đề 32 bám sát minh họa 2023 môn toan

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD
ĐỀ SỐ 32 - NÂNG CAO
(Đề gồm có 06 trang)

KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
Bài thi mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Tìm số phức liên hợp của số phức z = i .
A. −i .
B. 1 .

Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 7 học sinh?
A. 7 .
B. 1 .
C. 49 .
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1

x=
2.
A.
B. x = −2 .
Cho cấp số cộng
A. 5

Cho

∫
1

( un )

y=

A.

C. x = 1 .

2

f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = 3
1

. Mệnh đề nào sau đây sai?
2

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −1

B.

1

Câu 9:

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 5
1

2

∫ f ( x ) .g ( x ) dx = 6

D.

1

Phương trình mặt cầu tâm

I ( 1; −2;3)

∫ 2 f ( x )  dx = 4
1

và bán kính R = 3 là

x − 1)
A. (

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9

.

x + 1)
B. (

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3

.

2
2
2
D. x + y + z + 2 x − 4 y + 6 z + 14 = 0 .

C.
Câu 8:

D. x = 2 .

với u1 = 2 và công sai d = 3 . Giá trị của u2 bằng:
B. 6
C. −1
D. 1

2

C.

D. 5040 .

2x −1
x + 2 là

2

Câu 7:

D. i .

( P ) :3x − 2 y − 1 = 0 có một vectơ pháp
Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng
tuyến là
r
r
r
r
n = ( 3;0; − 1)
n = ( 3; −2; − 1)
n = ( 3; −2;0 )
n = ( 3;2;0 )
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.

2

Câu 6:

C. −1 .

2

2

2

2

2 x+3 >

Tập nghiệm của bất phương trình
( −∞ ; −5) .
( −3; +∞ ) .
A.
B.
Cho hàm số

f ( x)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

1
4 là

C.

( −5; +∞ ) .

D.

.

( −5; −3] .

có bảng biến thiên như sau:

Page 1


Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2;0 ) .
( −2; 2 ) .
( 0; 2 ) .

A.
B.
C.
log5 ( 2 x − 1) = 1

Câu 10: Phương trình
A. x = 1 .
Câu 11: Cho

F ( x)

A.

C.

là một nguyên hàm của hàm số

∫ F ( x ) dx

−1

f ( x)

B.

∫ f ( x ) dx

−1

x=

1
2.

D. x = 3 .

. Khi đó hiệu số

1

.

( 0; +∞ ) .

có nghiệm là

B. x = 2 .

1

D.

F ( 1) − F ( −1)

1

.

C.

∫ − F ( x )  dx

−1

bằng

1

.

Câu 12: Cho số phức z = 3 + 4i . Tìm số phức w = i + z .
A. w = −3 + 5i .
B. w = 3 − 3i .
C. w = 3 − 5i .

D.

∫ − f ( x )  dx

−1

.

D. w = 2 − 4i .

Câu 13: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ
đã cho bằng
3
3
3

3
A. 5π a .
B. 4π a .
C. 3π a .
D. π a .
1
2

f x =x
Câu 14: Tập xác định D của hàm số ( )
là
D = ( 0; + ∞ )
A.
.
B. D = ¡ .

C.

D = [ 0; + ∞ )

.

D.

D = ¡ \ { 0}

.

2
Câu 15: Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng

3
3
3
3
A. a .
B. 2a .
C. 3a .
D. 6a .
2022

3
Câu 16: Số nghiệm của phương trình
A. 3 .
B. 2 .
1

Câu 17: Nếu

∫

f ( x ) dx = 1

0

A. 3 .
Câu 18: Cho hàm số

x2 − x

1

= ÷
9

là
C. 0 .

D. 1 .

C. 1 .

D. 0 .

1

thì

∫  f ( x ) + 2 x + 1 dx
0

1
B. 3 .

y = ax 4 + bx 2 + c

( a, b, c ∈ ¡ )

bằng

có đồ thị như hình vẽ bên.

Page 2


Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

2
Câu 19: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z − 2 z + 5 = 0 . Tìm tọa độ điểm biểu
diễn của z1 trên mặt phẳng phức?

A. N (1; −2) .

B. Q(2; −1) .

D. M (−1; −2) .

C. P (1; 2) .

3
Câu 20: Tính bán kính r của khối cầu có thể tích V = 36π (cm ) :
A. r = 4(cm) .
B. r = 9(cm) .
C. r = 3(cm) .

D. r = 6(cm) .

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là hình bên. Gọi A1 ; A2 là các số dương biểu diễn cho diện tích
của các phần tơ đậm phía trên và phía dưới Ox (như hình vẽ bên dưới).

4

Khi đó

∫ f ( x ) dx

−3

bằng

A. A1 − A2 .

B. A1 + A2 .

Câu 22: Cho log 2 3 = a . Hãy tính log 9 2 theo a .
1
1
log 9 2 = 2
log 9 2 =
a
a
A.
B.
Câu 23: Cho hàm số đa thức

Khi đó hàm số

A.

( 1; 2 ) .

y = f ( x)

y = − f ( x)
B.

C. A2 − A1 .

C.

D. 2A1 − A2 .

2
a

D.

( −3; − 1) .

D.

log 9 2 =

log 9 2 =

1
2a

có bảng biến thiên như sau:

đồng biến trên khoảng

( −1;1) .

C.

( −1;0 ) .
Page 3


Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA vng góc với đáy, tam giác ABC vng cân tại B,

AB = a và SC = a 5 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 30° .
B. 90° .
C. 45° .
D. 60° .
Câu 25: Cho hàm số

y = f ( x)

f ( b) < 0

bên. Biết

y = f '( x)
có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số

như hình vẽ

, hỏi đồ thị hàm số

y = f ( x)

B. 3 .

A. 4 .

cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

D. 0 .

C. 2 .

Câu 26: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy, SA = 3a đáy ABC là tam giác đều cạnh a .
M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC . Tính thể tích khối đa diện
MNP. ABC :
a3 3
A. 8 .

Câu 27: Hàm số

f ( x ) = log 2 ( x 2 − 2 )

f ′( x) =

A.
C.

7a 3 3
B. 32 .

f ′( x) =

1
( x − 2 ) ln 2

3a 3 3
C. 16 .

a3 3
D. 6 .

có đạo hàm là
f ′( x) =

2

.

B.

2 x ln 2
x2 − 2 .

D.

f ′( x) =

2x
( x − 2 ) ln 2
2

ln 2
x2 − 2 .

Câu 28: Trong không gian Oxyz cho B(1;1; −2); C (1; 0; −1) và đường thẳng
tọa độ điểm A thuộc đường thẳng d sao cho A cách đều B; C :
A.

A ( −1; −3; −1)

.

B.

A ( 0;1; −1)

.

C.

.

A ( 3;3; −3)

.

d:

x +1 y + 3 z +1
=
=
2
3
−1 . Tìm

D.

A ( 1; 0; −2 )

.

 b2 
P = log a  3 ÷
 c  bằng:
Câu 29: Cho log a b = 2 và log a c = 3 . Giá trị của biểu thức
4
A. 13 .
B. 9 .
C. 36 .
D. −5 .
2
2
2
Câu 30: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 4 x − 6 y − 2 z + 10 = 0 và
mặt phẳng ( P) : 2 x − y − 2 z + 4 = 0 . Trong các mặt phẳng có phương trình sau đây, mặt phẳng

Page 4


nào song song với mặt phẳng ( P ) và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ?
A. 2 x − y − 2 z − 3 = 0
B. −2 x + y + 2 z + 4 = 0
C. −2 x + y + 2 z + 15 = 0 D. −2 x + y + 2 z − 3 = 0
2
Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = ( x − 1) ( x + 2) . Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên
khoảng nào sau đây?
A. ( −2;1) .
B. ( −∞; −2) .
C. (1; +∞) .
D. (−2; +∞) .

f ( x ) = x 3 − 3x 2 + m (m ∈ ¡ )
[ 1; 2] bằng 1 . Khi đó m thuộc
Câu 32: Hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên
khoảng nào trong các khoảng sau?
( −3; − 1) .
( −1; 1) .
( 1; 3) .
( 4; 6 ) .
A.
B.
C.
D.

( m2 + 1) log 22 x + 4 log 2 x − m = 0 có

Câu 33: Số giá trị nguyên âm của tham số thực m để phương trình
nghiệm thuộc khoảng
A. 1 .

( 0;1)

là

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

Câu 34: Một nhóm học sinh gồm có 3 học sinh lớp A , 4 học sinh lớp B và 5 học sinh lớp C . Chọn
ngẫu nhiên 2 học sinh tham gia câu lạc bộ Tốn học. Tính xác suất sao cho 2 học sinh được
chọn nếu có học sinh lớp B thì khơng có học sinh lớp C .

23
A. 33 .

2
B. 3 .

17
C. 22 .

9
D. 11 .

x
( C ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , tiếp tuyến của ( C )
Câu 35: Cho hàm số y = e có đồ thị

M ( 1;e )

tại điểm
2e 4
− .
A. 3 3e

1
y=− x
e bằng
và đường thẳng
3 e
1
− + .
2e − − 1.
2e
B. 2e 2
C.

D.

1−

3 e
+ .
2e 2

2
2
2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 2) = 16 , điểm A nằm trên đường

 x = 1+ t

 y = 1+ t
 z=2
thẳng ∆ có phương trình: 
và nằm ngồi mặt cầu ( S ). Từ A kẻ các tiếp tuyến đến
mặt cầu ( S ) . Gọi ( Pm ) là mặt phẳng chứa các tiếp điểm, biết mặt phẳng ( Pm ) luôn đi qua một
đường thẳng d cố định. Phương trình đường thẳng d là

A.

x = 1+ t

 y = 1− t .
z = 2


.

B.

x = t

 y = −t .

z = 2


C.

x = t

 y = −t .
 z = −2


D.

x = t

y = t .
z = 2


Câu 37: Vợ chồng nhà chị Thơm vay ngân hàng 400 triệu đồng để mua nhà với hình thức trả góp, chị
chọn gói lãi suất ưu đãi cố định 0,5% /tháng trong 12 tháng đầu và sang tháng thứ 13 trở đi thì
ngân hàng tính lãi suất thả nổi theo quy định. Gia đình chị hoàn nợ cho ngân hàng theo cách:
Page 5


sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 15 triệu đồng. Sau khi hết 12 tháng ưu đãi thì
chị Thơm phải trả lãi suất thả nổi là 1% /tháng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên
số dư nợ thực tế của tháng đó và lãi suất thả nổi của ngân hàng không thay đổi trong thời gian
chị Thơm hoàn nợ. Hỏi chị Thơm cần bao nhiêu tháng để trả hết nợ ngân hàng kể từ khi vay?

A. 30 tháng.
B. 18 tháng.
C. 29 tháng.
D. 17 tháng.
Câu 38: Trong tập số phức, cho phương trình

z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 − 3m + 6 = 0, m ∈ ¡

. Có bao nhiêu

z + z2 = 8
giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa 1
.
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .

( ABC ) , tam giác ABC
Câu 39: Cho hình tứ diện SABC có SC = CA = AB = 3 2 , SC vng góc với
vng tại A , các điểm M , N lần lượt thuộc SA và BC sao cho AM = CN = 2 . Khoảng cách
giữa hai đường thẳng MN và SB bằng
A. 2 2 .

B. 1 .

log

( x, y )

Câu 40: Có bao nhiêu cặp số nguyên
A. 7 .
B. 6 .
Câu 41: Cho hàm số
và

f ( x)

thỏa mãn

hàm số

1 
 ;1÷.
B.  2 

y = f ( x)

D. 9 .

trên đoạn

[ −3; 4]

( 1;3) , thỏa man f ( 2 ) = e

−

4
3

3
f ÷
Khi đó  2  thuộc khoảng

C.

có đồ thị hàm số

1
2 x− f ( x)

3

x+ y
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy.
x + y 2 + xy + 2
2

liên tục và luôn nhận giá trị dương trên khoảng

 1
 0; ÷.
A.  2 

g ( x) =

3

D. 2 .

C. 5 .

e x f 3 ( x ) + e − x = 3 f ( x ) . f ′ ( x ) , ∀x ∈ ( 1;3) .

Câu 42: Cho hàm đa thức

2.

C.

( 1; 2 ) .

y = f ′ ( x + 2)

 5
 2; ÷.
D.  2 

như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của

là

Page 6


A.

g ( 1)

.

Câu 43: Cho hàm số

B.

y = f ( x)

g ( x ) = f ( cos x + 1) + e

A. 400 .

g ( 3)

.

có đồ thị của hàm số
− cos x

C.

g ( −3)

y = f ′( x)

.

C. 399 .

g ( 4)

.

được cho bởi hình vẽ bên. Hỏi hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu trên đoạn

B. 199 .

D.

[ −100π ;100π ]

D. 200 .

Câu 44: Một bình thủy tinh hình trụ khơng có nắp, trong bình được xếp vào ba viên bi bằng nhau có bán
kính 3 dm sao cho các viên bi đều tiếp xúc với đáy, đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với
đường sinh của bình. Người ta đổ đầy nước vào rồi đặt lên miệng bình một khối lập phương
ABCD. A′B′C ′D′ đặc, sao cho đường chéo AC ′ có phương vng góc với mặt đáy của bình và
các cạnh AA′, AB, AD tiếp xúc với miệng bình (xem hình vẽ). Sau đó quan sát thấy lượng nước
1
tràn ra ngoài bằng 16 lượng nước ban đầu có trong bình. Giả sử chiều dày của vỏ bình khơng
đáng kể, hỏi thể tích của bình thủy tinh gần nhất với số nào sau đây?

Page 7


A.

276, 41( dm3 )

.

B.

319,94 ( dm3 )

.

C.

350, 31( dm3 )

.

D.

275, 44 ( dm3 )

.

Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−5; 4; −1) và B (3; 4;5) . Xét các điểm M và N thay
đổi sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 40 và tam giác ABN vuông tại N . Giá trị nhỏ
nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?
( 2; 4 ) .
( 3;5) .
( 4;6 ) .
A.
B.
C.

Câu 46: Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

( 5; 7 ) .

có bảng biến thiên như sau:

f ( f ( x) )

f x +1
Số giá trị nguyên của m để phương trình ( )
A. 11.

D.

B. 12.

=m
có 5 nghiệm phân biệt là

C. 10.

D. 13.

1
 x

y +2 z
y

+
2
z
3
−
27
= xy + 2 xz − 3
(
) 
÷
÷


Câu 47: Xét các số thực dương x, y , z thoả mãn
. Tìm giá trị nhỏ

1
 9

P = log 5 ( y 2 + z 2 ) + log 52  2 + 3 y 2 − 3 z 2 ÷
4
x

nhất của biểu thức
2
A. −1 .
B. 4 − log5 3 .
C. 3 − log 3 5 .

D. −2 .

( P ) đi qua trọng tâm G của tam
Câu 48: Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có thể tích bằng 324. Mặt phẳng
giác ABB′ , song song với AB′ và BC ′ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Tính thể tích
khối đa diện chứa đỉnh A .
A. 122.
B. 124.
C. 190.
D. 200.
Câu 49: Cho hàm đa thức

y = f ( x)

Số điểm cực đại của hàm số
A. 3 .

liên tục trên ¡ , có bảng xét dấu của f ' ( x + 1) như sau:

y = f ( x 2 + x + 1)

B. 2 .

là
C. 4 .

D. 1 .

Page 8

Câu 50: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức

w=

1
1
z − | z | i có phần ảo bằng 8 . Xét
2

2

z −z =2
P = z1 − 7i − z2 − 7i
các số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn 1 2
, giá trị lớn nhất của
bằng
A. 16 .
B. 28 .
C. 14 .
D. 56 .
---------- HẾT ----------

Page 9


BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.B
21.A
31

41.A

2.C
12.B
22.D
32.D
42.B

3.A
13.C
23.C
33.A
43.D

4.B
14.A
24.D
34.A
44.B

5.A
15.B
25.A
35.B
45.A

6.C
16.C
26.B
36.B

46.A

7.A
17.A
27.B
37.A
47.D

8.C
18.B
28.D
38.D
48.A

9.C
19.A
29.D
39.D
49.D

10.D
20.C
30.D
40.C
50.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Tìm số phức liên hợp của số phức z = i .

A. −i .
B. 1 .

C. −1 .
Lời giải

D. i .

Chọn A
Ta có z = i ⇒ z = −i .
Câu 2:

( P ) :3x − 2 y − 1 = 0 có một vectơ pháp
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng
tuyến là
r
r
r
r
n = ( 3;0; − 1)
n = ( 3; −2; − 1)
n = ( 3; −2;0 )
n = ( 3;2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Lời giải
Chọn C

( P ) :3x − 2 y − 1 = 0
Mặt phẳng
Câu 3:

có một vectơ pháp tuyến là

r
n = ( 3; −2;0 )

Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 7 học sinh?
A. 7 .
B. 1 .
C. 49 .
Lời giải

.

D. 5040 .

Chọn A
Số cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 7 học sinh là 7 .

Câu 4:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1

x=
2.
A.
B. x = −2 .

y=

2x −1
x + 2 là

C. x = 1 .
Lời giải

D. x = 2 .

Chọn B

D = ¡ \ { −2}
Tập xác định
.
lim + y = −∞; lim − y = +∞ ⇒ x = −2
x→( −2 )
Ta có x→( −2)
là đường tiệm cận đứng.
Câu 5:

Cho cấp số cộng

( un )

với u1 = 2 và công sai d = 3 . Giá trị của u2 bằng:
Page 10


A. 5

B. 6

C. −1
Lời giải

D. 1

Chọn A
Ta có: u2 = u1 + d = 2 + 3 = 5
2

Câu 6:

Cho

∫
1

2

f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = 3
1

. Mệnh đề nào sau đây sai?

2

A.

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −1

B.

1
2

C.

2

∫

f ( x ) .g ( x ) dx = 6

1

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 5
1

2

D.

∫ 2 f ( x )  dx = 4

1

Lời giải
Chọn C
Câu 7:

Phương trình mặt cầu tâm

I ( 1; −2;3)

( x − 1)
A.

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9

.

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3

.

C.

2

2

và bán kính R = 3 là

( x + 1)
B.

2

2

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9
2

2

.

2
2
2
D. x + y + z + 2 x − 4 y + 6 z + 14 = 0 .
Lời giải

Chọn A
Mặt cầu tâm

Câu 8:

I ( 1; −2;3)

( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 .
và bán kính R = 3 có phương trình
2

2 x+3 >

Tập nghiệm của bất phương trình
( −∞ ; −5) .
( −3; +∞ ) .
A.
B.

1
4 là

( −5; +∞ ) .

C.
Lời giải

2

D.

2

( −5; −3] .

Chọn C

2 x +3 >

1
⇔ 2 x + 3 > 2−2 ⇔ x + 3 > −2 ⇔ x > −5
4
.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 9:

Cho hàm số

f ( x)

( −5; +∞ ) .

có bảng biến thiên như sau:

Page 11


Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( −2;0 ) .
( −2; 2 ) .
( 0; 2 ) .
A.

B.
C.
Lời giải

D.

( 0; +∞ ) .

Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Câu 10: Phương trình

log5 ( 2 x − 1) = 1

A. x = 1 .

( 0; 2 ) .

có nghiệm là

B. x = 2 .

C.
Lời giải

x=

1
2.

D. x = 3 .

Chọn D

log 5 ( 2 x − 1) = 1 ⇔ 2 x − 1 = 5 ⇔ x = 3
Câu 11: Cho

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

1

A.

∫ F ( x ) dx

−1

.

1

.

B.

∫ f ( x ) dx

−1

f ( x)

. Khi đó hiệu số

F ( 1) − F ( −1)

1

∫ − F ( x )  dx

.

C. −1
Lời giải

bằng

1

.

D.

∫ − f ( x )  dx

−1

.

Chọn B
1

∫

Ta có −1

f ( x ) dx = F ( x )

1
−1

= F ( 1) − F ( −1)

.

Câu 12: Cho số phức z = 3 + 4i . Tìm số phức w = i + z .
A. w = −3 + 5i .
B. w = 3 − 3i .
C. w = 3 − 5i .
Lời giải

D. w = 2 − 4i .

Chọn B
Ta có: z = 3 + 4i ⇒ z = 3 − 4i
Do đó: w = i + z = i + 3 − 4i = 3 − 3i .
Câu 13: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ
đã cho bằng
Page 12

3
A. 5π a .

3
B. 4π a .

C. 3π a .
Lời giải

3
D. π a .

3

Chọn C
Chu vi thiết diện:

( 2a + h ) .2 = 10a ⇒ h = 3a ( h

là chiều cao hình trụ).

2
2
3
Thể tích khối trụ đã cho: V = π R h = π .a .3a = 3π a .
1
2

f x =x
Câu 14: Tập xác định D của hàm số ( )
là
D = ( 0; + ∞ )
A.
.
B. D = ¡ .

C.
Lời giải

D = [ 0; + ∞ )

.

D.

D = ¡ \ { 0}

.

Chọn A
1
D = ( 0; +∞ )
Vì 2 khơng ngun nên x > 0 hay
.
2
Câu 15: Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng
3
3

3
3
A. a .
B. 2a .
C. 3a .
D. 6a .

Lời giải
Chọn B

1
1
V = B.h = .3a 2 .2a = 2a 3 .
3
3
Thể tích của khối chóp
2022

3
Câu 16: Số nghiệm của phương trình
A. 3 .
B. 2 .

x2 − x

1
= ÷
9

là

C. 0 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn C
2022

3

1
= ÷
9

x2 − x

1

Câu 17: Nếu

∫

⇔ 3x

f ( x ) dx = 1

0

A. 3 .

2

−x

= 3−4044 ⇔ x 2 + x + 4044 = 0 ⇒

phương trình vơ nghiệm.

1

thì

∫  f ( x ) + 2 x + 1 dx
0

1
B. 3 .

bằng
C. 1 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn A

Page 13


1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) + 2 x + 1 dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ ( 2 x + 1) dx = 1 + 2 = 3.
Câu 18: Cho hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c

( a, b, c ∈ ¡ )

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. 3 .

có đồ thị như hình vẽ bên.

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn B

Từ hình vẽ suy ra hàm số đã cho có 3 cực trị.
2
Câu 19: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z − 2 z + 5 = 0 . Tìm tọa độ điểm biểu
diễn của z1 trên mặt phẳng phức?

A. N (1; −2) .

B. Q(2; −1) .

C. P (1; 2) .
Lời giải

D. M (−1; −2) .

Chọn A
2
Phương trình z − 2 z + 5 = 0 có 2 nghiệm là:

z = 1 − 2i và z = 1 + 2i
⇒ z1 = 1 − 2i

Nên điểm biểu diễn số phức z1 là N (1; −2)
Vậy ta chọn đáp ánA.
3
Câu 20: Tính bán kính r của khối cầu có thể tích V = 36π (cm ) :
A. r = 4(cm) .
B. r = 9(cm) .
C. r = 3(cm) .

D. r = 6(cm) .

Lời giải
Chọn C
4
V = π r 3 = 36π (cm3 )
3
Ta có
⇒ r = 3(cm)

Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là hình bên. Gọi A1 ; A2 là các số dương biểu diễn cho diện tích
Page 14


của các phần tơ đậm phía trên và phía dưới Ox (như hình vẽ bên dưới).

4

Khi đó

∫ f ( x ) dx

−3

bằng

A. A1 − A2 .

B. A1 + A2 .

C. A2 − A1 .
Lời giải

D. 2A1 − A2 .

Chọn A
4

Ta có:

∫

f ( x ) dx =

−3

0

∫

−3

4

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = A1 − A2 .
0

Câu 22: Cho log 2 3 = a . Hãy tính log 9 2 theo a .
1
1

log 9 2 = 2
log 9 2 =
a
a
A.
B.

2
a

D.

( −3; − 1) .

D.

log 9 2 =

C.
Lời giải

log 9 2 =

1
2a

Chọn D

Ta có:

log 9 2 =

1
1 1
1
log 3 2 = .
=
2
2 log 2 3 2a

Câu 23: Cho hàm số đa thức

Khi đó hàm số
A.

( 1; 2 ) .

y = f ( x)

y = − f ( x)
B.

có bảng biến thiên như sau:

đồng biến trên khoảng

( −1;1) .

C.
Lời giải

( −1;0 ) .

Chọn C

Page 15


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
hàm số

y = − f ( x)

y = f ( x)

đồng biến trên khoảng

nghịch biến trên khoảng

( −3; − 1)

suy ra

( −3; − 1) .

Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA vng góc với đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,

AB = a và SC = a 5 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 30° .
B. 90° .

C. 45° .
D. 60° .
Lời giải
Chọn D

2
2
Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB + BC = a 2 .
2
2
Xét tam giác vuông SAC : SA = SC − AC = a 3 .

SA
· , tan SBA
·
=
=
( SB, ( ABC ) ) = SBA
AB

Câu 25: Cho hàm số
bên. Biết

y = f ( x)

f ( b) < 0

·
3 ⇒ SBA
= 60°

.

y = f '( x)
có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số
như hình vẽ

, hỏi đồ thị hàm số

y = f ( x)

cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?

Page 16


A. 4 .

B. 3 .

D. 0 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A

x = a
f ' ( x ) = 0 ⇔  x = b
 x = c

Ta có
.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên do
nhất 4 điểm.

f ( b) < 0

nên đồ thị hàm số

y = f ( x)

cắt trục hồnh tại nhiều

Câu 26: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy, SA = 3a đáy ABC là tam giác đều cạnh a .
M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC . Tính thể tích khối đa diện
MNP. ABC :
a3 3
A. 8 .

7a 3 3
B. 32 .

3a 3 3
C. 16 .
Lời giải

a3 3
D. 6 .

Chọn B

Page 17


Ta có

S ABC =

a2 3
4

Thể tích khối chóp SABC là:
1
1 a2 3
a3 3
VSABC = S ABC .SA =
.3a =
3
3 4
4

Theo cơng thức tỷ số thể tích
VSMNP SM SN SP 1
=
.
.
=
VSABC

SA SB SC 8
⇒ VSMNP

1
a3 3
= VSABC =
8
32

⇒ VMNPABC = VSABC − VSMNP =

Câu 27: Hàm số

f ( x ) = log 2 ( x 2 − 2 )

f ′( x) =

A.
C.

7a 3 3
32

f ′( x) =

1
( x − 2 ) ln 2
2

2 x ln 2

x2 − 2 .

. B.
D.

có đạo hàm là
2x
f ′( x) = 2
( x − 2 ) ln 2

f ′( x) =

.

ln 2
x2 − 2 .
Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức

( log a u ) ′ =

u′
u.ln a , u = u ( x ) , ta có:

Page 18

x2 − 2) ′
(
2x
′
f ′ ( x ) = log 2 ( x − 2 )  = 2
= 2
( x − 2 ) ln 2 ( x − 2 ) ln 2
2

.

Câu 28: Trong không gian Oxyz cho B(1;1; −2); C (1; 0; −1) và đường thẳng
tọa độ điểm A thuộc đường thẳng d sao cho A cách đều B; C :
A.

A ( −1; −3; −1)

.

B.

A ( 0;1; −1)

.

C.
Lời giải

A ( 3;3; −3)

.

d:

x +1 y + 3 z +1
=
=
2
3
−1 . Tìm

D.

A ( 1; 0; −2 )

.

Chọn D
⇒ A ( −1 + 2t ; −3 + 3t ; −1 − t )
Vì A thuộc d
uuu
r
⇒ BA = ( 2t − 2;3t − 4; −t + 1)
uuu
r
CA = ( 2t − 2;3t − 3; −t )

A cách đều B, C nên
BA = CA
⇒

( 2t − 2 )

2

+ ( 3t − 4 ) + ( −t + 1) =
2

2

( 2t − 2 )

2

+ ( 3t − 3 ) + ( −t )
2

⇒ ( 2t − 2 ) + ( 3t − 4 ) + ( −t + 1) = ( 2t − 2 ) + ( 3t − 3 ) + ( −t )
2

2

2

2

2

2

2

⇒ 9t 2 − 24t + 16 + t 2 − 2t + 1 = 9t 2 − 18t + 9 + t 2
⇒ t =1
⇒ A ( 1; 0; −2 )

Vậy ta chọn đáp án D.

 b2 
P = log a  3 ÷
 c  bằng:
Câu 29: Cho log a b = 2 và log a c = 3 . Giá trị của biểu thức
4
A. 13 .
B. 9 .
C. 36 .
D. −5 .
Lời giải
Chọn D

 b2 
P = log a  3 ÷ = log a b 2 − log a c 3 = 2 log a b − 3log a c
c 
Ta có:
.
Mà log a b = 2 và log a c = 3 suy ra P = 2.2 − 3.3 = −5 .
2
2
2
Câu 30: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + 4 x − 6 y − 2 z + 10 = 0 và

Page 19


mặt phẳng ( P) : 2 x − y − 2 z + 4 = 0 . Trong các mặt phẳng có phương trình sau đây, mặt phẳng
nào song song với mặt phẳng ( P ) và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ?
A. 2 x − y − 2 z − 3 = 0
B. −2 x + y + 2 z + 4 = 0
C. −2 x + y + 2 z + 15 = 0 D. −2 x + y + 2 z − 3 = 0
Lời giải
Chọn D
I ( −2;3;1)
Mặt cầu ( S ) có tâm
và bán kính R = 2 .

Gọi

(α)

( α ) / / ( P) ⇒ 2x − y − 2z + c = 0 ( c ≠ 4)

tiếp xúc với mặt cầu ( S )

⇒ d ( I,( α ) ) = R ⇔

2. ( −2 ) − 3 − 2.1 + c
2 + ( −1) + ( −2 )
2

2

2

=2

c = 15 ( n )
 −9 + c = 6
⇔ −9 + c = 6 ⇔ 
⇔
 −9 + c = −6
c = 3 ( n )
( α ) : 2 x − y − 2 z + 15 = 0
⇒
( α ) : 2 x − y − 2 z + 3 = 0
2
Câu 31: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = ( x − 1) ( x + 2) . Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên
khoảng nào sau đây?
A. ( −2;1) .
B. ( −∞; −2) .
C. (1; +∞) .
D. (−2; +∞) .
Lời giải

Chọn B

 ( x − 1) 2 = 0
x = 1
f ′( x) = 0 ⇔ 
⇔
 x = −2 .

x + 2 = 0
Ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) .

f ( x ) = x 3 − 3x 2 + m (m ∈ ¡ )
[ 1; 2] bằng 1 . Khi đó m thuộc
Câu 32: Hàm số
có giá trị nhỏ nhất trên
khoảng nào trong các khoảng sau?
( −3; − 1) .
( −1; 1) .
( 1; 3) .
( 4; 6 ) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D

Page 20


x = 0
f '( x) = 3x 2 − 6 x; f '( x) = 0 ⇔ 
x = 2
Ta có

f '( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ [ 0; 2] ⇒

hàm số nghịch biến trên

[ 1; 2] .

Min f ( x) = f (2) = m − 4 = 1 ⇔ m = 5
[ 1;2]

( m2 + 1) log 22 x + 4 log 2 x − m = 0 có
Câu 33: Số giá trị nguyên âm của tham số thực m để phương trình
nghiệm thuộc khoảng

( 0;1)

A. 1 .

là

B. 2 .

D. 5 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn A
Đặt

t = log 2 x ⇒ t ∈ ( −∞;0 )

.

(

)

m 2 + 1 t 2 + 4t − m = 0 ( *)
m
Khi đó bài tốn trở thành tìm
để phương trình
có nghiệm thuộc

( −∞;0 ) .
Để phương trình có nghiệm

Do

t1 + t2 =

⇔ ∆ ' = 4 + m ( m 2 + 1) = m3 + m + 4 ≥ 0

−4
<0
( −∞;0 ) .
m2 + 1
nên phương trình ln có ít nhất một nghiệm thuộc

Vậy phương trình

( *)

ln có nghiệm thuộc

( −∞;0 )

3
với tham số m thỏa m + m + 4 ≥ 0

m < 0
⇒ m = −1

Mà  m ∈ ¢
.
Câu 34: Một nhóm học sinh gồm có 3 học sinh lớp A , 4 học sinh lớp B và 5 học sinh lớp C . Chọn
ngẫu nhiên 2 học sinh tham gia câu lạc bộ Toán học. Tính xác suất sao cho 2 học sinh được
chọn nếu có học sinh lớp B thì khơng có học sinh lớp C .

23
A. 33 .

2
B. 3 .

17
C. 22 .

9
D. 11 .

Lời giải

Chọn A

⇒ n ( Ω ) = C122
Gọi Ω là không gian mẫu
.
Gọi A là biến cố: “chọn ra 2 học sinh tham câu lạc bộ Toán học sao cho nếu có học sinh lớp B
thì khơng có học sinh lớp C ”.

Page 21


⇒ A là biến cố: “chọn ra 2 học sinh tham câu lạc bộ Tốn học sao cho có học sinh lớp B và
học sinh lớp C ”.

( )

⇒ n A = 4.5 = 20 ⇒ P ( A ) = 1 −

( ) = 1 − 20 = 23

n A

n ( Ω)

C122

33

.

x
( C ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , tiếp tuyến của ( C )
Câu 35: Cho hàm số y = e có đồ thị

M ( 1;e )

tại điểm
2e 4
− .
A. 3 3e

1
y=− x
e bằng
và đường thẳng
3 e
1
− + .
2e − − 1.
2e
B. 2e 2
C.

D.

1−

3 e
+ .
2e 2

Lời giải
Chọn B
Tiếp tuyến của

( C)

tại điểm

M ( 1;e )

là

y − e = e ( x − 1) ⇔ y = ex

.

x
A ( 1; e )
Giao điểm của đồ thị hàm số y = e và y = ex là
.

 1
1
B  −1; ÷
y=− x
e .
e là 
Giao điểm của đồ thị hàm số y = e và
x

1
y=− x
e và y = ex là O ( 0;0 ) .
Giao điểm của đồ thị hàm số

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( C) ,

tiếp tuyến của

( C)

tại điểm

M ( 1;e )

và đường thẳng

1
y=− x
e bằng
0

1

1



x2 
ex 2 
e 3
 x x
S = ∫  e + ÷dx + ∫ ( e x − ex ) dx =  e x + ÷ +  e x −
÷ = − .
e
2e  −1 
2  0 2 2e

−1 
0
0

Page 22


2
2
2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 2) = 16 , điểm A nằm trên đường

 x = 1+ t

 y = 1+ t
 z=2


thẳng ∆ có phương trình:
và nằm ngồi mặt cầu ( S ). Từ A kẻ các tiếp tuyến đến

mặt cầu ( S ) . Gọi ( Pm ) là mặt phẳng chứa các tiếp điểm, biết mặt phẳng ( Pm ) luôn đi qua một
đường thẳng d cố định. Phương trình đường thẳng d là
x = 1+ t
x = t
x = t



 y = 1− t .
 y = −t .
 y = −t .
z = 2
z = 2
 z = −2
A. 
.
B. 
C. 
Lời giải

D.

x = t

y = t .
z = 2


Chọn B

I ( 0;0; −2 )
Mặt cầu ( S ) có tâm
, bán kính R = 4.
Ta có

A ( 1 + t ;1 + t; 2 )

, do A nằm ngoài mặt cầu nên IA > R ⇔ t ≠ −1.

2 ( 1 + t ) + 16
1+ t 1+ t 
AI
H
;
;0 ÷
R=
=
2
 , bán kính
2
2
Mặt cầu đường kính AI có tâm  2
có
2

phương trình
2

2

1+ t  
1+ t 
t 2 + 2t + 9

2
x
−
+
y
−
+
z
=

÷ 
÷
2  
2 
2

2
2
2
⇔ x + y + z − ( 1 + t ) x − ( 1 + t ) y = 4. ( S )
Mặt phẳng ( Pm ) là giao của ( S ) và ( S ′)

 x 2 + y 2 + ( z + 2)2 = 16
M ( x; y; z ) ∈ ( Pm ) ⇔  2
x + y2 + z2 − ( 1+ t ) x − ( 1+ t ) y = 4



Điểm
( Pm ) : ( 1 + t ) x + ( 1 + t ) y + 4 z = 8 ⇔ t ( x + y ) + x + y + 4 z − 8 = 0.

Suy ra đường thẳng cố định của mặt phẳng ( Pm ) là

x = t
x + y = 0

⇔  y = −t
( d) :
x + y + 4z − 8 = 0
z = 2

.
Câu 37: Vợ chồng nhà chị Thơm vay ngân hàng 400 triệu đồng để mua nhà với hình thức trả góp, chị
chọn gói lãi suất ưu đãi cố định 0,5% /tháng trong 12 tháng đầu và sang tháng thứ 13 trở đi thì
ngân hàng tính lãi suất thả nổi theo quy định. Gia đình chị hồn nợ cho ngân hàng theo cách:
Page 23


sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau
đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 15 triệu đồng. Sau khi hết 12 tháng ưu đãi thì
chị Thơm phải trả lãi suất thả nổi là 1% /tháng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên
số dư nợ thực tế của tháng đó và lãi suất thả nổi của ngân hàng không thay đổi trong thời gian
chị Thơm hoàn nợ. Hỏi chị Thơm cần bao nhiêu tháng để trả hết nợ ngân hàng kể từ khi vay?
A. 30 tháng.
B. 18 tháng.
C. 29 tháng.
D. 17 tháng.

Lời giải
Chọn A
Số tiền chị Thơm nợ sau một tháng là

400 + 400.0,5% = 400 ( 1 + 0,5% )

Sau 1 tháng thì số tiền chị Thơm phải trả là

400 ( 1 + 0,5% ) − 15

(triệu đồng).

(triệu đồng).

Sau 2 tháng thì số tiền chị Thơm phải trả là

400 ( 1 + 0,5% ) − 15 +  400 ( 1 + 0,5% ) − 15 .0,5% − 15

= 400 ( 1 + 0,5% ) − 15 ( 1 + 0,5% ) + 1
2

(triệu đồng).

…….
Sau 12 tháng thì số tiền chị Thơm phải trả là
12
11
10
A = 400 ( 1 + 0,5% ) − 15 ( 1 + 0,5% ) + ( 1 + 0,5% ) + ... + ( 1 + 0,5% ) + 1




( 1 + 0,5% ) − 1 = 400 1 + 0,5% 12 − 15  1 + 0,5% 12 − 1
= 400 ( 1 + 0,5% ) − 15
(
)
(
)

0,5% 
( 1 + 0,5% ) − 1
12

12

= 239, 637 (triệu đồng).
Gọi n là số tháng tiếp theo mà chị Thơm cần để trả hết nợ, tương tự như trên ta được
n
15 ( 1 + 1% ) − 1
−15

 = 0 ⇔ n = log
A ( 1 + 1% ) −
≈ 17.49
1+1%
1%
A.1% − 15
n

Tức là chị Thơm cần thêm 18 tháng để trả hết nợ.

Vậy chị Thơm cần 12 + 18 = 30 tháng để trả hết nợ ngân hàng kể từ khi vay.

Câu 38: Trong tập số phức, cho phương trình

z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 − 3m + 6 = 0, m ∈ ¡

. Có bao nhiêu

z + z2 = 8
giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa 1
.
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Page 24


∆ ' = ( m + 1) − ( m 2 − 3m + 6 ) = 5m − 5
2

.

Xét ∆ ' > 0 ⇔ m > 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
 z1 + z2 = 2 ( m + 1) > 0 ∀ m > 1

z .z = m 2 − 3m + 6 > 0 ∀ m
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có  1 2
.

Vậy m > 1 thì phương trình có hai nghiệm thực dương phân biệt

z1 + z2 = 8 ⇔ z1 + z2 = 8 ⇔ 2m + 2 = 8 ⇔ m = 3

(thỏa).

Xét ∆ ' < 0 ⇔ m < 1 .

z = z2 =
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 với 1

( m + 1)

2

+ 5m − 5

 m = 5(l )
z1 + z2 = 8 ⇔ 2 z1 = 8 ⇔ m 2 − 3m − 10 = 0 ⇔ 
 m = −2 .
Vậy m = 3, m = −2 .

( ABC ) , tam giác ABC
Câu 39: Cho hình tứ diện SABC có SC = CA = AB = 3 2 , SC vng góc với
vng tại A , các điểm M , N lần lượt thuộc SA và BC sao cho AM = CN = 2 . Khoảng cách
giữa hai đường thẳng MN và SB bằng
A. 2 2 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới.

Theo hệ trục chọn ở trên, tọa độ các điểm được tính như sau:

Page 25