đề 26 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 26
Bài thi môn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….
Câu 1:

Trong hình bên M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z và w . Số phức z + w bằng

C. 1 + 3i.

D. 3 − i.

Câu 2:

A. 1 − 3i.
B. 3 + i.
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

4
2
A. y = x − 4 x .

4
2
C. y = − x + 4 x .

3
D. y = x − 4 x .

Câu 3:

3
B. y = − x + 4 x .
y = log 2 ( x − 1)
Tập xác định của hàm số
là
( 0; +∞ ) .
[ 0; +∞ ) .
A.
B.

C.

( 1; +∞ ) .

D.

[ 1; +∞ ) .

Câu 4:

Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 6h .
2
2
2

2
A. 6a h .
B. 3a h .
C. 2a h .
D. a h .

Câu 5:

Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 2, đường cao bằng 3.
A. 6π .
B. 4π .
C. 12π .
2

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Biết

∫ f ( x ) dx = 4
0

0

. Tích phân

∫ 3 f ( x ) dx

2

bằng

4
A. 12 .
B. −12 .
C. 3 .
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 12 học sinh?
2
12
2
A. A12 .
B. 2 .
C. 12 .

Cho cấp số nhân
1
A. 3 .

D. 3π .

( un )

D.

−

4
3.

2
D. C12 .

với u1 = 2 và u2 = −6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
1
−
B. 3 .
C. −3 .
D. 3 .
Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

log 2 ( x + 1) < 3
Tập nghiệm của bất phương trình
là
[ −1;7 ) .
( −1;5) .
( −1;7 ) .
A.
B.
C.
x−1
Câu 10: Nghiệm của phương trình 5 = 25 là
x = log5 26
x = log5 24
A.
.

B.
.
C. x = 3 .
Câu 9:

D.

( 0;8) .

D. x = 4 .

Câu 11: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong ở hình bên?

A.

y=

x +1
x −1 .

B.

y=

2x −1
x −1 .

C.

y=

x
x +1 .

D.

y=

x −1
x +1 .

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−1; 0) .
B. (−2; −1) .
C. (0;1) .
Câu 13: Cho hàm số

y = f ( x)

D. (0; 2) .

liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .
Câu 14: Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh bằng 2 , bán kính đáy bằng 1 .
A. 2π .
B. 4π .
C. π .
Câu 15: Khối cầu có bán kính bằng 3 thì có thể tích bằng
A. 36π .
B. 108π .
C. 18π .
Câu 16: Mô đun của số phức z = 2 − i bằng
A. 5 .

B.

5.

C. 3 .

D.

3π .

D. 72π .
D.

3.
Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 17: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y=

2x + 1
x − 1 là

B. y = 2 .

A. x = 1 .

x=−

C. y = −1 .

1
2.

D.
x = 1

∆ :  y = 2 + 2t
 z = 1 − 3t

Câu 18: Trong không gian Oxyz , một véctơ chỉ phương của đường thẳng
là
r
r
r

r
u = ( 0; 2;3)
u = ( 1; 2; −3)
u = ( 0; 2; −3)
u = ( 1; 2;1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 19: Phần ảo của số phức z = 3 − 2i bằng
A. −2 .
B. −2i .
C. −3 .
D. 3i .
Câu 20: Họ tất cả nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x

x
A. 3 ln 3 + C .

x −1
B. − x.3 + C .

A. 2.

B. −2.

là
3x
+C
D. ln 3
.

x
C. 3 + C .
x
x+1
Câu 21: Cho phương trình 4.4 − 9.2 + 8 = 0 . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó
tích x1 , x2 bằng

D. −1.

C. 1.

y = f ( x)
Câu 22: Cho hàm số
liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Gọi
a, A lần lượt là giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
a + A bằng
A. 1 .
C. 0 .

f ( x + 1)

trên đoạn

[ −1;0] . Giá trị

B. 2 .
D. 3 .

Câu 23: Tổng phần thực và phần ảo của số phức
A. 1 .

B. 2 .

z=

1
2
+
1 + i 1 − i bằng
1
C. 2 .

3
D. 2 .

Câu 24: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào sau đây chứa trục Oz ?
A. x − y + 1 = 0 .
B. z − 3 = 0 .
C. x + y − z = 0 .
1

Câu 25: Cho

f ( x)

là hàm số liên tục trên ¡ thỏa mãn

∫

D. 2 x − y = 0 .
1

f ( x ) dx = 4

0

và

∫ f ( 3x ) dx = 6
0

. Tích phân

3

∫ f ( x ) dx
1

A. 10 .

bằng

B. 2 .

C. 12 .

D. 14 .

Page 3


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng
cạnh 3a , SA = a 6 và SA vng góc với
(tham khảo hình vẽ bên).

( ABCD )

( ABCD ) là
Góc giữa SC và
°
°
A. 90 .
B. 30 .
°
°
C. 45 .
D. 60 .
Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x 2 và y = x + 2 được tính theo công thức
2

S=
A.

∫(x

2

−1

− x − 2 ) dx

2

S=
.

B.

2

C.

Câu 28: Cho hàm số bậc bốn

.
y = f ( x)

f ( x) = 1

Hỏi phương trình

phân biệt?
A. 3 .

D.

+ x + 2 ) dx

.

S = π ∫ ( − x 2 + x + 2 ) dx
−1

.

có đồ thị như hình vẽ.
có bao nhiêu nghiệm thực

y = f ( x)

số

có

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 4 ) ( x + x ) , x ∈ ¡
2

−1

B. 7 .
D. 4 .

C. 6 .

Câu 29: Hàm

2

2

S = π ∫ ( x 2 − x − 2 ) dx
−1

∫ ( −x

2

A. 6 .

đạo

hàm

2

. Hỏi hàm số

B. 5 .

y = f ( x)

C. 3 .

có bao nhiêu điểm cực trị?
D. 4 .

M ( −1; − 2; − 3)
Câu 30: Trong không gian Oxyz , đường thẳng ∆ đi qua điểm
và vng góc với mặt

( α ) : x + y + z = 0 có phương trình là
phẳng
x +1 y + 2 z + 3
=
=
1
−2 .
A. 1
x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
−2 .
C. 1

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
1 .
B. 1

x +1 y + 2 z + 3
=
=
1
1 .
D. 1

0
·
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = BC = AA′ = a , ABC = 120 . Tính thể tích khối
lăng trụ ABC. A′B′C ′ .

a3
3a 3
3a3
B. 2 .
C. 4 .
D. 2 .
o
Câu 32: Cho một hình nón có góc ở đỉnh 60 , bán kính đáy bằng a . Diện tích tồn phần hình nón đó là
3a 3
A. 12 .
2
A. π a .

2
B. 3π a .

2
C. 2π a .

D.

3π a 2 .
Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
3
2
Câu 33: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên như hình sau.

Trong các hệ số sau a, b, c và d có bao nhiêu số âm?
A. 1.
B. 3.
C. 2.

f ( x)

Câu 34: Cho

là hàm số có đạo hàm liên tục trên

[ 0;1]

D. 4.
và

f ( 1) =

−1
,
18

∫

1

0

xf ' ( x ) dx =

1
36 . Giá trị

1

f ( x ) dx
của ∫
bằng.
0

A.

−

1
B. 36 .

1

12 .

1
C. 12 .

D.

3

Câu 35: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn
2
.
A. 9
B. 6.

∫ xf ( x)dx = 2
0

2
.
C. 3

1
36 .

−

1

. Tính tích phân

(

)

∫ xf (3x)dx
0

D. 18.

(

)

A 2,4,1 B −1,1,3
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
;
và mặt phẳng

( P ) : x − 3y + 2z − 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q )
góc với

(P ) ?

( Q ) : 2y + 3z − 10 = 0
( Q ) : 2y + 3z − 13 = 0
C.

đi qua hai điểm A,B và vuông

( Q ) : 2y + 3z − 11 = 0
( Q ) : 2y + 3z − 12 = 0
D.

A.

B.

Câu 37: Ban chỉ đạo phòng chống dịch COVID-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng
4 bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra cơng tác phịng
dịch ở địa phương. Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm Tổ trưởng. Xác suất để ba Tổ
trưởng đều là bác sĩ là
1
1
1
1
A. 42 .
B. 21 .
C. 14 .
D. 7 .
y = f ( x ) = 4 x − m − x2
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số
đạt giá trị lớn nhất bằng
5.

A. 3 .

B. 0 .

Câu 39: Cho hàm số

2

∫
1
2

f ( x)
x

y = f ( x)

C. 2 .

D. 1 .

1
1 
f ( x ) + 2 f  ÷ = 3x
x ∈  ;2
x
 2  . Tính
liên tục và thỏa mãn
với

dx.

Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

3
− .
A. 2

9
.
B. 2

9
− .
C. 2

3
.
D. 2
( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y + 2z − 3 = 0

Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : 2 x − y + 2 z − 14 = 0 . Điểm M thay đổi trên ( S ) , đểm N thay đổi trên ( P ) .
và mặt phẳng
Độ dài nhỏ nhất của MN bằng
1
3
A. 2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 41: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AC = a , I là trung điểm SC . Hình

( ABC ) là trung điểm H của BC . Mặt phẳng ( SAB ) tạo với

chiếu vng góc của S lên
( ABC ) một góc 60° . Tính khoảng cách từ I đến ( SAB ) .
3a
3a
5a
2a
A. 4 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
9

x2 − 3 x + m

+ 2.3

x2 − 3 x + m − 2 + x

< 32 x − 3 có nghiệm?
B. 4.

A. 9.
C. 1.
D. 6.
2
Câu 43: Cho m là số thực, biết phương trình z − 2mz + 9 = 0 có hai nghiệm phức z1 , z2 . Có bao nhiêu
z z + z2 z1 < 16
giá trị nguyên của m sao cho 1 2
?

3
A. .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Câu 44: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy r = 10 và và đường sinh l = 117 . Gọi A , B và M là ba
điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB = 12 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SM bằng
340
1700
A. 117 .
B. 13 .
C. 9 .
D. 117 .

A ( 0;0;8 ) B ( 6;8;7 )
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm
,
. Xét các điểm M thay đổi sao cho
tam giác OAM luôn vuông tại M và có diện tích bằng 8 3 . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn
thẳng MB thuộc khoảng nào sau đây?
A.

( 12;13) .

B.

( 13;14 ) .

C.

( 14;15) .

D.

( 15;16 ) .

2 2 1
2
2 ( x 2 + y 2 + 4 ) + log 2  + ÷ = ( xy − 4 )
x y 2
Câu 46: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn
. Khi x + 4 y
x
đạt giá trị nhỏ nhất, y bằng
A. 2 .

B. 4 .

1
C. 2 .

1
D. 4 .

P = z − 5i
z − 3 + 7i + z + 2 − 5i ≤ 13
Câu 47: Cho số phức z1 thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. 3 .

B. 2 26

C. 4

D. 13 .

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 48: Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm liên tục

y = f ′( x)
trên ¡ . Đồ thị hàm số
như
hình
vẽ
bên.
Hàm
số
y = f ( x2 + 4 x ) − x2 − 4 x

điểm cực trị thuộc
A. 5 .

( −5;1) .
B. 4 .
D. 3 .

C. 6 .

Câu 49: Cho hàm số

có bao nhiêu

y = f ( x)

f ( 1) = 1
y = f ′( x)
có đạo hàm trên ¡ và
. Đồ thị hàm số
như hình bên.

Có bao nhiêu số ngun dương a
để hàm số
y = 4 f ( sin x ) + cos 2 x − a
 π
 0; ÷
biến trên  2  ?
A. 2.
C. Vô số.

B. 3.
D. 5.

Câu 50: Cho hình lập phương
phẳng

( P)

( P)

đi qua

cắt các cạnh

ABCD. A ' B ' C ' D '

MN

DD '

V1
=1
V2

.

. Gọi

và tạo với mặt phẳng
và

gọi thể tích phần chứa điểm

A.

nghịch

B.

DC

A

M,N

( ABB ' A ')

. Khi đó mặt phẳng

là

V1

V1
=2
V2

.

lần lượt là trung điểm

( P)

một góc

sao cho

và

B'B

tan α = 2

. Mặt
. Biết

chia khối lập phương thành hai phần,

và phần cịn lại có thể tích

C.

α

B ' A'

V1 1
=
V2 3

.

V2

. Tỉ số

V1
V2

D.

là

V1 1
=
V2 2

.

---------- HẾT ----------

Page 7


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.C
11.A
21.B
31.C
41.A

Câu 1:

2.C
12.C
22.D
32.B
42.C

8.C
18.C
28.B
38.C
48.A

9.C
19.A
29.D
39.D
49.B

10.C
20.D
30.D
40.C
50.A

B. 3 + i.

C. 1 + 3i.
Lời giải
z + w = ( −1 + 2i ) + ( 2 + i ) = 1 + 3i.

D. 3 − i.

Ta có z = −1 + 2i , w = 2 + i nên
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

4
2
A. y = x − 4 x .

Câu 3:

4.A
14.A
24.D
34.A
44.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Trong hình bên M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z và w . Số phức z + w bằng

A. 1 − 3i.

Câu 2:

3.C
13.D
23.B
33.A
43.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.B
7.D
15.A
16.B
17.A
25.D
26.B
27.B
35.A
36.B
37.B
45.C
46.A
47.C

3
B. y = − x + 4 x .

Hàm số trùng phương → Loại B, D
lim = −∞
x→+∞
→ Chọn C
y = log 2 ( x − 1)
Tập xác định của hàm số
là
( 0; +∞ ) .
[ 0; +∞ ) .

A.
B.

4
2
C. y = − x + 4 x .
Lời giải

( 1; +∞ ) .

C.
Lời giải

3
D. y = x − 4 x .

D.

[ 1; +∞ ) .

Điều kiện xác định x − 1 > 0 ⇔ x > 1.
( 1; +∞ ) .
Vậy tập xác định của hàm số là
Câu 4:

Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 6h .
2
2
2
2

A. 6a h .
B. 3a h .
C. 2a h .
D. a h .
Lời giải
2
Từ giả thiết do khối lăng trụ có đáy là hình vng nên diện tích đáy S = a.a = a .
2
2
Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều là: V = Sh = a .6h = 6a h .

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 5:

Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 2, đường cao bằng 3.
A. 6π .
B. 4π .
C. 12π .

D. 3π .

Lời giải
Thể tích khối trụ là: V = π r h = π .2 .3 = 12π .
2

2

Câu 6:

Biết

f ( x ) dx = 4

∫
0

0

. Tích phân

∫ 3 f ( x ) dx
2

bằng

B. −12 .

A. 12 .
0

2

4
C. 3 .
Lời giải

D.

−

4
3.

2

∫ 3 f ( x ) dx = −3∫ f ( x ) dx = −3.4 = −12

Câu 7:

0
Ta có 2
.
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 12 học sinh?
2
12
2
A. A12 .
B. 2 .
C. 12 .

2
D. C12 .

Lời giải

Câu 8:

2
Số cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 12 học sinh là C12 .
(u )
Cho cấp số nhân n với u1 = 2 và u2 = −6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
1
1
−
A. 3 .
B. 3 .
C. −3 .
D. 3 .

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
u
−6
u2 = u1.q ⇔ q = 2 =
= −3
u
2
1
Ta có
.

Lời giải

log 2 ( x + 1) < 3
Tập nghiệm của bất phương trình
là
[ −1;7 ) .
( −1;5) .

( −1;7 ) .
A.
B.
C.
Lời giải
log 2 ( x + 1) < 3 ⇔ 0 < x + 1 < 23 ⇔ −1 < x < 7
Ta có
.
( −1;7 ) .
Vậy tập nghiệm bất phương trình là
x−1
Câu 10: Nghiệm của phương trình 5 = 25 là
x = log5 26
x = log5 24
A.
.
B.
.
C. x = 3 .
Lời giải
x −1
Ta có 5 = 25 ⇔ x − 1 = log 5 25 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 3 .
Câu 9:

D.

( 0;8) .

D. x = 4 .

x−1
Vậy nghiệm của phương trình 5 = 25 là x = 3 .
Câu 11: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong ở hình bên?

Page 9


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

A.

y=

x +1
x −1 .

B.

y=

2x −1
x −1 .

y=

x
x +1 .

y=

x −1
x +1 .

C.
D.
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số có đường TCN: y = 1 , TCĐ: x = 1 , chỉ có đáp án A thỏa mãn.
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−1; 0) .
B. (−2; −1) .
C. (0;1) .

D. (0; 2) .

Lời giải
Dựa vào đồ thị, dễ thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;1) .
y = f ( x)
Câu 13: Cho hàm số
liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .

C. 4 .
-----Lời giải

D. 3 .

f ′( x)
Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy
đổi dấu khi qua các điểm x = −1; x = 0; x = 2
y = f ( x)
Vậy hàm số
có 3 điểm cực trị.
Câu 14: Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh bằng 2 , bán kính đáy bằng 1 .
A. 2π .

B. 4π .

C. π .
-----Lời giải
Diện tích xung quanh hình nón là S = π rl = 2π .
Câu 15: Khối cầu có bán kính bằng 3 thì có thể tích bằng
A. 36π .
B. 108π .
C. 18π .

D.

3π .

D. 72π .
Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
-----Lời giải

4
4
V = π r 3 = π .33 = 36π
3
3
Thể tích khối cầu là
.
Câu 16: Mơ đun của số phức z = 2 − i bằng
A. 5 .

B.

Mô đun của số phức z là

5.

z = 22 + (−1) 2 = 5

Câu 17: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y=

lim+

x →1

D.

3.

.

2x + 1
x − 1 là

B. y = 2 .

A. x = 1 .

Ta có

C. 3 .
-----Lời giải

C. y = −1 .
-----Lời giải

D.

x=−

1
2.

2x + 1
2x + 1
= +∞ ; lim−
= −∞
x →1 x − 1

x −1
.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y=

2x + 1
x − 1 là x = 1 .

x = 1

∆ :  y = 2 + 2t
 z = 1 − 3t

Câu 18: Trong không gian Oxyz , một véctơ chỉ phương của đường thẳng
là
r
r
r
r
u = ( 0; 2;3)
u = ( 1; 2; −3)
u = ( 0; 2; −3)
u = ( 1; 2;1)
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Lời giải
x = 1

∆ :  y = 2 + 2t
r
 z = 1 − 3t
u = ( 0; 2; −3)

Đường thẳng
có một véctơ chỉ phương là
.
Câu 19: Phần ảo của số phức z = 3 − 2i bằng
A. −2 .
B. −2i .
C. −3 .
D. 3i .
Lời giải
Số phức z = 3 − 2i có phần ảo bằng −2 .
Câu 20: Họ tất cả nguyên hàm của hàm số
x
A. 3 ln 3 + C .

x
∫ 3 dx =

f ( x ) = 3x

x −1
B. − x.3 + C .

là

x
C. 3 + C .
Lời giải

3x
+C
D. ln 3
.

3x
+C
ln 3

x
x+1
Câu 21: Cho phương trình 4.4 − 9.2 + 8 = 0 . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó
tích x1 , x2 bằng

A. 2.

B. −2.

C. 1.
Lời giải

D. −1.

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

4.4 x − 9.2 x+1 + 8 = 0
⇔ 4. ( 2 x ) − 18.2 x + 8 = 0
2x = 4
x = 2
⇔ x 1⇔
2 =
 x = −1

2
Khi đó x1.x2 = −2.
y = f ( x)

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Gọi a, A lần lượt là giá trị
f ( x + 1)
[ −1;0] . Giá trị a + A bằng
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
trên đoạn

Câu 22: Cho hàm số

A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .
-----Lời giải

D. 3 .

y = f ( x + 1)
y = f ( x)
Đồ thị hàm số
được thực hiện bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số
sang
trái 1 đơn vị.
min f ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1
Do đó: [ −1;0.]
.
max f ( x + 1) = 3 ⇔ x = 0
[ −1;0.]
.
Vậy a + A = 0 + 3 = 3 .
Câu 23: Tổng phần thực và phần ảo của số phức
A. 1 .

B. 2 .

1
2
+
1 + i 1 − i bằng
1
C. 2 .

Lời giải

z=

3
D. 2 .

1
2
3 1
3 1
+
= + i⇒ + =2
1+ i 1− i 2 2
2 2
Ta có:
Câu 24: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào sau đây chứa trục Oz ?
A. x − y + 1 = 0 .
B. z − 3 = 0 .
C. x + y − z = 0 .
z=

D. 2 x − y = 0 .

Lời giải
O ( 0;0;0 )
M ( 0;0;1)
Mặt phẳng chứa trục Oz đi qua
và
. Thử với 4 phương án đã cho thì

phương án D thỏa mãn.
1

Câu 25: Cho

f ( x)

là hàm số liên tục trên ¡ thỏa mãn

∫
0

1

f ( x ) dx = 4
và

∫ f ( 3x ) dx = 6
0

. Tích phân

3

∫ f ( x ) dx
1

bằng
Page 12

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
A. 10 .

B. 2 .
1

Ta có:

∫
0

C. 12 .
Lời giải

1

D. 14 .

3

3

3

1
1
f ( 3x ) dx = ∫ f ( 3 x ) d ( 3x ) = ∫ f ( t ) dt = 6 ⇒ ∫ f ( t ) dt = 18 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 18
30
30

0
0

3

3

1

1

0

0

⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 18 − 4 = 14
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 3a , SA = a 6 và SA vng góc
với

( ABCD )

(tham khảo hình vẽ bên).

( ABCD ) là
Góc giữa SC và
°
°
A. 90 .
B. 30 .

°
°
C. 45 .
D. 60 .
Lời giải
·
( ABCD ) nên góc giữa SC và ( ABCD ) là SCA
Ta có AC là hình chiếu của SC trên
.
SA
a 6
3
·
tan SCA =
=
=
⇒ SCA
= 30°
AC 3a 2
3
Xét ∆SAC vng tại A có:
.

2
Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x và y = x + 2 được tính theo
cơng thức
2

S=
A.

2
∫ ( x − x − 2 ) dx

−1

2

S=
.

B.

2

C.

S = π ∫ ( x 2 − x − 2 ) dx

−1

∫

+ x + 2 ) dx

.

−1

2

x 2 − x − 2 dx

−1

Câu 28: Cho hàm số bậc bốn

.

S = π ∫ ( − x 2 + x + 2 ) dx

2

⇒S =

2

2

D.
Lời giải
 x = −1
x2 = x + 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ 
x = 2 .
Ta có:
−1

∫ ( −x

x − x − 2 < 0∀x ∈ ( −1;2 )

S=

2

mà
y = f ( x)

nên

∫ ( −x

−1

2

.

+ x + 2 ) dx

.

có đồ thị như hình vẽ.

Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Hỏi phương trình

A. 3 .

f ( x) = 1

có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
B. 7 .
C. 6 .
Lời giải

D. 4 .

* Cách 1:
 f ( x) = 1
f ( x) = 1 ⇔ 
 f ( x ) = −1 .
Ta có:

f ( x) = 1
y = f ( x)
Với
thì dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị
tại 3 điểm nên
cho ta 3 nghiệm.
f ( x ) = −1
y = f ( x)
Với
thì dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = −1 cắt đồ thị
tại 4 điểm
nên cho ta 4 nghiệm.
Vậy phương trình có 7 nghiệm thực phân biệt.

* Cách 2:
f ( x)
ta suy ra đồ thị hàm
như sau:
y = f ( x)
(C )
+ Giữ nguyên phần đồ thị
nằm phía trên trục hoành ta được phần đồ thị 1
y = f ( x)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
nằm phía dưới trục hồnh qua trục hồnh và xóa bỏ phần

Từ đồ thị hàm

f ( x)

dưới đi ta được phần đồ thị
Đồ thị hàm

y = f ( x)

( C2 ) .

là hợp thành của hai phần đồ thị

( C1 )

và

( C2 ) .

Page 14


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Số nghiệm của phương trình

f ( x) = 1

là số giao điểm của đường thẳng y = 1 và đồ thị

y = f ( x)

y = f ( x)
Dựa vào đồ thị ta thấy y = 1 giao đồ thị
tại 7 điểm
Vậy phương trình có 7 nghiệm thực phân biệt.
f ′ ( x ) = ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ( x 2 + x ) , x ∈ ¡
y = f ( x)
y = f ( x)
Câu 29: Hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
 x = −1

x =1

⇔  x = −2

x = 2
2
2
2
 x = 0
f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 4 ) ( x + x ) = 0
Ta có:
.

x = −1 là nghiệm kép, các nghiệm còn lại đều là nghiệm đơn nên khi đi qua nghiệm đơn hàm
f '( x)

đều đổi dấu, do đó hàm số

y = f ( x)

có 4 điểm cực trị.

M ( −1; − 2; − 3)
Câu 30: Trong không gian Oxyz , đường thẳng ∆ đi qua điểm
và vng góc với mặt

( α ) : x + y + z = 0 có phương trình là
phẳng
x +1 y + 2 z + 3
x −1 y − 2 z − 3

=
=
=
=
1
−2 . B. 1
1
1 .
A. 1
x −1 y − 2 z − 3
x +1 y + 2 z + 3
=
=
=
=
1
−2 . D. 1
1
1 .
C. 1
Lời giải
Ta có: đường thẳng ∆ đi qua điểm

M ( −1; − 2; − 3)

và nhận vectơ
x +1 y + 2 z + 3
=
=
1

1 .
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là 1

r
a = ( 1;1;1)

làm một VTCP.

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
0
·
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = BC = AA′ = a , ABC = 120 . Tính thể tích khối
lăng trụ ABC. A′B′C ′ .

3a 3
A. 12 .

B.

3a 3
2 .

Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là
=

C.
Lời giải

a3
D. 2 .

3a3
4 .

VABC . A ' B 'C ' = AA′.S ∆ABC =

1
AA′.BA.BC .sin ·ABC
2

1 3
3a 3
a sin1200 =
2
4 .

o
Câu 32: Cho một hình nón có góc ở đỉnh 60 , bán kính đáy bằng a . Diện tích tồn phần hình nón đó là
2
A. π a .

2
B. 3π a .

C. 2π a .
Lời giải
2

D.

3π a 2 .

Ta có:
a
= 2a
sin 30o
Stp = S xq + S day = π rl + π r 2 = π .a.2a + π .a 2 = 3π a 2

l=

.

Câu 33: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên như hình sau.
3

2

Trong các hệ số sau a, b, c và d có bao nhiêu số âm?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số bậc ba ta có: a < 0

D. 4.

y′ = 3ax 2 + 2bx + c = 3a ( x + 1) ( x − 2) = 3a ( x 2 − x − 2 ) = 3ax 2 − 3ax − 6a

−3a

>0
2b = −3a b =
⇒
⇒
2
 c = −6 a
c = −6a > 0

Mặt khác:

y ( −1) = 0 ⇔ −a + b − c + d = 0 ⇔ −a −

3a
−7 a
+ 6a + d = 0 ⇒ d =
>0
2
2
Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Vậy có 1 số âm.

f ( x)

Câu 34: Cho

[ 0;1]

là hàm số có đạo hàm liên tục trên

và

f ( 1) =

−1
,
18

∫

1

0

xf ' ( x ) dx =

1
36 . Giá trị

1

của
A.

∫ f ( x ) dx bằng.

−

0

1
B. 36 .

1
12 .

1
C. 12 .
Lời giải

D.

−

1
36 .

1

Ta xét

I = ∫ xf ' ( x ) dx
0

.

u = x
du = dx
⇒

dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )
Đặt: 
. Khi đó:
1

1

1

0

0

0

I = xf ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − I = −
1

1 1
1
− =−
18 36
12 .

3

Câu 35: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn
2
.
A. 9
B. 6.

∫ xf ( x)dx = 2
0

1

. Tính tích phân

2
.
C. 3
Lời giải
x = 0 ⇒ t = 0
dt

3 x = t ⇒ dx =
3 . Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 3
Đặt
1

Vậy

3

∫ xf (3x)dx
0

D. 18.

3

t
dt 1
2
f (t ) = ∫ f (t )dt = .
3
3 90
9
0

∫ xf (3x)dx = ∫
0

(

)

(

)

A 2,4,1 B −1,1,3
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
;

và mặt phẳng

( P ) : x − 3y + 2z − 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q )
góc với

(P ) ?

( Q ) : 2y + 3z − 10 = 0
( Q ) : 2y + 3z − 13 = 0
C.

( Q ) : 2y + 3z − 11 = 0
( Q ) : 2y + 3z − 12 = 0
D.

A.

Ta có

B.

Lời giải

uuur
AB = −3, −3,2

(

);

( )

đi qua hai điểm A,B và vuông

P : x − 3y + 2z − 5 = 0

( )

có véc tơ pháp tuyến

u
r
n = 1, −3,2

(

)

( )

Q
P
Mặt phẳng
đi qua hai điểm A,B và vng góc với
nên nhận
uu
r
uuur u
r
n′ = AB, n  = 0,8,12 = 4 0,2,3

Q


là véc tơ pháp tuyến, phương trình mặt phẳng
là

(

)

(

)

( )

( Q ) : 2y + 3z − 11 = 0.
Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 37: Ban chỉ đạo phòng chống dịch COVID-19 của sở Y tế Nghệ An có 9 người, trong đó có đúng
4 bác sĩ. Chia ngẫu nhiên Ban đó thành ba tổ, mỗi tổ 3 người để đi kiểm tra cơng tác phịng
dịch ở địa phương. Trong mỗi tổ, chọn ngẫu nhiên một người làm Tổ trưởng. Xác suất để ba Tổ
trưởng đều là bác sĩ là
1
1
1
1
A. 42 .

B. 21 .
C. 14 .
D. 7 .
Lời giải
Cả ba Tổ trưởng đều là bác sĩ thì mỗi tổ phải có ít nhất một bác sĩ
3C41C52C31C32C22 C11 9
=
C93C63C33
14 .
⇒ Xác suất để mỗi tổ có ít nhất một bác sĩ là:
Có một tổ có hai bác sĩ và hai tổ có một bác sĩ
2 1 1 2
. . =
⇒ Xác suất để chọn được bác sĩ làm Tổ trưởng là: 3 3 3 27 .
9 2
1
. =
Vậy xác suất cần tìm là: 14 27 21 .
y = f ( x ) = 4 x − m − x2
Câu 38: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số
đạt giá trị lớn nhất bằng
5.

A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .
D. 1 .
Lời giải

y = f ( x)
4 x − m − x 2 ≤ 5 ⇔ 4 x − m ≤ x 2 + 5 ∀x ∈ ¡
Hàm số
đạt giá trị lớn nhất bằng 5 thì
,

4 x − m ≤ x 2 + 5, ∀x ∈ ¡
 m ≥ − x 2 + 4 x − 5, ∀x ∈ ¡
m ≥ −1
⇔
⇔

⇔
2
2
4 x − m ≥ − x − 5, ∀x ∈ ¡
 m ≤ x + 4 x + 5, ∀x ∈ ¡
m ≤ 1 .
 m = −1
⇔
⇔ m ∈ { −1;1}
y = f ( x)
m
=
1

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 5
.
m

Vậy có 2 giá trị
cần tìm.
1
1 
f ( x ) + 2 f  ÷ = 3x
x ∈  ;2
y = f ( x)
x
 2  . Tính
Câu 39: Cho hàm số
liên tục và thỏa mãn
với
2

∫
1
2

f ( x)
x

3
− .
A. 2

dx.

9
.
2

B.

9
− .
C. 2
Lời giải

1
1 
f ( x ) + 2 f  ÷ = 3x ⇔
x ∈  ;2
x
 2  . Ta có:
Xét
2

∫
Lấy tích phân 2 vế ta được:

1
2

f ( x)
x

3
.
2
D.

1
f ÷
x
+2   =3
x

1
f ÷
2
f ( x)
9
x
dx + 2∫   dx = ∫ 3 xdx = .
x
x
2
1
1
2

2

2

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1


 x = 2 ⇒ t = 2

1
1
1
x = 2 ⇒ t = 1
= t ⇒ − 2 dx = dt ⇔ dx = − 2 dt
2
x
t
Đặt x
. Đổi cận: 
1
2 f 
2
2
2
2
÷
f ( t)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
9
3
x

2∫
dx =2 ∫
dt = 2∫

dx ⇒ 3∫
dx = ⇔ ∫
dx =
x
t
x
x
2
x
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
Khi đó:
.
2
2
2
( S ) : x + y + z − 2x + 4 y + 2z − 3 = 0
Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
và mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + 2 z − 14 = 0 . Điểm

Độ dài nhỏ nhất của MN bằng
1
A. 2 .
B. 2 .

M thay đổi trên ( S ) , đểm N thay đổi trên ( P ) .
3
D. 2 .

C. 1 .
Lời giải
d ( I,( P) ) =

I ( 1; −2; −1)

2.1 − ( −2 ) + 2. ( −1) − 14

=4>R

2 + ( −1) + 2
, bán kính R = 3 và
( S ) và mặt phẳng ( P ) khơng có điểm chung, gọi H là hình chiếu của I lên
Do đó mắt cầu

Mặt cầu có tâm

2

2

2

( P ) và K là giao điểm của đoạn IH với mặt cầu ( S )
mặt phẳng
MN ≥ MK = d ( I , ( P ) ) − R = 4 − 3 = 1
Ta có
Vây min MN = 1 .
Câu 41: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AC = a , I là trung điểm SC . Hình
chiếu vng góc của S lên

( ABC )
A.

( ABC )

( SAB ) tạo với
là trung điểm H của BC . Mặt phẳng

°
( SAB ) .
một góc 60 . Tính khoảng cách từ I đến

3a
4 .

B.

3a
5 .

C.
Lời giải

5a
4 .

D.

2a
3 .

 HK // AC

⇒
AC a
 HK = 2 = 2
Gọi K là trung điểm cạnh AB
.
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Mà AC ⊥ AB ⇒ HK ⊥ AB .
 AB ⊥ HK

⇒ AB ⊥ ( SHK ) ⇒ AB ⊥ SK
Ta có:  AB ⊥ SH
.
( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB


( SAB ) ⊃ SK ; SK ⊥ AB

·
·
·
( ABC ) ⊃ HK ; HK ⊥ AB ⇒ ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = ( SK ; HK ) = SKH
= 60° .

⇒ HM ⊥ ( SAB )
Kẻ HM ⊥ SK
HI // ( SAB )
Mặt khác
⇒ d ( I ; ( SAB ) ) = d ( HI ; ( SAB ) ) = d ( H ; ( SAB ) ) = HM .
Xét tam giác SHK vng tại H ta có:
+ SH = HK . tan 60

=

°

3a
2 .

1
1
1
4
4
16

3a
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HM =
2
2
2
HK
SH
a
3a
3a
4 .
+ HM
⇒ d ( I ; ( SAB ) ) =

3a
4 .

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
9

2

x −3 x + m

+ 2.3

2

m

để bất phương trình

x −3 x + m − 2+ x

< 32 x − 3 có nghiệm?
B. 4.

A. 9.

C. 1.
Lời giải

D. 6.

x 2 − 3x + m = a ( a ≥ 0 ) .
Đặt:
Khi đó:
2

2

2
1
1 2
1 2

3 + 2.3
<3

⇔3
+ .3a − x −
< 0 ⇔  3a − x + ÷ <  ÷ ⇔ 3a − x + < ⇔ 3a − x < 3−2
9
27
9 9
9 9

2
 x − 3x + m ≥ 0
 x 2 − 3x + m ≥ 0
a ≥ 0

⇔
⇔ x < 4 − m
⇔ 4−m >2⇔ m< 2

2
a < x − 2
 x − 3x + m < x − 2
x > 2

Nên:
Do m nguyên dương nên m = 1.
2
Câu 43: Cho m là số thực, biết phương trình z − 2mz + 9 = 0 có hai nghiệm phức z1 , z2 . Có bao nhiêu
2a

a − 2+ x

2 x −3

2a − 2 x

z z + z2 z1 < 16
giá trị nguyên của m sao cho 1 2
?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
Lời giải
2
2
z − 2mz + 9 = 0 (*) có ∆′ = m − 9 .
*

∆′ ≥ 0 ⇔ m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ )

D. 6 .

. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực z1 , z2 thỏa mãn

z1 z2 + z2 z1 = z1.z2 + z2 .z1 = 18 > 16

( khơng thỏa mãn bài tốn)
Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
* ∆′ < 0 ⇔ − 3 < m < 3 .

Áp dụng định lý Vi-ét ta có, z1 + z2 = 2m, z1 z2 = 9 .
Ta có

z1 = z2 =

z1 z2 =

z1 z2 = 9 = 3

⇒ z1 z2 + z2 z1 = z1.3 + z2 .3 = 3 ( z1 + z2 ) = 6m
Theo đề,

.

.

z1 z2 + z2 z1 < 16 ⇔ 6m < 16 ⇔ m <
−3 < m <

z1 = z1 , z2 = z2

và

8
3.

8
3 . Mà m nguyên nên m ∈ { −2; −1;0;1; 2}

Kết hợp với điều kiện ta được

Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 44: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy r = 10 và và đường sinh l = 117 . Gọi A , B và M là ba
điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB = 12 . Giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SM bằng
A. 117 .

340
B. 13 .

C. 9 .
Lời giải

1700
D. 117 .

Ta có chiều cao h = 117 − 100 = 17 .
Không mất tổng quát ta cố định AB , điểm M di động
Gọi O là tâm đáy, I là trung điểm AB , P và L là giao điểm giữa IO với đường tròn đáy sao
cho O nằm giữa I và P .
Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt IO tại K .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng
SK
Xét tam giác ∆SPI , khi M thay đổi thì K thay đổ trên đoạn PL

Khoảng cách từ I đến SK là IH (với H là hình chiếu của I trên SK ).
·
Nếu góc PSI nhọn thì IH lớn nhất khi K trùng với P
Page 21

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

·
Nếu góc PSI tù hoặc vng thì IH lớn nhất khi SK vng góc với SI khi đó H trùng với S
.
2
2
Ta có IO = r − IA = 8 , OP = r = 10 , SO = h = 17 , IP = 18 , SP = 117

( )

SP 2 + SI 2 − PI 2
−143
·
cos
PSI
=
=
<0
2
2
2
SP
.
SI
SI
=
IO
+

SO
=
64
+
17
=
9
16
117
Suy ra,
,
nên góc
·
PSI
tù.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng SI = 9

A ( 0;0;8 ) B ( 6;8;7 )
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm
,
. Xét các điểm M thay đổi sao cho
tam giác OAM luôn vuông tại M và có diện tích bằng 8 3 . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn
thẳng MB thuộc khoảng nào sau đây?
A.

( 12;13) .

B.

( 13;14 ) .

( 14;15) .

C.
Lời giải

D.

( 15;16 ) .

Tam giác OAM luôn vuông tại M nên M thuộc mặt cầu đường kính OA , bán kính R = 4 .
1
⇒ 8 3 = d( M ;OA) .OA ⇔ d
( M ;OA) = 2 3 ⇒ M thuộc
2
Tam giác OAM có diện tích bằng 8 3
mặt trụ bán kính r = 2 3 và trục là OA .
Từ hai giả thiết trên ta thấy M thuộc hai đường tròn đáy là giao tuyến của mặt trụ và mặt cầu.
Gọi I là tâm mặt cầu, H , K lần lượt là hai tâm của đáy hình trụ như hình vẽ.
2
2
Ta có: IK = R − r = 2 ⇒ OK = 2 .
( P ) đi qua đường trịn ( K ; r ) khi đó phương trình ( P ) : z − 2 = 0 .
Xét mặt phẳng
( P ) ⇒ N ( 6;8; 2 ) .
Gọi N là hình chiếu của B lên
Ta có: BN = 5 , NK = 10 .

Lại có:

BM = BN 2 + MN 2 ≤ BN 2 + ( NK + r )

(

⇒ BM max = 52 + 10 + 2 3

)

2

≈ 14,36

2

.
Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

2 2 1
2
2 ( x 2 + y 2 + 4 ) + log 2  + ÷ = ( xy − 4 )
x y 2
Câu 46: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn
. Khi x + 4 y
x
đạt giá trị nhỏ nhất, y bằng
A. 2 .

1
C. 2 .
Lời giải

B. 4 .

1
D. 4 .

2 2 1
2
2 ( x 2 + y 2 + 4 ) + log 2  + ÷ = ( xy − 4 )
x y 2
⇔
1
1
2
2
( 2 x + 2 y ) + log 2 ( 2 x + 2 y ) = ( xy ) + log 2 ( xy )
2
2
1
f ( t ) = t 2 + log 2 t
f
2
x
+
2
y
=

f
xy
1
(
)
(
)
(
)
( 0; +∞ ) .
⇔
2
, với
xét trên khoảng
1
f ′( t ) = t +
>0
f ( t)
( 0; +∞ ) .
t ln 2
Ta có
, ∀t > 0 ⇒
đồng biến trên khoảng

( 1)
Vậy
Do đó

⇔ 2 x + 2 y = xy ⇔

x + 4y = x +

y=

2x
x − 2 ( x > 2 do x, y > 0 ).

8x
16
= ( x − 2) +
+ 10 ≥ 10 + 2
x−2
x−2

( x − 2) .

16
= 18
x−2
.


x > 2

x = 6
16

⇔
x − 2 =
x−2

y = 3

2x

 y = x − 2
Đẳng thức xảy ra khi
.
x = 6
x
=2

min ( x + 4 y ) = 16
Vậy
khi  y = 3 ⇒ y
.
P = z − 5i
z − 3 + 7i + z + 2 − 5i ≤ 13
Câu 47: Cho số phức z1 thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A. 3 .

B. 2 26

z − 3 + 7i + z + 2 − 5i ≤ 13
Ta có:
⇔ z + 5i − 3 + 2i + z + 5i + 2 − 10i ≤ 13

C. 4
Lời giải

D. 13 .

(1)

M ( a; b ) , A ( 3; −2 ) , B ( −2;10 )
Gọi
lần lượt là điểm biểu diễn của số phức
w = z + 5i; z1 = 3 − 2i; z2 = −2 + 10i
uuu
r
AB = ( −5;12 ) ⇒ AB = 13
Biểu thức (1) viết lại: MA + MB ≤ AB ⇒ MA + MB = AB
⇒ tập hợp điểm M biểu diễn của số phức w là đoạn thẳng AB

Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
 x = 3 − 5t
AB : 
( t ∈ [ 0;1] )
y
=
−
2
+
12
t


* Phương trình đường thẳng
M ( 3 − 5t; −2 + 12t ) ∈ AB
Gọi
uuur
OM = ( 3 − 5t; −2 + 12t )

( 3 − 5t )

OM =

2

+ ( −2 + 12t ) = 169t 2 − 78t + 13

OM min = 4 ⇔ t =

2

3
13 (thỏa)

P = z − 5i = z + 5i = OM
*
Pmin = 4

Câu 48: Cho hàm số

Hàm số
A. 5 .

f ( x)

y = f ′( x)
có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số
như hình vẽ bên.

y = f ( x2 + 4 x ) − x2 − 4 x

B. 4 .

có bao nhiêu điểm cực trị thuộc
C. 6 .

y′ = ( 2 x + 4 ) f ′ ( x + 4 x ) − 2 x − 4

( −5;1) .
D. 3 .

Lời giải

2

Ta có:

.

 x = −2
y ′ = 0 ⇔ ( 2 x + 4 )  f ′ ( x 2 + 4 x ) − 1 = 0 ⇔ 
2
 f ′ ( x + 4 x ) = 1( *) .

Do đó:
 x 2 + 4 x = −4

( *) ⇔  x 2 + 4 x = 0
 x2 + 4 x = a ( 1 < a < 5)
y = f ′( x)

Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra:
 x = −2 ( nghiem kep)
x = 0
⇔
 x = −4
 2
 x + 4 x = a ( 1 < a < 5 ) ( **) .
( **) có ∆′ = 4 + a ∈ ( 5;9 ) .
Phương trình

Nên phương trình

( **)

có 2 nghiệm là

(

x1 = −2 − ∆ ' ∈ −5, −2 − 5

)

Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Và

(

).

x2 = −2 + ∆ ' ∈ −2 + 5;1

( −5;1) và khác các nghiệm trên.
Cả 2 nghiệm đều thuộc
Vậy phương trình y ′ = 0 có 5 nghiệm trong đó có 1 nghiệm bội ba và 4 nghiệm đơn thuộc
( −5;1) .

y = f ( x2 + 4 x ) − x2 − 4 x

( −5;1) .
có 5 điểm cực trị thuộc
y = f ( x)
f ( 1) = 1
y = f ′( x)
Câu 49: Cho hàm số
có đạo hàm trên ¡ và
. Đồ thị hàm số
như hình bên.
Vậy hàm số

y = 4 f ( sin x ) + cos 2 x − a
Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số
nghịch biến trên
 π
 0; ÷
 2 ?

A. 2.

B. 3.

C. Vô số.
Lời giải

D. 5.

y = 4 f ( sin x ) + cos 2 x − a
Xét hàm số
y′ = cos x  4 f ′ ( sin x ) − 4sin x 
.

 π
∀x ∈  0; ÷
 2
Ta thấy, cos x > 0 ,
y = f ′( x)
Đồ thị của hàm số
và y = x vẽ trên cùng hệ trục tọa độ như sau:

Từ đồ thị ta có

 π
⇒ f ′ ( sin x ) < sin x, ∀x ∈  0; ÷
′
f ( x ) < x, ∀x ∈ ( 0;1)
 2

 π
y′ < 0, ∀x ∈  0; ÷
 2 .
Suy ra
Ta có bảng biến thiên

Page 25