đề 25 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 25
Bài thi môn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….
Câu 1:

x
Tính đạo hàm của hàm số y = 5

Câu 3:

5x
ln 5

B. y′ = x.5
Phương trình log 2 ( x − 5) = 5 có nghiệm là
A. x = 3 .
B. x = 15 .
A.

Câu 2:

y′ =

x −1

x
C. y′ = 5 ln 5

x
D. y′ = 5

C. x = 37 .

D. x = 30 .

Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài các cạnh 3a, 4a, 5a bằng
3

3
B. 60a .

A. 12a .

3
C. 80a .

3
D. 20a .

π

Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:

3
2
Tập xác định của hàm số y = ( x + 27) là
A. D = (−3; +∞) .
B. D = ¡ \ {−3} .

C. D = ¡ .
Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 2, u4 = −54 . Tìm cơng bội q .
A. −9 .
B. 3.
C. −3 .

D. D = [ −3; +∞) .
D. −27 .

Cho hàm đa thức bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Câu 7:

Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên đoạn

[ a; b] . Gọi

D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

y = f ( x)
số
, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b . Thể tích khối trịn xoay được tạo
thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo cơng thức
b

A.
Câu 8:

V = π 2 ∫ f ( x ) dx
a

Môđun của số phức
A.

7.

b

.

V = 2π ∫ f 2 ( x ) dx

B.
z = ( −4 + 3i ) .i
B. 5 .

a

b

. C.

V = π 2 ∫ f 2 ( x ) dx
a

b

. D.

V = π ∫ f 2 ( x ) dx
a

.

bằng
C. 3 .

D. 4 .
Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý,
−3
A. a .

1
a 3 bằng?
1

3
2
B. a .

6
C. a .

−

3

2
D. a .

Câu 10: Cho số phức z = −2 + i . Trong hình dưới, điểm biểu diễn số phức z là

B. Q .

D. N .
SA ⊥ ( ABCD )
Câu 11: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng với AB = a ,
và SA = 2a

. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. M .

C. P .

a3
2a 3
3
3
A. 2a
B. 3 .
C. 3 .
D. 6a .
Câu 12: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A. 12π .
B. 24π .
C. 36π .
D. 42π .
Câu 13: Cho số phức z = 1 − 2i . Phần ảo của số phức z là?
A. 2 .
B. −2 .
C. 2i .
D. −2i .
Câu 14: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 ?
1
A. 4 .
B. 4! .
C. C4 .
D. 4!− 3! .

Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình

log 2 ( x − 1) < 3

là

( −∞;9 ) .
( −∞;10 ) .
( 1;10 ) .
( 1;9 ) .
A.
B.
C.
D.
Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

3
2
A. y = x − 3x − 1 .

4
2
4
2
B. y = − x + 2 x − 1 . C. x − 2 x − 1 .
x
Câu 17: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y = e + 2 x .

3
2

D. y = − x + 3 x − 1 .

Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1 x +1
e + x2 + C
x
2
A. e + x + C .
B. e + 2 + C .
C. x + 1
. D. e + 2 x + C .
3x − 4
y=
x −1 .
Câu 18: Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. y = 1 .
B. x = 1 .
C. y = 3 .
D. x = 3 .
x

2

x

3
Câu 19: Giá trị cực tiểu của hàm số y = − x + 3x + 4 là

A. yCT = 2 .
B. yCT = 1 .
C. yCT = 3 .

y = f ( x)

Câu 20: Cho hàm số

Phương trình
A. 1 .

f ( x) = 0

D. x = 3 .

có bảng biến thiên như sau:

có bao nhiêu nghiệm?
B. 4 .
C. 3 .

D. 2 .

1 
 ; e
Câu 21: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên đoạn  2  . Giá
trị của M − m là
e − ln 2 −

1

2.

1
2.

D. e − 2 .
Câu 22: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M (3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là
A. (3;0;0) .
B. (3; −1;0) .
C. (0; 0;1) .
D. (0; −1; 0) .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (α ) : 5 x − 7 y − z + 2 = 0 nhận vectơ nào sau đây làm vectơ
pháp tuyến?
uu
r
uu
r
uu
r
r
n
=
(5;
−
7;1)
n
=
(
−
5;

−
7;1)
n
= ( −5;7;1) .
n
=
(5;7;1)
A. 3
.
B. 1
.
C. 4
.
D. 2
A.

B. e − 1 .

ln 2 −

C.

f ( x ) dx = e x + sin x + C
f ( x)
Câu 24: Nếu ∫
thì
bằng.
x
x
x

A. e − cos x .
B. e + sin x .
C. e − sin x .
π
2

∫  f ( x ) + 2 cos x  dx = 3

Câu 25: Biết
A. 3 .

0

x
D. e + cos x .

π
2

. Khi đó

∫ f ( x ) dx
0

bằng

B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 26: Một hộp chứa 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng (các quả cầu đôi một khác nhau). Chọn ngẫu

nhiên 3 quả cầu từ hộp, tính xác suất để 3 quả được chọn có ít nhất 2 quả xanh.
7
4
7
21
A. 11 .
B. 11 .
C. 44 .
D. 220 .

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
2
2
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 8 x + 2 y + 1 = 0 . Tâm của mặt cầu ( S )
có tọa độ là
A. (8; −2; 0) .
B. (4; −1; 0) .
C. ( −8; 2; 0) .
D. (−4;1;0) .
2
Câu 28: Phương trình z + az + b = 0;( a, b ∈ ¡ ) có nghiệm phức là 3 + 4i . Giá trị của a + b bằng:

A. 31 .

B. 5 .

D. 29 .
Câu 29: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Diện tích
tồn phần của hình trụ bằng:
A. 2π .
B. 3π .

C. 19 .

D. 8π .

C. 4π .

2

Câu 30: Hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của

A. 2 .

bằng

C. 3 .

D. 4 .
 x = −1 + t


d :  y = 2 − 3t
z = t

Câu 31: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình
và điểm

A ( 2;3;1) .

B. 1 .

∫ f ( x ) dx

−2

( P)

đi qua điểm A , vng góc với đường thẳng d có phương trình là
B. x − 3 y + z + 6 = 0 . C. x − 3 y + z − 6 = 0 . D. − x + 3 y − z + 5 = 0 .
( P ) : x + 3 y − 2 z + 2 = 0 và đường thẳng
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
Mặt phẳng
2
x
+
3
y
+ z+6=0.
A.

d:

x −1 y +1 z − 4
=
=
2
−1
1 . Đường thẳng qua A ( 1; 2; −1) và cắt

B, C ( a; b; c )
A. −15 .

( P)

và d lần lượt là tại

sao cho C là trung điểm AB . Giá trị biểu thức a + b + c bằng:
B. −12 .
C. −5 .
D. 11 .

Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A ( 1;0;0 ) B ( 0; 2;0 ) C ( 0;0; 4 )
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
,
,
.Viết

phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm H của tam giác ∆ABC và vng góc với mặt
phẳng

( ABC ) .

x −1 y z
= =
−4
2 1.
A.
x y z
∆: = =
4 2 1.
C.

x −1 y −1 z
=
=
4
2
−1 .
B.
x y −1 z +1
∆: =
=
4
−2
1 .
D.
x

x
x
Câu 34: Tính tổng T tất cả các nghiệm thực của phương trình 4.9 − 13.6 + 9.4 = 0
13
1
T=
T=
4 .
4.
A.
B. T = 3 .
C.
D. T = 2 .
1
y = x3 − mx 2 − (2m − 3) x − m + 2
3
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
luôn
đồng biến trên ¡ ?
∆:

A. 5 .

∆:

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh SA vng góc với mặt đáy
và
SA = 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh SC , tính cơsin góc ϕ giữa đường thẳng BM và mặt
phẳng

( ABC )

5
7
5
cos ϕ =
cos ϕ =
10 .
14 .
7 .
A.
B.
C.
D.
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có mặt đáy ABC là tam giác vng tại B có
cos ϕ =

21
7 .

cos ϕ =

AB = a, AC = a 3, A′B = 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh AC . Tính khoảng cách từ M

đến

( A′BC )

a 3
A. 4 .

a 3
3a
3a
B. 2 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 38: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là
V'
trung điểm các cạnh của khối đa diện ABCD . Tính tỉ số V bằng:
1
1
3
A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .

f ( x)

Câu 39: Cho hàm số
2
A. I = 1 − 2e .

liên tục trên ¡ và có

−2
B. I = 1 − 2e .

f ( −2 ) = 2; f ( 0 ) = 1.

I=
Tính

1
D. 8 .
0
f ′( x) − f ( x)

∫

−2

ex

dx.

−2
D. I = 1 + 2e .
Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Cạnh bên SA vng góc với

C. I = 1 + 2e .
2

đáy, SC = a 3 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC . Thể tích của khối
chóp A.MNPQ bằng

a3
A. 3 .

a3
B. 4 .

a3
C. 8 .

a3
D. 12 .
Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
5 z = ( 4 + 3i ) z − 25
Câu 41: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
là đường thẳng có
phương trình
A. 8 x − 6 y − 25 = 0 .
B. 8 x − 6 y + 25 = 0 . C. 8 x + 6 y + 25 = 0 . D. 8 x − 6 y = 0 .

Câu 42: Cho hàm số

f ( x)

F ( x) ,G ( x)
f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của

trên R thỏa
e2

∫

f ( ln x )

dx
2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1 F ( 2 ) − 2G ( 2 ) = 4
F ( 1) − G ( 1) = −1
2
x
1
mãn
,
và
. Tính
.
A. −2 .
B. −4 .
C. −6 .
D. −8 .
y = f ( x)
Câu 43: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên ¡
và thỏa mãn
f ( x) + xf ′( x) = 5 x 4 + 6 x + 3, ∀x ∈ ¡ . Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x ) và y = f ′ ( x ) thuộc khoảng

( 28; 29 ) .

( 29;30 ) .
C.
D.
z 2 − 2 ( m − 1) z + m 2 = 0 m
Câu 44: Trên tập hợp số phức, xét phương trình
( là tham số thực). Có bao
A.

( 27; 28 ) .

B.

( 26; 27 ) .

z + z2 = 2
nhiêu giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1
.
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 45: Cho hàm số đa thức bậc ba như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số

y = f ( f ( x) + m)

A. 4 .
C. 3 .
Câu 46: Biết
log 3

(

m để hàm số

có đúng 6 điểm cực trị?
B. 5 .
D. 2 .

tập

nghiệm

của

)

bất

x 2 − x + 4 + 1 + 2 log 5 ( x 2 − x + 5 ) < 3

a + 2b bằng
A. 3 .

là

B. 1 .

phương

( a; b ) .

trình

Khi đó tổng

C. 4 .

D. 2 .

z + z + 2 | z − z∣= 8
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn
, Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhầt, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P =| z − 3 − 3i | . Giá trị cùa M + m bằng
A.

5 + 58 .

C. 10 + 58 .

B. 2 10 .

D. 10 + 34 .

A ( 1;1;0 ) B ( 1;1;10 )

C ( 4;5;6 )
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
và
. Xét các điểm M
·
thay đổi sao cho tam giác ABM có AMB ≥ 90° và có diện tích bằng 15 . Giá trị lớn nhất của
độ dài đoạn thẳng MC thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

( 7;8 ) .

B.

( 8;9 ) .

C.

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

( 9;10 ) .

[ −2023; 2023]

y = x 3 − 3 ( m + 2 ) x 2 + 3m ( m + 4 ) x

đồng biến trên khoảng
B. 4045 .
C. 4046 .

A. 4044 .
Câu 50: Có

bao

nhiêu

bộ

( x; y )

với

x, y

nguyên

D.

( 10;11) .

của tham số thực m để hàm số

( 0; 2 ) ?
D. 4047 .
và

1 ≤ x, y ≤ 2023

thỏa

mãn

 2y 
 2x +1 
÷ ≤ ( 2 x + 3 y − xy − 6 ) log 2 
÷
 x −3 ?
 y+2

( xy + 2 x + 4 y + 8) log 3 
A. 4040 .

B. 2023 .

C. 4046 .
---------- HẾT ----------

D. 2020 .

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.C
11.C
21.D
31.B
41.B

Câu 1:

3.B
13.A
23.D
33.C
43.C

4.A
14.B
24.D
34.D
44.D

y′ =

5x
ln 5

x −1
B. y′ = x.5

x
Ta có: y′ = 5 ln 5 .
Phương trình log 2 ( x − 5) = 5 có nghiệm là
A. x = 3 .
B. x = 15 .

log 2 ( x − 5) = 5 ⇔ x − 5 = 25 ⇔ x = 37

Câu 3:

8.B
18.C
28.C
38.A
48.C

9.D
19.A
29.C
39.A
49.B

10.D
20.B
30.A
40.C
50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
x
Tính đạo hàm của hàm số y = 5
A.

Câu 2:

2.C
12.B
22.C

32.C
42.B

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.C
7.D
15.D
16.D
17.A
25.C
26.A
27.B
35.A
36.A
37.A
45.A
46.D
47.A

x
C. y′ = 5 ln 5
Lời giải

x
D. y′ = 5

C. x = 37 .
Lời giải

D. x = 30 .

.

Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài các cạnh 3a, 4a, 5a bằng
3

A. 12a .

3
B. 60a .

3

C. 80a .
Lời giải

3
D. 20a .

3
Thể tích khối hộp chữ nhật là V = 3a.4a.5a = 60a .

π

Câu 4:

3
2
Tập xác định của hàm số y = ( x + 27) là

A. D = (−3; +∞) .
B. D = ¡ \ {−3} .

C. D = ¡ .
Lời giải

D. D = [ −3; +∞) .

3
Hàm số xác định ⇔ x + 27 > 0 ⇔ x > −3 .
Vậy D = ( −3; +∞) .

Câu 5:

Câu 6:

Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 2, u4 = −54 . Tìm cơng bội q .
A. −9 .
B. 3.
C. −3 .
Lời giải
3
3
Ta có: u4 = −54 ⇔ u1.q = −54 ⇔ q = −27 ⇔ q = −3 .

D. −27 .

Cho hàm đa thức bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) .

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Lời giải

Câu 7:

( 1; +∞ ) .
Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
y = f ( x)
[ a; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
y = f ( x)
số
, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b . Thể tích khối trịn xoay được tạo
thành khi quay D quanh trục hồnh được tính theo công thức
b

A.
Câu 8:

V = π 2 ∫ f ( x ) dx
a

Mơđun của số phức

A.

7.

Ta có:
Câu 9:

b

.

B.

V = 2π ∫ f 2 ( x ) dx
a

z = ( −4 + 3i ) .i

3
2
B. a .

a

. D.

C. 3 .
Lời giải

z = ( −4 + 3i ) .i = −4i + 3i 2 = −3 − 4i ⇒ z =

−3
A. a .

Ta có:

. C.
Lời giải

b

V = π ∫ f 2 ( x ) dx
a

.

bằng

B. 5 .

Với a là số thực dương tùy ý,

b

V = π 2 ∫ f 2 ( x ) dx

( −3)

D. 4 .
2

+ ( −4 ) = 5
2

.

1
a 3 bằng?
1
6
C. a .
Lời giải

−

3

2
D. a .

3
−
1
−3
2
=
a
=
a
3

a
.

Câu 10: Cho số phức z = −2 + i . Trong hình dưới, điểm biểu diễn số phức z là

A. M .

B. Q .

C. P .
Lời giải
N ( −2; −1)
Ta có: z = −2 − i nên có điểm biểu diễn là điểm
.

D. N .

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 11: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng với AB = a ,
và SA = 2a
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
a3
2a 3
3
3
A. 2a
B. 3 .
C. 3 .
D. 6a .
Lời giải

Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

1
1
2a 3
V = S ABCD .SA = a 2 .2a =
3
3
3 .
Ta có
Câu 12: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A. 12π .
B. 24π .
C. 36π .
D. 42π .
Lời giải
S = 2π rh = 24π
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là xq
.
Câu 13: Cho số phức z = 1 − 2i . Phần ảo của số phức z là?
A. 2 .
B. −2 .
C. 2i .
D. −2i .
Lời giải
Ta có: z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i

Phần ảo của số phức z là 2 .
Câu 14: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 ?
1
A. 4 .
B. 4! .
C. C4 .
D. 4!− 3! .
Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số có dạng
a có 4 cách chọn
b có 3 cách chọn
c có 2 cách chọn

Lời giải
abcd ( a ≠ 0 )

d có 1 cách chọn
Theo quy tắc nhân, có 4.3.2.1 = 4! số.
Câu 15: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

( −∞;9 ) .

B.

log 2 ( x − 1) < 3

( −∞;10 ) .

là

( 1;10 ) .

C.
Lời giải

D.

( 1;9 ) .

Điều kiện: x > 1 .
Khi đó

log 2 ( x − 1) < 3 ⇔ x < 9

.
Kết hợp với điều kiện ta có 1 < x < 9 .

log 2 ( x − 1) < 3 ( 1;9 )
Tập nghiệm của bất phương trình
là
.
Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3
2

A. y = x − 3x − 1 .

4
2
3
2
4
2
B. y = − x + 2 x − 1 . C. x − 2 x − 1 .
D. y = − x + 3 x − 1 .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho là hàm bậc ba có hệ số a < 0 .
x
Câu 17: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y = e + 2 x .

A. e + x + C .
x

Ta có:

2

∫( e

x

B. e + 2 + C .
x

+ 2 x ) dx = e x + x 2 + C

1 x +1
e + x2 + C
x
2
C. x + 1
. D. e + 2 x + C .
Lời giải

.

Câu 18: Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. y = 1 .
B. x = 1 .

y=

3x − 4
x −1 .

C. y = 3 .
Lời giải
3x − 4
3x − 4
lim y = lim
=3
lim y = lim
=3
x →+∞
x →+∞ x − 1

x →−∞
x →−∞ x − 1
Ta có:
và
Suy ra, hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3 .

3
Câu 19: Giá trị cực tiểu của hàm số y = − x + 3x + 4 là
A. yCT = 2 .
B. yCT = 1 .
C. yCT = 3 .
Lời giải
TXĐ ¡ .
y ' = −3 x 2 + 3 .

D. x = 3 .

D. x = 3 .

x = 1
y ' = 0 ⇔ −3 x 2 + 3 = 0 ⇔ 
 x = −1 .
Bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số là yCT = 2 .
y = f ( x)
Câu 20: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
Page 11

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Phương trình
A. 1 .

f ( x) = 0

có bao nhiêu nghiệm?
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
f ( x) = 0
y = f ( x)
Số nghiệm của phương trình
là số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường
thẳng y = 0 .

Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy phương trình

f ( x) = 0

có 4 nghiệm.

1 
 ; e
Câu 21: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên đoạn  2  . Giá
trị của M − m là

A.

e − ln 2 −

Ta có:

1
2.

B. e − 1 .

y = x − ln x ⇒ y′ = 1 −

ln 2 −

C.
Lời giải

1
2.

D. e − 2 .

1
x

1 
y′ = 0 ⇔ x = 1 ∈  ; e
2  .

1 1
min y = y ( 1) = 1, max y = y ( e ) = e − 1
y  ÷ = + ln 2
1 
1 
y
1
=
1
y
e
=
e
−
1
 ;e 
(
)
(
)
 2 ;e 
 2 2
,
,
. Vậy  2 
.
Vậy M − m = e − 2 .

Câu 22: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M (3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (3;0;0) .
B. (3; −1;0) .
C. (0; 0;1) .
D. (0; −1; 0) .
Lời giải
Hình chiếu vng góc của điểm M (3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là (0; 0;1) .
Câu 23: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (α ) : 5 x − 7 y − z + 2 = 0 nhận vectơ nào sau đây làm vectơ
pháp tuyến?
uu
r
uu
r
uu
r
r
n3 = (5; −7;1)
n
=
(
−
5;
−
7;1)
n
= ( −5;7;1)
n
=
(5;7;1)
4
A.

.
B. 1
.
C.
.
D. 2
.
Lời giải
uu
r
n = ( −5;7;1) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (α ) : 5 x − 7 y − z + 2 = 0 nhận 2
Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 24:

f ( x ) dx = e
Nếu ∫

f ( x)
thì
bằng.
x
x
x
A. e − cos x .
B. e + sin x .
C. e − sin x .

Lời giải
f ( x ) = ( e x + sin x + C ) ′ = e x + cos x
Ta có:
.
x

+ sin x + C

π
2

∫  f ( x ) + 2 cos x  dx = 3

Câu 25: Biết 0
A. 3 .

π
2

. Khi đó

⇔

π
2

0

0

π
2
0

bằng

C. 1 .
Lời giải

∫  f ( x ) + 2 cos x  dx = 3

∫ f ( x ) dx + 2sin x
0

∫ f ( x ) dx

B. 2 .
π
2

Ta có

x
D. e + cos x .

π
2

π
2

0

0

D. 4 .

⇔ ∫ f ( x ) dx + 2 ∫ cos x dx = 3

π
2

π
2

0

0

= 3 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 2 = 3 ⇔

∫ f ( x ) dx = 1.

Câu 26: Một hộp chứa 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng (các quả cầu đôi một khác nhau). Chọn ngẫu
nhiên 3 quả cầu từ hộp, tính xác suất để 3 quả được chọn có ít nhất 2 quả xanh.
7
4
7
21
A. 11 .

B. 11 .
C. 44 .
D. 220 .
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 12 quả cầu. Số phần tử của không gian mẫu
Gọi biến cố A : “3 quả được chọn có ít nhất 2 quả xanh”.
TH1: 2 quả xanh, 1 quả vàng.
TH2: 3 quả xanh.
n ( A ) = C72 .C51 + C73
Khi đó
.
7
P ( A) =
11 .
Xác suất cần tìm

n ( Ω ) = C123

.

2
2
2
Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 8 x + 2 y + 1 = 0 . Tâm của mặt cầu ( S )
có tọa độ là
A. (8; −2; 0) .
B. (4; −1; 0) .
C. ( −8; 2; 0) .
D. (−4;1;0) .
Lời giải

Tâm của mặt cầu ( S ) có tọa độ là (4; −1; 0) .
2
Câu 28: Phương trình z + az + b = 0;( a, b ∈ ¡ ) có nghiệm phức là 3 + 4i . Giá trị của a + b bằng:
A. 31 .
B. 5 .
C. 19 .
D. 29 .

Lời giải
Ta có 3 + 4i là nghiệm của phương trình z + az + b = 0;( a, b ∈ ¡ )
⇔ (3 + 4i) 2 + a(3 + 4i ) + b = 0 ⇔ −7 + 24i + 3a + 4ai + b = 0
2

3a + b − 7 = 0
a = −6
⇔
⇔
⇔ 3a + b − 7 + (4a + 24)i = 0
4a + 24 = 0
b = 25 ⇒ a + b = 19 .

Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 29: Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Diện tích
tồn phần của hình trụ bằng:
A. 2π .
B. 3π .

D. 8π .

C. 4π .
Lời giải

Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN ta được hình trụ có đường cao là h = AB = 1 , bán
kính đường trịn đáy là

R = BN =

1
AD = 1
2
.

Diện tích tồn phần của hình trụ là:

Stp = 2π Rh + 2π R 2 = 4π

.

2

Câu 30: Hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của

A. 2 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1 .

∫ f ( x ) dx

−2

bằng

D. 4 .

 x + 1 khi x < 0
f ( x) = 
khi x ≥ 0 .
1
Từ hình vẽ ta có
2

Nên

∫

−2

f ( x ) dx =

0

2

−2

0

∫ ( x + 1) dx + ∫ 1.dx = 2

.

Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình

A ( 2;3;1) .

và điểm

( P)

Mặt phẳng
A. 2 x + 3 y + z + 6 = 0 .

d có VTCP
Mặt phẳng

 x = −1 + t

d :  y = 2 − 3t
z = t


r
u = ( 1; − 3;1)

( P)

đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
B. x − 3 y + z + 6 = 0 . C. x − 3 y + z − 6 = 0 . D. − x + 3 y − z + 5 = 0 .
Lời giải
.

r
⇒ ( P)
u = ( 1; − 3;1)
d
vng góc với đường thẳng
nhận
là mơt vectơ pháp

tuyến. Phương trình mặt phẳng

( P)

là

1( x − 2 ) − 3 ( y − 3) + 1( z − 1) = 0 ⇔ x − 3 y + z + 6 = 0

.

( P ) : x + 3 y − 2 z + 2 = 0 và đường thẳng
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
d:

x −1 y +1 z − 4
=
=
2
−1
1 . Đường thẳng qua A ( 1; 2; −1) và cắt

( P)

và d lần lượt là tại

B, C ( a; b; c )

sao cho C là trung điểm AB . Giá trị biểu thức a + b + c bằng:
A. −15 .
B. −12 .
C. −5 .
D. 11 .
Lời giải
C ∈ d ⇒ C ( 2t + 1; −t − 1; t + 4 )
Ta có

⇒ B ( 4t + 1; −2t − 4; 2t + 9 )
Do C là trung điểm AB
−9
7 −1 

B ∈ ( P ) : 4t + 1 + 3 ( −2t − 4 ) − 2 ( 2t + 9 ) + 2 = 0 ⇔ t =
⇒ C  −8; ; ÷
2
2 2 .

Ta có

A ( 1;0;0 ) B ( 0; 2;0 ) C ( 0;0; 4 )
Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
,
,
.Viết
phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm H của tam giác ∆ABC và vng góc với mặt
phẳng

( ABC ) .

x −1 y z
= =
−4
2 1.
A.
x y z
∆: = =
4 2 1.

C.

x −1 y −1 z
=
=
4
2
−1 .
B.
x y −1 z +1
∆: =
=
4
−2
1 .
D.
Lời giải
x y z
+ + = 1 ⇔ 4x + 2 y + z − 4 = 0
ABC )
(
Mặt phẳng
có phương trình theo đoạn chắn là: 1 2 4
.
r
( ABC ) có n = ( 4; 2;1) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng
∆:

∆:

OH ⊥ ( ABC )
Vì H là trực tâm của ∆ABC nên
.
Vậy đường thẳng ∆ đi qua

O ( 0; 0;0 )

và nhận

r
n = ( 4; 2;1)

làm vectơ chỉ phương nên có

x y z
∆: = =
4 2 1.
phương trình chính tắc là:
x
x
x
Câu 34: Tính tổng T tất cả các nghiệm thực của phương trình 4.9 − 13.6 + 9.4 = 0

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

T=

13
4 .

T=

B. T = 3 .

C.
Lời giải
x

1
4.

D. T = 2 .

x

9
6
4.9 − 13.6 + 9.4 = 0 ⇔ 4.  ÷ − 13.  ÷ + 9 = 0
4
4
PT:
.
2x
x

x
 3
3
 3
⇔ 4.  ÷ − 13.  ÷ + 9 = 0
t =  ÷ ( t > 0)
 2
2
 2
. Đặt
.
x

x

x

t = 1
4t − 13t + 9 = 0 ⇔  9
t =
 4 ( thỏa mãn).
Phương trình trở thành:
x
3
t =1 ⇔  ÷ =1 ⇔ x = 0
2
+)
.
2

x

9
9
3
t= ⇔ ÷ = ⇔ x=2
4
4
2
+)
.
Vậy T = 0 + 2 = 2 .

Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên ¡ ?
A. 5 .

B. 1 .

y=

1 3
x − mx 2 − (2m − 3) x − m + 2
3
luôn

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

2
Ta có y ' = x − 2mx − 2m + 3
2
Để hàm số đồng biến trên ¡ ⇔ y ' ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ x − 2mx − 2m + 3 ≥ 0; ∀x ∈ ¡
1 > 0
a > 0
⇔
⇔ 2
∆ ' ≤ 0 m + 2m − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 .
Vì m ngun nên m có 5 giá trị là −3; −2; −1;0;1 .

( a = 1 ≠ 0)

Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh SA vng góc với mặt đáy
và
SA = 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh SC , tính cơsin góc ϕ giữa đường thẳng BM và mặt
phẳng
A.

( ABC )

cos ϕ =

21
7 .

B.

cos ϕ =

5
10 .

cos ϕ =

C.
Lời giải

7
14 .

D.

cos ϕ =

5
7 .

Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Gọi N là trung điểm cạnh AC , dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác SAC , suy ra

MN ⊥ ( ABC )

·
( ABC ) bằng góc MBN

. Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng
và bằng góc
ϕ . Xét tam giác BMN vng tại N :
cos ϕ =

BN
=
BM

BN
BN + MN
2

2

=

BN
2

 SA 
BN 2 + 
÷
 2 

=

a

3

2
2


3
2
a
÷ +a
 2 

=

21
.
7

.

Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có mặt đáy ABC là tam giác vng tại B có
AB = a, AC = a 3, A′B = 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh AC . Tính khoảng cách từ M

đến

( A′BC )

a 3
A. 4 .

a 3
B. 2 .

3a
C. 2 .
Lời giải

3a
D. 4 .

Gọi I là hình chiếu của A lên SB .
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( ABA′ ) ⇒ BC ⊥ AI

′
BC
⊥
AA

Khi đó
AI ⊥ SB 
 ⇒ AI ⊥ ( A′AB ) ⇒ d ( A, ( A′AB ) ) = AI
AI
⊥
BC

Ta có
AA′2 = A′B 2 − AB 2 = 4a 2 − a 2 = 3a 2 ⇒ AA′ = a 3
ABA′ :

Xét tam giác vuông

1
1
1
a 3.a
a 3
=
+
⇒ AI =
=
2
2
2
2
2
AI
AA′
AB
2 .
3a + a
Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
AM ∩ ( A′BC ) = { C} ⇒

Ta có

d ( M , ( A′BC ) )
d ( A, ( A′BC ) )

=

CM 1
=
CA 2

1
1
a 3
⇒ d ( M , ( A′BC ) ) = .d ( A, ( A′BC ) ) = . AI =
2
2
4 .
Câu 38: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi V ' là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là
V'
trung điểm các cạnh của khối đa diện ABCD . Tính tỉ số V bằng:
1
1
3
A. 2 .
B. 4 .
C. 4 .
Lời giải

1
D. 8 .

Gọi M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , AD, BD, BC và
CD .
VAM1M 2 M 2

AM 1 AM 2 AM 3 1
V
.
.
= ⇒ VAM1M 2 M 2 =
AB AC AD 8
8.
Ta có VABCD
V
VAM1M 2 M 2 = VBM1M 4 M 5 = VCM 2 M 5 M 6 = VDM 3 M 4 M 6 =
8.
Tương tự có
V V
V ' = V − 4VAM1M 2 M 2 = V − 4 =
8 2.
Ta có
=

0

f ′( x) − f ( x)
dx.
ex

∫
f ( x)
f ( −2 ) = 2; f ( 0 ) = 1.
−2
Câu 39: Cho hàm số

liên tục trên ¡ và có
Tính
2
−2
2
−2
A. I = 1 − 2e .
B. I = 1 − 2e .
C. I = 1 + 2e .
D. I = 1 + 2e .
Lời giải
Ta có:
0
0
0
0
f ′ ( x ) .e x − f ( x ) ( e x ) ′
f ′( x) − f ( x)
f ( x)
 f ( x ) ′
I=∫
dx = ∫
dx = ∫  x ÷ dx = x
= 1 − 2e 2
x
2x
e
e
e 
e −2

−2
−2
−2 
.
I=

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Cạnh bên SA vng góc với
đáy, SC = a 3 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD, BC . Thể tích của khối
chóp A.MNPQ bằng
a3
A. 3 .

a3
B. 4 .

a3
C. 8 .
Lời giải

a3
D. 12 .

Gọi O = AC ∩ BD; G = AC ∩ PQ


MQ //SC


NP //SC
 ⇒ MQ = NP; MQ //NP

1
MQ = NP = SC 
2

Ta có
⇒ MNPQ là hình bình hành ⇒ S MNPQ = 2S ∆NPQ
2
2
2
2
2
2
Ta có SA = SC − AC = 3a − 2a = a ⇒ SA = a

Mà

PQ =

⇒ S ∆APQ

1
a 2
3
3
3a 2
BD =

; AG = AC = .a 2 =
2
2
4
4
4

1
1 a 2 3a 2 3a 2
= AG.PQ = .
.
=
2
2 2
4
8

1
1
1 3a 2 a 3
VA.MNPQ = 2.VANPQ = 2.VN . APQ = 2. VS . APQ = SA.S ∆APQ = .a.
=
2
3
3
8
8 .
Khi đó
5 z = ( 4 + 3i ) z − 25
Câu 41: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

là đường thẳng có
phương trình
A. 8 x − 6 y − 25 = 0 .
B. 8 x − 6 y + 25 = 0 . C. 8 x + 6 y + 25 = 0 . D. 8 x − 6 y = 0 .

Gọi

z = x + yi, ( x; y ∈ ¡

Khi đó:

).

Lời giải

5 z = z − 25
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

⇔ 5 z = 4 + 3i . z −

25
4 + 3i

⇔ x + yi = x + 4 + ( y − 3) i

⇔ x2 + y 2 =

( x + 4)

2

+ ( y − 3 ) ⇔ x 2 + y 2 = x 2 + 8 x + 16 + y 2 − 6 y + 9
2

⇔ 8 x − 6 y + 25 = 0 .

Câu 42: Cho hàm số

f ( x)

F ( x) ,G ( x)
f ( x)
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của
trên R thỏa
e2

∫

f ( ln x )

2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1 F ( 2 ) − 2G ( 2 ) = 4
F ( 1) − G ( 1) = −1
2x
mãn
,
và

. Tính 1
A. −2 .
B. −4 .
C. −6 .
D. −8 .
Lời giải
G ( x) = F ( x) + C
Ta có:

dx
.

2 F ( 0 ) − G ( 0 ) = 1
 F (0) − C = 1
 F (0) = 2



 F ( 2 ) − 2G ( 2 ) = 4 ⇔ − F (2) − 2C = 4 ⇔  F (2) = −6

C = 1


C = 1
 F ( 1) − G ( 1) = −1
.
2

Do đó
e

Vậy

2

∫
1

∫ f ( x ) dx = F ( 2 ) − F ( 0 ) = −8
0

.

2
f ( ln x )
f ( ln x )
1
dx = ∫
d ( ln x ) = ∫ f ( u ) du = −4
2x
2
20
1
e2

.

y = f ( x)
hàm số
có đạo hàm liên tục trên ¡

và thỏa mãn
4
f ( x) + xf ′( x) = 5 x + 6 x + 3, ∀x ∈ ¡ . Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 43: Cho

y = f ( x ) và y = f ′ ( x ) thuộc khoảng

( 28; 29 ) .
( 29;30 ) .
C.
D.
Lời giải
4
4
Ta có: f ( x ) + x. f ′( x) = 5 x + 6 x + 3 ⇔ ( x )′ ×f ( x ) + x. f ′( x ) = 5 x + 6 x + 3
A.

( 27; 28 ) .

B.

( 26; 27 ) .

⇔ [ x. f ( x )]′ = 5 x + 6 x + 3 ⇔ x. f ( x) = x + 3 x + 3 x + C
4

Vì

f ( x)

5

2

⇔ f ( x) =

x5 + 3x 2 + 3x + C
x

4
3
liên tục trên ¡ nên C = 0 . Suy ra f ( x) = x + 3 x + 3 ⇒ f ′( x ) = 4 x + 3

Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ′( x ) , ta có:

(

)

x 4 + 3x + 3 = 4 x3 + 3 ⇔ x x3 − 4 x 2 + 3 = 0
x = 0
x =1


2

⇔ x ( x − 1) x − 3x − 3 = 0 ⇔  x = 3 + 21
2


3 − 21
x =

2

(

)

.
Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = f ′( x ) là:
S=

3+ 21
2

∫

f ( x) − f ′( x) dx ≈ 28,87

3− 21
2

Câu 44: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

z 2 − 2 ( m − 1) z + m 2 = 0 m

( là tham số thực). Có bao

z + z2 = 2
nhiêu giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1
.
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
2
2
z − 2 ( m − 1) z + m = 0 ( 1)
Xét phương trình
, ta có ∆ ' = 1 − 2m .
1
2
∆ ' > 0 ⇔ 1 − 2m > 0 ⇔ m <
2 , khi đó S = 2 ( m − 1) < 0 ; P = m ≥ 0 và phương
Trường hợp 1:
trình

( 1) có 2 nghiệm khơng dương phân biệt

Ta có:

z1 + z2 = 2 ⇔ −2 ( m − 1) = 2 ⇔ m = 0

Trường hợp 2:

∆ ' < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m >

z1 = ( m − 1) + 1 − 2m , z2 = ( m − 1) − 1 − 2m

.

(nhận).

1
2 . Khi đó phương trình ( 1) có 2 nghiệm phân biệt

z1 = ( m − 1) + 1 − 2m .i , z2 = ( m − 1) − 1 − 2m .i

.

m = 1 ( n )
2
⇔ ( m − 1) + ( 2m − 1) = 1 ⇔ 
z + z2 = 2
 m = −1 ( l )
Ta có: 1
m ∈ { 0 ;1}
Vậy
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 45: Cho hàm số đa thức bậc ba như hình vẽ.

Page 21


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

y = f ( f ( x) + m)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có đúng 6 điểm cực
trị?
A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải

y′ = f ′ ( f ( x ) + m ) . f ′ ( x )
 f ′( x) = 0
 f ′( x) = 0


y′ = 0 ⇔  f ( x ) + m = 0 ⇔  f ( x ) = − m
f x +m=2
 f x = −m + 2
 ( )
 ( )
x = 0
f ′( x) = 0 ⇔ 
x = 2
*

 −m ≤ 1
 −m ≤ 1
  m ≥ −1




1 < − m + 2 < 5
1 < − m + 2 < 5
−3 < m < 1


⇔
⇔
⇔
  2 < −m < 5
  2 < −m < 5
 −5 < m < −2



−m + 2 ≥ 5
−m + 2 ≥ 5


 m ≤ −3


6


Hàm số có điểm cực trị

⇒ m ∈ { −1;0; −3; −4}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

log 3

Câu 46: Biết tập nghiệm của bất phương trình
Khi đó tổng a + 2b bằng
A. 3 .

Xét hàm số

B. 1 .
f ( x ) = log 3


f ′ ( x ) = ( 2 x − 1) 
2
⇒


(

(

)

(

C. 4 .
Lời giải

x 2 − x + 4 + 1 + 2 log 5 ( x 2 − x + 5 )

1

)

x2 − x + 4 + 1

)

x 2 − x + 4 + 1 + 2 log 5 ( x 2 − x + 5 ) < 3

là

( a; b ) .

D. 2 .

.


2
÷
+ 2
÷
2
x − x + 4 ln 3 ( x − x + 5 ) ln 5 ÷

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

g ( x) =
Dễ đánh giá

2

(

1

)

x2 − x + 4 + 1

2
>0
x 2 − x + 4 ln 3 ( x − x + 5 ) ln 5
+

2

, ∀x ∈ Ă .

ổử
1ữ
fỗ
ữ
ỗ
ữằ 2,989
ỗ
Ta li cú f (- 3) = f (4) = 5 , è2 ø

.
Bảng biến thiên:

Có

f ( 0 ) = f ( 1) = 3

và dựa vào bảng biến thiên ta có
a
=
0;
b
=
1
Vậy
; suy ra a + 2b = 2 .

f ( x ) < 3 ⇔ x ∈ ( 0;1)

z + z + 2 | z − z∣= 8
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn
, Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhầt, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P =| z − 3 − 3i | . Giá trị cùa M + m bằng
A.

5 + 58 .

Giả sử

C. 10 + 58 .

Lời giải

B. 2 10 .

z = x + yi, ( x, y ∈ ¡

) . Ta có

D. 10 + 34 .

z + z + 2 | z − z ∣= 2 x + 2 yi = 8 ⇔ x + 2 y = 4

.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên cạnh của hình thoi ABCD .

P =| z − 3 − 3i |= x − 3 + ( y − 3) i = ( x − 3) + ( y − 3) ⇒ ( x − 3) + ( y − 3) = P 2
.
uu
r
IA = ( 7;3) ⇒ IA = 58 IH = d ( I , ∆ : x + 2 y − 4 = 0 ) = 5
.
 M = IA = 58

I
3;3
(
)
m = IH = 5
P là bán kính của đường trịn tâm

. Dựa vào hình vẽ ta được 
.
2

2

2

2

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A ( 1;1;0 ) B ( 1;1;10 )
C ( 4;5;6 )
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
và
. Xét các điểm M
·
thay đổi sao cho tam giác ABM có AMB ≥ 90° và có diện tích bằng 15 . Giá trị lớn nhất của
độ dài đoạn thẳng MC thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

( 7;8 ) .

B.

( 8;9 ) .

( 9;10 ) .

C.
Lời giải

D.

( 10;11) .

1
30
AB.d ( M , AB ) = 15 ⇔ d ( M , AB ) =
=3
2
AB
Ta có
. Do đó điểm M thuộc mặt
trụ có trục là đường thẳng AB và có bán kính r = 3 (1)
S∆ABM = 15 ⇔

MH = d ( M , AB ) = 3
Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng AB , ta có
. Dễ
·
thấy nếu H khơng thuộc đoạn AB thì AMB < 90° (khơng thỏa mãn giả thiết). Do đó H thuộc
đoạn AB . Đặt AH = x , ta có BH = 10 − x ;
2
2

MA2 + MB 2 = ( x 2 + 9 ) + ( 10 − x ) + 9  = x 2 + ( 10 − x ) + 18


.
2
2
2
·
·
Hơn nữa, ta có AMB ≥ 90° nên cos AMB ≤ 0 , suy ra MA + MB − AB ≤ 0

⇔ x 2 + ( 10 − x ) + 18 − 100 ≤ 0 ⇔ 2 x 2 − 20 x + 18 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 9
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điểm M thuộc hình trụ có trục là đoạn A′B′ , bán kính r = 3 (như hình vẽ)
2

với

A′ ( 1;1;1) ∈ AB; B′ ( 1;1;9 ) ∈ AB

.

C ′ ( 1;1;6 ) ⇒ d ( C , AB ) = CC ′ = 5
Gọi C ′ là hình chiếu vng góc của C lên AB , ta có
. Do
đó C nằm ngồi hình trụ.

( A′,3) lớn hơn khoảng cách từ C
Ta có khoảng cách từ C đến mặt phẳng chứa hình trịn đáy
đến mặt phẳng chứa hình trịn đáy

( B′,3)

( B′,3) sao
nên ta tìm điểm M thuộc hình trịn đáy
Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

( A′,3)
cho MCmax . Gọi K là hình chiếu vng góc của C lên mặt phẳng chứa hình trịn đáy
( A′,3) tại M ′ , với M ′ nằm ngoài đoạn A′K (như hình vẽ). Ta có
của hình trụ. Kẻ A′K cắt
CK = 5 , M ′K = M ′A′ + A′K = M ′A′ + CC ′ = 8 .
2
2
2
2
Dễ thấy M ′C = M ′K + CK = 8 + 5 = 89 là khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc
hình trụ đến điểm C .

Do đó

MCmax = 89 ∈ ( 9;10 )

.

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn

[ −2023; 2023]

y = x 3 − 3 ( m + 2 ) x 2 + 3m ( m + 4 ) x

đồng biến trên khoảng
B. 4045 .
C. 4046 .
Lời giải

A. 4044 .

f ( x ) = x 3 − 3 ( m + 2 ) x 2 + 3m ( m + 4 ) x

của tham số thực m để hàm số

( 0; 2 ) ?
D. 4047 .

( 0;2 )

Xét hàm số
trên khoảng
.
2
2
f ′ ( x ) = 3x − 6 ( m + 2 ) x + 3m ( m + 4 ) = 3  x − 2 ( m + 2 ) x + m ( m + 4 ) 
.
 x=m
⇔
f ′( x) = 0

x = m + 4 .
Nhận xét: Đồ thị hàm số

y = f ( x)

luôn đi qua điểm

O ( 0;0 )

.

* Trường hợp 1: Nếu m > 0

Từ bảng biến thiên, suy ra
y = f ( x)
( 0; 2 ) ⇔ ( 0; 2 ) ⊂ ( 0; m ) ⇔ m ≥ 2 .
hàm số
đồng biến trên khoảng
Kết hợp với m > 0 , ta có m ≥ 2 .
* Trường hợp 2: Nếu m ≤ 0 < m + 4 ⇔ −4 < m ≤ 0

Từ bảng biến thiên, suy ra
y = f ( x)
( 0; 2 ) ⇔ ( 0; 2 ) ⊂ ( 0; m + 4 ) ⇔ m + 4 ≥ 2 ⇔ m ≥ −2 .
hàm số
đồng biến trên khoảng
Page 25