Luận Văn Nghiên Cứu, Hiệu Ứng, Radio Điện, Lượng Tử.pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Huệ

HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI, năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Huệ

HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐINH QUỐC VƢƠNG

HÀ NỘI, năm 2014


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày luận văn này ,với lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc, em
xin chân thành cảm ơn TS.Đinh Quốc Vương, GS.TS. Nguyễn Quang Báu, – những
người thầy trực tiếp hướng dẫn em, đóng góp ý kiến và động viên em trong suốt quá
trình thực hiện và hồn thành luận văn của mình.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong bộ môn vật lý lý thuyết,
khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội trong suốt
thời gian qua đã tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này một cách tốt
nhất.
Xin chân thành cảm ơn các bạn trong tổ bộ mơn Vật lý lý thuyết và Vật lý tốn
đã đóng góp ý kiến q báu giúp em hồn thiện luận văn.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ln động
viên em, trong suốt q trình học tập để em hồn thành tốt luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 22 tháng 10 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Huệ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1:TỔNG QUAN VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ
VỀ HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI ……………….........3
1.1 Tổng quan về hố lƣợng tử . ...................................................................................3
1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Radio điện trong bán dẫn khối ...........................4
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ VÀ HIỆU
ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ ....................................................8
2.1 Hamiltonion của hệ điện tử - phonon trong hố lƣợng tử ...................................8
2.2 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử. ..............................................................9
2.3 Biểu thức mật độ dòng tồn phần .......................................................................23
2.4 Biếu thức giải tích cho cƣờng độ điện trƣờng .....................................................38

CHƢƠNG 3: TÍNH TỐN SỐ, VẼ ĐỒ THỊ TRONG TRƢỜNG HỢP
HỐ LƢỢNG TỬ ALAS/GAAS/ALAS VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ ……….….45
3.1 Sự phụ thuộc của trƣờng Radioelectric vào tần số sóng điện từ phân cực thẳng
...................................................................................................................................45
3.2 Sự phụ thuộc của trƣờng Radioelectric vào tần số bức xạ laser .........................47
3.3 Sự phụ thuộc của trƣờng Radioelectric vào biên độ bức xạ laser………….......48
KẾT LUẬN .............................................................................................................49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................50
PHỤ LỤC .................................................................................................................52


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 3.1 Sự phụ thuộc của trƣờng Radioelectric vào tần số sóng điện từ phân cực
thẳng............................................................................................................................. 46
Hình 3.2 Sự phụ thuộc của trƣờng Radioelectric vào tần số bức xạ laser.................. 47
Hình 3.3 Sự phụ thuộc của trƣờng Radioelectric vào biên độ bức xạ laser............... 48


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay các công trình trong nƣớc và quốc tế về nghiên cứu lý thuyết các
hệ thấp chiều khá phong phú. Điều đó cho thấy vật lý bán dẫn thấp chiều ngày càng
dành đƣợc nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học lý thuyết lẫn thực
nghiệm. Trong các hệ thấp chiều có trúc nano nhƣ: hố lƣợng tử, siêu mạng hợp
phần, siêu mạng pha tạp, dây lƣợng tử... các quy luật lƣợng tử bắt đầu có hiệu lực,
trƣớc hết là sự thay đổi phổ năng lƣợng của điện tử. Phổ năng lƣợng của điện tử trở
nên gián đoạn theo hƣớng tọa độ bị giới hạn [1]. Sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng
của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất của vật liệu nhƣ: hàm phân bố,
mật độ trạng thái, mật độ dòng, tƣơng tác điện tử-phonon… Vì sự thay đổi các đặc
trƣng của vật liệu nhƣ đã nêu ở trên, nên khi chịu tác dụng của trƣờng ngoài, các

hiệu ứng động trong các hệ thấp chiều nhƣ: hiệu ứng Hall, hiệu ứng âm điện, hiệu
ứng radio điện… [2,3,5,7,8] sẽ cho các kết quả mới, khác biệt so với trƣờng hợp
bán dẫn khối.
Bài toán về hiệu ứng radio điện trong các vật liệu bán dẫn đã đƣợc nghiên
cứu nhƣ: hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối [9], hiệu ứng radio điện trong siêu
mạng [7]. Tuy nhiên, các cơng trình nghiên cứu đều sử dụng phƣơng pháp cổ điển:
sử dụng phƣơng trình động Boltzmann. Bài tốn về tính tốn trƣờng Radioelectric
bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử trong các hệ bán dẫn thấp chiều vẫn
còn đang bỏ ngỏ. Vì vậy, tơi chọn vấn đề nghiên cứu là: “Hiệu ứng radio điện
trong hố lượng tử .”
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Để tính tốn hiệu ứng radio điện trong hố lƣợng tử, chúng tôi sử dụng phƣơng
pháp phƣơng trình động lƣợng tử [4,6,8]: đây là phƣơng pháp đƣợc sử dụng rộng rãi
khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho kết quả có ý
nghĩa khoa học nhất định.

1


Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon quang trong hình thức lƣợng tử hóa lần
hai, ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong hố lƣợng
tử, sau đó giải phƣơng trình động lƣợng tử để tính mật độ dịng hạt tải, cuối cùng
suy ra biểu thức giải tích của trƣờng Radioelectric.
3. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận có ba
chƣơng sau:
-

Chƣơng 1: Tổng quan về hố lƣợng tử và lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio
điện trong bán dẫn khối.

-

Chƣơng 2 : Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử và hiệu ứng radio điện
trong hố lƣợng tử.

-

Chƣơng 3: Áp dụng tính số, vẽ đồ thị và đánh giá kết quả trong trƣờng hợp
hố lƣợng tử AlAs/GaAs/AlAs.

Những kết quả mới thu đƣợc của luận văn:
-

Xây dựng đƣợc biểu thức giải tích của hiệu ứng radio điện trong hố lƣợng tử.

-

Kết quả lý thuyết cho thấy: trƣờng Radioelectric phụ thuộc vào tần số của
sóng điện từ phân cực thẳng, tần số của sóng laser, nhiệt độ cũng nhƣ các
tham số cấu trúc hố lƣợng tử.

-

Tiến hành khảo sát số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết, thu đƣợc: trƣờng
Radioelectric phụ thuộc phi tuyến vào tần số và biên độ sóng laser, phụ thuộc
phi tuyến vào tần số của sóng điện từ phân cực thẳng và đổi dấu khi tần số
sóng điện từ nhận giá trị thích hợp. Các kết quả này có sự khác biệt so với
trƣờng hợp bán dẫn khối.

-

2


Chƣơng 1:
TỔNG QUAN VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1 Tổng quan về hố lƣợng tử
Hố lƣợng tử là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, đƣợc cấu tạo bởi
các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tƣơng đối
giống nhau gồm một lớp bán dẫn đƣợc đặt giữa hai lớp chất bán dẫn khác.
Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ rộng vùng cấm khác nhau, do
đó tại các lớp tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn khác nhau sẽ xuất hiện dộ lệch ở vùng
hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của
các lớp bán dẫn đó gây ra một giếng thế năng đối với các điện tử.
Các hạt tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn này không thể xuyên qua mặt
phân cách để đi đến lớp chất bán dẫn bên cạnh, hay nói một cách khác trong các cấu
trúc này các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau trong các giếng
thế năng hai chiều. Chuyền động của điện tử theo một hƣớng nào đó bị giới hạn,
phổ năng lƣợng của điện tử theo phƣơng mà điện tử bị giới hạn chuyển động bị
lƣợng tử hóa, chỉ cịn thành phần xung lƣợng của điện tử theo phƣơng điện tử đƣợc
tự do là biến đổi liên tục.
Các hố lƣợng tử có thể đƣợc chế tạo bằng các phƣơng pháp nhƣ epytaxy
chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD) [1].
Từ phƣơng trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế Parabol ta
thu đƣợc hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử nhƣ sau:
 n,uupr



ur
N, p





ur r
r
r   0ei p r  sin  pzn z 

1  h 2 p 2

 h p  N  
2  2m


(1.1)

(1.2)

trong đó :

3


n=1,2,3…là các chỉ số lƣợng tử
ur ur
ur

p  p   p z là vectơ vectơ sóng của điện tử

ΨOxy : hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng (x,y)
m*: khối lƣợng hiệu dụng của điên tử
L : độ rộng của hố lƣợng tử
ur
ur
p  : hình chiếu của của p trên mặt phẳng (x,y)

r
r
r  : hình chiếu của của r trên mặt phẳng (x,y)
pzn 

n
: các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo phƣơng z
L

Phổ năng lƣợng của điện tử bị giam cầm trong hố lƣợng tử chỉ nhận các giá
trị năng lƣợng gián đoạn theo phƣơng điện tử bị giới hạn chuyển động. Sự gián
đoạn của phổ năng lƣợng điện tử là đặc trƣng của hệ điện tử bị giam cầm trong các
hệ thấp chiều nói chung và trong hố lƣợng tử nói riêng. Sự biến đổi phổ năng lƣợng
nhƣ vậy gây ra những khác biệt lớn trong tất cả tính chất của điện tử ở hố lƣợng tử
so với các mẫu bán dẫn khối thông thƣờng.
1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối .
Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang
theo cả năng lƣợng và xung lƣợng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron
đƣợc sinh ra với sự chuyển động có định hƣớng và hƣớng này xuất hiện một hiệu
điện thế trong điều kiện mạch hở [1].
Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong: một trƣờng sóng điện từ

ur

ur

uur

r ur

phân cực thẳng với vectơ: E (t )  E (eit  eit ), H (t )  [n, E(t )] , trong đó ℏω≪  ( với
ur
 là năng lƣợng trung bình của hạt tải); một điện trƣờng khơng đổi E 0 ( có tác dụng
ur
định hƣớng chuyển động của hạt tải theo E 0 ) và một trƣờng bức xạ laser :

4


ur
ur
F (t )  F sin t đƣợc xem nhƣ một trƣờng sóng điện từ cao tần với Ωτ ≫1 (τ: thời

gian hồi phục).
ur
Khi đó chuyển động của hạt tải theo E 0 sẽ bị bất đẳng hƣớng. Kết quả là

xuất hiện trƣờng Radioelectric (các điện trƣờng E0x,E0y, E0z ) trong điều kiện mạch
hở. Đó chính là hiệu ứng Radioelectric [2,9].
ur

Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố hạt tải f ( p, t ) trong bán dẫn

ur
ur
ur
ur r
f ( p, t )  ur
f ( p, t ) 
ur  
khối:
  eE 0  eE (t )  H [ p, h(t )],
t
p 



r r

ur

r

ur

M (q)  J l2 (a, q)[f ( p  q, t)  f ( p, t )] ( upr  qr   upr  l )
= 2 
r
q

(1.3)

l 

trong đó :
uur
ur
ur 2
eH r
H (t ) r e.F ur p
H 
; h(t ) 
;a 
; 
mc
H
m2 p 2m
ur

với p : vectơ sóng của điện tử
Jl (x) : hàm Bessel của đối số thực
m : khối lƣợng hiệu dụng của điện tử
M(q) : đƣợc xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải
Trong phép xấp xỉ tuyến tính theo cƣờng độ của bức xạ laser ta chỉ lấy

 
r r

2

l  0; 1 trong (1.3) tức là chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với a, q trong biểu
thức khai triển của hàm Besel.
Hàm phân bố hạt tải đƣợc tìm dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối

ur

xứng và phản đối xứng: f upr (t )  f0  f1 ( p, t )
(1.4)

Trong đó:

5


f0 là hàm phân bố cân bằng hạt tải, xét trƣờng hợp khí điện tử khơng suy biến
  upr 



 k B 



 

: f 0  f 0  upr  n0* exp 
(1.5)
ur

ur uur

và f1 ( p, t )   p X (t )

f 0

là phần phản đối xứng
 upr

(1.6) Hay viết dƣới dạng khai triển theo thời gian :
ur
ur
ur
ur
f1 ( p, t )  f10 ( p)  f1 ( p) eit  f1* ( p) eit

(1.7)
ur

ur uur f
0
 upr

với f1 ( p)   p X
(1.8)

ur
ur uur f
f10 ( p)   p X 0 0
 upr

(1.9)

Từ (1.6) và (1.7) ta có :
uur
uur uur

uur
X (t )  X 0  Xeit  X * eit

(1.10)
Xét trƣờng hợp mạch hở theo tất cả các hƣớng, thu đƣợc:
r
r
j tot  0  j 0  0

Trong đó:
r
ur
j 0   R0 ( )d  

6


ur
r
ur r
2







(


)
Q
(

),
h
S , h   
uu
r
uu
r
H




2


  d   ( )((Q0 ( )  S0 ( )) 
 H ( ) Re
2 2


1



(


)
1

i

(

)



uur
e2 n

 ( F ) 1   ()  A ( F ) E0 
m



uuur
2
2
2



Ew 
[1

i



(

)

(

)]

(

)[1

i


(

)

(

)]
F
F
F
  ( F )1   2 ()
A



2 2
2 2
1    ( F )
1    ( F )


  ( F ) 
(1.11)

r

ur

uur

Xét trƣờng hợp : n //Oz; E //Ox; H //Oy
Khi đó thu đƣợc biểu thức của trƣờng Radioelectric [9]:
2
2

 ( F ) 1   2 ()  
 () 1    () ( F ) 
E0 x  Ew 
zx 
Azx 
2 2
2 2






(

)
1



(

)
1



(

)
F
F









E0 y  Ew  ()zy   ( F ) Azy 

1   ()zz   ( F ) Azz 



2
2
 2 ( F ) 1   2 ( F )   
E0 z   Ew  1  () 1    () ( F ) 
 ( )   ( ) 1   2 2 ()  xx  1   2 2 ( )  Axx  
 
F 
F 


 F 
(1.12)
Biểu thức (1.12) cho thấy trƣờng Radioelectric trong bán dẫn khối phụ thuộc
vào tần số của sóng điện từ phân cực thẳng, phụ thuộc vào tần số và cƣờng độ của
bức xạ laser, và nhiệt độ của hệ.

7


Chƣơng 2:
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ VÀ HIỆU ỨNG
RADIO ĐIỆN TRONG HỐ LƢỢNG TỬ
2.1 Hamiltonion của điện tử- phonon trong hố lƣợng tử .

Khảo sát hệ hạt tải của hố lƣợng tử đặt trong một trƣờng sóng điện từ phân
ur

ur

cực thẳng và một trƣờng bức xạ laser : F (t )  F sin t đƣợc xem nhƣ một trƣờng
sóng điện từ cao tần với Ωτ ≫1
Giả thiết các vectơ sóng điện từ thỏa mãn: [ (t),0,0] ; [0,

, 0]

Dƣới sự xuất hiện của hai trƣờng bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển
động định hƣớng của hạt tải bị ảnh hƣởng. Từ đó, làm xuất hiện các trƣờng E 0x , E0y
, E0z trong điều kiện mạch hở.
Hamiltonion của hệ điện tử - phonon trong hố lƣợng tử khi có mặt các trƣờng
trên là:
H = H0 + U
H0 

U

e ur  
 ur
hqr bqrbqr
 p   A(t )  aN , upr  aN , upr   
r
hc


q

r 
D
(
q
)aN , upr  qr aN , upr (bqr  bqr )
N
,
N
'
r



ur
N , p



N

ur
N ,N', p  , q







trong đó:


r
r
aN,
p , aN, p lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy điện tử.

bqr , bqr lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy phonon.
r r
p, q lần lƣợt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.

qr là tần số của phonon.
ur
p  : hình chiếu của vectơ sóng trên mặt phẳng (x,y).

8

(2.1)


r
r
DN,N' (q)  Cqr I N,N' (q) Cqr : hệ số tƣơng tác điện tử-phonon.
L

2
I N , N ' (q z )   dz sin  k zN ' z  sin  k zN z  eiqz z : biểu thức thừa số dạng
L0

ur
A  t  : Thế vectơ của trƣờng sóng điện từ mạnh

 N,upr



: Năng lƣợng của điện tử trong hố lƣợng tử.

Hệ số tƣơng tác điện tử - phonon quang có dạng:
2

C

r
q

2 e2 hL 0  1
1 




0 V (q 2   q 2 z )  X  X 0 

Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử tồn tại các hệ thức giao hoán:

a

ur
N, p 


uur
, aN',
p'





 upr

N,N'

uur

 , p '




uur
; a  N,upr , aN',
p'




  a

ur

N, p 

, aN', uupr'



0

Giữa các toán tử sinh, hủy phonon tồn tại các hệ thức giao hoán:

br , buur    r uur ; b r , buur   br , buur   0
 q q '  q ,q '  q q '   q q ' 

2.2 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử.
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử có dạng:
ih

nN,upr (t )


t


ur a ur , H 
  aN,
 p N, p 

(2.2)
t

Thay H từ phƣơng trình (2.1) vào phƣơng trình (2.2). Khi đó vế phải của (2.2) có
3 số hạng. Lần lƣợt tính ba số hạng này:
* Số hạng thứ nhất:

 

e ur   uur
 uur
ur a ur ,
uur
Sh1 t   aN,

p
'

A
t
a
a



N'


 N', p ' N', p ' 
p  N, p 
uur
hc



N', p '



9

0
t

(2.3)


* Số hạng thứ hai:

 


ur a ur ,
r br br
Sh2 t   aN,
h


p  N, p  
q
q
q
r
q




0

(2.4)

t

* Số hạng thứ ba:
r 
 
uur a uur ,
Sh3   aN,
D
(
q
uur r N1 ,N2 )aN2 ,upr ' qr  aN1 ,upr ' bqr  bqr
p  N, p 
N1 ,N 2 , p ' , q










t

+ Ta có:

r 
 

u
r
u
u
r
a
a
,
D
(
q
 N, p N, p
uur r N1 ,N2 )aN2 ,upr ' qr  aN1 ,upr ' bqr  bqr 
N1 ,N 2 , p ' , q


r

 uuur ur

ur a ur , a
r  br  b r
 uur DN1 ,N2 (q)  aN,

aN uuu
p
N,
p
q

q
N
p
'

q
p
'






2,
1,

N1 ,N 2 , p '
r

 uuur
 uuur



ur a ur a
uur a uuur  a
uur a uuur a uur a uur   br  b r
 uur DN1 ,N2 (q)  aN,
p  N, p  N , p '  q N , p '
q
q
N 2 , p '  q N1 , p ' N, p  N, p  


2
1

N1 ,N 2 , p '
r 
uur a uur 
 uur DN1 ,N2 (q) aN,
 uur uur ur  aN uuupr' uuqr aN,upr  N,N1 upur ,uurp ' buqr  buqr
p N , p ' N,N2 p , p '  q











N1 ,N2 , p '





uur
N1 ,N 2 , p '





1

r 
ur a ur
DN1 ,N2 (q)aN,
p
N ,p


1



r
 q 









 

bqr  bqr 



2,

uur
N1 ,N 2 , p '





r
DN1 ,N2 (q)aN



ur

r

2 , p q 








aN,upr bqr  bqr




Vậy:





 

 uur
N, p 

r

ur a ur
Sh3  r DN,N' (q) aN,

p
N', p



N ' ,q



 a N', p

uuur uuur
  q

aN, p bq  a
uur

ur



t

b

r
r
 q  q

  a

t







uuur

uur

N', p q

a

b

ur
r
N, p   q

t



a

uur

b

uur
ur
N', p  q  q

10



t 



(2.5)


Ta đặt :

FN ,upr ,N ,upr ,qr  t   aN ,upr aN ,upr bqr
1

2

1

1

2

2

1

2

t

Và thay (2.3), (2.4), (2.5) vào (2.2) ta đƣợc:

ih

nN,upr (t )


t


r  FN',upr  qr  ,N,upr  ,qr  t   FN,upr  ,N',upr  qr  , qr  t  
  r DN,N' (q) 


'
u
r
u
r
r
r
u

r
r
u
r
r

(
F
t

F
)


N ,q

N, p  ,N', p  q  ,q
N', p  q  ,N, p  , q 


Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm FN ,upr ,N
1

thức của hàm FN ,upr ,N
1

1

ur

1

2

1

ur

r

2 , p 2 ,q

t 

để tìm biểu

 t  . Khi đó ta có:

r

2 , p 2 ,q

FN ,upr ,N ,upr ,qr  t 

ih

1

(2.6)

2

t

  aN ,upr aN ,upr bqr , H 
 1 1 2 2


(2.7)
t

* Số hạng thứ nhất <SH1>t



e ur   ur
 ur
ur
SH 1 t   aN ,upr aN ,upr bqr , 

p

A
t
a
a


N  
 N, p N, p 

ur
hc

 1 1 2 2 N, p 


t

Ta có:
 a  ur a ur br , a  ur a ur   a  ur a ur br a  ur a ur  a  ur a ur a  ur a ur br
N1 , p1 N 2 , p 2 q N, p  N, p 
N, p  N, p  N1 , p1 N 2 , p 2 q
 N1 , p1 N2 , p2 q N, p  n , p  



 aN ,upr  N,N2  upr
1

1

ur

2 , p


ur a
 aN,
p
N



 aN ,upr aN,upr bqr  N,N2  upr
1

Mà : 

ur
N, p



1

ur

2 , p2

ur
2 , p

a

ur
N, p 



bqr  aN  N,N1 upr ,upr  aN ,upr aN, upr


ur a
 aN,
p
N


bqr  N,N1 upr ,upr
1

1

1



a



hc



1



hc



Vậy ta có:

11

ur
2 , p2

  N ,upr 
1

1







b

ur r
N2 , p2 q

1  h2 p 2 e2 E02

 h p  N   

2  2m

2m02


ur
ur
ur
ur
Nên:  N  p 2  e A(t )    N  p1  e A  t     N
2

ur

2 , p2



1

ur ur
he ur
p 2  p1 A  t 
mc






he ur ur ur  ur ur r


SH1 t   N ,upr   N ,upr 
p 2  p1 A  t   FN , p ,N , p ,q  t 
1 1
mc
 2 2
 1 1 2 2

(2.8)

* Số hạng thứ hai <SH2>t



r br br 
SH 2 t   aN ,upr aN ,upr bqr , 
h

q1 q1 q1
r
q1
 1 1 2 2


 h



r
q1

r
q1

t

aN ,upr aN
1

1

ur
2 , p2

br , br br 
 q q1 q1 
t

Ta có:





br , br br   br br br  br br br   r r  br br br  br br br   r r br
q1 ,q
q1 q1
q1
q1 q1 q
q1 ,q q1
 q q1 q1  q q1 q1 q1 q1 q

Vậy: SH 2

 hqr FN ,upr ,N

t

1

1

ur r

2 , p 2 ,q

t 

(2.9)

* Số hạng thứ ba <SH3>t



 SH 3 t 

N3 ,N4

ur
DN3 ,N4 (q1 )  aN ,upr aN ,upr bqr , aN ,upr qr aN ,upr (bqr  bqr ) 
4

3 


1
1 
 1 1 2 2

ur
D
(
q
r N2 ,N3 1 ) aN ,upr aN ,upr



1

N3 ,q1

ur
 r DN1 ,N4 (q1 ) aN
N 4 ,q1

3

1

uur

ur

4 , p1  q 

ur
 DN1 ,N4 (q1 ) aN ,upur aN
1

N4

Do aN ,upur aN
1

1

uur

ur

a

uur

4 , p1  q  N 2 , p 2

aN

1

uur

3 , p

t

r

2 q 

aN
uur



bqr bqr  bqr

1

b

uur

ur

2 , p2

ur

1

q1

4 , p1  q 

aN




t



 buqr buqr
1

uur

2, p2

aN

t

(2.10)

uur

3 , p



t

t

 nu2pr  1 (2.10) nên ta bỏ qua số hạng này.

Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.7) thu đƣợc:
ih

FN ,upr ,N
1

1

ur r

2 , p2 ,q

t

t 





ur ur
he ur



  N ,upr   N ,upr 
p  p A  t   h qr  FN ,upr ,N ,upr ,qr  t  
1 1
1
mc 2
 2 2
 1 1 2 2

12


ur
 r DN2 ,n3 (q1 ) aN ,upr aN ,upr
1

N3 ,q1

ur
 r DN1 ,n4 (q1 ) aN
N 4 ,q1

1

3

ur r
4 , p1  q 

aN



b bqr  bqr

r
r
2 q  q

ur
2 , p2

1

b

1






t

 bqr bqr

r
q1

1

 2.11
t

Phƣơng trình trên là phƣơng trình vi phân khơng thuần nhất. Để tìm đƣợc
nghiệm của phƣơng trình trên trƣớc hết ta đi giải phƣơng trình vi phân thuần nhất
sau:
ih

FN0 ,upr ,N
1

1

ur r

2 , p2 ,q

t 

t





he ur ur ur


  N ,upr   N ,upr 

p 2  p1 A  t   h qr  FN0 ,upr ,N , upr ,qr  t 
1 1
mc
 2 2
 1 1 2 2

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln FN ,upr ,N
1

1

ur r

2 , p 2 ,q

(t )

t 

(2.12)

 0 và phƣơng pháp phân

ly biến số ta dễ dàng tính đƣợc nghiệm của phƣơng trình thuần nhất trên có dạng:
0
ur
ur r
N1 , p1 ,N 2 , p 2 , q

F

i t 
he ur ur ur
 
p1  p 2 A  t   h qr  dt1 
 t   exp    N1 ,upr 1   N2 ,upr 2 
mc
 
 h  





(2.13)

Phƣơng trình vi phân khơng thuần nhất trên đƣợc giải bằng phƣơng pháp biến
thiên hằng số. Giả thiết hàm:

FN ,upr ,N
1

1

ur r

2 , p 2 ,q

(t )  M  t  FN0 ,upr ,N
1

1

ur r

2 , p 2 ,q

(t )

(2.14)

Suy ra:
ih

FN ,upr ,N
1

1

ur r
2 , p2 ,q

t

(t )

0

F

0
ur
ur r
N1 , p1 ,N 2 , p 2 , q

FN ,upr ,N , upr ,qr (t )
 M (t ) 
1 1
2
2
(t )  ih
  M (t )ih

t

t



(2.15)

Thay (2.14) vào (2.11), thay (2.13), (2.14) vào (2.15) và đồng nhất số hạng
của (2.11) và (2.15) ta đƣợc kết quả (2.16):

13


ur
M (t ) i 
  r DN1 ,N4 (q1 ) aN ,upr qr aN ,upr bqr  bqr bqr 

4 1
2

2
1
1
t
h  N4 ,q1
t
ur

 r DN2 ,N3 (q1 ) aN , upr aN ,upr qr bqr bqr  bqr

1 1
3 2

1
1
t
N3 , q1

t
i 
he ur ur ur
 
exp    N ,upr   N ,upr  hqr 
p 2  p1 A  t1   dt1 
2
1 1
2

mc
 
 h  













(2.16)

Suy ra:
t
ur
i 
M (t )    r DN1 ,N4 (q1 ) aN ,upr qr aN ,upr bqr  bqr bqr
4 1
2 2

1
1
h   N4 ,q1



1

3

1

t

 i 2  ur
exp    N , p   N ,upr
2
1 1
2

 h  


t2



1
1
t2 

he ur ur ur  

 hqr 

p 2  p1 A  t   dt2 
mc
 


ur
 r DN2 ,N3 (q1 ) aN ,upr aN ,upr
N3 ,q1





b bqr  bqr

r
r
2 q  q







(2.17)

Thay (2.13) và (2.17) vào (2.15) đƣợc kết quả sau:

FN ,upr ,N

1

1

ur r

2 , p 2 ,q

 t   FN0 ,upr ,N ,upr ,qr  t .M t  
1

1

2

2

t
t u
r
ur ur


i 
ie
i 


u
r

u
r
r
  exp   N , p   N , p  hq   t  t2  
p

p
A
t
dt



1
1
1
2

1
2
2

1

h  
h
mc
t




2





ur

  r DN1 ,N4 (q1 ) aN ,upr qr aN ,upr bqr  bqr bqr

 N ,q
4
2

2
1
1
1
t2
 4 1
ur

 r DN2 ,N3 (q1 ) aN ,upr aN ,upr qr bqr bqr  bqr
  dt2
1
3
1
2


1
1
t
2
N3 ,q1
 









Thay (2.18) vào (2.6) ta đƣợc:

14



(2.18)


nN,upr  t 


t




ur t
ur
1



ur
r r
ur
r
r
r
D
(
q
)
dt
D
(
q
1 
2  
1 ) a N 4 , p  q   q1 aN, p  bq1  b q1 bq
2 
N,N'
N ' ,N 4
r
r


h N',q
N
,
q


 4 1







t2



3
1
1
t2 
N3 ,q1

ur

 r DN ' ,N (q1 ) aN ,upr qr qr aN,upr b qr  bqr bqr  
3 
3


1

1
1
t2 
N3 ,q1

t


ie r ur
 i  ur r


u
r
r
exp   N ' , p q   N, p  hq  t  t2  
q
A
t
dt


1
1 








mc t2
h



ur
 r DN,N3 (q1 ) aN ' ,upr

r
 q

aN ,upr



b bqr  bqr

r
r
  q1 q







ur




ur r a
ur r b r b r  br
  r DN,N4 (q1 ) aN',

p   q  N 4 , p   q1  q
 q1
q1
t
2
 N4 ,q1
t r u
r


ie
 i  ur


r
u
r
r
exp   N, p   N ' , p q  h q  t  t2  
q  A  t1  dt1  







mc t2
 h








ur

  r DN,N4 (q1 ) aN ,upr qr aN',upr qr bqr  bqr bqr
4
1


1
1

 N4 ,q1






t2

t r u
r


ie
 i  ur

exp   N, p   N',upr qr  hqr   t  t2  
q
A
t
dt



1
1







h

mc
t2




ur




ur a
ur r
r b r b r  br
  r DN ' ,n (q1 ) aN,

p
N
,
p

q

q

q

q
q
4

4


1
1
1

t2
 N4 ,q1



ur
 r DN,N3 (q1 ) aN ,upr
3

N3 ,q1

r
  q1

aN',upr

r
 q 





b qr  bqr bqr
1

1





t2 


t r u
r


ie
 i  ur r


exp   N', p q   N,upr  h qr  t  t2  
q
A
t
dt


1
1 







mc t2
 h





(2.19)

Do tính đối xứng của mạng tinh thể nên qr   qr . Đồng thời, chỉ xét trung
bình điện tử nN , upr  aN , upr aN , upr






t

và trung bình phonon N qr  bqrbqr . Khi đó đối với
t

15

r

r

số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.19) ta lấy số q1  q  và N3  N ' ; đối với số

r

r

hạng thứ hai và thứ tƣ của (2.19) ta lấy q1  q  và N4  N , thu đƣợc:

nN,upr (t )





t

1
h2


r
N',q

r 2
DN,N' (q) 





 
ur a ur
  dt2   aN,
b qr  bqr bqr
p  N, p 




t

t2


ur
 aN',
p

r
 q 

aN',upr



b b qr  bqr

r
r
 q  q









t2 

t r u
r


ie
 i  ur r

exp   N', p q   N,upr  hqr   t  t2  
q
A
t
dt




1
1







h
mc


t2


  ur




ur r a ur r b r b r  br
  aN,
a ur b qr  bqr bqr  aN',
p  N, p 
p   q  N', p   q   q
 q
q
 



t
t
2
2

t r u
r


ie
 i  ur r

exp   N', p q   N,upr  h qr   t  t2  
q
A
(
t
)
dt

1
1








h
mc


t2


  ur r



ur a ur br b r  br
  aN,
a ur r b qr  bqr b qr  aN,
p   q  N, p   q 
p
N,
p
q

q
q







t2

t2 

t r u
r


ie
 i  ur


exp   N, p   N',upr qr  hqr  t  t2  
q
A
(
t
)
dt
1
1 







mc t2
h



























  ur r



ur a ur b r b r  br
  aN',

a ur r b qr  bqr b qr  aN,
p   q  N', p   q 
p  N, p   q
 q
q


t2

t r u
r


ie
 i  ur

 exp   N, p   N',upr qr  hqr   t  t2  
q
A
(
t
)
dt
  1 1 
 



h
mc



t

2


Chuyển kí hiệu:
f N,upr (t )  nN,upr (t )




Khi đó phƣơng trình (2.20) đƣợc viết lại dƣới dạng:

16





t2 
(2.20)


f N,upr (t )


t







r 2t
1
  2 r DN,N' (q)  dt2  f N,upr  t2  N qr  f N',upr  qr  t2  N qr  1  





h N',q


t


ie r ur
 i  ur r


u
r
r
exp   N', p q   N, p  hq  t  t2  
q
A

(
t
)
dt
1
1 






 
mc t2
h








  f N,upr (t2 ) N qr  1  f N',upr qr (t2 ) N qr  





t



ie r ur
 i  ur r


u
r
r
exp   N', p q   N, p  hq  t  t2  
q
A
(
t
)
dt

1
1







h
mc
t2





  f N',upr qr (t2 ) N qr  f N,upr (t2 ) N qr  1  





t r u
r


ie
 i  ur

exp   N, p   N',upr qr  hqr   t  t2  
q
A
(
t
)
dt

1
1








h
mc
t2




  f N',upr qr (t2 ) N qr  1  f N,upr (t2 ) N qr  


t


ie r ur
 i  ur


u
r
r
r
 exp   N, p   N', p q  hq  t  t2  
q  A(t1 )dt1 



h

mc
t


























2

Ta thay

(2.21)

ur
1  A(t ) ur
vào 
 F (t ) thu đƣợc
c t

ur
ur
F .c
A(t ) 
cos  t


ur
ur
q Fc
Do đó  q A(t )dt1 
(sin t  sin t2 )
2

t1
t

Áp dụng khai triển: exp  iz sin   



J


k

( z )e

 ik

ur uur
eF q
và ta đặt  
m

t
ur




 ie
 
exp 
q A(t )dt1    J s ( ) J l ( )exp i( s  l )t  is(t  t2 ) 




 mc t1

 s ,l  

Thay (2.22) vào (2.21) và thêm thừa số e

 ( t t2 )

17

với   0

(2.22)


Khi đó, ta có:
f N,upr (t )


t



2 
1


D
(
q
)
J s ( ) J l ( )exp i( s  l )t  

'

2 
N ,N
r
h N',q


s ,l 



t





  dt2  f N,upr  t2  N qr  f N',upr qr  t2  N qr  1  







i

exp   N',upr qr   N,upr  hqr  sh  ih   t  t2   







h

  f N,upr  t2  ( N qr  1)  f N',upr qr  t2  N qr  





i

exp   N ' ,upr qr   N,upr  hqr  sh  ih   t  t2   






h

  f N ' ,upr qr  t2  N qr  f N',upr  t2  ( N qr  1)  






i

exp   N,upr   N ' ,upr qr  hqr  sh  ih   t  t2   




h  

  f N ' ,upr qr  t2  ( N qr  1)  f N,upr  t2  N qr  





i

exp   N,upr   N ' ,upr qr  hqr  sh  ih   t  t2 




h  


(2.23)

Áp dụng chuyển phổ Fourier ta có :
f

ur
N , p

( ) 

f N , upr (t) 






f N , upr (t ) ei t dt




1
2





f N , upr ( ) ei t d





Khi đó (2.23) có dạng :
r
f N ,uuu
p


t



2 
1


D
(
q
)
J s ( ) J l ( )exp i( s  l )t  
'

2 
N ,N
r
h N',q


s ,l 

i


exp   N',upr qr   N,upr  hqr  sh  ih   t  t2   





h 


 1 

1
 i t2
 i t2
u
r
r
r
ur r  e

f

e
d

(
N

1)


f
d

N



'


N, p 
q
q 
N , p q
2

2


 


 

18


i


exp   N ' ,upr qr   N,upr  hqr  sh  ih   t  t2   





h 



 1
1

f N ' ,upr qr  ei t2 d N qr 
f N,upr  e i t2 d N qr  1





2 
 2 









i

exp   N,upr   N ' ,upr qr  hqr  sh  ih   t  t2   





h 



 1

1
 i t2
 i t2
r
u
r
r
u
r
r

f

e
d


(
N

1)

f

e
d

N







q
N, p 
q 
N ' , p  q 
2

2


 


i

exp   N,upr   N ' ,upr qr  hqr  sh  ih   t  t2  





h 


 



Chú ý rằng e x dx 

e  x
 C và tiến hành đổi thứ tự tích phân trong vế phải của

t

(2.24) theo công thức:

(2.24)





t







 dt  d   d  dt
2



2

Khi đó vế phải của (2.24) bằng :


2 
1


1
Vp(2.24)   2 r DN , N ' (q)  J s ( ) J l ( )exp i( s  l )t  
e i t d 

h N',q


2 

s ,l 

 f ur   N r  f ' ur r   ( N r  1)
f N,upr   ( N qr  1)  f N ' ,upr qr   N qr
 N, p
q
q
N , p q








ur r   ur  h r  sh  ih 
ur r   ur  h r  sh  ih 


  N', p q
N, p 
q
N, p 
q
  N', p q




f N ' ,upr

r

 q 

  ( N qr  1)  f N,upr   N qr


 ur   ur r  hr  sh  ih 
q
 N, p N, p q




f N ' ,upr

r

 q 




 hqr  sh  ih  



  N qr  f N,upr   ( N qr  1)

 ur   ur r
 N, p N, p q



(2.25)
Với l=s và thực hiện bƣớc chuyển đổi cho số hạng thứ (2) và thứ (3) ở biểu

r

r

thức (2.25) bằng cách biến đổi q  q và l  l ta có:

19


f N ,upr



t

2 
1
 1
  2 r DN , N ' (q)  J 2l ( )
h N',q
 2





e

 i t

d 



 f ur   N r  f ' ur r   ( N r  1)
f N,upr   ( N qr  1)  f N ' ,upr qr   N qr
 N, p
q
q
N , p q










u
r

r
u
r
r
u
r
r
u
r
r
  N', p q   N, p  hq  l h  ih   N', p q   N, p  hq  l h  ih 



f N ' ,upr

r

 q

  ( Nqr  1)  f N,upr   N qr


 ur   ur r  hr  l h  ih 
q
 N, p N, p q




f N ' ,upr

r

 q 




 hqr  l h  ih  



  N qr  f N,upr   ( N qr  1)


 ur   ur r
 N, p N, p q

(2.26)
Lấy tích phân 2 vế theo

 (phép biến đổi fourier ngƣợc) và áp dụng đẳng thức:

1

1
1
 mi ( x) 


 2 i ( x)
x  i x
x  i x  i
Ta đặt:

1   N',upr qr   N,upr  hqr  l h  ih 







1

 2   N',upr qr   N,upr  hqr  l h  ih 







1

Ta đƣợc:

f N,upr (t )


t

 f





2

h

ur r
N ' , p q

 f N ' ,upr

r

 q

D
r
N', q

N ,N '

2 

(q)

J

l 

2
l


( )


 t  ( Nqr  1)  f N,upr  t  Nqr   N',upr qr




 t  Nqr  f N,upr  t  ( Nqr  1) ( N',upr qr














  N,upr  hqr  l h)




Bổ sung thành phần của điện từ trƣờng thu đƣợc biểu thức :
ur
f N,upr (t )  f N,upr (t )  f 0
uur
ur r
p  f N,upr  (t )  ur



ur  
  (eE (t )  eE0  H  p  , h(t ) ),



m
t

h

p




20



  N,upr  hqr  l h 
(2.27)