Lí thuyết thông tin BKHCM

Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 103
BÀI 13 MÃ VÒNG
13.1 Gii thiu
13.2 Các tính cht ca mã vòng
13.3 Ma trn sinh và ma trn kim tra ca mã vòng
13.4 Mã BCH
13.1 Gii thiu
nh ngha 13.1

Mt mã tuyn tính C(n, k) đc gi là mã vòng nu w = a
0
a
1
…a
n–2
a
n–1
là mt t mã
thì v = a
n–1
a
0
a
1
…a
n–2
cng là mt t mã.
Nói cách khác mã vòng là mã có tính vòng, có ngha là dch vòng mt t mã thì kt qu
cng là mt t mã.
Chú ý

 đây chúng ta thy vic dch vòng đc thc hin t trái sang phi (gi là dch phi),
tuy nhiên vi t mã có chiu dài n bit thì vic dch vòng ngc li t phi sang trái i bit (gi
là dch trái) thì kt qu cng ging vi vic dch phi (n
– i) bit. Vì vy nu chúng ta dch
trái (dch t phi sang trái) mt t mã thì kt qu cng là mt t mã. Tuy nhiên  đây khi
nói dch thì chúng ta hiu là dch phi.
a thc mã
Nu w = a
0
a
1
…a
n–2
a
n–1
là mt t mã thì w(x) = a
0
+ a
1
x + … + a
n–2
x
n - 2
+ a
n–1
x
n - 1
là
đa thc mã tng ng vi t mã w.
Vy chúng ta có mt song ánh gia các t mã vi các đa thc mã. Mi đa thc mã là mt đa

thc trên trng GF(2) và có bc ≤ n – 1. Nh sau này chúng ta s thy, chúng ta s da vào
các đa thc mã này đ chng minh các tính cht ca mã vòng.
Ví d 13.1
Bng sau đây trình bày mt mã vòng C(7, 4). Các bn có th kim tra rng mã này là
mt mã tuy
n tính và có tính vòng.
Thông báo
u = a
0
… a
k–1

T mã
w = b
0
… b
n–1

a thc mã
w(x) = b
0
+ b
1
x + … + b
n–2
x
n - 2
+ b
n–1
x

n - 1

0000 0000000 0
1000 1101000 1 + x + x
3

0100 0110100 x + x
2
+ x
4

1100 1011100 1 + x
2
+ x
3
+ x
4

0010 0011010 x
2
+ x
3
+ x
5

1010 1110010 1 + x + x
2
+ x
5

0110 0101110 x + x
3
+ x
4
+ x
5

1110 1000110 1 + x
4
+ x
5

0001 0001101 x
3
+ x
4
+ x
6

1001 1100101 1 + x + x
4
+ x
6

0101 0111001 x + x
2
+ x
3
+ x
6

1101 1010001 1 + x
2
+ x
6

0011 0010111 x
2
+ x
4
+ x
5
+ x
6

1011 1111111 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6

Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 104
0111 0100011 x + x
5

+ x
6

1111 1001011 1 + x
3
+ x
5
+ x
6

Chú ý
Vì tng ca hai t mã là mt t mã nên tng ca hai đa thc mã là mt đa thc mã.
w
(
i
)
,
w
(
i
)
(x)
w
(i)
là t mã do dch t mã w i bit, và w
(i)
(x) là đa thc mã tng ng ca w
(i)
.
Chú ý chúng ta coi w chính là w

(0)
. Bây gi chúng ta s tìm mi liên h gia w
(i)
(x) vi w(x).
Chúng ta da vào ví d trên đ tìm mi liên h này.
i
w
(i)
w
(i)
(x)
0 1101000 1 + x + x
3

1 0110100 x + x
2
+ x
4
= x * (1 + x + x
3
) = x * w(x)
2 0011010 x
2
+ x
3
+ x
5
= x
2
(1 + x + x

3
) = x
2
* w(x)
3 0001101 x
3
+ x
4
+ x
6
= x
3
(1 + x + x
3
) = x
3
* w(x)
4 1000110 1 + x
4
+ x
5
= x
4
+ x
5
+ x
7 mod 7

5 0100011 x + x
5

+ x
6
= x
5
+ x
6
+ x
8 mod 7

6 1010001 1 + x
2
+ x
6
= x
6
+ x
7 mod 7
+ x
9 mod 7

Chúng ta thy rng w
(i)
(x) = x
i
* w(x) tuy nhiên nu w
(i)
(x) có x
p
vi p ≥ n thì x
p

đc thay
bng x
p mod n
. Mc khác trên trng GF(2) chúng ta có
x
n + j
= x
j
* (x
n
+ 1) + x
j
hay x
n + j
mod (x
n
+ 1) = x
j

T đây chúng ta có b đ sau v mi liên h gia w
(i)
(x) vi w(x).
B đ 13.1
w
(i)
(x) = [x
i
* w(x)] mod (x
n
+ 1)

13.2 Các tính cht ca mã vòng
Trong phn này chúng ta s dn ra mt s tính cht ca mã vòng.
nh lý 13.1
a thc mã khác 0 có bc nh nht là duy nht. Hay nói cách khác không tn ti
hai đa thc mã khác 0, khác nhau và cùng có bc nh nht.
Chng minh
Gi s tn ti hai đa thc mã khác 0, khác nhau và cùng có bc nh nht là r, 0 < r < n.
g(x) = g
0
+ g
1
x + … + g
r–1
x
r - 1
+ x
r

f(x) = f
0
+ f
1
x + … + f
r–1
x
r - 1
+ x
r

T đây suy ra đa thc mã g(x) + f(x) có bc nh hn r, mâu thun. Chng minh hoàn tt.

Chúng ta kí hiu đa thc mã có bc nh nht là g(x) và kí hiu là
g(x) = g
0
+ g
1
x + … + g
r–1
x
r - 1
+ x
r

nh lý 13.2
H s t do g
0
ca g(x) phi bng 1.
Chng minh
Gi s g
0
= 0. Suy ra
g(x) = x * (g
1
+ … + g
r–1
x
r - 2
+ x
r - 1
)
Lý thuyt Thông tin

Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 105
t f(x) = (g
1
+ … + g
r–1
x
n - 2
+ x
r - 1
). Chúng ta suy ra f(x) cng là mt đa thc mã. Vì t mã
tng ng vi f(x) là kt qu ca vic dch trái 1 bit hay dch phi (n – 1) bit t mã tng
ng vi g(x). Mà bc ca f(x) bng r – 1 và d nhiên f(x) khác 0. iu này mâu thun vi
đnh ngha ca g(x). T đây suy ra điu phi chng minh.
nh lý 13.3
Mt đa thc
v(x) trên trng GF(2) có bc ≤ n – 1 là đa thc mã nu và ch nu nó
là mt bi s ca g(x). Tc là nó có th vit v(x) = q(x) * g(x).
Chng minh
Trc ht chúng ta chng minh nu v(x) = q(x) * g(x) và bc ca v(x) ≤ n – 1 thì v(x) là
đa thc mã. Thc vy, chúng ta có
v(x) = q(x) * g(x) =
()
∑∑
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
p
i
i
i
p
i
i
i
gqgq
00
)x(*x)x(*x
trong đó p là bc ca q(x) và p + r ≤ n – 1. Mà do x
i
* g(x) vi 0 ≤ i ≤ p là đa thc mã
(tng ng vi t mã do t mã g(x) dch i bit). Nên v(x) là đa thc mã vì bng vi mt t
hp tuyn tính ca các đa thc mã.
Bây gi nu v(x) là đa thc mã thì chia v(x) cho g(x) chúng ta đc
v(x) = q(x) * g(x) + r(x)
trong đó r(x) là đa thc d và có bc nh hn b
c ca g(x). Nhng đi vi các đa thc trên
trng GF(2) chúng ta có th suy ra
r(x) = q(x) * g(x) + v(x)
Nên r(x) là mt đa thc mã. Vì vy do đnh ngha ca g(x) chúng ta suy ra r(x) = 0. Chng
minh hoàn tt.
T đnh lý này chúng ta gi tên đa thc g(x) là đa thc sinh, vì t g(x) có th sinh ra tt c
các đa thc mã khác.
nh lý 13.4

a thc sinh ca m
t mã vòng C(n, k) có bc r = n – k.
Chng minh
Gi r là bc ca đa thc sinh g(x). T đnh lý trên chúng ta có mi đa thc mã v(x) là
mt bi s ca g(x)
v(x) = q(x) * g(x)
Vì vy có bao nhiêu t mã thì có by nhiêu đa thc q(x). Trc ht chúng ta thy do bc ca
v(x) ≤ n – 1 nên bc ca q(x) ≤ (n
– 1) – r. Do đó có tng cng 2
n – r
đa thc q(x) (vì q(x) có
n – r h s thuc trng GF(2)) Mt khác s lng t mã là 2
k
. T đây suy ra
n – r = k hay r = n – k
Chng minh hoàn tt.
T đnh lý này chúng ta có th biu din đa thc sinh g(x) nh sau
g(x) = g
0
+ g
1
x + … + g
n – k
x
n – k

trong đó g
0
= g
n – k

= 1.
nh lý 13.5
a thc sinh ca mt mã vòng C(n, k) là mt c s ca x
n
+ 1.
Chng minh
T B đ 13.1 chúng ta suy ra
g
(i)
(x) = [x
i
* g(x)] mod (x
n
+ 1)
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 106
hay chúng ta có th vit
x
i
* g(x) = q(x) * (x
n
+ 1) + g
(i)
(x)
Bây gi chn i = k và đ ý bc g(x) = n – k nên chúng ta suy ra q(x) = 1 tc là
x
k
* g(x) = (x
n
+ 1) + g

(i)
(x)
T đây suy ra
x
n
+ 1 = x
k
* g(x) + g
(i)
(x)
Mà do g
(i)
(x) là mt đa thc mã nên g
(i)
(x) phi là mt bi ca g(x), tc là chúng ta có th
vit g
(i)
(x) = g(x) * a(x). Th vào trên chúng ta suy ra điu phi chng minh.
x
n
+ 1 = g(x) * (x
k
+ a(x))
nh lý 13.6
Nu g(x) là mt đa thc có bc (n – k) và là c s ca (x
n
+ 1) thì g(x) sinh ra mã
vòng C(n, k), hay nói cách khác g(x) là đa thc sinh ca mt mã vòng C(n, k) nào đó.
Chng minh
Xét k đa thc g(x), x * g(x), …, x

k – 1
* g(x). Các đa thc này đu có bc ≤ n – 1. Gi
v(x) là mt t hp tuyn tính ca k đa thc này vi các h s a
i
∈ GF(2).
v(x) = a
0
g(x) + a
1
x * g(x) + … + a
k – 1
x
k – 1
* g(x)
v(x) là mt đa thc có bc ≤ n – 1 và là bi s ca g(x). Có tt c 2
k
đa thc v(x) khác nhau
và to nên mt không gian tuyn tính ca các đa thc mã vi g(x), x * g(x), …, x
k – 1
* g(x)
là các đa thc làm c s. Vì vy 2
k
t hp (a
0
a
1
… a
k – 1
) tng ng vi
2k

đa thc này to
nên mt mã tuyn tính C(n, k). Bây gi chúng ta chng minh mã này có tính vòng, tc là
chng minh nu v là mt t mã thì dch v 1 bit chúng ta đc v
(1)
cng là mt t mã. iu
này cng tng đng vi nu v(x) là mt đa thc mã thì v
(1)
(x) cng là mt đa thc mã.
u tiên chúng ta biu din v(x)
v(x) = b
0
+ b
1
x + … + b
n – 1
x
n – 1

thì
v
(1)
(x) = b
n – 1
+ b
0
x + b
1
x
2
+ … + b

n – 2
x
n – 1


Theo B đ 13.1 chúng ta có
v
(1)
(x) = [x * v(x)] mod (x
n
+ 1)
Da vào biu din ca v(x) và v
(1)
(x) chúng ta suy ra
x * v(x) = b
n – 1
(x
n
+ 1) + v
(1)
(x)
Do v(x) và (x
n
+ 1) đu là bi ca g(x) nên v
(1)
(x) cng là bi ca g(x). Vì vy v
(1)
(x) cng là
đa thc mã. Chng minh hoàn tt.
13.3 Ma trn sinh và ma trn kim tra ca mã vòng

Ma trn sinh ca mã vòng
T các đnh lý trên chúng ta suy ra mt t mã là mt t hp tuyn tính ca các t mã
tng ng vi các đa thc mã g(x), x * g(x), …, x
k – 1
* g(x). Và vi chú ý rng các đa thc
g(x), x * g(x), …, x
k – 1
* g(x) đc lp tuyn tính vi nhau. Vì vy ma trn sinh ca mã vòng
C(n, k) s là, trong đó g
0
= g
n – k
= 1.
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 107
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
=
−
−−−
−
−−
−−
−
×
44448444476
L
MMMM
L
L
L
44448444476
L
MMMMM
L
L
L
1
0

00
000
1
000
00
0
21
1
0
20
110
210
k
ggg
gg
g
kn
g
gg
ggg
gggg
G
kn
knkn
kn
kn
kn
kn
nk

Ví d 13.2
Tìm mt mã vòng C(7, 4).
Theo các tính cht ca mã vòng chúng ta suy ra đa thc sinh ca mã có bc bng 3 và là mt
c s ca x
7
+ 1. Phân tích đa thc này ra tha s chúng ta đc
x
7
+ 1 = (1 + x)(1 + x + x
3
)(1 + x
2
+ x
3
)
 đây chúng ta có hai tha s ca x
7
+ 1 cùng có bc bng 3, mi tha s s sinh ra mt mã
vòng C(7, 4). Bây gi chúng ta chn chng hn
g(x) = (1 + x + x
3
)
T đây chúng ta suy ra ma trn sinh ca mã vòng này là
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×
1011000
0101100
0010110
0001011
74
G
B mã này chính là b mã đc trình bày trong Ví d 13.1.
Mã vòng dng h thng
 tìm mã vòng dng h thng, chúng ta bin đi t ma trn sinh thành ma trn sinh
dng h thng.  đây chúng ta chú ý rng do tính vòng nên t dng h thng loi 1 chúng ta
có th dch vòng k bit đ bin đi sang dng h thng loi 2 và ngc li. Ví d t ma trn
sinh trong Ví d 13.2 chúng ta bin đi nh sau thì
đc ma trn sinh h thng dng 2: h
3
=
h
3
+ h
1
, h
4
= h
4

+ h
1
+ h
2
trong đó h
i
là hàng th i ca ma trn.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×
1000101
0100111
0010110
0001011
)74(ht
G
Và t đây chúng ta có th có đc ma trn sinh h thng dng 1 bng cách dch vòng k = 4
bit. Kt qu chúng ta có ma trn sinh h thng dng 1 nh sau
⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×
1011000
1110100
1100010
0110001
)74(ht
G
Mã hoá thành t mã h thng
Ngoài vic dùng ma trn sinh h thng đ mã hoá mt thông báo thành t mã h thng
chúng ta có th dùng cách sau đây đ mã hoá thông báo u = a
0
a
1
a
k - 1
thành t mã h thng
dng 2 w = b
0

b
1
b
n–k–1
a
0
a
1
a
k - 1
trong đó n – k bit b
i
là các n – k bit kim tra.
Gi u(x) là đa thc tng ng vi thông báo u. Vì vy bc ca u(x) ≤ k – 1. Chia x
n–k
* u(x)
cho g(x) chúng ta đc
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 108
x
n–k
* u(x) = q(x) * g(x) + a(x)
T đây suy ra
x
n–k
* u(x) + a(x) = q(x) * g(x)
Vì x
n–k
* u(x) + a(x) là bi ca g(x) nên nó là đa thc mã. Và đ ý t mã tng ng vi đa
thc mã này có k bit sau là k bit thông báo, đó chính là t mã h thng dng 2 tng ng vi

thông báo u.
Ví d 13.3
Cho mã vòng C(7, 4) có ma trn sinh là g(x) = (1 + x + x
3
). Hãy mã hoá thông báo u =
1010 thành t mã h thng dng 2.
Chúng ta có u(x) = 1 + x
2
. Nhân u(x) vi x
n–k
= x
3
ri chia cho g(x) chúng ta đc.
x
3
* (1 + x
2
) = x
3
+ x
5
= x
2
* (1 + x + x
3
) + x
2

T đây suy ra
w(x) = x

2
+ x
3
+ x
5

là đa thc mã và t mã tng ng w = 0011010 là t mã h thng dng 2 tng ng vi u.
Ma trn kim tra ca mã vòng
 tìm ma trn kim tra ca mã vòng chúng ta có th s dng cách đã bit là tìm ma
trn kim tra t ma trn sinh hoc ma trn sinh h thng. Tuy nhiên đi vi mã vòng chúng
ta có mt cách xác đnh ma trn kim tra nhanh chóng hn. Trc ht vì g(x) là mt c s

ca x
n
+ 1 nên chúng ta có th biu din
x
n
+ 1 = g(x) * h(x)
Và chúng ta gi h(x) là đa thc đi ngu ca g(x).  ý h(x) có bc k và có th đc biu
din nh sau, trong đó h
0
= h
k
= 1
h(x) = h
0
+ h
1
x + … + h
k

x
k

Gi v(x) = a
0
+ a
1
x + … + a
n – 1
x
n – 1
là đa thc mã tng ng vi t mã v = (a
0
a
1
…a
n – 1
)
Chúng ta có th biu din nh sau trong đó q(x) có bc ≤ k – 1
v(x) = q(x) * g(x)
Bây gi chúng ta nhân v(x) vi h(x) và đc
v(x) * h(x) = q(x) * g(x) * h(x) = q(x) * (x
n
+ 1) = q(x) + x
n
* q(x)
Do q(x) có bc ≤ k – 1 nên t đây chúng ta suy ra các h s ca x
k
, x
k + 1

, …, x
n–1
trong v(x)
* h(x) bng 0. T cách tính h s ca x
k
, x
k + 1
, …, x
n–1
trong v(x) * h(x) theo các h s a
i
và
h
j
ca v(x) và h(x) chúng ta suy ra n – k đng thc sau
∑
=
−
=
k
i
iik
ah
0
0

∑
=
+−
=

k
i
iik
ah
0
1
0

M

∑
=
−−+−
=
k
i
kniik
ah
0
1
0

T các đng thc này chúng ta suy ra các tích vect sau bng 0
(a
0
a
1
… a
n – 1
) * (h

k
h
k–1
… h
0
0 … 0)
T
= 0
(a
0
a
1
… a
n – 1
) * (0h
k
h
k–1
… h
0
… 0)
T
= 0
M
(a
0
a
1
… a
n – 1

) * (0 … 0h
k
h
k–1
… h
0
)
T
= 0
Vì vy nu chúng ta đt
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 109
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
−−+
=
−−
−
−−
×−
444844476
L
MMMM
L
L
L
44448444476
L
MMMMM
L
L
L
1
0
00
000
1
000
00
0

021
01
0
2
11
021
)(
kn
hhh
hh
h
k
h
hh
hhh
hhhh
H
kkk
k
kk
kkk
nkn

thì chúng ta suy ra v ×
H
T
= 0. T đây suy ra H là mt ma trn kim tra ca mã vòng.
Ví d 13.4
Cho mã vòng C(7, 4) có ma trn sinh là g(x) = (1 + x + x
3

). T đây suy ra
h(x) = (1 + x + x
2
+ x
4
)
Và chúng ta có ma trn kim tra ca b mã nh sau
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×
1110100
0111010
0011101
73
H

Chú ý
Mã vòng là mã cho phép thit k các mch mã hoá, sa sai và gii mã d dàng và hiu
qu nên đc s dng rng rãi trong thc t.
Bây gi chúng ta s trình bày ng dng ca trng GF(2
m

) trong vic xây dng các mã
vòng. Trc ht chúng ta có đnh lý sau.
nh lý 13.7
Cho a là mt phn t khác 0 ca trng GF(2
m
) có chu k là n, đa thc ti thiu
f(x) ca a có bc là m. Thì mã có ma trn sau làm ma trn kim tra là mt mã vòng
C(n, n – m), trong đó mi phn t trong ma trn bên di đc thay th bng vect m
thành phn tng ng ca nó.
H
m×
n
= [1 a a
2
… a
n – 2
a
n–1
]
Hn na mã vòng này có đa thc sinh chính là f(x).
Chng minh
Trc ht chúng ta chng minh rng nu w = (b
0
b
1
b
2
…b
n–2
b

n–1
) là mt t mã thì v = (b
n–
1
b
0
b
1
…b
n–3
b
n–2
) cng là mt t mã, t đó suy ra mã có tính vòng. Tht vy nu w là t mã
thì chúng ta có
w × H
T
= 0
hay
b
0
+ b
1
a + b
2
a
2
+ … + b
n–2
a
n–2

+ b
n–1
a
n–1
= 0
trong đó các b
i
∈ GF(2) còn các a
j
∈ GF(2
m
). Nhân a vào đng thc trên chúng ta suy ra
b
0
a + b
1
a
2
+ b
2
a
3
+ … + b
n–2
a
n–1
+ b
n–1
a
n

= 0
hay
b
n–1
+ b
0
a + b
1
a
2
+ b
2
a
3
+ … + b
n–2
a
n–1
= 0
tc là (b
n–1
b
0
b
1
…b
n–3
b
n–2
) cng là mt t mã.

Th hai vì đa thc ti thiu ca a có bc là m nên m phn t 1, a, a
2
, …, a
m–1
là đc lp
tuyn tính. T đó suy ra m hàng ca H là đc lp tuyn tính. Vì vy mã thc s là mã vòng
C(n, n – m).
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 110
Cui cùng nu biu din f(x) = f
0
+ f
1
x + f
2
x
2
+ … + f
m–1
x
m–1
+ f
m
x
m–1
(vi chú ý f
0
= f
m
=

1) thì do f(a) = 0 nên chúng ta suy ra w = (f
0
f
1
… f
m
0 … 0) (gm n thành phn) là mt t mã.
Và không tn ti đa thc mã v(x) nào có bc nh hn m, vì nu ngc li lúc đó chúng ta có
do v × H
T
= 0 suy ra v(a) = 0. iu này mâu thun vi đnh ngha f(x) là đa thc ti thiu
ca a. Chng minh hoàn tt.
Ví d 13.5
Xét trng GF(2
4
) và a có đa thc ti thiu là f(x) = 1 + x + x
4
nh trong Ví d 11.7.
Chú ý a có chu k là 15. Thì ma trn sau là ma trn kim tra ca mã vòng C(15, 11) có đa
thc sinh chính là f(x)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
=
×
111101011001000
011110101100100
001111010110010
111010110010001
154
H

Nu đa thc ti thiu ca a là f(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
thì a có chu k là 5 và các phn t
1, a, , a
4
đc biu din di dng vect nh sau:
1 = (1000)
a = (0100)
a
2
= (0010)
a
3
= (0001)
a

4
= 1 + a + a
2
+ a
3
= (1111)
T đây suy ra ma trn sau là ma trn kim tra ca mã vòng (5, 1)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×
11000
10100
10010
10001
54
H
13.4 Mã BCH nh phân
Mã BCH có tên vit tt ca ba ngi sáng lp ra nó đó là Bose, Chaudhuri và
Hocquenghem. ây là mã vòng có kh nng sa đc nhiu li. Bây gi chúng ta s đa ra

qui trình đ xây dng mã BCH nh phân có kh nng sa đc nhiu li.
i vi các s nguyên dng m và t bt k chúng ta s xây dng mt mã BCH nh phân
có các thông s sau:
 dài t mã: n = 2
m
– 1
S bit kim tra: n – k ≤ mt
Khong cách Hamming: d
min
≥ 2t + 1
Trc ht chúng ta chng minh đnh lý sau đây.
nh lý 13.8
Cho a là mt phn t ca trng GF(2
m
) có đa thc ti thiu là mt đa thc cn
bn bc m. Thì mã có ma trn sau làm ma trn kim tra là mt mã vòng có khong
cách Hamming ≥ 2t + 1, trong đó mi phn t trong ma trn bên di đc thay th
bng vect m thành phn tng ng ca nó.
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 111
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−−−−−−
−−
−−
−−
)1)((12()2)((12()12(212
)1(5)2(5105
)1(3)2(363
122
1
1
1
1
ntnttt
nn
nn
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
H
L
MMMMMM

L
L
L

Hn na đa thc sinh g(x) ca b mã là đa thc bi s chung nh nht ca các đa thc
ti thiu ca các phn t a, a
3
, a
5
, …, a
2t–1
.
Chng minh
T đnh lý chúng ta suy ra a có chu k là n = 2
m
– 1 và vì vy a là mt phn t c s ca
trng GF(2
m
).
Trc ht chúng ta chng minh rng nu w = (b
0
b
1
b
2
…b
n–2
b
n–1
) là mt t mã thì v = (b

n–
1
b
0
b
1
…b
n–3
b
n–2
) cng là mt t mã, t đó suy ra mã có tính vòng. Tht vy nu w là t mã
thì chúng ta có
w × H
T
= 0
hay vit ngc li
H × w
T
= 0
Nhân ma trn B sau vi H
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−12
5
3
000
000
000
000
t
a
a
a
a
B
L
MMMMM
L
L
L

chúng ta đc
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=×
−−−−−
−
−
−
1
1
1
1
)1)((12()12(3)12(212
)1(515105
)1(3963
132
ntttt
n
n
n

aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
HB
L
MMMMMM
L
L
L

Chúng ta có
(B×H)×w
T
= B×(H×w
T
) = B×0 = 0
Mà chúng ta đ ý nu dch vòng ma trn (B×H) 1 ct theo chiu t trái sang phi đc thì
kt qu là ma trn H. T đây suy ra H×v
T
= 0 vi v là kt qu ca vic dch vòng w 1 bit
(theo chiu t trái sang phi). Hay nói cách khác v × H
T
= 0. T đây suy ra mã có tính vòng.
Th hai đ chng minh b mã có khong cách Hamming ≥ 2t + 1 chúng ta ch cn
chng minh mi tp 2t ct ca ma trn H là đc lp tuyn tính. Tht vy gi s tn ti r ct
có các phn t đi đu là
1
k
a ,

2
k
a , …,
r
k
a là có tng bng 0 trong đó r ≤ 2t. T đây chúng ta
suy ra h sau, gi là h (1)
1
k
a
+
2
k
a
+ … +
r
k
a
= 0
3
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
k
a +
3

2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
k
a + … +
(
)
3
r
k
a
= 0
M
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 112
12
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
k

a
+
12
2
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
t
k
a
+ … +
(
)
12
−
t
k
r
a = 0
Mi phng trình trong h 1 có dng p(a) = 0 trong đó p(a) là đa thc ca a. t
i
k
a
= y

i

vi i = 1, 2, …, r. T đây chúng ta nhn đc h (2) sau
y
1
+ y
2
+ … + y
r
= 0
y
1
3
+ y
2
3
+ … + y
r
3
= 0
M
y
1
2t - 1
+ y
2
2t - 1
+ … + y
r
2t - 1

= 0
 ý trong trng GF(2
m
) thì
(y
1
+ y
2
+ … + y
r
)
2
= y
1
2
+ y
2
2
+ … + y
r
2

Vì vy chúng ta có h (3) sau
y
1
+ y
2
+ … + y
r
= 0

y
1
2
+ y
2
2
+ … + y
r
2
= 0
y
1
3
+ y
2
3
+ … + y
r
3
= 0
y
1
4
+ y
2
4
+ … + y
r
4
= 0

M
y
1
2t - 1
+ y
2
2t - 1
+ … + y
r
2t - 1
= 0
y
1
2t
+ y
2
2t
+ … + y
r
2t
= 0
Chúng ta ch ly r phng trình đu và vit di dng ma trn sau, gi là (4)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
0
0
0
0
111
3
2
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21

M
M
L
MMMM
L
L
L
r
r
r
rr
r
r
y
y
y
y
yyy
yyy
yyy


Phng trình (4) có dng Ay = 0, trong đó các phn t ca ma trn A và ca vect y là các
phn t ca trng GF(2
m
). Các phn t y
1
, y
2
, …, y

r
là khác phn t 0 vì vy phng trình
Az = 0 là có nghim không tm thng trong trng GF(2
m
). Vì vy det A = 0 (là phn t 0
ca trng GF(2
m
)). Mà theo B đ 13.2 chúng ta có det A =
∏
>
−
ji
ji
yy )(
vi i, j ∈ {1, 2,
…, r}. (Chú ý trong trng GF(2
m
) phép tr ging vi phép cng). Mà do các phn t a
q

vi q = 1, 2, …, n = 2
m
– 1 là phân bit nhau nên (y
i
– y
j
) ≠ 0 ∀ i ≠ j (Chú ý y
i
=
i

k
a ). Vì vy
det A =
∏
>
−
ji
ji
yy )(
≠ 0. Mâu thun. T đây suy ra điu phi chng minh.
Cui cùng gi g(x) = g
0
+ g
1
x + g
2
x
2
+ … + g
n–1
x
n–1
là đa thc sinh ca b mã. Do
(g
0
g
1
g
2
… g

n–1
) là t mã và (g
0
g
1
g
2
… g
n–1
)× H
T
= 0, nên suy ra
g(a) = 0
g(a
3
) = 0
g(a
5
) = 0
M
g(a
2t–1
) = 0
Nu đt f
1
(x), f
3
(x), f
5
(x), …, f

2t–1
(x) là các đa thc ti thiu ln lt ca các phn t a, a
3
,
a
5
, …, a
2t–1
. T B đ 11.5 chúng ta suy ra g(x) chia ht cho f
1
(x), f
3
(x), f
5
(x), …, f
2t–1
(x).
t p(x) là bi s chung nh nht ca f
1
(x), f
3
(x), f
5
(x), …, f
2t–1
(x). Suy ra g(x) chia ht cho
p(x). Suy ra bc ca g(x) ≥ bc ca p(x). Mt khác nu biu din p(x) bng
p(x) = p
0
+ p

1
x + p
2
x
2
+ … + p
n–1
x
n–1

Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 113

trong đó p
n–1
không nht thit bng 1. (Chú ý các đa thc ti thiu đu là c ca
1x
12
+
−
m

nên p(x) cng vy và có bc ≤ n = 2
m
– 1.) Thì do tt c p(a), p(a
3
), p(a
5
), …, p(a
2t–1

) đu
bng 0 nên (p
0
p
1
p
2
… p
n–1
)× H
T
= 0 nên (p
0
p
1
p
2
… p
n–1
) là t mã, t đó suy ra p(x) là đa
thc mã. Vì vy theo đnh ngha ca đa thc sinh chúng ta suy ra g(x) = p(x). Chng minh
hoàn tt.
B đ 13.2
Ma trn A sau có đnh thc bng
∏
>
−
ji
ji
yy )( vi i, j ∈

{1, 2, …, r}. nh thc này
đc gi là đnh thc Vandermonde.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−−− 11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
r

r
rr
r
r
yyy
yyy
yyy
A
L
MMMM
L
L
L

Chng minh
Tht vy, det A là mt đa thc đng đu det A = p(y
1
, y
2
, , y
r
) trong đó p(y
1
, y
2
, , y
r
)
là mt tng ca các thành phn, mi thành phn bao gm tích ca các y
i

k
vi mi i = 1, 2, ,
r sao cho tng bc ca mi thành phn là bng nhau. D thy bc ca mi thành phn ca p
bng 1 + 2 + … + (r – 1) = r(r – 1)/2. Chú ý nu y
i
= y
j
thì det A = 0. T đây suy ra p(y
1
, y
2
,
, y
r
) chia ht cho (y
i
– y
j
) ∀i ≠ j. Kt hp vi trên chúng ta suy ra
det A = p(y
1
, y
2
, , y
r
) =
∏
>
−
ji

ji
yy )( vi i, j ∈ {1, 2, …, r}.
Chng minh hoàn tt.
Ví d 13.6
Cho m = 4, t = 2 chúng ta s xây dng mt mã vòng có chiu dài t mã là 2
4
– 1 = 15 và
có khong cách Hamming d ≥ 5. Chúng ta s xây dng bng cách da vào trng GF(2
4
).
Cho a là phn t có đa thc ti thiu là đa thc cn bn có bc 4 sau
f
1
(x) = 1 + x + x
4

Trng này chính là trng GF(2
4
) trong Ví d 11.7. a có chu k n = 2
m
– 1 = 15. Chúng ta
có ma trn kim tra ca b mã nh sau.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
4239363330272421181512963

141212111098765432
1
1
aaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaa
H


Thay mi phn t a
i
bng vect (m = 4 thành phn) tng ng chúng ta đc
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 114
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
111101111011110
101001010010100
110001100011000
100011000110001
111101011001000
01111
0101100100
001111010110010
111010110010001
H

Và đa thc sinh g(x) là bi s ca hai đa thc ti thiu tng ng vi phn t a và a
3
. Theo
Ví d 11.7 chúng ta có đa thc ti thiu ca a
3
là f
3
(x) = 1 + x + x
2

+ x
3
+ x
4
.
T đây suy ra g(x) = f
1
(x) * f
3
(x) = (1 + x + x
4
) * (1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
) = 1 + x
4
+ x
6
+ x
7
+
x
8

Chú ý
Trong trng hp đa thc ti thiu ca a không phi là đa thc cn bn thì chúng ta s
tìm đc mã vòng có chiu dài n ≠ 2

m
+ 1, vi n là chu k ca a. Trng hp này sinh viên
t ly ví d.
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 115
BÀI 14 GII THIU V MT MÃ HOÁ
14.1 Gii thiu
14.2 Mt s phép mt mã đn gin
14.3 B gãy (breaking) mt h mt mã
14.4 Kt hp các phng pháp mt mã hoá
14.5 S không chc chn và s bo mt hoàn ho (perfect secrecy)
14.6 Các hàm mt chiu (one-way function)
14.7 C s toán hc ca mt mã hóa
14.1 Gii thiu
Mã hoá bo mt (hay mt mã hóa) có mt lch s lâu đi. Trc ht nó đã tng đc s
dng t rt lâu trong các cuc chin tranh c đi và sau đó kéo dài cho đn tn bây gi. Tuy
nhiên t khi chic máy tính đu tiên ra đi và kéo theo sau đó là c mt cuc cách mng d
di v thông tin và truyn thông đã làm thay đi cuc sng ca con ngi. Chúng ta không
còn trao đi và x lý thông tin theo nhng cách thc truyn th
ng tn nhiu thi gian và
công sc mà càng ngày càng chuyn nhiu trao đi qua nhng môi trng đin t nhanh
chóng và hiu qu. Chng hn nh các giao dch tài chính, chuyn khon, mua sm, đng ký
kt hôn, đng ký khai sinh, … càng ngày càng đc thc hin qua môi trng mi, môi
trng đin t. Tuy nhiên chúng ta cn nhn mnh rng đi kèm vi s phát trin ca khoa
hc k thut, các thit b
đin t hin đi hoàn toàn có th “bt” đc các thông tin đang
đc truyn đi trên mng, trên internet hay qua đin thoi vô tuyn, hu tuyn, sóng v tinh,
… Vì vy nhu cu bo mt thông tin ngày càng tr nên quan trng và cp thit. Trong các
bài hc sau đây chúng ta ch yu trình bày nhng nét chính ca lnh vc mt mã hóa d
liu. Nu mun nghiên cu chuyên sâu chi tit, bn đc có th tham kho thêm t các tài

li
u tham kho đc nêu hoc t ngun tài nguyên phong phú trên internet. Trc ht trong
bài hc này chúng ta s trình bày các vn đ và các khái nim c bn ca bo mt.
Thông báo, vn bn (message, plaintext)
Thông báo, vn bn là mt chui hu hn kí hiu ly t mt bng ch cái ∑ và
thng đc kí hiu là m.
 đây ∑ thng là bng ch cái ting Anh gm 26 kí t, thnh tho
ng có thêm c kí t
khong trng.
Mt mã hóa (encryption), phép mt mã hoá
e
(
m
)
Mt mã hoá là vic bin đi mt thông báo sao cho nó không th hiu ni đi vi
bt k ai ngoi tr ngi nhn đc mong mun. D hiu hn mt mã hóa là vic
“ngy trang” hay “che du” thông báo, vn bn di mt dng khác đ cho nhng
ngi “ngoài cuc” không th xác đnh đc thông báo, vn bn gc. Phép mt mã
hóa thng đc kí hiu là e(m), vi m
là thông báo cn mt mã hóa.
Trong thc t, mt mã hoá đc xem nh là mt hàm, mt ánh x hay mt gii thut vi
mt tp các thông s (ngoài thông s cn có là thông báo cn mã hoá). T đây chúng ta có
khái nim khoá.
Khoá (key), khóa mã hóa, khóa gii mã
Khoá là mt thông s đu vào ca phép mã hoá hoc gii mã (nó không phi là
thông báo cng nh là chui mt mã). Khóa dùng đ mã hóa kí hiu là k
e
và khóa
dùng đ gii mã kí hiu là k
d

. Trong mt s h mt mã hóa 2 khóa này chính là mt lúc
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 116
đó chúng ta gi chung là k, ngc li trong mt s h mt mã hóa 2 khóa này là khác
nhau. Tuy nhiên gia 2 khóa này thng có mt mi liên h vi nhau.
Mt phép mt mã hoá có th có nhiu khoá mã hóa (tng ng có nhiu khóa gii mã).
Các khóa này thng đc sinh ra t mt khóa mã hóa ban đu nào đó đc chn trc.
Chui mt mã (cipher, ciphertext, cryptogram)
Chui mt mã là chui “ngy trang”, tc là chui kt qu tng ng ca chui
thông báo qua phép mt mã hóa và th
ng đc kí hiu là c.
c = e(m, k
e
).
Phép gii mã (decryption)
d
(
c
,
k
d
)
Phép gii mã là quá trình xác đnh thông báo gc t chui mt mã c và khóa gii
mã k
d
và thng đc kí hiu là d(c, k
d
).
d(c, k
d

) = m.
Chúng ta có th xem phép gii mã nh là mt ánh x ngc ca phép mã hóa.
H mt mã (cryptosystem)
Mt cách hình thc, mt h mt mã đc đnh ngha là mt b bn (M, K
1
, K
2
, C).
Trong đó M là tp các thông báo m trên các bng ch cái ∑
, K
1
là tp hu hn các
khoá mã hóa k
e
, K
2
là tp hu hn các khoá gii mã k
d
, C là tp các chui mt mã c
trên bng ch cái Γ
, ngoài ra còn có thêm gi thit rng tn ti các hàm hay gii thut
e và d sao cho
e: M ×
K
1
→
C
d: C ×
K
2

→
M
và đi vi mi cp (m, k
e
) ∈
M × K
1
,
d(e(m, k
e
) , k
d
) = m
Chú ý
Chúng ta thông thng gia k
e
và k
d
có mi liên h vi nhau và thng đc sinh ra
theo tng cp nên trong nhiu trng hp chúng ta có th xem mt h mt mã nh là mt b
ba (M, K, C) trong đó K là tp hp các khóa mã hóa k.
Trong ng cnh ca lý thuyt mt mã hóa đôi lúc chúng ta nói mã hóa thay cho mt mã
hóa và h mã thay cho h mt mã.
H mt mã khóa bí mt (secret key cryptosystem)
H mã khóa bí mt hay còn gi là h mã đi xng (symmetric cryptosystem) là h
mã mà trong đó vi
c mã hóa và gii mã dùng chung mt khóa bí mt.
H mt mã khóa công khai (public key cryptosystem)
H mã khóa công khai hay còn gi là h mã bt đi xng (assymmetric
cryptosystem) là h mã mà trong đó vic mã hóa và gii mã s dng 2 khóa khác nhau,

t khóa này không th tìm ra khóa kia mt cách d dàng. Khóa dùng đ mã hóa
thng đc thông báo công khai và đc gi là khóa công khai (public key), còn khóa
dùng đ gii mã đc gi bí mt và đc gi là khóa bí mt hay khóa riêng t (private
key).
Chú ý
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 117
Hin nay có mt s h mã đi xng dùng 2 khóa khác nhau cho vic mã hóa và gii mã.
C 2 khóa này đu đc gi bí mt vì t khóa này có th xác đnh đc khóa kia không khó
khn. D nhiên nó cng không đc gi là h mã khóa “công khai” đc.
14.2 Mt s phép mt mã đn gin
Phép thay th đn gin
Trong phép này, khoá là mt hoán v π ca bng ch cái ∑ và mi kí hiu ca
thông báo đc thay bng nh ca nó qua hoán v π.
Thng thng, khoá đc biu din nh mt chui 26 kí t, chng hn nu khoá là
UXEOS…, thì nó biu th rng bt k mt s xut hiên ca A trong thông báo thì đc thay
bng U, B đc thay bng X, C đc thay bng E, D đc thay bng O, E đc thay bng
S, … Các khong trng thng đc gi nguyên không b thay th.
Phép thay th
n-gram

Thay vì thay th đi vi các kí t, ngi ta có th thay th cho tng cm 2 kí t (gi là
digram) hoc tng cm 3 kí t (gi là trigram) và tng quát cho tng cm n kí t (gi là n-
gram). Nu bng ch cái ∑ gm 26 kí t ting Anh thì phép thay th n-gram s có khoá là
mt hoán v ca 26
n
n-gram khác nhau (có 26
n
chui khác nhau chiu dài n). Trong trng
hp digram thì hoán v gm 26

2
digram và có th biu din tt nht bng mt dãy 2 chiu 26
× 26 trong đó các hàng biu din kí hiu đu tiên, các ct biu din kí hiu th hai, ni dung
ca các ô biu din chui thay th. Ví d bng 2 chiu sau biu th AA đc thay bng EG,
AB đc thay bng RS, BA đc thay bng BO, BB đc thay bng SC, …

A B
…
A
EG RS
B BO SC
…
Phép hoán v bc
d

i vi mt s nguyên dng d bt k, chia thông báo m thành tng khi có chiu dài
d. Ri ly mt hoán v π ca 1, 2, …, d và áp dng π ti mi khi. Chng hn nu d = 5 và π
= (4 1 3 2 5), thì có ngha là hoán v (1 2 3 4 5) s đc thay bng hoán v mi (2 4 3 1 5).
Ví d nu chúng ta có thông báo
m = JOHN |IS A |GOOD |ACTOR
thì qua phép mt mã này s tr thành chui mt mã sau
c = ONHJ |SA I |ODOG |COTAR
 gii mã ngc li ta phi tìm hoán v ngc π
- 1
. Trong trng hp này chúng ta có π
- 1

= (2 4 3 1 5). Tng quát nu π = (i
1
i

2
… i
n
) thì π
- 1
= (j
1
j
2
… j
n
) trong đó
kj
k
i
=
, có ngha
là trong π
- 1
 v trí th i
1
cha giá tr 1,  v trí th i
2
cha giá tr 2, …
Phng pháp Vigenère và Caesar
Trong phng pháp này, khoá bao gm mt chui ca d kí t. Chúng đc vit lp li
bên di thông báo và đc cng modulo 26, vi chú ý rng bng ch cái đc đánh s t
A = 0 đn Z = 25. Các kí t khong trng s đc gi nguyên không cng.
Chng hn vi d = 3, nu khoá là chui ABC thì thông báo
m =

MARY I S GOOD
vi khoá
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 118
k =
ABCA BC ABCA
tr thành
c =
MBTY J U GPQD
Trong trng hp d = 1, nh vy khoá ch là mt kí t đn, thì đc gi là phng pháp
Caesar vì đc cho là đc s dng ln đu bi Julius Caesar.
Phng pháp Playfair
ây là mt s đ da trên s thay th digram trong đó khoá là mt hình vuông kích
thc 5 × 5 cha mt s sp xp nào đó ca 25 kí t ca bng ch cái (không tính kí t J vì
s xut hin ít ca nó và có th
thay nó bng I). Gi s chúng ta có ma trn khoá nh sau
B Y D G Z
W S F U P
L A R K X
C O I V E
Q N M H T
S thay th s đc thc hin nh sau. Chng hn nu digram cn thay th là AV thì
trong hình ch nht có A, V là hai đnh chéo nhau thay A bng đnh k ca nó theo đng
thng đng chính là O và tng t thay V bng đnh k ca nó theo đng thng đng
chính là K. Tng t nu digram c
n thay th là VN thì chui thay th là HO. Nu các kí t
ca digram nm trên hàng ngang thì chui thay th là các kí t bên phi ca chúng. Chng
hn nu digram là WU thì chui thay th là SP, nu digram là FP thì chui thay th là UW,
nu digram là XR thì chui thay th là LK. Tng t nu các kí t ca digram nm trên
hàng dc thì chui thay th là các kí t bên di ca chúng. Chng hn nu digram là SO

thì chu
i thay th là AN, nu digram là MR thì chui thay th là DI, nu digram là GH thì
chui thay th là UG. Trong trng hp digram là mt cp kí t ging nhau chng hn OO
hoc là mt kí t đc đi kèm mt khong trng chng hn B฀
thì có nhiu cách x lý, cách
đn gin nht là gi nguyên không bin đi digram này.
Phng pháp khoá t đng (autokey)
Trong phng pháp này, có mt khoá “mi” (priming key), cái mà thng là ng
n và
đc s dng đ khi đu quá trình mt mã hoá. Quá trình mã hoá đc tip tc bng cách
s dng c bn thân thông báo ln chui mt mã (cryptogram) đang chy. Xét ví d sau: Gi
s khoá mi là VENUS và thông báo là SEND SUPPLIES. u tiên s dng thông báo nh
mt khoá đang chy, chúng ta mã hoá bng phép cng mod 26. (Chú ý các khong trng s
đc b qua)
m: S E N D S U P P L I E S
k:
V E N U S
S E N D S U P
Chui mt mã N I A X K M T C O A Y H
S dng chui mt mã trên nh là mt khoá vi khoá mi nh c chúng ta đc kt qu mã
hoá nh sau.
m: S E N D S U P P L I E S
k:
V E N U S
N I A X K M T
Chui mt mã N I A X K H X P I S Q L
Phng pháp bin đi tuyn tính
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 119
Ý tng c bn là chia thông báo thành nhng khi có chiu dài d và gn khi này vi

mt vect x, gm d s nguyên, và ri nhân vect x này vi mt ma trn không suy bin (tc
có đnh thc khác 0) s đc chui mt mã y = Ux. Vic gii mã đc thc hin bng cách
nhân y vi ma trn nghch đo U
- 1
ca U, x = U
- 1
y.
 đm bo các phép toán đc thc hin trên mt trng, các tính toán s đc tính
trong modulo ca mt s nguyên t. Chng hn ly bng ch cái ∑ gm 37 kí t nh sau và
đc đánh s ln lt t 0 đn 36: 10 ch s t 0 đn 9, khong trng, và 26 kí t ch cái.
Vi bng ch cái này, nu chn d = 2 và ma trn làm khoá là:
k = U =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1522
133

Thông báo m = FRIEND đc biu din nh là
m = FR | IE | ND = 15, 27 | 18, 14 | 23, 13
Thì
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
351432
161426
131427
231815
1522
133

Vy chui mt mã là
c = 26, 32 | 14, 14 | 16, 35 = Q, W | E, E | G, Z = QWEEGZ
14.3 B gãy (breaking) mt h mt mã
B gãy mt h mt mã có ngha là gì? Nó có ngha là vic xác đnh đc vn bn hay
thông báo gc t nhng gì có th bit đc.
Chúng ta cn phân tích nhng kh nng có th b b gãy ca mt h mt mã, có nh vy
mi giúp chúng ta xây dng đc nhng yêu cu, tiêu chun đi vi mt h mt mã an toàn
và cho ra đi nhng h mt mã này và nhng h mt mã ngày càng an toàn h
n (cái mà s

đc trình bày trong các bài sau). Nói chung vic xây dng và b gãy các h mt mã đó là
mt quá trình chin đu gia hai bên, mt bên là nhng ngi xây dng còn mt bên là
nhng ngi tìm các yu đim ca cách xây dng đ vt qua. Chính quá trình b gãy đã
giúp cho vic xây dng ngày càng tt hn, tuy nhiên ngc li các k thut b gãy cng
ngày càng phát trin và tinh vi hn. ây có th xem là mt trng hp đin hình c
a quá
trình chin đu và phát trin không ngng ca hai mt ca mt vn đ.
Quay tr li vi vic b gãy, nhng chuyên gia mt mã hay nhng k tn công thng
đc gi thit bit đy đ thông tin v hàm mã hoá e, hàm gii mã d và khóa mã hóa k
e
.
Thêm vào đó, h cng có th có nhiu thông tin h tr nh các thng kê v ngôn ng, kin
thc v ng cnh, vân vân.
H s chn chn có mt chui mt mã nào đó, và tt c nhng gì mà h thiu là khoá
gii mã k
d
t đó h có th s dng d đ gii mã c mt cách chính xác. Và vì vy vic b gãy
có th qui v vic tìm/tính khóa gii mã k
d
t nhng gì h bit. Vic b gãy có th minh
ha nh hình nh bên di.

B phát sinh khoá k
B mã hoá e B gii mã d
Nhng k
tn công
m
k
e
k
d
c = e(m, k)
m
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 120


Hình 14.1 Mô hình ca mt h mt mã
Nhng gi thit trên là hoàn toàn thc t. Tht vy nhng phng pháp mã hóa và gii
mã hu nh không th gi bí mt. i vi nhng phng pháp mã hóa đn gin thì nhng
k tn công đã bit đy đ. Còn đi vi nhng phng pháp mã hóa phc tp thì thng
không phi do mt ngi ngh ra mà là do mt nhóm hoc nhiu ng
i cùng ngh ra. Thm
chí ngay c khi ch do mt ngi ngh ra thì khi áp dng vào các h thng truyn thông vn
có th có nhiu ngi qun lý h thng đó bit. Chính vì vy vic gi bí mt phng pháp
mã hóa là rt khó. Bí mt lúc này ging nh mt “cây kim trong bc”, lâu ngày cng có th
b phát hin. Mà mt khi mt ngi khác đã bit thì nhiu ngi có th bit. Và điu này
cng
đúng đi vi phép gii mã.
Chính vì hiu đc điu này nên mi có s ra đi ca h mã khóa công khai nh đã
đc gii thiu  trên. Trong h mã khóa công khai, gii thut mã hóa, gii mã, và c khóa
mã hóa đu đc công khai, ch có duy nht mt cái cn gi bí mt đó là khóa dùng đ gii

mã. iu này cng ging các loi  “khóa bi” hay “khóa s vòng” trong thc t. Chúng ta
nh rng, nguyên lý ch to c
a các loi  “khóa bi” hay “khóa s vòng” hoàn toàn có th
bit đc, nhng đ m đc  khóa chúng ta cn phi có chìa.
Có ba kh nng tn công cái mà chúng ta d đoán đi phng có th s tn công trên h
thng ca chúng ta:
1. Tn công ch da trên chui mt mã (crytogram-only attack): ây là trng hp đi
phng ch bit mt vài mu chui mt mã c.
2. Tn công da trên v
n bn đã bit (known-plaintext attack): Trng hp này thc t
hn trng hp (1). Trong trng hp này nhng ngi tn công đc gi thit là đã
bit mt đ dài đáng k ca vn bn thông báo và chui mt mã tng ng, và t đó c
gng tìm ra khoá (mã hóa cng nh gii mã).
ây là mt s tn công d di khó chng đ hn nhi
u nhng ngày nay đc xem nh
là mt chun an toàn ti thiu phi đt đc. Tht vy vào thi đim hin ti, tiêu chun
thích hp nht đ đánh giá mt h mt mã là  kh nng ca nó đ chng đ s tn công
thm chí còn mnh hn nh sau
3. Tn công da trên vn bn đc chn (chosen-plaintext attack): Trong trng hp này,
nh
ng ngi tn công có th đã có đc mt s lng tu ý ca các cp thông báo và
chui mt mã tng ng (m, c).
Không khó đ thy rng không có h thng (hay phng pháp) mt mã nào đã mô t 
mc 14.2 trên đây có th chng đ mt cuc tn công da trên vn bn đc chn.
Trng hp liên quan đn kh nng b tn công c
a nó đi vi s tn công da trên vn
bn đã bit là phc tp hn. Chng hn, xét h thng đn gin nht – h thng dùng phng
pháp thay th đn gin – sao cho khoá k là mt hoán v ca 26 ch cái trong đó A →
P, B
→ F, vân vân. Bây gi nu thông báo m đc gi là “silly message” bao gm ch A đc

lp li n ln, thì trong chui mt mã c tng ng, ch P s đc lp li n ln. Không thành
vn đ chúng ta có n ln bao nhiêu, cp thông báo - chui mt mã c th này s không sinh
ra khoá k. Tuy nhiên bng vic da vào các thng kê v xác sut xut hin ca các kí t,
đng thi duyt qua các phng án chn khóa theo th t đc đánh giá là hp lý nht đn
ít hp lý hn c
ng vi s tr giúp tính toán vi tc đ nhanh ca các siêu máy tính, vic tìm
ra khóa s là không quá khó và tn nhiu thi gian. Shannon và nhiu nhà nghiên cu khác
bng nhng nghiên cu v thng kê và entropy ca ting Anh đã phát biu rng
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 121
Vi nhng chui mt mã có chiu dài 30 kí t hoc hn biu din cho nhng chui
thông báo có ngha trong ting Anh thì gn nh chc chn có th tìm ra khóa ca nó
trong các phng pháp mã hóa nói trên.
Tóm li có th nói rng nu đã cho mt chiu dài va đ ca thông báo và chui mt
mã, bt k h thng hay phng pháp mt mã  trên đu có th b b gãy (crack), tc là
khóa có th đc tìm th
y.  đây chúng ta xem mt ví d đn gin v cách b gãy.
Ví d 14.1
Gi s mt h mt mã đc bit là da trên phng pháp Caesar vi bng ch cái gm
27 kí t đc đánh s nh sau
A = 0, B = 1, …, Z = 25, khong trng = 26
và phép cng thc hin theo mod 27. Chúng ta chp đc chui mt mã c sau
HWXGOQCCZOXGOXBORCST
Chúng ta đ ngh cách tn công sau đ tìm khoá cha bit k
0
. Chn các khoá d tuyn cho k
0

mt cách ngu nhiên và đi ngc chui mt mã, theo tng kí t, cho đn khi nào thông báo
có ý ngha.

Vì vy, nu đu tiên chúng ta chn k
0
= E, chúng ta s đi ngc c và nhn đc
DSTC …
ti ng cnh này chúng ta thy rng E không phi là khoá k
0
. Li chn k
0
= Z, cái này s đi
ngc c thành
JYZ …
cái này bác b Z.
S la chn k tip (theo linh cm ???!!!) ca chúng ta là k
0
= P và nhanh chóng thy
rng chui mt mã đã đc bin đi thành chui vn bn có ngha
THIS BOOK IS IN CODE
Ti ng cnh này chúng ta không đm bo rng không có cp thông báo-khoá khác mà s
sinh ra cùng chui mt mã trên. Tuy nhiên th tc kim tra ca nhng khoá khác cng
tng t nh vy.
14.4 Kt hp các phng pháp mt mã hoá
Mt cách t nhiên đ tng tính bo mt là kt hp nhiu phng pháp mt mã hoá vi
nhau. Hai cách nh vy, đc Shannon đ ngh t nm 1949, vn to nên c s ca nhiu h
mt mã thc t. ó là
1. Cách dùng tng trng s: Nu S
1
, S
2
, …, S
n

là các h mã hoá có cùng không gian
thông báo và 0 < p
i
< 1 và 1
1
=
∑
=
n
i
i
p thì tng ca chúng
i
n
i
i
Sp
∑
=1
là h mt mã dùng S
i

vi xác sut p
i
.
Ly ví d trong trng hp n = 2 tc là có 2 h mã hóa S
1
, S
2.
. Thì h thng p

1
S
1
+ p
2
S
2

có m + n khóa k
1
, k
2
, …, k
m
, k
1
’, k
2
’, …, k
n
’ trong đó khóa k
i
đc s dng vi xác sut p
1
q
i

còn khóa k
j
’ đc s dng vi xác sut p

2
q
i
’.
2. Cách dùng tích: Áp dng các h thng (hay phng pháp) ni tip nhau, đu ra ca h
thng này, chng hn S
1
, là đu vào ca h thng k tip, chng hn S
2
. D nhiên tp hp
đu ra ca h thng đi trc S
1
phi là tp con ca tp hp đu vào ca h thng đi sau
k tip S
2
. Nu thc hin đc thì chúng ta kí hiu h thng kt hp này là
S = S
1
ο
S
2
.
Gi s S
1
có các khóa k
1
, k
2
, …, k
m

, mi khóa k
i
đc dùng vi xác sut q
i
, S
2
có các
khóa k
1
’, k
2
’, …, k
n
’, mi khóa k
j
’ đc dùng vi xác sut q
j
’, thì S = S
1
ο
S
2
có mn khóa vi
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 122
các xác sut q
i
q
j
’. Chú ý rng S

1
ο S
2
thng có ít hn mn khóa có hiu qu, vì mt vài phép
bin đi ca tích có th trùng nhau.
3. Chúng ta có th kt hp đng thi c hai cách trên.
S
3
ο
(p
1
S
1
+ p
2
S
2
) = p
1
S
3
ο S
1
+ p
2
S
3
ο S
2

(p
1
S
1
+ p
2
S
2
) ο
S
3
= p
1
S
1
ο S
3
+ p
2
S
2
ο S
3

S
1
ο
(S
2
ο S

3
) = (S
1
ο S
2
) ο S
3

Chú ý S
1
ο
S
2
tng quát không bng vi S
2
ο S
1
.
14.5 S không chc chn và s bo mt hoàn ho (perfect secrecy)
Xét mt h mt mã (M, K, C) và gi thit rng M = {m
1
, m
2
, …, m
n
} là mt tp hu hn
các thông báo. Gi p
i
là xác sut thông báo m
i

đc gi đi, q
j
là xác sut khóa k
j
đc chn
và vic chn khóa đc lp vi thông báo đc gi đi. T hai s phân b xác sut này chúng
ta suy ra s phân b xác sut ca chui mt mã c
∑
=
=
n
i
ji
kpcP
1
)(

trong đó v phi đc tính tng trên tt c các cp thông báo - khóa (m
i
, k
j
) sao cho e(m
i
, k
j
)
= c.
n đây chúng ta có th coi vic mt mã hóa tng t nh mt kênh truyn thông đc
trình bày trong BÀI 9, trong đó tp thông báo M là mt ngun ri rc không nh, còn hàm
mã hóa e vi các khóa k là kênh truyn.

Chúng ta có
∑
=
−=
n
i
ii
ppMH
1
log)(
∑
−=
jj
qqKH log)(
∑
=
−=
n
i
cPcPCH
1
)(log)()(

Chúng ta gi H(K | C) là s không chc chn v khóa, H(M | C) là s không chc chn
v thông báo. ôi khi chúng ta kí hiu h mt mã (M, K, C) bng S và ri kí hiu s không
chc chn v khóa, H(K | C), là H(S).
nh lý 14.1
S không chc chn v khóa quan h vi s không chc chn v thông báo bng
H(K | C) = H(M | C) + H(K | M, C)
Chng minh

H(M | C) = H(M, C) - H(C)
= H(M, K, C) - H(K | M, C) - H(C)
H(K | C) = H(K, C) - H(C)
= H(M, K, C) - H(M | K, C) - H(C)
Nh
ng
H(M | K, C) = 0
Nên
H(K | C) = H(M, K, C) - H(C)
T đây suy ra điu phi chng minh.
H qu 14.1
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 123
S không chc chn v khóa ln hn hoc bng s không chc chn v thông báo.
Vì H(M | C) là đ bt ng trung bình v thông báo m khi nhn đc chui mt mã c nên
chúng ta có th nói rng mt h mt mã (M, K, C) là hoàn ho nu H(M | C) = H(M). Có
ngha là vic nhn đc chui mt mã c không giúp chúng ta bit thêm gì v
thông báo m.
Hay nói cách khác ngun M và C đc lp vi nhau. Tuy nhiên nh chúng ta s thy rt khó
đ đt đc điu này.
nh lý 14.2
Mt h mt mã (M, K, C) là hoàn ho nu và ch nu
P(m | c) = P(m)
vi mi thông báo m ∈
M và chui mt mã c ∈ C.
H qu 14.2
Mt h
mt mã (M, K, C) là hoàn ho nu và ch nu
P(c | m) = P(c)
vi mi thông báo m ∈

M và chui mt mã c ∈ C.
nh lý 14.3
iu kin cn đ mt h mt mã (M, K, C) là hoàn ho là nó có s lng khóa ít
nht là bng s lng thông báo.
Chng minh
Xét tp thông báo M = {m
1
, m
2
, …, m
n
} và mt khóa k c đnh. Khóa này s ánh x các
thông báo m
i
khác nhau thành các chui mt mã khác nhau c
i
. Vì h mt mã là hoàn ho nên
da vào h qu trên đây chúng ta có
P(c
i
| m
i
) = P(c
i
)
đng thi
P(c
i
| m
j

) = P(c
i
)
vi mi j ≠ i.
Vì vy phi có mt khóa k’ khác nào đó cái mà ánh x m
j
thành c
i
. iu này đúng cho mi j
(1 ≤ j ≤ n), và tt c các khóa nh vy phi khác nhau. Vì vy phi có ít nht là n khóa.
Ví d 14.2
Mt ví d c đin v h mt mã hoàn ho là “one-time pad”. Nó đc gii thiu ln đu
bi G. S. Vernam vào nm 1926. Nó hot đng nh sau. Gi s bng ch cái Σ là bng ch
cái ti
ng Anh gm 26 kí t (các du chm câu và khong trng đc b qua) và các kí t
này đc biu din theo đúng th t thành các s nguyên t 0 đn 25 Thông báo m gi đi
gm n kí t.  mã hóa m, sinh mt chui ngu nhiên n kí t t bng ch cái Σ, mi kí t s
có mt xác sut đc chn là 1/26 và vic chn các kí t là đc lp ln nhau. Dãy ng
u
nhiên này (z
1
, z
2
, , z
n
) s làm khóa cho phép mã hóa sau.
C = e(m, k) = (y
1
, y
2

, , y
n
)
trong đó
y
i
= x
i
+ z
i
(mod 26)
D dàng thy rng h thng này có 26
n
khóa có th, vì vy
H(K) = n log 26
Vì các khóa này đu có kh nng đc chn nh nhau nên chúng ta có
P(k | c) = 1/26
n

Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 124
vi bt k khóa k nào.
H mt mã này đã đc chng minh là h mt mã hoàn ho. Tuy nhiên có mt vài hn ch
ln trong vic s dng các h mt mã này.
1. Không có mt phng pháp toán hc đ sinh ra các chui ngu nhiên đc lp làm khóa.
Ch có mt s phng pháp toán hc sinh ra các chui “gi ngu nhiên” mà thôi, tuy
nhiên chúng không đm bo đc rng s đt đc mc đ b
o mt ging nh trng
hp ngu nhiên tht s.
2. Chiu dài các khóa đúng bng chiu dài thông báo và phi đc truyn đn bên nhn đ

bên nhn dùng cho vic gii mã. Nh vy khóa này cng có th b bt đc trên đng
truyn và vì vy đn lt nó li cn phi đc mã hóa!!!
Mc dù có nhng hn ch nh vy nhng chúng cng đã đ
c s dng khá nhiu trong
thc t trc đây.
14.6 Các hàm mt chiu (one-way function)
Ý tng dùng các hàm mt chiu đ mã hóa là ct lõi ca các phng pháp mt mã hóa.
Tuy nhiên rt khó đ đa ra mt đnh ngha toán hc chính xác cho nó. Mt cách không
hình thc, mt hàm mt chiu là mt hàm
f: S → T, trong đó S, T là hai tp bt k sao cho
1. Vi bt k x ∈ S, f(x) là d dàng đ tính.
2. ã cho mt y = f(x) v
i mt x nào đó cha đc bit, thì rt “khó” (hoc không kh thi)
đ tìm ra đc x đi vi phn ln các y thuc T. Khó  đây đng ngha vi vic phi tn
rt nhiu thi gian và chi phí đ tìm ra x.
Nó rõ ràng rng, đã cho f(x), mt cách tìm x là tìm kim vét cn thông qua tt c nhng giá
tr x có th ca S. Tuy nhiên đ
iu này s không kh thi nu S quá ln, chng hn nu S là tp
tt c nhng chui nh phân 200 bit (có 2
200
chui nh vy).
Ví d 14.3
Cho S là tp tt c các cp s nguyên t (p, q) và
f(p, q) = p × q
D thy rng t p, q chúng ta d dàng tìm ra f(p, q) nhng ngc li trong trng hp p và q
là các s nguyên t khá ln, chng hn có khong 100 ch s, t f(p,
q) chúng ta phi tn
rt “nhiu” thi gian mi có th tìm ra p và q.
Mt ví d khác nh sau. Cho S = {1, 2, , p - 1} vi p là mt s nguyên t khá ln
(chng hn có 200 ch s). Có khá nhiu đa thc f(x) (là song ánh) trên S

f(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
(mod p)
sao cho t x chúng ta d dàng tính đc f(x) nhng điu ngc li thì rt khó.
Bài toán mt khu (password)
Mt trong nhng ng dng đu tiên ca các hàm mt chiu là vào vic gii quyt bài
toán v bo mt các mt khu trong các mô hình chng thc (xác nhn quyn hp l) đin
t (electronic authentication scheme).
Ví d xét mt h thng máy tính truy xut t xa trong đó m
i ngi s dng (user) phi
đng nhp (log on) vào h thng bng cách gi đi mt mt khu (password) bí mt. Rt
nguy him v mt bo mt nu chúng ta lu danh sách nhng ngi s dng và password
ca h trong mt dng không mã hóa trong mt file trên máy, vì nó gn nh không th gi
bí mt ni dung file đc. R. M. Needham đã đ ngh gii pháp sau đây cho bài toán này.
Cho f là mt hàm mt chi
u nào đó trong đó min xác đnh ca nó là tp các password
có th (là nhng chui kí t). Khi mt ngi s dng mi tham gia vào h thng, anh ta s
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 125
chn mt password, gi là p

i
, cho mình. Thay vì máy tính lu tr p
i
, nó s lu tr chui f(p
i
)
cái mà d dàng tính đc t p
i
.
Mt ngi bt k không có quyn hp l là có th xem đc ni dung ca file cái mà
cha danh sách tên ngi s dng tng ng. Có ngha là file này không cn đc gi bí
mt. Khi ngi s dng u
i
đng nhp vào h thng, anh ta ch cn gõ vào tên đng nhp u
i

và mt khu p
i
ca anh ta, máy tính s tính f(p
i
) và so sánh nó vi phn t (u
i
, f(p
i
))  trong
file. S trùng khp cho phép u
i
truy xut vào h thng. Còn nhng ngi không có quyn
hp l mun b gãy h thng bng cách n cp password thì phi tìm p
i

t f(p
i
) tc là tìm
hàm ngc ca f.
14.7 C s toán hc ca mt mã hóa
Kí hiu c s chung ln nht
c s chung ln nht ca các s nguyên n
1
, n
2
, …, n
k
đc kí hiu là gcd(n
1
, n
2
,
…, n
k
).
Hàm-phi Euler φ(
n
)
Vi n là s t nhiên, φ(n) đc đnh ngha là s các s t nhiên nh hn n và
nguyên t cùng nhau vi n.
Ví d φ(4) = 2 (bao gm 1 và 3), φ(5) = 4, φ(6) = 1, φ(7) = 6, φ(8) = 4.
Ta có mt s kt qu sau.
1. Vi p nguyên t thì φ(p) = p - 1,
2. Vi p nguyên t, k là s t nhiên thì φ(p
k

) = p
k
– p
k - 1
= p
k - 1
(p – 1)
3. Vi m, n là các s t nhiên nguyên t cùng nhau thì φ(mn) = φ(m) φ(n)
nh lý 14.4 nh lý Fermat
Nu p là s nguyên t, a là mt s nguyên thì
a
p
≡
a (mod p)
Nu p không là c s ca a thì
a
p – 1
≡
1 (mod p)
Ví d 14.4
4
5
≡ 4 (mod 5), 4
7
≡ 4 (mod 7), 4
7 - 1
≡ 1 (mod 7), 10
5 - 1
≡ 0 (mod 5)
nh lý 14.5 nh lý Fermat m rng (Euler)

Nu a và m nguyên t cùng nhau thì
a
φ
(m)
≡
1 (mod m)
Trong trng hp m là nguyên t thì φ(m) = m – 1 ta có đnh lý Fermat.
H qu 14.3
Vi a, b, c, m là các s t nhiên, a ≡ b (mod φ(m)), c và m nguyên t cùng nhau (tc
gcd(c, m) = 1) thì
c
a
≡
c
b
(mod m)
Tht vy a ≡ b (mod φ(m)) nên a = kφ(m) + b suy ra
c
a
≡ c
kφ(m) + b
≡ c
kφ(m)
× c
b
≡ 1 × c
b
≡ c
b
(mod m)

H qu 14.4
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 126
Nu e, d là các s nguyên thõa mãn e.d ≡ 1 (mod φ(m)) thì vi mi s c nguyên t
cùng nhau vi m ta có
)(mod)( mcc
de
≡
H qu này đc suy ra t h qu trên bng cách áp dng a = e.d còn b = 1.
Cn nguyên thy (primitive root)
Cho n và a là các s t nhiên nguyên t cùng nhau và 1 ≤ a ≤ n. Nu ∀ d, 1≤ d <
φ(n) mà
a
d
≠
1 (mod n)
thì a đc gi là cn nguyên thy ca n.
Ví d, 2 là cn nguyên thy ca 5 bi vì trong mod 5
2
1
= 2, 2
2
= 4, 2
3
= 3, 2
4
= 1
Nhn xét
Không phi mi s nguyên đu có cn nguyên thy. 8 là s t nhiên nh nht không có
cn nguyên thy.

nh lý 14.6
S n có cn nguyên thy nu và ch nu n là 1, 2, 4 hoc n có dng p
k
hoc 2p
k
trong
đó p là mt s nguyên t l và k là s t nhiên.
Nu n có cn nguyên thy thì nó có chính xác φ
(φ(n)) cn nguyên thy.
B đ 14.1
Mi s t nhiên mà không phi là s chính phng (bình phng ca mt s t
nhiên khác) là cn nguyên thy ca mt s nguyên t nào đó.
Nhn xét
Nu n là s t nhiên khá ln (có vài trm ch s
), cho đn bây gi cha có mt gii
thut hiu qu (chy trong thi gian “chp nhn đc”) đ tìm cn nguyên thy ca nó.
Hàm logarit ri rc
Cho n là mt s t nhiên bt k có cn nguyên thy là a. Vi x, y là các s t nhiên
trong đó (0 ≤
x < φ(n)) và thõa
y = a
x
(mod n)
thì x đc gi là logarit ri rc ca y vi c s a và tính trong mod n và đc vit
x = log
a
y (mod n)
Nhn xét
Hàm a
x

 trên là mt hàm mt chiu. Tc là t x chúng ta d dàng tính đc y, nhng
ngc li t y rt khó đ tính đc x. Hin ti cha có mt gii thut hiu qu nào, chy
trong thi gian “chp nhn đc”, thc hin đc điu này.
ng dng hàm mt chiu đ gii quyt bài toán phân phi khóa
Mt trong nhng bài toán c b
n ca các phng pháp mt mã hóa c đin là làm th
nào đ phân phi khóa mt cách an toàn. Nu thông báo không th đc truyn đi an toàn
thì liu khóa có th đc truyn đi mt cách an toàn ?
Lý thuyt Thông tin
Ngi son H Vn Quân - Khoa CNTT - H Bách Khoa Tp.HCM 127
Nm 1976, Diffie và Hellman đã đ ngh mt cách rt hiu qu đ gii quyt bài toán
này bng cách da trên tính cht mt chiu ca hàm logarit ri rc đã nói trên và sau đó
phng pháp này đã đc hin thc bi Hewlett Packard và tp đoàn Mitre.
Xét mt tp nhng ngi s dng u
i
(1 ≤ i ≤ n) mun truyn thông vi nhau. Cho p là
mt s nguyên t rt ln (p ln hn n nhiu) và có cn nguyên thy là a. Mi ngi s dng
u
i
s sinh ra mt cách đc lp mt s t nhiên x
i
ngu nhiên trong khong {1, 2, , p - 1} và
gi nó bí mt. Tuy nhiên, anh ta s công b khóa công khai ca anh ta là
)(mod pay
i
x
i
=
Khi u
i

và u
j
truyn thông vi nhau thì chúng s s dng khóa gia chúng nh sau
)(mod pak
ji
xx
ij
=
 tính đc k
ij
, u
j
s da vào
)(mod pay
i
x
i
=
đã công b công khai ca u
i
và khóa x
j
bí
mt ca nó, ri tính k
ij
bng cách sau
)(mod pyk
j
x
iij

=

Và đi u
i
đ tính đc k
ij
cng s làm tng t nh trên. Bng cách này, d nhn thy rng,
mt ngi khác u
i
và u
j
mun bit đc k
ij
là rt khó.
n đây chúng ta kt lun bài này bng mt phát biu da trên ý kin ca Shannon. Bt
k mt h mt mã nào cng có th b b gãy vn đ là chúng ta s xây dng h mt mã sao
cho vic b gãy là tn nhiu thi gian và chi phí.