đề 30 bám sát minh họa 2023 môn toan

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 25 –PL5
Bài thi mơn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….
Câu 1:

Câu 2:

z = i ( 1 − 2i )

Số phức liên hợp của số phức
M ( 2; −1)
M ( 2;1)
A.
.
B.
.

có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
M ( 1; −2 )
M ( 1; 2 )
C.
.
D.

.

y = log 2023 x
Tìm đạo hàm của hàm số
.
ln 2023
1
y′ =
y′ =
x
x ln 2023
A.
B.

y′ =
C.

1
2023ln x

y′ =
D.

2023
x

5

Câu 3:

Tìm đạo hàm của hàm số

A.

Câu 4:

Câu 5:

3
y′ = x
8

8
3

B.

Câu 7:

5 23
y′ = x
3

C.

x+1

≤

Tập nghiệm của bất phương trình

( −∞; 2]
( 2; +∞ )
A.
.
B.
.
Cho cấp số nhân

( un )

với

u1 = 2

B.

Trong không gian
đường thẳng là:
uu
r
ud = ( −1;1;1)
A.
.

Oxyz

1
2

và

∫
Nếu

0

∫
và

3

là
C.

u2 = 4

, cho đường thẳng
uu
r
ud = ( 1; −2;3)

.

5 − 23
y′ = x
3

[ 2; +∞ )

. Giá trị của

1
4
C. .

d:

B.

5

f ( x ) dx = 1

1
27

.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số
( 0; −2 )
( 0; −1)
A.
.
B.
.
3

Câu 8:

.

1
3

A. 3.

Câu 6:

y = x3

q

D.

.

D.

( −∞;1)

.

bằng:

D.

x − 2 y −1 z + 1
=
=
1
−2

3

C.

3 23
y′ = x
5

uu
r
ud = ( 1;1;1)

.

2

.

. Vectơ chỉ phương của

D.

uu
r
nd = ( 1;2; −3)

.

y = x3 − 2 x + 1

với trục tung là
( 0;1)
C.
.

D.

( 1;0 )

.

5

f ( x ) dx = −5

∫ f ( x ) dx
thì

0

bằng
|1


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

A.
Câu 9:

−4

.

B.

6

.

C.

−6

.

D.

−5

.

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình
bên

A.
C.

y = x 4 − 3x2 + 2
y = x2 − 4x + 1

Câu 10: Trong

C.

.

2

I ( −1; 2;1)
I ( −1; 2;1)

D.

x −3
x −1

Oxyz,

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9
2

và
và

.

cho

mặt

2

R = 3.
R = 9.
Oxyz ,

z = 2 + i,

.

y = x3 − 3x − 5

gian

Câu 11: Trong không gian
90°.
A.
Câu 12: Cho số phức
4.
A.

B.

.

không

( S ) : ( x + 1)
A.

y=

cầu

I

R

. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính
của
I ( 1; −2; −1)
R = 3.
B.
và
I ( 1; −2; −1)
R = 9.
D.
và

( S) .

( Oxy ) ( Oxz )
góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
60°.
30°.
45°.
B.
C.

D.

phần ảo của số phức
4i.
B.

B = 4a 2

Câu 13: Cho khối chóp diện tích đáy
bằng
6a
2a
A.
.
B.
.

S . ABC

z2

là
C.

và thể tích

C.

3.

D.

V = 8a 3

4a

. Chiều cao của khối chóp đã cho

.

ABC

1.

D.

A

24a

.

AB = 3a, AC = 4a

Câu 14: Cho khối chóp
có đáy
là tam giác vng tại , biết
; cạnh bên
SA
SA = 5a

S . ABC
vng góc với đáy và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
3
3
3
V = 30a
V = 10a
V = 15a
V = 60a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 15: Trong không gian
A.
C.

Oxyz

( x − 2)

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 4

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 9

2

2

Câu 16: Phần thực của số phức
2|

, mặt cầu tâm

2

I ( 2;1; −3)

và tiếp xúc với trục

2

.

B.

2

z = −5 + 4i

.
là

D.

Oy

có phương trình là

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3 ) = 13

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 10

2

2

2

.

2

.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
−5
5
A.
.
B. .

C.

4

.

D.

−4

.

l
r
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh . Khi đó, diện tích tồn phần của hình
nón đã cho bằng
π rl + π r
π rl − π r 2
π rl + π r 2

2π rl + π r 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 18: Trong không gian
A ( 3; 2; −1)
A.
.
Câu 19: Cho hàm số

Oxyz

y = f ( x)

∆:

, cho đường thẳng
B ( 0; 2; −1)
B.
.

x y − 2 z +1
=
=

3
2
−1

. Điểm nào sau đây thuộc
C ( 0; 2;1)
D ( 3; 2;1)
C.
.
D.
.

∆

?

có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là:
A.

( 0;2 )

.

B.

( 3; − 4 )

.

C.

( 2;0 )

.

D.

y=
Câu 20: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( 2;2 )
( −2; − 2 )
( 2; − 2 )
A.
.
B.
.
C.
.

2 x+2 ≤ 8

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( 1;+ ∞ )
( −∞ ;1)
A.
.
B.
.

M = { 0;1; 2;...;9}

Câu 22: Cho tập
45
A.
.

. Số tập con gồm
90
B.
.

1

Câu 23: Cho

∫x

là:

2

C.

3

[ 1;+ ∞ )

.

−2 x + 1
x−2

( −4;3)

.

là:

D.

D.

( −2;2 )

( −∞ ;1]

.

.

1
M
phần tử và không chứa số của
bằng
72
36
C.
.

D. .

dx = F ( x ) + C

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
|3


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
1
2
F′( x) = − 3
F′( x) = −
x
x
A.
.
B.
.

∫

3

−1

f ( x ) dx = 2023

Câu 24: Nếu
16188

A.
.

thì
B.

Câu 25: Cho hàm số

A.

C.

∫

3

C.

 2 f ( x ) + x  dx

−1 

4050

f ( x ) = sinx − x 2

F′( x) =

.

∫

Câu 26: Cho hàm số

y = f ( x)

.

D.

bằng
16192
C.
.

D.

F ′ ( x ) = ln x 2

8096

.

.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

∫ f ( x ) dx = cos x − 2 x + C.
f ( x ) dx = − cos x +

1
x2

B.

x3
+ C.
3

liên tục trên

D.
¡

x3
+ C.
3

∫

f ( x ) dx = cos x −

∫

f ( x ) dx = − cos x −

x3
+ C.
3

và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.

( −2;1)

B.

( −1; 2)

.

C.

( −∞; −1)

.

D.

( −∞; 2 )

.

Câu 27: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
−1
1

A.
.
B. .

C.
log 4 ( 4a 3 )

a

Câu 28: Với là số thực dương tùy ý, khi đó
3log 4 ( 4a )
1 + 3log 4 a
A.
.
B.
.
Câu 29: Gọi

(H)

( H)

.

D.

0

.

bằng
C.

4 + 3log 4 a

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

khối trịn xoay sinh ra khi quay hình
4|

2

quanh trục

.

y = x 2 − 3x + 2

Ox

bằng :

D.

3 + log 4 a

và trục

Ox

.

. Thể tích của


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
1
1
6
30
A. .
B.
.

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng
AB = a, AA′ = a 2

1
3

A.

.

Câu 31: Cho hàm số

f ( x)

A.

ABC. A′B′C ′

có đáy

3

xác định trên

.

Câu 32: Cho hàm số bậc ba

B.

( −3;0 )

y = f ( x)

D.

ABC

¡

A′C

C.

.

( 0;1)

( AA′B′B )

với mặt phẳng

D.

2
2

.

D.

B

có

:

.

f ′ ( x ) = ( x 2 + 3x ) ( 1 − x )

và có đạo hàm là

.

π

6

là tam giác vuông cân tại

1
C. .

.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( 1; + ∞ )

.

. Tính tan của góc giữa đường thẳng

B.

f ( x)

C.

π
30

. Hỏi hàm số

( −∞ ;1)

.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
ít nhất ba nghiệm thực phân biệt?
5
6
A.
B.

m

để phương trình
C.

 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0

7

D.

có

8

Câu 33: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng
11
1

265
12
23
2
529
23
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
Câu 34: Gọi

là tập nghiệm của phương trình
S
phần tử của bằng
A.

6+ 2

2 log 2 ( 2 x − 2 ) + log 2 ( x − 3) = 2
2

S

.

B.

8+ 2

.

8
C. .

D.

trên

¡

4+ 2

. Tổng các

.

|5


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
z

Câu 35: Cho số phức
mặt phẳng
A.

iz − 1 + 2i = 3
thỏa

( Oxy )

I ( −2; −1)

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là một đường trịn. Tìm tâm của đường trịn đó.

.

B.

I ( 1;1)

.

Oxyz

C.

I ( 0;1)

A(1; 2;0), B(1;1; 2)

Câu 36: Trong không gian
, cho ba điểm
BC

và song song với
có phương trình là
x −1 y − 2 z
x −1 y − 2 z
=
= .
=
= .
1
2
−1
3
4
3
A.
B.
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

C.

.

D.

và

C (2;3;1)

x +1 y + 2 z
=
= .
3
4
3
A ( −2;3;5 )

, cho điểm

I ( 1;0 )

z

trên

.

. Đường thẳng đi qua

D.

A

x +1 y + 2 z
=
= .
1
2
−1

. Điểm đối xứng với A qua mặt

( Oxy )

phẳng
có tọa độ là
( 1; − 2;3)
( 1; 2; −3)
A.
.
B.
.

C.

( −1; − 2; − 3)

S . ABCD

.

D.

( −1; 2;3)

.

M,N

a

Câu 38: Cho hình chóp đều
có tất cả các cạnh bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm các
SA
SC P
SD
SP = 2 PD
D
cạnh
và
;
là điểm trên cạnh
sao cho
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng

A.

a 34
34

( MNP )

.

.

B.

a 17
34

.

C.

2a 17
41

log 22 x.log 5 2 + 1 = ( log 2 5 + 1) log 5 x

Câu 39: Biết rằng phương trình
của hai nghiệm đó là
7
5
A. .
B. .
Câu 40: Cho hàm số

g ( x)

trên

¡

f ( x)

và

g ( x)

thỏa mãn

liên tục trên

C.
¡

F ( 6 ) + 3G ( 0 ) = 3

. Gọi
và

2

.

D.

a 2
16

có hai nghiệm thực phân biệt. Tổng

2.

F ( x ) , G ( x )

D.

10

. Khi đó

∫

2
0

6|

1.

B.

3.

C.

D.

f ( x)

và

 f ( 3x ) − g ( x )  dx

bằng

A.

.

là hai nguyên hàm của

F ( 0 ) + 3G ( 2 ) = 1

2
.
3

.

4
.
3


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
S
Câu 41: Gọi
là tập hợp

tất

cả

các

số

m

thực

sao

cho

y = 2 x 4 − 4 ( m − 1) x 2 − m 2 + 3m − 2

có đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử
có giá trị nguyên là
A. 2022.
Câu 42: Giả sử
thức

A.

z1 , z2

C. 4040.

là hai trong các số phức

P = z1 − 2 z2

0

B. 2021.
z

thị

ABC. A′B′C ′

có đáy

và

ABC

số

m ∈ [ −2023;2023] ∩ S

z1 + z2 = z1 − z2

đạt giá trị nhỏ nhất thì tích phần thực và phần ảo của số phức
3
9
3
−
−
8
2
2
B.

C.
D.

Câu 43: Cho hình lăng trụ tam giác

hàm

D. 4041.

z +1+ i = 2
thỏa mãn

đồ

là tam giác vuông cân tại

z1

C.

. Khi biểu

bằng

Biết rằng tứ

·AA′B ' = 60°

AC ′
là hình thoi có cạnh bằng

, góc
và góc giữa đường thẳng
và
( AA′B′B)
30°
ACMC ′
M
A′B′
mặt phẳng
bằng
. Gọi
là trung điểm của
. Thể tích khối tứ diện
bằng

giác

A.

ABB′A′

2a

a3
.
6

Câu 44: Cho hàm số
thức

B.
y = f ( x)

a3
.
48

C.

có đạo hàm liên tục trên

¡

a3 3
.
48

có

3 f ( x ) − f ′ ( x ) ( 2 f ( x ) − 2 x 2 − 3x ) = 18x 2 − 4 xf ( x )

bởi hai đồ thị hàm số
1
2
A. .

y = f ( x)

B.

1
3

và

f ′( 0) ≠ 0

thỏa mãn biểu

. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn

g ( x) = x . f ′( x )
2

và

bằng
2
5
C. .

.

Câu 45: Trong tập số phức, cho phương trình
Tính tổng tất cả các giá trị của

f ( 0) = 0

D.

a3 3
.
6

m

để

z 2 + ( m − 2 ) z + 2m − 3 = 0 ( 1)

( 1)

có

2

D.
(với

3
8
m

.
là tham số thực).

z1 z2
OMN
nghiệm ,
và tam giác

có một góc

z1 z2
120°
M N
bằng
(với
,
là điểm biểu diễn của ,
trên mặt phẳng tọa độ)?
−6
6
4
−4
A.
.
B. .
C. .
D.
.

|7


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Câu 46: Trong không gian
phẳng
phẳng
75

A.
.

Oxyz

, cho đường thẳng

( P) : x − 2 y + z −1 = 0
( Q)

chứa

d

tạo với
B.

Câu 47: Có tất cả bao nhiêu bộ số

d

( d) :
có phương trình

x −1 y z + 2
= =
2
1
−2

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

( P)
76

α°

một góc

77

C.
với

x, y

để tồn tại một mặt

.

.

( x; y )

α

và mặt

.

D.

1 ≤ x, y ≤ 2023

nguyên và

74

.

thỏa mãn

 2y 
 2x + 1 
÷ ≤ ( 2 x + 3 y − xy − 6 ) log 2 
÷
 x−3 
 y +2
?
2020.2023
2
C. .
D.
.

( xy + 2 x + 4 y + 8 ) log3 
A.

4040

.

B.

Câu 48: Cho hình nón đỉnh

S

2020

có đáy là hình trịn tâm

SAB

vng và có diện tích bằng
h
Đường cao của hình nón bằng
h=

A.

a 6
4

h=

.

B.

Câu 49: Trong khơng gian

mặt phẳng
của
A.

( P)

. Gọi

Tmax = 2 21

. Gọi

.

y = f ( x)

4a 2

a 3
2

, cho

( P)

d1, d 2 , d3

T = d1 + 2d 2 + 3d3

Câu 50: Cho hàm số

8|

Oxyz

x −1 y −1 z −1
=
=
1
−2
−1

d:

.

3

O

. Dựng hai đường sinh

. Góc tạo bởi giữa trục

.

C.

điểm

h=a 3

SO

SA

và

và mặt phẳng

.

D.

là mặt phẳng chứa

A, B, C

sao cho

lần lượt là khoảng cách từ

A, B, C

đến

, biết tam giác

( SAB )

h=a 2

A ( −2;1;0 ) , B ( 4;4; −3) , C ( 2;3; −2 )

d

SB

bằng

B.

có đồ thị

.

y = f ′( x )

C.

Tmax = 3 21

.

như hình vẽ dưới đây:

.

.

và đường thẳng

nằm ở cùng phía so với

( P)

. Tìm giá trị lớn nhất

.
Tmax = 14

300

D.

Tmax = 6 14

.


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
đồng biến trên khoảng
.
1
A. .

( −3;0 )

m ∈ [ 0; 23]

y = f ( x ) − 2m2 x + m − 1
để hàm số

? Biết rằng tọa độ điểm cực tiểu của hàm số

3
22
B.
.
C. .
----------------HẾT----------------

D.

y = f ( x)

20

là

( −3;5)

.

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023

BGD
TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 25 –PL5
Bài thi mơn: TỐN
(Đề gồm có 06 trang)
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
1.B

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.A

8.C

9.D

10.A

11.A

12.A

13.C

14.A

15.D

16.C

17.D

18.C

19.B

20.A

21.D

22.B

23.A

24.C

25.B

26.C

27.D

28.B

29.C

30.B

31.C

32.B

33.A

34.B

35.A

36.D

37.B

38.C

39.D

40.C

41.C

42.A

43.A

44.B

45.C

46.D

47.B

48.B

49.B

50.C

Câu 1:

z = i ( 1 − 2i )
Số phức liên hợp của số phức
có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là
M ( 2; −1)
M ( 2;1)
M ( 1; −2 )
M ( 1; 2 )
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 2:

z = i ( 1 − 2i ) = 2 + i ⇒ z = 2 − i

Tìm đạo hàm của hàm số

nên điểm biểu diễn của số phức

y = log 2023 x

z

là

M ( 2; −1)

.

.
|9

Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
ln 2023
1
1
y′ =
y′ =
y′ =
x
x ln 2023
2023ln x
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B

1
x ln a

( log a x ) ′ =
Áp dụng công thức

y′ =

2023
x

y′ =

3 23
x
5

D.

1
xln 2023

y′ =
, ta được

.

5

Câu 3:

Tìm đạo hàm của hàm số

A.

3
y′ = x
8

y = x3

8

3

y′ =
B.

.

5 23
x
3

y′ =
C.

5 − 23
x
3

D.

Lời giải
Chọn B

( x ) ′ = n.xn−1

5 2
y′ = x 3
3

n

Áp dụng công thức

Câu 4:

, ta được

1
3

x+1

≤

Tập nghiệm của bất phương trình
( −∞; 2]
( 2; +∞ )
A.
.
B.
.

1
27

là

.

[ 2; +∞ )

C.

.

D.

( −∞;1)

.

Lời giải
Chọn C

Ta có
Câu 5:

1
3

x +1

≤

1
⇔ x +1 ≥ 3 ⇔ x ≥ 2
27

Cho cấp số nhân

( un )

A. 3.

với

u1 = 2

B.

1
2

.

và

. Vậy

S = [ 2; +∞ )

u2 = 4

. Giá trị của
1
4
C. .

q

bằng:

D.

2

.

Lời giải
Chọn D

u2 = u1.q ⇒ q =
Ta có

Câu 6:

10|

Trong khơng gian
đường thẳng là:
uu
r
ud = ( −1;1;1)
A.
.

u2
=2
u1

Oxyz

d:
, cho đường thẳng

x − 2 y −1 z + 1
=
=
1
−2
3

B.

uu
r
ud = ( 1; −2;3)

.

. Vectơ chỉ phương của


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
uur
ud = ( 1;1;1)
C.
.

D.

uu
r
nd = ( 1; 2; −3)

.

Lời giải
Chọn B
uu
r
ud = ( 1; −2;3)
Ta có
Câu 7:

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số
( 0; −2 )
( 0; −1)
A.
.
B.
.

y = x3 − 2 x + 1

với trục tung là
( 0;1)
C.
.

D.

( 1;0 )

.

Lời giải
Chọn C
Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số
3

5

∫ f ( x ) dx = 1
Câu 8:

0

Nếu
−4
A.
.

y = x3 − 2 x + 1

và

∫ f ( x ) dx
thì

B.

6

.

5

∫ f ( x ) dx = −5
3

với trục tung là

( 0;1)

0

bằng
−6
C.
.

.

D.

−5

.

Lời giải
Chọn A
5

∫
0

Câu 9:

3

5

0

3

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

= −4

.

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên

A.

y = x 4 − 3x2 + 2

y=

.

B.

x −3
x −1

.

C.

y = x2 − 4x + 1

.

D.

y = x3 − 3x − 5

.

Lời giải
Chọn B
Đồ thị đã cho thuộc dạng đồ thị hàm phân thức hữa tỷ bậc nhất nên dễ dàng chọn đáp án B
Câu 10: Trong khơng gian
và tính bán kính

R

Oxyz,

của

cho mặt cầu

( S ) : ( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9
2

2

. Tìm tọa độ tâm

I

( S) .
| 11


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

A.
C.

I ( −1; 2;1)
I ( −1; 2;1)

và
và

R = 3.

B.

R = 9.

D.

I ( 1; −2; −1)
I ( 1; −2; −1)

và
và

R = 3.
R = 9.

Lời giải
Chọn A
Câu 11: Trong không gian
90°.
A.

Oxyz ,

( Oxy ) ( Oxz )

góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
60°.
30°.
45°.
B.
C.
D.
Lời giải

Chọn A
Hai mặt phẳng
Câu 12: Cho số phức
4.
A.

( Oxy )

z = 2 + i,

và

( Oxz )

vng góc với nhau nên góc giữa chúng bằng

90°.

z2

phần ảo của số phức
là
4i.
3.
B.
C.
Lời giải

D.

1.

Chọn A
z 2 = ( 2 + i ) = 3 + 4i
2

Ta có

. Do đó phần ảo của

B = 4a 2

Câu 13: Cho khối chóp diện tích đáy
bằng
6a
2a
A.
.
B.

.

z2

là

và thể tích

C.

4

.

V = 8a 3

4a

.

. Chiều cao của khối chóp đã cho

D.

24a

.

Lời giải
Chọn B

Từ cơng thức

1
3V 3.8a 3
V = .B.h ⇒ h =
=
= 6a
3
B
4a 2

.

AB = 3a, AC = 4a
S . ABC
ABC
A
Câu 14: Cho khối chóp
có đáy
là tam giác vuông tại , biết
; cạnh bên
SA
SA = 5a
S . ABC
vng góc với đáy và
. Tính thể tích V của khối chóp
.
3
3

3
V = 30a
V = 10a
V = 15a
V = 60a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B

12|


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

ABC

A
là tam giác vng tại
nên có diện tích là
1
1
VS . ABC = SA ×S ABC = ×5a ×6a 2 = 10a 3
3

3
Ta có
.
Đáy

Câu 15: Trong không gian
A.
C.

Oxyz

, mặt cầu tâm

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 4

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 9

2

I ( 2;1; −3)

.

B.

2

.

1
1
AB. AC = 3a.4a = 6a 2
2
2

và tiếp xúc với trục

2

2

S ABC =

D.

Oy

.

có phương trình là

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3 ) = 13

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 10

2

2

2

.

2

.

Lời giải
Chọn B
Mặt cầu tiếp xúc với trục
Phương trình mặt cầu là
Câu 16: Phần thực của số phức
−5
A.

.

Oy

2

nên bán kính của mặt cầu là

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3) = 13

z = −5 + 4i

B.

5

R = 22 + ( −3) = 13

2

.

2

.

là

.

C.

4

.

D.

−4

.

Lời giải
Chọn A
Phần thực của số phức

z = −5 + 4i

là

−5

.

l
r

Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh . Khi đó, diện tích tồn phần của hình
nón đã cho bằng
π rl + π r
π rl − π r 2
π rl + π r 2
2π rl + π r 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Stp = π rl + π r 2
Diện tích tồn phần của hình nón đã cho bằng
.
| 13


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Câu 18: Trong không gian
A ( 3; 2; −1)
A.
.

Oxyz

∆:

x y − 2 z +1
=
=
3
2
−1

∆

, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây thuộc
B ( 0; 2; −1)
C ( 0; 2;1)
D ( 3; 2;1)
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn B
Nhận thấy điểm
Câu 19: Cho hàm số

B ( 0; 2; −1)

y = f ( x)

thuộc đường thẳng

∆

.

có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là:
A.

( 0;2 )

.

B.

( 3; − 4 )

.

C.

( 2;0 )

.

D.

( −4;3)

.

Lời giải
Chọn A
Ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là:

( 0;2 )

.

y=
Câu 20: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
( 2;2 )
( −2; − 2 )
( 2; − 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn C
−2 x + 1
y=
x=2

x−2
Ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
.
−2 x + 1
y=
y = −2
x−2
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là:
.

−2 x + 1
x−2

D.

y=
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2 x+2 ≤ 8

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
( 1;+ ∞ )
( −∞ ;1)
A.
.
B.
.

là:
C.

Lời giải
Chọn D
14|

[ 1;+ ∞ )

.

là:

( −2;2 )

−2 x + 1
x−2

D.

là:

.

( 2; − 2 )

( −∞ ;1]

.

.

?


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Ta có

2 x+2 ≤ 8 ⇔ x + 2 ≤ log 2 8 ⇔ x + 2 ≤ 3 ⇔ x ≤ 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

( −∞ ;1]

.

.

M = { 0;1; 2;...;9}

3
1
M
. Số tập con gồm phần tử và không chứa số của
bằng
90
72
36
B.

.
C.
.
D. .
Lời giải

Câu 22: Cho tập
45
A.
.
Chọn D

Ta có: Số tập con gồm
1

Câu 23: Cho

∫x

2

3

phần tử và khơng chứa số

1

của

M

bằng

C93 = 36

.

dx = F ( x ) + C

F′( x) = −

A.

1
x

.

. Khẳng định nào dưới đây đúng?
2
1
F′( x) = − 3
F′( x) = 2
x
x
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

F ′ ( x ) = ln x 2

.

Chọn C
1

Ta có:

∫x

2

dx = F ( x ) + C

F′( x) =

suy ra

3

∫ f ( x ) dx = 2023
−1

Câu 24: Nếu
16188
A.

.

thì
B.

∫

3

−1

1
x2

.

 2 f ( x ) + x  dx

4050

.

bằng
16192
C.
.

D.

8096

.

Lời giải
Chọn B
Ta có:

3

Câu 25: Cho hàm số

A.

C.

3

3

 2 f ( x ) + x  dx = 2 ∫ f ( x ) dx + ∫ xdx = 2.2023 + 4 = 4050
−1 
−1
−1

∫

f ( x ) = sinx − x 2

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

∫ f ( x ) dx = cos x − 2 x + C.

∫

f ( x ) dx = − cos x +

.

B.

x3
+ C.
3

D.

x3
+ C.
3

∫

f ( x ) dx = cos x −

∫

f ( x ) dx = − cos x −

x3
+ C.

3

Lời giải
Chọn D

∫

f ( x ) dx = ∫ ( sin x − x 2 ) dx = − cos x −

x3
+ C.
3

| 15


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Câu 26: Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

¡

và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.

( −2;1)

B.

( −1; 2)

.

C.

( −∞; −1)

.

D.

( −∞; 2 )

.

Lời giải
Chọn B
Từ Bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên

( −1; 2 )

Câu 27: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

−1
1
A.
.
B. .

C.

2

.

D.

0

.

Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta có giá trị cực đại hàm số là

2

log 4 ( 4a 3 )

a

Câu 28: Với là số thực dương tùy ý, khi đó
3log 4 ( 4a )

1 + 3log 4 a
A.
.
B.
.

bằng

C.
Lời giải

4 + 3log 4 a

.

D.

3 + log 4 a

.

Chọn B

log 4 ( 4a 3 ) = log 4 4 + log 4 a 3 = 1 + 3log 4 a

Câu 29: Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

khối trịn xoay sinh ra khi quay hình

16|

.

( H)

quanh trục

y = x 2 − 3x + 2

Ox

bằng :

và trục

Ox

. Thể tích của


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
1
1
6
30
A. .

B.
.

C.
Lời giải

π
30

.

D.

π
6

.

Chọn C
y = x2 − 3x + 2

Ox
và trục
là nghiệm phương trình :
x
=
1

x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2

.
(H)
Ox
Thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay hình
quanh trục
bằng :
2
2
π
π ∫ ( x 2 − 3x + 2 ) dx =
30
1
.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng
AB = a, AA′ = a 2

A.

1
3

ABC. A′B′C ′

có đáy

ABC

. Tính tan của góc giữa đường thẳng

.

B.

3

là tam giác vng cân tại

A′C

với mặt phẳng

1
C. .
Lời giải

.

D.

( AA′B′B )
2
2

B

có

:

.

Chọn A

Ta có:
Suy ra

Do đó:
Xét

Xét

CB ⊥ AB

⇒ CB ⊥ ( ABB′A′ )
CB ⊥ AA′
 AA′ ∩ AB = A

A′B

là hình chiếu của

A′C

.

lên mặt phẳng

· ′C

( A′C , ( AA′B′B ) ) = ( A′C , A′B ) = BA

∆A′AB

∆A′BC

vng tại

vng tại

A

B

, ta có:

.

.

A′B = A′A2 + AB 2 = a 3
· ′C =
tan BA

, ta có:

( ABB′A′)

.
1

BC
a
=
=
A′B a 3
3

.
| 17


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Câu 31: Cho hàm số

f ( x)

A.

f ( x)

¡

xác định trên

f ′ ( x ) = ( x 2 + 3x ) ( 1 − x )

và có đạo hàm là

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( 1; + ∞ )

.

B.

( −3;0 )

.

C.
Lời giải

( 0;1)

.

D.

. Hỏi hàm số

( −∞ ;1)

.

Chọn C

Ta có:

f ′ ( x ) = ( x 2 + 3x ) ( 1 − x )

Dấu của

⇒

f ′( x)

Hàm số

;

 x = −3
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 0
 x = 1

.

:

f ( x)

Câu 32: Cho hàm số bậc ba

đồng biến trên

y = f ( x)

( −∞ ; − 3)

và

( 0;1)

.

có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số
ít nhất ba nghiệm thực phân biệt?
5
6
A.
B.

m

để phương trình

C.
Lời giải

7

 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0

D.

8

Chọn B

Ta có

 f ( x) = m
 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0 ⇔ 
 f ( x) = m +1

Để phương trình
18|

 f ( x ) − m   f ( x ) − m − 1 = 0

.

có ít nhất ba nghiệm khi và chỉ khi:

có


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
 m ≤1
 m + 1 ≥ −3 ⇔ −4 ≤ m ≤ 1


.

Câu 33: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng

11
1
265
12
23
2
529
23
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Trong 23 số nguyên dương đầu tiên có 12 số lẻ và 11 số chẵn.
Chọn 2 số khác nhau từ 23 số, có
Gọi

A

2
C23

n ( Ω ) = C232 .

cách chọn nên số phần tử không gian mẫu là

là biến cố: “ Chọn được hai số có tổng là một số chẵn ”.

Để hai số được chọn có tổng là một số chẵn thì hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Trường hợp 1: Chọn hai số chẵn khác nhau từ 11 số chẵn, có
Trường hợp 2: Chọn hai số lẻ khác nhau từ 12 số lẻ, có
Do đó

n ( A ) = C112 + C122

n ( A ) C112 + C122 11
=
=
n ( Ω)
C232
23

Xác suất cần tính là

6+ 2

cách chọn.

.

2 log 2 ( 2 x − 2 ) + log 2 ( x − 3) = 2
2

S

là tập nghiệm của phương trình

S
phần tử của bằng

A.

cách chọn.

.

P ( A) =

Câu 34: Gọi

C122

C112

.

B.

8+ 2

.

8
C. .
Lời giải

D.

trên

¡

4+ 2

. Tổng các

.

Chọn D

Điều kiện:

x > 1

x ≠ 3

.

2 log 2 ( 2 x − 2 ) + log 2 ( x − 3) = 2 ⇔ log 2 ( 2 x − 2 ) + log 2 ( x − 3 ) = 2
2

2

⇔ log 2 ( 2 x − 2 ) ( x − 3 )  = 2 ⇔ ( 2 x 2 − 8 x + 6 ) = 22
2

2

.

2

.

| 19


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

 x 2 − 4 x + 2 = 0 ( 1)
2 x2 − 8x + 6 = 2
⇔ 2
⇔ 2
2
x
−
8
x
+
6
=
−
2
 x − 4 x + 4 = 0 ( 2 )


.

x = 2 + 2

( 1) ⇔ 

 x = 2 − 2 (l )

Phương trình

( 2) ⇔ x = 2

Phương trình

{

⇒ S = 2; 2 + 2

z

Câu 35: Cho số phức
mặt phẳng
A.

}

.

. Vậy tổng các nghiệm của

S

2+2+ 2 = 4+ 2

là:

.

iz − 1 + 2i = 3
thỏa

( Oxy )

I ( −2; −1)

.

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

là một đường trịn. Tìm tâm của đường trịn đó.

.

B.

I ( 1;1)

.

C.
Lời giải

I ( 0;1)

.

D.

I ( 1;0 )

z

trên

.

Chọn A
Gọi

M

Do đó

là điểm biểu diễn số phức

z

.

 1 − 2i 
⇔ i z −

÷ = 3⇔ z +2+i = 3
iz − 1 + 2i = 3
i 

⇔ MI = 3

Do đó tập hợp điểm

M

là đường tròn tâm

I ( −2; −1)

và bán kính

, với

R=3

I ( −2; −1)

.

.

Oxyz
A(1; 2;0), B(1;1; 2)
C (2;3;1)
A

Câu 36: Trong không gian
, cho ba điểm
và
. Đường thẳng đi qua
BC
và song song với
có phương trình là
x −1 y − 2 z
x −1 y − 2 z
x +1 y + 2 z
x +1 y + 2 z
=
= .
=
= .
=
= .
=
= .
1
2
−1
3
4
3
1
2
−1
3
4

3
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Gọi

d

là đường thẳng qua

A ( 1; 2;0 )

BC

và song song với
.
x −1 y − 2 z
uuur
⇒d:
=
=
BC = ( 1; 2; −1)
1
2
−1
Ta có
là véc tơ chỉ phương

.
Câu 37: Trong khơng gian với hệ tọa độ
phẳng
20|

( Oxy )

có tọa độ là

Oxyz

, cho điểm

A ( −2;3;5 )

. Điểm đối xứng với A qua mặt


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
( 1; − 2;3)
( 1; 2; −3)
A.
.
B.
.

C.
Lời giải

( −1; − 2; − 3)

.

D.

( −1; 2;3)

.

Chọn A
Tọa độ hình chiếu của điểm
với

A

qua mặt phẳng

( Oxy )

A ( −2;3;5 )

có tọa độ là

trên mặt phẳng

( −2;3; −5)

( Oxy )

( −2;3; 0 )

là

. Điểm đối xứng

.

M,N
S . ABCD
a
Câu 38: Cho hình chóp đều
có tất cả các cạnh bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm các
SA
SC P
SD
SP = 2 PD
D
cạnh
và
;
là điểm trên cạnh
sao cho
. Tính khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

A.

a 34

34

.

( MNP )

.

B.

a 17
34

.

C.
Lời giải

2a 17
41

.

D.

a 2
16

.

Chọn A

1
1 SM SN SP
1
VD.MNP = VS .MNP = .
.
.
VS . ACD = VS . ACD
2
2 SA SC SD
12

Ta có
O
ABCD
Gọi là tâm của hình vng
.

OA =
Suy ra

Khi đó

Do

.

1
a 2

2a 2 a 2
AC =
⇒ SO = SA2 − AO 2 = a 2 −
=
2
2
4
2

.

1
1 a 2 1 2 a3 2
a3 2
VS . ACD = .SO.S ∆SCD = .
. a =
⇒ VD.MNP =
3
3 2 2
12
144

MN

là đường trung bình của tam giác

SAC

MN =

nên

.

1
a 2
AC =
2
2

.

| 21


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Tam giác

SAD

Do tam giác

và
MNP

SCD

đều cạnh

cân tại

PH = PM 2 −
Suy ra
d ( D, ( MNP ) ) =

P

a

PM 2 = PN 2 = SM 2 + SP 2 − 2 SM .SP.cos 60ο =
nên

nên gọi

H

MN 2
13a 2 a 2 a 34
=
−
=
4
36
8
12

3VD.MNP
S MNP

Vậy

MN

là trung điểm

thì

PH ⊥ MN

13a 2
36

.

.

.

a 2
a 34
144
=
=
34
1 a 34 a 2
.
.
2 12
2

3.

.

log 22 x.log 5 2 + 1 = ( log 2 5 + 1) log 5 x

Câu 39: Biết rằng phương trình
của hai nghiệm đó là
7
5
A. .
B. .

có hai nghiệm thực phân biệt. Tổng

2
C. 2.
Lời giải

D.

10

.

Chọn A

x>0
Điều kiện :
. Phương trình đã cho

⇔ log 2 x.log 2 x.log 5 2 + 1 = log 2 x + log 5 x ⇔ log 2 x.log 5 x + 1 − log 2 x − log 5 x = 0
log x − 1 = 0
x = 2
⇔ ( log 2 x − 1) ( log 5 x − 1) = 0 ⇔  2
⇔
x = 5
log 5 x − 1 = 0

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
Câu 40: Cho hàm số

g ( x)

trên

¡

f ( x)

và

g ( x)

thỏa mãn

liên tục trên

¡

F ( 6 ) + 3G ( 0 ) = 3

.

7

. Gọi
và

F ( x ) , G ( x )

là hai nguyên hàm của

F ( 0 ) + 3G ( 2 ) = 1

. Khi đó

∫

2
0

A.

1.

B.

3.

C.

D.

4
.
3

Lời giải
Chọn C
2

1
∫  f ( 3x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( 3x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 3 ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx

Ta có:

0

2

2

6

2

0

0

0

0

1
1
1
=  F ( 6 ) − F ( 0 )  − G ( 2 ) − G ( 0 )  =  F ( 6 ) + 3G ( 0 )  −  F ( 0 ) − 3G ( 2 ) 
3
3
3

22|

và

 f ( 3x ) − g ( x )  dx

bằng
2
.
3

f ( x)


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023
1
1
2

= .3 − .1 =
3
3
3
.

S

Câu 41: Gọi

là

tập

hợp

tất

cả

các

số

thực

m

sao

cho

y = 2 x 4 − 4 ( m − 1) x 2 − m 2 + 3m − 2

B. 2021.

C. 4040.

thị

hàm

số

m ∈ [ −2023;2023] ∩ S

có đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử
có giá trị nguyên là
A. 2022.

đồ

D. 4041.

Lời giải
Chọn A
f ( x ) = 2 x 4 − 4 ( m − 1) x 2 − m 2 + 3m − 2
a=2>0
Ta có:
là hàm trùng phương có hệ số

nên đồ

y = f ( x)

thị hàm số
có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
trị và giá trị cực đại của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0.
m > 1
m > 1

⇔ m ≤ 1 ⇔ m ≥ 2

2
 f ( 0 ) = −m + 3m − 2 ≤ 0
m ≥ 2

Suy ra
.
m ∈ [ −2023;2023] ∩ S
m ∈ { 2;3;...; 2023}
Mà
có giá trị nguyên nên
.
Vậy có 2020 phần tử thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 42: Giả sử
thức

A.

z1 , z2

là hai trong các số phức

P = z1 − 2 z2

0

z

z +1+ i = 2
thỏa mãn

và

y = f ( x)

có ba điểm cực

z1 + z2 = z1 − z2

đạt giá trị nhỏ nhất thì tích phần thực và phần ảo của số phức
3
9
3
−
−
8
2
2
B.

C.
D.
Lời giải

z1

. Khi biểu

bằng

Chọn D
Ta có:
Và gọi

z + 1 + i = 2 ⇔ z − ( −1 − i ) = 2 ⇒ M ( z )

thuộc đường tròn có tâm

A ( z1 ) , B ( z2 ) ⇒ z1 + z2 = z1 − z2 ⇔ OA + OB = AB ⇔ O

I ( −1; −1) , R = 2

thuộc đoạn

AB

| 23


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

uuu
r uuur
2
P 2 = z1 − 2 z2 = OA − 2OB

(

Khi đó
Mặt khác

)

2

uuu
r 2 uuur2
uuu
r uuur
= OA + 4OB − 4.OA.OB = OA2 + 4OB 2 + 4OA.OB.

OA.OB = ( HA + OH ) ( HB − OH ) = ( HA + OH ) ( HA − OH ) = HA2 − OH 2

(

) (

)

= HA2 − OI 2 − IH 2 = HA2 + IH 2 − OI 2 = IA2 − OI 2 = R 2 − OI 2 = 4 − 2 = 2

Do đó:

P 2 = OA2 + 4OB 2 + 8 ≥ 2 OA2 .4OB 2 + 8 = 16

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Đặt

OA = 2
OA2 = 4OB 2
 z1 = 2
⇔
⇔

OA.OB = 2
OB = 1
 z2 = 1

( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4
 z1 + 1 + i = 2
 x + y = −1
z1 = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ 
⇔
⇔ 2
2
 z1 = 2
 x + y = 4
 x 2 + y 2 = 4

( x + y ) 2 − ( x 2 + y 2 ) ( −1) 2 − 4 3
xy =
=
=−

Suy ra

2

2

Câu 43: Cho hình lăng trụ tam giác

ABC. A′B′C ′

2

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

C.

·AA′B ' = 60°

Biết rằng tứ

AC ′

là hình thoi có cạnh bằng
, góc
và góc giữa đường thẳng
và
( AA′B′B)
30°
ACMC ′
M
A′B′
mặt phẳng
bằng
. Gọi
là trung điểm của
. Thể tích khối tứ diện
bằng

giác

A.

ABB′A′

a3
.
6

Chọn D

24|

2a

B.

a3
.
48

C.
Lời giải

a3 3
.
48

D.

a3 3
.
6


Bộ đề minh họa đặc biệt năm 2023

Vì

Vì

∆AA′B′

là tam giác đều cạnh

2a

AM = a 3

nên

C ′M =

∆A′B′C ′

C′
vuông cân tại
nên
 A′B′ ⊥ AM
⇒ A′B′ ⊥ ( AMC ′ )

 A′B′ ⊥ C ′M

A′B′
=a
2

.

.

Ta có:
.

′
C I ⊥ AM
Kẻ
.
C ′I ⊥ AM
⇒ C ′I ⊥ ( ABB′A′ )

C ' I ⊥ A′B′
Ta có:
.
( AC ′, ( ABB′A′) ) = ( AC ′, AI ) = C· ′AI = 300 ⇒ C· ′AM = 300
Do đó:
.

Xét

∆AMC ′

có:

MC ′
AM
a
a 3
3
=
⇔
=
⇔ sin ·AC ′M =
0

·
2
sin 30
′ sin ·AC ′M
sin MAC
sin ·AC ′M

 ·AC ′M = 600 ⇒ S AMC ′
⇒
0
·
 AC ′M = 120

Ta có:

 a2 3

1
= . AM .MC ′.sin ·AMC ′ =  2
2
 3a 2

 4

d ( C , ( AB′C ′ ) ) = d ( A ', ( AB′C ′ ) ) = A ' M = a

1
VACMC ′ = .d ( C , ( AB′C ′ ) ) .S AMC ′
3
Do đó:

 a3 3
.

6
=
 a3 3

 12

.

.

.

| 25