Chương 6 hàm nhiều biến

Chương 6: Hàm nhiều biến

Phần 2. GIẢI TÍCH
Gv: Phan Ngơ Tuấn Anh
Khoa Toán – Thống Kê, UEH

Chương 6. Hàm nhiều biến
Trong chương này, ta khảo sát hàm 2 biến số. Tất cả các định nghĩa, kết quả đối với hàm 2 biến đều
có thể mở rộng cho hàm 3 biến…

I. Giới thiệu về hàm 2 biến
1.1. Khái niệm
Trước hết, nhắc lại tập hợp  2 là tập hợp bao gồm những phần tử có dạng (x, y) , với x và y là
những số thực tùy ý:

 2  (x, y) / x  , y  
Về mặt hình học thì mỗi phần tử (x, y)   2 là một điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy và ta
đồng nhất  2 với mặt phẳng Oxy

Cho D là một tập hợp con của  2 , mỗi phần tử của D có dạng là (x, y) . Một phép biến đổi f liên
kết mỗi phần tử (x, y)  D với một số thực duy nhất f (x, y) sẽ được gọi là một hàm 2 biến xác định
trên D (nói cho đơn giản thì hàm 2 biến là một biểu thức phụ thuộc vào 2 biến x và y).
Ví dụ: f (x, y)  2x  3y  5 là hàm 2 biến, xác định với mọi (x, y)   2 , nó là hàm bậc nhất đối với
cả 2 biến x và y, được gọi hàm tuyến tính.
Ví dụ: f (x, y)  4  x 2  y 2 là hàm 2 biến, xác định tại những điểm (x, y) thỏa
4  x 2  y2  0  x 2  y2  4
Trang | 1


Chương 6: Hàm nhiều biến
Miền xác định của hàm này là hình trịn có tâm là gốc (0, 0) , bán kính bằng 2.

Ví dụ: Giá của 2 mặt hàng là p1  30, p 2  25 . Nếu lượng hàng được mua tương ứng là x và y đơn
vị thì tổng chi phí mua 2 mặt hàng sẽ là hàm 2 biến: C(x, y)  p1x  p 2 y  30x  25y
Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất 2 mặt hàng. Gọi x và y là sản lượng của 2 mặt hàng này thì chi phí
sản xuất của xí nghiệp là hàm 2 biến C(x, y) , được gọi là hàm chi phí. Tương tự, ta có hàm doanh
thu R(x, y) , hàm lợi nhuận (x, y) …
Ví dụ: Sản lượng Q của xí nghiệp phụ thuộc vào 2 yếu tố đầu vào là lượng lao động L (Labor) và
lượng vốn đầu tư K (Capital). Vậy Q là hàm 2 biến Q  Q(L, K) , được gọi là hàm năng suất.
Về hình học, đồ thị của hàm 2 biến được biểu diễn trong hệ trục tọa độ vng góc 3 chiều Oxyz.
Nếu z  f (x, y) là hàm 2 biến thì đồ thị của hàm z  f (x, y) trong hệ trục Oxyz là một mặt cong
hoặc mặt phẳng (đồ thị là mặt phẳng nếu hàm z  f (x, y) là hàm tuyến tính)

1.2. Đạo hàm riêng (partial derivatives)
Cho hàm 2 biến f (x, y)
Nếu xem x là biến số duy nhất (xem y là hằng số) thì f (x, y) trở thành hàm của biến số x mà thôi
(hàm 1 biến). Khi lấy đạo hàm của hàm số này (với biến số duy nhất là x) thì ta được đạo hàm riêng
theo biến x, ký hiệu là f x (x, y) .
Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y, ký hiệu là f y (x, y) .
Khi tính đạo hàm riêng theo biến số nào thì ta xem biến số đó là biến số duy nhất, tất cả các biến
cịn lại đều xem là hằng số.
Ví dụ: f (x, y)  3x  7y  1


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  3



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  7
Trang | 2

Chương 6: Hàm nhiều biến
Ví dụ: f (x, y)  x 4  y 2


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  4x 3



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  2y

Ví dụ: f (x, y)  x 5 y 2


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  5x 4 y 2



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  x 5 .2y  2x 5 y

Ví dụ: f (x, y)  3x 2  2xy  9y 2  7x  4y  1


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  6x  2y  7



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  2x  18y  4

Ví dụ: f (x, y)  x 2 e y


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  2xe y



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  x 2e y

Ví dụ: f (x, y)  x 3e7 y


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  3x 2 e 7 y



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  x 3 .(7e7 y )  7x 3e7 y

Ví dụ: f (x, y)  x 2 tan y


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  2x tan y



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  x 2 

1
x2

cos 2 y cos 2 y

Ví dụ: f (x, y)  x 2  5y


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số):
f x (x, y) 



1
2

2 x  5y

 (x 2  5y)x 

1
2

2 x  5y

 2x 

x
2

x  5y

Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số):

Trang | 3

Chương 6: Hàm nhiều biến

f y (x, y) 

1
2

2 x  5y

 (x 2  5y)y 

1

5

 ( 5)  

2

2 x  5y

2

2 x  5y

Ví dụ: f (x, y)  ln(2y  x 5 )


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số):

f x (x, y) 


1
1
5x 4
5
4


(2y

x
)


(

5x
)


x
2y  x 5
2y  x 5
2y  x 5

Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số):

f y (x, y) 

Ví dụ: f (x, y)  exy

1
1
2
 (2y  x 5 )y 
2 
5
5
2y  x
2y  x
2y  x 5

2

2

2

2

2



Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f x (x, y)  e xy .(xy 2 )x  e xy y 2



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f y (x, y)  e xy .(xy 2 )y  e xy .(x.2y)  2xye xy

2

Ví dụ: f (x, y)  x 2 sin(3x  y)


Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số) :
f x (x, y)  [x 2 sin(3x  y)]x  (x 2 )x sin(3x  y)  [sin(3x  y)]x x 2




uv

u v  vu

Vì (x 2 )x  2x và [sin(3x  y)]x  cos(3x  y).(3x  y)x  cos(3x  y).3 nên thay vào ta được:
f x (x, y)  2x sin(3x  y)  3cos(3x  y)x 2



Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số):
f y (x, y)  [x 2 sin(3x  y)]y
 x 2 [sin(3x  y)]y
 x 2 .cos(3x  y).(3x  y)y
 x 2 .cos(3x  y).(1)
  x 2 .cos(3x  y)

Ví dụ: Cho hàm năng suất Cobb-Douglas Q  Q(L, K)  aL K 
Trong đó, Q là sản lượng, L là lượng lao động (Labor), K là lượng vốn đầu tư (Capital) , còn a,  , 
là các hằng số thỏa a  0; 0  ,   1
a) Tính các năng suất biên theo lao động, theo vốn và nêu ý nghĩa:
Trang | 4


Chương 6: Hàm nhiều biến
Năng suất biên theo lao động (Marginal Product of Labor) là biên tế của hàm năng suất Q theo
lượng lao động L, nó chính là đạo hàm riêng của Q theo biến số L:
MPL  QL  aL1K 

Giá trị của MPL cho ta biết, với cùng một lượng vốn đầu tư (vốn K không đổi), nếu lượng lao động
L tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng Q sẽ tăng thêm bao nhiêu đơn vị.
Tương tự, năng suất biên theo vốn (Marginal Product of Capital) là biên tế của hàm năng suất Q
theo vốn đầu tư K, nó chính là đạo hàm riêng của Q theo biến số K :
MPK  QK  aL .( K 1 )  a L K 1

Giá trị của MPK cho ta biết, với cùng một lượng lao động (L không đổi), nếu lượng vốn đầu tư K
tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng Q sẽ tăng thêm bao nhiêu đơn vị.
b) Tính độ co giãn của hàm Q theo L, theo K và nêu ý nghĩa:
Trước tiên, nhắc lại rằng, nếu x và y là các đại lượng kinh tế có quan hệ hàm số y  y(x) thì độ co
giãn (Elasticity) của y theo x cho bởi công thức :
E y  y 

x dy x


y dx y

Giá trị của E y cho ta biết, khi tăng đại lượng x thêm 1% thì đại lượng y sẽ biến thiên bao nhiêu phần
trăm.
Vậy, độ co giãn của Q theo L là:
E QL  QL 

L
L
 aL1K      
Q
aL K

Kết quả E QL   nói rằng, khi tăng lượng lao động L thêm 1% (giữ nguyên lượng vốn đầu tư K) thì
sản lượng Q tăng thêm %
Độ co giãn của Q theo K:
E QK  QK 

K
K
 aL K 1     
Q
aL K

Kết quả E QK   nói rằng, khi tăng lượng vốn đầu tư K thêm 1% (giữ nguyên lượng lao động L) thì
sản lượng Q tăng thêm %
Chẳng hạn, cho Q  2L0.4 K 0.6 thì E QL  0.4; E QK  0.6 . Điều này có nghĩa là, khi lượng lao động
tăng thêm 1% thì sản lượng tăng thêm 0.4%, khi lượng vốn đầu tư tăng 1% thì sản lượng tăng thêm
0.6%.

Trang | 5

Chương 6: Hàm nhiều biến
Bây giờ, ta nói về các đạo hàm riêng cấp 2.
Các hàm f x (x, y) và f y (x, y) cũng là những hàm 2 biến. Khi ta lấy đạo hàm riêng của các hàm này
thì ta được các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y) , cụ thể là:


f x2 (x, y)   f x (x, y) x : lấy đạo hàm 2 lần theo cùng biến x



f y2 (x, y)  f y (x, y)  : lấy đạo hàm 2 lần theo cùng biến y
y



 (x, y)   f x (x, y) y : lấy đạo hàm theo x trước, y sau
f xy



f yx (x, y)   f y (x, y)  : lấy đạo hàm theo y trước, x sau
x

(ta gọi f xy (x, y) và f yx (x, y) là các đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp)
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y)  3x 2  5xy  6y 2  8x  4y  20
Ta có: f x (x, y)  6x  5y  8 và f y (x, y)  5x  12y  4
Do đó,
f x2 (x, y)  (6x  5y  8)x  6 và f y2 (x, y)  (5x  12y  4)y  12
 (x, y)  (6x  5y  8)y  5 và f yx (x, y)  ( 5x  12y  4)x  5

f xy

(trong ví dụ này, ta thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) )
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y)  4x 3  y5  10x 2  15y  78
Ta có: f x (x, y)  12x 2  20x và f y (x, y)  5y 4  15
Do đó,

f x2 (x, y)  (12x 2  20x)x  24x  20 và f y2 (x, y)  (5y 4  15)y  20y 3
f xy (x, y)  (12x 2  20x)y  0 và f yx (x, y)  (5y 4  15)x  0
(trong ví dụ này, ta lại thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) )
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y)  e xy
Ta có:
f x (x, y)  (e xy )x  e xy .(xy)x  e xy .y  ye xy

f y (x, y)  (e xy )y  e xy .(xy)y  e xy .x  xe xy

Trang | 6


Chương 6: Hàm nhiều biến
Do đó,

f x2 (x, y)  (ye xy )x  y.(e xy )x  y.(ye xy )  y2e xy
f y2 (x, y)  (xe xy )y  x.(e xy )y  x.(xe xy )  x 2 e xy
xy

y .e xy  (e xy )y .y  1.e xy  (xe xy ).y  e xy (1  xy)
f xy (x, y)  (ye
) y  (y)




uv
u v  vu

xy
x .e xy  (e xy )x .x  1.e xy  (ye xy ).x  e xy (1  xy)
f yx (x, y)  (xe
 )x  (x)



uv
u v  vu

(trong ví dụ này, ta lại thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) )
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y)  x 2 sin 5y
Ta có :
f x (x, y)  (x 2 sin 5y)x  2x sin 5y

f y (x, y)  (x 2 sin 5y)y  x 2 .(sin 5y)y  x 2 .(5cos 5y)  5x 2 cos 5y
Do đó,
f x2 (x, y)  (2x sin 5y)x  2 sin 5y

f y2 (x, y)  (5x 2 cos 5y)y  5x 2 .(cos 5y)y  5x 2 .( 5sin 5y)  25x 2 sin 5y
 (x, y)  (2x sin 5y)y  2x.(sin 5y)y  2x.(5 cos 5y)  10x cos 5y
f xy

f yx (x, y)  (5x 2 cos5y)x  5cos5y.(x 2 )x  5cos5y.(2x)  10x cos5y
(trong ví dụ này, ta lại thấy f xy (x, y)  f yx (x, y) )

Ghi chú: Trong phạm vi chương trình, các hàm 2 biến f (x, y) đều thỏa f xy (x, y)  f yx (x, y) . Điều
này nói rằng, việc lấy đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự của biến số, nghĩa là việc
lấy đạo hàm theo x trước, y sau hoặc theo y trước, x sau sẽ cho đáp số như nhau.
BÀI TẬP
1. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số:
a) f (x, y)  (3x 2  2y)5
b) f (x, y)  ln(x 4  xy 2  5y)
c) f (x, y)  x 2 tan 4y

Trang | 7


Chương 6: Hàm nhiều biến
2. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số f (x, y)  5xe3y

II. Cực trị (extrema)
Tương tự như đối với hàm 1 biến, ta cũng có khái niệm cực đại, cực tiểu (địa phương) đối với hàm 2
biến. Trong hình ảnh dưới đây, ta thấy hàm số có cực đại và cực tiểu.

Để tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) địa phương của hàm f (x, y) , ta cũng thực hiện 2 bước:
Bước 1 (điều kiện cần): Tìm điểm dừng của hàm f (x, y)
Điểm dừng của hàm f (x, y) là nghiệm của hệ phương trình

f x (x, y)  0
 
f y (x, y)  0
Nếu hệ vô nghiệm, ta kết luận hàm f (x, y) khơng có điểm dừng nên khơng có cực trị.
Nếu hệ có nghiệm, chẳng hạn là (x 0 , y0 ) thì ta gọi (x 0 , y 0 ) là điểm dừng rồi chuyển qua bước 2.
Bước 2 (điều kiện đủ) Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị tại điểm dừng hay không?
Giả sử (x 0 , y0 ) là điểm dừng, ta tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y) tại (x 0 , y0 ) rồi lập

ma trận
 (x 0 , y 0 ) 
 f 2 (x 0 , y 0 ) f xy
H x
 f xy
 (x 0 , y 0 ) f y2 (x 0 , y 0 ) 



Sau đó, tính

H1  f x2 (x 0 , y0 )
H 2  det H  f x2 (x 0 , y0 )f y2 (x 0 , y0 )   f xy (x 0 , y0 ) 

2

Dựa vào dấu của H 2 , ta có kết luận:


Nếu H 2  0 thì hàm f (x, y) không đạt cực trị tại (x 0 , y0 )
Trang | 8


Chương 6: Hàm nhiều biến


Nếu H 2  0 thì hàm f (x, y) đạt cực trị tại (x 0 , y0 ) , cụ thể là:
 Nếu H1  0 thì hàm f (x, y) đạt cực tiểu tại (x 0 , y 0 )
 Nếu H1  0 thì hàm f (x, y) đạt cực đại tại (x 0 , y 0 )

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  3xy  x 3  y3
Điều kiện cần: Tìm điểm dừng của hàm f (x, y)

f x (x, y)  0
Giải hệ phương trình 
f y (x, y)  0
Ta có f x (x, y)  3y  3x 2 và f y (x, y)  3x  3y 2
Vậy, hệ phương trình trên trở thành

3y  3x 2  0  y  x 2 (1)


2
2
3x  3y  0  x  y (2)
Ta giải hệ bằng phương pháp thế. Thay y  x 2 trong (1) vào (2) thì được:
2

x   x 2   x  x 4  x(1  x 3 )  0
Vậy, x  0 hay 1  x 3  0  x 3  1  x  1
Với x  0 thì y  x 2  02  0 , ta có điểm dừng (0, 0)
Với x  1 thì y  x 2  12  1 , ta có điểm dừng (1,1)
Vậy, hàm f (x, y) có 2 điểm dừng là (0, 0) và (1,1)
Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị tại điểm dừng hay không?
 (x, y) 
 f 2 (x, y) f xy
Xét ma trận H   x
 f xy
 (x, y) f y2 (x, y) 




với

f x2 (x, y)  (3y  3x 2 )x  6x
 (x, y)  (3y  3x 2 )y  3
f xy
f y2 (x, y)  (3x  3y 2 )y  6y

3 
 6x
Thay vào ma trận H thì được H  

 3 6y 
Trang | 9


Chương 6: Hàm nhiều biến



 0 3
Tại điểm dừng (0, 0) thì H  
  H1  0; H 2  det H  9
3 0
Vì H 2  0 nên hàm f (x, y) không đạt cực trị tại điểm dừng (0, 0)



3

 6
Tại điểm dừng (1,1) thì H  
  H1  6; H 2  det H  27
 3 6 
Vì H 2  0 nên hàm f (x, y) đạt cực trị tại điểm dừng (1,1) , hơn nữa do H1  0 nên hàm
f (x, y) đạt cực đại tại (1,1)

Vậy, hàm f (x, y) có cực đại, khơng có cực tiểu.
Ghi chú: Trong ví dụ trên, ta thấy tại điểm dừng thì hàm số chưa chắc đạt cực trị. Vì thế, việc kiểm
tra điều kiện đủ là rất cần thiết.
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  x 2  2y 2  2xy  4y  1
Điều kiện cần: Tìm điểm dừng của hàm f (x, y)

f x (x, y)  0
Giải hệ phương trình 
f y (x, y)  0
Ta có f x (x, y)  2x  2y và f y (x, y)  4y  2x  4
Vậy, hệ phương trình trên trở thành
 0 (1)
2x  2y

4y  2x  4  0 (2)
Ta giải hệ bằng phương pháp thế: từ (1) ta có y  x , thay y  x vào (2) thì ta được:

4x  2x  4  0  2x  4  0  x  2
Với x  2 thì y  x  2
Vậy, hàm f (x, y) có 1 điểm dừng là (2, 2)
Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị tại điểm dừng hay không?
 (x, y) 
 f 2 (x, y) f xy

Xét ma trận H   x
 f xy
 (x, y) f y2 (x, y) 



với
f x2 (x, y)  (2x  2y)x  2

Trang | 10


Chương 6: Hàm nhiều biến
 (x, y)  (2x  2y)y  2
f xy

f y2 (x, y)  (4y  2x  4)y  4
Thay vào ma trận H thì được
 2 2 
H
  H1  2; H 2  det H  4
 2 4 
Vì H 2  0 nên hàm số đạt cực trị tại (2, 2) , hơn nữa H1  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại (2, 2)
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f (x, y)  x 6  y 4  3x 2  2y 2  1
Điều kiện cần: Tìm điểm dừng của hàm f (x, y)

f x (x, y)  0
Giải hệ phương trình 
f y (x, y)  0
Ta có f x (x, y)  6x 5  6x  6x(x 4  1) và f y (x, y)  4y3  4y  4y(y 2  1)

6x(x 4  1)  0 (1)
Vậy, hệ phương trình trên trở thành 
2
 4y(y  1)  0 (2)
Từ (1) ta có x  0 hoặc x 4  1  0  x 4  1  x  1
Từ (2) ta có y  0 hoặc y 2  1  0  y 2  1  y  1
Như thế, ta có 3 giá trị của x là: x  0, x  1, x  1 và có 3 giá trị của y là y  0, y  1, y  1
Kết hợp các cặp (x, y) , ta có 9 điểm dừng là

(0, 0)

(0,1)

(0, 1)

(1, 0)

(1,1)

(1, 1)

(1, 0) (1,1) (1, 1)
Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị tai điểm dừng hay không?
Lập ma trận
 (x, y) 
 f 2 (x, y) f xy
H x
 f xy
 (x, y) f y2 (x, y) 




với

f x2 (x, y)  (6x 5  6x)x  30x 4  6

Trang | 11


Chương 6: Hàm nhiều biến

f xy (x, y)  (6x 5  6x)y  0
f y2 (x, y)  (4y 3  4y)y  12y 2  4

Thay vào ma trận H thì được:

 30x 4  6
0 
H

0
12y 2  4 



 6 0 
Tại điểm dừng (0, 0) : H  
  H1  6; H 2  det H  24
 0 4 

Vì H 2  0 nên hàm số đạt cực trị tại (0, 0) , hơn nữa H1  0 nên hàm số đạt cực đại tại (0, 0)



 6 0 
Tại điểm dừng (0,1) và (0, 1) : H  
  H1  6; H 2  det H  48
 0 8
Vì H 2  0 nên hàm số khơng đạt cực trị tại (0,1) và (0, 1)



 24 0 
Tại điểm dừng (1, 0) và ( 1, 0) : H  
  H1  24; H 2  det H  96
 0 4 
Vì H 2  0 nên hàm số không đạt cực trị tại (1, 0) và ( 1, 0)



Tại 4 điểm dừng còn lại (1,1); (1, 1); ( 1,1); ( 1, 1) :
 24 0 
H
  H1  24; H 2  det H  192
 0 8
Vì H 2  0 nên hàm số đạt cực trị tại 4 điểm này, hơn nữa vì H1  0 nên hàm số đạt cực tiểu
tại 4 điểm dừng (1,1); (1, 1); ( 1,1); ( 1, 1)

Để tìm cực trị tồn cục, ta có nhận xét: nếu hàm f (x, y) đạt cực trị toàn cục tại điểm (x 0 , y0 ) nằm
trong miền D thì hàm f (x, y) đạt cực trị địa phương tại (x 0 , y 0 ) , do đó (x 0 , y0 ) cũng là điểm dừng.

Do đó, để tìm cực trị tồn cục thì trước tiên, ta cũng đi tìm điểm dừng (điều kiện cần).
Để kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị tồn cục tại điểm dừng (x 0 , y0 ) hay không (điều kiện đủ), ta
dùng kết quả sau:
Mệnh đề. Giả sử hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên tập hợp D lồi và (x 0 , y 0 )  D
là điểm dừng của hàm f (x, y) . Đặt:
 (x, y) 
 f 2 (x, y) f xy
H x
(x, y)  D
 f xy
 (x, y) f y2 (x, y) 



Trang | 12


Chương 6: Hàm nhiều biến
H1  f x2 (x, y)
 (x, y) 
H 2  det H  f x2 (x, y)f y2 (x, y)   f xy

2

(x, y)  D

(không thay điểm dừng vào H)


Nếu H1  0, H 2  0 (x, y)  D thì hàm f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại (x 0 , y 0 )



Nếu H1  0, H 2  0 (x, y)  D thì hàm f (x, y) đạt cực đại toàn cục tại (x 0 , y0 )

Ghi chú: Trong giả thiết của mệnh đề trên, miền D phải là tập hợp lồi (convex). Ta nói tập hợp D là
lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của D vẫn nằm trong D.

Trong hình học thì hình tam giác, hình thang, hình bình hành (hình thoi, hình chữ nhật), hình trịn,
hình ellipse… là tập hợp lồi.
Xét D  (x, y)   2 / x  0, y  0 thì D lồi. Trong các ví dụ kinh tế thì D là miền xác định của các
hàm chi phí, doanh thu, lợi nhuận… vì các biến trong kinh tế nhận giá trị dương.

Ví dụ: Cho f (x, y)  ax 2  2bxy  y 2  bx  5y  1 . Tìm a và b để hàm f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục
tại (1,1)
Điều kiện cần: Giả sử hàm f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại (1,1) , khi đó
f x (1,1)  0
 
f y (1,1)  0

với f x (x, y)  2ax  2by  b; f y (x, y)  2bx  2y  5
Vậy, ta có hệ phương trình:

Trang | 13


Chương 6: Hàm nhiều biến
21

a


 2a  2b  b  0

4


 2b  2  5  0
b 7

2

21
7
; b  thì (1,1) là điểm dừng của hàm f (x, y) , ta cần kiểm tra hàm
4
2
f (x, y) có đạt cực tiểu tồn cục tại (1,1) khơng? Xét ma trận

Điều kiện đủ: Với a 

21

 f x2 (x, y) f xy (x, y)   2a 2b  
7 
H
=
=
(x, y)  D
 f xy
 (x, y) f y2 (x, y)   2b 2   2




2
 7

Vì H 2  det H  28  0 nên hàm f (x, y) không đạt cực trị tại điểm dừng (1,1) .
Vậy, không tồn tại a và b để hàm f (x, y) đạt cực iểu toàn cục tại (1,1)
Sau đây, ta xét hai ví dụ tìm lợi nhuận lớn nhất của một xí nghiệp. Nguyên tắc chung để giải bài
toán này là:



Từ giả thiết của đề bài, ta thành lập hàm tổng doanh thu R và hàm tổng chi phí C, khi đó
hàm lợi nhuận là   R  C .
Sau đó, ta tìm cực đại của hàm lợi nhuận  bằng các áp dụng cách tìm cực trị của hàm 2
biến đã học. Trong bài tốn lợi nhuận lớn nhất thì cực đại địa phương của hàm lợi nhuận
cũng là cực đại tồn cục.

Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt.
Biết hàm cầu về loại sản phẩm này trên hai thị trường là:
q D1  780  2p1

q D2  480  p 2
trong đó, p1 và p2 là giá của sản phẩm trên hai thị trường.
Hàm tổng chi phí của xí nghiệp: C  q 2  20q  10 với q là sản lượng của xí nghiệp.
Hãy xác định mức sản lượng và lượng hàng phân phối trên hai thị trường để lợi nhuận xí nghiệp lớn
nhất.
Gọi q là sản lượng và q1 , q 2 là lượng hàng phân phối trên hai thị trường thì q  q1  q 2
Tổng doanh thu của xí nghiệp trên hai thị trường: R  p1q1  p 2 q 2

Ta cần xác định giá bán p1 và p2 (vì khơng có giá bán thì thì khơng tính được doanh thu) theo cách
lập luận sau đây (tương tự một ví dụ ở chương 5):
Trang | 14


Chương 6: Hàm nhiều biến
Do độc quyền phân phối trên hai thị trường nên để tiêu thụ hết lượng hàng q1 và q 2 , xí nghiệp sẽ
chọn giá bán p1 và p 2 là giá cân bằng (cung = cầu), nghĩa là
1

 q1  q D1
 q1  780  2p1
 p1  390  q1


2

q 2  480  p 2
q 2  q D2
p 2  480  q 2

Khi đó, tổng doanh thu trên hai thị trường là
1
R  p1q1  p 2 q 2  (390  q1 )q1  (480  q 2 )q 2
2
1
 390q1  (q1 ) 2  480q 2  (q 2 ) 2
2

Tổng chi phí

C  (q1  q 2 ) 2  20(q 1 q 2 )  10
 (q1 ) 2  2q1q 2  (q 2 ) 2  20q1  20q 2  10
Suy ra lợi nhuận của xí nghiệp là
  R C
1
 390q1  (q1 ) 2  480q 2  (q 2 ) 2  (q1 ) 2  2q1q 2  (q 2 ) 2  20q1  20q 2  10
2
3
  (q1 ) 2  2q1q 2  2(q 2 ) 2  370q1  460q 2  10
2
Để lợi nhuận lớn nhất thì hàm  cần đạt cực đại.
Điều kiện cần: Tìm điểm dừng của hàm  bằng cách giải hệ phương trình
3q  2q 2  370
 q1  0  3q1  2q 2  370  0

 1

2q1  4q 2  460
 q2  0  2q1  4q 2  460  0
Giải hệ phương trình trên (có thể giải bằng phương pháp thế hoặc bằng Casio), ta được
q1  70
(điểm dừng của hàm  )

q 2  80

Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm  có đạt cực trị tại điểm dừng hay không?
Lập ma trận

 q2
H 1

 q1q2


q1q2 

q2 
2 

Trang | 15


Chương 6: Hàm nhiều biến
với
q2  (3q1  2q 2  370)q1  3
1

q1q 2  (3q1  2q 2  370)q 2  2

q2  (2q1  4q 2  460)q 2  4
2

Thay vào H
 3 2 
H
  H1  3  0; H 2  det H  8  0
 2 4 
Vậy, hàm  đạt cực đại tại điểm dừng q1  70; q 2  80
Do đó, để lợi nhuận lớn nhất thì mức sản lượng là q  q1  q 2  70  80  150 và lượng hàng phân
phối trên hai thị trường là q1  70; q 2  80 .
Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Giá bán

của sản phẩm trên hai thị trường là p1  40; p 2  49
2

2

Hàm tổng chi phí: C   q1   q1q 2   q 2   3 , trong đó q1 , q 2 là lượng hàng phân phối trên hai thị
trường.
Hàm lợi nhuận của xí nghiệp:   p1q1  p 2 q 2  C  tq 2
Ở đây, t là thuế nhập khẩu trên thị trường thứ hai, nghĩa là mỗi đơn vị sản phẩm khi nhập vào thị
trường thứ hai phải chịu mức thuế nhập khẩu là t (cịn trên thị trường thứ nhất thì sản phẩm được
miễn thuế nhập khẩu).
Cho t  2 , hãy xác định lượng hàng phân phối q1 , q 2 trên hai thị trường để lợi nhuận xí nghiệp lớn
nhất (giả sử lượng hàng phân phối dược tiêu thụ hết).
Trước hết, trong biểu thức hàm lợi nhuận   p1q1  p 2 q 2  C  tq 2 , ta thấy


p1q1  p 2 q 2 là tổng doanh thu R trên hai thị trường




C là tổng chi phí sản xuất
Số hạng tq 2 là lượng thuế nhập khẩu trên thị trường thứ hai (vì lượng hàng phân phối trên thị

trường thứ hai là q 2 , mà mỗi đơn vị sản phẩm nhập khẩu trên thị trường này chịu mức thuế
là t , nên lượng thuế nhập khẩu là tq 2 )
Vậy, biểu thức lợi nhuận   p1q1  p 2 q 2  C  tq 2 chính là lợi nhuận sau khi trừ thuế nhập khẩu.
(phần giải thích này khi làm bài, thí sinh khơng cần viết, mà chỉ cần trình bày tính tốn)

Trang | 16

Chương 6: Hàm nhiều biến
Bây giờ, ta thay p1  40; p 2  49 và t  2 vào hàm lợi nhuận
  p1q1  p 2 q 2  C  tq 2
2

2

2

2

 40q1  49q 2   q1   q1q 2   q 2   2q 2  3
 40q1  47q 2   q1   q1q 2   q 2   3

rồi tìm cực đại của hàm  như sau:
Điều kiện cần: Tìm điểm dừng của hàm  bằng cách giải hệ phương trình
 q1  0
 40  2q1  q 2  0
2q  q  40

 1 2

47  q1  2q 2  0
q1  2q 2  47
 q2  0
Giải hệ phương trình trên (có thể dùng phương pháp thế hoặc dùng Casio), ta được nghiệm là
q1  11
(điểm dừng của hàm  )


q 2  18

Điều kiện đủ: Kiểm tra hàm  có đạt cực đại tại điểm dừng hay khơng?
Lập ma trận

 q12
H
 q1q2


q1q2 

q2 
2 

với
q2  (40  2q1  q 2 )q1  2
1

q1q 2  (40  2q1  q 2 )q 2  1

q2  (47  q1  2q 2 )q2  2
2

Thay vào, ta được:
 2 1 
H
  H1  2  0; H 2  det H  3  0
 1 2 

Vậy, hàm  đạt cực đại tại điểm dừng q1  11; q 2  18
Do đó, với lượng hàng phân phối trên hai thị trường là q1  11; q 2  18 thì lợi nhuận lớn nhất.

III. Cực trị có ràng buộc (constrained extrema, conditional extrema)
Trong phần trước, ta khảo sát cực trị của hàm f (x, y) với (x, y) chạy khắp trên D.

Trang | 17


Chương 6: Hàm nhiều biến
Trong phần này, ta khảo sát cực trị của hàm f (x, y) với (x, y) chạy trên một đường cong (C) nào
đó cho trước. Loại cực trị này được gọi là cực trị có ràng buộc (có điều kiện), trong đó ràng buộc là
điểm (x, y) phải nằm trên đường cong (C) .
Cho hàm f (x, y) xác định trên D và (x 0 , y0 )  D
Giả sử (C) là một đường cong nằm trong D có phương trình là g(x, y)  0 và (x 0 , y 0 )  (C) , nghĩa
là g(x 0 , y 0 )  0
Nếu tồn tại một đoạn cong khá nhỏ của đường cong (C) chứa (x 0 , y 0 ) sao cho trên đoạn cong này,
giá trị f (x 0 , y 0 ) là lớn nhất thì ta nói hàm f (x, y) đạt cực đại tại (x 0 , y 0 ) với ràng buộc g(x, y)  0

Trong hình vẽ trên, đoạn cong là phần giao của đường cong (C) và hình trịn tâm M 0 (x 0 , y0 ) bán
kính  và trên đoạn cong khá bé này thì giá trị của hàm f (x, y) tại M 0 (x 0 , y 0 ) là lớn nhất. Dĩ
nhiên, nếu xét trên toàn bộ đường cong (C) thì chưa chắc giá trị của hàm f (x, y) tại M 0 (x 0 , y 0 ) là
lớn nhất. Do đó, giá trị cực đại này cũng chỉ là cực đại địa phương mà thơi, nó chỉ là lớn nhất trên
một đoạn cong khá bé của đường cong (C) .
Tương tự, ta có thể định nghĩa cực tiểu của hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  0
Ghi chú: Nếu giá trị f (x 0 , y 0 ) là lớn nhất trên toàn bộ đường cong (C) thì ta có cực đại tồn cục
(tuyệt đối). Tương tự, ta có cực tiểu tồn cục.
Để tìm cực trị của hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  0 , ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange.
Thành lập hàm Lagrange:

L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y)
với (x, y)  D và    rồi thực hiện các bước sau:
Bước 1 (điều kiện cần) : Tìm điểm dừng của hàm Lagrange bằng các giải hệ phương trình
 Lx  0
f x (x, y)  gx (x, y)  0


 Ly  0  f y (x, y)  gy (x, y)  0
 L  0
g(x, y)  0
 


Nghiệm của hệ (nếu có) được gọi là điểm dừng (stationary point, critical point) của hàm L(x, y, ) .
Giả sử điểm dừng là (x 0 , y 0 ,  0 ) và ta hãy xét điểm (x 0 , y 0 ) (hai tọa độ đầu tiên của điểm dừng)
Trang | 18


Chương 6: Hàm nhiều biến
Ghi chú: Hằng số  0 được gôi là nhân tử Lagrange (Lagrangian multiplier)
Bước 2 (điều kiện đủ): Kiểm tra hàm f (x, y) có đạt cực trị tại điểm (x 0 , y 0 ) ?
Ta thành lập ma trận

 L2
 x
H   Lxy

 g
 x

Lxy
Ly2
gy

gx 

gy 

0 

Thay tọa độ điểm dừng (x 0 , y0 ,  0 ) vào H rồi tính det H


Nếu det H  0 thì hàm f (x, y) đạt cực đại tại (x 0 , y 0 ) với ràng buộc g(x, y)  0



Nếu det H  0 thì hàm f (x, y) đạt cực tiểu tại (x 0 , y 0 ) với ràng buộc g(x, y)  0

(nếu det H  0 thì chưa có kết luận)
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f (x, y)  4x  3y trên đường tròn đơn vị x 2  y 2  25
Viết lại ràng buộc dưới dạng g(x, y)  0 như sau: x 2  y 2  25  0

g (x,y)

Đặt g(x, y)  x 2  y 2  25 , bài tốn trở thành: tìm cực trị của hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  0
Xét hàm Lagrange:
L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  4x  3y  (x 2  y 2  25)
Điều kiện cần: tìm điểm dừng của hàm Lagrange bằng cách giải hệ
(1)

Lx  0
 4  2 x  0


(2)
 Ly  0  3  2y  0
2
2
 L  0
 x  y  25  0 (3)
 


Từ (1) ta có   

2
x

Từ (2) ta có   

3
2y

Suy ra 

2
3
3

y x

x
2y
4
2

3
25 2
3 
x  25  0  x  4
Thay y  x vào (3) thì ta có: x 2   x   25  0 
16
4
4 
Trang | 19


Chương 6: Hàm nhiều biến

Với x  4 thì y 

3
2
1
x  3 và     
4
x
2

Với x  4 thì y 

3
2 1
x  3 và    
4
x 2

1
1
Vậy, hàm L(x, y, ) có 2 điểm dừng là (4,3,  ) và (4, 3, )
2
2
Điều kiện đủ: lập ma trận

 L2
 x
H   Lxy

 g
 x





Lxy
Ly2
gy

gx   2 0 2x 
 


gy    0 2 2y 
 

0   2x 2y 0 

 1 0 8 
1
Tại điểm dừng là (4,3,  ) : H   0 1 6   det H  100  0 nên hàm f (x, y) đạt cực
2
 8 6 0


đại tại (x, y)  (4,3)
 1 0 8 
1

Tại điểm dừng là (4, 3, ) : H   0
1 6   det H  100  0 nên hàm f (x, y) đạt
2
 8 6 0 


cực tiểu tại (x, y)  (4, 3)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f (x, y)  xy trên đường cong x 3  y3  2
Viết lại ràng buộc dưới dạng g(x, y)  0 như sau: x 3  y3  2  0

g ( x,y)

Đặt g(x, y)  x 3  y3  2 , bài tốn trở thành: tìm cực trị của hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  0
Xét hàm Lagrange:
L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  xy  (x 3  y3  2)
Điều kiện cần: tìm điểm dừng của hàm Lagrange bằng cách giải hệ
2
Lx  0  y  3x  0 (1)


2
Ly  0   x  3y  0 (2)
L  0  x 3  y3  2  0 (3)
 


Từ (1) ta có   

y
(nếu x  0 thì từ (1) ta có y  0 : khơng thỏa (3) , do đó x  0 )
3x 2

Trang | 20


Chương 6: Hàm nhiều biến

Từ (2) ta có   

Suy ra 

3

(nếu y  0 thì từ (2) ta có x  0 : khơng thỏa (3) , do đó y  0 )
2y

y
x
  2  y3  x 3  y  x
2
3x
3y

Thay y  x vào (3) thì được: x 3  x 3  2  0  x 3  1  x  1
Với x  1 thì y  x  1 và   

y
1
 
2
3x
3

Vậy, hàm L(x, y, ) có 1 điểm dừng là (1,1,  13 )
Điều kiện đủ: lập ma trận

 L2
 x
H   Lxy

 g
 x

Lxy
Ly2
gy

gx   6x 1 3x 2 
 

gy    1 6y 3y 2 
  2 3y 2
0 
0   3x

1 3
 2

Tại điểm dừng (1,1,  13 ) : H   1 2 3   det H  54  0 nên hàm f (x, y) đạt cực đại tại
 3 3 0


(x, y)  (1,1)

Ghi chú: Trong các bài toán kinh tế dùng cực trị có ràng buộc thì cực trị địa phương cũng là cực trị
tồn cục.
Ví dụ: Một người tiêu dùng có số tiền là I  6000 và dự định dùng toàn bộ số tiền này để mua 2
mặt hàng với giá là P1  20, P2  30 .
Lợi ích của việc chi tiêu này cho bởi hàm hữu dụng (Utility function): U(x1 , x 2 )  x1x 2
Hãy xác định lượng hàng cần mua để lợi ích chi tiêu là lớn nhất.
Ta có ràng buộc về vốn: P1x1  P2 x 2  I  20x1  30x 2  6000  600  2x1  3x 2  0

g(x1 , x 2 )

Đặt g(x1 , x 2 )  600  2x1  3x 2 thì bài tốn trở thành: tìm cực đại của hàm U(x1 , x 2 ) với ràng buộc
g(x1 , x 2 )  0
Lập hàm Lagrange: L(x1 , x 2 , )  U(x1 , x 2 )  g(x1 , x 2 )  x1x 2  (600  2x1  3x 2 )
Điều kiện cần: tìm điểm dừng của hàm Lagrange bằng cách giải hệ

Trang | 21


Chương 6: Hàm nhiều biến
 Lx1  0
(1)
 x 2  2  0


(2)
 Lx 2  0   x1  3  0
 
600  2x  3x  0 (3)
1
2

 L  0
Từ (1) ta có  

1
x2
2

1

Từ (2) ta có   x1
3
Suy ra

1
1
2
x 2  x1  x 2  x1
2
3
3

Thay x 2 

2
2 
x1 vào (3) thì được: 600  2x1  3   x1   0  x1  150
3
3 

Với x1  150 thì x 2 

2
1
x1  100 và   x 2  50
3
2

Hàm L(x1 , x 2 , ) có 1 điểm dừng là (150,100,50)
Điều kiện đủ: lập ma trận

 Lx 2
 1
H   Lx1x 2

 gx
 1

Lx1x 2
Lx 2
2

gx 2

gx1   0
1 2 
 

gx 2    1 0 3   det H  12  0
 

0   2 3 0 

Vậy hàm U(x1 , x 2 ) đạt cực đại tại (x1 , x 2 )  (150,100)
Ghi chú: Xét bài toán cực đại hàm hữu dụng U(x1 , x 2 ) với ràng buộc về vốn P1x1  P2 x 2  I . Hàm
Lagrange:
L(x1 , x 2 , )  U(x1 , x 2 )  (I  P1x1  P2 x 2 )
 Lx1  0
 Ux  P1  0

Từ điều kiện cần Lx 2  0   1

,
 Ux 2  P2  0
 

 L  0
Vậy,
Ux1
P1



Ux 2
P2



Ux1
Ux 2



P1
MU1 P1


P2
MU 2 P2

Trang | 22

Chương 6: Hàm nhiều biến
Điều này có nghĩa là, để lợi ích chi tiêu là cực đại thì tỉ số giữa 2 hữu dụng biên phải bằng tỉ số giữa
2 mức giá.
(nhắc lại, hữu dụng biên là phần lợi ích tăng thêm khi chi tiêu thêm cho 1 đơn vị hàng)
Ví dụ: Có 2 hình thức quảng cáo: trên báo chí và trên truyền hình. Ngân sách dành cho quảng cáo là
45000$ (trong 1 tháng). Doanh thu trong 1 tháng cho bởi hàm R  100y x , trong đó x và y lần lượt
là chi phí dành cho quảng cáo trên báo chí và trên truyền hình.
Lợi nhuận bằng 80% của doanh thu trừ đi tổng chi phí quảng cáo.
Xác định chi phí dành cho quảng cáo trên báo chí và trên truyền hình để lợi nhuận lớn nhất.
Tổng chi phí dành cho quảng cáo trên báo chí và trên truyền hình là C  x  y
Vì ngân sách dành cho quảng cáo là 45000$ nên ta có ràng buộc x  y  45000  45000  x  y  0



g(x,y)

Lợi nhuận   80%R  C  80y x  x  y
Bài toán trở thành: tìm cực đại của hàm   80y x  x  y với ràng buộc 45000  x  y  0



g(x,y)

Hàm Lagrange: L(x, y, )  (x, y)  g(x, y)  80y x  x  y  (45000  x  y)
Điều kiện cần: tìm điểm dừng của hàm Lagrange bằng cách giải hệ
 40y
 x  1    0 (1)
Lx  0




L

0

 y
80 x  1    0 (2)
L  0
45000  x  y  0 (3)
 



Từ (1) và (2) ta có

40y
 80 x  1    y  2x
x

Thay y  2x vào (3) thì được: 45000  x  2x  0  x  15000
Với x  15000 thì y  2x  30000 và   80 x  1  80 15000  1  800 150  1
Hàm L(x, y, ) có 1 điểm dừng là (15000,30000,800 150  1)
Điều kiện đủ: lập ma trận

Trang | 23


Chương 6: Hàm nhiều biến

 L2
 x
H   Lxy

 gx


Lxy
Ly2
gy

 20y
 x x


gx
  40
gy   
x

0   1




40
x
0
1


1

Sarrus 20y
80

1  det H 

0
x x
x

0



Vậy, hàm  đạt cực đại tại (x, y)  (15000,30000)

IV. Vi phân của hàm hai biến
3.1. Vi phân toàn phần (total differential)
Giả sử hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 là những hàm liên tục tại điểm (x 0 , y 0 ) . Khi đó, nếu
x  x 0 và y  y 0 thì ta có công thức xấp xỉ:

f (x, y)  f (x 0 , y0 )  f x (x 0 , y 0 )(x  x 0 )  f y (x 0 , y 0 )(y  y 0 )
Đặt
x  x  x 0
y  y  y 0
f  f (x, y)  f (x 0 , y 0 )  f (x 0  x, y 0  y)  f (x 0 , y 0 )
thì

f  f x (x 0 , y0 )x  f y (x 0 , y0 )y
Vế phải trong công thức trên là một hàm tuyến tính đối với x và y , được gọi là vi phân toàn
phần của hàm f (x, y) tại (x 0 , y 0 ) , ký hiệu là
df (x 0 , y 0 )  f x (x 0 , y 0 ) x  f y (x 0 , y 0 ) y

Vậy, nếu x  x 0 và y  y 0 thì
f  df (x 0 , y 0 )
Vì dx  x, dy  y nên

df (x 0 , y 0 )  f x (x 0 , y0 )dx  f y (x 0 , y0 )dy
Ý nghĩa của vi phân toàn phần là, khi độ biến thiên của x và y là khá nhỏ (nghĩa là x  0, y  0 )
thì độ biến thiên f của hàm số có thể xấp xỉ bởi một hàm tuyến tính (bậc nhất) đối với x và y
Ví dụ: Tính vi phân toàn phần của hàm f (x, y)  x 2 tan y

Trang | 24


Chương 6: Hàm nhiều biến
Ta có
df (x, y)  f x (x, y)dx  f y (x, y)dy

Trong đó
f x (x, y)  (x 2 tan y)x  tan y.(x 2 )x  tan y.(2x)
 1 
f y (x, y)  (x 2 tan y)y  x 2 .(tan y)y  x 2  

2
 cos y 

Vậy, vi phân toàn phần của hàm f (x, y) là

df (x, y)  2x tan y.dx 

x2
 dy
cos 2 y

Ví dụ: Tính vi phân toàn phần của hàm f (y, z)  y3 2z (chú ý rằng, biến số là y và z)
Ta có
df (y, z)  f y (y, z)dy  f z (y, z)dz

Trong đó
f y (y, z)  (y 3 2 z )y  2 z.(y 3 )y  2 z.(3y 2 )  3y 2 2 z
f z (y, z)  (y 3 2 z )z  y 3 .(2 z )z  y 3 2 z ln 2

(nhắc lại công thức: (a x )  a x ln a )
Do đó, vi phân tồn phần của hàm f (y, z) là
df (y, z)  3y 2 2z.dy  y3 2z ln 2.dz
3.2. Vi phân cấp hai
Giả sử hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại (x 0 , y 0 ) . Khi đó, nếu x  x 0 và y  y 0
thì ta có cơng thức xấp xỉ:

1
f  f x (x 0 , y0 )x  f y (x 0 , y 0 )y  f x2 (x 0 , y 0 )(x) 2  2f xy (x 0 , y 0 ) xy  f y2 (x 0 , y 0 )( y)2 



 2
df ( x 0 , y0 )

Biểu thức sau đây được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f (x, y) tại (x 0 , y 0 ) :
 (x 0 , y 0 ) xy  f y2 (x 0 , y 0 )( y) 2
d 2 f (x 0 , y 0 )  f x2 (x 0 , y 0 )( x) 2  2f xy

Khi đó, cơng thức xấp xỉ ở trên trở thành

1
f  df (x 0 , y0 )  d 2f (x 0 , y 0 ) khi x  x 0 và y  y 0
2
Trang | 25