đề 27 bám sát minh họa 2023 môn toan

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 27
Bài thi môn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

Câu 1:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?

Câu 2:

Câu 3:

x +1 y − 2 z − 3
=
=
3
1
−2 . Vectơ nào dưới đây là một

( −3;1; −2 ) .
C.
2x −1
y=

x + 2 là
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
y=−
2.
A.
B. y = −2 .
C. x = −2 .
A.

( −1; 2;3) .

d:

B.

( 3;1; −2 ) .

D.

( 3; −1; −2 ) .

D. y = 2 .
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4,5, 6 ?
3
3
3
A. C6 .
B. 3! .
C. 6 .

D. A6 .

Câu 4:

Cho khối trụ có chiều cao h = 6 và bán kính đáy r = 2 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 72π .
B. 8π .
C. 12π .
D. 24π .

Câu 5:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình
vẽ?
3
2
A. y = − x + x − 1 .
4
2
C. y = − x + x − 1 .

Câu 6:

Câu 7:

4
2
B. y = x − x − 1 .
3
2

D. y = x − x − 1 .

f ( x) = 2x +1
Một nguyên hàm của hàm số
là
2
2
F ( x) = 2x + x
F ( x) = x + x
F ( x) = 2
A.
.
B.
.
C.
.
y = f ( x)
Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ

2 f ( x) − 3 = 0
Số nghiệm của phương trình
là
A. 0 .
B. 4 .
Câu 8:

Câu 9:

log ( x + 1) = 1

Nghiệm của phương trình
là
A. x = 10 .
B. x = 0 .
Cho hàm số

y = f ( x)

D.

F ( x ) = x2 + 1

C. 3 .

D. 2 .

C. x = 9 .

D. x = e − 1 .

.

có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ
Page 1


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
( −∞; −1) .

( 0; 2 ) .
( −∞;0 ) .
( 0;5) .
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Cho số phức z1 = 2 − i và z2 = 1 + 2i . Điểm biểu diễn của số phức z1 + z2 là điểm nào dưới
đây?
M ( 3;1)
Q ( −3; −1)
P ( 3; −1)
N ( −3;1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
Câu 11: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a và chiều cao h = 8a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
3
A. 8a .

3
B. 48a .

3

3

C. 16a .
D. 24a .
2
2
2
( S ) : x + y + z − 4 x + 6 y − 4 = 0 . Tâm ( S ) có tọa độ là
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2; − 3;0 )
( 2; − 3; 2 ) .
( 2;3; 0 ) .
( 4; − 6; 4 ) .
A.
B.
C. (
.
D.
log 2 ( ab )
Câu 13: Cho a ; b là hai số thực dương tùy ý
bằng
a log 2 b
b log 2 a
log 2 a. log 2 b
A.
.
B.
.
C. log 2 a + log 2 b .

D.
.
Câu 14: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 x ≤ 2 là
A. 2 .
B. 5 .
C. 3 .
4

∫

Câu 15: Nếu
A. 8 .

f ( x ) dx = −2

1

4

và

∫ g ( x ) dx = −6
1

B. −8 .

D. 4 .

4

thì

∫  f ( x ) − g ( x ) dx
1

bằng

C. −4 .

D. 4 .

A ( −2;1; −1)
Câu 16: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
trên trục Ox có toạ độ là
( 2; 0;0 ) .
( 0;1; −1) .
( −2;0;0 ) .
( −2;1;0 ) .
A.
B.
C.
D.
Câu 17: Số phức liên hợp của số phức z = −1 + 2i là
A. z = −1 − 2i .

B. z = 2 − i .
C. z = 1 + 2i .
Câu 18: Cho khối cầu có bán kính R = 5 . Thể tích của khối cầu đã cho bằng
500π
250π

A. 3 .
B. 100π .
C. 3 .
−
Câu 19: Tập xác định của hàm số y = x
¡ \ { 0}
A.
.
B. ¡ .

3

là

Câu 20: Cho hình nón có diện tích xung quanh
phần của hình nón đã cho bằng
2
2
A. 11π a .
B. 7π a .

C.
S xq = 4π a 2

[ 0; +∞ ) .

D. z = 2 + i .

D. 25π .

D.

( 0; +∞ ) .

2
và diện tích đáy bằng 3π a . Diện tích tồn

C. 10π a .
2

D. 12π a .
2

( un )

có u2 = 3 , công sai d = −2 . Số hạng u1 bằng
B. 1 .
C. −6 .
D. −1 .
( P ) : 3x − 2 y + 4 z + 10 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc
Câu 22: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
Câu 21: Cho cấp số cộng
A. 5 .

( P) ?
Page 2


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Q ( 2; −1;3)
.
D.
.
Câu 23: Thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 3, 4, 6 bằng
A. 72 .
B. 24 .
C. 12 .
D. 18 .
A.

M ( 2; 2; −3)

Câu 24: Cho hàm số

.

B.

y = f ( x)

N ( 1; 2; −3)

.

C.

P ( 3; −2; 4 )

có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. −3 .
B. −1 .

C. 1 .

D. 2 .

C. 10 .

D. 10 .

Câu 25: Môđun của số phức z = 3 − i bằng
A.

2.

B. 2 2 .

Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh

a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 (tham
khảo hình vẽ).
Góc giữa mặt phẳng
0
A. 30 .
0
C. 60 .

( SBC )

và ( ABCD) bằng
0
B. 45 .
0
D. 90 .

Câu 27: Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
65
A. 3 .
B. 20 .
C. 6 .

f ( x) = x +

4
x trên [ 1;3] bằng
52
D. 3 .

z1
Câu 28: Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = −2 + i . Phần ảo của số phức z2 bằng
−7
−4
−7
−4
.
i
i

A. 5
B. 5
C. 5
D. 5

f ( x)

Câu 29: Cho hàm số
có đạo hàm
của hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 2 .

f ′ ( x ) = ( x 2 − 3x + 2 ) ( x + 2 )

3

( x − 2 ) , ∀x ∈ ¡

. Số điểm cực trị

C. 4 .

D. 1 .
1
1
1
+
=
2

3
6 . Mệnh đề nào dưới
Câu 30: Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và thỏa mãn log a c log b c
đây đúng?
3 4
3
4
3 2
3 4
A. a b = 1 .
B. a + b = c .
C. a b = c .
D. a b = c .
1 2
+ x −3 > 0
x
Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình 9 3
là
( 0; +∞ ) .
( −∞;0 ) .
( −∞;0] .
A.
B.
C.

D.

[ 0; +∞ ) .
Page 3

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
Câu 32: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x + 1 , y = −2 , x = 0 và x = 1 được
tính bởi cơng thức nào dưới đây?
1

A.

S = π ∫ ( x 2 − 1) dx
0

1

.

B.

S = ∫ ( x 2 − 1) dx
0

Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

1

.

C.

S = ∫ ( x 2 + 3) dx

0

( S ) : ( x − 1)

2

1

.

D.

S = π ∫ ( x 2 + 3 ) dx
0

+ ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9
2

( α ) : 2 x − y + 2 z − 5 = 0 . Phương trình chính tắc của đường thẳng

.

2

và mặt phẳng

d đi qua tâm của ( S ) và

( α ) là
vng góc với

x −1 y + 2 z +1
x +1 y − 2 z −1
=
=
=
=
−1
2 .
−1
2 .
A. 2
B. 2
x + 2 y −1 z + 2
x − 2 y +1 z − 2
=
=
=
=
−2
−1 .
−2
−1 .
C. 1
D. 1
Câu 34: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , AD = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai
cạnh AB và CD . Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN tạo thành một hình trụ. Thể
tích của khối trụ đó bằng
π a3
3
A. 2 .

B. π a .
e
ln 2 x
∫1 x dx
Câu 35: Xét
, nếu đặt u = ln x thì
1

∫ u du

3
C. 2π a .

3
D. 4π a .

e

ln 2 x
∫1 x dx
bằng

1

− ∫ u 2 du

1

e

∫ u du

2
∫ u du

2

A. 0
.
B. 0
.
C. 1
.
D. 0
.
Câu 36: Một đội văn nghệ của trường gồm 6 học sinh nam, trong đó có một bạn tên An và 4 học sinh
nữ, trong đó có một bạn tên Bình. Xếp ngẫu nhiên đội văn nghệ thành một hàng ngang để biểu
diễn tiết mục đồng ca. Xác suất để giữa hai bạn nữ liên tiếp có đúng hai bạn nam đồng thời An
ln đứng cạnh Bình bằng
1
1
1
1
.
A. 1260 .
B. 840 .
C. 210 .
D. 4
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác
·

cân tại A, BAC = 120° , AB = 2a, AA′ = a 2 . Gọi M là
trung điểm của cạnh BC (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng C ′M và AB bằng

2a 66
A. 11 .

a 66
B. 22 .

a 22
C. 11 .

a 66
D. 11 .

1
 x+2
f ( x) =  2
− x + 5
Câu 38: Cho hàm số

khi 0 ≤ x < 2

e2

khi 2 ≤ x ≤ 5 . Khi đó

1

∫

2 6
f ( ln x )
dx + ∫ xf
x
3

(

)

x 2 + 1 dx

bằng
Page 4


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
37
A. 2 .

B. 5 .
ax + b
f ( x) =
x − c ( a, b, c ∈ ¡
Câu 39: Cho hàm số

19
C. 2 .

)

27
D. 2 .

có đồ thị như hình vẽ

Trong các số a , b , c có bao nhiêu số dương?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .

D. 3 .

3
2
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) = a x + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ.

 3π

2
 − ;3π ÷
 của phương trình f ( sin x ) − 5 f ( sin x ) + 6 = 0
Số nghiệm thuộc khoảng  2
A. 13.
B. 7 .
C. 12.
D. 9 .

Câu 41: Cho hàm số

f ( x ) = x4 − 2x2 + m m
( là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

f ( x ) < 3min f ( x )
[ −20; 20] sao cho max
[ 0;2]
[ 0;2]
nguyên của m thuộc đoạn
. Tổng các phần tử của S
bằng
A. 63 .
B. 51.
C. 195 .
D. 23 .
z 2 + 2 ( m + 1) z + m 2 + 5 = 0 m
Câu 42: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( là tham số thực).

z + z2 = 8?
Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có 2 nghiệm z1 , z2 thỏa mãn 1
Page 5


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
B. 3 .

A. 1 .
Câu 43: Hàm

số

y = f ( x)

C. 4 .

có

đạo

hàm

f ( x ) + x. f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = 4 x − 6 x − 2 x + 4
3

D. 2 .

liên

tục

trên

log

Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn
A. 46 .
B. 44 .

(

nhiêu

giá

trị

g ( x ) = f x 3 + 2021x + m

)

thỏa

mãn

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các

1
2023

log 88

C. S = 8π .

D. S = 4π .

)

(

x 2 + 1 + x > log 2023 log 1
88

C. 43 .
y = f ( x)
y = f ′( 3 − 2x)
Câu 45: Cho hàm số
có đồ thị của
như hình vẽ sau:

bao

và

2

y = f ( x) y = f ′( x)
hàm số
,
.
A. S = 8 .
B. S = 4 .

Có

¡

nguyên

của

tham

số

(

x2 + 1 − x

)?

D. 45 .

m ∈ [ −2021; 2021]

để

hàm

số

có ít nhất 5 điểm cực trị?
A. 2019.
B. 2020.
C. 2021.
D. 2022.
Câu 46: Cho lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vng, cạnh bên có độ dài bằng 2a . Gọi
4a
M , O lần lượt là trung điểm A ' B ' và A ' C ' . Biết khoảng cách giữa AM và CO bằng 9 .

Thể tích khối lăng trụ ABD. A ' B ' D ' bằng

a3
A. 2 .

3
B. 2a .
( x; y ) thỏa mãn
Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên

(

)

(

)

a3
C. 3 .

(

3
D. a 2 .

)

log 3 x 2 + y 2 + x + log 2 x 2 + y 2 ≤ log 3 x + log 2 x 2 + y 2 + 2 x ?

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 48: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy bằng 3 3 và có góc ở đỉnh bằng 120° . Gọi A và B là hai
điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác SAB là tam giác vuông, khoảng cách từ tâm
đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
3
3
.
.
A. 3.
B. 2
C. 3.
D. 2

Page 6


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Câu 49: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
Mặt cầu

( S)

N ( a; b; c )

 x = 1 + 2t

∆ :  y = 1+ t
 z = −t


và mặt phẳng

( P) : x + 2 y + z − 6 = 0 .

( P ) tại A . Điểm
có tâm I thuộc ∆ (I có hồnh độ âm ) tiếp xúc với mặt phẳng

là điểm thay đổi trên

( S ) , khi khoảng cách ON

lớn nhất thì giá trị của T = a + b − c

là bao nhiêu, biết rằng diện tích tam giác IAM bằng 3 3 (M là giao điểm của đường thẳng ∆
và mặt phẳng

( P ) ).

A. 2 + 2 3 .
Câu 50: Xét các số phức

B. −2 − 2 3 .

z = a + bi, ( a, b ∈ ¡

lớn nhất. Khi đó 5a − 2b bằng
A. 4 .
B. 8 .

)

C. −2 + 2 3 .
thỏa mãn

z − 2 + 3i = 4

C. 16 .

D. −2 + 3 .
và

z + 1 − 4i + z − 9

đạt giá trị

D. 12 .

---------- HẾT ----------

Page 7

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1.B
11.D
21.A
31.B
41.A

Câu 1:

4.D
14.D
24.A
34.B
44.C

( −3;1; −2 ) .
C.
Lời giải
r
u = ( 3;1; −2 )
d
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
.
2x −1
y=
x + 2 là
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A.

( −1; 2;3) .

y=−

Ta có
Câu 3:

3.D
13.C
23.A
33.A
43.A

8.C
18.A
28.A
38.A
48.D

9.A
19.D
29.B
39.D
49.B

10.A
20.B
30.C
40.A
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
x +1 y − 2 z − 3
d:
=
=
Oxyz
3
1
−2 . Vectơ nào dưới đây là một
Trong không gian
, cho đường thẳng
vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
A.

Câu 2:

2.D
12.C
22.A
32.C
42.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.B
7.D
15.A
16.C
17.A
25.C

26.C
27.B
35.D
36.B
37.D
45.D
46.A
47.A

B.

1
2.

B. y = −2 .

lim y = lim y = 2

x →+∞

( 3;1; −2 ) .

x→−∞

C. x = −2 .
Lời giải

D.

( 3; −1; −2 ) .

D. y = 2 .

.

Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4,5, 6 ?
3
A. C6 .

B. 3! .

3

C. 6 .
Lời giải

3
D. A6 .

Gọi số số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là abc .
Câu 4:

3
Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ 6 số đã cho là A6 .
Cho khối trụ có chiều cao h = 6 và bán kính đáy r = 2 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 72π .
B. 8π .
C. 12π .
D. 24π .

Lời giải

V = π r 2 h = 24π .
Câu 5:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

3
2
A. y = − x + x − 1 .

4
2
B. y = x − x − 1 .

4
2
3
2
C. y = − x + x − 1 .
D. y = x − x − 1 .
Lời giải
Đồ thị trong hình bên là hàm trùng phương với hệ số a > 0 và có ba điểm cực trị.

Page 8


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 6:

f ( x) = 2x +1
Một nguyên hàm của hàm số
là
2
2
F ( x) = 2x + x
F ( x) = x + x
F ( x) = 2
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Ta có

Câu 7:

∫ ( 2 x + 1) dx = x

Cho hàm số

2

y = f ( x)

+ x+C

D.

F ( x ) = x2 + 1

.

.

có bảng biến thiên như hình vẽ

2 f ( x) − 3 = 0
Số nghiệm của phương trình
là
A. 0 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
3
2 f ( x) − 3 = 0 ⇔ f ( x) =
2 . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm
Ta có:
số
Câu 8:

Câu 9:

y = f ( x)

y=

3
3
1< < 3
2 . Ta thấy
2
nên phương trình có 2 nghiệm.

và đường thẳng
log ( x + 1) = 1
Nghiệm của phương trình
là
A. x = 10 .
B. x = 0 .

C. x = 9 .
Lời giải

D. x = e − 1 .

Điều kiện: x + 1 > 0 ⇔ x > −1.
log ( x + 1) = 1 ⇔ log ( x + 1) = log10 ⇔ x + 1 = 10 ⇔ x = 9.
Ta có:
y = f ( x)
Cho hàm số
có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
( −∞; −1) .
( 0; 2 ) .

( −∞;0 ) .
( 0;5) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
( −∞; −1) ; ( 2; +∞ )
Hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng
Câu 10: Cho số phức z1 = 2 − i và z2 = 1 + 2i . Điểm biểu diễn của số phức z1 + z2 là điểm nào dưới
đây?
M ( 3;1)
Q ( −3; −1)
P ( 3; −1)
N ( −3;1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
M ( 3;1)
Ta có z1 + z2 = 2 − i + 1 + 2i = 3 + i . Vậy điểm biểu diễn của số phức z1 + z2 là điểm
.
Page 9

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
2
Câu 11: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6a và chiều cao h = 8a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
3
3
3
3
A. 8a .
B. 48a .
C. 16a .
D. 24a .
Lời giải
1
1
V = Bh = .6a 2 .8a = 24a 3
3
3
Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y − 4 = 0 . Tâm ( S ) có tọa độ là
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2; − 3;0 )
( 2; − 3; 2 ) .
( 2;3; 0 ) .
( 4; − 6; 4 ) .
A.
B.
C. (
.
D.

Lời giải
2
2
2
( S ) : x + y + z − 4 x + 6 y − 4 = 0 có tâm I ( 2; − 3;0 ) .
Mặt cầu
log 2 ( ab )
Câu 13: Cho a ; b là hai số thực dương tùy ý
bằng
a log 2 b
b log 2 a
log 2 a. log 2 b
A.
.
B.
.
C. log 2 a + log 2 b .
D.
.
Lời giải
log 2 ( ab ) = log 2 a + log 2 b
.
Câu 14: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 x ≤ 2 là
B. 5 .

A. 2 .

D. 4 .

C. 3 .

Lời giải
log 2 x ≤ 2 ⇔ 0 < x ≤ 4 . Mà x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { 1; 2;3; 4} .
Vậy bất phương trình đã cho có bốn nghiệm nguyên.
4

∫ f ( x ) dx = −2

Câu 15: Nếu 1
A. 8 .

4

và

∫ g ( x ) dx = −6
1

B. −8 .

4

thì

∫  f ( x ) − g ( x ) dx
1

bằng

C. −4 .
Lời giải

4

4

4

1

1

1

D. 4 .

∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 2 − −6 = 8
A ( −2;1; −1)
Câu 16: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
trên trục Ox có toạ độ là
( 2; 0;0 ) .
( 0;1; −1) .
( −2;0;0 ) .
( −2;1;0 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
A ( −2;1; −1)
( −2;0; 0 ) .

Ta có hình chiếu vng góc của điểm
trên trục Ox có toạ độ là
Câu 17: Số phức liên hợp của số phức z = −1 + 2i là
A. z = −1 − 2i .

B. z = 2 − i .

C. z = 1 + 2i .
Lời giải
Ta có số phức liên hợp của số phức z = −1 + 2i là z = −1 − 2i .
Câu 18: Cho khối cầu có bán kính R = 5 . Thể tích của khối cầu đã cho bằng
500π
250π
A. 3 .
B. 100π .
C. 3 .
Lời giải
4
4
500π
3
V = π R3 = π ( 5) =
3
3
3 .
Thể tích của khối cầu là

D. z = 2 + i .

D. 25π .

Page 10


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
−
Câu 19: Tập xác định của hàm số y = x
¡ \ { 0}
A.
.
B. ¡ .

Điều kiện xác định: x > 0 .
Vậy tập xác định của hàm số là

3

là

[ 0; +∞ ) .

C.
Lời giải

D.

( 0; +∞ ) .

D = ( 0; +∞ )

.
S xq = 4π a 2

Câu 20: Cho hình nón có diện tích xung quanh
phần của hình nón đã cho bằng
2
2
A. 11π a .
B. 7π a .

2
và diện tích đáy bằng 3π a . Diện tích tồn

2
2
C. 10π a .
D. 12π a .
Lời giải
S = S xq + Sday = 4π a 2 + 3π a 2 = 7π a 2
Ta có diện tích tồn phần của hình nón là tp
.
(u )
Câu 21: Cho cấp số cộng n có u2 = 3 , cơng sai d = −2 . Số hạng u1 bằng
A. 5 .
B. 1 .
C. −6 .
D. −1 .
Lời giải
Ta có: u1 = u2 − d = 5 .

( P ) : 3x − 2 y + 4 z + 10 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc
Câu 22: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
( P) ?
A.

M ( 2; 2; −3)

.

B.

N ( 1; 2; −3)

.

C.
Lời giải

P ( 3; −2; 4 )

.

D.

Q ( 2; −1;3)

.

( P ) ta có: 3.2 − 2.2 + 4 ( −3) + 10 = 0 .
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng

M ∈( P)
Suy ra:
.
Câu 23: Thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 3, 4, 6 bằng
A. 72 .
B. 24 .
C. 12 .
D. 18 .
Lời giải

Thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 3, 4, 6 bằng: 3.4.6 = 72 .
y = f ( x)
Câu 24: Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau

Page 11


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. −3 .
B. −1 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0 , giá trị cực tiểu là

f ( 0 ) = −3

.

Câu 25: Môđun của số phức z = 3 − i bằng
A.

2.

B. 2 2 .

z = 32 + ( −1) = 10

C. 10 .
Lời giải

D. 10 .

2

Ta có:

.

Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng
đáy và SA = a 3 (tham khảo hình vẽ).

( SBC )

và ( ABCD) bằng

0
0
0
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
( SBC ) ∩ ( ABCD) = BC . Do ABCD là hình vng suy ra AB ⊥ BC (1) mà AB là hình
Ta có
chiếu vng góc của SB lên ( ABCD) nên SB ⊥ BC (2). Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt
Góc giữa mặt phẳng
0
A. 30 .

( SBC )

·
và ( ABCD) bằng SBA (do tam giác ∆SAB vuông tại A ).
SA
·
tan SBA
=
= 3
0
·
( SBC ) và ( ABCD)
AB
Ta có
. Suy ra SBA = 60 . Vậy góc giữa mặt phẳng
0

bằng 60 .
phẳng

Câu 27: Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
65
A. 3 .
B. 20 .
C. 6 .

f ( x) = x +

4
x trên [ 1;3] bằng
52
D. 3 .

Lời giải
x = 2
4
4
f ′( x) = 1 − 2 f ′( x ) = 0 ⇔ 1 − 2 = 0 ⇔ 
x
 x = −2 (l ) .
x ,
Ta có

Page 12


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Ta có

f (1) = 5; f (2) = 4; f (3) =

13
3 . Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên [ 1;3] bằng 4

[ 1;3] bằng 5. Vậy tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị
và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên
lớn nhất của hàm số

f ( x) = x +

4
x trên [ 1;3] bằng 20.

z1
Câu 28: Cho hai số phức z1 = 3 + 2i và z2 = −2 + i . Phần ảo của số phức z2 bằng
−7
−4
−7
−4
.
i
i
A. 5
B. 5
C. 5
D. 5

Lời giải
z1 3 + 2i −4 7
=
=
− i
z2 −2 + i 5 5 .
z1
−7
z
Phần ảo của số phức 2 bằng 5 .

f ( x)

Câu 29: Cho hàm số
có đạo hàm
của hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 2 .
Ta có

f ′ ( x ) = ( x 2 − 3x + 2 ) ( x + 2 )

f ′ ( x ) = ( x 2 − 3x + 2 ) ( x + 2 )

3

( x − 2 ) , ∀x ∈ ¡

C. 4 .
Lời giải

3

. Số điểm cực trị

D. 1 .

( x − 2 ) = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 2 )
3

2

.

f ′( x)
Nhận thấy
đổi dấu khi qua x = −2 và x = 1 .
Vậy hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
1
1
1
+
=
2
3
6 . Mệnh đề nào dưới
Câu 30: Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và thỏa mãn log a c log b c
đây đúng?
3 4
A. a b = 1 .

3
4
B. a + b = c .

3 2
3 4
C. a b = c .
D. a b = c .
Lời giải
log c a log c b 1
1
1
1
1
1
1
+
= ⇔
+
= ⇔
+
=
2
3
log
c
log
c
6
2

log
c
3log
c
6
2
3
6
a
b
a
b
Ta có
⇔ 3log c a + 2 log c b = 1 ⇔ log c a 3 + log c b 2 = 1 ⇔ log c a 3b 2 = 1 ⇔ a 3b 2 = c .

1 2
+ x −3 > 0
x
Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình 9 3
là
( 0; +∞ ) .
( −∞;0 ) .
( −∞;0] .
[ 0; +∞ ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
1 2

1
+ x − 3 > 0 ⇔ −3.9 x + 2.3x + 1 > 0 ⇔ − < 3x < 1 ⇔ 3x < 1 ⇔ x < 0
x
3
Ta có 9 3
.
S = ( −∞; 0 ) .
Vậy tập nghiệm bất phương trình là
.
2
Câu 32: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x + 1 , y = −2 , x = 0 và x = 1 được
tính bởi công thức nào dưới đây?
Page 13


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1

A.

S = π ∫ ( x 2 − 1) dx
0

1

.

B.

S = ∫ ( x 2 − 1) dx

1

0

1

.
C.
Lời giải

0

1

.

D.

S = π ∫ ( x 2 + 3 ) dx
0

.

1

S = ∫ x + 1 − (−2)dx = ∫ x + 3dx = ∫ ( x 2 + 3) dx
2

Ta có

1

S = ∫ ( x 2 + 3) dx

2

0

0

0

Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

.

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9
2

2

( α ) : 2 x − y + 2 z − 5 = 0 . Phương trình chính tắc của đường thẳng

và mặt phẳng

d đi qua tâm của ( S ) và

( α ) là
vng góc với
x −1 y + 2 z +1
x +1 y − 2 z −1
=
=
=
=
−1
2 .
−1
2 . B. 2
A. 2
x + 2 y −1 z + 2
x − 2 y +1 z − 2
=
=
=
=
−2
−1 . D. 1
−2
−1 .
C. 1
Lời giải
Mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

Mặt phẳng

2

+ ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9
2

2

có tâm là

r
n = ( 2; −1; 2 )

(α)

I ( 1; −2; −1)

.

có vectơ pháp tuyến là
.
r
α
n
= ( 2; −1; 2 )
(
)
Vì đường thẳng d vng góc với

nên d nhận
làm vectơ chỉ phương.
x −1 y + 2 z +1
=
=
−1
2 .
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là: 2
Câu 34: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , AD = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai
cạnh AB và CD . Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN tạo thành một hình trụ. Thể
tích của khối trụ đó bằng
π a3
3
3
3
A. 2 .
B. π a .
C. 2π a .
D. 4π a .
Lời giải

Khối trụ cần tìm có bán kính

r=

A

M

B

D

N

C

AB
=a
2
, chiều cao h = AD = a .

2
2
3
Vậy thể tích của khối trụ đó là V = π r h = π a a = π a .
e

ln 2 x
∫1 x dx
Câu 35: Xét
, nếu đặt u = ln x thì

e

ln 2 x
∫1 x dx
bằng

Page 14

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
1

A.

∫ u du
0

1

.

B.
du =

− ∫ u 2 du
0

1

e

.

2
∫ u du

C. 1

Lời giải

∫ u du
2

.

D.

0

.

1
dx
x .

Đặt u = ln x , ta có
Khi x = 1 thì u = 0 , khi x = e thì u = 1 .
e
1
ln 2 x
2
d
x
=
∫1 x
∫0 u du
Vậy
.

Câu 36: Một đội văn nghệ của trường gồm 6 học sinh nam, trong đó có một bạn tên An và 4 học sinh
nữ, trong đó có một bạn tên Bình. Xếp ngẫu nhiên đội văn nghệ thành một hàng ngang để biểu
diễn tiết mục đồng ca. Xác suất để giữa hai bạn nữ liên tiếp có đúng hai bạn nam đồng thời An
ln đứng cạnh Bình bằng
1
1
1
1
.
A. 1260 .
B. 840 .
C. 210 .
D. 4
Lời giải

Ω = 10!
Không gian mẫu:
.
Biến cố A là: xếp 10 học sinh sao cho để giữa hai bạn nữ liên tiếp có đúng hai bạn nam đồng
thời An ln đứng cạnh Bình.
Đánh số thứ tự vị trí đứng từ 1 đến 10.
Vì để giữa hai bạn nữ liên tiếp có đúng hai bạn nam đứng nên nữ phải đứng ở các vị
trí 1, 4, 7,10 và nam đứng ở các vị trí 2,3,5, 6,8,9 .
Trường hợp 1: Bình đứng vị trí 1
Khi đó An bắt buộc phải đứng vị trí 2 nên An có 1 cách đứng.
Xếp 3 nữ cịn lại và 5 nam cịn lại vào vị trí: 5!.3! cách.
⇒ 5!.3! cách xếp 10 học sinh theo yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: Bình đứng vị trí 10, tương tự như trường hợp 1 cũng có 5!.3! cách
xếp 10 học sinh theo u cầu bài tốn

Trường hợp 3: Bình đứng vị trí 4
Khi đó An có 2 cách chọn vị trí là vị trí 3 hoặc 5.
Xếp 3 nữ cịn lại và 5 nam cịn lại vào vị trí: 5!.3! cách.
⇒ 2.5!.3! cách xếp 10 học sinh theo yêu cầu bài tốn.

Trường hợp 4: Bình đứng vị trí 7, tương tự như trường hợp 3 ta cũng có 2.5!.3! cách xếp 10
học sinh theo yêu cầu bài toán.
⇒ A = ( 5!.3!) .2 + ( 2.5!.3!) .2 = 4320
.
A 4320
1
P ( A) =
=
=
Ω
10! 840
Vậy
.
·
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BAC = 120° ,

AB = 2a, AA′ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC (tham khảo hình vẽ).

Page 15


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

Khoảng cách giữa hai đường thẳng C ′M và AB bằng

2a 66
A. 11 .

a 66
B. 22 .

a 22
C. 11 .
Lời giải

a 66
D. 11 .

Gọi N là trung điểm của AC , ta có MN // AB (vì M là trung điểm của BC ).
⇒ AB // ( C ′MN ) ⇒ d ( AB, C ′M ) = d ( AB, ( C ′MN ) ) = d ( B, ( C ′MN ) ) = d ( C , ( C ′MN ) )
Trong tam giác CMN , kẻ CK ⊥ MN
1
NC = AC = a
·CNM = CAB
·
·
= 120° ⇒ CNK = 60° ;
2
Ta có

a 3
·
CK = CN .sin CNK
=
2 .

Xét ∆CKN vng tại K , ta có
 MK ⊥ CK
⇒ MK ⊥ ( CC ′K ) ⇒ MK ⊥ CH

′
MK
⊥
CC
′
′
∆
CKC
CH
⊥
C
K

Trong
, kẻ
. Ta có
⇒ CH ⊥ ( C ′MN ) ⇒ d ( C , ( C ′MN ) ) = CH
.

Page 16


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

CH =

CK .CC ′
CK + CC ′
2

2

Trong tam giác C ′CK vng tại C , ta có

=

a 3
.a 2
2
2

a 3

÷ + a 2
 2 

(

=

)

2

a 66
11

.

a 66
11 .
Vậy
1
e2
2 6
 x + 2 khi 0 ≤ x < 2
f ( ln x )
2
f ( x) =  2
d
x
+
∫1 x
∫ xf x + 1 dx
− x + 5 khi 2 ≤ x ≤ 5
3
Câu 38: Cho hàm số
. Khi đó
bằng
37
19
27
A. 2 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 2 .

Lời giải
Ta có
d ( AB, C ′M ) =

(

2
e
f ( ln x )
dx = ∫ f ( ln x ) d ( ln x ) ⇔ I1 = ∫ f ( u ) du
x
0
1

e2

+)

)

2

I1 = ∫
1

2

2

1


⇔ I1 = ∫ f ( x ) dx = ∫  x + 2 ÷dx = 5
2

0
0
.
I2 =

+)

2 6

∫

xf

3

(

)

x 2 + 1 dx =

2 6

∫

x 2 + 1. f

3

) (

(

x2 + 1 d

5

5

5

2

2

2

x2 + 1

⇔ I 2 = ∫ u. f ( u ) du = ∫ x. f ( x ) dx ⇔ I 2 = ∫ x. ( − x + 5 ) dx =
e

Vậy

2

∫
1

2 6
f ( ln x )
dx + ∫ xf
x
3

Câu 39: Cho hàm số

f ( x) =

(

ax + b
x−c

)

x 2 + 1 dx = 5 +

( a, b, c ∈ ¡ )

27 37
=
2
2

)

27
2 .

.

có đồ thị như hình vẽ

Trong các số a , b , c có bao nhiêu số dương?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
Lời giải

D. 3 .
Page 17


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
b
⇔
<0
y
0
<
0
(
)
⇔ −b < 0
−c

Dựa vào đồ thị ta có: TCĐ x = 1 ⇒ c = 1 , TCN y = 1 ⇒ a = 1 và
⇔b>0.
Suy ra a, b, c > 0 .
3
2
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) = a x + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ.

 3π

2
 − ;3π ÷
 của phương trình f ( sin x ) − 5 f ( sin x ) + 6 = 0
Số nghiệm thuộc khoảng  2
A. 13.
B. 7 .
C. 12.
D. 9 .

Lời giải
Đặt

t = sin x ,

với

 3π

x ∈  − ; 3π ÷⇒ t ∈ [ −1;1]
 2


,

ta

được

phương

trình:

 f ( t) = 2
 f ( t ) = ±2
f 2 ( t) − 5 f ( t) + 6 = 0 ⇔ 
⇔
 f ( t ) = 3
 f ( t ) = ±3
.

Xét phương trình: f ( t ) = −2 khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] .
t = a ∈ ( 0;1)
f ( t) = 2 ⇔ 
t = b ∈ ( −1; 0 )
Xét phương trình:
+) sin x = a cho 4 nghiệm.
+) sin x = b cho 5 nghiệm.

Xét phương trình: f ( t ) = −3 khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] .

Xét phương trình: f ( t ) = 3 ⇔ t = 0 phương trình có 4 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 13 nghiệm.

Page 18


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
Câu 41: Cho hàm số

f ( x ) = x4 − 2x2 + m m
( là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

f ( x ) < 3min f ( x )
[ −20; 20] sao cho max
[ 0;2]
[ 0;2]
nguyên của m thuộc đoạn
. Tổng các phần tử của S
bằng
A. 63 .
B. 51.
C. 195 .
D. 23 .
Lời giải
4
2
f ( x) = x − 2x + m
Xét hàm số
trên đoạn [ 0;2]
x = 0
f ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ 
3

f ′ ( x ) = 4x − 4x
x = 1 .
Ta có:
;
f ( 1) = m − 1; f ( 2 ) = m + 8; f ( 0 ) = m
.
max f ( x ) = m + 8; min f ( x ) = m − 1
[ 0;2]
[ 0;2]
.

max f ( x ) = m + 8 min f ( x ) = m − 1
[ 0;2]
, [ 0;2]
.
11
max f ( x ) < 3min f ( x ) ⇔ 8 + m < 3 ( m − 1) ⇔ m >
[ 0;2]
2.
Khi đó: [ 0;2]

+) Nếu m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ 1 thì

+) Nếu m + 8 ≤ 0 ⇔ m ≤ −8 thì
Khi đó:
+) Nếu

max f ( x ) = m − 1 min f ( x ) = −m − 8
[ 0;2]
, [ 0;2]

.

max f ( x ) < 3min f ( x ) ⇔ 1 − m < 3 ( − m − 8 ) ⇔ m < −
[ 0;2]

[ 0;2]

25
2 .

( m − 1) ( m + 8) < 0 ⇔ −8 < m < 1 thì

max f ( x ) = max { m + 8 , m − 1 } = max { m + 8,1 − m} > 0; min f ( x ) = 0
[ 0;2]

[ 0;2]

.

max f ( x ) < 3min f ( x )

[ 0;2]
Khi đó, khơng thỏa điều kiện [ 0;2]
.
25

m < − 2

25   11 


 m > 11
m ∈  −20; − ÷∪  ; 20
m
∈
−
20;
20
[
]
2  2
2


Do đó: 
kết hợp với
ta có

Mà

m ∈ z ⇒ S = { −20; −19; −18;....; −13; 6; 7;...., 20}

.
Tổng các phần tử của S bằng 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63 .
z 2 + 2 ( m + 1) z + m 2 + 5 = 0 m
Câu 42: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
( là tham số thực).

z + z2 = 8?
Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có 2 nghiệm z1 , z2 thỏa mãn 1
A. 1 .

B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
2
2
z + 2 ( m + 1) z + m + 5 = 0 ( 1)
Phương trình
có ∆′ = 2m − 4 .
Trường hợp 1 : ∆′ > 0 ⇔ m > 2 .
2
 z1.z 2 = m + 5 > 0

z + z = −2 ( m + 1) < 0
Theo Vi-et ta có:  1 2
(do m > 2 ).

Suy ra phương trình

( 1)

z + z2 = 8
z ,z
có 2 nghiệm âm phân biệt 1 2 thỏa mãn 1
.
Page 19


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

⇒ − z1 − z2 = 8
⇒ z1 + z2 = −8 ⇒ m = 3

(thỏa mãn).
Trường hợp 2 : ∆′ = 0 ⇔ m = 2 .
( 1) trở thành z 2 + 6 z + 9 = 0 ⇔ z1 = z2 = −3 (không thỏa mãn).
Suy ra phương trình
Trường hợp 3 : ∆′ < 0 ⇔ m < 2 .

( 1) có 2 nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn z2 = z1
Suy ra phương trình
⇒ z1 + z2 = 8 ⇒ z1 + z1 = 8
2

⇒ z1 = 4 ⇒ z1 = 16

⇒ z1 z1 = 16 ⇒ z1 z2 = 16
⇒ m 2 + 5 = 16 ⇒ m = ± 11 .
Kết hợp điều kiện m < 2 suy ra m = − 11 thỏa mãn.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 43: Hàm

số

y = f ( x)

có

đạo

hàm

f ( x ) + x. f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = 4 x − 6 x − 2 x + 4
3

liên

tục

trên

¡

và

thỏa

mãn

2

y = f ( x) y = f ′( x)
hàm số
,
.
A. S = 8 .
B. S = 4 .

. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các
C. S = 8π .

Lời giải

D. S = 4π .

f ( x ) + x. f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ′
Ta có
Nên

3
2
f ( x ) + x. f ′ ( x ) + f ′ ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 − 2 x + 4 ⇔ 4 x − 6 x − 2 x + 4 = ( x + 1) f ( x ) ′

⇒ ( x + 1) f ( x ) = x 4 − 2 x 3 − x 2 + 4 x + C ( 1)

( 1) ta được C − 2 = 0 ⇔ C = 2 . Suy ra ( x + 1) f ( x ) = x 4 − 2 x3 − x 2 + 4 x + 2
Thay x = −1 vào
⇒ f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 2 x + 2
f ′ ( x ) = 3x2 − 6 x + 2

Khi đó

.

x = 0
⇔  x = 2
3
2
2
3
2

 x = 4
Xét phương trình x − 3x + 2 x + 2 = 3x − 6 x + 2 ⇔ x − 6 x + 8 x = 0
4

⇒ S = ∫ x 3 − 6 x 2 + 8 x dx = 8
0

log

Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn
A. 46 .
B. 44 .
log

Đặt

1
2023

log88

(

)

1
2023

log 88

(

C. 43 .
Lời giải

x 2 + 1 + x > log 2023 log 1
88

(

)

x 2 + 1 + x > log 2023 log 1

x2 + 1 − x

88

(

x2 + 1 − x

)?

D. 45 .

)

(1)

Page 20


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023
log
 881

log
88
Điều kiện: 

(
(

( 1) ⇔ log 2023 log 1
88


⇔ log 2023  log 1
 88
2
⇔ log88

Khi

(

2

(

(

2

2

2

2

2

2

2023

)

x 2 + 1 − x .log88

)

(

x 2 + 1 + x < 1 ⇔ 0 < log88

0 < log88
log 88

(

)
0 < x + 1 − x < 1  x < x + 1 < x + 1
⇔
⇔
⇔ x>0
x
+
1
+
x
>
1
x
+
1
>
1
−
x




x +1 + x) > 0
( x + 1 − x ) + log log ( x + 1 + x ) < 0
x2 + 1 − x > 0

)

88

)

(


x2 + 1 + x ÷< 0


)

x2 + 1 + x < 1

x2 + 1 + x ⇔ x > 0

)

x 2 + 1 + x < 1 ⇔ x 2 + 1 + x < 88

⇔ x 2 + 1 < 88 − x
88 − x > 0
7743
⇔ 2
⇔ x<
2
176
 x + 1 < 7744 + x − 176 x
Khi

 7743 
S =  0;
÷
 176 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 43 nghiệm.
y = f ( x)
y = f ′( 3 − 2x)
Câu 45: Cho hàm số
có đồ thị của
như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
nhất 5 điểm cực trị?
A. 2019.

Vì

m ∈ [ −2021; 2021]

B. 2020.

(

g ( x ) = f x 3 + 2021x + m

trị dương của

)

để hàm số

(

g ( x ) = f x 3 + 2021x + m

C. 2021.
Lời giải

là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của

)

có ít

D. 2022.

g ( x)

bằng 2 lần số cực

f ( x3 + 2021x + m )

Với x > 0, ta có

cộng với 1.
g ( x ) = f ( x 3 + 2021x + m ) ; g ′ ( x ) = ( 3 x 2 + 2021) f ′ ( x 3 + 2021x + m ) .

Page 21

PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

x = 7
t = ±2
f ′ ( x ) = f ′ ( 3 − 2t ) = 0 ⇔ 
⇔  x = 1 .
3− x
t
=
1

t=
 x = −1
2 và
Đặt x = 3 − 2t ta có
 x 3 + 2021x + m = 7
 x 3 + 2021x = 7 − m (1)


g ′ ( x ) = 0 ⇔  x 3 + 2021x + m = 1 ⇔  x 3 + 2021x = 1 − m
(2).
3
3
 x + 2021x + m = −1
 x + 2021x = −1 − m (3)


Suy ra

g ( x)
Hàm số
có ít nhất 5 điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất 2 trong 3 phương trình (1),
(2), (3) có nghiệm dương.
Xét hàm số

h ( x ) = x 3 + 2021x

Ta có BBT của

h ( x)

có

h′ ( x ) = 3 x 2 + 2021

.

như sau:

Vì 7 − m > 1 − m > −1 − m nên ta có 1 − m > 0 ⇔ m < 1.
m ∈ [ −2021; 2021] ∩ ¢
m ∈ { −2021;...;0} .
Mà
nên
Vậy có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 46: Cho lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vng, cạnh bên có độ dài bằng 2a . Gọi
4a
M , O lần lượt là trung điểm A ' B ' và A ' C ' . Biết khoảng cách giữa AM và CO bằng 9 .
Thể tích khối lăng trụ ABD. A ' B ' D ' bằng

a3
A. 2 .

3
B. 2a .

a3
C. 3 .
Lời giải

3
D. a 2 .

Page 22


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

*Gọi N , I lần lượt là trung điểm D′C ′ và B′C ′ .
Gọi P đối xứng M qua I , khi đó AMPC là hình bình hành.

⇒ AM // ( COP )

.

⇒ d ( AM ; OC ) = d ( AM ; ( COP ) ) = d ( M ; ( COP ) ) = d ( N ; ( COP ) )
⇒ d ( C '; ( COP ) ) =

= 2d ( C ′; ( COP ) ) =

4a
9

2a
9 .

Gọi K là hình chiếu của C ′ trên cạnh OP , gọi J là hình chiếu của C ′ trên CK .
⇒ d ( C '; ( COP ) ) = C ' K
.
*Gọi độ dài cạnh đáy bằng x .
2

1
1 x x 2 OP =  x  + x 2 = x 5
SC ' OP = S NOP = .x. =
 ÷
2 .
 2
2
2 2 4 ;
Ta có:
x2
2S
x 5
⇒ C ' K = C ' OP = 2 =
OP
5
x 5
2

.
1
1
1
81
1
1
a 5
=
+
⇔
= 2+
⇒ C 'K =
2
2
2
2
2
CC ' C ' K
4a
4a C ' K
10 .
Trong tam giác CC ' K có: C ' J
⇒

x 5 a 5
a
=
⇔x=
5

10
2.
2

a3
a
V = 2a.  ÷ =
2
2
Vậy

Câu 47: Có bao nhiêu cặp số nguyên

( x; y )

thỏa mãn
Page 23


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023

(

)

(

)

(

)

log 3 x 2 + y 2 + x + log 2 x 2 + y 2 ≤ log 3 x + log 2 x 2 + y 2 + 2 x ?

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Lời giải

⇔ log 3
Ta có bất phương trình

Đặt

x2 + y 2 + x
x2 + y 2 + 2x
≤ log 2
.
x
x2 + y 2

x2 + y2 + x
log 3
= t ⇒ x 2 + y 2 + x = x.3t.

x

Khi đó bất phương trình

x2 + y 2 + 2x
x2 + y2 + 2x
x.3t + x
t
⇔ log 2
≥t ⇔
≥2 ⇔
≥ 2t
2
2
2
2
t
x +y
x +y
x.3 − x
t

t

t

3t + 1
1 1 1
⇔ t
≥ 2t ⇔ 3t + 1 ≥ 2t ( 3t − 1) ⇔ 3t + 1 + 2t ≥ 6t ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 1 ( 1) .

3 −1
 2  6  3
t

t

t

 1 1 1
f ( t) =  ÷ +  ÷ +  ÷
 2   6   3  là hàm số nghịch biến trên ¡ .
Xét hàm số

Bất phương trình
log 3
Khi đó ta có

( x − 1)
Ta có

2

( 1) ⇔ f ( t ) ≥ f ( 1) ⇔ t ≤ 1.
x2 + y 2 + x
2
≤ 1 ⇒ x 2 + y 2 + x ≤ 3 x ⇔ ( x − 1) + y 2 ≤ 1.
x

≤1 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2

Với x = 0 ⇒ y = 1
Với x = 1 ⇒ y = ±1
Với x = 1 ⇒ y = 0
Vậy có 4 cặp số nguyên

( x; y )

thỏa mãn điều kiện bài tốn.

Câu 48: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy bằng 3 3 và có góc ở đỉnh bằng 120° . Gọi A và B là hai
điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác SAB là tam giác vuông, khoảng cách từ tâm
đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
3
3
.
.
3.
2
3.
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải
+ Gọi O là tâm của đường tròn đáy và CD là đường kính vng góc với dây cung AB .
+ Ta có OA = OB = OC = OD = R = 3 3 .
·
+ Do khối nón có góc ở đỉnh bằng 120° nên OSD = 60° .

Page 24


PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023


OD
3 3
3 3
·
⇔ tan 60° =
⇔ SO =
=3
 tan OSD =

SO
SO
tan 60°

OD
3 3
3 3
 sin OSD
·
=
⇔
sin
60
°
=

⇔
SD
=
=6

SD
SD
sin 60°
+ Tam giác vuông SOD có: 
.
⇒ Khối nón có chiều cao h = 3 và đường sinh l = 6 .

+ Do tam giác SAB vng cân tại S , có SA = SB = l = 6 nên AB = SA 2 = 6 2 .
+ Gọi M là giao điểm của AB và CD ta có M là trung điểm của AB (tính chất đường kính
vng góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó).
Suy ra

MA = MB =

AB 6 2
=
=3 2
2
2
.

+ Tam giác vng MOA có

OM = OA2 − AM 2 =

( 3 3) − ( 3 2 )
2

2

=3

.

+ Kẻ OH vng góc với SM tại H ta có:
OH ⊥ SM

  AB ⊥ SO
 ⇒ OH ⊥ ( SAB)

OH ⊥ AB  do  AB ⊥ OM ⇒ AB ⊥ ( SOM ) ⇒ AB ⊥ OH ÷
 


.
+ Suy ra

d ( O, ( SAB ) ) = OH

. Tam giác SOM vuông tại O có OH là đường cao ứng với cạnh

1
1
1
1

1 1
3
=
+
⇔
= 2 + 2 ⇔ OH =
2
2
2
2
OS
OM
OH
3 3
2.
huyền SM nên ta có: OH
 x = 1 + 2t

∆ :  y = 1+ t
 z = −t
( P) : x + 2 y + z − 6 = 0 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
Mặt cầu

( S)

N ( a; b; c )

( P ) tại A . Điểm
có tâm I thuộc ∆ (I có hồnh độ âm ) tiếp xúc với mặt phẳng

là điểm thay đổi trên

( S ) , khi khoảng cách ON

lớn nhất thì giá trị của T = a + b − c

là bao nhiêu, biết rằng diện tích tam giác IAM bằng 3 3 (M là giao điểm của đường thẳng ∆
và mặt phẳng
A. 2 + 2 3 .

( P ) ).
B. −2 − 2 3 .

C. −2 + 2 3 .

D. −2 + 3 .
Page 25