
=
−
1



 ÷ =
 10
3
 2 
Do đó tích các nghiệm bằng 1.

(

)

( z − 4i ) z + 2
Câu 35: Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn của z là một đường trịn. Tìm tọa độ tâm của đường trịn đó.
( 1; −2 ) .
( −1; −2 ) .
( −1; 2 ) .
( 1; 2 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
M ( x; y )
Gọi z = x + yi với x , y ∈ ¡ và
là điểm biểu diễn của số phức z .
( z − 4i ) ( z + 2 ) = x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + ( 2 y − 4 x − 8 ) i .
Ta có
2
2
( z − 4i ) z + 2
là số thuần ảo ⇔ x + y + 2 x − 4 y = 0
2
2
⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5
.

(

)

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
I ( −1; 2 )
Tập hợp các điểm biễn diễn của số phức z là mộ đường trịn có tâm
,bán kính R = 5 .
Câu 36: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng x − y − 2 z + 3 = 0 và cắt hai đường
d1 :

x +1 y −1 z −1
x −1 y − 2 z +1
=
=
d2 :
=
=
2
−1
1 ;
1
1
2

thẳng

x = 1+ t

 y = 3t
z = 2 − t
A. 

B.

x = 1+ t

 y = −3t
z = 2 − t


C.

x = 1+ t

y = 3+ t
z = 2 − t


D.

x = 1+ t

y = 3
 z = −1 + 2t


Lời giải
( P ) nên A ( 2t − 1; −t + 1; t + 1)
Gọi A là giao điểm của d1 và
( P ) nên ( 2t − 1) − ( −t + 1) − 2 ( t + 1) + 3 = 0 => t = 1 => A ( 1;0; 2 )
Mà A thuộc mặt phẳng
( P ) có tọa độ B ( t '+ 1; t '+ 2;2t '− 1)
Giao điểm B của đường thẳng d 2 và mặt phẳng
( P ) nên ( t '+ 1) − ( t '+ 2 ) − 2 ( 2t '− 1) + 3 = 0 => t ' = 1 => B ( 2;3;1)
Điểm B thuộc mặt phẳng
uuu
r
A ( 1;0; 2 )
AB = ( 1;3; −1)
d
Phương trình đường thẳng qua
có VTCP
x = 1 + t

d :  y = 3t
z = 2 − t

Phương trình đường thẳng
x −1 y + 2 z +1
d:
=
=
2
1
−3 và điểm A ( 2; −5; −6 ) . Gọi H là hình chiếu vng
Câu 37: Cho đường thẳng

góc của A trên d . Tọa độ của H là.
H ( −1; −3; 2 )
H ( −3; −1; 4 )
H ( 3; −1; −4 )
H ( −3;1; 4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
uur
u = ( 2;1; −3)
Ta có d
.
uuur
AH = ( −1 + 2t ;3 + t ;5 − 3t ) .
H
1
+
2
t
;
−
2
+
t

;
−
1
−
3
t
(
)
Vì H ∈ d nên
và
uuur uu
r
AH ⊥ d ⇔ AH ⊥ ud .
uuur uu
r
⇔ AH .ud = 0
⇔ 2 ( −1 + 2t ) + 1( 3 + t ) − 3 ( 5 − 3t ) = 0
⇔ 14t − 14 = 0 ⇔ t = 1.

.

H ( 3; −1; −4 )
Tọa độ của H là
.
Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ; SA vng góc với đáy và
SA = a 2 . Khoảng cách từ B đến ( SCD ) bằng
a
a 6

A.

3 .

B.

3.

C. a 2 .
Lời giải

D. a .

Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

AB //CD ⇒ AB // ( SCD )
Ta có
⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) )

.

Vẽ AH ⊥ SD .
CD ⊥ SA
⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ AH ⊥ CD

CD
⊥
AD


Khi đó
.
Do đó
Vậy

AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH =
d ( B, ( SCD ) ) = AH =

a 6
3 .

SA. AD
SA + AD
2

(

2

=

a 6
3 .

)

4 x − 5.2 x+2 + 64 2 − log ( 4 x ) ≥ 0
x
Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên thoả mãn

?
A. 22 .
B. 25 .
C. 23 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn D
 2 − log ( 4 x ) ≥ 0

x>0
⇔ 0 < x ≤ 25 .
Điều kiện xác định: 
Bpt tương đương
2 x ≤ 4
x ≤ 2

2
x
x+ 2
x
x
x
( 2 ) − 20.2 + 64 ≥ 0 ⇔ 2 ≥ 16 ⇔  x ≥ 4
 4 − 5.2 + 64 ≥ 0


⇔


 x = 25

x
=
25
2
−
log
4
x
=
0
(
)
 4 x = 100


.

0 < x ≤ 2

Kết hợp với điều kiện xác định ta được:  4 ≤ x ≤ 25 .
Vậy có 24 giá trị nguyên của x thoả mãn yêu cầu bài toán.
f ( x ) = 3 f ( 2x )
F ( x)
f ( x)
f ( x)
Câu 40: Cho hàm số
liên tục trên R thỏa
. Gọi
là nguyên hàm của
8

F ( 4) = 3
F ( 2 ) + 4 F ( 8) = 0
trên R thỏa mãn
và
. Khi đó
A. 15 .
B. −15 .
C. 9 .

∫ f ( x ) dx
2

bằng
D. −9 .

Lời giải
3
f ( x ) = 3 f ( 2 x ) ⇒ ∫ f ( x ) dx =3∫ f ( 2 x ) dx ⇒ F ( x ) = 2 F ( 2 x ) + C
Ta có:

2 F ( 2 ) = 3 F ( 4 ) + 2C

2 F ( 4 ) = 3 F ( 8 ) + 2C ⇒ 2 F ( 4 ) + 3F ( 8 ) = 5F ( 4 ) = 15 ( ∗)
Từ đó có: 
Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Kết hợp

( ∗) với giả thiết F ( 2 ) + 4F ( 8) = 0

8

Vậy

∫ f ( x ) dx = F ( x )
2

8
2

= F ( 8 ) − F ( 2 ) = −15

Câu 41: Cho hàm số trùng phương
nguyên
A. 1.

ta được

F ( 2 ) = 12 F ( 8) = −3
;

.

y = f ( x) = x4 - 2( m - 3) x2 + m - 5

mỴ [ - 2019;2019]

để hàm số
B. 3.

. Có bao nhiêu giá trị

y = f ( x)

có 5 điểm cực trị?
C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
Tập xác định: D = R
Xét hàm số

y = f ( x) = x4 - 2( m - 3) x2 + m - 5 Þ f ¢( x) = 4x3 - 4( m - 3) x

.

y = f ( x)

y = f ( x)
có 5 điểm cực trị thì hàm số
ít nhất phải có 2 điểm cực trị.
2
ù= 0
f ¢( x) = 4x é
êx - ( m - 3) û

ú
ë
Suy ra:
có ít nhất hai nghiệm bội lẻ phân biệt.
Để hàm số

Suy ra: - m+ 3< 0 Û m> 3 . Khi này hàm số có 3 điểm cực trị x = 0, x = ± m- 3 .
Khi đó ta có thể vẽ nhanh đồ thị hàm số:

Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị nằm dưới trục hồnh Ox (điểm cực đại có thể thuộc trục Ox )
ìï 2( m- 3) > 0
ïí
Û 3< mÊ 5ị m= { 4;5}
ùù m- 5Ê 0
ợ
.
Suy ra có tất cả 2 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.
Câu 42: Cho hai số phức

z + 1 + mi = z + m + 2i
A.

2.

z1 , z2

z − 1 = 34,

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

và sao cho
B. 10 .

z1 − z2

là lớn nhất. Khi đó giá trị của
C. 2 .
Lời giải

z1 + z2

bằng

D. 130 .

Chọn C

Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

z,z.
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức 1 2
Gọi số phức

(

z = x+ iy x, y∈!

)

z − 1 = 34 ⇒ M , N
( C ) có tâm I ( 1;0 ) , bán kính R = 34.
Ta có:
thuộc đường trịn
z + 1 + mi = z + m + 2i ⇔ x + iy + 1 + mi = x + iy + m + 2i
Mà
⇔

( x + 1)

⇒ M,N

( x + m) + ( y + 2) ⇔ 2 ( 1 − m) x + 2 ( m − 2) y − 3 = 0
d : 2 ( 1 − m) x + 2 ( m − 2) y − 3 = 0
thuộc đường thẳng
2

+ ( y + m) =
2

2

2

( C)
Do đó M , N là giao điểm của đường thẳng d và đường trịn
z − z = MN
z −z

Ta có: 1 2
nên 1 2 lớn nhất ⇔ MN lớn nhất
⇔ MN là đường kính của đường trịn tâm I , bán kính 1.
Khi đó:

z1 + z2 = 2.OI = 2.

0
·
Câu 43: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , AB = 2a, BC = a, ABC = 60 . Hình chiếu vng góc của

( ABCD ) là trung điểm O của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng
điểm A ' lên mặt phẳng
( ABB ' A ')

và

( ABCD )

a3 3
A. 2 .

0
bằng 60 . Thể tích của hình hộp đã cho bằng

3a3 7
4 .
B.

3a 3

C. 2 .
Lời giải

3a3 3
D. 4 .

Ta có A ' O ⊥ ( ABCD ) .
Từ O dựng OH ⊥ AB tại H , lại có A ' O ⊥ AB nên AB ⊥ ( A ' OH ) suy ra góc giữa hai mặt
phẳng

( ABB ' A ')

và

( ABCD ) bằng

·A ' HO = 600

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1
a2 3
SVABC = . AB.BC.sin B =
2
2
2
⇒ S ABCD = 2SVABC = a 3.
1

a 3
SVABC = . AB.d ( C , AB ) ⇒ d ( C , AB ) =
.
2
2
Mà

Suy ra

OH =

1
a 3
d ( C , AB ) =
.
2
4

3a
A ' O = OH .tan ·A ' HO = .
4
Tam giác A ' OH vng tại O :
Vậy thể tích hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là:
3a 2
3a 3 3
.a 3 =
.
4
4
Câu 44: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ¡

VABCD. A' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD =

3
2
và hàm số f ′( x ) = ax + bx + cx + d ,

g '( x ) = qx 2 + nx + p với a, q ≠ 0 có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi
5
′
′
y
=
f
(
x
)
y
=
g
(
x
)
hai đồ thị hàm số
và
bằng 2 và f (2) = g (2) . Biết diện tích hình phẳng
a
2
2
y
=

f
(
x
)
y
=
g
(
x
)
giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
và
bằng b . Tính T = a − b .

A. 7 .

B. 55 .

Dựa vào đồ thị ta có:

C. −5 .
Lời giải

D. 16 .

f ′( x) − g '( x) = a ( x ) ( x − 1) ( x − 2 ) = a ( x3 − 3 x 2 + 2 x )

, với a > 0 .

′

′
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x) và y = g ( x ) bằng:
2

∫
0

2

f ′( x ) − g ′( x) = a ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2 x ) =

Mặt khác,

0

5
⇔a=5
2

3
2
. Suy ra f ′( x ) − g '( x ) = 5 x − 15 x + 10 x .

f ′( x) − g '( x) = ax 3 + ( b − q ) x 2 + ( c − n ) x + ( d − p )

.

Page 23

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Do đó,
Ta có

a = 5
b − q = −15


c − n = 10
d − p = 0
f ( x) =

.

5 4 b 3 c 2
q
n
x + x + x + dx + r g ( x) = x 3 + x 2 + px + s
4
3
2
3
2
,
.

8
( b − q) + 2 ( c − n) + 2 ( d − p) + ( r − s) = 0
3

●
.
Thế vào ta được r − s = 0 .
f (2) = g (2) ⇔ 20 +

( b − q ) x3 + ( c − n ) x2 + d − p x + r − s = 0
5
f ( x ) = g ( x ) ⇔ x4 +
(
) ( )
4
3
2
●
.
⇔

x = 0
5 4
x − 5 x3 + 5 x 2 = 0 ⇔ 
4
x = 2 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) bằng:
2

∫

2

f ( x ) − g ( x ) dx = ∫

5 4
4
x − 5 x 3 + 5 x 2 dx = .
4
3

Suy ra a = 4, b = 3 . Vậy T = a − b = 7 .
z 2 − 2 ( m + 1) z + m + 3 = 0 m
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( là tham số thực). Có
0

0

2

2

z +2 =6
bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z0 thỏa mãn 0
?
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
z 2 − 2 ( m + 1) z + m + 3 = 0 m
Phương trình

( là tham số thực).
∆′ = ( m + 1) − ( m + 3) = m 2 + m − 2
2

Ta có

.

 m ≤ −2
∆′ ≥ 0 ⇔ m 2 + m − 2 ≥ 0 ⇔ 
 m ≥ 1 thì phương trình có nghiệm thự
Nếu

C. Khi đó theo

 z0 + 2 = 6
 z0 = 4
z0 + 2 = 6 ⇔ 
⇔
 z0 + 2 = −6
 z0 = −8
đầu bài, nghiệm z0 phải thỏa mãn
11

 42 − 2 ( m + 1) 4 + m + 3 = 0
m = 7

⇔
2
( −8 ) − 2 ( m + 1) ( −8 ) + m + 3 = 0

 m = − 83

17 .
Do đó suy ra
2
Nếu ∆′ < 0 ⇔ m + m − 2 < 0 ⇔ −2 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt

z1 , z2 với z2 = z1 ⇒ z1 + 2 = z1 + 2 = z2 + 2 . Do đó theo điều kiện đầu bài, ta có

z1 + 2 = z2 + 2 = 6 ⇒ z1 + 2 z2 + 2 = 36 ⇔ z1 z2 + 2 ( z1 + z2 ) + 4 = 36
m = 5
5m + 11 = 36 ⇔ 
⇔
 m = − 47
⇔ m + 3 + 4 ( m + 1) + 4 = 36 ⇔ 5m + 11 = 36
5 .

5m + 11 = −36
Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
11
83
m=−
7 hoặc
17 thì phương trình có nghiệm phức thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy với
x − 2 y −1 z − 2
=

=
( d1 ) :
Oxyz
1
−1
−1 và
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
m=

x = t
( d2 ) :  y = 3
 z = −2 + t


cầu

. Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 = 0

A. 2 .

B. 1 .

( d1 )

( d 2 ) , đồng thời cắt mặt

theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng π 6 .

C. 0 .
D. Vơ số.
Lời giải

(d )
+ Đường thẳng 1

và

ur
uu
r
u1 = ( 1; − 1; − 1) ; u2 = ( 1; 0;1)

(d )
và 2

lần lượt có một véctơ chỉ phương là
( P ) song song với cả ( d1 ) và ( d 2 ) , do đó ( P ) nhận véctơ
+ Gọi mặt phẳng
r
ur uu
r
n = u1 , u2  = ( −1; − 2; 1)
là một véctơ pháp tuyến.
Suy ra

.

( P ) : −x − 2 y + z + m = 0 .

( S)

+ Mặt cầu

có tâm

I ( 1; 2; 0 )

, bán kính R = 3 .

+ Gọi r là bán kính đường trịn giao tuyến, ta có

2π r = π 6 ⇒ r =

6
2 .

6
2 .
Mặt khác
m = 2
−1 − 4 + m
6
6
⇔
d ( I ,( P) ) =
⇔
=
2
2

6
m = 8 .
+ Ta có
R 2 = r 2 +  d ( I , ( P ) )  ⇒ d ( I , ( P ) ) =
2

( P1 ) : − x − 2 y + z + 2 = 0

Khi đó

hoặc

( P2 ) : − x − 2 y + z + 8 = 0 .

 M ∈ ( P1 )
⇒ d1 ⊂ ( P1 )

M
∉
P
M ( 2;1; 2 ) ∈ d1 ; N ( 0;3; − 2 ) ∈ d 2
(
)

2
Lấy
. Ta có 
Vậy khơng có mặt phẳng nào thỏa mãn u cầu bài tốn.
( x; y ) thỏa mãn
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên

 N ∉ ( P1 )
⇒ d 2 ⊂ ( P2 )

N
∈
P
(
)

2
;

log 7 ( x + y ) + log 5 ( x + y − 5 ) − log 7 5 < log 7 ( x + y + 4 )

A. 128.

B. 120.

C. 144.
Lời giải

D. 149.

Chọn B
Điều kiện:
Ta có:

x + y −5 > 0

.

log 5 ( x + y − 5 ) < log 7 ( x + y + 4 ) − log 7 ( x + y ) + log 7 5

 5 x + 5 y + 20 
⇔ log 5 ( x + y − 5) < log 7 
÷

÷
x+ y



Page 25