đề 22 bám sát minh họa 2023 môn toan

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 22 –PL2
Bài thi mơn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

z = 3 − 4i
z
Trên mặt phẳng toạ độ, cho số phức
. Môđun của bằng
−16

5
25
A.
.
B. .
C.
.
x
( 0;+∞ )
y=5
Trên khoảng
, đạo hàm của hàm số
là:
x
5
y′ =
x
y′ = 5
y′ = 5 x.ln 5
ln 5
A.
.
B.
.
C.
.

y = ( x − 1)

D

Tập xác định
của hàm số
D = ¡ \ { 1}
D=¡
A.
.
B.
.

D.

7

.

y′ = 5x +1

.

π

là:
C.

D = [ 1; +∞ )

.

D.

D = ( 1; +∞ )

.

3x−1 ≥ 9

Tập nghiệm của bất phương trình
là
−∞
;2
−∞
;3
(
)
(
]
[ 3;+∞ )
[ 2;+∞ )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
( un )
u1 = 2023
u3

q=3
Cho cấp số nhân
với
và công bội
. Giá trị của bằng
2029
54621
18207
6069
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
( P ) : 2 y − z + 2023 = 0
Oxyz
Trong
khơng
gian
,
mặt
phẳng
có một vectơ pháp tuyến là
ur
uu
r
uu

r
n1 = ( 0;2; −1)
n2 = ( 2; −1;2023)
n3 = ( −1;0;2 )
A.
.
B.
. C.
.
D.
uu
r
n4 = ( 2; −1; −2023)
.
ax + b
y=
cx + d
Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Tọa độ
giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
( 0; −2 )
( 2;0 )
A.
.
B.
.
( −2;0 )
( 0;2 )
C.

.
D.
.
4

4

∫ f ( x ) dx = 2023

Câu 8:

D.

Nếu
A. 5.

−1

4

∫ g ( x ) dx = 2022

và

−1

B. 6.

∫  f ( x ) − g ( x )  dx

thì

−1

C. 1.

bằng
D.

−1

.
|1


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A.

y = x4 − 3x2 + 2
y=

B.

x−3
x −1

.

.

2

C.

y = x − 4x + 1

.

3

D.

y = x − 3x − 5

.

Oxyz

Câu 10: Trong khơng gian

Tìm tọa độ tâm
A.
C.
Câu 11:

I

I ( −1;2; −3 ) ; R = 14

không

R

và bán kính

I ( 1; −2;3) ; R = 14

Trong

cho mặt cầu

( S)

của mặt cầu

.

( S)

D.

Oxyz

,

góc

giữa

.

.

B.

.

gian

có phương trình

x2 + y2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z = 0

hai

I ( −1;2; −3) ; R = 14
I ( 1; −2;3) ; R = 14

mặt

phẳng

.

.

( P ) : x + y − z − 11 = 0

và

( Q) : 2x + 2 y − 2z + 7 = 0
A.

0°

bằng
90°
B.
.

.

Câu 12: Cho số phức
8
A. .

z = 3 + 4i.

C.

180°

.

D.

45°

.

w= z + z

Phần thực của số phức
5
4
B. .
C. .

là
3
D. .

3 3
Câu 13: Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
9
27
18
12
A. .
B. .
C.
.
D. .

AB = a, BC = a 3 SA
S . ABCD
ABCD

Câu 14: Cho khối chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
vng góc
SA = 2a
với đáy và
. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A.

2a 3 3
3

.

Câu 15: Cho mặt phẳng

cách từ
2|

O

đến

B.

( P)
( P)

2a 3 3

cắt mặt cầu

.

S ( O; R )

C.

a3 3
3

.

D.

a3 3
6

.

theo thiết diện là một đường tròn. Gọi

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

d

là khoảng

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
d=R
d>R
A.
.
B.
.

C.

z = −7 − 2i
Câu 16: Số phức liên hợp của số phức
là
z = 2 − 7i
z = 7 − 2i
A.
.
B.
.

C.

Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy
nón đã cho bằng

A.

πr

2

.

B.

Câu 18: Trong không gian

A.

M ( −3;5;0 )

Câu 19: Cho hàm số
sai?

Oxyz

.

.

C.

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

B. Hàm số đạt cực đại tại

x=2
x=4

z = −7 + 2i

D.

.

D.

πr h
2

, cho đường thẳng
N ( 3; −5; −2 )
B.
.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại

.

d
.

z = 7 + 2i

.

l
h

, độ dài đường sinh và chiều cao . Khi đó, thể tích của khối

r

π rl

d = 2R

.

D.

1 2
πr h
3

.

x = 3 − t

∆ :  y = −5 + 2t
 z = −2t


∆
. Điểm nào sau đây thuộc ?
P ( 3; −5;0 )
Q ( −1;2; −2 )
C.
.

D.
.

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây

.

.

C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại

Câu 20: Cho hàm số

y = f ( x)

x=0

.

có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là
x = 1, y = 2
x = 2, y = 1
x = 2, y = 2
x = 1, y = 1
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
log 2 x > 2
Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

3

là

|3


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

A.

4

 −∞; ÷
9


( −∞; 4 )
3

.

B.

.

C.

(

3

4;+∞

)

.

Câu 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các số
15
120
10
A. .
B.
.
C. .

∫ f ( x ) dx = 3 x

2

∫(

Câu 24: Cho

D.

24

.

.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
f ( x ) = x3 − cos x
f ( x ) = x3 + cos x
f ( x ) = 6 x − cos x
B.
. C.
. D.
.
ln 2

)

2 f ( x ) + e x dx = 5

0

1;3;4;6;7

+ sin x + C

Câu 23: Cho
f ( x ) = 6 x + cos x
A.
.
ln 2

 4
 0; ÷
 9
D.
.

∫

f ( x ) dx

0

. Tính
.
5
3
2
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .

f ( x ) = sin x − x + 1
Câu 25: Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
2
x
x2
f ( x ) dx = cosx − + x + C
f ( x ) dx = −cosx − + x + C
2
2
A.
.
B.
.
2
f ( x ) dx = sin x − x + C
f ( x ) dx = −cosx − x + x + C
C.
.
D.
.
2023 x − 22
y=
x +1
Câu 26: Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
( −∞; −1)
( 1;2023)
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng
.
( −∞;1)
( −1;2023)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
.

∫

∫

∫

∫

Câu 27: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 28: Cho các số thực dương

theo
4|

x; y

bằng

x=5

.
x=0

a; b

B. Hàm số đạt cực tiểu tại
.

D. Hàm số đạt cực đại tại

x =1
x=0

.
.

(

P = log 2 a 2b3
log 2 a = x log 2 b = y
thỏa mãn
,
. Giá trị biểu thức

)


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

A.

2x − 3y

.

B.

x + 3y

.

C.

3x + 2 y

.

D.

2x + 3 y

.
y = x − 4x + 3
2

Câu 29: Thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Ox
trục hoành quay quanh trục
là
4π
16
16π
4

A.

3

.

B.

15

.

C.

15

.

D.

3

và

.

S . ABCD
AB = a
Câu 30: Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật cạnh
,
SA
SB = 2a
vng góc với mặt phẳng đáy và
(tham khảo hình

bên). Góc giữa mặt phẳng
A.
C.

90°
45°

( SBC )

.

B.

.

D.

Câu 31: Cho hàm số

60°
30°

và mặt phẳng đáy bằng

.
.

f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c

có đồ thị là đường cong

trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị ngun thuộc đoạn
m

của tham số
để phương trình
nghiệm thực phân biệt?
6
A. .
B. 7.
8
9
C. .
D.

f ( x)

f ( x) = m

có đúng hai

¡

Câu 32: Cho hàm số
xác định trên và có đạo hàm
cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

( −∞;2 )

B.

Câu 33: Chọn ngẫu nhiên

2

( 2;+∞ )

số khác nhau từ

C.
30

[ −2;5]

f ′ ( x ) = ( 2 − x ) ( x + 1)

( −1;2 )

2

D.

( x − 1) 5
( 1;+∞ )

. Hàm số đã

.

số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để chọn được

2

số có tích là một số lẻ?
7
15
22
8
29
29
29
29

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2log 3 x + 2log x 3 = 5
x1 < x2
Câu 34: Biết phương trình
có hai nghiệm thực
. Tính giá trị của biểu thức
T = 6 x12 − x2 + 1

A.

T = 12

.

.
B.

T = 10

.

C.

T = 16

.

D.

T =8

.
|5


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
Câu 35: Cho số phức

z

thỏa mãn

w = 2 z − 2 + 3i

phức
11
A. .

( z − 3 + 2i ) ( z − 3 − 2i ) = 16

là đường tròn tâm
10
B. .

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ

I ( a; b )

Oxyz

. Biết tập hợp các điểm

và bán kính
17
C. .

c

. Giá trị của

M

biểu diễn số

a+b+c

bằng

18

, cho đường thẳng

D. .

x −1 y + 2 z
d:
=
=
2
−1 3

và mặt phẳng

( P ) : x + 6 y − 4 z + 27 = 0

M ( a; b; c )
( P)
d
S = 2a − b + c
. Gọi
là giao điểm của và
. Tính
.
S = 10
S = 13
S = 11
S = 12
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
M ( 1;2;1)
Oxyz
( P) : x − y + z + 6 = 0
Câu 37: Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Giả sử
H ( a; b; c )

A.

4

là hình chiếu của

.

B.

Câu 38: Cho hình chóp

SABCD

M
2

trên mặt phẳng

.

( P)

. Khi đó
1
C. .
a

A.

.

B.

a

.

C.

x

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên trong khoảng
2000
2022
A.
.
B.
.
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

¡

. Gọi

. Tam giác

bằng
−1
D. .

SAB

là tam giác đều và nằm
SC
AB
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
và
bằng

a 3
7

có đáy là hình vuông, cạnh

a+b+c

a 21
7

( 0;2023)

.

thỏa mãn
2002
C.
.

F ( x) ,G ( x)

D.

a 2
2

.

log 3 ( 2 x + 5 ) < log 2 x + 1

D.

2020

là hai nguyên hàm của

.

f ( x)

trên

¡

thỏa

3

F ( 7 ) + 2G ( 7 ) = 8

mãn
6
A. .

B.

Câu 41: Cho hàm số

trên

6|

¡

và

y = f ( x)

F ( 1) + 2G ( 1) = 2

4

.

∫ f ( 2 x + 1) dx
. Khi đó
1
C. .

có đạo hàm liên tục trên

của đạo hàm như hình vẽ dưới đây:

¡

0

bằng

. Biết rằng hàm số

3
D. .
y = f x2 + 2 x

(

)

có đồ thị


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

(

3

y = f x4 − 4 x + 6x2 − 4 x
Số điểm cực trị của hàm số
9
11
A. .
B. .
Câu 42: Xét các số phức

z

và

C.

thỏa mãn

bằng
5

D. .

.

z+w = 2

z = w =1

w

7

)

,

. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu

P = zw + 2i ( z + w) − 4

thức

A.

bằng

3 2
2

.

B.

ABC. A′B′C ′

Câu 43: Cho lăng trụ tam giác

A′

BC

A.

trên mặt phẳng

a 3
4

bằng

a3 3
12

f ( 1) = 1

( ABC )

.

C.

5−2 2

.

D.

có đáy là tam giác đều cạnh

trùng với trọng tâm tam giác

ABC

a

5

.

. Hình chiếu vng góc của

. Biết khoảng cách giữa

AA′

và

. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

.

Câu 44: Biết hàm số

1+ 5 2
4

a3 3
6

B.
f ( x)

C.

.

D.

a3 3
24

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng

f ( x)

2 f ( x ) + x. f ′ ( x ) =

x

và

hạn bởi các đường
0,58
A.
.

.

a3 3
3

y = f ( x)

B.

và
0, 49

với mọi

y = 5 − 4x
.

x ∈ ( 0;1]

.

( 0;1]

, thỏa mãn

. Khi đó diện tích hình phẳng giới

gần giá trị nào nhất sau đây?
1,22
0,97
C.
.
D.
.

z 2 + 2mz − m + 12 = 0 m
Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( là tham số thực). Có bao

nhiêu giá trị nguyên của
z1 + z2 = 2 z1 − z2

m

z1 z2
để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ,
thỏa mãn

?
|7


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

1
A. .

2

B.

Câu 46: Trong

không

gian

với

3
C. .

.
hệ

tọa

độ

Oxyz

,

D.

cho

điểm

4

.

A ( 1;2; − 2 )

;

mặt

phẳng

 x = 2 + t1
 x = 3 + 2t2


d1 :  y = 1 + 2t1 d 2 :  y = 3 + t2
 z = 4 − 3t
 z = −5 + t
( P) : x − 2 y − 2z + 8 = 0
1
2


d
và hai đường thẳng

;
. Đường thẳng

đi qua điểm
C

và

9

A.

A

d1 d 2
C
B
B
, cắt hai đường thẳng ;
lần lượt tại
và . Tính tổng khoảng cách từ

đến mặt phẳng

( P)

.

.
B.

10

Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên

.
( x; y )

(

C.
thoả mãn

)

(

7

8
D. .

.

)

(

)

log5 x 2 + y 2 + x + log 3 x 2 + y 2 ≤ log5 x + log 3 x 2 + y 2 + 8 x ?
5
D. .
S
6
128π
A
B
Câu 48: Cho khối nón đỉnh , chiều cao bằng
và thể tích bằng
. Gọi
và
là hai điểm
AB = 10
thuộc đường tròn đáy sao cho
, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng

A.

10

.

B.

12

.

C.

6

.

( SAB )

bằng
6 15
5
A.
.

B.

6 13
5

3 15
5

.

3 13
5

C.
.
D.
.

2
2
( S ) : x + y + z − 2x + 4 y + 2z − 3 = 0
Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
và mặt phẳng
2

( P ) : 2 x − y + 2 z − 14 = 0
khi

A.

M ( xM ; y M ; z M ) , N ( x N ; y N ; z N )

−3

−

.

Câu 50: Cho hàm số

8|

. Điểm

M

B.
y = f ( x)

1
3

.

thay đổi trên
thì

MN

( S)

, điểm

N

thay đổi trên

có độ dài nhỏ nhất. Giá trị của

C.

liên tục và ln dương trên

−4
¡

.

có đồ thị hàm số

D.

( P)

. Biết rằng

T = xM + y N
1
3

bằng:

.

y = f ′( x )

như hình vẽ.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
y = 4 f ( x − m ) + x 2 − 2mx + 2023
A.

2

.

đồng biến trên khoảng
3
4
B. .
C. .
----------------HẾT----------------

( 1; 2)

0 ≤ m < 20

để hàm số

?

1
D. .

|9


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 22 –PL2
Bài thi mơn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)

Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
1.B

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.A

8.C

9.D

10.A

11.A

12.A

13.C

14.A

15.D

16.C

17.D

18.C

19.B

20.A

21.D

22.B

23.A

24.C

25.B

26.C

27.D

28.B

29.C

30.B

31.C

32.B

33.A

34.B

35.A

36.D

37.B

38.C

39.D

40.C

41.C

42.A

43.A

44.B

45.C

46.D

47.B

48.B

49.B

50.C

Câu 1:

Trên mặt phẳng toạ độ, cho số phức
−16
5
A.
.
B. .

z = 3 − 4i

z

. Môđun của
25

C.
.
Lời giải

bằng
D.

7

.

Chọn B
Môđun của
Câu 2:

z = 3 − 4i

Trên khoảng

A.

y′ = 5 x

( 0;+∞ )

.

32 + ( −4 ) = 25
2

bằng

.
y = 5x

, đạo hàm của hàm số
là:
x
5
y′ =
y′ = 5 x.ln 5
ln 5
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

y′ = 5x +1

.

Chọn C
Hàm số

y′ = a x .ln a

y = ax

có đạo hàm là
y = 5x
y = 5 x.ln 5
Đạo hàm của hàm số
là
.
Câu 3:

y = ( x − 1)

D

π

Tập xác định
của hàm số
D = ¡ \ { 1}
D=¡
A.
.
B.
.

là:
C.

D = [ 1; +∞ )

.

D.

D = ( 1; +∞ )

Lời giải
Chọn D
Tập xác định

D

của hàm số

y = ( x − 1)
x−1

Câu 4:

3
Tập nghiệm của bất phương trình
( −∞;2 )
( −∞;3]
A.
.
B.
.

π

D = ( 1; +∞ )

là
≥9
là

C.
Lời giải

10|

.

[ 3;+∞ )

.

D.

[ 2;+∞ )

.

.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
Chọn B

Ta có:
Câu 5:

3x −1 ≥ 9 ⇔ 3x −1 ≥ 32 ⇔ x − 1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 3

Cho cấp số nhân
2029
A.
.

( un )

với

u1 = 2023

B.

54621

.

và công bội

q=3

. Giá trị của
18207
C.
.

.

u3

bằng
6069
D.
.

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Câu 6:

u3 = u1.q 2 = 2023.32 = 18207

Trong
ur không gian
n1 = ( 0;2; −1)
A.
.

Oxyz

.

( P ) : 2 y − z + 2023 = 0

, mặtuu
có một vectơ pháp
rphẳng

uu
r
uu
r tuyến là
n2 = ( 2; −1;2023)
n3 = ( −1;0;2 )
n4 = ( 2; −1; −2023)
B.
. C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn A
Mặt phẳng

( P ) : 2 y − z + 2023 = 0
y=

Câu 7:

Cho hàm số

ax + b
cx + d

có một vectơ pháp tuyến là

ur

n1 = ( 0;2; −1)

.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
( 0; −2 )
( 2;0 )
( −2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A

D.

( 0;2 )

.

Dựa vào đồ thị hàm số: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
4

4

∫ f ( x ) dx = 2023

Câu 8:

Nếu

−1

A. 5.

và

.

4

∫ g ( x ) dx = 2022

−1

( 0; −2 )

∫  f ( x ) − g ( x )  dx

thì

B. 6.

−1

C. 1.

bằng
D.

−1

.

Lời giải
Chọn C

| 11


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
4

4

4

−1

−1

−1

∫  f ( x ) − g ( x )  dx= ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 2023 − 2022 = 1

Ta có:
Câu 9:

.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

4

A.

y=

2

y = x − 3x + 2

.

B.

x−3
x −1

.

y = x2 − 4x + 1

C.

.

D.

y = x3 − 3 x − 5

.

Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số
Câu 10: Trong khơng gian

Tìm tọa độ tâm
A.
C.

I

Oxyz

cho mặt cầu

R

và bán kính

I ( 1; −2;3) ; R = 14
I ( −1;2; −3 ) ; R = 14

( S)

có phương trình

của mặt cầu

.

( S)

.

x2 + y2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z = 0

.

.
I ( −1;2; −3) ; R = 14

B.

.

y = x3 − 3 x − 5

D.
Lời giải

I ( 1; −2;3) ; R = 14

.

.

Chọn A
Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau:

( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3) 2 = 14
Vậy mặt cầu đã cho có tâm

Câu 11:

Trong

khơng

gian

.
I ( 1; −2;3)

Oxyz

,

góc

và bán kính

giữa

hai

R = 14

mặt

.

phẳng

( P ) : x + y − z − 11 = 0

( Q) : 2x + 2 y − 2z + 7 = 0
A.

0°

.

Chọn A
12|

bằng
90°
B.
.

180°
C.

.
Lời giải

D.

45°

.

và


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

r
r
n( P ) = ( 1;1; −1) n( Q ) = ( 2;2; −2 )
,
.
r
r
n( P )
n( Q )
( P) ( Q)
0°
Do
và
là hai vectơ cùng phương nên góc giữa
và
bằng .

Câu 12: Cho số phức
8
A. .

z = 3 + 4i.

w= z + z
Phần thực của số phức
là
5
4
B. .
C. .

3
D. .

Lời giải
Chọn A
z = 3 − 4i; z = 32 + 42 = 5
Ta có:
w = z + z = 3 − 4i + 5 = 8 − 4i

.
.

Vậy phần thực của số phức

w

8
bằng .

3 3
Câu 13: Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
9
27
18
12
A. .
B. .
C.
.
D. .
Lời giải
Chọn C
Độ dài đường chéo hình lập phương bằng

3 3

nên độ dài cạnh hình lập phương bằng

V = ( 3) = 27

3

.

3

Thể tích khối lập phương đã cho là

.

AB = a, BC = a 3 SA
S . ABCD
ABCD
Câu 14: Cho khối chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
vng góc
SA = 2a
với đáy và
. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A.

2a 3 3
3

.

B.

2a 3 3

.

C.
Lời giải

a3 3
3

.

D.

a3 3
6

.

Chọn A
Diện tích đáy

B = S ABCD = a.a 3 = a 2 3

VABCD
Thể tích khối chóp đã cho
Câu 15: Cho mặt phẳng

cách từ

O

đến

( P)
( P)

cắt mặt cầu

.

1 2
2a 3 3
= a 3.2a =
3
3
S ( O; R )

.

theo thiết diện là một đường tròn. Gọi

d

là khoảng

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| 13


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
d=R
d>R

A.
.
B.
.

C.
Lời giải

d = 2R

.

D.

d
.

Chọn D
Mặt phẳng

( P)

cắt mặt cầu

S ( O; R )

theo thiết diện là một đường tròn suy ra

z = −7 − 2i

Câu 16: Số phức liên hợp của số phức
là
z = 2 − 7i
z = 7 − 2i
z = −7 + 2i
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn C
z = −7 − 2i
z = −7 + 2i
Số phức liên hợp của số phức
là
.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy
nón đã cho bằng

A.

πr

2

.

B.

r

π rl

D.

d
.

z = 7 + 2i

.

l
h
, độ dài đường sinh và chiều cao . Khi đó, thể tích của khối

πr h
2

.

C.

.

D.

1 2
πr h
3

.

Lời giải
Chọn D

Thể tích của khối nón đã cho bằng

Câu 18: Trong không gian

A.

M ( −3;5;0 )

.

Oxyz

1 2
πr h
3

.
x = 3 − t

∆ :  y = −5 + 2t
 z = −2t



∆
, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây thuộc ?
N ( 3; −5; −2 )
P ( 3; −5;0 )
Q ( −1;2; −2 )
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn C
Nhận thấy điểm
Câu 19: Cho hàm số

P ( 3; −5;0 )

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Mệnh đề nào sau đây sai?
14|

thuộc đường thẳng

∆

.

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

A. Hàm số đạt cực tiểu tại

x=2

.

B. Hàm số đạt cực đại tại

C. Hàm số có hai điểm cực trị.

D. Hàm số đạt cực đại tại

x=4
x=0

.
.

Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại
y = f ( x)

Câu 20: Cho hàm số

x=0

.

có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là
x = 1, y = 2
x = 2, y = 1
x = 2, y = 2
x = 1, y = 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:

D = ¡ \ { 1}

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Lại có:

lim f ( x ) = 2

x →±∞

lim f ( x ) = +∞

x →1+

⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 .

⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 .
log 2 x > 2
3

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình

A.

4

 −∞; ÷
9


.

B.

(

−∞; 3 4

)

là

.

C.

(

3

4;+∞

)

.

 4
 0; ÷
 9
D.
.

Lời giải

Chọn D
2

Ta có

4
2
log 2 x > 2 ⇔ 0 < x <  ÷ ⇔ 0 < x <
9
3
3

 4
 0; ÷
 9
. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.

Câu 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ các số
15
120
10
A. .
B.
.
C. .

1;3;4;6;7
D.

24

.

.

Lời giải
Chọn B

| 15


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
A54 = 120
Số các số cần lập là
.

∫ f ( x ) dx = 3 x

2

+ sin x + C

Câu 23: Cho
f ( x ) = 6 x + cos x
A.
.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
f ( x ) = 6 x − cos x

f ( x ) = x3 − cos x
f ( x ) = x3 + cos x
B.
. C.
. D.
.
Lời giải

Chọn B

∫ ( 6 x + cos x ) dx = 3x

Ta có :

f ( x ) = 6 x + cos x

Do đó:

2

+ sin x + C
.

.

ln 2

ln 2

∫ ( 2 f ( x ) + e ) dx = 5

∫

x

0

Câu 24: Cho

A.

3

. Tính
5
2
B. .

.

f ( x ) dx

0

.
C.

2

1

D. .

.

Lời giải
Chọn C
ln 2

∫(

Ta có:

)

2 f ( x ) + e x dx = 2

0

ln 2

∫

f ( x ) dx + e x

0

ln 2

ln 2

∫ ( 2 f ( x ) + e ) dx = 5 ⇔ 2 ∫
x

0

Theo bài ra
Câu 25: Cho hàm số

A.
C.

∫

ln 2

∫

f ( x ) dx + eln 2 − e0 = 2

0

f ( x ) dx + 1 = 5 ⇒

∫ f ( x ) dx = sin x − x + C

ln 2

∫

.

B.

.

D.

∫

f ( x ) dx = −cosx −

∫

∫

f ( x ) dx = sin xdx − xdx + dx = −cosx −

Câu 26: Cho hàm số

2023 x − 22
y=
x +1

x2
+ x+C
2

.

. Khẳng định nào dưới đây là sai?

( −∞; −1)
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
.

16|

.

.

x2
+ x+C
2

∫ f ( x ) dx = −cosx − x

Chọn B

∫

f ( x ) dx + 1

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lời giải

∫

∫

f ( x ) dx = 2

0

2

x
+ x+C
2

ln 2

0

0

f ( x ) = sin x − x + 1

f ( x ) dx = cosx −

ln 2
=2
0

2

.

+ x+C
.

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

B. Hàm số đồng biến trên khoảng
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đồng biến trên khoảng

( 1; 2023)

.

( −∞;1)

.
( −1;2023)

.
Lời giải

Chọn C
2023x − 22
2045
y=
⇒ y′ =
> 0; ∀x ≠ −1
x +1
( x + 1) 2

.

( −∞; −1)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
trên các khoảng
Câu 27: Cho hàm số

( 1;2023)

y = f ( x)

và

và

( −1; +∞ )

nên nó cũng đồng biến

( −1; 2023) .

có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại
C. Hàm số đạt cực tiểu tại

x=5

.
x=0

B. Hàm số đạt cực tiểu tại
.

x =1
x=0

D. Hàm số đạt cực đại tại

.
.

Lời giải
Chọn D

y′

Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có
x=0
cực đại tại
.
Câu 28: Cho các số thực dương

x; y
theo
bằng
2x − 3y
A.
.

x=0

nên hàm số đạt

(

P = log 2 a 2b3
log 2 a = x log 2 b = y
thỏa mãn
,
. Giá trị biểu thức

a; b

B.

đổi dấu từ dương sang âm qua

x + 3y

.

C.

3x + 2 y

.

D.

2x + 3 y

)

.

Lời giải
Chọn B
Theo tính chất Logarit ta có:

(

)

P = log 2 a 2b3 = log 2 a 2 + log 2 b3 = 2log a + 3log b = 2 x + 3 y
2
2

Câu 29: Thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Ox
trục hoành quay quanh trục
là

y = x2 − 4x + 3

.

và

| 17

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
4π

A.

3

.

B.

16
15

.

C.
Lời giải

16π
15

.

D.

4
3

.

Chọn C
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
x = 1
x2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3

y = x2 − 4 x + 3

và trục hoành là nghiệm phương trình

.

y = x2 − 4x + 3

Do đó, thể tích vật thể trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
Ox
và trục hoành quay quanh trục
là
3

V =π

∫( x

2

)

3

2

− 4 x + 3 dx = π

1

∫( x

4

)

− 8 x3 + 22 x 2 − 24 x + 9 dx

1

3

 x5

22 x3
16π
= π  − 2x4 +
− 12 x 2 + 9 x ÷ =
3
 5
 1 15

Câu 30: Cho hình chóp

đáy và

A.

90°

SB = 2a

.

S . ABCD

.
AB = a SA
,
vng góc với mặt phẳng

có đáy là hình chữ nhật cạnh

(tham khảo hình bên). Góc giữa mặt phẳng

B.

60°

.

C.

Lời giải

45°

( SBC )

và mặt phẳng đáy bằng

.

Chọn B
SA ⊥ ( ABCD )
SA ⊥ BC
Vì
nên
.
BC ⊥ ( SAB)
AB ⊥ BC
SB ⊥ BC
Mặt khác, theo giả thiết
. Do đó
nên
.
·
( SBC ) ( ABCD)
⇒
SBA
Góc giữa hai mặt phẳng
và
là góc

.
AB a 1
·
cos SBA
=
=
=
·
= 60°
SB 2a 2 ⇒ SBA
Ta có
.
( SBC )
( ABCD)
60°
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
.
18|

D.

30°

.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c

Câu 31: Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị

nguyên thuộc đoạn
phân biệt?

A.

6

.

[ −2;5]

của tham số

m

để phương trình

f ( x) = m

8
C. .

B. 7.

có đúng hai nghiệm thực

D.

9

Lời giải
Chọn C
f ( x) = m

Để phương trình
có đúng hai nghiệm thực phân biệt thì đồ thị hàm số
y = f ( x)
thị hàm số
tại hai điểm phân biệt.

y=m

cắt đồ

 m > −3
 m = −4


Dựa vào đồ thị hàm số ta có
m ∈ { −2; −1;....;5}
m ∈ ¢ m ∈ [ −2;5]
8
m
Do
;
nên
. Có giá trị cuả thỏa mãn yêu cầu bài toán.

f ( x)

f ′ ( x ) = ( 2 − x ) ( x + 1)

¡

2

Câu 32: Cho hàm số
xác định trên và có đạo hàm
cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (Tailieuchuan.vn)

A.

( −∞;2 )

B.

( 2;+∞ )

C.

( −1;2 )

D.

( x − 1) 5
( 1;+∞ )

. Hàm số đã

.

Lời giải
Chọn B

| 19


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

x = 2
f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 − x ) ( x + 1) ( x − 1) = 0 ⇔  x = −1
 x = 1
2

Bảng xét dấu

5

f ′( x )

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng

2

Câu 33: Chọn ngẫu nhiên

số khác nhau từ

30

( −∞;1)

và

( 2;+ ∞ )

.

số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để chọn được

2

số có tích là một số lẻ?
7
15
29
29
A.
.
B.
.

C.

22
29

.

D.

8
29

.

Lời giải
Chọn A
2
C30
= 435.

Không gian mẫu
30
15
15
1
Từ số đến số
có số lẻ và số chẵn.
Để chọn được

2

2
C15
= 105

2

số có tích là một số lẻ thì cả số đó phải đều là số lẻ nên có
số.
105 7
=
435 29
Vậy xác suất cần tìm là:
.
2log 3 x + 2log x 3 = 5
x1 < x2
Câu 34: Biết phương trình
có hai nghiệm thực
. Tính giá trị của biểu thức
T = 6 x12 − x2 + 1

A.

T = 12

.

.

B.

T = 10

.

C.

T = 16

.

Lời giải
Chọn B

Điều kiện:

Ta có:

x > 0

x ≠ 1

.

2log 3 x + 2log x 3 = 5

⇔ 2log3 x +

2
=5
log3 x

 log 3 x = 2
x=9
⇔

1 ⇔


log
x
=
⇔ 2log 32 x − 5log 3 x + 2 = 0
 3
x = 3
2

(thỏa mãn).

⇒ x1 = 3 x2 = 9 ⇒ T = 6 x12 − x2 + 1 = 6.3 − 9 + 1 = 10
;
.
20|

D.

T =8

.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
Câu 35: Cho số phức

z

( z − 3 + 2i ) ( z − 3 − 2i ) = 16

thỏa mãn

. Biết tập hợp các điểm

I ( a; b )

w = 2 z − 2 + 3i

phức
11
A. .

là đường trịn tâm
và bán kính
10
17
B. .
C. .
Lời giải

c

M

biểu diễn số

a+b+c

. Giá trị của
D.

18

bằng

.

Chọn A
Gọi:

w = x + yi

( x; y ∈ ¡ )

.

w = 2 z − 2 + 3i ⇔ z =
Ta có:

w + 2 − 3i x + 2 + yi − 3i
=
2
2

.
 x + 2 + yi − 3i
 x + 2 − yi + 3i


− 3 + 2i ÷
− 3 − 2i ÷ = 16
( z − 3 + 2i ) z − 3 − 2i = 16 ⇔ 
2
2



(

)

Theo gt:
 x + 2 + yi − 3i − 6 + 4i  x + 2 − yi + 3i − 6 − 4i 
⇔
÷
÷ = 16
2
2




 x − 4 + yi + i  x − 4 − yi − i 
⇔
÷
÷ = 16 ⇔ ( x − 4 ) + ( y + 1) i  ( x − 4 ) − ( y + 1) i  = 64
2
2







⇔ ( x − 4 ) + ( y + 1) = 64
2

2

.

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức
a + b + c = 11
Vậy
.

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ

( P ) : x + 6 y − 4 z + 27 = 0
A.

S = 10

.

Oxyz

w

d:
, cho đường thẳng

M ( a; b; c )

. Gọi
S = 13
B.
.

I ( 4; −1)

là đường tròn tâm

d

là giao điểm của và
S = 11
C.
.
Lời giải

và bán kính

x −1 y + 2 z
=
=
2
−1 3

( P)

. Tính
D.

c =8

.

và mặt phẳng

S = 2a − b + c
S = 12

.

.

Chọn D

d

 x = 1 + 2t

 y = −2 − t , ( t ∈ ¡
 z = 3t


)

có phương trình tham số
.
M ( 1 + 2t; − 2 − t ; 3t ) ∈ d
M ∈ ( P ) ⇔ 1 + 2t + 6 ( −2 − t ) − 4.3t + 27 = 0 ⇔ t = 1
Ta có:
và
.
M ( 3; − 3;3)
a = 3, b = −3, c = 3
Suy ra
nên
.
S = 2a − b + c = 2.3 + 3 + 3 = 12
Vậy
.
| 21


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
Câu 37: Trong khơng gian

H ( a; b; c )

A.

4

Oxyz

, cho điểm

M

là hình chiếu của

.

B.

2

M ( 1;2;1)

và mặt phẳng

( P)

trên mặt phẳng

. Khi đó
1
C. .

.

( P) : x − y + z + 6 = 0

a+b+c

. Giả sử

bằng
−1
D. .

Lời giải
Chọn B
Gọi d là đường thẳng qua

Phương trình tham số của
Khi đó,

M

và vng góc với
x = 1 + t

d :  y = 2 − t (t ∈ ¡ )
z = 1 + t


( P)

.

H = d ∩ ( P ) ⇒ 1 + t − 2 + t + 1 + t + 6 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ H ( −1;4; −1)

Câu 38: Cho hình chóp

SABCD

a

A.

.

B.

a

.

C.

. Tam giác

SAB

là tam giác đều và nằm
SC
AB
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
và
bằng

a 3
7

có đáy là hình vng, cạnh

.

a 21
7

.

Lời giải
Chon C

Gọi

I

là trung điểm

AB

.

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB
⇒ SI ⊥ ( ABCD )

 SI ⊥ AB
 SI ⊂ ( SAB )


Ta có
CD
SIM
M
IH
Gọi
là trung điểm
. Dựng
là đường cao tam giác
.

22|

D.

a 2
2

.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
CD ⊥ SI
⇒ CD ⊥ ( SIM ) ⇒ CD ⊥ IH

CD ⊥ IM
Ta có
 IH ⊥ SM
⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I ; ( SCD ) ) = IH


 IH ⊥ CD
Do đó

=
Suy ra

d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( I ; ( SCD ) ) = IH

( 0;2023)

x

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên trong khoảng
thỏa mãn
2000
2022
2002
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chon D

Ta có:

=

.

log 3 ( 2 x + 5 ) < log 2 x + 1

D.

2020

.

x>0

t

t

2
1
+ 5.  ÷ < 3 (*)
log 3 2.2t + 5 < t + 1 ⇔ 2.2t + 5 < 3t +1 ⇔ 2. 3 ÷

3

(

)

t

t

 2
1
f ( t ) = 2. ÷ + 5. ÷
 3
 3
t

t

2 2
1 1
f ′ ( t ) = 2. ÷ ln  ÷ + 5. ÷ ln  ÷ < 0
3 3
 3 3

Ta có

Bất phương trình
Mà

SI + IM

2

t = log 2 x ⇒ x = 2t

Ta được

Xét

2

a 3
.a
a 21
2
=
7
3a 2
+ a2
4

log 3 ( 2 x + 5 ) < log 2 x + 1

Điều kiện xác định:
Đặt

SI .IM

f ( t)
f ( 1) = 3
¡
do đó
nghịch biến trên
và
(*) ⇔ f ( t ) < f ( 1) ⇔ t > 1 ⇔ log 2 x > 1 ⇔ x > 2

x

là số nguyên trong khoảng
2020
x
Vậy có
giá trị thỏa mãn.
Câu 40: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

( 0;2023) ⇒ x = 3;4;5;...;2022

¡

. Gọi

F ( x) ,G ( x)

.

là hai nguyên hàm của

f ( x)

trên

¡

thỏa

3

F ( 7 ) + 2G ( 7 ) = 8

mãn
6
A. .

và
B.

F ( 1) + 2G ( 1) = 2

4

.

. Khi đó
1
C. .
Lời giải

∫ f ( 2 x + 1) dx
0

bằng
3
D. .
| 23

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
Chọn C

Vì

F ( x) ,G ( x)

là hai nguyên hàm của

f ( x)

trên

¡

nên tồn tại hằng số

C

thỏa mãn điều kiện

G ( x ) = F ( x ) + C , ∀x ∈ ¡

.
G ( 7 ) − G ( 1) = F ( 7 ) − F ( 1)

Suy ra
Theo giả thiết ta có:

.

F ( 7 ) − F ( 1) + 2 G ( 7 ) − G ( 1)  = 6 ⇔ 3  F ( 7 ) − F ( 1)  = 6 ⇔ F ( 7 ) − F ( 1) = 2

.

3

∫ f ( 2 x + 1) dx
Xét

Đặt

0

1
2 x + 1 = t ⇒ d x = dt
2

x = 0 ⇒ t =1
Đổi cận:
x =3⇒t =7
3

∫
Khi đó

0

Câu 41: Cho hàm số

trên

¡

7

1
1
f ( 2 x + 1) dx =
f ( t ) dt =  F ( 7 ) − F ( 1)  = 1
21
2

∫

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

¡

.

(

y = f x2 + 2 x
. Biết rằng hàm số

của đạo hàm như hình vẽ dưới đây:

(

3

y = f x4 − 4 x + 6x2 − 4 x
Số điểm cực trị của hàm số
9
11
A. .
B. .

)

bằng

7
C. .
Lời giải

D.

Chọn C

( (

f x2 + 2x

Ta có:

24|

))

′

 x = −1
= 0 ⇔ ( 2x + 2) . f ′ x2 + 2x = 0 ⇔ 
2
 f ′ x + 2 x = 0

(

)

(

)

5

.

)

có đồ thị


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

(

)

f ′ x2 + 2x = 0
Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình

có hai nghiệm bội lẻ là

2

và

5


 f ′ ( 8) = 0
⇒

 f ′ ( 35 ) = 0
Do đó phương trình

f ′( x ) = 0

(

có hai nghiệm bội lẻ là

y = g ( x ) = f x 4 − 4 x3 + 6x 2 − 4x
Xét hàm số

( f(x

4

− 4 x3 + 6 x 2 − 4 x

) ) ′ = 0 ⇔ ( 4x

3

)

8

35

và

liên tục trên

¡

.

( 1)

có

) (

)

− 12 x 2 + 12 x − 4 . f ′ x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x = 0

 4 ( x − 1) 3 = 0
x = 1

 4 x − 12 x + 12 x − 4 = 0

 x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x = 8 ⇔  x = 1 ± 3
⇔
⇔
 4
 f ′ x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x = 0
x = 1± 6
3
2

 x − 4 x + 6 x − 4 x = 35


3

2

(

Cả

5

)

3

nghiệm này đều làm bội lẻ trong đó có đúng

(

y = g ( x ) = f x − 4 x + 6x − 4x
Hay hàm số
nghiệm dương.

4

3

(

2

)

có

y = g ( x ) = f x4 − 4 x + 6 x2 − 4 x
Suy ra hàm số

Câu 42: Xét các số phức

z

và

w

3

nghiệm dương
5

có

điểm cực trị trong đó có đúng

2.3 + 1 = 7

3

điểm cực trị.

z+w = 2

z = w =1

thỏa mãn

)

.

,

. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu

P = zw + 2i ( z + w) − 4

thức

A.

bằng

3 2
2

.

B.

1+ 5 2
4

.

C.
Lời giải

5−2 2

.

5

D.

.

Chọn A
Ta có

z + w = 2 ⇒ 2 = z + w 2 = ( z + w ) ( z + w ) = z 2 + w 2 + zw + zw

⇒ zw + zw = 0 ⇒ zw

z+w = 2
Mặt khác,

⇒ k2 +1 = 2

là số thuần ảo. Hay

⇒

zw = ki k ∈ ¡
,

z=

. Do đó,

ki
w

.

ki
+ w = 2 ⇒ ki + ww = 2 w
⇒ ki + 1 = 2
w

⇒ k = ±1

w = w =1
(do

)

.
| 25