De thi thu tn thpt 2023 mon toan truong thpt hoai duc a ha noi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 06 trang)

KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
Năm học: 2022 – 2023
Môn thi: TỐN (Chương trình chuẩn)
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI GỐC – MÃ ĐỀ LẺ
NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
A. 720 .
B. 45 .
C. 120 .

D. 90 .

1
Câu 2. Cho cấp số nhân ( un ) có cơng bội dương và u2 = , u4 = 3 . Giá trị của u1 là
3
1
1
1
1
A. u1 = .
B. u1 = .
C. u1 = .
D. u1 = −
.

81
27
9
2
Câu 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 15 .Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) .

A. 30 .

B. 60 .

C. 45 .

D. 90 .

C. y = x4 − 3x 2 + 1 .

D. y = − x 3 + 3 x 2 + 1 .

Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. y = x3 − 3x + 1 .

B. y = x3 − 3x − 1 .

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;3) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;+  ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;2 ) .

 5
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;  .
 2

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. (1;3) .

C. x = 1 .

B. x = 0 .

1

D. x = 3 .


Câu 7. Cho hàm số y =
2
A. y = ; x = 1 .
3

2x −1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là:
3 − 2x
2

2
3
3
B. y = −1; x = .
C. y = −1; x = .
D. y = ; x = .
3
3
2
2

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 8 trên đoạn  −2; 2 .
A. max y = 3 .
−2;2

B. max y = 34 .

Câu 9. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
có mấy điểm cực tiểu?
A. 4 .

D. max y = 30 .

C. max y = 10 .

−2;2

−2;2

 −2;2

và có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 2022 ) ( x 2 − 4 x + 4 ) . Hàm số f ( x )
C. 3 .

B. 2 .

D. 1 .

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( −; + ) , có bảng biến thiên như hình vẽ:
x
y'

∞
+

y

1
0
2

3
0

+∞
+
+∞

4
∞

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2 f ( x ) + m = 0 có đúng 3 nghiệm

phân biệt?
A. 7 .

B. 11 .

D. 13 .

C. 8 .

Câu 11. Trên khoảng ( 0; +  ) , đạo hàm của hàm số y = log5 x là
A. y =

5
.
x

B. y =

Câu 12. Đạo hàm của hàm số là y
A. y = ex e +1 .

ln 5
.
x

D. y =

1

.
x ln 5

1
C. y = x e−1 .
e

D. y =

1 e+1
x .
e +1

C. x = −2.

D. x = −3.

C. y =

1
.
x

x e trên tập số thực, là

B. y = ex e −1 .

Câu 13. Nghiệm của phương trình 3x+6 = 27 là
A. x = 2.
B. x = 1.

Câu 14. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log(3x + 2)  0 .
 2

A. S =  − ; +   .
 3


3

B. S =  −;  .
2


 1

C. S =  − ; +   .
 3


2

D. S =  −;  .
3


Câu 15. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 4log2 ( a .b ) = 3a3 . Giá trị của ab 2 bằng
2

C. 3 .

B. 6 .

A. 12 .

D. 2 .

Câu 16. Tính tổng T tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 (10 x ) − 3log (100 x )  −5

Câu 17. Nếu

C. T = 110 .

B. T = 45 .

A. T = 50 .

D. T = 55 .

 f ( x ) dx = F ( x ) + C thì

f ( 2 x + 1) dx = 2F ( 2 x + 1) + C .

A.



C.

 f ( 2x + 1) dx = F ( 2x + 1) + C .

1

B.

 f ( 2 x + 1) dx = 2 F ( x ) + C .

D.

 f ( 2 x + 1) dx = 2 F ( 2 x + 1) + C .

1

Câu 18. Họ các nguyên hàm của hàm số là f ( x) = x + sin x là
A.

x2
+ cosx + C .
2

B.

x2
− cosx + C .
2

2
C. x + cosx + C .

2

2
D. x − cosx + C .


5

Câu 19. Cho



f ( x )dx = 10 . Khi đó

5

 2 + 3 f ( x )dx bằng
2

2

B. 36 .

A. 32 .

D. 46 .

C. 42 .

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết các diện tích S1 =

45
7
và S2 =
. Tính tích phân
12
4

I =  f ( x ) dx .
3

−1

A. I =

32
.
3

B. I =

71
.
6

C. I = −

71
.
6

D. I = −

32
.
3

Câu 21. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x − x 2 và trục hồnh. Tính thể tích V của vật
thể tròn xoay sinh ra khi cho ( H ) quay quanh trục Ox .
A. V =

81
.
10

B. V =

81
.
10

C. V =

9
.
2

9
D. V =  .
2

Câu 22. Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm A ( −4; −2 ) . Số phức liên hợp của số phức z bằng
A. z = −4 − 2i .

C. z = 4 + 2i .

B. z = 4 − 2i .

D. z = −4 + 2i .

Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z = 2i ( 4 + 3i ) . Phần ảo của số phức z bằng
A. 6 .

C. −8 .

B. 8 .

D. 10 .

Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + i = z + 2 . Tìm khẳng định đúng.
Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z
A. là đường thẳng 3x + y + 1 = 0 .
B. là đường thẳng 3x − y + 1 = 0 .
D. là đường thẳng 3x − y − 1 = 0 .

C. là đường thẳng 3x + y − 1 = 0 .

Câu 25. Hình đa diện đều nào sau đây có tất cả các mặt khơng phải là tam giác đều?
A. Tứ diện đều.
B. Hình hai mươi mặt đều.
C. Hình mười hai mặt đều.

D. Bát diện đều.
Câu 26. Một khối chóp có thể tích là 30a3 và diện tích mặt đáy là 15a 2 . Chiều cao của khối chóp đó bằng
A. 3a .
B. 2a .
C. 9a .
D. 6a .
Câu 27. Diện tích tồn phần ( Stp ) của một hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a , bán kính r = a bằng
2
A. Stp =  a .

2
B. Stp = 4 a .

2
C. Stp = 6 a .

2
D. Stp = 8 a .

Câu 28. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 8 ( cm2 ) và bán kính đáy 2 ( cm ) . Thể tích khối nón
là
A. V =

5 3
cm3 ) .
(
3

B. V =

2 3
cm3 ) .
(
3

C. V =
3

4 3
cm3 ) .
(
3

D. V =

8 3
cm3 ) .
(
3


Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình là x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 4 z − 3 = 0 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R là
A. I ( 2; 2; 4 ) và R = 3 .

B. I ( 2; 2; 4 ) và R = 4 .

C. I (1;1; 2 ) và R = 3 .

D. I (1;1; 2 ) và R = 4 .

Câu 30. Trong không gian, gọi A là điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R . Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. IA  R .

C. IA  R .

B. IA = R 2 .

D. IA = R .

Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; − 2;3) và có
→

véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − 3) là
A. 2 x + y − 3z − 9 = 0.

C. x − 2 y + 3z − 13 = 0.

B. 2 x + y − 3z + 9 = 0.

D. 2 x + y − 3z − 13 = 0.

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng  đi qua hai điểm A (1; −2; 2 ) và B ( 3;1;1) ?

x −1 y + 2 z − 2
=
=
.

2
3
−1
x +1 y − 2 z + 2
=
=
C.
.
2
3
−1

x−3
=
4
x −1
=
D.
3

A.

B.

y −1 z −1
=
.
−1
3
y+2 z−2

=
.
1
1

Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 và đường thẳng

x +1 y − 3 z −1
=
=
. Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) và vng
7
−5
1
góc đường thẳng d là
 x = −2 + 2t
 x = −2 + 2t
 x = −2 − 2t
 x = 2 − 2t




A.  y = 1 + 3t .
B.  y = 1 − 3t .
C.  y = −1 − 3t .
D.  y = 1 + 3t .
 y = −3 + t
 y = −3 + 1t
 y = −3 + t

 z = −3 − t




d:

Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( −1;3; −2 ) và đường thẳng d có phương trình

x = 2 + t

 :  y = 3 − 2t . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  .
z = 1+ t

A. 2 .

B. 2 2 .

C. 3 .

D. 2 3 .

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi
lấy được có đủ ba màu bằng
310
136
106
185
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
429
273
273
231
Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh bằng a . Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SCD )
bằng
A.

21a
.
14

B.

21a
.
7

C.

4

21a
.
3

D.

a 21
.
6


Câu 37. Cho hàm số f  ( x ) = ( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + 3) với mọi x 
2

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của

m để hàm số y = f ( x 2 − 10 x + m + 9 ) có 5 điểm cực trị?
C. 17 .

B. 16 .

A. 18 .

D. 15 .

Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  −2022; 2023 để hàm số

y = 3x 4 − 8x3 − 18x 2 + m nghịch biến trên khoảng ( 3; 4 ) ?
A. 2044 .

B. 2055 .

C. 2024 .

D. 2032 .

Câu 39. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình log 2 ( log 4 x ) .log 4 ( log 2 x ) = 3 . Giá trị log 2 x1 .log 2 x2
bằng
A. −6

B. 2

C. 1

D.

4

233

Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn

(

)

(

)

(

)

log 4 9 x 2 + 16 y 2 + 112 y + log3 9 x 2 + 16 y 2  log 4 y + log 3 684 x 2 + 1216 y 2 + 720 y ?
B. 56 .

A. 48 .

C. 64 .

D. 76 .

Câu 41. Xét hàm số f ( x ) liên tục trên R , thỏa mãn điều kiện ( x + 2 ) . f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x và
f ( 0) =

1
. Tính f ( 2 )
2

e
A. f ( 2 ) = .
3

e2
C. f ( 2 ) = .
3

e
B. f ( 2 ) = .

6

e2
D. f ( 2 ) = .
6

Câu 42. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 thỏa mãn

f '( x) − 2 f ( x). f '( x) + 2 x. f '( x) + ( x + 1) 2 . f ''( x) = 0, x  [0;1],
1

a

  f ( x ) dx = b ( a, b là các số nguyên dương và
2

0

A. 181 .

1
1
f '   = f   = 1. Biết tích phân
2
 2

a
là phân số tối giản), giá trị của a + b bằng
b

C. 10 .

B. 25 .

D. 26 .

Câu 43. Trong tập số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m − 1) z + 2m − 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của m để PT có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 . Số phần tử của tập
S là
A. 3.

B. 1.

C. 6.

D. 2.

Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z − 6 + z + 6 = 20 . Gọi M , m lần lượt là modun lớn nhất và nhỏ nhất của

z . Giá trị của M − m bằng
A. 2.
B. 4.

C. 7 .

D. 14 .

Câu 45. Cho khối lập phương ABCD. ABC D . Gọi M là trung điểm cạnh BB . Biết khoảng cách từ A
2a
đến mặt phẳng ( MDA ) bằng

. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
3

a3
A.
.
3

2a 3
B.
.
3

C. 8a 3 .

D. a3 .

Câu 46. Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

A C bằng

a 15
. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  tính theo a bằng:
5

5


A.

3 3a3
.
8

B.

3a 3
.
2

C.

3a 3
.
8

D.

3a 3
.
4

Câu 47. Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao bằng 3a . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho diện tích tam giác SAB bằng 9a 2 , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) bằng
a . Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.

A.

219 a 3
.

8

B.

73 a 3
.
4

C.

73 a 3
.
24

D.

73 a 3
.
8

x −1 y +1 z + 2
=
=
và mặt phẳng
2
2
1
( P ) : x + 2 y + 2 z − 7 = 0 . Gọi I là giao điểm của d và ( P ) . Biết IM = 9 , khoảng cách từ điểm M thuộc d

Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

đến ( P ) bằng
B. 3 2 .

A. 15 .

C. 8.

D. 2 5 .

Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(8; −8;8) . Gọi M là điểm sao cho
MA = 3MO (Với O là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z + 19 = 0 đạt

giá trị nhỏ nhất là
A. 6 + 3 3 .

C. 6 − 3 3 .

B. 3 3 .

D. 6 .

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2; − 1) , mặt phẳng ( ) : x + 2 y − z + 3 = 0 và mặt cầu ( S ) :

( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 1) = 25 . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua M , vng góc với mặt phẳng ( ) đồng thời
cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm nào
2

2

sau đây?
A. A ( −3;1;7 ) .

2

C. C ( 5; 2;9 ) .

B. B (1;3;1) .

6

D. D (1; − 9; 2 ) .


ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ LẺ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
A. 720 .
B. 45 .
C. 120 .
D. 90 .
Lời giải: Số cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là C102 = 45 .

1
Câu 2. Cho cấp số nhân ( un ) có cơng bội dương và u2 = , u4 = 3 . Giá trị của u1 là
3
1
1
1
1

A. u1 = .
B. u1 = .
C. u1 = .
D. u1 = −
.
81
27
9
2
1

q = 3
u2 = u1.q =
3  q2 = 9  
Lời giải: Ta có: 
.
 q = −3 ( L )
u = u .q 3 = 3
 4
1
Với q = 3  u1.3 =

1
1
 u1 = .
3
9

Câu 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a . Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 15 .Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) .

A. 30 .

B. 60 .

C. 45 .
Lời giải

D. 90 .

S

A

D

B
C
Ta có hình chiếu vng góc của SC trên ( ABCD ) là AC

=> góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) là SCA .
Ta có AC = AB2 + AD2 = a 5 .
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có tan SCA =
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) là 60

SA a 15
=
= 3  SCA = 60 .
AC a 5

Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. y = x3 − 3x + 1 .

C. y = x4 − 3x 2 + 1 .

B. y = x3 − 3x − 1 .

D. y = − x 3 + 3 x 2 + 1 .

Lời giải: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a  0 và cắt Oy tại ( 0;1) .
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

7


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;3) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;+  ) .

 5
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;  .
 2
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;3) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;2 ) .

 5
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  2;  .

 2

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. (1;3) .

B. x = 0 .
C. x = 1 .
D. x = 3 .
Lời giải: Từ bảng biến thiên, ta có hàm số đã cho có điểm cực đại là x = 1 .

2x −1
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là:
3 − 2x
2
2
2
3
3
A. y = ; x = 1 .
B. y = −1; x = .
C. y = −1; x = .
D. y = ; x = .
3
3
3
2
2
2x −1
Lời giải: Ta có: lim

= −1  y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,
x →+ 3 − 2 x
2x −1
3
lim+
= −  x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3 3 − 2x
2
x→

Câu 7. Cho hàm số y =

2

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 8 trên đoạn  −2; 2 .
B. max y = 34 .

A. max y = 3 .

C. max y = 10 .

−2;2

−2;2

 −2;2

D. max y = 30 .
−2;2

 x = 1 ( −2; 2 )
Lời giải: Ta có y = 3x2 + 6 x − 9 ; y = 0  
.
 x = −3  ( −2; 2 )
Vì y ( −2 ) = 30 ; y (1) = 3 ; y ( 2 ) = 10 nên max y = 30 .
−2;2

Câu 9. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
có mấy điểm cực tiểu?
A. 4 .

và có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 2022 ) ( x 2 − 4 x + 4 ) . Hàm số f ( x )
C. 3 .

B. 2 .

D. 1 .
x = 0
2
Lời giải: Giải f  ( x ) = 0  x ( x + 2022 ) ( x − 4 x + 4 ) = 0   x = −2022 .
 x = 2

Bảng xét dấu:

8


Hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( −; + ) , có bảng biến thiên như hình vẽ:
x

y'

∞
+

y

1
0
2

3
0

+∞
+
+∞

4
∞
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2 f ( x ) + m = 0 có đúng 3 nghiệm

phân biệt?
A. 7 .

B. 11 .

D. 13 .
−m
Lời giải: Phương trình: 2 f ( x ) + m = 0  f ( x ) =

2
C. 8 .

−m
Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y =
tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi:
2

−m
−4 
 2  8  m  −4 .
2
+

Mà m 
Suy ra: m  1;2;3;4;5;6;7 .
Câu 11. Trên khoảng ( 0; +  ) , đạo hàm của hàm số y = log5 x là
A. y =

5
.
x

B. y =

Câu 12. Đạo hàm của hàm số là y
A. y = ex e +1 .

ln 5
.

x

1
.
x
Lời giải: Ta có y ' = ( log5 x ) =
C. y =

D. y =

1
.
x ln 5

D. y =

1 e+1
x .
e +1

1
x ln 5

x e trên tập số thực, là
1
C. y = x e−1 .
e
Lời giải: Ta có y = xe  = exe−1 .

B. y = ex e −1 .

( )

Câu 13. Nghiệm của phương trình 3x+6 = 27 là
A. x = 2.
B. x = 1.
C. x = −2.
x+6
x+6
3
Lời giải: Ta có: 3 = 27  3 = 3  x + 6 = 3  x = −3.
Câu 14. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log(3x + 2)  0 .

9

D. x = −3.


3

B. S =  −;  .
2


 2

A. S =  − ; +   .
 3


 1

C. S =  − ; +   .
 3

1
Lời giải: Ta có: log(3x + 2)  0  3x + 2  1  x  − .
3

2

D. S =  −;  .
3


Câu 15. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 4log2 ( a .b ) = 3a3 . Giá trị của ab 2 bằng
2

C. 3 .

B. 6 .

A. 12 .

(

Lời giải: Ta có 4log2 ( a .b ) = 3a3  a 2 .b
2

)

D. 2 .
2

= 3a3  ab 2 = 3 .

Câu 16. Tính tổng T tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 (10 x ) − 3log (100 x )  −5
C. T = 110 .
D. T = 55 .
Lời giải: Điều kiện: x  0 .
2
Bất phương trình đã cho tương đương với: ( log10 x ) − 3 ( log10 + log10 x )  −5
B. T = 45 .

A. T = 50 .

 ( log10 x ) − 3log10 x + 2  0
2

 1  log10 x  2
 1  x  10 .

x 
Do 
 x  1; 2;...;10 .

 x  1;10
10. (10 + 1)
Vậy T = 1 + 2 + 3 + ... + 10 =
= 55 .

2

Câu 17. Nếu

 f ( x ) dx = F ( x ) + C thì
1

A.

 f ( 2x + 1) dx = 2F ( 2x + 1) + C .

B.

 f ( 2 x + 1) dx = 2 F ( x ) + C .

C.

f ( 2 x + 1) dx = F ( 2 x + 1) + C .

D.

 f ( 2 x + 1) dx = 2 F ( 2 x + 1) + C .



Nếu



1

Lời giải
1
1
1
1
f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) =  f ( u ) d ( u ) = F (u ) + C = F ( 2 x + 1) + C
2
2
2
2

Câu 18. Họ các nguyên hàm của hàm số là f ( x) = x + sin x là

x2
+ cosx + C .
2

A.

B.

x2
− cosx + C .
2

2
C. x + cosx + C .

Lời giải: Ta có: F ( x ) =  ( x + sin x ) dx =

5

Câu 19. Cho
A. 32 .


2

f ( x )dx=10

2
D. x − cosx + C .

x2
− cos x + C
2

5

 2 + 3 f ( x )dx

. Khi đó 2
B. 36 .
Lời giải: Ta có

bằng
C. 42 .

D. 46 .

5

5

5

2

2

2

 2 + 3 f ( x )dx =  2.dx + 3 f ( x )dx = 6 +3.10 =36 .

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết các diện tích S1 =
I =  f ( x ) dx .
3

−1

10

7
45
và S2 =
. Tính tích phân
12
4

A. I =

32
.
3

B. I =

71
.
6

C. I = −

71
.
6

D. I = −
0

Lời giải: Dựa trên đồ thị hàm số ta có S1 =

32
.
3

7

 f ( x ) dx = 12 .

−1
3

S2 =  − f ( x ) dx =
0

3

45
45
  f ( x ) dx = − .
4
4
0

Do đó I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =
3

0

3

−1

−1

0

7 45

32
− =− .
12 4
3

Câu 21. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x − x 2 và trục hồnh. Tính thể tích V của vật
thể trịn xoay sinh ra khi cho ( H ) quay quanh trục Ox .
A. V =

3

81
.
10

V =   ( 3x − x

9
D. V =  .
2
x = 0
Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: 3x − x 2 = 0  
.
x = 3
B. V =

)

2 2

0

81
.
10

C. V =

9
.
2

3


3
x5 
dx =   ( 9 x − 6 x + x ) dx =   3x3 − x 4 + 
2
5 0

0
3

2

3

4

 3 3 4 35  81
=   3.3 − .3 +  =  .
2
5  10


Câu 22. Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm A ( −4; −2 ) . Số phức liên hợp của số phức z bằng
A. z = −4 − 2i .

D. z = −4 + 2i .

C. z = 4 + 2i .

B. z = 4 − 2i .

Lời giải: Số phức z được biểu diễn bởi điểm A ( −4; −2 ) là z = −4 − 2i . Do đó số phức liên hợp của số
phức z là z = −4 + 2i .
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z = 2i ( 4 + 3i ) . Phần ảo của số phức z bằng
A. 6 .

C. −8 .

B. 8 .

D. 10 .

Lời giải : Ta có: z = 2i ( 4 + 3i ) = −6 + 8i  z = −6 − 8i .
Vậy phần ảo của số phức z bằng −8 .
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + i = z + 2 . Tìm khẳng định đúng.
Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z

A. là đường thẳng 3x + y + 1 = 0 .
B. là đường thẳng 3x − y + 1 = 0 .
D. là đường thẳng 3x − y − 1 = 0 .

C. là đường thẳng 3x + y − 1 = 0 .

Lời giải: Giả sử số phức z có dạng: z = x + yi

11

( x, y  )


Ta có: z − 1 + i = z + 2  x + yi − 1 + i = x + yi + 2  ( x − 1) + ( y + 1) i = ( x + 2 ) + yi



( x − 1) + ( y + 1)
2

2

=

( x + 2)

2

+ y2

 ( x − 1) + ( y + 1) = ( x + 2 ) + y 2
2

2

2

 x2 − 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 = x2 + 4 x + 4 + y 2
 6 x − 2 y + 2 = 0  3x − y + 1 = 0
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 3x − y + 1 = 0 .
Câu 25. Hình đa diện đều nào sau đây có tất cả các mặt khơng phải là tam giác đều?
A. Tứ diện đều.
B. Hình hai mươi mặt đều.
C. Hình mười hai mặt đều.
D. Bát diện đều.
Lời giải: Hình mười hai mặt đều có tất cả các mặt là ngũ giác đều.
Câu 26. Một khối chóp có thể tích là 30a3 và diện tích mặt đáy là 15a 2 . Chiều cao của khối chóp đó bằng
A. 3a .
B. 2a .
C. 9a .
D. 6a .

1
3V 3.30a 3
=
= 6a.
Lời giải: V = S .h  h =
3
S
15a 2

Câu 27. Diện tích tồn phần ( Stp ) của một hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a , bán kính r = a bằng
2
A. Stp =  a .

2
B. Stp = 4 a .

2
C. Stp = 6 a .

2
D. Stp = 8 a .

2
2
2
2
Lời giải: Ta có diện tích tồn phần hình trụ: Stp = 2 rl + 2 r = 4 a + 2 a = 6 a .

Câu 28. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 8 ( cm2 ) và bán kính đáy 2 ( cm ) . Thể tích khối nón
là
A. V =

5 3
cm3 ) .
(
3

2 3
cm3 ) .

(
3

4 3
cm3 ) .
(
3
S xq 8
=
= 4.
Lời giải: Ta có: S xq =  rl  l =
 r  .2

B. V =

C. V =

D. V =

8 3
cm3 ) .
(
3

h = l 2 − r 2 = 42 − 22 = 2 3 .
1
8 3
Nên Vnón = .2 3.4 =
.
3

3
Câu 29. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình là x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 4 z − 3 = 0 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I và bán kính R là
A. I ( 2; 2; 4 ) và R = 3 .

C. I (1;1; 2 ) và R = 3 .

B. I ( 2; 2; 4 ) và R = 4 .

D. I (1;1; 2 ) và R = 4 .

Lời giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1; 2 ) và bán kính R = 12 + 12 + 22 − ( −3) = 3 .
Câu 30. Trong không gian, gọi A là điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R . Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. IA  R .

C. IA  R .

B. IA = R 2 .
12

D. IA = R .


Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; − 2;3) và có
→

véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − 3) là
A. 2 x + y − 3z − 9 = 0.

C. x − 2 y + 3z − 13 = 0.

B. 2 x + y − 3z + 9 = 0.

D. 2 x + y − 3z − 13 = 0.
→

Lời giải: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; − 2;3) và có véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − 3) là

2. ( x − 1) + 1. ( y + 2 ) − 3. ( z − 3) = 0  2 x + y − 3z + 9 = 0.
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng  đi qua hai điểm A (1; −2; 2 ) và B ( 3;1;1) ?

x−3
=
4
x −1
=
D.
3
Lời giải

x −1 y + 2 z − 2
=
=
.
2
3
−1
x +1 y − 2 z + 2

=
=
C.
.
2
3
−1
A.

B.

y −1 z −1
=
.
−1
3
y+2 z−2
=
.
1
1

Đường thẳng  đi qua hai điểm A và B nên có một vectơ chỉ phương AB = ( 2;3; −1) .
Vậy phương trình chính tắc của  là:

x −1 y + 2 z − 2
=
=
.
2

3
−1

Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 và đường thẳng

x +1 y − 3 z −1
=
=
. Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) và vng
7
−5
1
góc đường thẳng d là
 x = −2 + 2t
 x = −2 + 2t
 x = −2 − 2t
 x = 2 − 2t




A.  y = 1 + 3t .
B.  y = 1 − 3t .
C.  y = −1 − 3t .
D.  y = 1 + 3t .
 y = −3 + t
 y = −3 + 1t
 y = −3 + t
 z = −3 − t





d:

Lời giải
Vectơ chỉ phương của d là ud = ( 7; −5;1) .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là n( P ) = ( 2; −3;5) .
Đường thẳng  song song với mặt phẳng ( P ) nên u ⊥ n( P ) .
Đường thẳng  vng góc với đường thẳng d nên u ⊥ nd .
Suy ra: u =  n( P ) , ud  = ( 22;33;11) .
Đường thẳng  đi qua A nhận u = ( 2;3;1) làm vectơ chỉ phương.
 x = −2 + 2t

Từ đó suy ra  :  y = 1 + 3t .
 z = −3 + t


Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( −1;3; −2 ) và đường thẳng d có phương trình

x = 2 + t

 :  y = 3 − 2t . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  .
z = 1+ t

A. 2 .

B. 2 2 .

C. 3 .

Lời giải
13

D. 2 3 .


Gọi H là hình chiếu vng góc của M xuống đường thẳng   MH = d ( M ;  ) .
Vì H   nên H có toạ độ là H ( 2 + t ;3 − 2t ;1 + t ) .
Ta có MH = ( 3 + t; −2t;3 + t ) .
Vì MH ⊥  nên MH ⊥ ud  MH .ud = 0  ( 3 + t ) − 2 ( −2t ) + ( 3 + t ) = 0  6t + 6 = 0  t = −1.
Suy ra MH = ( 2; 2; 2 )  d ( M ;  ) = MH = 22 + 22 + 22 = 2 3.
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi
lấy được có đủ ba màu bằng
136
106
185
310
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
429
273
273
231

Lời giải
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là n (  ) = C155 = 3003 .
Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ”
Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có khơng đủ 3 màu ”
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng có C65 = 6 cách.
+ Chỉ có xanh và đỏ có C44 .C51 + C43 .C52 + C42 .C53 + C41C54 = 125 .
+ Chỉ có xanh và vàng có C44 .C61 + C43 .C62 + C42 .C63 + C41C64 = 246 .
+ Chỉ có đỏ và vàng có C54 .C61 + C53 .C62 + C52 .C63 + C51C64 = 455 .

( )

( )

Vậy n A = 833  n (  ) − n A = 2170  p ( A ) =

n ( A)

n ()

=

310
.
429

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh bằng a . Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SCD )
bằng

A.

21a
.
14

B.

21a
.
7

C.

21a
.
3

D.

a 21
.
6

Lời giải

O

Gọi H là trung điểm của AB . Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH ⊥ AB và SH =
Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ CD (1)

14

3a
.
2


Ta có HO  ( SCD ) = M là trung điểm của CD . Suy ra d ( O, ( SCD) ) =
Có: HM = a và HM ⊥ CD (2).
Từ (1) và (2) suy ra CD ⊥ ( SMH ) nên ( SCD ) ⊥ ( SHM ) .

1
d ( H , ( SCD) ) .
2

Trong ( SHM ) , kẻ HK ⊥ SM , suy ra HK ⊥ ( SCD ) .
Từ đó suy ra HK = d ( H , ( SCD) ) .
Trong tam giác SHM vng tại H có HK là đường cao, ta có:
21a
HK
21a
1
1
1
4
1
7
.
=

+
= 2 + 2 = 2  HK =
 d ( O, (SCD) ) =
=
2
2
2
HK
HS
HM
3a a
3a
7
2
14
21a
Vậy, d ( O, ( SCD) ) =
.
14
Câu 37. Cho hàm số f  ( x ) = ( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + 3) với mọi x 
2

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của

m để hàm số y = f ( x 2 − 10 x + m + 9 ) có 5 điểm cực trị?
A. 18 .

B. 16 .

C. 17 .

Lời giải

D. 15 .

x = 2
Ta có f  ( x ) = 0   x = 1 , x = 2 là nghiệm kép nên khi qua giá trị x = 2 thì f  ( x )
 x = 3
không bị đổi dấu.
Đặt g ( x ) = f ( x 2 − 10 x + m + 9 ) khi đó g ' ( x ) = f  ( u ) . ( 2 x − 10 ) với u = x 2 − 10 x + m + 9 .
x = 5
 2 x − 10 = 0
 2
 2
2
2
( x − 10 x + m + 9 − 2 ) = 0
( x − 10 x + m + 9 − 2 ) = 0

Nên g  ( x ) = 0  
2
2
 x − 10 x + m + 8 = 0 (1)
 x − 10 x + m + 9 = 1
 2
 2
 x − 10 x + m + 9 = 3
 x − 10 x + m + 6 = 0 ( 2 )
Hàm số y = f ( x 2 − 10 x + m + 9 ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi g  ( x ) đổi dấu 5 lần
Hay phương trình (1) và phương trình ( 2 ) phải có hai nghiệm phân biệt khác 5

1'  0
 '
 2  0

, (Với h ( x ) = x 2 − 10 x + m + 8 và p ( x ) = x 2 − 10 x + m + 6 ).
h ( 5)  0
 p ( 5)  0

17 − m  0
19 − m  0


 m  17 .
−
17
+
m

0

−19 + m  0
Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  −2022; 2023 để hàm số

y = 3x 4 − 8x3 − 18x 2 + m nghịch biến trên khoảng ( 3; 4 ) ?
A. 2044 .

B. 2055 .

C. 2024 .

Lời giải

15

D. 2032 .


f ( x ) = 3x 4 − 8 x 3 − 18 x 2 + m

f ' ( x ) = 12 x3 − 24 x 2 − 36 x = 12 x ( x 2 − 2 x − 3)

x = 0
f ' ( x ) = 0   x = −1
 x = 3
Bảng biến thiên của f ( x )

Để hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( 3; 4 ) thì f ( 4 ) = m − 32  0  m  32
m 
Do 



m   −2022; 2023

 m  −2022; ...; − 1; 0;1; 2;..;32

Câu 39. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình log 2 ( log 4 x ) .log 4 ( log 2 x ) = 3 . Giá trị log 2 x1 .log 2 x2
bằng
A. −6

B. 2

C. 1
Lời giải
1
 1
Ta có log 2 ( log 4 x ) .log 4 ( log 2 x ) = 3  log 2  log 2 x  . log 2 ( log 2 x ) = 3
2
 2

D.

4

233

t = 3
1
 log 2 ( log 2 x ) − 1 . log 2 ( log 2 x ) = 3 . Đặt t = log 2 ( log 2 x ) thì ( t − 1) t = 6  
2
t = −2

+ t = 3  log 2 ( log 2 x1 ) = 3  log 2 x1 = 8

+ t = −2  log 2 ( log 2 x2 ) = −2  log 2 x2 =

1
. Vậy log 2 x1 .log 2 x2 = 2 .
4

Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn

(

)

(

)

(

)

log 4 9 x 2 + 16 y 2 + 112 y + log3 9 x 2 + 16 y 2  log 4 y + log 3 684 x 2 + 1216 y 2 + 720 y ?
B. 56 .

A. 48 .

C. 64 .
Lời giải

D. 76 .

Điều kiện: y  0 .

(

)

(

)

(
+ 720 y ) − log (9 x

Ta có: log 4 9 x 2 + 16 y 2 + 112 y + log3 9 x 2 + 16 y 2  log 4 y + log 3 684 x2 + 1216 y 2 + 720 y

(

)

(

 log 4 9 x 2 + 16 y 2 + 112 y − log 4 y  log3 684 x 2 + 1216 y 2

 9 x 2 + 16 y 2 + 112 y 
 684 x 2 + 1216 y 2 + 720 y 
 log 4 
  log3 

y
9 x 2 + 16 y 2




2
2

 9 x + 16 y

 720 y

 log 4 
+ 112   log3  2
+
76

2
y
 9 x + 16 y



 9 x 2 + 16 y 2

 720 y

 log 4 
+ 112  − log3  2
+ 76   0
2
y
 9 x + 16 y



16

3

2

+ 16 y 2

)

)


Đặt: t =

9 x 2 + 16 y 2
(t  0)
y

 720

Bất phương trình trở thành: log 4 (t + 112) − log3 
+ 76   0 (1).
 t

 720

Xét hàm số f (t ) = log 4 (t + 112) − log3 
+ 76 
 t

có f (t ) =

1
720
+
 0, t  0 .
2
(t + 112) ln 4 76t + 720t ln 3

(

)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; +) .

 720

Mà f (144) = log 4 (144 + 112) − log3 
+ 76  = 0
 144

Từ đó (1)  f (t )  f (144)  t  144 

9 x 2 + 16 y 2
−16 y 2 + 144 y
(vì y  0 )
 144  x 2 
y
9

Điều kiện: −16 y 2 + 144 y  0  0  y  9

Đếm các cặp giá trị nguyên của ( x; y)
Với y = 1 hay y = 8  x 2 

128
8 2
8 2
−
x
 x {3; 2; 1;0} nên có 14 cặp.
9
3
3

Với y = 2 hay y = 7  x 2 

224
4 14
4 14
−
x
 x {4; 3; 2; 1;0} nên có 18 cặp.
9
3
3

Với y = 3 hay y = 6  x 2  32  −4 2  x  4 2  x {5; 4; 3; 2; 1;0} nên có 22 cặp.

320
8 5
8 5

−
x
 x {5; 4; 3; 2; 1;0} nên có 22 cặp.
9
3
3
Vậy có 76 cặp giá trị nguyên ( x; y) thỏa mãn đề bài.
Với y = 4 hay y = 5  x 2 

Câu 41. Xét hàm số f ( x ) liên tục trên R , thỏa mãn điều kiện ( x + 2 ) . f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x và
f ( 0) =

1
. Tính f ( 2 )
2

e
A. f ( 2 ) = .
3
Ta

có:

B. f ( 2 ) =

e
.
6

C. f ( 2 ) =

Lời giải
( x + 2 ) . f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x

e2
.
3

1
e2
Với x = 2  e 2 ( 2 + 1) f ( 2 ) = e 2.2 + 0  f ( 2 ) = .
2
6

17

e2
.
6

 ( x + 1) f ( x ) + f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x

 ( x + 1) f ( x ) + ( x + 1) f ( x )  = e x  e x ( x + 1) f ( x ) + e x ( x + 1) f ( x )  = e 2 x
1
 e x ( x + 1) f ( x )  = e2 x  e x ( x + 1) f ( x ) = e2 x + C .
2
1
f ( 0)=
1
2

C =0.
Với x = 0  e0 ( 0 + 1) f ( 0 ) = e 2.0 + C ⎯⎯⎯→
2

D. f ( 2 ) =


Câu 42. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  0;1 thỏa mãn

f '( x) − 2 f ( x). f '( x) + 2 x. f '( x) + ( x + 1) 2 . f ''( x) = 0, x  [0;1],
1

a

  f ( x ) dx = b ( a, b là các số nguyên dương và
2

0

A. 181 .

B. 25 .

1
1
f '   = f   = 1. Biết tích phân
2
 2

a

là phân số tối giản), giá trị của a + b bằng
b

C. 10 .
Lời giải

D. 26 .

f ( x) − 2 f ( x) f  ( x) + 2 x. f  ( x) + ( x + 1) 2  f  ( x) = 0
 f  ( x) + f  ( x) + 2 xf  ( x) + ( x + 1) 2  f  ( x) = 2 f ( x) f  ( x) + f  ( x)
 (2 x + 2) f  ( x) + ( x + 1) 2  f  ( x) = 2 f ( x) f  ( x) + f  ( x)


 (2 x + 2) f  ( x) + ( x + 1)2  f  ( x) = 2 f ( x) f  ( x) + f  ( x)  ( x + 1)2  f  ( x)  = [2 f ( x) + 1] f  ( x)
 ( x + 1)2  f  ( x) = f 2 ( x) + f ( x) + C1 .

Theo

giả
f  ( x)



f 2 ( x) + f ( x) +

Do đó



1

9
1
1
1
f    = f   = 1  = 2 + C1  C1 =  ( x + 1)2  f  ( x) = f 2 ( x) + f ( x) +
4
4
4
2
2

thiết:

1
4

=

1
( f ( x)  0) .
( x + 1) 2

f  ( x)dx

1
 f ( x) + 
2

Theo giả thiết:

2

=

1
−1
−1
dx 
=
+ C2
2
1 ( x + 1)
( x + 1)
f ( x) +
2
2

2

1
1
1
13
1
1
 1
f   = f   = 1  C2 = 0 
=
 f ( x ) = x +    f ( x )  dx =   x +  dx =
1 ( x + 1)

2
2
12
2
2
0
0
f ( x) +
2
a = 13

 a + b = 25
b = 12
1



1

Câu 43. Trong tập số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m − 1) z + 2m − 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của m để PT có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 . Số phần tử của tập
S là
A. 3.

B. 1.

C. 6.
Lời giải
2
Xét phương trình z − 2 ( m − 1) z + 2m − 2 = 0 , ta có:

 =  − ( m − 1)  − 1. ( 2m − 2 ) = m2 − 4m + 3 .
2

m  3
TH1:   0  m2 − 4m + 3  0  
.
m 1
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt z1 , z2 .
 z + z = 2 ( m − 1)
Theo định lí Vi-et ta có:  1 2
.
 z1 z2 = 2m − 2
Theo đề bài ta có: z1 = z2  z1 = − z2

 z1 + z2 = 0
18

D. 2.


 2 ( m − 1) = 0
 m = 1.
TH2:   0  1  m  3

Phương trình ln có hai nghiệm phức z1 , z2 ln thỏa mãn z1 = z2 .
Do đó S = 2 .
Vậy tổng các phần tử của tập S là 1.
Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z − 6 + z + 6 = 20 . Gọi M , m lần lượt là modun lớn nhất và nhỏ nhất của

z . Giá trị của M − m bằng

A. 2.
B. 4.

C. 7 .
Lời giải:
Gọi z = x + yi ( x; y  ) . Theo giả thiết, ta có: z − 6 + z + 6 = 20

 x − 6 + yi + x + 6 + yi = 20 

( x − 6)

2

+ y2 +

( x + 6)

2

D. 14 .

+ y 2 = 20 (*)

Gọi M ( x; y ) , F1 ( 6;0 ) và F2 ( −6;0 )
Khi đó (*)  MF1 + MF2 = 20  F1.F2 = 12 nên tập hợp các điểm M là đường elip ( E ) có hai tiêu điểm F1
và F2 , và độ dài trục lớn bằng 20
ta có c = 6; 2a = 20  a = 10 và b2 = a 2 − c 2 = 64  b = 8

x2 y 2
+

=1
100 64
Suy ra max z = OA = OA = 10 khi z = 10 và min z = OB = OB = 8 khi z = 8i
Do đó, phương trình chính tắc của ( E ) là

Vậy M − m = 2
* Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa để nhận dạng được phương trình elip
Câu 45. Cho khối lập phương ABCD. ABC D . Gọi M là trung điểm cạnh BB . Biết khoảng cách từ A
2a
đến mặt phẳng ( MDA ) bằng
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
3

a3
A.
.
3

2a 3
B.
.
3

C. 8a 3 .
Lời giải

19

D. a3 .

Gọi độ dài cạnh lập phương là x

( x  0) .

Gọi I = AB  AM , do M là trung điểm của BB và

BB // AA nên B là trung điểm của AI , suy ra AI = 2 x .

Ta có d ( A, ( ADM ) ) = d ( A, ( ADI ) ) = AH , với AH ⊥ IK tại H , AD ⊥ IK tại K .
Vì tứ diện AADI có AA , AD , AI đơi một vng góc nên AH ⊥ ( ADI ) .
Xét hai tam giác vuông AKI , AAD có đường cao lần lượt là AH , AK , khi đó
1
1
1
1
1
1
9
9
=
+ 2 =
+
+ 2 = 2 = 2 x=a.
2
2
2
2
AH
AK

AI
AA
AD
AI
4x
4a
Vậy VABCD. ABC D = a3 .
Câu 46. Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

A C bằng
A.

a 15
. Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC  tính theo a bằng:
5

3 3a3
.
8

B.

3a 3
.
2

3a 3
.
8
Lời giải

C.

Ta có AB / / AB  AB / / ( ABC )  d( AB , AC ) = d( AB ,( ABC )) = d( B ,( ABC )) =

D.

a 15
5

Đặt AA = x  0 .
Tam giác CAB cân tại C , CA = CB = a 2 + x 2 .
Diện tích tam giác CAB là

1
1
a2 1
3a 2 + 4 x 2 1
SCAB = CH . AB = .a. a 2 + x 2 −
= a.
= a 3a 2 + 4 x 2
2
2
4 2
4
4
Thể tích lăng trụ V = x.

a2 3
4

(1)

1
a 15 1
. a. 3a 2 + 4 x 2 .
Lại có V = 3VB. ABC = 3. d( B ,( ABC )) .S ABC =
3
5 4
a 2 3 a 15 1
=
. a. 3a 2 + 4 x 2  5 x 3 = 15. 3a 2 + 4 x 2  x = a 3 .
Do đó x.
4
5 4
a2 3
3a 3
V = x.
=
.
4
4
20

3a 3
.
4


Câu 47. Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao bằng 3a . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường trịn đáy sao
cho diện

tích tam giác SAB bằng 9a 2 , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) bằng a .
Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.
A.

219 a 3
.
8

B.

73 a 3
.
24
Lời giải

73 a 3
.
4

C.

D.

73 a 3
.
8

Gọi O , R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón.
Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của O lên AB , SK .
AB ⊥ OK 

  AB ⊥ ( SOK ) . Suy ra AB ⊥ OH .
AB ⊥ SO 
OH ⊥ SK 
  OH ⊥ ( SAB ) . Suy ra khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng OH .
OH ⊥ AB 
1
1
1
1
1
1
1
1
8
=
+
=
−
= 2−
= 2 
Trong tam giác vng SOK có

2
2
2
2
2
2
2
OK

OH
SO
a ( 3a )
9a
OH
SO OK

OK =

3a 2
.
4
2

 3a 2  81a 2
9a 2
.
 SK =
SK = SO + OK = ( 3a ) + 
 =
4
8
 4 
Tam giác cân SAB có
2

SSAB =

2

2

2

1
2.SSAB 2.9a 2
SK . AB  AB =
=
= 4a 2 .
2
SK
9a 2
4

Suy ra BK = 2a 2 .
2

 3a 2 
Trong tam giác vng OBK có OB = OK + BK = 
 4  + 2a 2


2

2

(

)

2

=

a 146
.
4

2

1
1  a 146 
73 a3
Thể tích khối nón bằng V =  r 2 h =  . 
.
 .3a =
3
3  4 
8

x −1 y +1 z + 2
=
=
và mặt phẳng
2
2
1
( P ) : x + 2 y + 2 z − 7 = 0 . Gọi I là giao điểm của d và ( P ) . Biết IM = 9 , khoảng cách từ điểm M thuộc d

Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

đến ( P ) bằng
A. 15 .

B. 3 2 .

C. 8.
21

D. 2 5 .


Lời giải
Từ giả thiết suy ra đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u = ( 2; 2;1) , mặt phẳng ( P ) có véc tơ pháp
tuyến là n = (1; 2; 2 ) .
Gọi  là góc giữa d và ( P )  sin  =
Mà sin  =

d ( M , ( P ))
IM

u.n

=

u.n

8 8
=
3.3 9

 d ( M , ( P )) = 8 .

Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(8; −8;8) . Gọi M là điểm sao cho
MA = 3MO (Với O là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y + z + 19 = 0 đạt

giá trị nhỏ nhất là
A. 6 + 3 3 .

C. 6 − 3 3 .
Lời giải

B. 3 3 .

D. 6 .

Gọi M ( x; y; z ) . Khi đó MA = 3MO

 ( x − 8) + ( y + 8) + ( z − 8) = 9 ( x 2 + y 2 + z 2 )  x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y + 2 z − 24 = 0
2

2

2

Suy ra tập hợp các điểm M thỏa MA = 3MO là mặt cầu ( S ) tâm I ( −1;1; −1) và bán kính R = 3 3.
Vì d ( I , ( P ) ) = 6  R nên ( P ) khơng cắt ( S ) .
Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ nhất là

d min = d ( I , ( P ) ) − R = 6 − 3 3.

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm

M (1; 2; − 1)

, mặt phẳng

( ) : x + 2 y − z + 3 = 0

và mặt cầu

(S ) :

( ) đồng thời
là mặt phẳng đi qua M , vng góc với mặt phẳng
( S ) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm nào
cắt mặt cầu
sau đây?
A. A ( −3;1;7 ) .
B. B (1;3;1) .
C. C ( 5; 2;9 ) .
D. D (1; − 9; 2 ) .
( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 1)
2

2

2

= 25

. Gọi

( P)



Lời giải: Gọi VTPT của mặt phẳng ( P ) là n = ( A ; B ; C ) với A2 + B 2 + C 2  0 .

( P ) đi qua điểm M (1; 2; − 1) nên phương trình của ( P ) là
A ( x − 1) + B ( y − 2 ) + C ( z + 1) = 0  Ax + By + Cz − A − 2 B + C = 0
Do ( P ) ⊥ ( ) nên nP .n = 0  A + 2 B − C = 0  C = A + 2 B .
Mặt cầu ( S ) có tâm là I (1; − 2;1) và bán kính R = 5

( P)

cắt ( S ) theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi d ( I , ( P ) ) lớn nhất.

Ta có d ( I , ( P ) ) =

A − 2B + C − A − 2B + C
A2 + B 2 + C 2

=

2C − 4 B
A2 + B 2 + ( A + 2 B )

2

=

2A
2 A2 + 5B 2 + 4 AB

* A = 0 : d ( I , ( P )) = 0 .
* A  0 : d ( I , ( P )) =

2
2

B
B
2 + 5  + 4
A
 A

=

2
2

B
B
5  + 4 + 2
A
 A
22

=

2
2

 B 2 6
5 +  +
 A 5 5



30
3

.


Dấu bằng xảy ra khi
Vậy max d ( I , ( P ) ) =

B
2
=− .
A
5
B
2
30
khi = − .
A
5
3

Chọn B = −2, A = 5  C = 1  Phương trình ( P ) là: 5 x − 2 y + z = 0 .
Thay tọa độ các điểm A, B, C , D vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy mặt phẳng ( P ) đi qua điểm

B (1;3;1) .

23