đề 33 bám sát minh họa 2023 môn toan

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD
ĐỀ SỐ 33 - NÂNG CAO
(Đề gồm có 06 trang)

KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
Bài thi mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

Câu 1:

Số phức liên hợp của số phức z  5  2i là
A. z  5  2i .

Câu 2:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

C. z  5  2i .

 S

 x  1

2

A.
C.

 x  1

2

là

 y2   z  2  3

 x  1

2

B.

 y 2   z  2  3

.

D.

 x  1

2

 y2   z  2  9

.

2

 y 2   z  2  9

.

2

Đồ thị hàm số
M  0; 1
A.
.

y

.

2

2

x 1
x  1 cắt trục Ox tại điểm nào dưới đây?

.

D.

Q  1;0 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 ; 2  .
 ;1 .
 1;   .
A.
B.
C.

D.

 1;3 .

Phần ảo của số phức z  5  2i là
A. 2i .
B. - 2i .

D. 2 .

Cho hàm số

y  f  x

B.

N  1;0 

.

C.

P  0;1

.

có bảng biến thiên như sau:

C. - 2

log 2  x  2   2
Tập nghiệm của bất phương trình
là
 4;   .
 2;   .
 6;   .
A.
B.
C.

D.

 2;6  .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M , N , P, Q như hình dưới đây

Số phức z  1  4i được biểu diễn bởi
P.

A. N .
B.
Câu 8:

D. z  2  5i .

 S  có tâm I  1;0; 2  và bán kính R  3. Phương trình
Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu
mặt cầu

Câu 3:

B. z  2  5i .

y  f  x
Cho hàm số
có bảng xét dấu
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 3 .
B. 2 .

điểm:
C. Q . D. M .
của đạo hàm như sau:
C. 4 .

D. 5 .
Page 1

Câu 9:

Thể tích của khối cầu có bán kính r  3 bằng:
3
A. 9 .
B. 4 .

2x
Câu 10: Nghiệm của phương trình 2  8 là:
3
1
x
x
2.
2.
A.
B.

C. 108 .

D. 36 .

C. x  2 .

D. x  3

Câu 11: Thể tích khối hộp có diện tích đáy B  3 chiều cao h  5 bằng:
A. 15 .

B. 5 .

C. 15 .

5
D. 3 .

C. 5 .

D. 3

2

 f '( x)dx

Câu 12: Cho f (2)  4; f (0)  1 khi đó: 0
A. 4 .
B. 2 .

bằng

Câu 13: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên?

3
A. y   x  3x .

3
B. y  x  3 x  3 .

4
2

C. y  x  2 x  3 .

4
2
D.  x  2 x  3 .

Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình vng cạnh bằng 2, chiều cao h  3 bằng:
A. 12 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 18 .
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số

f  x   x3

1 4
x C
B. 4
.

A. 3x  C .
2

Câu 16: Cho cấp số cộng
A. u4  18

là:
C. 4x  C .
4

1 2
x C
D. 2
.

 un  , biết u1  2 , công sai d  3 . Số hạng thứ tư của cấp số cộng đã cho là
B. u4  11

C. u4  54

D. u4  9

1

 2 ;  

C.

1

 ;  

D.  2

1

y   2 x  1 3

Câu 17: Tập xác định của hàm số
1


 ; 
 ;  
2
A. 
B.
Câu 18: Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Page 2


Hàm số đã cho đạt cực trị đại tại
A. x  1
B. x  3

C. x  2

Câu 19: Với a là số thực dương khác 1 tùy ý, log a a bằng
1
1
.
 .
A. 2
B. 2
C. 2.

D. x  2

D. 2.

 x  1  2t

d : y  2  t
 z  3  4t

Câu 20: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng vng góc với đường thẳng
có một véc tơ

pháp tuyến là
uu
r
n3   2;1; 4  .
A.

B.

uu
r
n2   1; 2;  3  .

C.

uu
r
n4   2;1; 4  .

D.

r
n   1; 2;3 .

; ; 2) có một vectơ chỉ
Câu 21: Trong khơng gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 2; 4) và B (11
phương là
uu
r
1
uu
r
uu
r
uu
r
u
;3)
2  (2; 
u2  (4; 1;6)
u2  (2; 3; 2)
u2  (2;3; 2)
2
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.

y

Câu 22: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x  2 .
B. x  2 .

4
x  2 là
C. y  0 .

D. y  2 .

Câu 23: Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l  5 và r  3 bằng
A. 30 .
B. 15 .
C. 48 .
D. 24 .
Câu 24: Một tổ hợp chập 2 của tập  1; 2; 3; 4; 5 là
2
A. C5 .
2
B. A5 .
 1; 2 .
C.

2

Câu 25: Cho 0
A. -9.

f ( x)dx  6

và



4

0

f ( x )dx  3

B. 3.

D.
khi đó



4

2

 1; 2  .

f ( x) dx
C. 9.

bằng
D. -3.

3
2
Câu 26: Trên đoạn [2;1] , hàm số y  x  3 x  1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. x  2 .
B. x  1 .
C. x  0 .
D. x  1 .

Câu 27: Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6 . Chọn
ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số được chọn gồm hai chữ số phân biệt bằng
Page 3


5
A. 6 .

1
B. 2 .

1
C. 6 .

5
D. 12 .

Câu 28: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chiếu vng góc của A trên mặt

phẳng (A'B'C') là trung điểm H của B ' C ' . Góc giữa hai đường thẳng AA' và B ' C ' bằng

0
A. 60 .

0
B. 45 .

0
C. 30 .

0
D. 90

f  x
Câu 29: Cho F là một nguyên hàm của hàm số
trên R .Khẳng định nào dưới đây là đúng?

e

x

e
C.

x

A.

f (2e x  1) dx  F (2e x  1)  C

f (2e x  1)dx 

B.

1
F (2e x  1)  C
2

e

x

e
D.

x

f (2e x  1)dx  2 F (2e x  1)  C

1
f (2e x  1) dx   F (2e x  1)  C
2

2
Câu 30: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f '(x)  x (x  2),x R . Hàm số đã cho nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?
 0;  .
A. (2;0) .
B.

C. (;2) .
D. (2;)

Câu 31: Diện tích phân gạch chéo trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
y

1 2 2
2
x  x , y  x
3
3
3
và đường thẳng x  1 được tính bởi cơng thức

4

4

2
2
1

S    x 2  x   x dx
3
3
3
 .
1
A.
4

1
2
2

S    x  x 2  x  dx
3
3
3
0
C.
.

Câu 32: Cho a và b là hai số thực dương khác 1 thỏa mãn
A.

log a b 

3

3
2 .

B.

log a b 





1
S   3 x  x 2  2 x  3 dx
31
B.
.
4
2
2
1

S    x 2  x   x dx
3
3
3
 .
0
D.

3

3
2.

C.

a  3 b . Tính giá trị log a b .
log a b 

3
2.

D.

log a b 

2
3.

Page 4


M  1; 2; 1
Câu 33: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
trên mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z  6  0
A. 3 .

là điểm
B. 4 .

H  a; b; c 

. Tổng a  b  c bằng
C. 0 .

2

Câu 34: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x)  cos x  1, x  ¡ và
bằng




1
1
A. 2 .
B. 2
.
C. 2
.



D. 2 .

f ( x )dx 

0

2
1
8

 
f 
, khi đó  2 

D. 1 .

Câu 35: Cho hình chóp đều S . ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 , mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc

300 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  bằng

A. 2 3 .

4 3
C. 3 .

B. 4 3 .

D. 2 .

2
Câu 36: Trên tập số phức, cho phương trình z  az  b  0 (a, b  ¡ ) . Có bao nhiêu số phức w sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm là z1  (6  i) w 2i và z2  ( w  5  i )| w | ?

A. 4.

B. 3.

C. 6.

D. 5.

log 2  x 2   log 3  x 3   log 2 x.log 3 x  4
Câu 37: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn
?
A. 27 .
B. 134 .
C. 26 .
D. 133 .

Câu 38: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên
mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SC  3a và góc giữa hai mặt phẳng
( SAC ) và ( SBC ) bằng 90 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
1 3
a
B. 2 .

3

A. 2a .

3
C. 4a .

3
D. 3a .

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho điểm E (3; 0;5) và hai đường thẳng

x  2  t

d 2 :  y  1  2t
 z  3t


x2 y2 z


1

1
1

. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua E , cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại các

điểm A và B sao cho AB  6 . Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?
A. M (1; 2;3) .
B. Q(3; 2; 1) .
C. P(1; 2;3) .
Câu 40: Cho hàm số

d1 :

f  x

R , thỏa mãn

D. N (2; 1;3) .

F  x ,G  x
f  x
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của hàm số
trên

F  0   G  0   13

,

F  1  G  1  12

và

F  3  G  3  78

. Khi đó

1

 f  2 x  1  dx

1

bằng
Page 5


33
A. 2 .
Câu 41: Cho

hàm

B. 33 .
số

y  f  x

có

C. 32 .
đạo

hàm

liên

D. 16 .
tục

trên

¡ .

Biết

f  1  e

và

1

 x  2  . f  x   x. f   x   x3
1 2
 
A. e 3 .

với x  ¡ . Tính
2
e

3.
B.

Câu 42: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

A  z1 z2  2  z1  z2   6
 1 3
 ; 
B.  3 4  .

0

C.

e

.

1
e.

z 2  2  m  1 z  m 2  2  0

thuộc khoảng nào dưới đây để phương trình
biệt z1 , z2 thỏa mãn
 13 3 
 ; 
 2 4 .
A.

 f  x  dx

2 4
e 
e 3.
D.

( m là số thực). Với m

z 2  2  m  1 z  m 2  2  0

đạt giá trị nhỏ nhất
 5 14 
 ; 
C.  4 3  .

có hai nghiệm phân

 10 
 ;8 
D.  3 

2
Câu 43: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x)  6 x  6 x  12, x  ¡ và f (1)  2 . Số giá trị nguyên

g (x)  f  x4  2x2   m
m
của tham số
để hàm số
có ít nhất 9 điểm cực trị là

A. 27.
B. 20.
C. 26.
D. 19.
Câu 44: Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có đồ thị (C ) như hình vẽ:

Đường thẳng d : y  g ( x ) là tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hồnh độ x  3 . Số nghiệm thực
f ( x)  4 g ( x)

g
(
x
)

4
f ( x) là
phân biệt của phương trình
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .

D. 6 .

Câu 45: Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 2a và hai đường tròn đáy tâm O và O .
Xét hai điểm A, B lần lượt di động trên đường tròn tâm O và đường tròn đáy tâm O sao cho
AB tạo với OO góc   0    90  . Khi thể tích khối tứ diện OAOB đạt giá trị lớn nhất thì
tan  bằng:

A.

2.

1
B. 2 .

C.

2
3.

1
D. 3 .

Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên a  [30;30] sao cho ứng với mỗi a có khơng q 5 số ngun x thoả
x 13
x  a 13
 log 3 (1  x)  log 3 ( x  a  1)
mãn 4  4
?

Page 6


A. 23.

B. 53.

C. 22.

D. 54.

Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Khoảng cách từ
tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC
khối lăng trụ ABC. ABC  .
3a3 2
2 .
A.

3a3 2
6 .
B.

 ABC 
đến mặt phẳng
3a 3 2
4 .
C.

a
bằng 3 . Tính thể tích

3a3 2
D. 12 .

2
2
2
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3;0;5) và mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  4)  81 .
Xét các điểm A, B, C di động trên ( S ) sao cho MA, MB, MC đơi một vng góc và gọi E là
đỉnh đối diện với đỉnh M của hình hộp chữ nhật có ba cạnh MA, MB, MC . Khoảng cách từ

điểm E đến măt phẳng (Oxy ) có giá trị lớn nhất bằng
A. 21.
B. 15.
C. 17.
Câu 49: Cho hàm số

y  f ' x

f  x

có đạo hàm trên ℝ và

f ' x

D. 19.

có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị

cắt trục hồnh tại hai điểm có hồnh độ lần lượt 3;1 . Có bao giá trị nguyên của

 13; 25 để hàm số
tham số m thuộc đoạn

A. 25 .

B. 26 .



y  f  x2  3x  m 

C. 27



3

đồng biến trên khoảng

 0; 2  ?

D. 24 .

z  4 1
iw  2  1
z  2w
Câu 50: Cho các số phức z và w thỏa mãn
và
. Khi
đạt giá trị nhỏ nhất,
iz  w

bằng

A. 2 5 .

B. 4 2  3 .
C. 6 .
---------- HẾT ----------

D. 4 2  3 .

Page 7


BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.A
21.B
31.B
41.D

2.D
12.D
22.B
32.C
42.C

3.B
13.C
23.B
33.D
43.C

4.B
14.B
24.C
34.B
44.B

5.C
15.B
25.C
35.A
45.A

6.C
16.B
26.C
36.A
46.D

7.D
17.D
27.A
37.B
47.A

8.C
18.A
28.D
38.A
48.D

9.D
19.A
29.C
39.A
49.B

10.A
20.C
30.C
40.D
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Số phức liên hợp của số phức z  5  2i là
A. z  5  2i .

B. z  2  5i .

C. z  5  2i .
Lời giải

D. z  2  5i .

Chọn A
Ta có: Số phức liên hợp của số phức z  5  2i là z  5  2i .
Câu 2:

 S  có tâm I  1;0; 2  và bán kính R  3. Phương trình
Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu
 S

mặt cầu
A.

 x  1

2

 x  1

2

C.

là

 y2   z  2  3
2

 y 2   z  2  9

.

B.

2

.

 x  1

2

 x  1

2

D.
Lời giải

 y 2   z  2  3

.

 y2   z  2  9

.

2

2

Chọn D
Mặt cầu

 x  1
Câu 3:

2

 S

I  1;0; 2 

có tâm

 y2   z  2  9

và bán kính R  3 có phương trình là

2

Đồ thị hàm số
M  0; 1
A.
.

y

.

x 1
x  1 cắt trục Ox tại điểm nào dưới đây?

B.

N  1;0 

.

C.
Lời giải

P  0;1

.

D.

Q  1;0 

.

Chọn B
Ta có:
Câu 4:

y0

Cho hàm số

x 1
x 1
 0  x  1 
y
x  1 cắt trục Ox tại điểm N  1;0  .
x 1
đồ thị hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 ; 2  .
 ;1 .
 1;   .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B

D.

 1;3 .

Page 8


Từ Bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 5:

Phần ảo của số phức z  5  2i là
A. 2i .
B. - 2i .

 ;1 .

C. - 2
Lời giải

D. 2 .

Chọn C

Phần ảo của số phức z  5  2i là 2.
Câu 6:

log 2  x  2   2
Tập nghiệm của bất phương trình
là
 4;   .
 2;   .
 6;   .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn C
x  2
x  2
log 2  x  2   2  

 x6
x  2  4
x  6
.
Tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 7:

 2;6  .

S   6;   .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M , N , P, Q như hình dưới đây

Số phức z  1  4i được biểu diễn bởi điểm:
A. N .
B. P .
C. Q .
Lời giải
Chọn D
 1; 4 
Số phức z  1  4i được biểu diễn bởi điểm:
Câu 8:

D.

Cho hàm số

y  f  x

D. M .

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 3 .
B. 2 .

C. 4 .

Lời giải

D. 5 .

Chọn C
Câu 9:

Thể tích của khối cầu có bán kính r  3 bằng:
3
A. 9 .
B. 4 .

C. 108 .
Lời giải

D. 36 .

Chọn D
Page 9


2x
Câu 10: Nghiệm của phương trình 2  8 là:
3
1
x
x
2.
2.
A.

B.

C. x  2 .
Lời giải

D. x  3

Chọn A

3
2 2 x  8  2 2 x  23  2 x  3  x  .
2
Ta có:
Câu 11: Thể tích khối hộp có diện tích đáy B  3 chiều cao h  5 bằng:
A. 15 .

C. 15 .
Lời giải

B. 5 .

5
D. 3 .

Chọn A
Thể tích khối hộp là: V  B.h  3.5  15.
2

 f '( x)dx

Câu 12: Cho f (2)  4; f (0)  1 khi đó: 0
A. 4 .
B. 2 .

bằng
C. 5 .
Lời giải

D. 3

Chọn D
2



Ta có: 0

f '( x )dx  f  x  0  f  2   f  0   4  1  3.
2

Câu 13: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình bên?

3
A. y   x  3x .

3
B. y  x  3 x  3 .

4
2

C. y  x  2 x  3 .
Lời giải

4
2
D.  x  2 x  3 .

Chọn C
Đồ thị hàm số trên là của hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số a  0 .
Câu 14: Thể tích của khối chóp tứ giác có đáy là hình vng cạnh bằng 2, chiều cao h  3 bằng:
A. 12 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 18 .
Lời giải
Chọn B
1
1
V  S .h  .22.3  4
3
3
.
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số

f  x   x3

là:
Page 10

1 4
x C
B. 4
.

A. 3x  C .
2

C. 4x  C .
Lời giải
4

1 2
x C
D. 2
.

Chọn B
F  x    x3dx 
Câu 16: Cho cấp số cộng
A. u4  18

x4
C
4
.

 un  , biết u1  2 , công sai d  3 . Số hạng thứ tư của cấp số cộng đã cho là
B. u4  11

C. u4  54
Lời giải

D. u4  9

1

 2 ;  

C.
Lời giải

1

 ;  

D.  2

Chọn B
Ta có u4  u1  3d  2  3.3  11 .
1

y   2 x  1 3

Câu 17: Tập xác định của hàm số
1

 ; 
 ;  
2

A. 
B.
Chọn D
Điều kiện xác định:

2x 1  0  x 

1
2.

1

D   ;  
2
.
Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là:

Câu 18: Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hàm số đã cho đạt cực trị đại tại
A. x  1
B. x  3

C. x  2
Lời giải

D. x  2

Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số đã cho đạt cực đại tại x  1 .
Câu 19: Với a là số thực dương khác 1 tùy ý, log a a bằng
1
1
.
 .
A. 2
B. 2
C. 2.
Lời giải
Chọn A

D. 2.

1
1
log a a  log a a 2  .
2
Ta có:

Page 11


Câu 20: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
pháp tuyến là
uu
r

uu
r
uu
r
n3   2;1; 4  .
n2   1; 2;  3  .
n4   2;1; 4  .
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn C

 x  1  2t

d : y  2  t
 z  3  4t


D.

có một véc tơ

r
n   1; 2;3 .

uu
r
ud   2;1;4 

Đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là
.
Vì mặt phẳng vng góc với đường thẳng d nên mặt phẳng có 1 véc tơ pháp tuyến
uu
r
n4   2;1; 4 

.

; ; 2) có một vectơ chỉ
Câu 21: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 2; 4) và B (11
phương là
uu
r
1
uu
r
uu
r
uu
r
u

(2;

;3)
2
u  (4; 1;6)
u  (2; 3; 2)
u  (2;3; 2)

2
A. 2
.
B. 2
.
C. 2
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
uuur
ur
AB

(

2
;
3
;

2
)

u
1  (2; 3; 2)
Ta có

y

Câu 22: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x  2 .
B. x  2 .

4
x  2 là
C. y  0 .
Lời giải

D. y  2 .

Chọn B
TXĐ D  ¡ \{  2}
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y

4
x  2 là x  2

Câu 23: Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l  5 và r  3 bằng
A. 30 .
B. 15 .
C. 48 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn B
S   rl  15
Diện tích xung quanh của hình nón xq

Câu 24: Một tổ hợp chập 2 của tập  1; 2; 3; 4; 5 là
2
A. C5 .
2
B. A5 .
 1; 2 .
C.

 1; 2  .

D.
Lời giải

Chọn C
Câu 25: Cho



2

0

f ( x)dx  6

và



4

0

f ( x )dx  3

khi đó



4

2

f ( x) dx

bằng
Page 12


A. -9.

B. 3.

C. 9.
Lời giải

D. -3.

Chọn C
Ta có: 

4

2

0

4

2

4

2

0

0

0

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx  6  3  9

3
2
Câu 26: Trên đoạn [2;1] , hàm số y  x  3 x  1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. x  2 .
B. x  1 .
C. x  0 .
D. x  1 .
Lời giải

Chọn C
y  2   3, y  1  3, y  0   1, y  1  1
Ta có
3
2
 2;1 taij x  0
Vậy hàm số y  x  3 x  1 đạt giá trị nhỏ nhấ trên đoạn

Câu 27: Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6 . Chọn
ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số được chọn gồm hai chữ số phân biệt bằng
5
A. 6 .

1
B. 2 .

1
C. 6 .
Lời giải

5
D. 12 .

Chọn A
Số các số tự nhiên có hai chữ số lập được từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 là 6.6  36
Số các số tự nhiên có hai chữ số kgacs nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5, 6 là 6.5  30.
30 5
P

36 6

Vậy xác suất cần tính là
Câu 28: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chiếu vng góc của A trên mặt
phẳng (A'B'C') là trung điểm H của B ' C ' . Góc giữa hai đường thẳng AA' và B ' C ' bằng

0
A. 60 .

0
B. 45 .

0

C. 30 .
Lời giải

0
D. 90

Chọn D
Ta có: AA '/ / BB '  ( AA '; B ' C ')  ( BB '; B ' C ')
Vì B ' C '  ( AA ' H )  AA '  B ' C '  BB '  B ' C '

f  x
Câu 29: Cho F là một nguyên hàm của hàm số
trên R .Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Page 13


e
A. 

x

f (2e x  1) dx  F (2e x  1)  C

e

C.

x

f (2e x  1)dx 

e
B. 

1
F (2e x  1)  C
2

x

e

D.

x

f (2e x  1)dx  2 F (2e x  1)  C

1
f (2e x  1) dx   F (2e x  1)  C
2

Lời giải
Chọn C

e
Ta có

x

f (2e x  1) dx  

1
1
f (2e x  1)d (2e x  1) x  F (2e x  1)  C
2
2
.

2
Câu 30: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f '(x)  x (x  2),x R . Hàm số đã cho nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?
 0;  .
A. (2;0) .
B.
C. (;2) .
D. (2;)
Lời giải

Chọn C

Ta có

f '(x)  0  x2(x  2)  0  x (;2)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

(;2)

Câu 31: Diện tích phân gạch chéo trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
y

1 2 2
2
x  x , y  x
3
3
3
và đường thẳng x  1 được tính bởi cơng thức

4

4

2
2
1

S    x 2  x   x dx

3
3
3
 .
1
A.
4
1
2
2

S    x  x 2  x  dx
3
3
3
0
C.
.





1
S   3 x  x 2  2 x  3 dx
31
B.
.
4
2

2
1

S    x 2  x   x dx
3
3
3
 .
0
D.
Lời giải

Chọn B
4

4





1
2
2
1

S    x  x 2  x  dx   3 x  x 2  2 x  3 dx
3
3
3

31
1
Ta có
.
a  3 b . Tính giá trị log a b .

Câu 32: Cho a và b là hai số thực dương khác 1 thỏa mãn
A.

log a b 

3

3
2 .

B.

log a b 

3

3
2.

log a b 

C.
Lời giải

3
2.

D.

log a b 

2
3.

Chọn C

Page 14


a  3 b b

Ta có

 
a

3
2

log a b  log a a 

Khi đó

3

3

 a2

.

3
2.

M  1; 2; 1
Câu 33: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm
trên mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z  6  0
A. 3 .

là điểm
B. 4 .

H  a; b; c 

. Tổng a  b  c bằng
C. 0 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
x 1 y  2 z 1



1
2
3

 P   :

Gọi  là đường thẳng đi qua M và vng góc mặt phẳng
 H   P  
nên tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

 x  2 y  3z  6  0
x  0
a  0
 x  2 y  3z  6  0




  y  0  b  0  a  b  c  2
 x  1 y  2 z  1  2 x  y  0






2
3

 1
3 x  z  2
z  2
c  2

2

Câu 34: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x)  cos x  1, x  ¡ và
bằng



1
1
A. 2 .
B. 2
.
C. 2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có

f  x     cos x  1 dx  sin x  x  C

2

Thay vào ta được



f ( x)dx 

0



f ( x )dx 

0

2
1
8

 
f 
, khi đó  2 

D. 1 .

.


2

2
2
 1    sin x  x  C  dx 
1

8
8
0


2



x
2
2
 2
   cos x   Cx  
1  1
 C. 
1  C  0
2
8
8
2 8

0
.
2


 
f   1
2.

Vậy  2 
Câu 35: Cho hình chóp đều S . ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 , mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc
300 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  bằng

A. 2 3 .

B. 4 3 .

4 3
C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A

Page 15


Góc giữa mặt bên
CD .

 SCD 

với mặt phẳng đáy

 ABCD  là góc

·
SMO

 300 với M là trung điểm

CD  SO; CD  OM  CD   SOM   OH  OH  CD
Kẻ OH  SM , ta lại có
OH   SCD   d  O;  SCD    OH
Vậy

Ta có
Mà

OH  sin 300.OM 

3
.2  3
2

d  A;  SCD    2d  O;  SCD    2OH  2 3

.

2
Câu 36: Trên tập số phức, cho phương trình z  az  b  0 (a, b  ¡ ) . Có bao nhiêu số phức w sao cho
phương trình đã cho có hai nghiệm là z1  (6  i) w 2i và z2  ( w  5  i )| w | ?

A. 4.

B. 3.

C. 6.
Lời giải

D. 5.

Chọn A
Trường hợp 1: z1 , z2  ¡ .
z1  (6  i) w  2i  (6  i )( x  yi )  2i là số thực nên  x  6 y  2  0 .
z2  ( w  5  i) | w | x 2  y 2 [( x  5)  (1  y)i]

2
2
là số thực nên (1  y ) x  y  0 .

 x  6 y  2  0
x  4

 w 4i

2
2
y  1
(1  y ) x  y  0

Ta có hệ phương trình
.
Trường hợp 2: z1 , z2  ¡ . Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là liên hợp với nhau.

z1  z2  (6  i ) w  2i  ( w  5  i ) | w | t.w  5t  t.i (t | w |)
 w[(t  6)  i ]  5t  (t  2)i . (1)
 t 2  (t  6) 2  1  25t 2  (t  2) 2

t  1
 t  0, 62079
t  10,967
 t 4  12t 3  11t 2  4t  4  0
.
t
Thay mỗi giá trị của vào (1), ta được một số phức w tương ứng.
Vậy có tất cả 4 số phức w thoả mãn.

Page 16


log 2  x 2   log 3  x 3   log 2 x.log 3 x  4
x
Câu 37: Có bao nhiêu số nguyên thỏa mãn
?
A. 27 .
B. 134 .
C. 26 .
D. 133 .

Lời giải
Chọn B
Điều kiện x  0

log 2  x 2   log 3  x 3   log 2 x.log3 x  4
Bất phương trình
 2 log 2 x  3log3 x  log 2 x.log 3 x  4  0

 2 log 2 x  3log 3 2.log 2 x  log 2 x.log 3 2.log 2 x  4  0

 log 3 2.  log 2 x    2  3log 3 2  log 2 x  4  0
2



2  3log 3 2  4  28log 3 2  9  log 3 2 
2log 3 2
2  3log 3 2  4  28log 3 2  9 log 3 2 

2

2log 3 2

2

 log 2 x 

2  3log 3 2  4  28log 3 2  9  log 3 2 

2 3log 3 2  4  28log3 2  9 log3 2 

2

 x2

2

2 log 3 2
2

2log3 2

 0,53  x  134, 08
Do x nguyên nên có 134 giá trị.

Câu 38: Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên
mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SC  3a và góc giữa hai mặt phẳng
( SAC ) và ( SBC ) bằng 90 . Thể tích khối chóp đã cho bằng
3

A. 2a .

1 3
a
B. 2 .

3

C. 4a .
Lời giải

3
D. 3a .

Chọn A

Kẻ BK vng góc với SC , suy ra AK cũng vng góc với SC .
 SAC , SBC    AK , BK   ·AKB  90 .
Suy ra
x

AB  x  HK 
2.
Đặt
x
3
SHC  HK .SC  SH .HC  .3a  SH .x
2
2
Xét tam giác
 SH  a 3  HC  9a 2  3a 2  a 6  x.

3
 x  2a 2
2
.

Page 17


1
1
3
VS . ABC  .SH .S ABC  a 3.8a 2 .
 2a 3
3
3
4
Vậy thể tích khối chóp S . ABC bằng
.

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho điểm E (3; 0;5) và hai đường thẳng

x  2  t

d 2 :  y  1  2t
 z  3t


d1 :

x2 y2 z


1
1
1

. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua E , cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại các

điểm A và B sao cho AB  6 . Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?
A. M (1; 2;3) .
B. Q(3; 2; 1) .
C. P(1; 2;3) .
D. N (2; 1;3) .
Lời giải
Chọn A
ur
M

2;

2;0
u
  1;1; 1


d
Ta có 1 qua 1
có VTCP 1
.
uu
r
uuuuuur
d 2 qua M 2   2; 1;0  có VTCP u2   1; 2; 3 , suy ra M 1M 2   0; 3; 0 
ur uu
r uuuuuur
u1 , u2  .M 1M 2
6


 d  d1 ; d 2  

 6
ur uu
r
ur uu
r
ur uu
r uuuuuur
6
u1 , u2 

u1 , u2    1; 2;1  u1 , u2  .M 1M 2  6  0





Mà 
.
 P  chứa đường vuông góc chung AB của hai đường thẳng chéo nhau d1 ,
Suy ra mặt phẳng
d2 .

 P   d1  A   2  a; 2  a; a  ,
Ta có
 P   d 2  B   2  b; 1  2b; 3b  .

uuur
AB   a  b; 3  a  2b; a  3b 

uuu
r ur
 AB.u1  0
r uu
r
 uuu
 AB.u2  0

Ta có
, mà
a  b  3  a  2b  a  3b  0

 3a  6b  3
 a  1



a  b  6  2a  4b  3a  9b  0
 6a  14b  6
b  0 .
uuur
uuu
r uuur
 A  1;1;1
 AB   1; 2; 1
  uuur
  AB; AE    9; 6;3   3  3; 2; 1

 B  2; 1; 0 
 AE   2; 1; 4 
Suy ra 
.
 P  : 3x  2 y  z  4 .
Suy ra phương trình mặt phẳng
M (1;2;3)   P  3.1  2.2  3  4
Ta có
do
.
Câu 40: Cho hàm số

f  x

R , thỏa mãn

F  x ,G  x
f  x
liên tục trên R . Gọi
là hai nguyên hàm của hàm số
trên

F  0   G  0   13

,

F  1  G  1  12

và

F  3  G  3  78

. Khi đó

1

 f  2 x  1  dx

1

bằng
Page 18

33
A. 2 .

Do

B. 33 .

F  x ,G  x

C. 32 .
Lời giải

là hai nguyên hàm của hàm số

f  x

D. 16 .

G  x  F  x  C
trên R nên

 F (3)  G (3)  78
2 F (3)  C  78  F (3)  F (0)  65



2
 F (1)  G (1)  12  2 F (1)  C  12  
 F (0)  G (0)  13
2 F (0)  C  13  F (1)  F (0)   1




2
Theo giả thiết:
1

I



1

Ta có

f  2 x  1  dx 

1
2



1

1

f  1  2 x  dx   f  2 x  1 dx  I1  I 2
1
2

 x  1  u  3


1
I1   f  1  2 x  dx
x  u 0

2
1
Tính
. Đặt u  1  2 x  du  2dx . Đổi cận: 
.
1
2

0

 I1 

3

1

I 2   f  2 x  1 dx
1
2

Tính

1

 I2 

Vậy
Câu 41: Cho

3

1
1
1
1
65
f  u  du   f  u  du   f  x  dx   F (3)  F (0)  

2 3
20
20
2
4
x  1  v  1


1
x v0

2
. Đặt v  2 x  1  dv  2 dx . Đổi cận: 
.

1

1
1
1
1
f  v  dv   f  x  dx   F (1)  F (0)   

20
20
2
4

I  I1  I 2 

hàm

số

65 1
  16
4 4
.
y  f  x

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

¡ .

Biết

f  1  e

và

1

 x  2  . f  x   x. f   x   x3
1 2
 
A. e 3 .

với x  ¡ . Tính
2
e
3.
B.

 f  x  dx
0

C.

e

.

1
e.

2 4
e 
e 3.
D.

Lời giải
 e x f  x  
x
xf   x    x  2  f  x 

 e
2
3

1
 x  2  . f  x   x. f   x   x 

 x
x3
Ta có:

e x f  x 
  e x dx  e x  C
2
2 x

 f  x    x  C .x e
x2
Page 19


1
f  1  e  1  C.e  e  C  1  e
Vì
 1
f  x    x 2  1  .x 2 e x
 e
Do đó
1

Vậy


0

1

1

1



 1
 1
f  x  dx     x 2  1  .x 2 e x  dx    x 2 dx  1   x 2 e x dx
 e
 e0

0 
0

1
1
1

1  1
1  1
1
 1
   1   x 2 d  e x     1  e   2 xe x dx     e  1  2 1   xd  e x 
3  e0
3  e 0
3
 e0

.



1
 2
2
4
2
 1
 1
 e  2  1  e   e x dx    e  2 1  e   e  1     e 
3
3
e
 e 0
 e
 3

Câu 42: Trên tập hợp số phức, xét phương trình

z 2  2  m  1 z  m 2  2  0

thuộc khoảng nào dưới đây để phương trình
biệt z1 , z2 thỏa mãn
 13 3 
 ; 
 2 4 .
A.

A  z1 z2  2  z1  z2   6
 1 3
 ; 
B.  3 4  .

( m là số thực). Với m

z 2  2  m  1 z  m 2  2  0

đạt giá trị nhỏ nhất
 5 14 
 ; 
C.  4 3  .

có hai nghiệm phân

 10 
 ;8 
D.  3 

Lời giải
Xét phương trình

z 2  2  m  1 z  m 2  2  0  *

.

 '   m  1   m 2  2   m2  2m  1   m 2  2   2m  1
2

Ta có:

 * có 2 nghiệm phân biệt thì
Để phương trình

Xét

m

.

1
2.

A  z1 z2  2  z1  z2   6  m 2  2  2 2  m  1  6

.

TH1: Với m  1  0  m  1 .
Khi đó
.

A  z1 z2  2  z1  z2   6  m 2  2  2 2  m  1  6  m 2  2  4  m  1  6  m 2  4m  8

1 
Amin  12  m  2   1;   /  
2.
Suy ra
Vậy với m  2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
TH2: Với m  1  0  m  1 .

Page 20


A  z1 z2  2  z1  z2   6  m 2  2  2 2  m  1  6  m 2  2  4  m  1  6  m 2  4m

Xét

.

 A   m  2   4  4
2

Suy ra

Amin  4  m  2   ; 1

.

Vậy với m  2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ TH1 và TH2 ta có: Với m  2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
2
Câu 43: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x)  6 x  6 x  12, x  ¡ và f (1)  2 . Số giá trị nguyên





g (x)  f x4  2x2  m
của tham số m để hàm số
có ít nhất 9 điểm cực trị là
A. 27.
B. 20.
C. 26.
D. 19.

Lời giải
Chọn C
Bảng biến thiên của hàm số f ( x)

Xét hàm số

Trong đó





u ( x)  f x 4  2 x 2  m

, ta có bảng biến thiên

f (2)  2   6  x 2  x  2  dx  25; f (0)  2   6  x 2  x  2  dx  5
2

0

1

1

.

Suy ra hàm số g ( x) | u ( x) | có ít nhất 9 điểm cực trị khi u ( x) có ít nhất 4 lần đổi đấu. Điều
này xảy ra khi và chỉ khi 25  m  0  2  m  25  m  2  m  {24,,1} .
Kết hợp với m nguyên, ta nhận m  {24, ,1} .

Câu 44: Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có đồ thị (C ) như hình vẽ:

Page 21


Đường thẳng d : y  g ( x ) là tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hồnh độ x  3 . Số nghiệm thực
f ( x)  4 g ( x)

phân biệt của phương trình g ( x)  4 f ( x) là
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
 f ( x)  0
 x  {a, 0,3, b}

 x  {a, 0,3, b}

g ( x)  4  0 
x0

Điều kiện:
trong đó a, b là các hồnh độ giao
điểm của (C) và trục hồnh như hình vẽ:

a  f ( x); b  g ( x ) 
Ðặt

 ab
 f ( x )  g ( x)
a4 b
 

b4 a
 f ( x)  4  g ( x ) .
a  4  b

Đường thẳng y  g ( x) cắt (C ) tại ba điểm phân biệt trong đó hai điểm có hồnh độ là
x  c; x  3 .
Đường thẳng y  4  g ( x) qua hai điểm (0; 0), (c; 2) cắt (C ) tại bốn điểm phân biệt trong đó
hai điểm có hoành độ là x  0; x  c .
Đối chiếu với điều kiện suy ra phương trình có tất cả (3  4)  2  1  4 nghiệm.
Câu 45: Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 2a và hai đường tròn đáy tâm O và O .
Xét hai điểm A, B lần lượt di động trên đường tròn tâm O và đường trịn đáy tâm O sao cho
AB tạo với OO góc   0    90  . Khi thể tích khối tứ diện OAOB đạt giá trị lớn nhất thì
tan  bằng:

A.

2.

1
B. 2 .

C.
Lời giải

2

3.

1
D. 3 .

Chọn A
OO∥ AA     AB, OO    AB, AA   ·AAB
Ta có r  h  2a . Hạ đường sinh AA khi đó
.

Page 22


Kẻ

BH  OA  BH   OAO 

VOAOB

. Ta có

1
1 1
 SOAO d  B,  OAO     OA OO
 .BH
3
3 2

Do đó

VOAO B max  BH max

. Ta có

2a 2
 BH

3
.

BH  BO  r  2a . Dấu bằng xảy ra khi

H  O  ABD vuông cân tại B  AB  2r  2 2a .

Khi đó trong tam giác vng AAB có

tan  

AB 2 2a

 2
AA
2a
.

Gọi H , K theo thứ tự là hình chiếu của E và I trên mặt phẳng (Oxy ) thì K (1; 2;0) và
d ( E , (Oxy ))  EH  EK  IK  IE  d ( I , (Oxy ))  IE  4  15  19 .
Dấu bằng xảy ra khi H  K (1; 2; 0) và E , I , K thẳng hàng theo thứ tự.
uur EI uur 15 uur 15
EI 

IK  IK  (0;0; 4)  E (1; 2;19)
IK
4
4
Khi đó
.
Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên a  [30;30] sao cho ứng với mỗi a có khơng q 5 số ngun x thoả
mãn 4
A. 23.

x 13

 4 x  a 13  log 3 (1  x)  log 3 ( x  a  1)

B. 53.

?

C. 22.
Lời giải

D. 54.

Chọn D
TH1: Nếu a  0  VP  0;VT  0  S x   không chứa số nguyên nào nên thoả mãn (nhiều
em sẽ bỏ qua trường hợp này)
 x  1
 x  a  1

x



a

1
a

0

TH2: Nếu
điều kiện của bất phương trình là
.
x 13
x  a 13
 log 3 (1  x)  log 3 ( x  a  1)  0
Bất phương trình tương đương với: g ( x)  4  4
.
Ta có

g  ( x)  4 x 13 ln 4  4 x  a 13 ln 4 

 4 x 13 ln 4  4 x  a 13 ln 4 

1
1

( x  1) ln 3 ( x  a  1) ln 3

1
a


0, a 0, x  a 1
ln 3 ( x  1)( x  a  1)
.

Bảng biến thiên:
Page 23


S   1  a; x0
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là x
] chứa tối đa 5 số nguyên là số
a;  a  1;  a  2; a  3;  a  4  x0   a  5  g ( a  5)  0
 4 a 8  48  log 3 ( a  6)  log 3 6  0  a  {30, , 8}.
Vậy a  {30, , 8, 0, ,30}
Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Khoảng cách từ
tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC
khối lăng trụ ABC. ABC  .
3a3 2
2 .
A.

3a3 2
6 .
B.

 ABC 
đến mặt phẳng

3a 3 2

4 .
C.
Lời giải

a
bằng 3 . Tính thể tích

3a3 2
D. 12 .

.
Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi I là trung


điểm của BC , H là hình chiếu vng góc của A lên A I , K là hình chiếu vng góc của O
lên AI .

Diện tích đáy là
Ta có

S ABC

 2a 


2

4

3

3
 a 3.
 a 2 3 AI  2a
2
,

AH   ABC   d  A;  ABC    AH

và

OK   ABC   d  O;  ABC    OK .

Page 24


d  O;  ABC  

Do đó

d  A;  ABC  



OK OI 1

  d  O;  ABC    d  A;  ABC    AH  a
AH AI 3
3
3

3  AH  a.

Xét tam giác AAI vng tại A ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
1  AA2  a 2 





a 3
AH 2 AA2 AI 2
AA2 AH 2 AI 2



 AA 

Vậy



2



2
.
3a 2

a 3 a 6

.
2
2

VABC . ABC   AA '.S ABC

a 6 2
3a 3 2

.a 3 
2
2 .

2
2
2
Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3;0;5) và mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  4)  81 .
Xét các điểm A, B, C di động trên ( S ) sao cho MA, MB, MC đơi một vng góc và gọi E là
đỉnh đối diện với đỉnh M của hình hộp chữ nhật có ba cạnh MA, MB, MC . Khoảng cách từ

điểm E đến măt phẳng (Oxy ) có giá trị lớn nhất bằng

A. 21.
B. 15.
C. 17.
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; 4), R  9 và IM  3; IA  IB  IC  R  9 .

D. 19.

Ta cần tìm quỹ tích điểm E .
Áp dụng tính chất hình hộp ta có
uuur uuur uuur uuuu
r
uur uuur uu
r uuur uur uuur uur uuur
ME  MA  MB  MC  IE  IM  IA  IM  IB  IM  IC  IM
uur uuur uu
r uur uur
 IE  2 IM  IA  IB  IC .
uur uuur 2
uu
r uur uur 2
 IE  2 IM  IA  IB  IC
uur uuur
uu
r uur uur uur uur uu
r
 IE 2  4 IM 2  4 IE IM 3R 2 2( IA IB IB.IC IC IA
).



 









 


 CA 

 IE 2  4 IM 2  2 IE 2  IM 2  EM 2  3R 2  IA2  IB 2  AB 2  IB 2  IC 2  BC 2



 IC 2  IA2



 3IE 2  6 IM 2  2 EM 2  9 R 2  AB 2  BC 2  CA2



2

1
 IE 2  2 IM 2  3 R 2  2 EM 2  AB 2  BC 2  CA2 
3
2
2
2
2
Vì ME  MA  MB  MC và









AB 2  BC 2  CA2  2 MA2  MB 2  MC 2 IE 2  2 IM 2  3R 2
Page 25