Luận án tiến sĩ một số dạng hàng đợi và các nguyên lý xử lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ QUỐC PHÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ
-----------------------------------

NGUYỄN TRUNG DŨNG

MỘT SỐ DẠNG HÀNG ĐỢI VÀ CÁC NGUYÊN LÝ XỬ LÝ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ QUỐC PHÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ
----------------------------------

NGUYỄN TRUNG DŨNG

MỘT SỐ DẠNG HÀNG ĐỢI VÀ CÁC NGUYÊN LÝ XỬ LÝ
Chuyên ngành: Cơ sở tốn học cho tin học
Mã sớ : 9460110

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS.NCVCC Nguyễn Hồng Hải
2. TS Trần Quang Vinh

Hà Nội - 2018


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan các cơng trình nghiên cứu trong luận án này là của cá
nhân tôi. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được
ai cơng bố trong các cơng trình nào khác. Các dữ liệu tham khảo được trích
dẫn đầy đủ.
Tác giả

Nguyễn Trung Dũng


ii

LỜI CÁM ƠN
Luận án được nghiên cứu thực hiện tại Viện Công nghệ thông tin - Viện
Khoa học Công nghệ Quân sự/BQP và Bộ tư lệnh 86/BQP, dưới sự hướng
dẫn khoa học của TS.Nguyễn Hồng Hải và TS.Trần Quang Vinh.
Lời đầu tiên nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết sâu sắc tới thầy giáo
Nguyễn Hồng Hải và thầy giáo Trần Quang Vinh, những người thầy đã giúp
đỡ và đưa nghiên cứu sinh đến lĩnh vực nghiên cứu này. Các thầy đã tận tình
giảng dạy, hướng dẫn, động viên, khuyến khích và chỉ dẫn giúp nghiên cứu
sinh tiếp cận và đạt được thành công trong học tập, nghiên cứu và hoàn

thành bản luận án này.
Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lịng biết ơn tới Đảng ủy, chỉ huy Viện
Cơng nghệ thông tin - Viện KH-CN Quân sự; Đảng ủy, chỉ huy BTL 86; các
cán bộ Phòng Đào tạo - Viện KH-CN Qn sự; cán bộ phịng Tốn ứng dụng
- Viện Công nghệ thông tin - Viện KH-CN Quân sự; cán bộ phòng Phần mềm
và CSDL – BTL 86 đã nhiệt tình ủng hộ, động viên kịp thời và hết lịng giúp
đỡ nghiên cứu sinh trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại đơn vị.
Cuối cùng nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn tồn thể gia đình,
những người luôn ở bên cạnh và dành cho nghiên cứu sinh những tình cảm và
chia sẻ động viên giúp đỡ tinh thần những lúc khó khăn trong cuộc sống,
cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả

Nguyễn Trung Dũng


iii

MỤC LỤC
Trang
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...................................... V
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................... VIII
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ................................................................................ IX
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
VÀ MẠNG HÀNG ĐỢI ............................................................................................. 5
1.1. Một số khái niệm xác suất có liên quan ............................................... 6
1.1.1. Biến ngẫu nhiên ............................................................................................ 6
1.1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên ........................................... 6
1.1.3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên ............................................................. 7
1.1.4. Một số đại lượng ngẫu nhiên quan trọng (thường dùng).......................... 8

1.2. Quá trình Markov................................................................................ 10
1.2.1. Các định nghĩa và một số tính chất ban đầu ................................... 10
1.2.2. Xích Markov thời gian rời rạc ........................................................ 11
1.3. Lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi ............................................... 14
1.3.1. Hàng đợi ......................................................................................................14
1.3.2. Mạng hàng đợi ............................................................................................18
1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước về mạng hàng đợi .. 27
CHƯƠNG 2. MẠNG ĐA LỚP TỔNG QUÁT - THUẬT TOÁN PHÂN RÃ
VÀ TỔNG HỢP .........................................................................................................41
2.1. Phân rã mạng hàng đợi tổng quát thành các mạng thành phần..... 42
2.2. Tổng hợp mạng hàng đợi tổng quát theo các mạng thành phần .... 46
2.2.1. Luân chuyển job trong mạng hàng đợi tổng quát G/G/J trong bối cảnh
job luân chuyển giữa các mạng thành phần ........................................................47
2.2.2. Xét trường hợp riêng – trong mạng chập khơng có sự ln chuyển dịng
job giữa các mạng thành phần..............................................................................65
2.3. Về một mơ hình mạng hàng đợi cụ thể .............................................. 68
2.3.1. Tập các mạng thành phần ..........................................................................69
2.3.2. Dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi tại bước n (n≥1) ...............70
2.4. Xây dựng chương trình tính tốn lưu lượng dòng job luân chuyển


iv

trong mạng hàng đợi .............................................................................. 72
2.4.1. Nêu bài toán ................................................................................................73
2.4.3. Sơ đồ khối thuật toán tổng hợp mạng hàng đợi.......................................75
2.4.4. Bộ số liệu thử nghiệm ................................................................................76
2.4.5. Kết quả tính tốn lưu lượng dòng job luân chuyển trong mạng ............76
CHƯƠNG 3. ĐÁNH GIÁ QUÁ TRÌNH TRẠNG THÁI CỦA MẠNG
HÀNG ĐỢI DẠNG TỔNG QUÁT ........................................................................86

3.1. Trạng thái và phương trình chuyển trạng thái của mạng ............... 88
3.1.1. Các định nghĩa, ký hiệu .............................................................................89
3.1.2. Phương trình chuyển trạng thái của nút mạng .........................................90
3.1.3. Phân phối xác suất chuyển trạng thái của nút mạng ...............................92
3.2. Phân phối và tính chất của q trình trạng thái .............................. 94
3.2.1. Phân phối xác suất của trạng thái tại nút mạng sau một bước ...............94
3.2.2. Phân phối xác suất của trạng thái tại các nút mạng sau k bước............96
3.2.3. Điều kiện để quá trình trạng thái nút mạng và mạng hàng đợi là Markov 97
3.3. Ứng dụng để tính các đặc trưng của mạng hàng đợi ..................... 107
3.3.1. Trung bình số job có trong nút mạng .....................................................107
3.3.2. Thơng lượng của nút mạng......................................................................107
3.3.3. Xác suất vượt ngưỡng tại nút mạng........................................................107
3.3.4. Trung bình số job có trong mạng hàng đợi ............................................108
3.3.5. Thông lượng của mạng hàng đợi ............................................................108
3.3.6. Một phương pháp phân chia dòng job vào mạng hàng đợi ..................108
KẾT LUẬN ...............................................................................................................114
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ ..........................116
TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................117
Phụ lục 1. Ma trận xác suất định tuyến của các mạng thành phần và ma trận
xác suất chuyển job tại nút mạng giữa các mạng thành phần………………..P1
Phụ lục 2. Chương trình phần mềm tính tốn lưu lượng dòng job luân chuyển
trong mạng hàng đợi tổng quát……………………………………………..P12


v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
1. Danh mục các ký hiệu
A(1)
Số job thuộc loại 1 từ bên ngoài vào nút j trong khoảng thời

j ( n ) :

gian [ n−1 , n ] .
A(2)
Số job thuộc loại 2 từ bên ngoài vào nút j trong khoảng thời
j ( n ) :

gian [ n−1 , n ] .
Ai(,hj,l ) ( t ) :

Biến cố job chuyển từ nút i sang nút j trong mạng thành phần

( h, l ) tại thời điểm t .
Ai , j ( t ) :

Biến cố job chuyển từ nút i sang nút j trong mạng chập tại
thời điểm t .

aic ( n ) :

Lưu lượng dòng job đến nút i của mạng thành phần c tại bước n .

ai (n) :

Véc tơ chỉ lưu lượng dòng job đến nút i trong mạng hàng đợi

c tại bước n .
bic ( n ) :

Lưu lượng dòng job tại nút i trong mạng thành phần c tại bước n .

bi (n) :

Véc tơ chỉ lưu lượng dòng job tại nút i trong mạng hàng đợi tại
bước n .

di ( n ) :

Lưu lượng dòng job từ nút i ra khỏi mạng hàng đợi tại bước n .

Ej :

Không gian trạng thái của nút j .

L:

Tập tất cả các mạng thành phần của mạng hàng đợi.

Li :

Tập các mạng thành phần có chứa nút i .

Nj :

Kích thước của hàng đợi tại nút j của mạng.

P(t ) :

Ma trận xác suất định tuyến của mạng chập tại thời điểm t .

P c ( n) :

Ma trận xác suất định tuyến của mạng thành phần c tại bước n .

pi , j (t ) :

Xác suất định tuyến job chuyển từ nút i sang nút j trong mạng
chập tại thời điểm t .


vi

pic, j (n) :

Xác suất định tuyến job chuyển từ nút i sang nút j trong
mạng thành phần c tại bước n .

Qi ( n ) :

Ma trận xác suất chuyển trạng thái của quá trình trạng thái tại
nút j tại thời điểm  n .

Si ( n ) :

Ma trận xác suất chuyển job trong nút i giữa các mạng thành
phần tại bước n .

Sic,d (n) :

Xác suất chuyển job trong nút i từ mạng thành phần c sang

mạng thành phần d tại bước n .

Si ( n ) :

Ma trận xác suất chuyển job trong nút i tại bước n .

sic (n) :

Xác suất chuyển job từ nút i trong mạng thành phần c ra
ngoài mạng hàng đợi c tại bước n .

si (n) :

Véc tơ xác suất chuyển job từ nút i ra ngoài mạng hàng đợi c
tại bước n .

vic ( n ) :

Lưu lượng dòng job từ bên ngoài vào trong mạng thành phần c
tại nút i tại bước n .

vi (n) :

Véc tơ chỉ lưu lượng dịng job từ ngồi mạng hàng đợi vào nút
i trong mạng hàng đợi tại bước n .

X ( n ) :

Trạng thái mạng hàng đợi tại thời điểm  n .

X j ( n ) :

Số job có trong nút j tại thời điểm  n và được gọi là trạng thái
nút j tại thời điểm  n .

ij ( n ) :

Số job từ nút i chuyển sang nút j tại thời điểm  n .

2. Danh mục các chữ viết tắt
DP:

Ưu tiên phục vụ theo cơ chế động (Dynamic Priorities).

FCFS:

Job vào trước được phục vụ trước (First-Come-First-Served).

FIFO:

Job vào trước ra trước (First-In-First-Out)

GPSS:

Hệ thống mô phỏng các sự kiện rời rạc, được Geoffrey Gordon


vii

(IBM), phát triển chính từ những năm 1960 (General Purpose

Simulation System).
HTTP:

Giao thức truyền tải siêu văn bản (HyperText Transfer Protocol).

IS:

Số lượng server vô hạn (Infinite Server)

JMT:

Công cụ dùng để mô phỏng mạng hàng đợi sử dụng ngơn ngữ
lập trình Java (Java Modelling Tools).

Job:

Công việc, Khách hàng (Job).

LCFS:

Job vào sau được phục vụ trước (Last-Come-First-Served).

OSI:

Mơ hình tham chiếu cho việc kết nối các hệ thống mở
(Reference model for Open Systems Interconnection).

RR:

Thời gian phục vụ job của hàng đợi được phân chia thành các

đoạn thời gian và nếu tại cuối một đoạn thời gian mà job chưa
được phục vụ xong, khi đó job sẽ quay về hàng chờ để được
phục vụ tiếp (Round Robin).

SIRO:

Job được lựa chọn phục vụ ngẫu nhiên (Service-In-Random- Order).


viii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 2.1. Chỉ số hóa các mạng thành phần………………………………....69
Bảng 2.2. Lưu lượng dòng job luân chuyển trong mạng hàng đợi tổng quát....76
Bảng 2.3. Lưu lượng dòng job luân chuyển trong các mạng thành phần……..77
Bảng 2.4. Lưu lượng dòng job luân chuyển giữa các mạng thành phần tại các nút.....79


ix

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1. Cấu trúc hàng đợi……………………...………………………….15
Hình 2.1. Dịng job ln chuyển trong mạng tổng qt……………………..44
Hình 2.2. Dịng job ln chuyển trong mạng thành phần……………………46
Hình 2.3. Sơ đồ khối thuật tốn tổng hợp mạng hàng đợi…………………...75
Hình 2.4. Biểu đồ lưu lượng dòng job trong mạng hàng đợi và ra khỏi mạng
hàng đợi sau một bước tại nút 1……………………………………………..77
Hình 2.5. Biểu đồ lưu lượng dịng job trong mạng thành phần (1,1) và ra khỏi

mạng (1,1) sau một bước…………………………………………………….79
Hình 2.6. Biểu đồ lưu lượng dịng job có trong mạng thành phần (1,1) và ra
khỏi mạng (1,1) sau một bước tại nút 1……………………………………...84
Hình 3.1. Mơ hình mạng hàng đợi dạng tổng quát G/G/J…………………...87
Hình 3.2. Lược đồ chuyển trạng thái của hàng đợi M/M/1/∞-FCFS………...92
Hình 3.3. Lược đồ chuyển trạng thái của quá trình trạng thái tại nút mạng…94



1

MỞ ĐẦU
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều mạng hàng đợi đã ra
đời và được ứng dụng trong thực tế đời sống xã hội như hệ thống mạng viễn
thơng, hệ thống mạng máy tính, hệ thống dây chuyền sản xuất… Việc nghiên
cứu, đánh giá hiệu năng hoạt động của các hệ thống này là một trong những
bài toán quan trọng và phức tạp. Để nghiên cứu, đánh giá hiệu năng hoạt động
của hệ thống, chúng ta có thể áp dụng nhiều cơng cụ tốn học khác nhau và
một trong cơng cụ tốn học quan trọng có thể sử dụng là lý thuyết hàng đợi và
lý thuyết mạng hàng đợi.
Nghiên cứu về mạng hàng đợi, hai trong số các lớp bài tốn vừa có ý
nghĩa khoa học vừa có ý nghĩa thực tiễn đã và đang được nhiều tác giả trên
thế giới quan tâm là lớp bài tốn nghiên cứu q trình trạng thái của các nút
mạng, quá trình trạng thái của mạng hàng đợi và lớp bài tốn xác định q
trình dịng job ln chuyển trong mạng hàng đợi.
Các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước từ trước đến
nay nhằm xác định phân phối xác suất của trạng thái mạng hàng đợi và các
tham số hiệu năng khác của mạng… chỉ đạt được với mạng hàng đợi thỏa
mãn điều kiện như dòng vào là dòng Poisson, thời gian phục vụ của các nút
mạng các biến ngẫu nhiên có phân phối mũ, mạng hàng đợi hoạt động ở trạng

thái cân bằng. Đối với mạng hàng đợi với giả thiết dòng vào tổng quát, thời
gian phục vụ của các nút mạng là các biến ngẫu nhiên có phân phối bất kỳ,
các tác giả mới dừng lại ở việc xác định phân phối xác suất gần đúng của
trạng thái mạng hàng đợi trong một số điều kiện nhất định.
Có nhiều vấn đề kể cả từ thực tiễn cũng như từ lý thuyết đòi hỏi phải xét
những mơ hình mạng hàng đợi với những giả thiết rộng rãi hơn được đặt lên các
cấu trúc của mạng hàng đợi như: giả thiết về dòng job từ bên ngoài vào mạng


2

phục vụ; giả thiết về thời gian phục vụ, giả thiết về cơ chế ưu tiên phục vụ; giả
thiết về cơ chế xây dựng ma trận xác suất định tuyến trong mạng hàng đợi…
* Xuất phát từ những vấn đề trên, luận án “Một số dạng hàng đợi và
các nguyên lý xử lý” đặt ra mục tiêu:
Nghiên cứu các tính chất của các quá trình trạng thái tại nút mạng và
mạng hàng đợi; Xác định các tham số hiệu năng của mạng; Xác định dòng job
luân chuyển trong mạng.
* Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của luận án là mạng hàng đợi dạng tổng quát.
* Nội dung nghiên cứu chính:
- Nghiên cứu một số hàng đợi và mạng hàng đợi trong các cơng trình
nghiên cứu đã được các tác giả trên thế giới cơng bố. Dựa trên các cơng
trình nghiên cứu của các tác giả trên thế giới từ đó phát hiện các vấn đề
mở trong các mơ hình mạng hàng đợi đã được công bố.
- Đề xuất mô hình mạng hàng đợi và giải quyết một số lớp bài tốn có
liên quan mơ hình mạng hàng đợi đã đề xuất. Tập trung vào hai lớp bài
toán: Lớp bài tốn xác định q trình dịng job ln chuyển trong mạng
hàng đợi và lớp bài toán liên quan đến các quá trình trạng thái tại các
nút mạng và của mạng hàng đợi.

* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:
Trong các mạng hiện nay như mạng viễn thơng, mạng máy tính, dây
chuyền sản xuất…thì bài tốn đánh giá hoạt động của mạng thông qua việc
xác định các tham số hiệu năng của mạng như phân phối xác suất của trạng
thái mạng, thơng lượng mạng, trung bình số job có trong mạng, trung bình
thời gian phục vụ job, xác suất tắc nghẽn mạng…là bài toán phức tạp và lời
giải của bài toán này sẽ phụ thuộc vào nhiều tham số và một số tham số quan
trọng đó là lưu lượng dịng job vào mạng, dung lượng của mạng, năng lực


3

phục vụ của mạng, cơ chế luân chuyển job trong mạng, cơ chế dòng vào, cơ
chế ưu tiên phục vụ. Việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các tham số nêu trên
để tìm ra các đặc trưng của mạng cũng như tìm ra phương án điều chỉnh thích
hợp nhằm đảm bảo chất lượng phục vụ của mạng và tối ưu hóa việc sử dụng
tài nguyên của mạng là vấn đề luôn được đặt ra và cần phải giải quyết một
cách hợp lý.
Có một số phương pháp đã được sử dụng để xác định mối quan hệ của các
đại lượng nói trên, trong đó phương pháp mơ hình hóa phân tích theo lý
thuyết hàng đợi là phương pháp tổng quát nhất. Trong phương pháp mơ hình
hóa phân tích, lưu lượng dịng job vào mạng được mơ tả dưới dạng các q
trình ngẫu nhiên, năng lực phục vụ của các nút mạng được mô tả bởi các biến
ngẫu nhiên, cơ chế luân chuyển job trong mạng được mô tả bởi ma trận xác
suất định tuyến và dựa vào lý thuyết hàng đợi để tính tốn các đặc trưng của
mạng. Đặc biệt, trong mạng đa dịch vụ như mạng viễn thông, mạng máy tính
với các yêu cầu khác nhau về chất lượng phục vụ, cơ chế dòng vào, cơ chế ưu
tiên phục vụ thì sử dụng lý thuyết hàng đợi là một trong số cách tiếp cận có
hiệu quả để giải quyết vấn đề.
Bên cạnh các dạng hàng đợi đã được mơ hình hóa và áp dụng trong thực

tế đời sống xã hội cịn có nhiều dạng mơ hình mạng hàng đợi đã được các nhà
khoa học nghiên cứu đã và đang là những dạng mơ hình mạng hàng đợi mang
tính định hướng. Với ý nghĩa đó, luận án tập trung nghiên cứu về dòng job
luân chuyển trong mạng và nghiên cứu các q trình trạng thái của mạng hàng
đợi, từ đó tính toán một số đặc trưng hiệu năng của mạng.
* Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng các phương pháp của lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi, kết
hợp với một số phương pháp của lý thuyết xác suất và thống kê toán học để


4

nghiên cứu và giải quyết một số bài toán quan trọng trong mơ hình mạng
hàng đợi tổng qt.
* Bố cục luận án:
Ngồi phần mở đầu; kết luận; các cơng trình khoa học đã công bố; tài liệu
tham khảo; phụ lục; nội dung của luận án được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi.
Chương 2. Mạng đa lớp tổng quát – Thuật toán phân rã và tổng hợp.
Chương 3. Đánh giá quá trình trạng thái của mạng hàng đợi tổng quát.
Nội dung của luận án sử dụng các kết quả đã được công bố trong các bài
báo của tác giả Luận án thuộc danh mục cơng trình khoa học đã công bố
(trang 116). Một số kết quả nghiên cứu đã được in trong kỷ yếu của đại hội
toán học Việt Nam lần thứ 8 và đã được trình bày trong tiểu ban Xác suất và
thống kê tốn học của đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8 diễn ra từ ngày 1014/08/2013 tại thành phố Nha trang, tỉnh Khánh Hòa.


5

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ
MẠNG HÀNG ĐỢI
Hoạt động của mạng hàng đợi phụ thuộc vào rất nhiều tham số đầu vào,
trong đó có một số tham số đầu vào quan trọng như dịng job từ bên ngồi vào
mạng hàng đợi, cơ chế luân chuyển job trong mạng, năng lực phục vụ và cơ
chế ưu tiên phục vụ job tại các nút của mạng. Dịng job từ bên ngồi vào mạng
là các q trình ngẫu nhiên, năng lực của các nút mạng được mô tả bởi các biến
ngẫu nhiên thể hiện thời gian phục vụ, cơ chế luân chuyển job trong mạng
được mô tả bởi ma trận xác suất định tuyến. Hơn nữa, khi đánh giá hoạt động
của mạng hàng đợi, chúng ta phải xác định nhiều tham số hiệu năng của mạng
như phân phối xác suất của trạng thái nút mạng và trạng thái mạng hàng đợi,
trung bình số job có trong nút mạng và có trong mạng, xác suất tắc nghẽn
mạng, thông lượng của mạng…Như vậy để nghiên cứu về mạng hàng đợi,
chúng ta phải nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến lý thuyết xác suất, lý
thuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết hàng đợi và lý thuyết mạng hàng đợi.
Nội dung chính của chương 1 trình bày về một số khái niệm xác suất, quá
trình Markov; lý thuyết hàng đợi, mạng hàng đợi được dùng trong luận án;
trình bày tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước về mạng
hàng đợi, phát hiện một số vấn đề mở trong các mơ hình mạng hàng đợi đã
được cơng bố từ đó xác định các nội dung nghiên cứu trong luận án.
Cấu trúc chương 1 gồm bốn phần chính:
1. Một số khái niệm xác suất có liên quan.
2. Xích Markov thời gian rời rạc.
3. Lý thuyết hàng đợi và mạng hàng đợi.
4. Tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước về mạng hàng đợi.


6

1.1. Một số khái niệm xác suất có liên quan

Trong mục này luận án trình bày về một số khái niệm xác suất cơ bản có
liên quan đến luận án ([5], [10], [44]).
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Xét không gian xác suất (,,P) và không gian đo ( ,) với  là trường Borel trên đường thẳng thực

.

Định nghĩa 1.1
Mỗi ánh xạ đo được X: (,)→( ,) được gọi là một đại lượng ngẫu
nhiên một chiều (hoặc đơi khi người ta cịn gọi là một biến ngẫu nhiên).
Để ký hiệu biến ngẫu nhiên, người ta có thể viết X() (với  ) hoặc viết X.
1.1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.2
Xét biến ngẫu nhiên X, với x 

hàm số

F(x) = [X < x].
được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Để ký hiệu hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X, người ta thường viết
FX(x) và để đơn giản người ta viết F(x).
Hàm phân phối F(x) có các tính chất sau:
(i) 0 < F(x) <1 x.
(ii) Không giảm: x < y  F(x) < F(y).
(iii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm.
F ( x ) = 1.
(iv) F(-) := lim F ( x ) = 0 , F(+) := xlim
→+
x →−

Các phân phối đối với các loại biến ngẫu nhiên:
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x 1, x2 ,..., xn,...}, khi đó
hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là


7

F ( x) =  pi

,

xi  x

trong đó pi =[X= xi] với i=1,2,...
Nếu tồn tại hàm f :

→ 0, + ) sao cho:
x

F ( x) =

 f ( t )dt ,

x

.

−

thì biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối và f là hàm mật độ

phân phối xác suất của X.
1.1.3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Giả sử X= X() là biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3
Nếu tồn tại đại lượng :
E ( X ) =  xi pi nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
i

E(X ) =

+

 xf ( x ) dx

nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục,

−

thì đại lượng đó được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên X.
Với kỳ vọng của X có hàm phân phối F ( x) , đôi khi người ta viết
E ( X ) =  xdF ( x ) .

Định nghĩa 1.4
Nếu tồn tại đại lượng
DX = E ( X − E ( X ) )

2

,

thì đại lượng đó được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X.
Đối với phương sai của biến ngẫu nhiên X đơi khi người ta cịn ký hiệu là VarX .
Người ta cũng có cơng thức tính phương sai khác là
DX = EX2 − ( E ( X ) )

2

.


8

Định nghĩa 1.5
Xét k 

+

, đại lượng

+ EXk được gọi là moment bậc k (cấp k).
+ E ( X − E ( X ) ) được gọi là moment trung tâm bậc k (cấp k).
k

+ E X k được gọi là moment tuyệt đối bậc k.
+ E X − EX k được gọi là moment trung tâm tuyệt đối bậc k.
Nếu các đại lượng đó tồn tại.
1.1.4. Một số đại lượng ngẫu nhiên quan trọng (thường dùng)
- Phân phối nhị thức:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số

n, p ( n 

+

, p  ( 0,1) ) nếu X có miền giá trị S = {0, 1,…, n} và

X = k  = Ckn pk (1 − p )n −k ,

k  S.

(1.1)

Khi đó X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p hay nói
gọn, X có phân phối B(n, p) (cịn viết X ~ B(n, p)). Đặc biệt nếu X ~ B(1, p)
thì X được gọi là có phân phối Bernoulli.
- Phân phối Poisson:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số  (> 0)
và được ký hiệu là X ~ P() nếu X có miền giá trị S =  = {0, 1, 2,…} và

- Phân phối đều:

 k e−
X = k =
,
k!

k = 0, 1…

(1.2)

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều và được ký hiệu là
X~U(a; b) nếu hàm mật độ của nó có dạng

 1
nÕu a  x  b,

f (x) = b − a
.
0
nÕu
x

a;b




(1.3)


9

Hàm phân phối đều có dạng

- Phân phối mũ:

0
x −a

F(x) = 

b −a
1

nÕu x < a
nÕu a  x  b .

(1.4)

nÕu x  b

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số  (> 0) nếu
hàm mật độ của nó có dạng
e−x nÕu x > 0
f (x) = 
.
nÕu x  0
0

(1.5)

Hàm phân phối mũ có dạng

1 − e−x nÕu x > 0
F(x) = 
.
nÕu x  0
0

(1.6)

- Phân phối Gamma:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối gama với các tham số , p
(, p > 0) và được ký hiệu là X ~ G(, p) nếu hàm mật độ của nó có dạng

 p x p −1e− x

f ( x) =  ( p )
0


nÕu x  0
nÕu x  0

,

(1.7)

+

p −1 − x
trong đó  ( p ) = 0 x e dx,p  0 .

Phân phối mũ là trường hợp đặc biệt của phân phối Gama khi p = 1.
- Phân phối Erlang:
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Erlang với các tham số k, λ
(λ>0, k  +) và được ký hiệu là X ~ Er(k,λ) nếu hàm mật độ của nó có dạng

 k xk −1e− x
f ( x, k ,  ) =
víi x  0,   0 .

( k −1)!
Hàm phân phối Erlang có dạng

(1.8)


10

k −1

F ( x, k ,  ) = 1 − 

e−  x (  x )

n =0

n!

n

.

(1.9)

1.2. Quá trình Markov
Trong mục này luận án trình bày về một số khái niệm về quá trình
Markov liên quan đến luận án ([9], [10], [34], [36]).
1.2.1. Các định nghĩa và một số tính chất ban đầu
Định nghĩa 1.6. Q trình ngẫu nhiên
Ánh xạ X :  →

(

+

= 0, + ) )

được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu  

+

và với mỗi t   thì X ( t ,  ) là một biến ngẫu nhiên.

Nếu  là tập có lực lượng khơng q đếm được, khi đó X ( t ,  ) là quá
trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và nếu  là 0,T  ( T  0 ), khi đó X ( t ,  )
là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
Quá trình ngẫu nhiên thường được ký hiệu X ( t ,  ) hoặc X t ( ) hoặc X (t ) .
Định nghĩa 1.7. Tính Markov
Giả sử X t ( ) là quá trình ngẫu nhiên. Ký hiệu:
F =  ( X s ( ) | s  t )
t

F =  ( X s ( ) | s  t ) .
t

(1.10)

F =  ( X t ( ) )
=t

Q trình X t ( ) có tính Markov nếu:

 X (t ) 
=

F 
s 


 X (t ) 
t  s .

F 
=s 


(1.11)

Quá trình ngẫu nhiên X ( t ) được gọi là xích Markov nếu X ( t ) có tính
Markov và khơng gian trạng thái E của X ( t ) không quá đếm được.
Định nghĩa 1.7 là định nghĩa tổng quát về tính Markov cho mọi q trình
ngẫu nhiên. Đối với q trình ngẫu nhiên X ( t ) với thời gian rời rạc và có


11

không gian trạng thái E không quá đếm được, chúng ta có thể sử dụng định
nghĩa sau về tính Markov của quá trình X ( t ) :
Định nghĩa 1.8. Ta nói rằng X ( t ) có tính Markov nếu:

 X (tn+1 ) = j | X (t0 ) = i0 ,..., X (tn−1 ) = in−1, X (tn ) = in  =  X (tn+1) = j | X (tn ) = in 
thỏa mãn với bất kỳ t0  t1  ...  tn  tn+1  ... và i0 ,..., in−1 , i, j  E .

Ký hiệu p ( s, i, t , j ) :=

( X (t ) = j | X ( s ) = i ) là xác suất chuyển trạng thái của

quá trình ngẫu nhiên X ( t ) từ trạng thái i  E tại thời điểm s sang trạng thái
j  E tại thời điểm t ( s  t; s, t 

+

).

Định nghĩa 1.9. Tính Thuần nhất
Nếu p ( s, i, t, j ) = p ( s + h, i, t + h, j ) , i, j  E; s  t 

+

và h  0 thì quá trình

ngẫu nhiên X ( t ) được gọi là q trình thuần nhất.
1.2.2. Xích Markov thời gian rời rạc
- Ma trận xác suất chuyển trạng thái của xích Markov:
Ký hiệu p ( n, i, n + 1, j ) = ( X n+1 = j | X n = i ) khi đó Pn+1 =  p ( n, i, n + 1, j )i , jE là
ma trận xác suất chuyển trạng thái tại bước n + 1 của xích Markov  X n n=0,1,... .
Ma trận Pn+1 có các tính chất sau:
(i) 0  p ( n, i, n + 1, j )  1 .
(ii)

 p ( n, i, n + 1, j ) = 1 .
jE

Ma trận có các tính chất như trên được gọi là ma trận ngẫu nhiên.
Ký hiệu Pn( m) =  p ( n, i, n + m, j )i , jE với p ( n, i, n + m, j ) = ( X n+m = j | X n = i ) là
xác suất chuyển từ trạng thái i tại bước

n

sang trạng thái j tại bước n + m .

Khi đó ta có:
p ( n, i, n + ( l + m ) , j ) =  p ( n, i, n + l , k ) p ( n + l , k , n + (l + m ) , j ) .
kE

(1.12)


12

Phương trình (1.12) được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.
Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:
Pn(l + m) = Pn(l ) Pn(+ml ) .

(1.13)

- Phân phối xác suất của trạng thái xích Markov:
Ký hiệu  ( n) = ( (jn) ) jE với  (jn) = ( X n = j ) là phân phối xác suất của trạng
thái xích Markov  X n n=0,1,... tại bước n và  (0) = ( (0)
j ) jE là phân phối xác suất
của trạng thái ban đầu của xích Markov  X n n=0,1,... .Ta có:
 (1) =  (0) P1
 (2)

(1)
(0)
 =  P2 =  P1 P2

.
...
 ( n ) =  ( n −1) P =  (0) P P ...P
n
n
1 2

 ( n + m ) =  ( n ) Pn( m )
.

n  0, m  1



(1.14)

Như vậy mơ hình xích Markov thời gian rời rạc là bộ ba

(X

n

)

,  (0) , Pn , n = 1, 2,... , trong

đó:

(i) ( X n ) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
(ii)  (0) là phân phối xác suất của trạng thái ban đầu.
(iii) Pn là ma trận xác suất chuyển trạng thái tại bước n .
- Phân phối dừng và phân phối giới hạn của trạng thái xích Markov
thuần nhất thời gian rời rạc:
Ký hiệu P( n) = ( pij( n) )i , jE với pij( n) = ( X n+m = j | X m = i ) là xác suất chuyển
trạng thái của xích Markov từ trạng thái i sang trạng thái j sau n bước.
Định lý 1.1. Giả sử  X n n=0,1,... là xích Markov xác định trên khơng gian
trạng thái hữu hạn E với ma trận xác suất chuyển trạng thái P = ( pij )i , jE .
(i) Nếu P chính quy theo nghĩa: tồn tại n0 

+

sao cho


13

min pij( n0 )  0
i , jE

(1.15)

thì tồn tại các số  j ( j  E ) sao cho
 j  0

  =1
j


jE

(1.16)

lim pij( n ) =  j .

(1.17)

và với mỗi j  E
n →

(ii) Ngược lại, nếu tồn tại các số  j ( j  E ) thỏa mãn điều kiện (1.16) và
(1.17) thì tồn tại n0 

+

thỏa mãn (1.15).

(iii) Các số  j ( j  E ) là nghiệm của hệ phương trình
x j =  xk pkj , j  E

(1.18)

kE

và đó là nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
 x j  0 j  E

 x =1

j

jE

(1.19)

với điều kiện (1.15) thỏa mãn.
Định nghĩa 1.10. Nghiệm không âm  j ( j  E ) của phương trình (1.18)
sao cho


jE

j

= 1 được gọi là phần phối dừng của xích Markov với ma trận

xác suất chuyển P = ( pij )i , jE .
Định nghĩa 1.11. Xích markov  X n n=0,1,... có tính chất ergodic nếu tồn tại
các giới hạn  j = lim
pij( n ) , j  E không phụ thuộc vào trạng thái i ( i  E ) sao cho
n →
 j  0 j  E

.
  =1
j

jE

(1.20)