đề 35 bám sát minh họa 2023 môn toan

ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA BGD
ĐỀ SỐ 35 - NÂNG CAO
(Đề gồm có 06 trang)

KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
Bài thi mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh:………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………….

Câu 1:

M ( −1;3; 2 )
( P ) : 2 x − y + z + 5 = 0 . Phương
Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
trình nào sau đây là phương phương trình của đường thẳng đi qua M và vng góc với mặt
phẳng

A.
Câu 2:

( P) ?

 x = −1 + 2t

y = 3+t
z = 2 + t


.

Trong không gian Oxyz , cho hai vecto
A. 9 .

Câu 3:

Câu 4:

B.

 x = 1 + 2t

 y = −3 − t
 z = −2 + t


.
C.
r
u = ( 1; −2;3)

B. 1 .

x = 2 − t

 y = −1 + 3t
 z = 1 + 2t


và
C. 3 .

r
v = ( 2; −2;1)

y = f ( x)

D.

.

rr
. Tích vơ hướng u.v bằng
D. −1 .

( Oxy ) có phương trình là
Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng
A. x = 0
B. z = 0
C. y = 0
Cho hàm số

.

 x = −1 + 2t

y = 3−t
z = 2 + t


D. x + y = 0

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −1; 3) .
( −1;1) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

( −1; + ∞ ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

( −∞; 3) .

−

Câu 5:

Câu 6:

4
5

( 0; +∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x là

Trên khoảng
5 − 95
1 15
1
− x +C
x +C
5
5x
+C .
9
5
A.
.
B.
.
C.

9 − 95
− x +C
D. 5
.

Hàm số nào dưới đây có đồ thị trong hình vẽ?

Page 1


4
2
A. y = − x + x + 1 .

Câu 7:

Cho cấp số cộng
A. −6 .

4
2
B. y = x − 3 x − 1 .

4
2
C. y = x − 3x + 1 .

4
2
D. y = x + x + 1 .

( un ) có u3 = 3, u4 = −3 . Công sai

d của cấp số cộng đã cho bằng
C. −9 .
D. 6 .

B. −1 .

Câu 8:

Cho khối nón có chiều cao h = 6 và bán kính đáy r = 3 . Thể tích khối nón đã cho bằng
A. 18π .

B. 36π .
C. 54π .
D. 6π .

Câu 9:

Tính
A.

I = ∫ 3 x dx

I=

.

x

3
+C
ln 3
.

x
B. I = 3 ln 3 + C .

y=

Câu 10: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x = 2 .
B. x = −1 .

x
C. I = 3 + C .

x
D. I = 3 + ln 3 + C .

C. y = 2 .

D. x = 1 .

2x +1
x − 1 là

Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng
góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2 3
4 3
a
a
3
3
A. 3 .
B. 2a .
C. 4a .
D. 3 .
Câu 12: Cho hàm số

Phương trình

y = f ( x)

xác định trên

f ( x) +1 = 0

A. 0

( −∞; 4 )

có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

B. 3 .
2

∫ f ( x ) dx = 3

Câu 13: Nếu 1
A. 5 .

C. 2 .

1

và

và có bảng biến thiên như sau

∫ g ( x ) dx = 1
2

D. 1 .

2

thì

∫  f ( x ) + 2 g ( x ) dx
1

bằng

C. −1 .

B. 1 .

D. 0 .

A ( 2; −3;5 ) , B ( 0;1; −1)
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điềm
. Phương trình mặt cầu đường
kính AB là

( x − 1)
A.

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 14

( x + 1)

2

+ ( y + 1) + ( z + 2 ) = 14

C.

2

2

2

.

( x + 1)
B.

+ ( y + 1) + ( z + 2 ) = 56

.

.

( x − 1)

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 56

.

2

2

D.

2

2

2

2

Page 2


M ( 1, −2, 2 ) , N ( 2, 0, −1)
( P ) là mặt phẳng đi qua M
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho hai điểm
. Gọi

( P ) là
và vng góc với đường thẳng MN . Phương trình mặt phẳng
A. x + 2y − 3z − 3 = 0 . B. x − 2y − 3z + 1 = 0 . C. x + 2y − 3z + 9 = 0 . D. x − 2y − 3z − 11 = 0 .
1

y = ( 2 − x) 3

Câu 16: Tập xác định D của hàm số
là
D = ¡ \ { 2}
D = ( 2; +∞ )
A.
.
B.
.

C.

D = ( −∞; 2 )

.

D. D = ¡ .

Câu 17: Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng
A. 5 .

B. 25 .

Câu 18: Cho hàm số
hình bên

Hàm số
A. 3.
Câu 19:

y = f ( x)

y = f ( x)

có bao nhiêu điểm cực đại?
B. 2.
C. 0.
y = x+

B. x = 3 .

C. x = 2 .

Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình
 −1 
 −1; 
[ 0; +∞ ) .
2 .
A. 
B.

2

log 33 ( a 2 )
Câu 21: Với mọi số thực dương a ,
bằng
1
log 33 a
3

6 log 3 a
8
A.
.
B.
.

f ( x)

D. 1.

9
x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

log 1 ( x + 1) ≥ 0

Câu 22: Cho hàm số

7.

D.

f ′ ( x ) = ax 4 + bx 2 + c
có đạo hàm trên ¡ . Biết
và có đồ thị như trong

[ 1;5] , hàm số
Trên đoạn
A. x = 5 .

C. 7 .

D. x = 1 .

là:

C.

( −1; 0] .

3
C. 8log 3 a .

D.

( −∞;0] .

3
D. 2 log 3 a .

f ′( x)
liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của
như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 23: Thể tích của khối cầu biết rằng diện tích của mặt cầu bằng 36π là
Page 3


π
C. 9

B. 36π

A. 9π

x
Câu 24: Đạo hàm của hàm số y = 2
x
A. y′ = 2

2

x
C. y′ = 2

2

−3 x −1
−3 x

.

ln 2 .

2

−3 x

π
D. 3

là

B.

y′ = ( 2 x − 3) 2 x

D.

y ′ = ( 2 x − 3) 2 x

2

2

−3 x

ln 2

.

−3 x −1

.

Câu 25: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục, ta được thiết diện là một hình vng có chu vi là 8.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
2
π
A. 8π .
B. 3 .
C. 2π .
D. 4π .
Câu 26: Cho hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

hàm số
f ( 3)
A.
.

có đạo hàm

trên đoạn
B.

[ 1; 4]
f ( 1)

f ′( x ) = x ( x − 2)

, với mọi x ∈ ¡ . Giá trị nhỏ nhất của

bằng

.

C.

f ( 4)

.

D.

f ( 2)

.

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, BC = 2a và
AA′ = 3a . Góc giữa hai mặt phẳng ( A′ BC ) và ( ABC ) bằng
A. 60° .
B. 30° .
C. 45° .

D. 90° .

log3 ab

= a , khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 28: Với mọi số thực dương a, b thoả mãn 9
2
2
2
2
A. a b = 1 .
B. a b = 3 .
C. ab = 1 .
D. ab = 2 .

z = m + ( m + 2) i m
Câu 29: Cho 2 số phức z1 = m + i và 2
( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương
của tham số m để z1.z2 là một số thuần ảo?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

D. 0.
+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25
2

2

và mặt phẳng

( P ) x + 2 y − 2 z − 3 = 0 . Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính bằng
A.

21 .

B. 4 .

Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn phương trình
Q ( 2 ,−1)
P ( 3,−4 )
A.
.
B.
.

C. 5 .

D. 3 .

i.z + ( 1 + i ) z = 2 + 3i

. Điểm biểu diễn số phức z là
N ( 2,1)
M ( 3, 4 )
C.

.
D.
.

Câu 32: Lớp 12B1 có 22 học sinh gồm 15 nam và 7 nữ. Cần chọn và phân công 4 học sinh lao động
trong đó 1 bạn lau bảng, 1 bạn lau bàn và 2 bạn quét nhà. Có bao nhiêu cách chọn và phân
công sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 bạn nữ.
A. 71400 .
B. 87780 .
C. 142800 .
D. 32760 .

Page 4


Câu 33: Cho hàm số
1

∫

y = f ( x)

liên tục trên ¡

và có đồ thị như trong hình bên. Tích phân

f ′(2 x − 1) dx

0

bằng

A. 8 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 34: Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 3 và diện tích xung quanh bằng 32π 3 . Gọi A và B là
hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn đáy của khối trụ sao cho góc giữa AB và trục của hình
0
trụ bằng 30 , khoảng cách AB và trục của hình trụ bằng

4 3
.
A. 2

Câu 35: Cho hàm số

3
.
B. 2

y = f ( x)

C. 4 3.

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
A. 6 .

4 3
D. 3

B. 3 .

f ′ ( f ( x ) + 3) = 0

là

C. 5 .

D. 4 .
w

2
Câu 36: Có tất cả bao nhiêu số phức w thỏa mãn điều kiện 2 ww = 1 và w là số thuần ảo?
A. 4.
B. 6.
C. 3.
D. 2.

Câu 37:

(4
Tập nghiệm của bất phương trình
nguyên?

A. 2

B. 3

x

)

− 65.2 x + 64  2 − log 3 ( x + 3 )  ≥ 0
có tất cả bao nhiêu số
C. 4

D. Vô số
Page 5


Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

x = 1+ t

d : y = 2 −t
 z = −1 + 2t


và mặt phẳng

( P) : x − 2 y + z −1 = 0 .

( P ) , đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng
Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng

d . Phương trình đường thẳng ∆ là :
x − 3 y −1 z + 1
x y −3 z +3
=
=
=
=
1
1 . B. 3
−1
−1 .
A. 2
x − 2 y −1 z −1
x − 2 y −1 z + 1
=
=
=
=
1
−1 . D. 3
1
−1 .
C. 3
Câu 39: Cho hàm số
của

f ( x)

f ( x)

có

thỏa mãn

f ( 0) = 0

không

( S ′ ) : ( x + 1)

2

f ′ ( x ) = cos x.cos 2 2 x, ∀x ∈ ¡

. Biết

121
225 , khi đó F ( π ) bằng
208
121
B. 225 .
C. 225 .

F ( x)

là nguyên hàm

F ( 0) = −

242

A. 225 .

Câu 40: Trong

và

gian

Oxyz , cho

+ y 2 + z 2 = 4.

hai

Mặt phẳng

( P)

mặt

D.

( S ) : ( x − 1)
cầu

tiếp xúc

đường trịn có chu vi bằng 2π 11. Khoảng cách từ
19
17

A. 3 .
B. 7 .
C.

( S ′)

2

và cắt

M ( 2; −1;3)

−

363
225 .

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 36
2

( S)

đến

8
9.

2

và

theo giao tuyến là một

( P)

bằng
19
D. 2 .

2
2
Câu 41: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − (m + 2) z + m = 0 ( m là số thực). Có bao nhiêu
3

3

z + z2 = 16
giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm 1
.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 2.

Câu 42: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vng góc với mặt phẳng
°
·
( SBC ) , ( SCD ) bằng
đáy. Biết AB = 2a , AD = 2a , ABC = 45 và góc giữa hai mặt phẳng
30° . Thể tích khối chóp đã cho bằng

3
A. 3a .

3a 3
C. 4 .

3
B. a .

2a 3
D. 3 .

4
3
2
3
2
Câu 43: Cho hai hàm số f ( x) = ax + bx + cx + 3x và g ( x) = mx + nx − x; với a, b, c, m, n ∈ ¡ . Biết

hàm số

y = f ( x) − g ( x)

hai đường
32
A. 3 .

y = f ′( x)

và

có ba điểm cực trị là −1, 2 và 3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = g′ ( x)
71
B. 9 .

bằng
71
C. 6 .

64
D. 9 .

Page 6


Câu 44: Có
log 3

bao

nhiêu

cặp

số

nguyên

( x + 2 y ) + x 2 + 2 y 2 + 3xy − 4 x − 4 y ≤ 0
4

A. 11.
Câu 45: Cho hàm số

x + y > 0; −4 ≤ x ≤ 4 và

mãn

?

B. 10

y = f ( x)

( x; y ) thỏa

C. 12.

có đạo hàm là

D. 13.

f ′ ( x ) = ( x2 + 9 x ) ( x2 − 9 ) ,

giá trị nguyên của tham số m để hàm số
cực trị?
A. 5 .

B. 4 .

(

với mọi x ∈ ¡ . Có bao nhiêu

g ( x ) = f x 3 + 3 x + 2m − m 2
C. 7 .

)

có khơng q 6 điểm
D. 2 .

Câu 46: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có thể tích V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của

( MNP ) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần, phần chứa
các cạnh A′B′; BC ; CC ′ . Mặt phẳng
V1
V
điểm B có thể tích là 1 . Tỉ số V bằng
61
37
A. 144 .
B. 144 .

Câu 47: Cho hàm số bậc bốn

y = f ( x)

49
C. 144 .

. Biết hàm số

y = f ′( 1+ x)

25
D. 144 .

có đồ thị như trong hình bên. Có bao

g ( x ) = f ( − x 2 + 2 x − 2022 + m )
nhiêu số nguyên dương m sao cho hàm số
đồng biến trên

khoảng

( 0;1) ?

A. 2021 .

B. 2023 .

C. 2022 .

D. 2024 .

 3x − 2 
2

ln 
÷ = −3 x + 2 x ( 2 y − 1) + 4 y + 1
Câu 48: Cho phương trình  4 y − 1 
với x , y là các số thực dương. Tính
S=

giá trị lớn nhất của biểu thức
4
9
A. 3 .
B. 7 .

3x
y +3 .
2

7
C. 3 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

A ( 1;0;0 ) , B ( −1;0;1) , C ( −1; 2;3)
giá trị nhỏ nhất. Giá trị của

( S ) : ( x − 1)

. Điểm

2

D. 2 .
+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25

M ( x0 ; y0 ; z 0 )

T = 4 x0 − 3 y0 − 2 z0

2

2

và các điểm

2
2
2
thỏa d = 3MA + 2 MB − MC đạt

bằng
Page 7


A. 2 .

B. 3 .

C. 8 .

D. 4 .

z − i = 1, z = w
Cho các số phức z , w thỏa mãn
và z.w là số phức thuần ảo với phần ảo

Câu 50:

dương. Giá trị nhỏ nhất của
A.

29.

w − 4 − 4i

B. 6.

bằng

C. 4.
---------- HẾT ----------

D.

35.

Page 8


BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
11.A

21.C
31.C
41.A

2.A
12.D
22.C
32.A
42.D

3.B
13.B
23.B
33.B
43.B

4.C
14.A
24.B
34.A
44.C

5.C
15.C
25.D
35.B
45.A

6.C
16.C

26.D
36.B
46.C

7.A
17.A
27.A
37.C
47.B

8.A
18.D
28.C
38.C
48.A

9.A
19.B
29.A
39.C
49.D

10.D
20.C
30.D
40.A
50.C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

M ( −1;3; 2 )
( P ) : 2 x − y + z + 5 = 0 . Phương
Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
trình nào sau đây là phương phương trình của đường thẳng đi qua M và vng góc với mặt
phẳng

A.

( P) ?

 x = −1 + 2t

y = 3+t
z = 2 + t


.

B.

 x = 1 + 2t

 y = −3 − t
 z = −2 + t


x = 2 − t


 y = −1 + 3t
 z = 1 + 2t


.

 x = −1 + 2t

y = 3−t
z = 2 + t


C.
.
D.
.
Lời giải
uuur
P ) n( P ) = ( 2; −1;1)
(
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng
:
, nên vecto chỉ phương của đường
uu
r
d : ud = ( 2; −1;1)
thẳng
.

 x = −1 + 2t


d : y = 3−t
z = 2 + t


Câu 2:

M ( −1;3; 2 )
Mặt khác đường thẳng d qua
, suy ra phương trình đường thẳng
.
r
r
rr
u = ( 1; −2;3)
v = ( 2; −2;1)
Oxyz
Trong khơng gian
, cho hai vecto
và
. Tích vơ hướng u.v bằng
A. 9 .
B. 1 .
C. 3 .
D. −1 .
Lời giải
Ta có

Câu 3:

rr
u.v = 1.2 + ( −2 ) . ( −2 ) + 3.1 = 9

.

( Oxy ) có phương trình là
Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng
A. x = 0
B. z = 0
C. y = 0
Lời giải

D. x + y = 0

Chọn B
Mặt phẳng
Câu 4:

( Oxy )

Cho hàm số

có phương trình là z = 0 .

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau:

Page 9

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −1; 3) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −1;1) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
Câu 5:

( 0; +∞ ) , họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x
Trên khoảng
5
− x
A. 9

9
−
5

+C

1
5

1
x +C
B. 5
.

.

−

4
5

( −1; + ∞ ) .
( −∞; 3) .

( −1;1) .

là

1
5

C. 5x + C .
Lời giải

9 −9
− x 5 +C

D. 5
.

Chọn C

∫
Ta có:
Câu 6:

4
5

1

1
x5
5
f ( x ) dx = ∫ x dx =
+ C = 5x + C
1
5
.
−

Hàm số nào dưới đây có đồ thị trong hình vẽ?

4
2
A. y = − x + x + 1 .

4
2
4
2
B. y = x − 3 x − 1 .
C. y = x − 3x + 1 .
Lời giải

4
2
D. y = x + x + 1 .

+ Đồ thị hàm trùng phương với hệ số a > 0
+ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên phương trình y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Đồ thị giao với trục tung tại điểm
Câu 7:

Cho cấp số cộng
A. −6 .

( 0;1)

( un ) có u3 = 3, u4 = −3 . Cơng sai
B. −1 .

d của cấp số cộng đã cho bằng
C. −9 .
D. 6 .
Page 10

Lời giải
d = u4 − u3 = −3 − 3 = −6
Câu 8:

Cho khối nón có chiều cao h = 6 và bán kính đáy r = 3 . Thể tích khối nón đã cho bằng
A. 18π .
B. 36π .
C. 54π .
D. 6π .
Lời giải
Chọn A

1
1
V = π r 2 h = π .9.6 = 18π
3
3
Thể tích khối nón là:
Câu 9:

Tính
A.

I = ∫ 3x d x

I=

Ta có

.

x

3
+C
ln 3
.

x
∫ a dx =

x
B. I = 3 ln 3 + C .

x
C. I = 3 + C .
Lời giải

x
D. I = 3 + ln 3 + C .

ax
3x
+C
I=
+C
ln a
ln 3
nên

.
y=

Câu 10: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x = 2 .
B. x = −1 .

Do đó đồ thị hàm số

y=

2x +1
x − 1 là

C. y = 2 .
Lời giải

D. x = 1 .

2x +1
x − 1 có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x = 1 ; y = 2 .

Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng
góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2 3
4 3
a
a
3
3

A. 3 .
B. 2a .
C. 4a .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A

1
1
2
V = SA.S ABCD = 2a.a 2 = a 3
3
3
3 .
Ta có:
Page 11


y = f ( x)

Câu 12: Cho hàm số

Phương trình

xác định trên

f ( x) +1 = 0

A. 0

( −∞; 4 )

và có bảng biến thiên như sau

có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

B. 3 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D
Tá có:

f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = −1 ( 1)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = −1 .
Tù bảng biến thiên thấy phương trình
2

∫

Câu 13: Nếu
A. 5 .

f ( x ) dx = 3

1

1

và

( 1)

y = f ( x)

và đường thẳng

có 1 nghiệm.

2

∫ g ( x ) dx = 1

thì

2

∫  f ( x ) + 2 g ( x ) dx

bằng

1

C. −1 .
Lời giải

B. 1 .

D. 0 .

Chọn B
2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

∫  f ( x ) + 2 g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + 2∫ g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx − 2∫ g ( x ) dx = 3 − 2 = 1

.

A ( 2; −3;5 ) , B ( 0;1; −1)
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điềm
. Phương trình mặt cầu đường
kính AB là

( x − 1)

2

A.
C.

( x + 1)

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 14
2

2

+ ( y + 1) + ( z + 2 ) = 14
2

.

B.

2

.

( x + 1)

2

+ ( y + 1) + ( z + 2 ) = 56

.

( x − 1)

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 56

.

D.
Lời giải

2

2

2

2

Chọn A

Mặt

cầu

đã

cho

có

tâm

là

trung

điểm

I ( 1; −1; 2 )

của

AB

và

bán

kính

R = IA = 12 + 22 + 32 = 14 .
Page 12


( x − 1)
Vậy phương trình mặt cầu là

2

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 14
2

2

.

M ( 1, −2, 2 ) , N ( 2, 0, −1)
( P ) là mặt phẳng đi qua M
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho hai điểm
. Gọi

( P ) là
và vng góc với đường thẳng MN . Phương trình mặt phẳng
A. x + 2y − 3z − 3 = 0 . B. x − 2y − 3z + 1 = 0 . C. x + 2y − 3z + 9 = 0 . D. x − 2y − 3z − 11 = 0 .
Lời giải
uuuu
r
MN = ( 1, 2, −3)
Ta có:
( P ) là mặt phẳng đi qua

M và vng góc với đường thẳng MN nên suy ra:

( P ) :1. ( x − 1) + 2. ( y + 2 ) − 3. ( z − 2 ) = 0 ⇔ x + 2 y − 3z + 9 = 0
1

y = ( 2 − x) 3

Câu 16: Tập xác định D của hàm số
là
D = ¡ \ { 2}
D = ( 2; +∞ )
A.
.
B.
.

C.
Lời giải

D = ( −∞; 2 )

.

D. D = ¡ .

Chọn C
1
∉¢
Ta có: 3

nên hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − x > 0 ⇔ x < 2 .

Vậy tập xác định của hàm số là:

D = ( −∞; 2 )

.

Câu 17: Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng
A. 5 .

B. 25 .

C. 7 .
Lời giải

D.

7.

Chọn A
Câu 18: Cho hàm số
hình bên

Hàm số
A. 3.

y = f ( x)

y = f ( x)

f ′ ( x ) = ax 4 + bx 2 + c
có đạo hàm trên ¡ . Biết
và có đồ thị như trong

có bao nhiêu điểm cực đại?
B. 2.
C. 0.
Lời giải

D. 1.

Chọn D
Page 13


 x = x1
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 0 ( x1 < 0 < x2 )
 x = x2
Ta có
.

y = f ( x)

Quan sát bảng biến thiên của hàm số

Câu 19:

[ 1;5] , hàm số
Trên đoạn

A. x = 5 .

y = x+

ta thấy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại.

9
x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

B. x = 3 .

C. x = 2 .

D. x = 1 .

Lời giải
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

[ 1;5] .

9 ′
9

y′ =  x + ÷ = 1 − 2
x
x .

Ta có:
⇒ y′ = 0 ⇔ 1 −

 x = 3 ∈ [ 1;5]
9
= 0 ⇔ x2 − 9 = 0 ⇔ 
2
x
 x = −3 ∉ [ 1;5]

.


 f ( 1) = 10

y = f ( 3) = 6
 f ( 3) = 6 ⇒ min
[ 1;5]

34
 f ( 5) =
5
Có 
.

log 1 ( x + 1) ≥ 0

Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình
 −1 
 −1; 
[ 0; +∞ ) .
2 .
A. 

B.

2

là:

( −1; 0] .

C.
Lời giải

D.

( −∞;0] .

Điều kiện x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
Ta có

log 1 ( x + 1) ≥ 0 ⇔ x + 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0
2

.

Kết hợp với điều kiện −1 < x ≤ 0 .

Page 14


log 33 ( a 2 )
a

Câu 21: Với mọi số thực dương ,
bằng
1
log 33 a
6 log 33 a
A.
.
B. 8
.

log 33 ( a 2 ) = ( 2 log 3 a ) = 8log 33 a

3

C. 8log 3 a .
Lời giải

3
D. 2 log 3 a .

3

Ta có

f ( x)

Câu 22: Cho hàm số

.

f ′( x)
liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của
như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4 .

B. 1 .

Do hàm số

f ′ ( 1)

f ( x)

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

f ′ ( −1) = 0
liên tục trên ¡ ,
,

f ( 1)
không xác định nhưng do hàm số liên tục trên ¡ nên tồn tại

f ′( x)
và
đổi dấu từ "+ " sang "− " khi đi qua các điểm x = −1 , x = 1 nên hàm số đã cho đạt

cực đại tại 2 điểm này.
Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho là 2.
Câu 23: Thể tích của khối cầu biết rằng diện tích của mặt cầu bằng 36π là

π
C. 9

B. 36π

A. 9π

π
D. 3

Lời giải
Ta có:
•

SC = 4π R 2 = 36π ⇒ R 2 = 9 ⇒ R = 3
.

4
4
⇒ VC = π R 3 = π .33 = 36π
3
3
.
x
Câu 24: Đạo hàm của hàm số y = 2
x

A. y′ = 2

2

x
C. y′ = 2

2

−3 x −1
−3 x

.

ln 2 .

2

−3 x

là

B.

y′ = ( 2 x − 3) 2 x

D.

y ′ = ( 2 x − 3) 2 x

2

2

−3 x

ln 2

.

−3 x −1

.
Lời giải

Chọn B
Page 15


Ta có:

y ′ = ( 2 x − 3) 2 x

2

−3 x

ln 2

.

Câu 25: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục, ta được thiết diện là một hình vng có chu vi là 8.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
2
π
A. 8π .
B. 3 .
C. 2π .
D. 4π .
Lời giải
Chọn D
Cạnh của hình vng là 2
Đường sinh của hình trụ là l = 2 , bán kính đáy của hình trụ là r = 1
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
Câu 26: Cho hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

hàm số
f ( 3)
A.
.

có đạo hàm

trên đoạn
B.

[ 1; 4]
f ( 1)

.

S xq = 2π rl = 2π .1.2 = 4π

f ′( x ) = x ( x − 2)

bằng
C.
Lời giải

, với mọi x ∈ ¡ . Giá trị nhỏ nhất của

f ( 4)

.

D.

f ( 2)

.

Chọn D
Ta có BBT

Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a và
AA′ = 3a . Góc giữa hai mặt phẳng ( A′ BC ) và ( ABC ) bằng

A. 60° .
B. 30° .
C. 45° .
Lời giải

D. 90° .

Chọn A

Page 16


Gọi M là trung điểm của BC

⇒ AM ⊥ BC (1)
 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ A′M

′
BC
⊥
AA

Ta có
(2)
Mặt khác

( ABC ) ∩ ( A′BC ) = BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

( (·ABC ) ; ( A′BC ) ) = ·A′MA .
tan ·A′MA =

Xét tam giác A′MA vuông tại A có

AA′
AA′
a 3
=
=
= 3 ⇒ ·A′MA = 60°
AM 1 BC 1 .2a
2
2
.

log3 ab
= a , khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 28: Với mọi số thực dương a, b thoả mãn 9
2
2
2
2
A. a b = 1 .
B. a b = 3 .
C. ab = 1 .
D. ab = 2 .
Lời giải

Chọn C
9log3 ab = a ⇔ log 3 ab = log 9 a ⇔ 2 log3 ab = log 3 a ⇔ ( ab ) = a ⇔ ab 2 = 1
2

.

z = m + ( m + 2) i m
Câu 29: Cho 2 số phức z1 = m + i và 2
( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị dương
của tham số m để z1.z2 là một số thuần ảo?
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
z1 z 2 = ( m + i ) ( m + ( m + 2 ) i ) = m 2 − m − 2 + ( m ( m + 2 ) + m ) i

.

m = 2
m2 − m − 2 = 0 ⇔ 
 m = −1 .
Để z1 z2 là số thuần ảo thì
Vậy có 1 giá trị dương của tham số m để z1 z2 là một số thuần ảo.
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 25
2

2

và mặt phẳng

( P ) x + 2 y − 2 z − 3 = 0 . Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính bằng
A.

21 .

B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 3 .

Page 17


Chọn D
Từ phương trình

( S ) : ( x − 1)

d ( I,( P) ) =
Ta có :

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3 ) = 25
2

1 + 2. ( −2 ) − 2.3 − 3
1 + 2 + ( −2 )
2

2

2

2

ta có tâm

I ( 1, −2,3)

, bán kính R = 5

=4

2
2

Suy ra : bán kính đường tròn là r = R − d = 25 − 16 = 3

Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn phương trình
Q ( 2 ,−1)
P ( 3,−4 )
A.
.
B.
.

i.z + ( 1 + i ) z = 2 + 3i

. Điểm biểu diễn số phức z là
N ( 2,1)
M ( 3, 4 )
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn C
Gọi số phức

z = a + bi ( a, b ∈ R )

iz + ( 1 + i ) z = 2 + 3i ⇔ i ( a − bi ) + ( 1 + i ) ( a + bi ) = 2 + 3i

⇔ ai + b + a + bi + ai − b = 2 + 3i
 2a + b = 3  a = 2

⇔
⇒
⇒ z = 2+i
a = 2
b = −1
Câu 32: Lớp 12B1 có 22 học sinh gồm 15 nam và 7 nữ. Cần chọn và phân công 4 học sinh lao động
trong đó 1 bạn lau bảng, 1 bạn lau bàn và 2 bạn quét nhà. Có bao nhiêu cách chọn và phân
công sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 bạn nữ.
A. 71400 .
B. 87780 .
C. 142800 .
D. 32760 .
Lời giải
4
Chọn 4 học sinh: có C22 cách chọn.
1
Từ 4 học sinh đã được chọn ta chọn ra 1 bạn làm nhiệm vụ lau bảng: có C4 cách chọn.
1
Tiếp theo chọn 1 bạn trong số 3 bạn còn lại để làm nhiệm vụ lau bàn: có C3 cách chọn.

Hai bạn cịn lại sẽ làm nhiệm vụ quét nhà.
4
1
1
Khi đó tổng số cách chọn và sắp xếp công việc là C22 .C4 .C3 .

Gọi biến cố A : “ Trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 bạn nữ”.
Khi đó A : “ 4 học sinh được chọn đều là nam”.
Tương tự như trên ta có

( )

n A = C154 .C41 .C31

.
Page 18


Vậy

n ( A ) = C224 .C41 .C31 − C154 .C41 .C31 = 71400
y = f ( x)

Câu 33: Cho hàm số
1

∫

.

liên tục trên ¡

và có đồ thị như trong hình bên. Tích phân

f ′(2 x − 1) dx

bằng

0

A. 8 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn B
+ Dựa vào đồ thị hàm số ta có nhận xét
1

+ Xét

Đặt

∫

f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;0]

và

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1]

.

f ′(2 x − 1) dx

.

0

t = 2x −1 ⇒

1
dt = dx
2
.

Đổi cận:

1

+ Khi đó
=

∫

f ′(2 x − 1) dx =

0

1
− f ( t)
2

0
−1

1
0
1
1
 1 0

1
1
′
′
′
′
′
f
(
t
)
d
t
=
f
(
t
)
d
t
+
f
(
t

)
d
t
=
−
f
(
t
)
d
t
+
f
(
t
)
d
t




∫0
∫
∫0
2 −∫1
2  −∫1
 2  −1


1
1
1
+ f ( t ) 0  =  − f ( 0 ) + f ( −1) + f ( 1) − f ( 0 )  =  − ( −2 ) + 1 + 3 − ( −2 )  = 4
 2
2

Câu 34: Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 3 và diện tích xung quanh bằng 32π 3 . Gọi A và B là
hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn đáy của khối trụ sao cho góc giữa AB và trục của hình
0
trụ bằng 30 , khoảng cách AB và trục của hình trụ bằng

Page 19


4 3
.
A. 2

Ta có

3
.
B. 2

S xq = 2π rh ⇒ r =

S xq
2π h

=

4 3
D. 3

C. 4 3.
Lời giải

32π 3
= 4.
2π .4 3

AA ' ⇒ AA ' P OO ' ⇒ OO ' P ( ABA ')
Kẻ đường sinh
⇒ d ( OO ', AB ) = d ( OO ', ( ABA ') ) = d ( O ', ( ABA ' ) ) .
O′H ⊥ A′B
A′B ⇒ 
⇒ O′H ⊥ ( ABA′ ) ⇒ d ( O′, ( ABA′ ) ) = O′H .
′H ⊥ AA′
O

H
Gọi
là trung điểm
·
' = 300.
(·OO ', AB ) = (·AA ', AB ) = BAA
Lại có
0
·

Trong tam giác vng ABA ' có BA ' = AA '. tan BAA ' = 4 3.tan 30 = 4.
Suy ra tam giác A′BO′ đều, có cạnh bằng 4 nên
Câu 35: Cho hàm số

y = f ( x)

4 3
.
2

có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
A. 6 .

d ( OO ', AB ) = O′H =

B. 3 .

f ′ ( f ( x ) + 3) = 0
C. 5 .
Lời giải

là
D. 4 .

Chọn B

x =1
f ′( x) = 0 ⇔ 

 x = −1 .
Ta có

Page 20


 f ( x) + 3 = 1
 f ( x ) = −2
f ′ ( f ( x ) + 3) = 0 ⇔ 
⇔
 f ( x ) + 3 = −1  f ( x ) = −4 .
Suy ra
Phương trình

f ( x ) = −2

có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình

f ( x ) = −4

có một nghiệm.

Vậy số nghiệm phân biệt của phương trình

f ′ ( f ( x ) + 3) = 0

là 3 .

w
2
Câu 36: Có tất cả bao nhiêu số phức w thỏa mãn điều kiện 2 ww = 1 và w là số thuần ảo?
A. 4.
B. 6.
C. 3.
D. 2.
Lời giải

Chọn B
Đặt w = x + yi .
2
Điều kiện: w ≠ 0 ⇔ w ≠ 0
2

Ta có:

2 ww = 1 ⇔ w =

w
Ta có:

w2

=

w3
w

4

=

1
1
⇔ x2 + y 2 =
2
2.

( x + yi )

3

( x2 + y 2 )

2

=

x3 + 3 x 2 yi − 3 xy 2 − y 3i

( x2 + y 2 )

2

=

x 3 − 3 xy 2

( x2 + y 2 )

2

+

3x2 y − y3

( x2 + y 2 )

2

i

 x=0
x 3 − 3 xy 2 = 0 ⇔  2
2
2
x = 3y
Để w là số thuần ảo khi và chỉ khi
w

Với

Với

x =0⇒ y =

± 2
2 .

x2 = 3 y 2 ⇒ 4 y 2 =

1
± 2
⇔ y=
2
4 , với mỗi giá trị y ta được 2 giá trị x nên có 4 cặp ( x, y ) .

Vậy có tất cả 6 số phức w cần tìm.
Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình
nguyên?
A. 2
B. 3

(4

x

)

− 65.2 x + 64  2 − log 3 ( x + 3 )  ≥ 0
có tất cả bao nhiêu số
C. 4
Lời giải

D. Vô số

Page 21

Ta có

(4

x

)

− 65.2 x + 64  2 − log 3 ( x + 3 )  ≥ 0

 1 ≤ 2 x ≤ 64  0 ≤ x ≤ 6
 4 x − 65.2 x + 64 ≤ 0



 x ≥ 6
 x ≥ 6
 2 − log 3 ( x + 3) ≤ 0
x = 6

⇔
⇔    2 x ≥ 64    x ≥ 6
⇔
x
x

 −3 < x ≤ 0
4 − 65.2 + 64 ≥ 0
   x
x≤0




2
≤
1





 2 − log 3 ( x + 3) ≥ 0
  −3 < x ≤ 6   −3 < x ≤ 6
.

x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { −2; − 1;0;6}

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình có 4 giá trị ngun.

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

x = 1+ t

d : y = 2 −t
 z = −1 + 2t


và mặt phẳng

( P) : x − 2 y + z −1 = 0 .

( P ) , đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng
Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
d . Phương trình đường thẳng ∆ là :
x − 3 y −1 z + 1
x y −3 z +3
=
=
=
=
1
1 . B. 3
−1
−1 .
A. 2
x − 2 y −1 z −1
x − 2 y −1 z + 1
=
=
=
=
1
−1 . D. 3
1
−1 .
C. 3
Lời giải

Xét phương trình

1 + t − 2 ( 2 − t ) + ( −1 + 2t ) − 1 = 0 ⇔ t = 1

.

( P ) tại M ( 2;1;1) .
Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng
uu
r
uur
ud = ( 1; −1; 2 )
nP = ( 1; −2;1)
Gọi
và
lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của
( P ) . Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là
mặt phẳng
uur uu
r uur
u∆ = ud , nP  = ( 3;1; −1)
.
x − 2 y −1 z −1
=
=
1
−1 .
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 3
Page 22

Câu 39: Cho hàm số
của

f ( x)

f ( x)

thỏa mãn

có

f ( 0) = 0

và

f ′ ( x ) = cos x.cos 2 2 x, ∀x ∈ ¡

. Biết

121
225 , khi đó F ( π ) bằng
208
121
B. 225 .
C. 225 .
Lời giải

F ( x)

là nguyên hàm

F ( 0) = −

242
A. 225 .

D.

−

363
225 .

Chọn C
Ta có

f ′ ( x ) = cos x.cos2 2 x, ∀x ∈ ¡

∫ f ′ ( x ) dx = ∫ cos x.cos
Có
=

2

nên

f ( x)

2 xdx = ∫ cos x.

là một nguyên hàm của

f ′( x)

.

1 + cos 4 x
cos x
cos x.cos 4 x
dx = ∫
dx + ∫
dx
2
2
2

1
1
1
1
1
cos xdx + ∫ ( cos 5 x + cos 3x ) dx = sin x + sin 5 x + sin 3 x + C
∫
2
4
2
20
12
.

Suy ra

Do đó

f ( x) =

1
1
1
sin x + sin 5 x + sin 3 x + C , ∀x ∈ ¡
f ( 0) = 0 ⇒ C = 0
2
20
12
. Mà
.

f ( x) =

1
1
1
sin x + sin 5 x + sin 3 x, ∀x ∈ ¡
2
20
12
. Khi đó:
π

π

1
1
1

F ( π ) − F ( 0 ) = ∫ f ( x ) dx = ∫  sin x + sin 5 x + sin 3x ÷dx
2
20
12

0
0
π

1
1
242
 1

=  − cos x −
cos5 x − cos 3 x ÷ =
100
36
 2
 0 225
242
121 242 121
⇒ F ( π ) = F ( 0) +
=−

+
=
225
225 225 225
Câu 40: Trong

không

( S ′ ) : ( x + 1)

2

gian

Oxyz , cho

+ y 2 + z 2 = 4.

hai

Mặt phẳng

( P)

mặt

.

( S ) : ( x − 1)
cầu

tiếp xúc

( S ′)

2

và cắt

+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 36
2

( S)

2

và

theo giao tuyến là một

M ( 2; −1;3)
( P ) bằng
đường trịn có chu vi bằng 2π 11. Khoảng cách từ
đến
19
8
19
17
A. 3 .
B. 7 .

C. 9 .
D. 2 .
Lời giải
Lờigiải

Page 23


Mặt cầu
R′ = 2

( S)

có tâm

I ( 1; − 1; 2 )

( S ′) có tâm I ′ ( −1;0; 0 ) , bán kính
, bán kính R = 6 , mặt cầu

( S ′) nằm trong mặt cầu ( S ) .
Vì I ′I = 3 < R − R′ = 4 nên mặt cầu
Mặt phẳng

( P)

tiếp xúc

( S ′)

⇒ d ( I ′, ( P ) ) = R′ = 2

;

( P)

cắt

( S)

theo giao tuyến là một

d ( I , ( P ) ) = R2 − r 2 = 5
2
π
11
đường trịn có chu vi bằng
nên
.

d ( I , ( P ) ) − d ( I ′, ( P ) ) = I ′I

( P ) và ( S ′) cũng là tâm đường
nên tiếp điểm H của
uur
P)
S)
P)
II ′ = ( −2;1; − 2 )
(

(
(
tròn giao của
và
. Khi đó,
là mặt phẳng đi qua H , nhận
làm
vecto pháp tuyến.
Nhận thấy

7

 xH = − 3

uuu
r 5 uur
2

 7 2 4
IH = II ′ ⇔  y H =
⇒ H − ; ;− ÷
3
3
 3 3 3

4

 zH = 3

Ta có:

.


7 

2



4

−2  x + ÷+  y − ÷− 2  z + ÷ = 0
P)
(
⇔ 2x − y + 2z + 8 = 0 .
3 
3 
3

Phương trình mặt phẳng
:

Khoảng cách từ M

( P)
đến

là

d ( M ,( P) ) =

19
3 .

2
2
Câu 41: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − (m + 2) z + m = 0 ( m là số thực). Có bao nhiêu
3

3

z + z2 = 16
giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm 1
.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 2.
Lời giải
2
Ta có ∆ = −3m + 4m + 4

2

m<−

∆<0⇔
3

m > 2

TH 1:
Page 24


Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt
3

Khi đó

3

z1 , z2

thỏa mãn

z1 = z2

.

3

z1 + z2 = 16 ⇔ 2 z1 = 16 ⇔ z1 = 2 ⇔ z1.z2 = 4

.

Theo Vi-ét ta có m = 4 ⇔ m = ±2 . Kết hợp điều kiện ta được m = −2 .
2
∆>0⇔− 3
TH 2:

.Vì
2

z1 + z2 = z1 + z2 − 3 z1 z2 ( z1 + z2
3

3

3

)

= z1 + z2 − 3 z1 z2 ( z1 + z2 )
3

= ( m + 2 ) − 3m 2 ( m + 2 )
3

= − 2m3 +12m + 8

nên
−2m3 + 12m + 8 = 16 ⇔ −2m3 + 12m − 8 = 0
 m = −1 + 3

⇔  m = −1 − 3
m = 2

Kết hợp điều kiện ta được m = 2; m = −1 + 3 .
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 42: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vng góc với mặt phẳng

°
·
( SBC ) , ( SCD ) bằng
đáy. Biết AB = 2a , AD = 2a , ABC = 45 và góc giữa hai mặt phẳng
30° . Thể tích khối chóp đã cho bằng

3
A. 3a .

3
B. a .

3a 3
C. 4 .
Lời giải

2a 3
D. 3 .

Chọn D

2
2
°
Trong ∆ABC có AC = BA + BC − 2 BA.BC.cos 45 = a 2 suy ra ∆ABC vuông cân tại A .

Page 25