Kỹ Thuật điều khiển số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (222.83 KB, 32 trang )

Ý NGHĨA CỦA ĐiỀU KHIỂN SỐ
•
Điều khiển chủ yếu là dùng thiết bị số (máy tính, vi xử lý, PLC)

Ý NGHĨA CỦA ĐIỀU KHIỂN SỐ
•
Các hệ thống điều khiển phân bố, nối mạng

MÔ HÌNH HỆ KHÔNG LIÊN TUC
(Hệ thời gian rời rạc-discrete time system)
Tín hiệu rời rạc
Khi hệ thống điều khiển có sự tham gia của máy tính thì tín hiệu được máy
tính xử lý là tín hiệu số, kết quả của chuyển đổi tín hiệu liên tục u(t) thành tín
hiệu rời rạc u
*
(t) bởi chuyển đổi ADC thông qua khóa lấy mẫu chu kỳ T
s
và
lượng tử hóa.
Tín hiệu rời rạc này chuyển đổi bởi mạch cài và DAC, gọi chung là mạch giữ
bậc 0 (zero order hold), trở thành tín hiệu liên tục u
h
(t)

CHU KỲ LẤY MẪU
•
Chọn chu kỳ lấy mẫu T
s
<π/ω
m

, ω
m
là khổ sóng tối đa của
tín hiệu được lấy mẫu
•
Thực tế chọn T
s
nhỏ hơn giá trị π/ω
m
chừng 10

lần do tín
hiệu thực sự thường có khổ sóng không giới hạn
•
Tín hiệu cần thiết thường có xen lẫn nhiễu tần số cao do đó
cần phải có bộ lọc làm suy giảm thành phần tần số cao này,
nếu không sẽ gây ra aliasing (frequency folding)

BI N Ñ I ZẾ Ổ
u
*
(t) = u(t
k
) ở các thời điểm t
k
=kT
s
, ngoài ra u
*
(t) =0

)kTδ(tu(kTs))kTδ(tu(t)(t)u
s
0k0k
s
*
−
∑
=
∑
−=
∞
=
∞
=
δ là hàm xung Dirac
L y bi n đñ i Laplace hai vấ ế ổ ế
∑
=
∑
∫
−
∑
∫
=−=
∞
=
−
∞
=
∞

−
∞
=
∞
−
0
0
0
0
0
*
)(
)()()()()(
k
skT
s
k
st
ss
k
st
ss
s
ekTu
ekTtkTuekTtkTusU
δδ
Đặ
t
zeukTu
s

sT
ks
==
−
,)(
)()(,)(,
*
zUsUukTuez
ks
sT
s
===
−
∑
=
∞
=
−
0
)(
k
k
k
zuzU

BIẾN ĐỔỈ Z
Bi n ñ i Z c a xế ổ ủ
k-m
(tr m chu k ) ễ ỳ là z
-m

X(z)
Bi n ñ i Z c a xế ổ ủ
k+m
là






−
∑
=
−
m
i
i
i
m
zxzXz
0
)(
Bi n ñ i Z c a aế ổ ủ
k
x
k
là X(z/a)
Gi i h n ñ u: x(0) = lim X(z) z -> ớ ạ ầ ∞
Gi i h n cu i: x(ớ ạ ố ∞) = lim(z-1)X(z), z  1
Bi n ñ i c a ế ổ ủ là X(z).z/(z-1)

∑
=
k
i
i
x
0
Bi n ñ i ế ổ

kx
k
là

-z dX(z)/dz

Biến đổi z
Ví dụ: biến đổi z của tín hiệu nấc lấy mẫu
n
k
k
zzzzzX
−−−
∞
=
−
++++=
∑
= 1)(
21
0

Nhân z với hai vế rồi trừ với biểu thức cũ
1
)(
)()1(
−
=
=−
z
z
zX
zzXz
Ví dụ: biến đổi Z của a
k
x
k

là
)()(
00
a
z
X
a
z
xzxa
k
k
k
k

k
k
k
==
−
∞
=
∞
=
−
∑∑
Ví dụ: biến đổi Z của e
-kT
là biến đổi của 1.(e
-T
)
k

T
T
T
ez
z
e
z
e
z
zX
−
−

−
−
=
−
=
1
)(
Ví dụ: dùng Matlab
>> syms t z ; ztrans (t)
ans =
z/(z-1)^2

BẢNG BIẾN ĐỔI Z
Laplace Z Hàm thời gian
1 1 Xung Dirac
Hàm nấc
t
e
-at
te
-at
s
1
1−z
z
2
1
s
2
)1( −z

Tz
as +
1
aT
ez
z
−
−
2
)(
1
as +
2
)(
aT
aT
ez
zTe
−
−
−

BẢNG BIẾN ĐỔI Z
Laplace Z Hàm thời gian
22
)( bas
b
++
aTaT
aT

ezbTez
zbTe
22
)cos2(
)sin(
−−
−
+−
bte
at
sin
−
22
)( bas
as
++
+
aTaT
aT
ezbTez
zbTez
22
2
)cos2(
)cos(
−−
−
+−
−
bte

at
cos
−
)( ass
a
+
))(1(
)1(
aT
aT
ezz
ze
−
−
−−
−
at
e
−
−1
))(( asbs
ab
++
−
btat
ee
−−
−
bTaT
ez

z
ez
z
−−
−
−
−

Hàm truyền z hệ rời rạc
Hệ rời rạc biểu thị bằng phương trình sai phân
c(k+n)+a
n-1
c(k+n-1)+…+a
1
c(k+1)+a
0
c(k)=
b
m
r(k+m)+b
m-1
r(k+m-1)+ +b
1
r(k+1)+b
0
r(k)
L y bi n đ i Z hai v , gi s s ki n b ng 0ấ ế ổ ế ả ử ơ ệ ằ
z
n
C(z) + a

n-1
z
n-1
C(z) + + a
1
zC(z) = b
m
z
m
R(z) + b
m-1
z
m-1
R(z) +
+ b
1
zR(z) + b
0
R(z)
Hàm truyền Z:
01
1
1
1
1
01
1
1

)(
)(
)(
azazazaz
bzbzbzb
zR
zC
zG
n
n
n
n
n
m
m
m
m
+++++
++++
==
−
−
−
−
−
−

Phương trình trạng thái hệ rời rạc
Phương trình trạng thái hệ rời rạc
Từ hàm truyền hệ rời rạc ta có thể viết phương trình

trạng thái dưới dạng sau
x(k+1) = Fx(k) + Gr(k)
y(k) = Cx(k) + Dr(k)
Các ma trận được tạo ra giống như hệ liên tục
Ví dụ:
254
713124
)2()1(
713124
)(
23
23
2
23
−+−
−+−
=
−−
−+−
=
zzz
zzz
zz
zzz
zG

MÔ HÌNH HỆ KHÔNG LIÊN TUC
(Hệ thời gian rời rạc-discrete time system)
Phương trình trạng thái hệ rời rạc, ví dụ
Dạng first companion

[ ]
)(4
)(
)(
)(
471)(
)(
1
0
0
)(
)(
)(
452
100
010
)1(
)1(
)1(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ku
kx

kx
kx
ky
ku
kx
kx
kx
kx
kx
kx
+










−=











+




















−
=











+
+
+
Dạng Jordan
2
3
1
1
)1(
2
4)(
2
−
+
−
+
−
+=
zzz
zG
[ ]
)(4
)(
)(
)(

312)(
)(
1
1
0
)(
)(
)(
200
010
011
)1(
)1(
)1(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
ku
kx
kx
kx
ky
ku
kx

kx
kx
kx
kx
kx
+










=










+





















=










+

+
+

Ví dụ MATLAB
>> htz = tf ([4 -12 13 -7] ,conv ([1 -2], conv ([1 -1], [1 -1])))
Transfer function:
4 z^3 - 12 z^2 + 13 z - 7

z^3 - 4 z^2 + 5 z - 2
Sampling time:
unspecified
>> ptttz = canon (htz, 'companion')
a =
x1 x2 x3
x1 0 0 2
x2 1 0 -5
x3 0 1 4
b =
u1
x1 1
x2 0
x3 0
c =
x1 x2 x3
y1 4 9 17
d =
u1
y1 4
Sampling time:
unspecified

Discrete-time model.

Hàm truyền Z từ phương trình trạng thái
Tương tự như với hệ liên tục, hàm truyền Z tính theo công thức
X(z) = (zI-F)
-1
zx
0
+ (zI-F)
-1
gU(z)
Y(z) = c (zI-F)
-1
zx
0
+ [c (zI-F)
-1
g+d]U(z)

N u xế
0
= 0
dgFzIc
zU
zY
zG +−==
−1
)(
)(
)(

)(
Tính x(k) và y(k)
Từ phương trình trạng thái x(k+1) = Fx(k) + gu(k)
Ta suy ra x(1) = Fx(0) + gu(0) ; x(2)=Fx(1)+gu(1)…
∑
−
=
−−
+=
1
0
1
)()0()(
k
i
ikk
iguFxFkx

Đáp ứng hệ thống
t Đặ φ(k) = F
k
,

φ(0) = I , φ(k) gọi là ma trận chuyển trạng thái
∑
−
=
−−+=
1
0

)()1()0()()(
k
i
iguikxkkx
φφ
Tính φ(k)
Dùng Z đảo
φ(k)= Z
-1
[(zI-F)
-1
z]
Ví dụ:






−−
=
116.0
10
F
1
1
116.0
1
)(
−

−






+
−
=−
z
z
FzI

Tính đáp ứng dùng Z đảo










+
+
+
−
+

+
+
−
+
−
++
−
+
=












++++
−
++++
+
=
8.0
3/4
2.0
3/1

8.0
3/8.0
2.0
3/8.0
8.0
3/5
2.0
3/5
8.0
3/1
2.0
3/4
)8.0)(2.0()8.0)(2.0(
16.0
)8.0)(2.0(
1
)8.0)(2.0(
1
zzzz
zzzz
zz
z
zz
zzzz
z











−+−
−
−+−
−
−−−−−−
=
kkkk
kkkk
k
)8.0(
3
4
)2.0(
3
1
)8.0(
3
8.0
)2.0(
3
8.0
)8.0(
3
5
)2.0(

3
5
)8.0(
3
1
)2.0(
3
4
)(
φ

Tính đáp ứng dùng Z đảo
Cho g = [1 1]
T
,c=[1 0], x
0
= [1 –1]
T
, u(t)=1(t),

ta tính đ cượ
18
25
)8.0(
9
22
)2.0(
6
17
)( +−+−−=

kk
ky
Dùng công thức
1;
1
1
1
0
≠
−
−
=
+
=
∑
a
a
a
a
k
k
j
j
Dùng MATLAB
>> t=0:0.1:10;
>> u=ones(size(t));
>> F=[0 1;-0.16 -1];
>> g=[1;1];
>> c=[1 0];
>> d=0;rr=ss(F,g,c,d,0.1);

>> [y,x]=lsim(rr,u,t,x0);
>> stairs(t,y)

Tính F
k
dùng định lý Cayley Hamilton
FIF
F
k
10
21
1
21
10
ββ
λλ
+=
−==






−−
=
Các hệ số tính từ phương trình
1
1
10

βλ
λββλ
=
+=
−k
k
k
Suy ra






+
−−
−=
−−=
−−=
kk
kk
F
k
k
kk
k
k
1
)1(
)1(

)1(
)1)(1(
1
0
β
β

Hàm truyền hệ liên tục lấy mẫu
Khâu ZOH có hàm truyền
s
e
sT−
−1
T là thời gian lấy mẫu
Biến đổi Z của hệ thời gian rời rạc là
)
)(
(
1
))(
1
()(
s
sG
Z
z
z
sG
s
e

ZzG
sT
−
=
−
=
−
ký hiệu G
ho
G(z)

Tính đáp ứng dùng hàm truyền z
)()(1
)()(
)(
)(
0
0
zGHGzD
zGGzD
zR
zY
h
h
+
=
Với các thông số: D(z) = 1, H(s) = 1, G(s) =1/s(s+1); T = 1, r(t) là hàm nấc
))(1(
)1()1(
1

)1(
1
(
1
1111
(
)1(
11
(
1
()(
22
2
0
T
TTT
T
h
ezz
TeeeTz
ez
z
z
z
z
Tz
z
z
ss
s

z
z
ss
z
z
s
G(s)
z
z
zGG
−
−−−
−
−−
−−++−
=






−
+
−
−
−
−
=







+
+−
−
=






+
−
=






−
=
))Z
)Z)Z

Tính đáp ứng dùng hàm truyền z

V i T=1ớ
3679.03679.1
2642.03679.0
)(
2
0
+−
+
=
zz
z
zGG
h
6321.0
2642.03679.0
)(
)(
2
+−
+
=
zz
z
zR
zY
76
54321
23
2
2

8015.08944.0
1469.13996.13996.13679.0
6321.06321.12
2642.03679.0
6321.0
2642.03679.0
1
)(
−−
−−−−−
++
++++=
−+−
+
=
+−
+
−
=
zz
zzzzz
zzz
zz
zz
z
z
z
zY
Dùng Matlab
>> lt = tf([1],[1 1 0]);

>> ltd = c2d(lt,1,'zoh')
Transfer function:
0.3679 z + 0.2642

z^2 - 1.368 z + 0.3679
>> htdk = feedback(ltd,1)
Transfer function:
0.3679 z + 0.2642

z^2 - z + 0.6321
>> [y,t]=step(ltdk);
>> stairs(t,y)

Tính đáp ứng dùng hàm truyền z
0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

PTTT hệ liên tục thời gian rời rạc
Hệ liên tục có tín hiệu vào là u
+
(t) từ khâu ZOH, pttt hệ liên tục :
)()()(
)()()(

tdutcxty
tbutAxtx
+
+
+=
+=

Gi i ptttả
∫
+=
+−
−
t
t
tA
ttA
dbuetxetx
0
0
)()()(
)(
0
)(
ττ
τ
u
+
(t) = u(kT), kT< = t < = (k+1)T
Trong khoảng thời gian kT< = t < = (k+1)T
∫

+=
−−
t
kT
tAkTtA
kTubdekTxetx )(][)()(
)()(
τ
τ
)()(
)(][)())1((
)1(
))1[(
kTgukTFx
kTubdekTxetkx
Tk
kT
TkAAT
+=
∫
+=+
+
−+
τ
τ
t Đặ σ = τ-kT, θ = T-α
θ
θ
bdeg
T

A
∫
=
0

PTTT hệ liên tục thời gian rời rạc
Ví d : cho h r i r c v i ụ ệ ờ ạ ớ
sT
ss
sG
zz
kzkzk
zD
1.0,
)5(
1
)(
)1(
)(
32
2
1
=
+
=
−
++
=
Phương trình trạng thái hệ liên tục
[ ]

01,
1
0
,
50
10
=






=






−
= cbA
Dùng định lý Cayley Hamilton tính e
At









−
=
−
−
t
t
At
e
e
e
5
5
0
1(
5
1
1






=









−
==
−
−
6065.00
0787.01
0
1(
5
1
1
5
5
T
T
AT
e
e
eF






=











−
+−
=










∫
∫
−
=
∫
=
−

−
−
−
0787.0
0043.0
)1(
5
1
5
1
5
1
(
5
1
)1(
5
1
5
5
0
5
0
5
0
T
T
T
T
T

A
e
eT
de
de
dbeg
θ
θ
θ
θ
θ
θ

PTTT hệ liên tục thời gian rời rạc
PTTT khối D(z) dạng đồng hành thứ hai
[ ]
)(
)(
)(
10)(
)(
)(
)(
11
00
)1(
)1(
1
4
3